精品解析：2026年山西临汾市大宁县中考考前学情自测数学试题

数学（三） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状．关于该圆锥的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 4. 下列四个运动会项目图标，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 若是平面直角坐标系中的一点，则点A在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 某兴趣小组有5名成员，身高（厘米）分别为：．增加一名身高为165厘米的成员后，现兴趣小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是（ ） A. 平均数不变，方差不变 B. 平均数不变，方差变小 C. 平均数不变，方差变大 D. 平均数变小，方差不变． 7. 如图，点A，B，D，E在同一条直线上，，，；则的长是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5 8. 如图，在中，为直径，弦，，的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，把经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，以为直径作半圆，是半圆上一点，以点为圆心，的长为半径画弧交直径于点，若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. 2 D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．） 11. 分解因式：____． 12. 在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则______． 14. 在中，，结合尺规作图痕迹所提供的信息可求出的长是___________． 15. 如图，在正方形中，，E为上一点，连接与对角线交于点G．以为腰作等腰直角三角形，底边与交于点H．若，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）解不等式组：． 17. 邮票是供寄递邮件贴用的邮资凭证，诞生于1840年，中国邮政于2025年11月18日发行《跃马添福》《鸿运驰春》贺年专用邮票2种．已知1枚《跃马添福》邮票的面值为1.20元，1枚《鸿运驰春》邮票的面值为3元，学校集邮社团购买的《跃马添福》邮票数量比《鸿运驰春》多10枚，且所购两种邮票总面值为96元，求该社团购买两种邮票的数量． 18. 2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ；请将频数分布直方图补充完整； （2）所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内； （3）计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 19. 如图，在△中，，点是的中点，，请按照题目要求完成尺规作图并完成证明过程（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）． （1）用尺规作图完成基本作图：过点作的垂线，垂足为点； （2）猜想与的数量关系，并说明理由． 20. 随着直播行业的兴起，越来越多的人开始加入直播队伍．某数码配件公司研发了一款可调节的手机拍摄支架，用于帮助直播行业的人们固定手机．该支架的结构如图1所示：立杆垂直于地面，固定高度为；为可旋转支杆，长度固定为；为可滑动悬杆，用于调节手机的水平位置．如图2，调节支杆，悬杆，使得悬杆，，，求此时点到地面的高度．（参考数据：，，） 21. 阅读材料，解答问题： 大家都知道黄金比的美，但是漫画家创造一个可爱的漫画形象时，通常会去选择运用白银比而非黄金比．因为白银比例创造出来的形象要比用黄金比例创造出的形象更憨态可掬，温和可人． 通过上网查阅资料，小希同学发现白银比的定义：如图，点把线段分成两部分，如果，那么点为线段的“白银分割点”，如图，矩形中，，那么矩形叫做“白银矩形”． 应用： （1）如图，矩形是一张纸，，将矩形边翻折，使得点的对应点落在上，将矩形边翻折，使得点的对应点落在上，折痕交于点，再将对折，发现与恰好重合，求证：矩形是“白银矩形”． 以下是小希同学的部分证明过程： 证明：由折叠的性质易得， ∴，， …， 请你补全小希同学的证明过程． （2）如图，“白银矩形”中，为上一点，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，延长交的延长线于点，试说明点为线段的“白银分割点”． （3）图中，若，直接写出的长． 22. 综合与实践 问题背景： 中国单板滑雪名将苏翊鸣在2025年表现惊艳，不仅斩获2025—2026赛季国际雪联单板滑雪大跳台世界杯总冠军，还在世界锦标赛中摘银创造历史． 【数学建模】 某研究小组计划研究滑雪运动员的运动轨迹．经研究发现某运动员通过助滑道后在点起跳，在空中沿抛物线飞行后落在着陆坡上的点处．坡高为60 m，着陆坡的坡度，即，建立如图所示的平面直角坐标系．从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系． （1）某运动员起跳后，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 10 12 14 40 竖直高度 70 78.75 79 78.75 30 求这段抛物线的解析式； （2）某运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，求此时的水平距离和竖直距离的最大值． 23. 综合与实践 “综合与实践”课上，老师让同学们准备了菱形纸片，并提出如下问题：将图1中的菱形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，将绕点按顺时针方向旋转，当时，延长交的延长线于，如图2，试判断四边形的形状，并说明理由． （1）【数学思考】请你解答老师提出的问题． （2）【深入探究】在完成老师提出的问题后，同学们进行了进一步的探究：“善思小组”在准备的菱形纸片中，将绕点按逆时针方向旋转，如图3，当点落在边上时，，，，四点共线，．若，请求出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（三） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义．根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法和幂的乘方，根据相关运算法则逐一计算即可． 【详解】解：A、与指数不同，不能直接相加，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状．关于该圆锥的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据几何体，确定其三视图，进行判断即可． 【详解】解：圆锥的主视图和左视图相同且均为三角形，俯视图为圆； 故选：A． 4. 下列四个运动会项目图标，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 5. 若是平面直角坐标系中的一点，则点A在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限：，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0． 根据点的坐标符号判断象限，横坐标为正，纵坐标恒为正，故点在第一象限． 【详解】解：∵点A的横坐标，纵坐标， ∴点A在第一象限． 故选：A． 6. 某兴趣小组有5名成员，身高（厘米）分别为：．增加一名身高为165厘米的成员后，现兴趣小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是（ ） A. 平均数不变，方差不变 B. 平均数不变，方差变小 C. 平均数不变，方差变大 D. 平均数变小，方差不变． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查算术平均数和方差的知识，熟记算术平均数和方差的计算公式是解题的关键． 【详解】， ， ， ， ∴平均数不变，方差变小， 故选：B． 7. 如图，点A，B，D，E在同一条直线上，，，；则的长是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等． 先根据三角形全等得到，再求得的长度即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 8. 如图，在中，为直径，弦，，的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由弦相等得到弧相等，再由等弧所对的圆周角相等得到，再由等边对等角得到，再由三角形内角和定理得到，从而得到所对的圆心角为，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：弦， ， 则， ， ， 则在中，由三角形内角和定理可得， 所对的圆心角为， 则由圆周角定理可得． 9. 如图，把经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据图形确定出对称中心，然后根据中点公式列式计算，即可得解． 【详解】解：由图可知：与交于点， 故与关于点成中心对称， 设点的坐标为， 则，， 整理得，，， 故点的坐标为． 10. 如图，以为直径作半圆，是半圆上一点，以点为圆心，的长为半径画弧交直径于点，若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求不规则图形的面积，根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ ， 故选：C． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．） 11. 分解因式：____． 【答案】 ()() 【解析】 【分析】原式可变形为平方差的形式，利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：原式=． 12. 在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列举法求概率，列出所有等可能的结果，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，共有A断B通，A断B断，A通B断，A通B通，共4种等可能的结果，其中A，B之间电流能够正常通过的结果只有A通B通1种情况， 故A，B之间电流能够正常通过的概率是； 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线，勾股定理，中点坐标，求反比例函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键．在中，由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，利用勾股定理得到，则，再结合中点坐标公式，得到，根据反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出值． 【详解】解：在中，点C为的中点，， ， 点B的坐标为， ， ， ， 点C的坐标为，即， 反比例函数的图象经过点C， ， 故答案为：12． 14. 在中，，结合尺规作图痕迹所提供的信息可求出的长是___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查角平分线和垂线的尺规作图，含的直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据作图痕迹可知，平分，，因为，则，利用含的直角三角形的性质即可求． 【详解】解：根据作图痕迹可知，平分，， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 15. 如图，在正方形中，，E为上一点，连接与对角线交于点G．以为腰作等腰直角三角形，底边与交于点H．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点H作于点M，根据等腰直角三角形与正方形的性质，判定，分别求出的长度，再判定为等腰直角三角形，从而证明，得出，求出的长，利用勾股定理求出最后结果． 【详解】解：如图，连接，过点H作于点M， 为等腰直角三角形， ，， ， 四边形为正方形， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， 点位于一条直线上， ，， ， 即, ， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正方形的性质，准确作出辅助线构建全等与相似三角形为解题关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据零指数幂、求一个数的绝对值、特殊角的三角函数值、有理数的乘方等运算法则化简，再进行计算即可； （2）根据解一元一次不等式组的方法进行求解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是． 17. 邮票是供寄递邮件贴用的邮资凭证，诞生于1840年，中国邮政于2025年11月18日发行《跃马添福》《鸿运驰春》贺年专用邮票2种．已知1枚《跃马添福》邮票的面值为1.20元，1枚《鸿运驰春》邮票的面值为3元，学校集邮社团购买的《跃马添福》邮票数量比《鸿运驰春》多10枚，且所购两种邮票总面值为96元，求该社团购买两种邮票的数量． 【答案】该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚 【解析】 【分析】设该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚，根据题意得，然后解方程组即可． 【详解】解：设该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚， 根据题意，得， 解这个方程组，得， 答：该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚． 18. 2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ；请将频数分布直方图补充完整； （2）所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内； （3）计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 【答案】（1）10%，30%，见解析 （2）4 （3）全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人 【解析】 【分析】本题考查了频率和频数，频数分布直方图，中位数，利用样本估计总体． （1）根据第2组的频数和百分比，求出抽取的学生人数，再求出相应的值，补全频数分布直方图即可； （2）根据中位数的定义求解即可 （3）利用全校人数乘以成绩不低于91分的学生占比，即可求解． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为人， 则， ， ，， 补全频数分布直方图如下： 【小问2详解】 解：抽取的名学生竞赛成绩中，中位数为第和名学生竞赛成绩的平均数， 由（1）可知，第1组有5人，第2组有10人，第3组有15人，第4组有40人， 前三组人数为人，前四组人数为人， 则中位数处于第4组的分数段内， 故答案为：4； 【小问3详解】 解：由（1）可知，，即全校91分以上的同学占比约为， 则全校91分以上的同学约有（人）， 答：全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人． 19. 如图，在△中，，点是的中点，，请按照题目要求完成尺规作图并完成证明过程（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）． （1）用尺规作图完成基本作图：过点作的垂线，垂足为点； （2）猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，适当长度为半径，画弧，交于两点、，分别以点、为圆心，大于为半径，画弧，两弧交于一点，连接与交于点，即为所求； （2）根据等边对等角得出，根据中点的定义得出，根据全等三角形的判定和性质即可证明． 【小问1详解】 解：如图所示： 作法：以点为圆心，适当长度为半径，画弧，交于两点、，分别以点、为圆心，大于为半径，画弧，两弧交于一点，连接与交于点，即为所求；如图： 【小问2详解】 解：理由如下： 由作图可知： ， ， 又点是的中点， ， 在和中， ， ． 20. 随着直播行业的兴起，越来越多的人开始加入直播队伍．某数码配件公司研发了一款可调节的手机拍摄支架，用于帮助直播行业的人们固定手机．该支架的结构如图1所示：立杆垂直于地面，固定高度为；为可旋转支杆，长度固定为；为可滑动悬杆，用于调节手机的水平位置．如图2，调节支杆，悬杆，使得悬杆，，，求此时点到地面的高度．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】过点作垂直于地面，过点作交的延长线于点，延长交于点，则四边形为矩形，结合邻补角的定义和直角三角形的性质求出，，根据锐角三角函数的性质求出，求出，根据直角三角形的性质求出，结合矩形的性质即可求解． 【详解】解：过点作垂直于地面，过点作交的延长线于点，延长交于点，如图： 则四边形为矩形， ， ，， 在中，，， ， ，， 在中，， 又， ∵四边形为矩形， ． ， 故此时点到地面的高度约为． 21. 阅读材料，解答问题： 大家都知道黄金比的美，但是漫画家创造一个可爱的漫画形象时，通常会去选择运用白银比而非黄金比．因为白银比例创造出来的形象要比用黄金比例创造出的形象更憨态可掬，温和可人． 通过上网查阅资料，小希同学发现白银比的定义：如图，点把线段分成两部分，如果，那么点为线段的“白银分割点”，如图，矩形中，，那么矩形叫做“白银矩形”． 应用： （1）如图，矩形是一张纸，，将矩形边翻折，使得点的对应点落在上，将矩形边翻折，使得点的对应点落在上，折痕交于点，再将对折，发现与恰好重合，求证：矩形是“白银矩形”． 以下是小希同学的部分证明过程： 证明：由折叠的性质易得， ∴，， …， 请你补全小希同学的证明过程． （2）如图，“白银矩形”中，为上一点，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，延长交的延长线于点，试说明点为线段的“白银分割点”． （3）图中，若，直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质得出，，，根据勾股定理得出，即可得出， （2）根据“白银矩形”的定义得出，根据折叠的性质得出，，，，即可求出，得出是等腰直角三角形，得出，，即可得点为线段的“白银分割点”； （3）根据“白银矩形”的定义得出，根据证明是等腰直角三角形，得出，根据，列方程求出的长即可． 【小问1详解】 证明：由折叠的性质易得，， ∴，， ∴， ∵将对折，发现与恰好重合， ∴， ∴，即， ∴：矩形是“白银矩形”． 【小问2详解】 解：∵四边形是“白银矩形”， ∴， ∵将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴点为线段的“白银分割点”． 【小问3详解】 解：∵，四边形是“白银矩形”， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，即， ∴， 解得：． 22. 综合与实践 问题背景： 中国单板滑雪名将苏翊鸣在2025年表现惊艳，不仅斩获2025—2026赛季国际雪联单板滑雪大跳台世界杯总冠军，还在世界锦标赛中摘银创造历史． 【数学建模】 某研究小组计划研究滑雪运动员的运动轨迹．经研究发现某运动员通过助滑道后在点起跳，在空中沿抛物线飞行后落在着陆坡上的点处．坡高为60 m，着陆坡的坡度，即，建立如图所示的平面直角坐标系．从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系． （1）某运动员起跳后，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 10 12 14 40 竖直高度 70 78.75 79 78.75 30 求这段抛物线的解析式； （2）某运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，求此时的水平距离和竖直距离的最大值． 【答案】（1） （2）水平距离为 ，竖直距离的最大值是 【解析】 【分析】（1）根据列表数据，选取两个特殊点：顶点、，运用待定系数法，即可求出函数解析式； （2）设点M到竖直方向上的距离最大，作轴交抛物线和直线于点M、N．求出直线的解析式为，设，则，，根据二次函数的性质进行解答即可； 【小问1详解】 解：由表格得，顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式得：， 解得， 所以该抛物线的解析式为 或． 【小问2详解】 解：设点到竖直方向上的距离最大，作轴交抛物线和直线于点、 在中，， ， 米，即， 设直线的解析式是， 把，代入得 ，解得 直线的解析式为 设， 则， ， ， 当时，的值最大， 答：当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，此时的水平距离为，竖直距离的最大值是． 23. 综合与实践 “综合与实践”课上，老师让同学们准备了菱形纸片，并提出如下问题：将图1中的菱形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，将绕点按顺时针方向旋转，当时，延长交的延长线于，如图2，试判断四边形的形状，并说明理由． （1）【数学思考】请你解答老师提出的问题． （2）【深入探究】在完成老师提出的问题后，同学们进行了进一步的探究：“善思小组”在准备的菱形纸片中，将绕点按逆时针方向旋转，如图3，当点落在边上时，，，，四点共线，．若，请求出的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，再由菱形的性质得到，则先证明四边形为平行四边形，由菱形得到邻边相等，即可证明为菱形； （2）先证明，则，则，解方程即可； 【小问1详解】 解：四边形为菱形，理由如下 ， ， 四边形是菱形，是的平分线， ， ， ， 四边形为平行四边形， 由旋转的性质可知， 平行四边形为菱形； 【小问2详解】 解：如图3，由题意可得， 设， 在菱形中，， ∴在中，， 又 ， ， 是的外角， ∴ 在和中， ，， ， ， 又， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $