解题大招02 四招搞定充分必要性的判断（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 以“四招判定法”为核心，构建“逻辑关系-集合模型-命题转化”三维知识体系，通过题型化训练实现充分必要性判定的系统性突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|----|----|----| |知识点|3核心知识点（含1拓展）|逻辑关系定义→集合包含模型→逆否命题等价性|从抽象概念（逻辑关系）到几何直观（集合模型）再到命题转化（拓展），形成“概念生成-模型解释-应用深化”链条| |题型|4题型（8典例+多跟踪训练）|定义法（定p,q推关系）、集合法（条件→集合判包含）、逆否命题法（等价转化）、递推法（逻辑联结传递性）|题型与方法一一对应，典例覆盖简单判断、参数范围、实际应用等考法，实现“以题载法、以法明理”|

解题大招02 四招搞定充分必要性的的判定 知识点01 从逻辑关系上看充分条件与必要条件 (1)若pq，但p,则称p是q的充分而不必要条件； (2)若p不能推出q，但qp,则称p是q的必要而不充分条件； (3)若pq，且qp(即)则说p是q的充要条件； (4)pq，且qp，则说p是q的既不充分也不必要条件. 知识点02 充分必要性的的集合模型解释 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A ⊆B，则p是q的充分条件． (2)若B ⊆A，则p是q的必要条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． (4)若A ⊆B且BA，即AB，则p是q的充分不必要条件． (5)若B ⊆A且AB，即BA，则p是q的必要不充分条件． (6)若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件. 知识点03 四种命题及其真假的关系（拓展） 1．四种命题的定义： （1）互为逆命题 如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫作互为逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作原命题的逆命题. (2)互为否命题 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫作互为否命题,其中一个叫作原命题，另一个叫作原命题的否命题. (3)互为逆否命题 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫作互为逆否命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作原命题的逆否命题. 2.四种命题之间的关系 (1)四种命题之间有如下相互关系： （2）四种命题真假性之间的关系: ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性; ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系. 题型01 定义法判断充分必要性 定义法判断充分性与必要性的步骤 1.确定条件p是什么,结论q是什么. 2.看条件p能否推出结论q,若能,则p是q的充分条件，若不能,则p不是q的充分条件. 【典例1】在下列各题中，分析p是q的什么条件：(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种) (1) (2) (3)p:x>0,y>0,q:xy>0. 【答案】(1)必要不充分条件；（2）充要条件；（3）既不充分也不必要. 【解析】 (1)∵， ∴p是q的必要不充分条件. (2) ∵,∴p是q的充要条件. (3) x>0,y>0xy>0,xy>0 x>0,y>0, ∴p是q的充分不必要条件． 【跟踪训练】 1．设x，y都是实数，则“x＞2且y＞3”是“x＞2或y＞3”的（　　）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【分析】利用或和且的含义，再结合充要条件的定义判定即可． 【解析】①当x＞2且y＞3时，则x＞2或y＞3，∴充分性成立， ②∵x＞2或y＞3⇔x＞2或y＞3或x＞2且y＞3，∴必要性不成立， ∴x＞2且y＞3是x＞2或y＞3的充分不必要条件， 故选：A． 2．（2026·江苏·模拟预测）已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】时，，，， 又时，取，，此时， 所以，则“”是“”的充分不必要条件. 题型02 集合法判断充分必要性 即先将p与q的关系转化为相应的两个集合间的关系,再判断充分性与必要性. 【典例2-1】使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分而不必要条件是（ ） A. x＜0 B. x≥0 C. x∈{－1，3，5} D. x≤－或x≥3 【答案】C 【解析】解2x2－5x－3≥0，得或x⩾3 对于选项A,当时不能推出2x2－5x－3≥0，不充分; 对于选项B当x=2时不能推出2x2－5x－3≥0，不充分; 选项D是充要条件; 对于选项C,{－1，3，5}{x|或x⩾3},故“x∈{－1，3，5}”是“不等式2x2－5x－3≥0成立”的充分不必要条件.故选C. 【典例2-2】已知,q: x2－2x+1－m2>0(m>0),且p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 【分析】用集合的观点考虑问题，先写出p和q对应的集合A、B,然后由p是q的必要而不充分条件得AB，从而可列出不等式组求解. 【解析】解不等式，得p:. 解不等式x2－2x+1－m2>0,得q:. ∵p是q 的必要不充分条件, ∴BA，结合数轴(如下图)可知解得m≥9. ∴m的取值范围为{m|m≥9}. 【跟踪训练】 1．（2026·江苏南通·三模）设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 若，则，所以，解得， 当时，，此时， 所以是的充要条件， 故“”的一个必要不充分条件是. 2．（2026·福建泉州·模拟预测）“函数在区间内存在最小值”的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，令，解得或， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极小值为， 因为区间内存在最小值，所以极小值点0在区间内， 则，解得， 令，解得，或， 所以，解得， 综上，函数在区间内存在最小值时， 要满足“函数在区间内存在最小值”的充分不必要条件， 即所求为的真子集， 分析选项可得，只有符合题意. 3．（2026·云南怒江·模拟预测）已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】解分式不等式，再结合充分不必要条件建立关于的不等式求解即可. 【详解】由，可得且. 因为，所以，故不等式的解集为. 由是不等式成立的充分不必要条件，可得是的真子集， 故，解得， 所以的取值范围是. 题型03 逆否命题法判断充分必要性 1.互为逆否的两个命题是等价的．当我们从正面对命题进行判断较为困难时，可将其转化为对它的逆否命题进行判断．该方法也称为等价法. 2.由原命题和逆否命题间的关系可知： 等价于非； 等价于非； 等价于非. 【典例3-1】钱大姐常说“便宜没好宣货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ） A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B. 【详解】根据等价命题，便宜没好货，等价于，好货不便宜，故选B. 【典例3-2】设条件实数满足；条件实数满足且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________ 【答案】 【分析】“是的必要不充分条件”等价于“是的必要不充分条件” 【详解】设，可解得:， 设可解得:， ∵是的必要不充分条件是的必要不充分条件 【跟踪训练】 1．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等。设为两个同高的几何体，，的体积不相等，在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可最知，是的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】如果在等高处的截面积恒相等，则的体积相等，即，因此有，但，例如，把两个相同的锥体放在一个平面上，再把其中一个锥体翻转底向上，顶点在原底面所在平面，虽然在等高处的截面积不恒相等，但体积相等.故是的充分不必要条件.故选. 【点拨】破解此类题的关键:一是读懂数学文化的背景的含义；二是利用“以小推大”的技巧来破解充分必要条件的判断. 2．判断下列命题p是命题q的什么条件． （1）p：；q：或 （2）若x，y为实数，p：；q：x，y不全为0. 【解析】（1）：；：x＝y且x＝－y，，但， 所以是的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件． （2）：；：x，y全为0，，所以是的充分条且是必要条件，即p是q的充分且必要条件． 题型04 递推法判定充分必要性 由于逻辑联结符号“⇒”“”“⇔”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所要判断的两个条件之间的依存关系． 【典例4】已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件.现有下列命题: (1)是的充要条件；(2)是的充分条件而不是必要条件；(3)是的必要条件而不是充分条件；(4)是的必要条件而不是充分条件； (5)是的充分条件而不是必要条件. 则正确命题的序号是_________ 【答案】(1)(2)(4) 【详解】根据已知条件画出下图： 结合上图可知，∴，(1)正确；，但，(2)正确；同理判断(3)(5)不正确，(4)正确. 【跟踪训练】 1．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．那么： (1)s是q的什么条件？ (2)r是q的什么条件？ (3)p是q的什么条件？ 【解析】由题意画出网络示意图. 由图可知： (1)qs，srq，所以s是q的充要条件． (2)rq，qsr，所以r是q的充要条件． (3)qsrp，所以p是q的必要条件． 1．（2026·上海普陀·二模）已知直线l、m和平面，若，则“l与m不相交”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】根据线面判断及线线位置关系结合必要非充分条件定义判断. 【详解】当直线l与平面相交，且交点不在直线m上时，满足“l与m不相交”， 但“”不成立，故充分性不成立； 若，则与无交点，所以“l与m不相交”，故必要性成立； 所以“l与m不相交”是“”的必要非充分条件. 2．（2026·四川达州·二模）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用平面向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】当时，向量，，则，即,故充分性成立； 当时，满足,即，解得：或,所以必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件 3．（2026·山东烟台·二模）已知是等差数列，其公差为，前项和为，则“”是“数列为单调递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为，所以. 若，则关于的函数是单调递增的一次函数， 所以数列为单调递增数列. 若数列为单调递增数列，则当时，， 即，解得. 所以“”是“数列为单调递增数列”的充要条件. 4．（2026·河北邢台·二模）已知数列的前项和为 ，且，则“”是“数列为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 要使数列为递增数列，则， 即，解得； 若，则一定满足且，数列递增，充分性成立； 若数列递增，则必有，必要性成立； 所以“”是“数列为递增数列”的充要条件. 5．(多选)（2026·山东泰安·三模）下列选项正确的有（   ） A．已知，是两个非零向量，则“与的夹角为钝角”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．事件A与B相互独立的充要条件是 D．已知等比数列的公比为q，则“”是“是单调递增数列”的必要不充分条件 【答案】BC 【详解】对于A，因为，是两个非零向量， 所以与的夹角为钝角或， 所以“与的夹角为钝角”是“”的充分不必要条件，故A错误. 对于B，因为， 所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确. 对于C，根据事件相互独立的定义可知，事件A与B相互独立的充要条件是，故C正确. 对于D，当时，若，则， 由指数函数的性质可知是减函数，所以“”推不出“是单调递增数列”； 若等比数列是单调递增数列，则是增函数， 所以且或且， 所以“是单调递增数列”推不出“”， 所以“”是“是单调递增数列”的既不充分也不必要条件，故D错误. 6．（多选）（25-26高三下·湖北襄阳·月考）有限集合S中元素的个数记作，设都为有限集合，则下列命题中是真命题的有（    ） A．的充要条件是 B．的必要条件是 C．不是的子集的必要条件是 D．的充要条件是． 【答案】AB 【详解】对于A，因为等价于， 又， 所以等价于， 故的充要条件是，故A正确； 对于B，因为，所以集合中的元素都是集合中的元素，故， 所以，故B正确； 对于C，令，显然不是的子集，此时， 故C错误； 对于D，令，显然，但，所以的充要条件不是，故D错误； 7．已知是q的必要不充分条件,q是的充要条件，s是的充分不必要条件，现有下列命题：①p是s的必要不充分条件；②q是s的充要条件；③是p的充分不充分条件；④非p是非s的必要不充分条件；⑤p是r的充分而不必要条件；则正确命题序号是 ； 【答案】①③ 【解析】如图，,观图并结合充分条件与必要条件的传递性可得，p是s的必要不充分条件,q是s的必要不充分条件,r是p的充分不必要条件,s是p的充分不必要条件(即非p是非s的充分不必要条件),p是r的必要不充分条件. 8．（2025高一·全国·专题练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【详解】由，可得， 得，即，区间长度为2， 区间长度为1， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 又，区间长度为2，区间长度为1， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 9．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知命题，命题（） （1）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； （2）若，且命题与有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) ；(2) . 【详解】解不等式，得，命题：； 解不等式，得，命题：； (1) 若是的必要不充分条件，则由逆否命题知，是的必要不充分条件， 有，解得或. 所以实数的取值范围为. (2)当时，： 因为命题与有且只有一个为真命题 当真假时， 由得，； 当假真时， 由得，或. 综上可知，实数的取值范围为 10．（25-26高一下·广东揭阳·月考）已知函数，． (1)当时，求不等式的解集为A． (2)已知集合，若，，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【详解】（1）解：当时，可得，， 因为，可得， 所以，可得，解得， 所以不等式的解集. （2）解：由（1）知，集合，且， 因为是的必要不充分条件，所以， ①若，则，解得，符合题意； ②若，由，可得，此时不等式组解集为空集， 综上可得：实数的取值范围是． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招02 四招搞定充分必要性的的判定 知识点01 从逻辑关系上看充分条件与必要条件 (1)若pq，但p,则称p是q的充分而不必要条件； (2)若p不能推出q，但qp,则称p是q的必要而不充分条件； (3)若pq，且qp(即)则说p是q的充要条件； (4)pq，且qp，则说p是q的既不充分也不必要条件. 知识点02 充分必要性的的集合模型解释 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A ⊆B，则p是q的充分条件． (2)若B ⊆A，则p是q的必要条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． (4)若A ⊆B且BA，即AB，则p是q的充分不必要条件． (5)若B ⊆A且AB，即BA，则p是q的必要不充分条件． (6)若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件. 知识点03 四种命题及其真假的关系（拓展） 1．四种命题的定义： （1）互为逆命题 如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫作互为逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作原命题的逆命题. (2)互为否命题 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫作互为否命题,其中一个叫作原命题，另一个叫作原命题的否命题. (3)互为逆否命题 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫作互为逆否命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作原命题的逆否命题. 2.四种命题之间的关系 (1)四种命题之间有如下相互关系： （2）四种命题真假性之间的关系: ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性; ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系. 题型01 定义法判断充分必要性 定义法判断充分性与必要性的步骤 1.确定条件p是什么,结论q是什么. 2.看条件p能否推出结论q,若能,则p是q的充分条件，若不能,则p不是q的充分条件. 【典例1】在下列各题中，分析p是q的什么条件：(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种) (1) (2) (3)p:x>0,y>0,q:xy>0. 【跟踪训练】 1．设x，y都是实数，则“x＞2且y＞3”是“x＞2或y＞3”的（　　）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 2．（2026·江苏·模拟预测）已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型02 集合法判断充分必要性 即先将p与q的关系转化为相应的两个集合间的关系,再判断充分性与必要性. 【典例2-1】使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分而不必要条件是（ ） A. x＜0 B. x≥0 C. x∈{－1，3，5} D. x≤－或x≥3 【典例2-2】已知,q: x2－2x+1－m2>0(m>0),且p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 【跟踪训练】 1．（2026·江苏南通·三模）设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·福建泉州·模拟预测）“函数在区间内存在最小值”的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·云南怒江·模拟预测）已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________. 题型03 逆否命题法判断充分必要性 1.互为逆否的两个命题是等价的．当我们从正面对命题进行判断较为困难时，可将其转化为对它的逆否命题进行判断．该方法也称为等价法. 2.由原命题和逆否命题间的关系可知： 等价于非； 等价于非； 等价于非. 【典例3-1】钱大姐常说“便宜没好宣货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ） A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【典例3-2】设条件实数满足；条件实数满足且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________ 【跟踪训练】 1．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等。设为两个同高的几何体，，的体积不相等，在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可最知，是的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2．判断下列命题p是命题q的什么条件． （1）p：；q：或 （2）若x，y为实数，p：；q：x，y不全为0. 题型04 递推法判定充分必要性 由于逻辑联结符号“⇒”“”“⇔”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所要判断的两个条件之间的依存关系． 【典例4】已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件.现有下列命题: (1)是的充要条件；(2)是的充分条件而不是必要条件；(3)是的必要条件而不是充分条件；(4)是的必要条件而不是充分条件； (5)是的充分条件而不是必要条件. 则正确命题的序号是_________ 【跟踪训练】 1．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．那么： (1)s是q的什么条件？ (2)r是q的什么条件？ (3)p是q的什么条件？ 1．（2026·上海普陀·二模）已知直线l、m和平面，若，则“l与m不相交”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 2．（2026·四川达州·二模）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·山东烟台·二模）已知是等差数列，其公差为，前项和为，则“”是“数列为单调递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·河北邢台·二模）已知数列的前项和为 ，且，则“”是“数列为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．(多选)（2026·山东泰安·三模）下列选项正确的有（   ） A．已知，是两个非零向量，则“与的夹角为钝角”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．事件A与B相互独立的充要条件是 D．已知等比数列的公比为q，则“”是“是单调递增数列”的必要不充分条件 6．（多选）（25-26高三下·湖北襄阳·月考）有限集合S中元素的个数记作，设都为有限集合，则下列命题中是真命题的有（    ） A．的充要条件是 B．的必要条件是 C．不是的子集的必要条件是 D．的充要条件是． 7．已知是q的必要不充分条件,q是的充要条件，s是的充分不必要条件，现有下列命题：①p是s的必要不充分条件；②q是s的充要条件；③是p的充分不充分条件；④非p是非s的必要不充分条件；⑤p是r的充分而不必要条件；则正确命题序号是 ； 8．（2025高一·全国·专题练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为_____. 9．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知命题，命题（） （1）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； （2）若，且命题与有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 10．（25-26高一下·广东揭阳·月考）已知函数，． (1)当时，求不等式的解集为A． (2)已知集合，若，，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $