专题05 二次根式16大题型（期末复习知识清单）八年级数学下学期新教材苏科版

专题05 二次根式 核心概念与基础定义 1. 二次根式的核心定义 形如 (a≥0) 的式子叫做二次根式，其中a为被开方数，为二次根号. 核心要点：①形式上必须含二次根号； ②被开方数a必须是非负数（a≥0），这是式子有意义的唯一前提. 2. 二次根式的双重非负性★★★★★ 二次根式同时满足两个非负条件：≥0 且 a≥0. 常考题型：多个非负数之和为 0，即若+∣b∣+c2=0，则=0、∣b∣=0、c2=0，联立求解a、b、c的值. 3. 二次根式有意义的条件★★★★★ 求含二次根式的代数式中字母的取值范围，需分情况列不等式： · 单一根式：仅需满足被开方数≥0； · 根式+分母：需同时满足被开方数≥0 且分母≠0； · 多层根式：需满足所有内层被开方数均≥0（如，需先满足−1≥0 且a≥0）. 4. 最简二次根式★★★★ 同时满足以下两个条件的二次根式： 1 被开方数不含分母（分母无根号，被开方数无分数）； ② 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（即因数分解后无平方项，因式分解后无平方因式）. 5. 同类二次根式★★★ 几个二次根式先化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式为同类二次根式. 核心作用：是二次根式加减运算的唯一依据——只有同类二次根式才能合并. 核心性质与运算规则 1. 二次根式的两大核心性质 性质 1：()2=a (a≥0) · 适用条件：a必须是非负数； · 运算结果：直接去根号，结果等于a； · 易错点：忽略 a≥0 的前提. 性质2：=∣a∣ · 适用条件：a为任意实数； · 运算关键：先开方得绝对值，再根据a的正负性去绝对值符号； · 易错点：直接写成=a，忽略绝对值的分类讨论。 2. 二次根式的运算规则 （1）乘法运算 ★★★★★ 法则：⋅=(a≥0,b≥0) · 运算步骤：先按法则相乘，再将结果化为最简二次根式； · 拓展：⋅⋅= (a≥0,b≥0,c≥0)。 （2）除法运算 ★★★★★ 法则： (a≥0,b>0) · 运算步骤：先按法则相除，再化简； · 核心应用：分母有理化（将分母中的根号去掉）. （3）加减运算 ★★★★★ 步骤：① 先将每个二次根式化为最简二次根式； ② 合并同类二次根式（仅合并系数，被开方数不变）； · 易错点：非同类二次根式强行合并. （4）混合运算 ★★★★★ 遵循实数混合运算顺序：先算乘方（含开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的运算； · 常用技巧：结合乘法公式（平方差、完全平方）简化计算. 3. 分母有理化 ★★★★ 把分母中的根号化去的过程，核心方法： · 单根式分母：(a>0)（分子分母同乘）； · 和差型分母：,. 二次根式的判断 【例1】（25-26八年级下·安徽六安·期中）下列式子中一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次根式需要满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，两个条件同时满足才一定是二次根式． 【详解】解：选项A的根指数为3，是三次根式，不满足二次根式定义，∴A不符合要求； 选项B中，被开方数，式子无意义，∴B不符合要求； 选项C中，根指数为2，被开方数，满足二次根式的定义，一定是二次根式，∴C符合要求； 选项D中，当时，无意义，不是二次根式，因此不一定是二次根式，∴D不符合要求． 【变式1-1】（2026八年级下·江苏·专题练习）下列是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义判断各选项的被开方数是否恒为非负数即可解答． 【详解】解：选项A中被开方数，即不是二次根式； 选项B中a的符号不确定，当时被开方数为负数，即不一定是二次根式； 选项C中，即，被开方数恒为非负数，符合二次根式定义，故 选项C是二次根式； 选项D中，当时，，被开方数为负数，故不一定是二次根式． 【变式1-2】（25-26八年级下·江苏·单元测试）下列是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解： A、被开方数，∴不是二次根式，故该选项不符合题意； B、的符号不确定，当时，被开方数为负数，∴不是二次根式，故该选项不符合题意； C、对任意实数，都有，∴ ，被开方数恒为非负数，∴ 是二次根式，故该选项符合题意； D、当时，，被开方数为负数，∴不是二次根式，故该选项不符合题意； 【变式1-3】（25-26八年级下·全国·单元测试）下列式子中：，，，，，二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，需要同时满足根指数为2、被开方数非负两个条件，逐个判断统计个数即可． 【详解】解：∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； ∵的被开方数，不满足条件，∴不是二次根式； ∵的根指数为3，不满足条件，∴不是二次根式； ∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； ∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； 综上，符合条件的二次根式共3个． 二次根式有意义的条件 【例2】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）要使二次根式有意义，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：二次根式有意义， ， ， 的值可以是， 故选：D． 【变式2-1】（2026·江苏徐州·一模）若函数的表达式在实数范围内有意义，则自变量的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负即可求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得， ∴自变量的取值范围是． 【变式2-2】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， ∴． 【变式2-3】（2026·江苏徐州·一模）代数式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题代数式同时包含二次根式和分式，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式求解即可． 【详解】解：由于代数式有意义， 则 解不等式①得：， 解不等式②得：， 结合两个不等式的解，可得的取值范围是． 二次根式的非负性 【例3】（2026·江苏南通·模拟预测）若x，y为有理数，且，则的值为 （     ） A．0 B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．先根据被开方数非负求出x的值，再代入求出y的值，最后计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴，解得， 将代入中得：． ∴． 故选:C． 【变式3-1】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）已知，则y的平方根为______． 【答案】 【分析】根据被开方数大于等于0列不等式，得出m的值，再根据题目中y与m的关系式计算出y，代入代数式求值，再根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：， ，，， 解得， ， 的平方根为． 【变式3-2】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）已知，则的平方根是______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，则有，然后根据平方根可进行求解． 【详解】解：由可知：， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵25的平方根是， ∴的平方根是． 【变式3-3】（25-26八年级下·浙江金华·期中）若，则的值是______． 【答案】5 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得， ∴， ∴． 二次根式的乘法或除法 【例4】（2025·江苏淮安·中考真题）计算：______． 【答案】2 【详解】解：． 【变式4-1】（25-26八年级下·江苏盐城·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式4-2】（25-26八年级下·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 【变式4-3】（25-26八年级下·山东潍坊·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用二次根式乘法法则，将被开方数相乘，再化简结果为最简二次根式． （2）类比单项式乘单项式法则，系数相乘、被开方数相乘，再化简结果． （3）运用二次根式除法法则，被开方数相除，再进行分母有理化化简． （4）遵循二次根式乘除混合运算顺序，从左至右计算，被开方数依次乘除后化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 二次根式的乘除混合运算 【例5】（24-25八年级下·江苏徐州·阶段检测）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-1】（25-26八年级下·江苏·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化为最简二次根式，再运算乘除法，即可作答． （2）先化为最简二次根式，再运算乘除法，即可作答． （3）先把带分数化为假分数，把除法化为乘法，最后运算乘法，即可作答． （4）先把除法化为乘法，化为最简二次根式，最后运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 【变式5-2】（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)15 (3)1 (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算： （1）先化简二次根式，再根据二次根式的乘除计算法则求解即可； （2）先化简二次根式，再根据二次根式的乘除计算法则求解即可； （3）先将被开方数中带分数化为假分数，再根据二次根式的乘除法计算法则求解即可； （4）根据二次根式的乘除计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 最简二次根式的判断 【例6】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）下列二次根式，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个化简判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数含分母，故不是最简二次根式，不符合题意； C、的被开方数是正整数，且不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，故是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数含分母，故不是最简二次根式，不符合题意． 【变式6-1】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）下列根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：，被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数，满足条件，是最简二次根式； 选项B：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 选项C：，被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项D：，被开方数含分母，不是最简二次根式． 【变式6-2】（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段检测）二次根式，，，，中是最简二次根式的是______． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：，，，， 二次根式，，，，中是最简二次根式的是． 【变式6-3】（2026九年级下·江苏泰州·专题练习）在 ，，，，，中，最简二次根式的个数是_______． 【答案】 【分析】最简二次根式需要满足两个条件：1. 被开方数不含分母；2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此逐个判断． 【详解】解：，被开方数是整式，且不含能开得尽方的因式，是最简二次根式， ，被开方数是整式，且不含能开得尽方的因式，是最简二次根式， =，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式， =，不属于二次根式，因此不是最简二次根式， =，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式， ，被开方数含有分母，不是最简二次根式， 综上，最简二次根式共有个． 同类二次根式 【例7】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式． 【详解】解：A、，最简后被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； B、是最简二次根式，被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； C、，是整数，与不是同类二次根式； D、是最简二次根式，被开方数为，与被开方数相同，是同类二次根式． 【变式7-1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（   ） A．1 B．3 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义，即化为最简后被开方数相同的二次根式是同类二次根式，列方程求解即可． 【详解】解：∵，且与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 【变式7-2】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是______． 【答案】 【分析】由两个最简二次根式是同类二次根式，则被开方数相等，由此可得关于的方程，解方程即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解得：， ∴的值是． 【变式7-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）是最简二次根式，且与是同类二次根式，则为（    ） A．1 B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，掌握二次根式的化简及计算是解题的关键． 由同类二次根式的定义，需化简后被开方数相同，由此可得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：∵，且与是同类二次根式， ∴ 化简后被开方数也为， 又∵是最简二次根式， ∴， 解得：. 故选：A． 二次根式的混合运算 【例8】（2026·江苏泰州·模拟预测）计算：_________． 【答案】 【分析】先将原式中每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 【变式8-1】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可得出结果； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式8-2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则求解即可； （2）先化简括号内的二次根式，再计算括号内的减法，接着计算乘除法，最后计算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 二次根式的应用 【例9】（25-26八年级上·江苏苏州·期末）已知一个长方形的长，宽． (1)求这个长方形的周长； (2)若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试求这个正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式应用，正确运用二次根式的运算法则进行化简计算是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式即可求出周长； （2）根据长方形的面积公式即可求出面积，从而求出正方形的边长． 【详解】（1）解：这个长方形的周长； （2）解：这个长方形的面积， 根据面积相等，则正方形的边长． 【变式9-1】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 【答案】(1)该长方形的文化长廊区域的周长为米 (2)购买装饰画大约需要花费元 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，理解题意是解决本题的关键． （1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积求出装饰画面积，乘以单价即为所求． 【详解】（1）解：由题得， （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米； （2）解：由题意得，其余区域的面积为 平方米， ∴总花费为元， 答：购买装饰画大约需要花费元． 【变式9-2】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为的高处自由落下，落到地面的时间为，经过实验，发现．（不考虑阻力的影响） (1)直接写出物体从的高空落到地面的时间______s； (2)已知从高空坠落的物体所带能量E（单位：J）物体质量（）高度（m）．一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙落下对人体是否能造成伤害？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1) (2)能造成伤害 【分析】（1）将代入公式即可得； （2）先将代入公式，求得此时的高度，然后根据公式求得钥匙落在地上的能量，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意； （2）解：当时，，解得， ∴， ∵， ∴能造成伤害． 易错1 取值范围遗漏 避坑技巧：列不等式时，逐一标注所有限制条件：被开方数≥0、分母≠0、多层根式逐层排查。 易错2 性质混淆 避坑技巧：牢记：()2 需a≥0，结果为a；对任意a成立，结果为-a。 易错3 化简不彻底 避坑技巧：化简时先分解质因数/因式，提取平方项；含分母的先通分再分母有理化。 易错4 合并错误 避坑技巧：先化简，判定是否为同类二次根式；合并仅合并系数，被开方数不变。 易错5 运算符号错误 避坑技巧：运算前先确认字母取值范围（保证根式有意义）；严格遵循运算顺序；熟记平方差、完全平方公式。 易错6 分母有理化漏乘 避坑技巧：分母是什么形式，分子就同步乘什么有理化因式；和差型用平方差公式找有理化因式。 利用二次根式的性质化简 【例10】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）化简：__________． 【答案】/ 【详解】解：． 【变式10-1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴得到，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴知：， ∴ ． 【变式10-2】（25-26八年级下·云南昭通·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据进行化简，由，在数轴上的位置，，先判断，的符号，然后求解即可． 【详解】解： 由图可知，， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以． 求二次根式中的参数 【例11】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先分解被开方数的质因数，再根据二次根式为整数的要求，即可求出正整数n的最小值； 【详解】解：∵， ∴， ∴， 要使为整数，则需为完全平方数， ∵，两个质因数的指数都为1，要使为完全平方数，其所有质因数的指数都必须是偶数， ∴正整数n的最小值为． 【变式11-1】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）已知是整数，则自然数的所有可能的值为_____． 【答案】 ，，，， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．由为整数，设（ 为非负整数），则，且 ，求出所有可能的值，再计算对应的值． 【详解】解：设 （ 为整数，且 ），则 ， ． 是自然数， ， 即，解得 ． 是非负整数， 可能取值为 ，，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 故自然数的所有可能值为 ，，，，． 故答案为：，，，，． 【变式11-2】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是_______． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的化简，化简二次根式后判断是个平方数是求解本题的关键．得出是一个平方数，进而求解即可． 【详解】解：∵是一个整数， ∴是一个平方数， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 已知字母的值，化简求值 【例12】（25-26八年级下·广东汕头·阶段检测）已知，，则的值（   ） A．4 B．8 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求出，再利用完全平方公式对所求代数式因式分解，代入的值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 【变式12-1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）已知，，均为实数，求的值． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求得，，代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：∵，，均为实数 ∴ 解得：， ∴      ． 【变式12-2】（25-26八年级下·广东广州·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）先求得和的值，根据平方差公式计算即可； （2）根据完全平方公式将原式转化为，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ． 比较二次根式的大小 【例13】（25-26八年级下·全国·课后作业）比较大小：与，正确的是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】两个数都是正数，可通过比较平方的大小判断原数大小，正数的平方越大，原数越大． 【详解】解： ， ，，， ∵， ∴． 【变式13-1】（25-26八年级下·江苏淮安·期中）阅读：像，（），（），两个含有二次根式的代数式相乘，如果积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：像与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简： ① ； ② (2)计算： ； (3)已知，，试比较的大小，并说明理由 【答案】(1)①；② (2)2025 (3)，见解析 【分析】（1）①将分子分母同乘以化简即可；②将分子分母同乘以化简即可； （2）利用二次根式分母有理化的计算法则将括号内化简，再算乘法； （3）通过比较，的倒数，然后进行，的大小比较． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解： ； （3）解：，理由如下： ， 同理：， ∵， ∴， ∵， ∴． 1. 取值范围求解技巧 步骤拆解：① 找根式（含被开方数）→被开方数≥0；② 找分母→分母≠；③ 联立不等式组，求解得字母范围. 2. 二次根式化简技巧 · 整数被开方数：分解质因数，将平方因数开方到根号外； · 分数被开方数：先通分，再分母有理化； · 多项式被开方数：先因式分解，再判断是否有平方因式. 3. 非负性解题技巧 遇到+∣b∣+c2=0 形式的等式，直接利用 “非负数之和为0，则每个非负数都为0”，列方程=0、∣b∣=0、c2=0，联立求解即可。 4. 估值技巧（比较大小、求整数部分） 比较二次根式大小：① 平方法（a>0,b>0，若a2>b2则a>b； 2 作差法/作商法； 求整数部分：找被开方数相邻的两个完全平方数. 5. 混合运算简便技巧 · 利用乘法公式：完全平方公式 (±)2=a+b±2，平方差公式 (+)(−)=a−b，可大幅简化计算； · 运算顺序：先观察式子结构，能简便运算的（如用公式）优先简便运算，再按常规顺序计算. 分母有理化 【例14】（25-26八年级下·全国·课后作业）将分母有理化的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 对进行分母有理化，需给分子分母同乘， ． 【变式14-1】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）分母有理化：________． 【答案】 【分析】找出原式分母的有理化因式，将分子与分母同乘该有理化因式，再利用平方差公式化简分母，整理后得到结果． 【详解】解： ． 【变式14-2】（25-26八年级下·湖南湘西·阶段检测）已知，，则与的关系为________． 【答案】 【分析】将进行化简得，可判断． 【详解】解：， 又， ∴． 【变式14-3】（2026·河南洛阳·一模）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方差公式将分母有理化，化简后即可得到结果． 【详解】解：原式． 复合二次根式 【例15】（25-26八年级下·广东江门·期中）阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：，，等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：．请利用上述运算法则化简：_____． 【答案】 【分析】将被开方数变形凑成完全平方公式的形式，再利用二次根式的性质化简即可. 【详解】解： . 【变式15-1】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如 请用上述方法探索并解决下列问题：__________． 【答案】/ 【分析】本题考查利用完全平方公式化简复合二次根式，熟练掌握二次根式的性质与完全平方公式的结构是解题关键，将被开方数拆分为两个正数的和，构造完全平方式即可化简． 【详解】解： 【变式15-2】（23-24八年级下·江苏南通·月考）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中，a，b，m，n均为整数），则有，b＝2mn，这样小明就找到一种把类似的式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝ ，b＝ ． (2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值．． (3)化简：. 【答案】(1)； (2)a=16或64 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用，读懂材料明确题意是解题关键． （1）仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出、； （2）在（1）的基础上，求出，，根据，，，均为整数，分两种情况求出，； （3）在前面两问的基础上探究结果． 【详解】（1）解：， ，，，均为整数）， ，， 故答案为：，； （2）， ，，，均为整数）， ，， ， ①，，， ②，，， 综上所述：或16； （3）， ， ． 已知条件式，化简求值 【例16】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过已知条件求出的值，再计算，最后根据二次根式的性质开方得到结果. 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴. 【变式16-1】（25-26八年级下·贵州黔东南·月考）若，，则代数式的值等于____． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式法则将所求代数式展开，再整体代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 即代数式的值等于． 【变式16-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则_________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式对所求代数式变形，得到，结合已知条件求出平方后的结果，最后开方取正根即可得到答案． 【详解】解： 将代入得： ， ∵， ∴． 【变式16-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则的值为_________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式进行变形，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，代入得， ． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次根式 核心概念与基础定义 1. 二次根式的核心定义 形如 (a≥0) 的式子叫做二次根式，其中a为被开方数，为二次根号. 核心要点：①形式上必须含二次根号； ②被开方数a必须是非负数（a≥0），这是式子有意义的唯一前提. 2. 二次根式的双重非负性★★★★★ 二次根式同时满足两个非负条件：≥0 且 a≥0. 常考题型：多个非负数之和为0，即若+∣b∣+c2=0，则=0、∣b∣=0、c2=0，联立求解a、b、c的值. 3. 二次根式有意义的条件★★★★★ 求含二次根式的代数式中字母的取值范围，需分情况列不等式： · 单一根式：仅需满足被开方数≥0； · 根式+分母：需同时满足被开方数≥0 且分母≠0； · 多层根式：需满足所有内层被开方数均≥0（如，需先满足−1≥0且a≥0）. 4. 最简二次根式★★★★ 同时满足以下两个条件的二次根式： 1 被开方数不含分母（分母无根号，被开方数无分数）； ② 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（即因数分解后无平方项，因式分解后无平方因式）. 5. 同类二次根式★★★ 几个二次根式先化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式为同类二次根式. 核心作用：是二次根式加减运算的唯一依据——只有同类二次根式才能合并. 核心性质与运算规则 1. 二次根式的两大核心性质 性质 1：()2=a (a≥0) · 适用条件：a必须是非负数； · 运算结果：直接去根号，结果等于a； · 易错点：忽略 a≥0 的前提. 性质2：=∣a∣ · 适用条件：a为任意实数； · 运算关键：先开方得绝对值，再根据a的正负性去绝对值符号； · 易错点：直接写成=a，忽略绝对值的分类讨论。 2. 二次根式的运算规则 （1）乘法运算 ★★★★★ 法则：⋅=(a≥0,b≥0) · 运算步骤：先按法则相乘，再将结果化为最简二次根式； · 拓展：⋅⋅= (a≥0,b≥0,c≥0)。 （2）除法运算 ★★★★★ 法则： (a≥0,b>0) · 运算步骤：先按法则相除，再化简； · 核心应用：分母有理化（将分母中的根号去掉）. （3）加减运算 ★★★★★ 步骤：① 先将每个二次根式化为最简二次根式； ② 合并同类二次根式（仅合并系数，被开方数不变）； · 易错点：非同类二次根式强行合并. （4）混合运算 ★★★★★ 遵循实数混合运算顺序：先算乘方（含开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的运算； · 常用技巧：结合乘法公式（平方差、完全平方）简化计算. 3. 分母有理化 ★★★★ 把分母中的根号化去的过程，核心方法： · 单根式分母：(a>0)（分子分母同乘）； · 和差型分母：,. 二次根式的判断 【例1】（25-26八年级下·安徽六安·期中）下列式子中一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026八年级下·江苏·专题练习）下列是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级下·江苏·单元测试）下列是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级下·全国·单元测试）下列式子中：，，，，，二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二次根式有意义的条件 【例2】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）要使二次根式有意义，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·江苏徐州·一模）若函数的表达式在实数范围内有意义，则自变量的取值范围是_______． 【变式2-2】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是__________． 【变式2-3】（2026·江苏徐州·一模）代数式有意义，则x的取值范围是______． 二次根式的非负性 【例3】（2026·江苏南通·模拟预测）若x，y为有理数，且，则的值为 （     ） A．0 B． C．2 D．不能确定 【变式3-1】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）已知，则y的平方根为______． 【变式3-2】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）已知，则的平方根是______． 【变式3-3】（25-26八年级下·浙江金华·期中）若，则的值是______． 二次根式的乘法或除法 【例4】（2025·江苏淮安·中考真题）计算：______． 【变式4-1】（25-26八年级下·江苏盐城·月考）计算： (1)； (2)． 【变式4-2】（25-26八年级下·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)． 【变式4-3】（25-26八年级下·山东潍坊·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 二次根式的乘除混合运算 【例5】（24-25八年级下·江苏徐州·阶段检测）计算： (1)． (2) 【变式5-1】（25-26八年级下·江苏·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【变式5-2】（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 最简二次根式的判断 【例6】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）下列二次根式，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）下列根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段检测）二次根式，，，，中是最简二次根式的是______． 【变式6-3】（2026九年级下·江苏泰州·专题练习）在 ，，，，，中，最简二次根式的个数是_______． 同类二次根式 【例7】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（   ） A．1 B．3 C．6 D．7 【变式7-2】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是______． 【变式7-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）是最简二次根式，且与是同类二次根式，则为（    ） A．1 B． C． D．5 二次根式的混合运算 【例8】（2026·江苏泰州·模拟预测）计算：_________． 【变式8-1】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）计算： (1)； (2)． 【变式8-2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 二次根式的应用 【例9】（25-26八年级上·江苏苏州·期末）已知一个长方形的长，宽． (1)求这个长方形的周长； (2)若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试求这个正方形的边长． 【变式9-1】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 【变式9-2】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为的高处自由落下，落到地面的时间为，经过实验，发现．（不考虑阻力的影响） (1)直接写出物体从的高空落到地面的时间______s； (2)已知从高空坠落的物体所带能量E（单位：J）物体质量（）高度（m）．一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙落下对人体是否能造成伤害？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 易错1 取值范围遗漏 避坑技巧：列不等式时，逐一标注所有限制条件：被开方数≥0、分母≠0、多层根式逐层排查。 易错2 性质混淆 避坑技巧：牢记：()2 需a≥0，结果为a；对任意a成立，结果为-a。 易错3 化简不彻底 避坑技巧：化简时先分解质因数/因式，提取平方项；含分母的先通分再分母有理化。 易错4 合并错误 避坑技巧：先化简，判定是否为同类二次根式；合并仅合并系数，被开方数不变。 易错5 运算符号错误 避坑技巧：运算前先确认字母取值范围（保证根式有意义）；严格遵循运算顺序；熟记平方差、完全平方公式。 易错6 分母有理化漏乘 避坑技巧：分母是什么形式，分子就同步乘什么有理化因式；和差型用平方差公式找有理化因式。 利用二次根式的性质化简 【例10】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）化简：__________． 【变式10-1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26八年级下·云南昭通·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 求二次根式中的参数 【例11】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式11-1】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）已知是整数，则自然数的所有可能的值为_____． 【变式11-2】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是_______． 已知字母的值，化简求值 【例12】（25-26八年级下·广东汕头·阶段检测）已知，，则的值（   ） A．4 B．8 C．6 D． 【变式12-1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）已知，，均为实数，求的值． 【变式12-2】（25-26八年级下·广东广州·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 比较二次根式的大小 【例13】（25-26八年级下·全国·课后作业）比较大小：与，正确的是（   ） A． B． C． D．不确定 【变式13-1】（25-26八年级下·江苏淮安·期中）阅读：像，（），（），两个含有二次根式的代数式相乘，如果积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：像与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简： ① ； ② (2)计算： ； (3)已知，，试比较的大小，并说明理由 1. 取值范围求解技巧 步骤拆解：① 找根式（含被开方数）→被开方数≥0；② 找分母→分母≠；③ 联立不等式组，求解得字母范围. 2. 二次根式化简技巧 · 整数被开方数：分解质因数，将平方因数开方到根号外； · 分数被开方数：先通分，再分母有理化； · 多项式被开方数：先因式分解，再判断是否有平方因式. 3. 非负性解题技巧 遇到+∣b∣+c2=0 形式的等式，直接利用 “非负数之和为0，则每个非负数都为0”，列方程=0、∣b∣=0、c2=0，联立求解即可。 4. 估值技巧（比较大小、求整数部分） 比较二次根式大小：① 平方法（a>0,b>0，若a2>b2则a>b； 2 作差法/作商法； 求整数部分：找被开方数相邻的两个完全平方数. 5. 混合运算简便技巧 · 利用乘法公式：完全平方公式 (±)2=a+b±2，平方差公式 (+)(−)=a−b，可大幅简化计算； · 运算顺序：先观察式子结构，能简便运算的（如用公式）优先简便运算，再按常规顺序计算. 分母有理化 【例14】（25-26八年级下·全国·课后作业）将分母有理化的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）分母有理化：________． 【变式14-2】（25-26八年级下·湖南湘西·阶段检测）已知，，则与的关系为________． 【变式14-3】（2026·河南洛阳·一模）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 复合二次根式 【例15】（25-26八年级下·广东江门·期中）阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：，，等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：．请利用上述运算法则化简：_____． 【变式15-1】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如 请用上述方法探索并解决下列问题：__________． 【变式15-2】（23-24八年级下·江苏南通·月考）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中，a，b，m，n均为整数），则有，b＝2mn，这样小明就找到一种把类似的式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝ ，b＝ ． (2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值．． (3)化简：. 已知条件式，化简求值 【例16】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【变式16-1】（25-26八年级下·贵州黔东南·月考）若，，则代数式的值等于____． 【变式16-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则_________． 【变式16-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则的值为_________． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $