辽宁大连市某校2025-2026学年高三下学期第五次教学质量调研数学试卷

**基本信息** 高三数学模拟卷以新能源汽车满意度调查、AI抽奖等真实情境为载体，通过梯度化题型设计考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力，适配高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、集合、不等式、概率等|基础概念与运算结合，如第5题AI奖券码概率考查分步计数| |多选|3/18|双曲线性质、三角函数图像等|多选项辨析，如第10题结合图像交点考查函数性质| |填空|3/15|函数定义域、向量垂直、等差数列|简洁性与综合性并存，如第14题考查等差数列公差计算| |解答|5/77|解三角形、导数应用、统计概率、立体几何翻折、曲线交点探究|情境化与探究性突出，如第17题结合双碳战略分析满意度数据，第19题探究曲线交点与四边形面积，考查数学建模与创新思维|

2025-2026学年下学期高三第五次 教学质量调研 数学试卷 满分150分 时间120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前：先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条码粘贴在答题卡上指定位置。 2．选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 3．非选择题，用0.5mm黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域，写在非答题区域无效。 4．画图清晰，并用2B铅笔加深。 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知复数，则（　　） A． B． C． D． 2．已知集合，则“”是“”的（　　） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4．已知，若，则（     ） A． B． C． D． 5.某商场在有奖销售的抽奖环节，采用人工智能(AI)技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码.已知顾客甲参加了一次抽奖，则他的抽奖码是3的概率为（   ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的左、右焦点分别是和，过的直线交椭圆于两点，的内切圆分别与相切于两点，若，则椭圆的离心率为（  ） A． B． C． D． 7．已知为数列的前项和，且满足，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．某个圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个表面积为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，下列结论正确的是（     ） A． B．过点的最短的弦长为2 C．存在点，满足 D．点到两渐近线的距离的乘积为 10．如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（     ） A． B． C．函数在上单调递减 D．若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图象，则的最小值为 11. 甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的1个黑球和2个红球.现从两个盒子中各任取一个球放入对方盒子中称为一次操作，重复进行次操作后，甲盒子中恰有0个黑球，1个黑球，2个黑球分别记为事件，，，则（     ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（共92分） 考生所在系（部）__________ 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题纸相应位置上. 12．已知函数的定义域为，且满足．若，则的值为 . 13．已知平面向量，，1，（1，－1），⊥（），则的值是 　 　． 14.设，是公差为的等差数列，且，则          ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题13分）如图，在平面四边形中，，，．    (1)若，求的面积； (2)若，，求． 16．（本小题15分）已知函数，且曲线在点处与直线相切． (1)求的值； (2)设，求的单调区间； (3)证明：存在唯一的极大值点，且． 17．（本小题15分）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2025年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：（每组数据的平均数以该组区间的中点值为代表） 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1) 在抽取的样本中，若区间内数据的方差为5，区间内数据的方差为10，求区间内数据的方差； (2)根据频数分布表可以认为，该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则. 18．（本小题17分）中，，，，D是的中点，E是的中点，F是的中点．如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得． (1)证明：四点共面； (2)若，求三棱锥的体积； (3)求平面与平面夹角余弦值的最大值． 19.（本小题17分）已知曲线与曲线. (1)讨论曲线与曲线的交点个数； (2)除原点外，若曲线与曲线还有三个交点，记为， 其中，由这四个交点构成的四边形面积记为. (i)求证：； (ii)是否存在实数，使得. 若存在，请求出实数的值；若不存在，说明理由. 数学 学科试卷 第 10 页/共 10页 学科网（北京）股份有限公司 $大连育明高级中学2025-2026学年下学期高三第五次 教学质量调研数学试卷参考答案 满分150分时间120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答卷前：先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条码粘贴 在答题卡上指定位置。 2.选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 3.非选择题，用0.5m黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域，写在非答题区域无 效。 4.画图清晰，并用2B铅笔加深。 第I卷（共58分） 一，单项选择题， 1-4.CBCD 5-8.BDAB 二、多项选择题. 9.ABD 10.ACD 11.ABD 第Ⅱ卷（共54分) 三.填空题. 12. 13.3 14 四、解答题. 15.【详解】)因为∠ABC-号，B=1,4C=万，由余弦定理行 AC2=AB2+BC2-2×AB×BC×COS∠ABC, 所以7=1+BC2+BC,即BC2+BC-6=0,解得BC=2, 所以5.度-2×ABxBCxsi∠ABC=xIx2x5-5 22 (2)设∠CAD=0, 数学学科试卷参考答案第1页/共8页 在△ACD中，由正弦定理得，AC CD AC 2V3 sin∠ADC sin∠CAD ,所以n元sin9①， sin- 3 在△ 中，∠BAC=T-B,∠BCA=0- 21 6 AC 则 AC AB sin∠ABC sin∠BCA'即sT sin,sinB-/② (6 25 由①②得：sin6 m0-2m0-引-m0.2wi sin 1 -cos)=sin 0 整理得2sn0=V5cos0,所以an∠CD=5 B 16.【详解】(1)由题设f'(x)=2ax-lnx-a-1,则f'(1)=a-1=0,故a=1, 又曲线在点(L,f()处与直线y=b相切，即f()=b=0, 所以a=1,b=0. (2)由1)知：g)=f(x)=2x-nx-2,则g)=2-1=2x-1且xe0,+o), 1 所以0<x<2g()<0,即g()的递减区间为0，： >2'8>0,即g()的递增区间为(，+o): x> 所以g(:)递减区间为(0，，递增区间为（与+0）. 3》由2)是≥0,9=h2-1c0,r0=0. 所以，6e使了)=0， 故在(0，x),(1,+o)上f'(x)>0,在(x,1）上f'(x)<0, 数学学科试卷参考答案第2页/共8页 所以在(0，x),L,+o)上f(x)递增，在(xo,1)上递减，则f(x)存在唯一的极大值点x,, 综上.)=式-6n,而ax=2-2,名e2, 显然%日位，得在日2上)为报大做 所以)小>。己， 综上，)存在唯一的极大值点名，且/（化，）小。 17.【详解】(1)由题意，2=010×5+15×10+0150-5] 10+15 =32 (2)由题意，近似地服从正态分布（，2)，且≈-=70.5，≈≈14.31， 由于(41.88<≤84.81)=(-2<≤+) =(-2<≤+2)+号(-≤≤+) ≈2×0.9545+×0.6827=0.8186， 因此估计这些车主中满意度评分位于区间(41.88,84.81]的人数为 10000×0.8186=8186. (3)由题意，的所有取值为0,1000,2000,3000,4000， 顾客每次抽奖返还200元现金的概率为娟-六 1 顾客每次抽奖返还1000元现金的概率为g=2, C-20 顾客每次抽奖不返还任何现金的概率为1一六一易=号 则(=0)=×生=子（=100)=c以品×生=0 (=200)=易×品+c品×=0 400 (=300)=c六×号= (=400)=六×元=0 1 1 则的分布列为： 数学学科试卷参考答案第3页/共8页 0 1000 2000 3000 4000 1 9 101 1 4 20 400 200 400 所以（)=0×4+1000× +2000×8+300×品+4000×0=1100， 20 400 18.【详解】(1)取AD中点S,DN中点G,连接GM,GS,ES,则/， 因为/ =1,所以四边形FMGD是平行四边形， 所以/1 ,=,因为/，==1， 所以四边形EFDS是平行四边形， 所以川，=，所以川， = 所以四边形EMGS是平行四边形，所以升，所以/， 所以，，， 四点共面. (2) G ---- P 过点N在平面MNDF内作NP⊥DF,垂足为P,连接MG, 在△ 中，AB=AC,AB L AC,D是BC的中点， ∴.可知翻折前，AD L BC;翻折后，AD⊥DF,AD⊥DN, 又.DN∩DF=D,.AD⊥平面DFN, 又NPc平面DFN,.NP⊥AD, 又.ADODF=D,∴.NP⊥平面ADE, ∴.NP就是三棱锥N-ADE的高， 在aMNG中，MG=FD=1,WG=ND=l,MN=6 数学学科试卷参考答案第4页/共8页 ∴由余弦定理可知 FF-(5) 7. os∠MGN= 2×1×1 25 ∴.sin∠MGN=sin∠WDP 48 ∴.NP=DN.sin NDP= 25 在△ 中，BC=4,AB=AC=2√2， :AB=AC,AB⊥AC,D是BC的中点，E是AB的中点， 4E=24B=5,2E0-至 Sn=1EAD-m是2x2x点1， 2 42 2 业a=am-号saep-x1x投- 1 3 25251 (3)在平面DFMN中，过点F作OF⊥DF,交MN于点Q, :AD⊥平面DFN,QF⊥DF, ∴.以点F为坐标原点，FD、DA、FO的方向分别为x,八，z轴的正方向 建立如下图所示的空间直角坐标系， y E D 则D(1,0,0)、E(0,1,0)、A(L,2,0), 设∠WDF=0(0<B<π)，则M(-cos0,0,sinO), ∴ED=(（1,-1,0),EA=(1l,0),EM=(-cos0,-l,sin0), 设平面DEM的一个法向量m=(x,y,z), 数学学科试卷参考答案第5页/共8页 mED=x-y=0 则 mEM=-xcos0-y+zsin0=0 令x=l,则y=1,g-1+cos92cos2 -1+1 2 1 sine 11, 2sin cos tan 2 tan 2 2 设平面AEMN的一个法问量i=（a,b,c), 多 nEA=a+b=0 EM=-a cos0-b+csin0=0' 令a=1,则6=-1，c=0112sm -1 2 sin02sin号cosy 2 2 设平面DEM与平面AEMN的夹角为a, mn 1 cosa= 则 2+ 2+ta2 2 0 1 3 +1 5+4 tan? -×- 5+2 tan? 8 2 0<0<π，.0< 经，则tan号>0， 0元 0 当且仅当tan5=l,即 2 =时，即0=时，等号成立。 24 2 :平面DEM与平面4EMN的夹角的余弦值的最大值为兮 19.【详解】(1)联立方程 y2=4x, [y=x2-ax 消去x，得y(y3-4y-16)=0 整理得，y=0,y-4ay-16=0(*) 数学学科试卷参考答案第6页/共8页 记函数f(t)=t-4at-16,f'(t)=3t2-4a 当a≤0时，f(t)在(-0，+∞)上单调递增，而f(0)=-4, 而f(3)=9-12a>0,由零点存在定理，此时f(t)在(0，+o)上只有一个零点 当a>0时.0在气否上单调造减在(]利[…上单调莲 4a 因为f(0)=-16, f(a+3)=(a+3)°-4a-16=(a+3)a2+2a+9)-16>0 号- 16<0,此时f(t)只有一个零点 若a=3, -16=0,此时f(t)有两个零点 若a>3, -16>0,此时f(t)有三个零点 综上所述，当a<3时，曲线C,与曲线C,的交点有两个交点： 当a=3时，曲线C,与曲线C,的交点有三个交点： 当a>3时，曲线C与曲线C,的交点有四个交点. (2)由已知，A(x,片)，B(x2,2),C(x,3),其中 x2<x3<1 ()设直线OC方程为y=kx(k≠0) 数学学科试卷参考答案第7页/共8页 4 X3= 联立方程 y2=4x,解得y=0 [x=0 k2 4 y=kx y3=k 当方程y°-4ay-16=0(*)有三个不同解时， 即y3-4y-16=(y-y)(y-y2)y-)=0 可知y+y+=0，My+2y+y3y=-4a,y2y=16 所以=1+- =分-1+=引（片-2+号 =281-31-32+32 -,+非为行星-+时 4 =6-n）-⅓好-引=80m-2-6+=460-) (由题设，S=16W2,即(4-y2)=64V2 +n=为，购片→州-2=0+nP--喝- y3 y3 4=64V2→9-64y月-2×128=0 解得y3=-64或128，由题设，3<0，所以3=-4 -4=12+23t31=12+3(1+2)=16+y-)=-20 所以a=5 数学学科试卷参考答案第8页/共8页