海南省海口市2025-2026学年第二学期高三模拟数学试卷

**基本信息** 高三模拟数学卷聚焦核心素养，原创题占比达30%，融合椭圆光学性质、知识竞赛等真实情境，突出数学思维与应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、复数、统计、函数、二项式定理|第8题结合椭圆光学性质，考查数学眼光| |多选题|3/18|数列、解三角形、函数性质|第11题函数单调性与极值分析，体现推理能力| |填空题|3/15|向量、排列组合、数列|第14题原创递推数列，强化抽象能力| |解答题|5/77|概率期望、三角函数、立体几何、导数、双曲线|第15题知识竞赛得分期望决策，第19题双曲线渐近线与面积定值，注重模型意识与创新应用|

海南省海口市2025-2026学年第二学期高三模拟数学试卷 学校：_________ 姓名：___________ 班级：___________ 分数：___________ 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得集合，可求得. 【详解】依题得，则． 故选：C. 2．已知复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的运算，求得复数，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案． 【详解】复数， 则 所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于复平面内的第一象限. 故选：A 3．在高三某次调研考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中数学试卷上有一道满分为12分的解答题，6名同学的得分按从低到高的顺序排列为，若该组数据的中位数是这组数据极差，则该组数据的第60百分位数是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据中位数是极差求出的值，再计算第60百分位数即可. 【详解】已知数据，，，，10，12，数据个数为偶数，所以中位数是中间两个数和的平均数，即中位数为. 极差是最大值12减去最小值，即极差为. 因为该组数据的中位数是这组数据的极差，所以.可得：. 此时这组数据为，，，10，10，12. 计算，所以第60百分位数是第个数，即10. 故选：D. 4．已知函数满足若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断出函数为奇函数，变形为，画出函数图象，求出不等式的解集. 【详解】当时，， ，因为函数定义域为， 所以函数为奇函数， 作出函数的图像，如图所示， 且在，上都为增函数， 由，得到，即， 由图像可得. 故选：B. 5．在的展开式中，记项的系数为，其中，则所有满足的系数之和为（    ） A．45 B．60 C．120 D．210 【答案】D 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 二项式的展开式的通项公式为， 所以的展开式中，记项的系数为， 因为，又，所以所有的组合为， 所以，，，，， 所以. 6．已知抛物线在处的切线与圆交于A、B两点，则的面积为（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】用方程组法求得切线方程，然后求出圆心到切线的距离，并利用勾股定理求得弦长，再计算三角形面积． 【详解】在抛物线中，时，，即切点为， 设切线方程为， 由得， ，解得， 所以切线方程为，即， 由题意圆心为，半径为， 圆心到切线的距离为， 所以， ．    7．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，分类讨论，结合，可求答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以，即； 因为，所以， 当时，，所以， 此时. 当时，，所以，由可知，此时不合题意. 8．椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先根据题意求出的关系，然后根据几何关系列出等式，求出，进而求出的周长. 【详解】由光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，得，即． 延长交于点，如图，由光的反射定律知垂直平分线段（关键点），连接OH， 则OH是的中位线，于是， 而点在圆上，则的周长等于．    故选：D. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．当取得最大值时， C．时，的最小值为13 D．数列是递增数列． 【答案】ABC 【分析】根据，，代入等差数列求和公式，可得AB选项正确；根据，可知C选项正确；由时，，时，可知数列不是递增数列. 【详解】由已知得， 由 又，所以，故A，B选项正确； 由于， 而，所以时，的最小值为13，故C选项正确 ； 由，解得， 又， 当时，，时，， 又，所以时，， 时，，所以在（）上单调递增， 在（）上单调递增， 所以数列不是递增数列，故D选项不正确． 故选：ABC. 10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则△ABC是钝角三角形 C．若，，则△ABC面积的最大值是 D．若，则△ABC为直角三角形 【答案】ABC 【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，当时，由正弦定理得， 在三角形中，大角对大边，所以，所以A选项正确. B选项，当时，由正弦定理得， 所以，所以为钝角，故三角形是钝角三角形，B选项正确. C选项，由余弦定理得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以三角形面积的最大值是，C选项正确. D选项，若，则， ，所以D选项错误. 故选：ABC 11．已知函数，则下列结论正确的是（） A．在定义域上单调递增 B．有且仅有一个极小值点 C．恒成立 D．的图像关于点中心对称 【答案】BC 【分析】先确定函数定义域，和导函数，再分析的单调性和零点情况，结合导数与单调性的关系判断A，结合导数与极值的关系判断B，结合函数单调性求函数的最值判断C，结合定义域判断D. 【详解】函数的定义域为，导函数， 设，则， 因此在上单调递增， 对于选项A，因为，， 所以存在唯一零点， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此不在整个定义域上单调递增，A错误； 对于选项B，由选项A知，单调递增，仅有一个零点​，且左侧递减、右侧递增， 因此仅有一个极小值点，B正确； 对于选项C，的最小值为，由​，两边取对数得， 所以， 因此，故恒成立，C正确， 对于选项D，因为函数的定义域为， 所以的图像不可能关于点中心对称，因此D错误. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．向量，满足，，，则________. 【答案】2 【分析】将两边平方，可求得的值，再根据即可求得答案. 【详解】由题意得，， 即，即， 则， 故答案为：2 13．甲、乙、丙、丁、戊5名同学排成一列，甲、乙不相邻，且丙、丁相邻，则不同的排法种数为________．（用数字作答） 【答案】24 【详解】因为丙、丁相邻，所以将丙、丁“捆绑”，可得丙、丁的排列方法有种； “丙、丁”整体与戊的排列方法有种； “丙、丁”整体与戊排列后，形成3个空位，从这3个空位中选2个安排给甲、乙，排列方法有； 所以，满足甲、乙不相邻，且丙、丁相邻，则不同的排法种数为种. 14．已知数列的前项和为，，，则_______. 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，结合累乘法，求得，再利用裂项求和，即可求解. 【详解】当时，，则，两式作差得，即，即， 所以，即， 又由且，即，所以，可得， 则. 显然时也符合，可得， 所以. 故答案为：. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）某校举办 “一带一路” 知识竞赛，有 A，B两组题可供选择，两组题都有8道题，每位参赛选手选择一组题，且所选组别的所有题均作答。若参赛选手选择A组题，则答对一道题得3分，答错一道题得分；若参赛选手选择 B 组题，则答对一道题得2分，答错一道题得0分. 已知小明答对每道题的概率均为p (0<p<1)，且每道题的答题情况相互独立. (1)若p，小明选择A组题作答，求他的总得分为正的概率； (2)讨论小明选择哪组题进行答题，能使自己的总得分的期望更高. 【答案】(1) (2)当时选择B组，当时两组得分期望相同，当 时选择A组 【分析】（1）首先建立得分与答对题数的关系，令确定总得分为正的条件，然后分析题目确定X服从二项分布，利用二项分布的概率公式进行求解；（2）利用二项分布期望公式及期望的线性性质分别求出两组题的作答得分期望值，根据期望值的大小关系判断p的范围，得出结论. 【详解】（1）设小明在A组题中答对的题目数为X，则答错道， A组题的总得分为：，...........1分 令，解得，因为X是答对题数，所以，...........3分 因为小明答对每道题的概率均为p，所以，...........4分 所以， ..........5分 ............7分 （2）因为，所以，...........8分 则，...........9分 设小明在B组题中答对Y道，则，B组题的总得分， 同理，...........10分 令，，解得，...........12分 所以当时，选择B组题总得分期望值更高；当时，选择A组题和B组题的总得分期望相同；当时，选择A组题总得分期望值更高............13分 16．（15分）已知的部分图象如图所示，两点是与轴的交点，为该部分图像上一点，且的最大值为4；    (1)求的解析式； (2)将图像向左平移个单位得到的图像，设在上有三个不同的实数根，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图形求得，可得，根据为对称轴，求得，根据的最大值为2，求得； （2）求出，则，利用三个零点满足即可求解. 【详解】（1）依题意，，故，从而，............2分 而为对称轴，故，则，...........3分 根据可知，，...........4分 设为的中点，则，则的最大值为2，因此，...........5分 从而............6分 （2）依题意，，...........7分 则...........9分 在存在三个实数根，设，...........10分 的三个零点满足，...........12分 从而，...........14分 故............15分 17．（15分）如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，．    (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值； (3)在（2）条件下，求三棱锥外接球的表面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）取中点，连接，利用线面垂直的判定定理证得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）由(1)建立如图空间直角坐标系，利用向量法分别求出平面、平面的法向量，结合空间向量的数量积定义计算即可； （3）设三棱锥外接球的球心为，半径为，利用列方程组，求出，再根据球的表面积公式即可求解. 【详解】（1）取中点，连接，，， 因为四边形是边长为2的菱形，所以. 因为，所以是等边三角形，...........1分 所以，............2分 因为，所以. 因为，所以，故............1分 因为，、平面， 所以平面. 因为平面， 所以平面平面............4分 （2）因为，所以， 由（1）知，平面平面，且平面平面，平面，所以平面， 所以直线，，两两垂直，以为原点建立如图空间直角坐标系，............5分    则，............6分 所以， 设平面的法向量为， 由， 取，得.............8分 设平面的法向量为， 由， 取，得.............10分 设平面与平面夹角为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为.............11分 （3）设三棱锥外接球的球心为，半径为， 因为是三棱锥的外接球， 所以， 即，解得，............14分（列出方程可给2分） 所以外接球表面积为．............15分 18．（17分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，函数有两个极值点． （i）求实数的取值范围； （i i）当满足时，求实数的最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）先把代入函数求，再对求导得，算出即切线斜率，最后用点斜式得出切线方程. （2）（i）先得出和，因有两个极值点，是零点，将变形，设并求导，分析其单调性得最大值，结合图象确定2a范围，进而得到范围. （ii）根据条件得到2a表达式，设，代入化简得表达式，设求导分析单调性，由确定范围，得出范围，进而确定范围，再根据2a表达式设，分析其单调性得最大值，从而得到最大值. 【详解】（1）当时，，............1分 ，则，............3分 所以曲线在点处的切线方程为，即．............4分 （2）（i），则，............5分 因为函数有两个不同的极值点，所以是的零点， 由，得．............6分 设，则，............7分 令，得；令，得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，............8分 所以．............9分 当时，，当时，， 结合的图象的变化趋势可知，，所以，............10分 故实数的取值范围为．............11分 （i i）由条件可知，，， 则，且．............12分 不妨令，将代入中， 得，则． 设，，则，............13分 令，则，所以在上单调递减， 则，即，所以在上单调递减． 由得，，所以，............14分 因此在区间上单调递减，即， 于是，所以，则，............15分 又，令，由（ⅰ）可知，在区间上单调递增， 所以，则，解得，............16分 故实数的最大值为．............17分 19．（17分）已知既是双曲线的两条渐近线，也是双曲线的渐近线，且双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍． (1)求双曲线的标准方程； (2)任作一条平行于的直线依次与直线以及双曲线交于点，求的值； (3)如图，为双曲线上任意一点，过点分别作的平行线交于两点，证明：的面积为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析，定值为 【分析】（1）根据题意确定，求出，即可得双曲线的方程； （2）设，，分别联立与、联立与、联立与的方程可得、、，由可得答案； （3）延长、分别交渐近线于、两点，设，，求出、的方程与的方程联立解得、，可得，设的倾斜角为，利用正切的二倍角公式和三角形面积公式可得答案． 【详解】（1）依题意，根据双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍，可得，............2分 即，故双曲线的标准方程为；............3分 （2）不妨设，则设，............4分    联立，可得，............5分 联立可得，............6分 联立可得，............7分 从而；............9分 （3）证明：如图，延长，分别交渐近线于，两点，    由（2）可知，则，............10分 设,，则，联立， 解得，............11分 而，联立，解得，............12分 从而，............13分 设的倾斜角为，则，而，故，............15分 则，因此．............17分 故的面积为定值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省海口市2025-2026学年第二学期高三模拟数学试卷 学校：_________ 姓名：___________ 班级：___________ 分数：___________ 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在高三某次调研考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中数学试卷上有一道满分为12分的解答题，6名同学的得分按从低到高的顺序排列为，若该组数据的中位数是这组数据极差，则该组数据的第60百分位数是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．已知函数满足若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（原创）在的展开式中，记项的系数为，其中，则所有满足的系数之和为（    ） A．45 B．60 C．120 D．210 6．已知抛物线在处的切线与圆交于A、B两点，则的面积为（    ） A．3 B．5 C． D． 7．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 8．椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．当取得最大值时， C．时，的最小值为13 D．数列是递增数列． 10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则△ABC是钝角三角形 C．若，，则△ABC面积的最大值是 D．若，则△ABC为直角三角形 11．已知函数，则下列结论正确的是（） A．在定义域上单调递增 B．有且仅有一个极小值点 C．恒成立 D．的图像关于点中心对称 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．向量，满足，，，则________. 13．甲、乙、丙、丁、戊5名同学排成一列，甲、乙不相邻，且丙、丁相邻，则不同的排法种数为________．（用数字作答） 14．（原创）已知数列的前项和为，，，则_______. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）某校举办 “一带一路” 知识竞赛，有 A，B两组题可供选择，两组题都有8道题，每位参赛选手选择一组题，且所选组别的所有题均作答。若参赛选手选择A组题，则答对一道题得3分，答错一道题得分；若参赛选手选择 B 组题，则答对一道题得2分，答错一道题得0分. 已知小明答对每道题的概率均为p (0<p<1)，且每道题的答题情况相互独立. (1)若p，小明选择A组题作答，求他的总得分为正的概率； (2)讨论小明选择哪组题进行答题，能使自己的总得分的期望更高. 16．（原创）（15分）已知的部分图象如图所示，两点是与轴的交点，为该部分图像上一点，且的最大值为4； (1)求的解析式； (2)将图像向左平移个单位得到的图像，设在上有三个不同的实数根，求的值. 17．（原创）（15分）如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，． (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值； (3)在（2）条件下，求三棱锥外接球的表面积． 18．（17分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，函数有两个极值点． （i）求实数的取值范围； （i i）当满足时，求实数的最大值． 19．（17分）已知既是双曲线的两条渐近线，也是双曲线的渐近线，且双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍． (1)求双曲线的标准方程； (2)任作一条平行于的直线依次与直线以及双曲线交于点，求的值； (3)如图，为双曲线上任意一点，过点分别作的平行线交于两点，证明：的面积为定值，并求出该定值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $命题双向细目表 海南省海口市2025-2026学年第二学期高三模拟数学试卷 命题双向细目表 题号 题型 分值 考查知识点 难度系数 1 单项选择题 5 集合的运算（交集、并集、补集） 0.85 2 单项选择题 5 复数的运算、共轭复数、复平面内点的坐标 0.80 3 单项选择题 5 统计中的中位数、极差、百分位数计算 0.80 4 单项选择题 5 函数的单调性、奇偶性、不等式求解 0.75 5 单项选择题 5 二项式定理、展开式的系数计算、组合数求和 0.70 6 单项选择题 5 抛物线的切线方程、直线与圆的位置关系、三角形面积计算 0.75 7 单项选择题 5 三角函数的恒等变换、同角三角函数基本关系、两角和差公式 0.75 8 单项选择题 5 椭圆的定义、光学性质、椭圆的几何性质、圆的方程 0.55 9 多项选择题 6 等差数列的通项公式、前n项和、数列的单调性、最值问题 0.70 10 多项选择题 6 解三角形、正余弦定理、三角形形状判断、面积最值 0.70 11 多项选择题 6 函数的单调性、极值、奇偶性、函数图像的对称性 0.55 12 填空题 5 平面向量的数量积、模长计算、向量的运算 0.80 13 填空题 5 排列组合、相邻与不相邻问题的计数方法 0.85 14 填空题 5 数列的通项公式、前n项和与通项的关系、等比数列的判定 0.70 15 解答题 13 概率统计、独立重复试验、概率计算、数学期望的比较 0.75 16 解答题 15 三角函数的图像与性质、解析式求解、图像平移、方程的根与三角函数求值 0.60 17 解答题 15 空间立体几何、面面垂直的证明、二面角的计算、外接球的表面积 0.60 18 解答题 17 导数的应用、切线方程、极值点、参数的取值范围、最值问题 0.35 19 解答题 17 双曲线的标准方程、渐近线、直线与双曲线的位置关系、定值问题 0.30 $