上海市填空题（3-2）-【中考三轮复习】全国2026年中考数学名校模拟优选好题

**基本信息** 聚焦上海中考填空题高频考点，以名校模拟题构建知识点应用体系，强化数学抽象与几何直观素养 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |列代数式|2|结合矩形、半圆等几何图形|图形分析→数量关系→代数表达| |函数综合|5|含定义域、图象变换、新定义|概念辨析→性质应用→综合迁移| |几何变换|5|翻折、旋转结合特殊四边形|变换性质→不变量分析→空间观念| |圆与正多边形|7|含外接圆、圆与圆位置关系|圆的性质→多边形性质→数形结合| |统计与概率|3|扇形图、列表法求概率|数据处理→随机观念→应用意识|

【三轮复习】2026年上海市中考数学名校模拟优选好题-填空题（3-2） 一．列代数式（共2小题） 1．（2026•徐汇区二模）如图，用24米铝型线材做成一个窗框ABFE（含内框MN、DC），窗框上方是两个全等的正方形DEMN和CFMN，下方是矩形ABCD，如果正方形DEMN的边长为x米，那么下方矩形ABCD的面积为　 　 平方米．（用含x的代数式表示） 2．（2026•黄浦区二模）已知一个平面图形，其下方为一个矩形，上方为一个以矩形一边为直径的半圆（如图所示），设AB＝a，AD＝b，那么这个平面图形的面积是　 　 （用a、b的代数式表示）． 二．单项式（共2小题） 3．（2026•上海校级模拟）如果代数式2b+2a3﹣（p﹣3）b为单项式，则p的值为　 　 ． 4．（2026•青浦区二模）单项式﹣x2y的次数是　 　 ． 三．二次根式有意义的条件（共2小题） 5．（2026•长宁区二模）请写出使代数式有意义的a的一个值为：　 　 ． 6．（2026•浦东新区校级模拟）已知，则a2026﹣b2026的值是　 　 ． 四．二元一次方程组的应用（共1小题） 7．（2026•上海校级模拟）《九章算术》记载了这样一个问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万，问善田几何？”意思是：当下良田1亩，价值300钱：薄田7亩，价值500钱．现在共买1顷，价值10000钱．根据条件，良田买了　 　 亩． 五．高次方程（共1小题） 8．（2026•浦东新区二模）方程组的解是　 　 ． 六．解分式方程（共1小题） 9．（2026•徐汇区二模）分式方程的解是　 　 ． 七．函数自变量的取值范围（共2小题） 10．（2026•普陀区二模）函数的定义域是　 　 ． 11．（2026•松江区二模）函数y的定义域是　 　 ． 八．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 12．（2026•普陀区二模）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，点A（x1，y1）、B（x2，y2）在该正比例函数的图象上，如果x1＜x2，那么y1　 　 y2．（填“＞”、“＜”或“＝”） 九．一次函数图象与几何变换（共1小题） 13．（2026•青浦区二模）将直线y＝kx+b沿y轴向下平移2个单位后得到的直线是y＝kx﹣3，则b＝　 　 ． 十．二次函数的性质（共1小题） 14．（2026•虹口区二模）已知抛物线和，它们的顶点分别为（m，k）和（k，m），我们称C1和C2互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和C2互为“反顶点抛物线”，且C1的顶点在C2上，那么k的值是　 　 ． 十一．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 15．（2026•长宁区二模）在直角坐标平面内，如果存在正整数n和常数k，使得点A（x，y）满足x2＝﹣ny+k，y2＝nx+k，其中x+y≠0，那么称点A为“n﹣优点”．比如当n＝2，k＝12时，点B（2，4）为“2﹣优点”（这是因为满足22＝﹣2×4+12，42＝2×2+12，2+4≠0）．已知点C在抛物线y＝﹣x2﹣3x+2038上，且它还是“2026﹣优点”，那么点C的坐标是　 　 ． 十二．二次函数图象与几何变换（共1小题） 16．（2026•松江区二模）联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦AB与抛物线的对称轴垂直，垂足为点C，抛物线的顶点为D，当AB＝4CD时，AB的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线y＝3x2﹣2x+1的特征值是　 　 ． 十三．平行线的性质（共1小题） 17．（2026•静安区）我们知道，晾衣架中存在多组平行关系，现将其侧面抽象成几何图形（如图所示），已知AB∥MN∥PQ，如果∠2＝100°，∠3＝130°，那么∠1＝　 　 °． 十四．三角形的重心（共4小题） 18．（2026•普陀区二模）如图，已知G是△ABC的重心，点E在边AB上，EG∥BC，D是BC中点，联结GD，如果GD：EG：AB＝1：2：5，BC＝12，那么点G到直线AC的距离是　 　 ． 19．（2026•金山区二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，直线l经过边AB的中点O，将△ABC沿直线l翻折得到△DEF（点A、B、C分别与点D、E、F对应），若△DEF的重心G在射线CO上，那么D到直线l的距离为　 　 ． 20．（2026•徐汇区二模）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，将菱形ABCD沿着EF翻折，使点B恰好与△ACD的重心G重合．若菱形ABCD的面积为18，则△BEF的面积为　 　 ． 21．（2026•虹口区二模）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，G为△ACD的重心，联结CG并延长交AD交于点E，设，，那么用向量、表示是　 　 ． 十五．矩形的性质（共1小题） 22．（2026•徐汇区二模）如图1所示，用一条宽相等的足够长的矩形纸条打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图2中∠ABD的度数是　 　 ． 十六．矩形的判定与性质（共1小题） 23．（2026•长宁区校级模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，点E是CD边上的一个动点，过点E作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为　 　 ． 十七．正方形的性质（共1小题） 24．（2026•黄浦区二模）如图，正方形EFGH内接于正方形ABCD，即点E、F、G、H分别在正方形ABCD的四边上．请画出点A、B、C、D分别关于HE、EF、FG、GH的对称点P、Q、R、S，如果四边形PQRS的面积恰好是正方形ABCD面积的一半，那么的值是　 　 ． 十八．*平面向量（共3小题） 25．（2026•普陀区二模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．如果AO＝3BO，那么的值为　 　 ． 26．（2026•浦东新区二模）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC，如果，，那么关于、的分解式为　 　 ． 27．（2026•杨浦区二模）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2AD，设，，那么可用、表示为　 　 ． 十九．圆周角定理（共1小题） 28．（2026•嘉定区）如图，已知⊙O的直径为10，翻折劣弧BC使其与直径AB交于点D，如果BD＝8，那么折痕BC的长为 　 　 ． 二十．三角形的外接圆与外心（共1小题） 29．（2026•虹口区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝11，⊙O经过点C、D和AD边上的点E，如果⊙O的半径是5，那么AE的长是　 　 ． 二十一．圆与圆的位置关系（共1小题） 30．（2026•普陀区二模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5（如图所示）．点D在边AB上（不与点A、B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，⊙E的半径长为2．如果⊙F与⊙E外切，那么⊙F的半径长r的取值范围是　 　 ． 二十二．正多边形和圆（共6小题） 31．（2026•浦东新区二模）如图，已知弦AB、CD在圆心O的同侧，且AB是⊙O内接正三角形的一条边，CD是⊙O内接正六边形的一条边，AB∥CD．如果AC也是⊙O的内接正n边形的一条边，那么n的值为　 　 ． 32．（2026•虹口区二模）如图，以正六边形ABCDEF的顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，如果图中阴影部分的面积为3π，那么该正六边形ABCDEF的边长是　 　 ． 33．（2026•崇明区二模）如图，已知在正六边形ABCDEF中，AB＝4，点G是边BC的中点，联结FG并延长，交DC延长线于点H，则CH的长为　 　 ． 34．（2026•宝山区二模）如图，正六边形ABCDEF是由八个全等的等腰梯形拼接而成，如果每个等腰梯形的腰长都是2，那么正六边形ABCDEF的边心距是　 　 ． 35．（2026•嘉定区）我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中直径最小的覆盖圆称为该平面图形的最小覆盖圆，如图，线段MN的覆盖圆有无数个，其中以MN为直径的⊙O是其最小覆盖圆．已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2．那么矩形ABCD的最小覆盖圆的半径为　 　 ． 36．（2026•松江区二模）如图，正五边形与正方形的两邻边相交，如果α＝110°，那么β＝　 　 °． 二十三．轨迹（共1小题） 37．（2026•闵行区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC，垂足为点O，点G是△ABC的重心，BC＝18，AO＝12．点D为边AB上一动点，如果以点O为圆心OG为半径的⊙O与以点D为圆心的⊙D相切，那么⊙D的半径r的取值范围是　 　 ． 二十四．轴对称的性质（共1小题） 38．（2026•杨浦区二模）如图，在平行四边形ABCD中，，点E是边CD上一点，EF∥AC，如果点D关于直线EF的对称点G恰好在边AB上，那么AG的长是　 　 ． 二十五．翻折变换（折叠问题）（共2小题） 39．（2026•上海校级模拟）在矩形ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝5，E为射线AB上一点，将△ADE沿DE翻折，得到△A1DE（点A的对应点为A1），联结A1A、A1B，当△A1AB为等腰三角形时，AE长是　 　 ． 40．（2026•奉贤区二模）如图，已知矩形ABCD，AB＝2AD，E是边AB的中点，F是边DC上一点，将四边形AEFD沿直线EF翻折，得到四边形EMND，（点M、N分别与点A、D对应）．如果点E、M、C在同一条直线上，那么DF：FC的值是 　 　 ． 二十六．旋转的性质（共3小题） 41．（2026•闵行区二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，将CD绕点D顺时针旋转90°，点C恰好落在BA延长线上的点E处，作∠BCD的平分线交DE的延长线于点F，联结BF，如果，那么∠FBE的正切值是　 　 ． 42．（2026•宝山区二模）如图，在矩形ABCD中，将△BCD绕点B旋转至△BC′D′的位置，点D在BA的延长线上，AD与BC′交于点E，如果AE＝4，DE＝5，那么四边形AEC′D′的面积是 　 　 ． 43．（2026•东营区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕点C旋转，得到△A'B'C，点A的对应点为A'，P为A'B′的中点，连接BP．在旋转的过程中，线段BP长度的最大值为 　 　 ． 二十七．相似三角形的判定与性质（共2小题） 44．（2026•上海校级模拟）如图，在△ABC中，点D是AB的黄金分割点（AD＞BD），BC＝AD，如果∠ACD＝90°，CD＝2，则AC＝　 　 ． 45．（2026•浦东新区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点D，E分别在边AC、BC上，且的值为．以E为圆心，ED为半径作圆，如果⊙E与△ABC的三边有三个公共点，那么CD的值为　 　 ． 二十八．解直角三角形的应用（共2小题） 46．（2026•浦东新区二模）如图是地铁入口双翼闸机示意图．已知双翼边缘AC＝BD＝60cm，与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠QDB＝30°，双翼展开时端点A、B的间距为8cm．当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为　 　 cm． 47．（2026•宽城县一模）如图1所示的圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知该地冬至正午时太阳高度角（即∠ABC）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC）大约为60°．圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为8，则表高（即AC的长）为　 　 ． （参考数据：） 二十九．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题） 48．（2026•杨浦区二模）已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为α，那么sinα＝　 　 ． 三十．条形统计图（共1小题） 49．（2026•虹口区二模）如图，已知小明调查了团队中每位同学最喜欢的颜色（每人只能选择一种颜色），并绘制了不完整的扇形统计图和条形统计图，那么喜欢黄色的同学有　 　 人． 三十一．概率公式（共2小题） 50．（2026•长宁区校级模拟）化学课上，小红学到将二氧化碳气体通入澄清石灰水，澄清石灰水就会变浑浊，以下为四个常考的实验： A．高锰酸钾制取氧气：2KMnO4K2MnO4+MnO2+O2↑ B．实验室制取二氧化碳：CaCO3+2HCl＝CaCl2+H2O+CO2↑ C．电解水：2H2O2H2↑+O2↑ D．一氧化碳还原氧化铜：CuO+COCu+CO2↑ 若小红从四个实验中任意选两个实验，则两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率为　 　 ． 51．（2026•金山区二模）在如图所示的月历表中任取1天，恰好这一天是星期日的概率是　 　 ． 三十二．列表法与树状图法（共1小题） 52．（2026•崇明区二模）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为10g和25g的物品后，天平倾斜（如图所示），现从质量为5g，10g，15g的三件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为　 　 ． 【三轮复习】2026年上海市中考数学名校模拟优选好题-填空题（3-2） 参考答案与试题解析 一．列代数式（共2小题） 1．（2026•徐汇区二模）如图，用24米铝型线材做成一个窗框ABFE（含内框MN、DC），窗框上方是两个全等的正方形DEMN和CFMN，下方是矩形ABCD，如果正方形DEMN的边长为x米，那么下方矩形ABCD的面积为　（24x﹣9x2）　 平方米．（用含x的代数式表示） 【解答】解：AD（24﹣9x）＝（12﹣4.5x）米， 下方矩形ABCD的面积为：（12﹣4.5x）×2x＝（24x﹣9x2）平方米， 故答案为：（24x﹣9x2）． 2．（2026•黄浦区二模）已知一个平面图形，其下方为一个矩形，上方为一个以矩形一边为直径的半圆（如图所示），设AB＝a，AD＝b，那么这个平面图形的面积是ab　 （用a、b的代数式表示）． 【解答】解：∵上方为一个以矩形一边为直径的半圆（如图所示），AD＝b， ∴上部分的面积为（）2， ∵AB＝a，AD＝b， ∴矩形面积＝ab， 故这个平面图形的面积是ab， 故答案为：ab． 二．单项式（共2小题） 3．（2026•上海校级模拟）如果代数式2b+2a3﹣（p﹣3）b为单项式，则p的值为　5　 ． 【解答】解：2b+2a3﹣（p﹣3）b＝2a3+（2﹣p+3）b＝2a3+（5﹣p）b， 如果代数式2b+2a3﹣（p﹣3）b为单项式，则只可能为2a3，即（5﹣p）b＝0， 故p＝5， 故答案为：5． 4．（2026•青浦区二模）单项式﹣x2y的次数是　3　 ． 【解答】解：∵单项式﹣x2y中字母的指数和＝2+1＝3， ∴此单项式的次数为3． 故答案为：3． 三．二次根式有意义的条件（共2小题） 5．（2026•长宁区二模）请写出使代数式有意义的a的一个值为：　2（答案不唯一）　 ． 【解答】解：由题意得：a≥0且a﹣1≠0， 解得：a≥0且a≠1， 则使代数式有意义的a的一个值为2， 故答案为：2（答案不唯一）． 6．（2026•浦东新区校级模拟）已知，则a2026﹣b2026的值是　0　 ． 【解答】解：由题意得：a﹣1≥0，1﹣a≥0， 则a＝1， ∴b＝﹣1， ∴a2026﹣b2026＝12026﹣（﹣1）2026＝0， 故答案为：0． 四．二元一次方程组的应用（共1小题） 7．（2026•上海校级模拟）《九章算术》记载了这样一个问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万，问善田几何？”意思是：当下良田1亩，价值300钱：薄田7亩，价值500钱．现在共买1顷，价值10000钱．根据条件，良田买了　12.5　 亩． 【解答】解：设良田买了x亩，薄田买了y亩， 依题意列二元一次方程组得：， 解得， 故答案为：12.5． 五．高次方程（共1小题） 8．（2026•浦东新区二模）方程组的解是　　 ． 【解答】解：由得：， 可得方程组：， ①+②得：2x＝6，x＝3， 将x＝3代入①得：y＝﹣2， 所以方程组的解为：． 故答案为：． 六．解分式方程（共1小题） 9．（2026•徐汇区二模）分式方程的解是x＝2　 ． 【解答】解：把原方程变形为：， 方程两边同时乘x（x+2），得x2﹣1＝3， ∴x2＝4， ∴x＝±2， 检验：把x＝2代入x（x+2）≠0，把x＝﹣2代入x（x+2）＝0， ∴x＝2是分式方程的解，x＝﹣2是分式方程的增根． 故答案为：x＝2． 七．函数自变量的取值范围（共2小题） 10．（2026•普陀区二模）函数的定义域是x≠0　 ． 【解答】解：依题意得x2≠0，解得x≠0． 故答案为：x≠0． 11．（2026•松江区二模）函数y的定义域是x　 ． 【解答】解：根据题意得：2x﹣1≠0， 解得：x． 故答案为：x． 八．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 12．（2026•普陀区二模）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，点A（x1，y1）、B（x2，y2）在该正比例函数的图象上，如果x1＜x2，那么y1　＞　 y2．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限， ∴k＜0， ∴一次函数y随x的增大而减小， ∵x1＜x2， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 九．一次函数图象与几何变换（共1小题） 13．（2026•青浦区二模）将直线y＝kx+b沿y轴向下平移2个单位后得到的直线是y＝kx﹣3，则b＝　﹣1　 ． 【解答】解：由题知， 将直线y＝kx+b沿y轴向下平移2个单位长度后，所得直线的解析式为y＝kx+b﹣2． 因为直线y＝kx+b沿y轴向下平移2个单位后得到的直线是y＝kx﹣3， 所以b﹣2＝﹣3， 解得b＝﹣1． 故答案为：﹣1． 十．二次函数的性质（共1小题） 14．（2026•虹口区二模）已知抛物线和，它们的顶点分别为（m，k）和（k，m），我们称C1和C2互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和C2互为“反顶点抛物线”，且C1的顶点在C2上，那么k的值是　2或3　 ． 【解答】解：由题意，∵抛物线（x﹣k）2+3， ∴其顶点为（k，3）． ∵抛物线和C2互为“反顶点抛物线”， ∴C2为y＝（x﹣3）2+k， 又∵C1的顶点在C2上， ∴（k﹣3）2+k＝3． ∴k＝2或3． 故答案为：2或3． 十一．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 15．（2026•长宁区二模）在直角坐标平面内，如果存在正整数n和常数k，使得点A（x，y）满足x2＝﹣ny+k，y2＝nx+k，其中x+y≠0，那么称点A为“n﹣优点”．比如当n＝2，k＝12时，点B（2，4）为“2﹣优点”（这是因为满足22＝﹣2×4+12，42＝2×2+12，2+4≠0）．已知点C在抛物线y＝﹣x2﹣3x+2038上，且它还是“2026﹣优点”，那么点C的坐标是　（2，2028）或（﹣6，2020）　 ． 【解答】解：已知点C（x，y）是“2026﹣优点”，满足： ， 两式相减得： x2﹣y2＝﹣2026y+2026x， （x﹣y）（x+y）＝﹣2026（x+y）， ∵x+y≠0，两边同除以x+y得： x﹣y＝﹣2026， ∴y＝x+2026， 又点C在抛物线y＝﹣x2﹣3x+2038上，代入得： x+2026﹣x＝﹣x2﹣3x+2038， 整理得： x2+4x﹣12＝0， 解得： （x+6）（x﹣2）＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣6 对应y值： 当x＝2时，y＝2+2026＝2028，此时x+y＝2023≠0，符合条件； 当x＝﹣6时，y＝﹣6+2026＝2020，此时x+y＝2014≠0，符合条件． 故答案为：（2，2028）或（﹣6，2020）． 十二．二次函数图象与几何变换（共1小题） 16．（2026•松江区二模）联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦AB与抛物线的对称轴垂直，垂足为点C，抛物线的顶点为D，当AB＝4CD时，AB的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线y＝3x2﹣2x+1的特征值是　　 ． 【解答】解：∵平移不改变抛物线的特征值， ∴y＝3x2﹣2x+1的特征值即为y＝3x2的特征值，如图： ∴此时y＝3x2的对称轴为y轴， ∵AB＝4CD，AB⊥y轴 ∴AB＝2BC＝4CD，即BC＝2CD 设BC＝m， ∴， ∴， ∴， ∴或m＝0（舍去） ∴． 故答案为：． 十三．平行线的性质（共1小题） 17．（2026•静安区）我们知道，晾衣架中存在多组平行关系，现将其侧面抽象成几何图形（如图所示），已知AB∥MN∥PQ，如果∠2＝100°，∠3＝130°，那么∠1＝　50　 °． 【解答】解：如图，延长AB到点C， ∵AB∥MN， ∴∠2+∠CBD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠2＝100°， ∴∠CBD＝180°﹣∠2＝180°﹣100°＝80°， ∴∠CBE＝∠3﹣∠CBD＝130°﹣80°＝50°， ∵AB∥PQ， ∴∠1＝∠CBE＝50°（两直线平行，内错角相等）， 故答案为：50． 十四．三角形的重心（共4小题） 18．（2026•普陀区二模）如图，已知G是△ABC的重心，点E在边AB上，EG∥BC，D是BC中点，联结GD，如果GD：EG：AB＝1：2：5，BC＝12，那么点G到直线AC的距离是　　 ． 【解答】解：延长EG交AC于M，过G作GH⊥AC于H，连接AD， ∵D是BC的中点，G是△ABC的重心， ∴G在AD上，BDBC12＝6， ∴AG：AD＝2：3， ∵EG∥BC， ∴△AEG∽△ABD， ∴EG：BD＝AE：AB＝AG：AD＝2：3， ∴EG＝4， 同理：MG＝4， ∴MG＝EG， ∵GD：EG：AB＝1：2：5， ∴GD＝2，AB＝10， ∴AD＝AG+DG＝6，AE， ∴BD＝DC＝AD， ∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD， ∴∠BAD+∠CAD＝∠B+∠C， ∵∠B+∠BAD+∠C+∠CAD＝180°， ∴∠BAD+∠CAD180°＝90°， ∴EA⊥AC， ∵GH⊥AC， ∴GH∥EA， ∵GE＝GH， ∴AH＝MH， ∴GH是△AEM的中位线， ∴GHAE． 故答案为：． 19．（2026•金山区二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，直线l经过边AB的中点O，将△ABC沿直线l翻折得到△DEF（点A、B、C分别与点D、E、F对应），若△DEF的重心G在射线CO上，那么D到直线l的距离为　或　 ． 【解答】解：由题知， 因为∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， 所以AB． 因为点O为AB边的中点， 所以CO， 则△ABC的重心在CO上． 因为直线l经过点O且△ABC沿直线l翻折得到△DEF的重心G在射线CO上， 所以直线l垂直于CO． 当点G在CO延长线上时，过点A分别作CO及直线l的垂线，垂足分别为H和Q，如图所示， 因为AQ⊥l，AH⊥CO，CO⊥l， 所以四边形AQOH是矩形， 所以AQ＝HO． 因为， 所以， 解得AH， 所以OH， 所以AQ＝OH； 当点G在线段CO上时， 因为S△AOC＝12， 所以， 则AH， 根据轴对称的性质可知，点D到l的距离与AH相等为， 综上所述，点D到直线l的距离为或． 故答案为：或． 20．（2026•徐汇区二模）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，将菱形ABCD沿着EF翻折，使点B恰好与△ACD的重心G重合．若菱形ABCD的面积为18，则△BEF的面积为　4　 ． 【解答】解：连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，△ABC的面积＝菱形ABCD面积的一半＝189， ∴△ACD的重心G在OD上， ∴OD＝3OG， ∴OB＝3OG， ∴BG＝OB+OG＝4OG， ∵B和G关于EF对称， ∴EF垂直平分BG， ∴BM＝MGBG＝2OG， ∴， ∵EF⊥BD，AC⊥BD， ∴EF∥AC， ∴△BEF∽△BAC， ∴， ∴S△BEF＝4． 故答案为：4． 21．（2026•虹口区二模）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，G为△ACD的重心，联结CG并延长交AD交于点E，设，，那么用向量、表示是　　 ． 【解答】解：由题知， 因为四边形ABCD是平行四边形且，， 所以， 所以． 因为G为△ACD的重心， 所以点E为AD的中点， 所以． 故答案为：． 十五．矩形的性质（共1小题） 22．（2026•徐汇区二模）如图1所示，用一条宽相等的足够长的矩形纸条打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图2中∠ABD的度数是　72°　 ． 【解答】解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°， ∴正五边形每个内角都相等，都为108°， ∴∠ABC＝108°， ∵AB＝BC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴∠BCA＝（180°﹣108°）÷2＝36°， ∴∠ABD＝∠ACD＝∠BCE﹣∠BCA＝108°﹣36°＝72°． 故答案为：72°． 十六．矩形的判定与性质（共1小题） 23．（2026•长宁区校级模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，点E是CD边上的一个动点，过点E作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为　　 ． 【解答】解：如图，连接OE， ∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，AC＝8， ∴AC⊥BD，AD＝DC，OC＝OA＝4，OB＝OD＝3， ∴∠COD＝90°， ∴CD5， ∵EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G， ∴∠EFO＝∠EGO＝90°， ∴四边形OGEF是矩形， ∴OE＝GF， 当OE⊥DC时，OE的值最小，即GF的值最小， 此时，S△ODCOD•OCDC•OE， ∴OD•OC＝DC•OE， ∴3×4＝5OE， ∴OE， ∴FG的最小值为， 故答案为：． 十七．正方形的性质（共1小题） 24．（2026•黄浦区二模）如图，正方形EFGH内接于正方形ABCD，即点E、F、G、H分别在正方形ABCD的四边上．请画出点A、B、C、D分别关于HE、EF、FG、GH的对称点P、Q、R、S，如果四边形PQRS的面积恰好是正方形ABCD面积的一半，那么的值是　　 ． 【解答】解：， ∵四边形ABCD，EFGH是正方形， ∴∠BAD＝∠ADC＝∠EHG＝90°，EH＝HG， ∴∠3＝∠5＝90°﹣∠1，∠1+∠3＝90°， ∴△EAH≌△HDG（AAS）， 同理，△EAH≌△HDG≌△GCF≌△FBE， 由对称可得，∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝2（∠1+∠3）＝180°， ∴点P在SH上， 同理，点Q，R，S在PE，FQ，RG上， 由对称可设S△EAH＝S△EPH＝S△DHG＝S△SHG＝S△CFG＝S△RFG＝S△FBE＝S△FQE＝m， S△EAH+S△EPH+S△DHG+S△SHG+S△CFG+S△RFG+S△FBE+S△FQE+S四边形PQRS＝S正方形ABCD， ∴8m+S四边形PQRS＝S正方形ABCD， ∵S四边形PQRS＝2S正方形ABCD， ∴S正方形ABCD＝16m，S四边形PQRS＝8m， ∴S正方形EFGH＝4m+8m＝12m， 正方形EFGH∽正方形ABCD， ∴， ． 故答案为：． 十八．*平面向量（共3小题） 25．（2026•普陀区二模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．如果AO＝3BO，那么的值为　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°，AB＝CD，， ∵AO＝3BO， ∴ABBO， ∴， ∴， ∴的值为， 故答案为：． 26．（2026•浦东新区二模）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC，如果，，那么关于、的分解式为　　 ． 【解答】解：∵AB＝BC，BD平分∠ABC， ∴， ∴， 故答案为：． 27．（2026•杨浦区二模）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2AD，设，，那么可用、表示为　　 ． 【解答】解：在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2AD， ∴， ∴， 故答案为：． 十九．圆周角定理（共1小题） 28．（2026•嘉定区）如图，已知⊙O的直径为10，翻折劣弧BC使其与直径AB交于点D，如果BD＝8，那么折痕BC的长为 　　 ． 【解答】解：连接AC，DC，过点C作CE⊥AB于点E，如图所示： ∴∠BDC＝90°， ∴△BCD是直角三角形， ∵⊙O的直径AB＝10，BD＝8， ∴AD＝AB﹣BD＝2，∠ACB＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 由翻折性质得：， ∴所在的圆与⊙O是等圆， ∵所对的圆周角是∠ABC，所对的圆周角是∠ABC， ∴， ∴AC＝DC， ∴△ACD是等腰三角形， ∵CE⊥AB于点E， ∴AE＝DEAD＝1， ∴BE＝BD+DE＝9， 在Rt△BCD中，cos∠ABC， 在Rt△ABC中，cos∠ABC， ∴， ∴， ∴BC， ∴折痕BC的长为． 故答案为：． 二十．三角形的外接圆与外心（共1小题） 29．（2026•虹口区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝11，⊙O经过点C、D和AD边上的点E，如果⊙O的半径是5，那么AE的长是　5　 ． 【解答】解：如图，过点O作OP⊥CD于P，OQ⊥AD于Q，连接OD， 则PDCD＝4，EQ＝QD， 由勾股定理得：OP3， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠QDP＝90°， ∵OP⊥CD，OQ⊥AD， ∴四边形QOPD为矩形， ∴QD＝OP＝3， ∴ED＝2QD＝6， ∴AE＝AD﹣ED＝11﹣6＝5， 故答案为：5． 二十一．圆与圆的位置关系（共1小题） 30．（2026•普陀区二模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5（如图所示）．点D在边AB上（不与点A、B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，⊙E的半径长为2．如果⊙F与⊙E外切，那么⊙F的半径长r的取值范围是　r＜10　 ． 【解答】解：连接EF，CD， ∵∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5， ∴AC12， ∵DE⊥AC，DF⊥BC， ∴∠DEC＝∠DFC＝∠ACB＝90°， ∴四边形DECF是矩形， ∴CD＝EF， ∵⊙E的半径长为2，⊙F与⊙E外切， ∴CD＝EF＝r+2， 当CD⊥AB时， ∵△ABC的面积AB•CDAC•CB， ∴13×CD＝12×5， ∴CD， ∴CD＜12， ∴r+2＜12， ∴r＜10． 故答案为：r＜10． 二十二．正多边形和圆（共6小题） 31．（2026•浦东新区二模）如图，已知弦AB、CD在圆心O的同侧，且AB是⊙O内接正三角形的一条边，CD是⊙O内接正六边形的一条边，AB∥CD．如果AC也是⊙O的内接正n边形的一条边，那么n的值为　12　 ． 【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD， ∵AB是⊙O内接正三角形的一边， ∴∠AOB120°， ∵CD是⊙O内接正六边形的一边， ∴∠COD60°， ∵AB与CD在圆心O的同侧，且AB∥CD， ∴， ∴∠AOC＝∠BOD30°， 即圆O内接正n边形的中心角是30°， ∴n12， 即AC是圆内接正十二边形的一边， 故答案为：12． 32．（2026•虹口区二模）如图，以正六边形ABCDEF的顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，如果图中阴影部分的面积为3π，那么该正六边形ABCDEF的边长是　3　 ． 【解答】解：∵正六边形的内角是，阴影部分的面积为3π， 设正六边形的边长为r， ∴， 解得r＝3． 则正六边形的边长为3， 故答案为：3． 33．（2026•崇明区二模）如图，已知在正六边形ABCDEF中，AB＝4，点G是边BC的中点，联结FG并延长，交DC延长线于点H，则CH的长为　　 ． 【解答】解：如图，延长FE，CD交于点J． 在正六边形ABCDEF中，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝4，BC∥EJ，∠CDE＝∠DEF＝120°， ∴∠JDE＝∠JED＝60°， ∴∠J＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴△DEJ是等边三角形， ∴DE＝DJ＝JE＝4， ∴FJ＝EF+EJ＝8， ∵G是BC的中点， ∴CG＝GB＝2， ∵CG∥FJ， ∴， ∴． 解得CH， 经检验CH是分式方程的解． 故答案为：． 34．（2026•宝山区二模）如图，正六边形ABCDEF是由八个全等的等腰梯形拼接而成，如果每个等腰梯形的腰长都是2，那么正六边形ABCDEF的边心距是　2　 ． 【解答】解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，过点O作OM⊥BC于点M，过点P作PQ⊥BC于点Q， 由拼图和正六边形的性质可知，∠ABC120°，∠PBQ∠ABC＝60°， 在Rt△BPQ中，BP＝2，∠PBQ＝60°， ∴PQBP， ∴OM＝2PQ＝2， 即正六边形ABCDEF的边心距为2． 故答案为：2． 35．（2026•嘉定区）我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中直径最小的覆盖圆称为该平面图形的最小覆盖圆，如图，线段MN的覆盖圆有无数个，其中以MN为直径的⊙O是其最小覆盖圆．已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2．那么矩形ABCD的最小覆盖圆的半径为　　 ． 【解答】解：如图，矩形ABCD的外接圆是它的最小覆盖圆， 连接AC、BD交于点O， ∵OA＝OCAC，OB＝ODBD，且AC＝BD， ∴OA＝OB＝OC＝OD， 以点O为圆心，以OA长为半径作⊙O，则⊙O是矩形ABCD的外接圆， ∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2， ∴AC， ∴OAAC， ∴矩形ABCD的最小覆盖圆的半径为． 故答案为：． 36．（2026•松江区二模）如图，正五边形与正方形的两邻边相交，如果α＝110°，那么β＝　52　 °． 【解答】解：如图， 根据题意得，，∠B108°， ∵∠ADB+∠ACB+∠A+∠B＝360°，∠ACB＝∠α＝110°， ∴∠ADB＝360°﹣110°﹣90°﹣108°＝52°， ∴∠β＝∠ADB＝52°， 故答案为：52． 二十三．轨迹（共1小题） 37．（2026•闵行区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC，垂足为点O，点G是△ABC的重心，BC＝18，AO＝12．点D为边AB上一动点，如果以点O为圆心OG为半径的⊙O与以点D为圆心的⊙D相切，那么⊙D的半径r的取值范围是　或　 ． 【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，交⊙O于点F， ∵在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵AO＝12，点G是△ABC的重心， ∴， ∵以点O为圆心OG为半径的⊙O与以点D为圆心的⊙D相切， 当⊙O与⊙D外切时，如图，当点D在点E处时， ∴， ∴⊙D的半径r取得最小值，即EF的长度； 如图，当点D在点A处时， ∴AG＝AO﹣GO＝12﹣4＝8， ∴⊙D的半径r取得最大值，即AG的长度8； ∴； 当⊙O与⊙D内切时，如图，当点D在点E处时，⊙O与EO的延长线交于点H， ∴， ∴⊙D的半径r取得最小值，即EH的长度； 如图，当点D在点A处时，⊙O与GO的延长线交于点I， ∴AI＝AO+OI＝12+4＝16， ∴⊙D的半径r取得最大值，即AI的长度16； ∴． 综上所述，⊙D的半径r的取值范围是或， 故答案为：或． 二十四．轴对称的性质（共1小题） 38．（2026•杨浦区二模）如图，在平行四边形ABCD中，，点E是边CD上一点，EF∥AC，如果点D关于直线EF的对称点G恰好在边AB上，那么AG的长是　　 ． 【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，连接FG，EG，DG，过点G作GH⊥AD于点H， ∵BC＝5，， ∴CM＝4， ∴， ∴AM＝BM＝3， ∴， ∴CA＝CB， 设∠B＝α， ∴∠CAG＝∠B＝α， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥|BC，AD＝BC＝5，CD＝AB＝6， ∴∠HAG＝∠B＝∠CAG＝α， ∴， 设GH＝4k，则AG＝5k，AH＝3k， ∵点D关于直线EF的对称点G恰好在边AB上， ∴DG⊥EF， 又∵EF∥AC， ∴DG⊥AC， 设DG，AC交于点K， ∵∠HAG＝∠KAG＝α，∠H＝∠AKG＝90°，AG＝AG， ∴△AHG≌△AKG（AAS）， ∴GK＝GH＝4k，AK＝AH＝3k， ∴KC＝AC﹣AK＝5﹣3k， 在Rt△ADK中，KD2＝AD2﹣AK2＝52﹣（3k）2， 在Rt△CDK中，KD2＝CD2﹣KC2＝62﹣（5﹣3k）2， ∴52﹣（3k）2＝62﹣（5﹣3k）2， 解得， ∴． 二十五．翻折变换（折叠问题）（共2小题） 39．（2026•上海校级模拟）在矩形ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝5，E为射线AB上一点，将△ADE沿DE翻折，得到△A1DE（点A的对应点为A1），联结A1A、A1B，当△A1AB为等腰三角形时，AE长是　或或15或6　 ． 【解答】解：①当点E在线段AB上时，且AA1＝AB， 如图，此时点A1在AB的垂直平分线MN上， ∵DNCD＝3，A1D＝AD＝5， ∴A1N4， ∴A1M＝MN﹣A1N＝1， 在Rt△A1EM中，EM2+A1M2＝A1E2， 则（3﹣AE）2+1＝AE2， 解得AE； ②如图，当点E在线段AB上，且AA1＝AB时， 如图，记DE交AA1于点O， 则DE垂直平分AA1， ∵AA1＝AB＝6， ∴OA＝3，则OD4， ∵∠ADO＝∠EAO＝90°﹣∠DAO， ∴cos∠EAO＝cos∠ADO，即， ∴AE； ③当点E在AB延长线，且AA1＝AB， 如图，此时点A1在AB的垂直平分线MN上， ∵DNCD＝3，A1D＝AD＝5， ∴A1N4， ∴A1M＝MN+A1N＝9， 在Rt△A1EM中，EM2+A1M2＝A1E2， 则（AE﹣3）2+81＝AE2， 解得AE＝15； ④当BA＝BA1时，如图， 此时点E、B都在AA1垂直平分线上， ∴点E、B重合， ∴AE＝6； 综上，AE的长为或或15或6． 故答案为：或或15或6． 40．（2026•奉贤区二模）如图，已知矩形ABCD，AB＝2AD，E是边AB的中点，F是边DC上一点，将四边形AEFD沿直线EF翻折，得到四边形EMND，（点M、N分别与点A、D对应）．如果点E、M、C在同一条直线上，那么DF：FC的值是 　　 ． 【解答】解：翻折后，当点E、M、C在同一条直线上时，如图所示： 设AD＝a，则AB＝2AD＝2a， ∵点E是边AB的中点， ∴BEAB＝a， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝a，CD＝AB＝2a，∠B＝90°，AB∥CD， ∴△BCE是直角三角形， 在Rt△BCE中，CE， 设DF＝x，则FC＝CD﹣DF＝2a﹣x， ∵AB∥CD， ∴∠CFE＝∠AEF， 由翻折性质得：∠AEF＝∠CEF， ∴∠CFE＝∠CEF， ∴CF＝CE， ∴， 解得：x， ∴DF＝x，FC＝2a﹣x， ∴， 即DF：FC的值是． 故答案为：． 二十六．旋转的性质（共3小题） 41．（2026•闵行区二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，将CD绕点D顺时针旋转90°，点C恰好落在BA延长线上的点E处，作∠BCD的平分线交DE的延长线于点F，联结BF，如果，那么∠FBE的正切值是　　 ． 【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，将CD绕点D顺时针旋转90°，点C恰好落在BA延长线上的点E处，如图，过点F作FG⊥BC于点G， ∵． ∴设AE＝8x，AB＝15x． ∴BE＝BA+AE＝23x， ∵CD＝AB＝15x，AB∥CD，BC＝AD， 根据题意得，DE＝CD＝15x，∠CDE＝90°， ∴∠AFE＝∠AED＝90°， ∴， 设FE＝y， ∵FG⊥BC，FC平分∠BCD， ∴FG＝FD＝FE+DE＝y+15x， 又∵∠FGC＝∠FDC＝90°，FC＝FC， ∴Rt△FGC≌Rt△FDC（HL）， ∴GC＝CD＝15x， ∴BG＝BC﹣GC＝2x， ∵BG2+FG2＝BF2＝BE2+FE2， ∴（2x）2+（y+15x）2＝（23x）2+y2， ∴y＝10x， ∴FE＝10x， ∵∠AFE＝90°， ∴， ∴∠FBE的正切值是． 故答案为：． 42．（2026•宝山区二模）如图，在矩形ABCD中，将△BCD绕点B旋转至△BC′D′的位置，点D在BA的延长线上，AD与BC′交于点E，如果AE＝4，DE＝5，那么四边形AEC′D′的面积是 　15　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴BC＝AD＝AE+DE＝4+5＝9，AB＝CD，∠BAD＝∠C＝90°， ∵△BCD绕点B旋转至△BC′D′的位置，点D在BA的延长线上， ∴△BC′D′≌△BCD，∠C′BD′＝∠CBD， ∵∠ABE＝∠CBD， ∴Rt△ABE∽Rt△CBD， ∴AB：CB＝AE：CD， 即CD：9＝4：CD， 解得CD＝6， ∵S△BC′D′＝S△BCD9×6＝27，S△ABE6×4＝12， ∴四边形AEC′D′的面积＝S△BC′D′﹣S△ABE＝27﹣12＝15． 故答案为：15． 43．（2026•东营区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕点C旋转，得到△A'B'C，点A的对应点为A'，P为A'B′的中点，连接BP．在旋转的过程中，线段BP长度的最大值为 　11　 ． 【解答】解：连接CP， ∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB10， ∵将△ABC绕点C旋转，得到△A'B'C， ∴A'B'＝AB＝10，∠A'CB'＝∠ACB＝90°， ∵P为A'B′的中点， ∴CPA'B'＝5， ∴在旋转的过程中，点P在以C为圆心，5为半径的圆上运动， ∴当B，C，P三点共线时，BP有最大值， ∴BP的最大值为6+5＝11． 故答案为11． 二十七．相似三角形的判定与性质（共2小题） 44．（2026•上海校级模拟）如图，在△ABC中，点D是AB的黄金分割点（AD＞BD），BC＝AD，如果∠ACD＝90°，CD＝2，则AC＝　1　 ． 【解答】解：∵点D是AB的黄金分割点（AD＞BD）， ∴， ∵AD＝BC， ∴， ∵∠B＝∠B， ∴△BCD∽△BAC， ∴， ∵CD＝2， ∴AC1， 故答案为：1． 45．（2026•浦东新区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点D，E分别在边AC、BC上，且的值为．以E为圆心，ED为半径作圆，如果⊙E与△ABC的三边有三个公共点，那么CD的值为　或4　 ． 【解答】解：设CD＝3x，则CE＝4x． 在Rt△CDE中，，即⊙E的半径r＝5x． 在Rt△ABC中，． 过点E作EH⊥AB于点H． ∵∠B＝∠B，∠C＝∠EHB＝90°， ∴△EBH∽△ABC， ∴，即， 若⊙E与△ABC的三边有三个公共点，则⊙E与边AB相离（因为AC上有2个点，BC上有1个点，若AB上有交点则总数≥4）． ∴EH＞r， 60﹣20x＞65x， 85x＜60， ， ∴， 考虑到题目求特定值，取边界值（即圆与AB相切时）：， 另一种情况： 已知CD＝3x，CE＝4x，⊙E半径r＝5x，BC＝12， 则BE＝BC﹣CE＝12﹣4x． 当⊙E与△ABC的三边有三个公共点时，除了圆与AB相切的情况，还存在圆经过点B的情况： 此时BE＝r（B在圆上），即：12﹣4x＝5x9x＝12， ， 此时验证各边交点：AC上：E到AC的距离为CE＝4x，圆与AC有1个交点（在AC边上）； BC上：B在圆上，圆与BC有1个交点（B）；（除B外的另一个交点）； 总交点数为1+1+1＝3，符合题意． 此时． 故答案为：或4． 二十八．解直角三角形的应用（共2小题） 46．（2026•浦东新区二模）如图是地铁入口双翼闸机示意图．已知双翼边缘AC＝BD＝60cm，与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠QDB＝30°，双翼展开时端点A、B的间距为8cm．当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为　68　 cm． 【解答】 解：过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F， 则Rt△ACE中，， 同理可得，BF＝30cm， 又∵点A与B之间的距离为8cm， ∴通过闸机的物体的最大宽度为30+8+30＝68（cm）． 故答案为：68． 47．（2026•宽城县一模）如图1所示的圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知该地冬至正午时太阳高度角（即∠ABC）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC）大约为60°．圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为8，则表高（即AC的长）为　　 ． （参考数据：） 【解答】解：在Rt△ADC中，∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，设AC＝x， 则； 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝15°， ∴∠BAC＝90°﹣15°＝75°， ∴，， ∴，，即， ∴， ∴， ∴， ∵BD＝BC﹣CD＝8， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 二十九．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题） 48．（2026•杨浦区二模）已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为α，那么sinα＝　　 ． 【解答】解：如图所示： 由题意，得：tanα＝i， 设竖直直角边为x，水平直角边为2x， 则斜边x， 则sinα． 故答案为． 三十．条形统计图（共1小题） 49．（2026•虹口区二模）如图，已知小明调查了团队中每位同学最喜欢的颜色（每人只能选择一种颜色），并绘制了不完整的扇形统计图和条形统计图，那么喜欢黄色的同学有　22　 人． 【解答】解：根据条形统计图和扇形统计图中蓝色部分的数据求出调查的总人数可知： 喜欢蓝色的有15人，占总人数的15%，则调查的总人数为15÷15%＝100（人）． 喜欢红色的人数为100×25%＝25（人）． 喜欢黄色的人数为100﹣38﹣25﹣15＝22（人）． 故答案为：22． 三十一．概率公式（共2小题） 50．（2026•长宁区校级模拟）化学课上，小红学到将二氧化碳气体通入澄清石灰水，澄清石灰水就会变浑浊，以下为四个常考的实验： A．高锰酸钾制取氧气：2KMnO4K2MnO4+MnO2+O2↑ B．实验室制取二氧化碳：CaCO3+2HCl＝CaCl2+H2O+CO2↑ C．电解水：2H2O2H2↑+O2↑ D．一氧化碳还原氧化铜：CuO+COCu+CO2↑ 若小红从四个实验中任意选两个实验，则两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率为　　 ． 【解答】解：由题意可知，四个实验中，A产生氧气，C产生氢气和氧气，均不能使澄清石灰水变浑浊，B产生二氧化碳，D产生二氧化碳，均能使澄清石灰水变浑浊，共2个实验符合条件． 从四个实验中任意选取两个，所有等可能的结果为：AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种等可能的结果，其中两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果只有BD，共1种． 根据概率公式可得所求概率为． 故答案为：． 51．（2026•金山区二模）在如图所示的月历表中任取1天，恰好这一天是星期日的概率是　　 ． 【解答】解：由题意可知，在如图所示的月历表中任取1天，其中有4个星期日， ∴恰好这一天是星期日的概率是， 故答案为：． 三十二．列表法与树状图法（共1小题） 52．（2026•崇明区二模）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为10g和25g的物品后，天平倾斜（如图所示），现从质量为5g，10g，15g的三件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为　　 ． 【解答】解：要使天平恢复平衡，选取的两件物品质量为25g﹣10g＝15g， 列表如下： 5g 10g 15g 50g （5g，10g） （5g，15g） 10g （10g，5g） （10g，15g） 15g （15g，5g） （15g，10g） 共有6种等可能的结果，其中天平恢复平衡的结果有2种， ∴天平恢复平衡的概率为， 故答案为：． 第1页（共1页） 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