专题07 立体几何大题综合（7大题型26题，期末真题汇编，江西专用）高一数学下学期北师大版

**基本信息** 立体几何大题综合汇编，精选江西多地高一期末试题，覆盖7大考点，梯度设计从基础证明到创新应用，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|26道|点线面证明（如正方体中点共线证明）、平行垂直关系（如正三棱柱线面平行）、表面积体积（如四棱台表面积计算）、存在性动点问题（如棱上动点使线面角最大）、创新题（如三棱锥离散曲率计算）|以正方体、正三棱柱等经典模型为载体，融入翻折、探究性问题，注重逻辑推理与空间想象；源自江西各地期末真题，贴合高一学段要求，体现直观想象与数学抽象核心素养。|

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07立体几何大题综合 ☆高频考点概览 考点01点线面基础证明（易错） 考点02平行关系空间确问题（高频） 考点03垂直关系空间角问题（高频） 考点04表面积、体积、点面距（重难） 考点05存在性问题（难点） 考点06动点问题（难点） 考点07立体几何综合的创新题（重难） 目目 考点01 点线面基础证明 1.(24-25高一下·江西南昌·期末)如图，已知E,F,G,H分别是正方体ABCD-A,B,CD的棱AB ,BC,CC,CD的中点，且EF与HG相交于点Q. D H C B B D卫 B B (1)求证：点Q在直线DC上； (2)作出过A、G、D,三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 2.(24-25高一下·江西抚州·期末)如图所示，已知P是口ABCD所在平面外一点，M,N分别是AB,PC的 中点，平面PBC∩平面PAD=I,则： 1/15 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D M B (1)1与BC是否平行？说明理由； (2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论 3.(24-25高一下·江西·期末)已知正方体ABCD-A,B,C,D,E、F分别为AC和A,D上的点，且 EF⊥AC,EF⊥B,C. D C A B (1)求证：EF/BD: (2)设BE∩D,F=G,求证：G,A,D三点共线. 目目 考点02 平行关系空间角问题 4.(24-25高一下·江西上饶·期末)如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点.已知 2/15 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 M,N分别是PC,AB的中点，在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于HG. M G (1)求证：MN∥平面PAD: (2)求证：AP/1HG. 5.(24-25高一下·江西·期末)如图，在正三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=A4,D为棱BC的中点. A C C D B (1)证明：AB/平面ADC; (2)求异面直线A,B与AD所成角的余弦值. 6.(24-25高一下·江西·期末)如图所示，四边形ABCD为菱形，DE⊥平面ABCD,AF⊥平面ABCD 3/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D >C B (1)求证：平面ABF∥平面CDE; 2I若D8=2,∠BCD=号，AF=1,求直线DF与BC所成角的余弦值 7.(24-25高一下·江西九江·期末)如图已知四棱锥S-ABCD,底面ABCD为梯形，AD∥BC, SA=AB=BC=2,AD=3,P、Q为侧棱SD上的点，且DP:PQ:QS=3:2:4,点M为SA上的点，且 3AM AS. D C (1)求证：CP∥平面SAB; (2)求证：平面BMQM平面ACP; (3)平面BMQ与侧棱sC相交于点E,求SS的值. EC 8.(24-25高一下·江西赣州·期末)如图，在长方体ABCD-A,B,C,D,中，底面ABCD是边长为2的正方 4/15 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 形，AA=3,E、F分别为CC1、AA,上的点，且AF=2AF,CE=2C,E. D Dk---- B (1)求证：D,F∥平面BDE; (2)求直线EF与平面BDE所成角的正弦值： (3)求平面D,EF与平面BDE夹角的余弦值. 目目 考点03 垂直关系空间角问题 9.(24-25高一下·江西吉安·期末)如图，梯形BCDP中，BC∥PD,BA⊥PD于点A,PA=√2，且 AB=BC=1=二AD.沿AB把△PAB折起到△P'AB的位置，使P'D=√6 ----------≥ C (1)求异面直线CD与P'B所成角的余弦值； (2)若E为P'C的中点，F为P'D上一点，证明CF⊥AE. 10.(24-25高一下·江西南昌·期末)如图，D是SB中点，AB是⊙O的直径，点C为该圆上的点， 5/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠A0C=120°，SA⊥⊙O所在的平面. 0 C (1)求证：平面SBC⊥平面SAC; (2)若SA=AB,求异面直线AB与CD所成角的余弦值. 11.(24-25高一下·江西·期末)如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，点D在BC上，AD⊥C,D, AB=AC· A C D b (1)求证：平面AC,D⊥平面BB,CC; (2)求证：AB∥平面ACD. 12.(24-25高一下·江西宜春·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,BC∥AD, 6/15 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 AD⊥AB,PA=2,AB=BC=1,AD=2,点E是棱CD上的一点（不同于C,D两点）. --D E B (1)求证：平面PAC⊥平面PCD; (2)若CE=ED,求二面角C-PE-A的正切值； 3)若直线PB与平面PAE所成角的正弦值为S,求DE的长. 13.(24-25高一下·江西宜春·期末)如图，在正四棱锥P-ABCD中，底面边长为2，高为4. P D B (1)求直线AP与平面ABCD所成角的正切值； (2)求二面角A-PB-C的余弦值. 目目 考点04 表面积、体积、点面距 7/15 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 14.(24-25高一下·江西上饶·期末)如图是一块正四棱台ABCD-ABC,D,的工艺石料，该四棱台的上、 下底面的边长分别为2dm和4dm,高为3dm. D O 01￥ A B D------ 0 B (1)求四棱台ABCD-A,B,CD,的表面积； (2)现要将这块工艺石料最大限度打磨为一个圆台造型，求圆台O-O,的体积 15.(24-25高一下·江西萍乡·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,底面 ABCD是直角梯形，AD∥BC,∠ABC=90°，且PA=AD=2,AB=BC=1,PB=V5,E为PD的中点. B (1)求三棱锥P-ACE的体积； (2)求二面角E-AC-D的余弦值. 16.(24-25高一下·江西景德镇·期末)如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，底面ABC为直角三角形， AB=BC,D,E分别为BC,AC的中点. 8/15 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D (1)求证：A,B,∥平面DEC: (2)若AA=4,AB=2,求点B到平面BED的距离. 17.(24-25高一下·江西新余·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB/1CD, AB=2CD,AC∩BD=E,点F在棱PC上，且PF=2FC. (1)证明：PA/平面BDF; (2)若BC=DC=6,三棱锥B-CDF的体积为6，求点P到平面ABCD的距离. 18.(24-25高一下·江西赣州·期末)如图1，在等腰梯形ABCD中，AB/1CD,AB=2AD=2DC,将 △ACD沿边AC翻折，使点D翻折到点P,连接PB,得到三棱锥P-ABC,如图2，其中PB=√2AP. 9/15 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 图1 图2 (1)证明：BC⊥平面PAC. (2)若AD=6,求三棱锥P-ABC的体积. (3)求二面角P-AB-C的正切值. 目目 考点05 存在性问题 19.(24-25高一下·江西抚州·期末)如图所示，正方形A4D,D与矩形ABCD所在平面互相垂直， AB=3AD,A,DAAD,=O,E为线段AB上一点. (1)当OE11平面DBC,求证：E为AB的中点； (2)在线段AB上是否存在点E,使得平面DDE⊥平面AD,C？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明 理由. 20.(24-25高一下·江西·期末)如图1，已知等边三角形ABC的边长为6，E,F分别是AB,AC上的 点，且AE=CF=2,将△AEF沿EF折起到△A'EF的位置，得到如图2所示的四棱锥A'-CBEF. 10/15 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 E B 图1 图2 (1)证明：EF⊥AB, 在棱4C上是否存在点P满足PFW半面4BE?若存在，求出的值；若不存在，请说出理 3)已知二面角-EF-B的大小是；，点M在四边形CBEF内（包括边界），且AM=V万，当直线AM与 直线CF的夹角的余弦值最大时，求BM的值. 21.(24-25高一下·江西景德镇·期末)如图，长方体ABCD-AB,CD,中，AB=AD=1,AA=2,点P 为DD,的中点. D C B D (1)求证：平面PAC⊥平面BDD,B,: (2)求直线A,B与平面BDD,B,所成的角的正弦值 (3)在直线BB,上是否存在点Q使得PQ⊥平面ACP，,若存在，则此时 B为多少，若不存在，请说明理由. B 目目 考点06 动点问题 22.(24-25高一下·江西·期末)己知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面 11/15 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 ABCD上的射影是AC与BD的交点O,己知LBAD=60°，△PDB是等边三角形. D B (1)求证：AC⊥PD; (2)求点D到平面PBC的距离； (3)若点E是线段AD上的动点，问：点E在何处时，直线PE与平面PBC所成的角最大？求出最大角的正弦 值，并求出取得最大值时线段DE的长。 23.(24-25高一下·江西赣州·期末)如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=2,E为棱DD的中点， F是正方CDD,C内部（含边界）的一个动点，且B,F平面ABE, A D E 6- (1)求动点F的轨迹长度 (2)求平面ABE与平面ABCD夹角的正切值 24.(24-25高一下·江西宜春·期末)如图，在正三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=AA,D,E分别为AA,AC的 中点. 12/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C D (1)证明：平面AB,C,⊥平面BDE. (2)若侧面BB,CC的中心为0，M为侧面A4,CC内的一个动点，OM11平面BDE,且M的轨迹长度为32， 求三棱柱ABC-AB,C,的表面积. 目目 考点07 立体几何合综合创新题 24.(24-25高一下·江西南昌·期末)如图，斜三棱柱ABC-A,B,C,中，AB1BC,四边形ABB,A是菱形， D为AB的中点，AD⊥平面ABC,BB,=2BC=2 B B A A B (1)求证：四边形CBB,C,为矩形； 13/15 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 2在4C,上是否行在点Q,使得BQ1平面4DC,若存在，求出9的值，若不存在，请说明理由： oc (3)若E,F分别为AA,AC的中点，求此斜三棱柱被平面BEF所截的截面面积. 25.(24-25高一下·江西南昌·期末)已知空间中，△APQ,△A,PQ,,△A,PQ(n≥3是以P2为底边 的全等的等腰三角形，O为PQ的中点. D O 13 A (1)求证：A,4,,An这n个点共面： (2)若多边形AA2…An为正n边形，记以P,Q,A,4,,An为顶点的凸多面体为PQA-An· (i)若△A,PQ,△A,PQ,,△AnPQ均为正三角形，是否存在一个这样的多面体PQA-An,使得它的 每个面都是全等的正三角形？若存在，写出n的所有可能取值，若不存在，请说明理由； (i)当a=5时，若a4PQi=L2,列的面积为2cos行，求多面体PQ4-4内切球半径的最大值 (参考数据：in”=5-1) 104 26.(24-25高一下·江西·期末)离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设P为多面体『的一个顶点，定 14/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 义多面体「在点P处的离散曲率为pp=1- (∠0，Pg,+∠Q,Pg,+…+∠gPe.+∠0PO),其中 2π 9(i=1,2,…,k,k≥3)为多面体T的所有与点P相邻的顶点，且平面2PQ2,平面Q2PQ,,平面Q-PQ 和平面QP2,为多面体T的所有以P为公共点的面.已知三棱锥P-ABC如图所示. G B (1)求三棱锥P-ABC在各个顶点处的离散曲率的和； 2诺P41平面ABC,4C1BC,4C=BC=8,三棱锥P-4BC在顶点C处的肉散曲率为求点4到平 面PBC的距离； (3)在(2)的前提下，又知点0在棱PB上，过点Q作QGWPA交AB于点G,连接CG,若cos∠GCQ=S0 求BQ的长度. 15/15 专题07 立体几何大题综合 高频考点概览 考点01基础证明（易错） 考点02平行关系 空间角问题（高频） 考点03 垂直关系 空间角问题（高频） 考点04表面积、体积、点面距（重难） 考点05 存在性问题（难点） 考点06 动点问题（难点） 考点07 立体几何综合的创新题（重难） 1．（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. 考点01 点线面基础证明 (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见详解 (2)图形见详解 【详解】（1）平面平面, 由于平面 所以平面, 同理平面, 所以平面， 所以,即点在直线上. （2）如图所示，取的中点，连接， 因为，， 所以，故共面. 则即为所求截面. 2．（24-25高一下·江西抚州·期末）如图所示，已知是所在平面外一点，分别是的中点，平面平面，则：    (1)与是否平行？说明理由； (2)与平面是否平行？试证明你的结论． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)平行，证明见解析 【详解】（1）平行，理由如下： 因为四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． 又平面平面，平面，所以． （2）平行．证明如下：如图所示，    取的中点，连接， 故,又 所以且． 所以四边形是平行四边形，所以． 又平面，平面， 所以平面． 3．（24-25高一下·江西·期末）已知正方体，、分别为和上的点，且，. (1)求证：； (2)设，求证：，，三点共线. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【详解】（1）如图，连结，在正方体中， ∵，又，， ∴ 平面． 又在正方体中，连接, ∵，, ∴平面， 又平面，∴． 同理可得. 又，∴平面． ∴; （2）由题意可得，又由（1）知， 所以直线和必相交，不妨设， 则， 又平面， 所以平面， 同理平面． 因为平面平面， 所以， 所以、、三条直线交于一点． 4．（24-25高一下·江西上饶·期末）如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于. 考点02 平行关系 空间角问题 (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1） 法一：取中点，连接，，， 易知为中位线，故，且， 因为四边形是平行四边形，所以，， 故，又因为是的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面.                法二：连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为为中点，所以为的中位线， 所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为是的中点，所以为的中位线， 所以，又因为平面，平面， 所以平面，又因为， 平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以为的中位线， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以. 5．（24-25高一下·江西·期末）如图，在正三棱柱中，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接交于，连接，易得为中点． 在正三棱柱中，因为、分别为、中点，所以 又因为平面，平面，所以平面 （2）取中点，连接． 在正三棱柱中，设，因为、分别为、中点， 可得，且，所以四边形是平行四边形 所以，或其补角即为异面直线与所成的角． 在中，， 满足， 则是直角三角形， 所以． 即异面直线与所成角的余弦值为． 6．（24-25高一下·江西·期末）如图所示，四边形为菱形，平面，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，，，求直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（（1）由题意平面，平面，则， 又因为平面，平面，所以平面， 因为四边形为菱形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，，所以平面平面. （2）连接，由四边形为菱形，所以， 所以得就是直线与所成角，由，，， 则得， 又因为平面，平面，所以， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为. 7．（24-25高一下·江西九江·期末）如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)平面与侧棱相交于点，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）连接， 在中，，，且， 又，，且， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 所以平面. （2）由（1）得，又平面，平面， 平面， 在中，，， 又平面，平面，平面， 又因且均在平面中， 平面平面. （3）由（1）知，又面，面，平面， 又平面，面面， ，又，，．    8．（24-25高一下·江西赣州·期末）如图，在长方体中，底面是边长为的正方形，，、分别为、上的点，且，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）在棱上取点，使得，连接、，如下图所示： 因为，，、分别为、上的点，且，， 所以，且，故四边形为平行四边形， 所以，， 因为为棱上一点，故， 因为，，故，所以四边形为平行四边形， 所以，， 因为，，故，，故四边形为平行四边形， 所以，故， 因为平面，平面，故平面. （2）连接交于点，连接、，取线段的中点，连接， 过点在平面内作，垂足为点，如下图所示： 因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 故直线与平面所成角为， 因为，， 且，故四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以，即， 由勾股定理可得， 同理可得，， 所以，故，即点与点重合， 所以，因此，直线与平面所成角的正弦值为. （3）连接，过点在平面内作，连接，如下图所示： 由（1）知，故平面， 故平面与平面夹角即为二面角的平面角或其补角， 由（2）可知，， 又因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，、平面，故平面， 因为平面，故， 所以二面角的平面角为， 因为，，， 所以，故，由等面积法可得， 因为平面，平面，故，且， 故， 所以， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 9．（24-25高一下·江西吉安·期末如图，梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使． 考点03 垂直关系 空间角问题 (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)若为的中点，为上一点，证明． 【解析】（1）取中点，连接、， ，，四边形是平行四边形，则， 或其补角为异面直线与所成角， 翻折前，即，， 翻折后，则有，，且有， ，， 又，、平面，面， 在中，，，, 由余弦定理可得， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. （2）面，平面，， ，，，，故为等腰直角三角形， ， ，， 由余弦定理得， ，， ，、平面，面， 因为平面，， 又，为的中点，， ，、平面，面， 平面，. 10．（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，是中点，是的直径，点为该圆上的点，，所在的平面． (1)求证：平面平面； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】【解析】（1）因为是的直径，点为该圆上的点，所以， 因为所在的平面，所在的平面，所以， 又因为，所以平面， 因为平面， 所以平面平面. （2）取的中点为，连接， 因为是中点，，所以异面直线与所成角即为或其补角， 设，所以， 因为所在的平面，是中点，所以，则所在的平面， 因为所在的平面，所以，则， 因为，所以， 又因为所在的平面，所以，则， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 11．（24-25高一下·江西·期末）如图，在直三棱柱中，点在上，，. (1)求证：平面平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以 又因为，且平面，平面，， 所以平面, 因为平面，所以平面平面. （2）连结交于，连接. 由（1）知平面，平面， ∴， 又，∴D是的中点. 由是直三棱柱，得四边形为矩形，∴为的中点， 所以为的中位线， 所以， 又平面，不包含于平面， 所以平面. 12．（24-25高一下·江西宜春·期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，，点E是棱CD上的一点（不同于C，D两点）. (1)求证：平面平面PCD； (2)若，求二面角的正切值； (3)若直线PB与平面PAE所成角的正弦值为，求DE的长. 【解析】（1）证明：因为，，， 所以，， 由余弦定理得， 所以，所以， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又，PA，平面PAC，因此平面PAC， 而平面PCD，所以平面平面PCD. （2）取PC的中点F，过点F作，垂足为G，连接AF，AG，如图所示. 因为，所以，，， 由（1）知平面PAC，而PC，平面PAC，所以，， 因为，CD，平面PCD， 所以平面PCD，又平面PCD，所以， 因为，，AF，平面AFG， 所以平面AFG，又平面AFG，所以， 所以为二面角的平面角. 因为，所以，， 所以， 所以，所以， 所以二面角的正切值为3. （3）在平面ABCD内，过点B作，垂足为O，连接PO，如图所示. 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又，PA，平面PAE，所以平面PAE， 所以为直线PB与平面PAE所成的角. 所以，解得， 所以，所以，， 所以， 又在中，由正弦定理得， 所以. 13．（24-25高一下·江西宜春·期末）在正四棱锥中，底面边长为2，高为4． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在正四棱锥中，连接，取中点，连接 则为正方形的中心，平面，是直线与平面所成的角， 由，得，而， 在中，， 即直线与平面所成角的正切值为； （2）在中，过作于，连接， 由≌，得，而， 则≌，，即， 因此是二面角的平面角，， ，， ，在中，，， 即二面角的余弦值为. 14．（24-25高一下·江西上饶·期末）如图是一块正四棱台的工艺石料，该四棱台的上、下底面的边长分别为2dm和4dm，高为3dm． 考点04 表面积、体积、点面距    (1)求四棱台的表面积； (2)现要将这块工艺石料最大限度打磨为一个圆台造型，求圆台的体积． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 分别取中点，连接，作交于， 如图所示，因为，，且，则四边形为矩形， 则，，，， 所以， 所以四棱台的表面积为．    （2）若要这块石料最大限度打磨为一个圆台， 则圆台的上、下底面圆是正四棱台的上、下底面正方形的内切圆，高为正四棱台的高， 则圆台上底面圆半径，下底面圆半径，高， 则圆台的体积为． 15．（24-25高一下·江西萍乡·期末）在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，E为的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，，，可得，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以四棱锥的高为， 因为E为的中点，三棱锥的高为， 所以三棱锥的体积：； （2） 由于E为的中点，所以取的中点为，连结可知：，， 因为平面，所以平面， 再取的中点为，连结可知：， 由梯形，，且，， 可知，从而可得，即， 所以， 因为平面，平面，所以， 又因为平面， 所以平面，又因为平面，所以， 则就是二面角的平面角， 由勾股定理可得：， 所以. 16．（24-25高一下·江西景德镇·期末）如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)若，，求点B到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由，分别为，的中点，则， 由直三棱柱性质可得，故， 又平面，平面，故平面； （2）由底面为直角三角形，，则， 又，则，由直三棱柱性质可得平面， 又、平面，则、，又、平面， ，故平面，又平面，故， 又、，， 则， 设点B到平面的距离为，则由， 可得，即， 即点B到平面的距离为. 17．（24-25高一下·江西新余·期末）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，，点在棱上，且. (1)证明：平面； (2)若，三棱锥的体积为6，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为，且，可得， 连接，因为，所以，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）解：因为，，所以， 又因为四边形是等腰梯形，， 在平面中，作垂足为，则， 则的面积为， 所以三棱锥的体积为，解得， 即点到平面的距离为， 因为，所以点P到平面的距离是点F到平面的距离的3倍， 所以点到平面的距离为. 18．（24-25高一下·江西赣州·期末）如图1，在等腰梯形中，，将沿边翻折，使点翻折到点，连接，得到三棱锥，如图2，其中. (1)证明：平面. (2)若，求三棱锥的体积. (3)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1） 如图1，在梯形中，取边的中点，连接， ，，，， 四边形是平行四边形，， ，， ， ，且，所以， ，平面平面，且， 平面. （2）如图2，取的中点，连接， 由（1）可知平面，且平面，则平面平面， ，且为线段的中点，， 平面平面，平面，平面， ，，， ，，， 三棱锥的体积. （3）如图2，过作，垂足为，取的中点，连接， 则，从而， 由（2）知平面，平面，， 又，平面，平面，平面， 平面，， 为二面角的平面角， 设，，，，， 则， 又，. 19．（24-25高一下·江西抚州·期末）如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，，为线段上一点． 考点05 存在性问题 (1)当平面，求证：为的中点； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，当时， 【详解】（1）证明：因为为正方形，， 所以为的中点， 又因为平面，平面平面，平面， 所以， 又因为为的中点，所以为的中点； （2）存在，当时，平面平面， 理由如下： 设， 因为为正方形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为在矩形中，设， 因为，，设， 在矩形中，因为，， 当时，即，此时 因此，又因为， 所以，在中，，故， 又因为，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 在线段上是存在点，当为的一个三等分点（靠近A点）时， 平面平面. 20．（24-25高一下·江西·期末）如图1，已知等边三角形的边长为，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，得到如图2所示的四棱锥． (1)证明：． (2)在棱上是否存在点满足平面？若存在，求出的值；若不存在，请说出理由． (3)已知二面角的大小是，点在四边形内（包括边界），且，当直线与直线的夹角的余弦值最大时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3)． 【详解】（1）在中，，，由余弦定理求得． 因为，所以． 由题中图2可知，，， ，面 所以平面， 因为平面，所以． （2）假设在棱上存在点满足平面，如图3， 过点作，交于点，连接． 因为，所以平面， 又因为平面，，平面， 所以平面平面． 又因为平面平面，平面平面， 所以，所以． 又因为，所以，从而. （3）由（1）可知，， 所以二面角的平面角为，则． 如图4，过点作，垂足为，求得． 由（1）可知平面，所以平面平面， 又平面平面，所以平面． 因为，可得，所以点在以为圆心，2为半径的圆上． 直线与平面所成的角为， 直线与直线所成的角最小为， 此时，，，， 在中，由余弦定理求得． 21．（24-25高一下·江西景德镇·期末）如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，且 【详解】（1）由长方体性质可得平面，又平面，故， 又，则底面为正方形，故， 又，、平面，故平面， 又平面，故平面平面； （2）令，连接、，由长方体性质可得， 则直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 由（1）知平面，故等于直线与平面所成的角， ，，则， 即直线与平面所成的角的正弦值为； （3）存在，且，即点与重合，连接、、， 则， ， ， 有，故， 由平面，平面，故， 又，、平面，故平面， 故在直线上存在点Q使得平面，且. 22．（24-25高一下·江西·期末）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形. 考点06 动点问题 (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)点在线段上靠近点的4分点处，此时，. 【详解】（1）点在底面上的射影是与的交点， 平面， 平面， ， 四边形为菱形， ， ，平面， 平面， 平面， ； （2）由题意可得､与都是边长为2的等边三角形， ，， ， ， ， 设点到平面的距离为， 由得， 即，解得. 故点到平面的距离为. （3）设直线与平面所成的角为， ， 到平面的距离即为到平面的距离. 过作垂线平面交于点，则， 此时，要使最大，则需使最小，此时. 由题意可知：，， 平面，且， ，， 在中，由余弦定理可得： ， ， 由面积相等， 即，解得：， ，， 即点在线段上靠近点的4分点处，此时，. 23．（24-25高一下·江西赣州·期末）如图，在正方体中，，为棱 的中点，是正方 内部（含边界）的一个动点，且∥平面，    (1)求动点的轨迹长度 (2)求平面与平面夹角的正切值 【答案】(1) (2) 【详解】（1）取中点为，中点为，连接， 则，∥， 因为为棱 的中点，所以， 因为∥，，所以∥，， 所以四边形为平行四边形，所以，∥， 因为∥，，所以∥，， 所以四边形为平行四边形，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为∥，∥，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为平面，， 所以平面∥， 因为是正方 内部（含边界）的一个动点，且 ∥平面 所以平面， 因为平面，所以， 所以动点的轨迹为， 因为， 所以动点的轨迹的长度为. （2）因为平面∥平面，平面∥平面， 所以平面与平面的夹角即为平面与平面的夹角， 平面与平面的交线为， 过点作交于点， 设=，则，， 所以在中，，即，解得， 过点作交于点，在中，，， 则，即，解得， 即点与点重合，所以为所求二面角的平面角， 因为，， 所以， 即平面与平面夹角的正切值为.    24．（24-25高一下·江西宜春·期末）如图，在正三棱柱中，分别为的中点.    (1)证明：平面平面. (2)若侧面的中心为为侧面内的一个动点，平面，且的轨迹长度为，求三棱柱的表面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，因为所以侧面是正方形，所以， 因为分别为的中点，所以， 因为是正三角形，所以，因为平面， 平面，， ，平面，所以平面， 平面，所以， 平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面.    （2）连接交于，取的中点，过作， 分别交于，连接， 易得， 因为平面，平面，所以平面， 平面，因为，且都在面OHG内，所以平面平面， 所以的轨迹为线段， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 故三棱柱的表面积为.    考点07 立体几何合综合创新题 24．（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，斜三棱柱中，，四边形是菱形，为的中点，平面，． (1)求证：四边形为矩形； (2)在上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若分别为，的中点，求此斜三棱柱被平面所截的截面面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3) 【详解】（1）斜三棱柱中，侧面是平行四边形， 因为平面，平面，所以， 因为，，所以平面， 又因为平面，所以，所以四边形为矩形. （2）如图，过点作的垂线交于点， 因为平面，平面，所以， 又因为，，，所以平面， 过点作的平行线交于点，连接，所以平面， 由斜三棱柱的性质易知， 在平面中以为原点，为轴建立平面直角坐标系， 所以，，，，， 设，则，所以，， 因为，所以， 即，解得， 在上是存在点，当时，平面. （3）延长，交于点，连接交于点，连接，， 则四边形即为所得截面， 因为四边形是菱形，为的中点，平面，平面， 所以，是等边三角形，则， 因为，所以， 过作交于， 因为，，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，， 在中，因为， 由余弦定理可知， 因为分别为，的中点，，易知与全等， 所以，，， 在直角三角形中，由可得， 在中，由余弦定理可知， 所以， 所以， 设截面面积为，由于，， 所以 . 即所求截面面积为. 25．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知空间中，，，…，是以为底边的全等的等腰三角形，O为的中点． (1)求证：，，…，这n个点共面； (2)若多边形为正n边形，记以P，Q，，，…，为顶点的凸多面体为． （ⅰ）若，，…，均为正三角形，是否存在一个这样的多面体，使得它的每个面都是全等的正三角形？若存在，写出n的所有可能取值，若不存在，请说明理由； （ⅱ）当时，若的面积为，求多面体内切球半径的最大值． （参考数据：） 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）不存在，证明见解析；（ii） 【详解】（1）∵，，…，是以为底边的全等的等腰三角形，O为的中点， ∴，， 则对于任意，，，∴平面， ∴平面重合于过点且垂直于的平面内， ∴，，…，这n个点在过点且垂直于的平面内，即它们共面. （2）（i）不存在，理由如下： 不妨设这些正三角形的边长都是1，则，其中，且即. 记，则，为锐角且大于， ∴，， ∴，否则，但这里， 而， ∴不存在整数使得， ∴不存在题目要求的多面体，使得它的每个面都是全等的正三角形. （ii） 作，垂足为，连接，作垂足为， 由已知可得为中点，，多边形为正五边形， ∴， 又∵，平面，∴平面， ∵平面，∴， 又∵，，平面，∴平面， ∴为到平面的距离， 由对称性可知，多面体内切球球心为，∴为多面体内切球半径， 若的面积为，则， 由正五边形的性质可知，∴， . 当时取“等号”，∴， 多面体内切球半径的最大值为． 26．（24-25高一下·江西·期末）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.已知三棱锥如图所示. (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为.求点到平面的距离； (3)在（2）的前提下，又知点在棱上，过点作交于点，连接，若，求的长度. 【答案】(1)2 (2) (3) 【详解】（1）由离散曲率的定义得，， ，， 所以. （2）由平面，平面，得， 又，，平面，则平面， 又平面，所以，即， 又，即， 解得， 过点作于点， 由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 因此点到平面的距离为线段的长， 在中，， 所以点到平面的距离为. （3）由平面，则平面，故为直线与平面所成的角， 依题意，，，， 则，， 设，则，， 在中，， 由，得，， 因此，而，解得， 所以． 试卷第22页，共49页 试卷第21页，共49页 学科网（北京）股份有限公司 $