精品解析：山西省太原市外国语学校2025～2026学年度第二学期期中质量检测七年级数学试卷

七年级数学（北师版） 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则即可直接计算得到结果． 【详解】解：，因此计算结果为． 2. 下列图形中，和是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．根据此定义进行判断即可. 【详解】解：A、和是对顶角，故本选项符合题意； B、和不是对顶角，故本选项不符合题意； C、和不是对顶角，故本选项不符合题意； D、和不是对顶角，故本选项不符合题意. 3. 下列各个不透明的袋子中，分别装有不同数量的白色乒乓球和黄色乒乓球，每个乒乓球除颜色外完全相同．若从中任意摸出一个球，则摸到黄色乒乓球的可能性最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求解四个选项中从中任意摸出一个球，摸到黄色乒乓球的概率，再比较大小即可. 【详解】解：A选项：从中任意摸出一个球，则摸到黄色乒乓球的可能性为； B选项：从中任意摸出一个球，则摸到黄色乒乓球的可能性为； C选项：从中任意摸出一个球，则摸到黄色乒乓球的可能性为； D选项：从中任意摸出一个球，则摸到黄色乒乓球的可能性为. ∴D选项符合题意. 4. 如图，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质，以及对顶角相等得出，结合已知即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 5. 观察如图所示的图形，从图1到图2可用式子表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察可知图1可以拼成图2，即图1和图2面积相等． 【详解】解：图1的面积等于一个长方形的面积，为， 图2的面积等于一个大正方形的面积减去一个小正方形的面积，为， 由题意可得，． 6. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 经过有红绿灯的路口，碰到绿灯 B. 在班级里任选13名同学，至少有两名同学的生日在同一个月 C. 将铁块放入水中，铁块沉到水底 D. 早晨太阳从西边升起 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，需根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义判断选项，随机事件指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：选项A，经过有红绿灯的路口，可能碰到绿灯，也可能碰到其他灯，该事件可能发生也可能不发生，∴A是随机事件； 选项B，一年共12个月，任选13名同学，至少有两名同学的生日在同一个月是一定发生的，∴B是必然事件； 选项C，铁块密度大于水，将铁块放入水中，铁块沉底是一定发生的，∴C是必然事件； 选项D，早晨太阳从西边升起是一定不发生的，∴D是不可能事件． 7. 如图，下列条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A. ，不能判定两直线平行，故该选项不正确，不符合题意； B. ∵， ∴，故该选项正确，符合题意； C. ∵， ∴，不能判定，故该选项不正确，不符合题意； D. 由，不能判定两直线平行，故该选项不正确，不符合题意； 8. 如图，为了充分利用水资源，促进农业的发展，某村计划从三条线路中选择沿挖一条水渠，将河水引到农田，以便农田灌溉，这样做的数学依据是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂线段最短，即可求解． 【详解】解：选择沿挖一条水渠，将河水引到农田，以便农田灌溉，这样做的数学依据是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 9. 某农科院在相同的条件下做小麦种子发芽实验，得到如下统计表： 种子粒数 100 200 300 500 800 1000 2000 种子发芽的粒数 86 178 273 452 716 905 1804 种子发芽的频率 0.860 0.890 0.910 0.904 0.895 0.905 0.902 根据表格中的数据，估计这批种子发芽的概率为（ ） A. 0.86 B. 0.89 C. 0.90 D. 0.91 【答案】C 【解析】 【分析】当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，观察表格中频率随试验次数增大的稳定值，即可得到概率的估计值． 【详解】解：∵大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数可作为事件发生概率的估计值， 观察表格数据可知，随着种子粒数逐渐增大，种子发芽的频率逐渐稳定在附近， ∴估计这批种子发芽的概率为． 10. 如图，在光的反射活动课中，小李同学将一面平面镜放置在水平地面上，调节其支架的高度，使平面镜与地面形成的为．用激光笔从点处射出一道光束，经平面镜的点处反射，照射到天花板上的点处（根据光的反射定律可知）．已知光束与天花板形成的为，则反射光束与天花板形成的的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过作，证明，进一步得到，从而可得答案. 【详解】解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，根据积的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 12. 一艘轮船在海面上航行，其从点沿北偏西方向航行到点，又从点沿南偏西方向航行到点，则的度数为____． 【答案】或100度 【解析】 【分析】本题根据方向角定义画出示意图，利用平行线的性质得到对应角相等，即可求出的度数． 【详解】解：如图，由方向角的定义可知，，， ， ， ． 13. 在纳米级别的电子器件中，二氧化硅是应用最广泛、技术最成熟的绝缘材料，其厚度可低至．将数据用科学记数法表示为____． 【答案】 【解析】 【详解】解： . 14. 小李同学将他拍摄的悬空寺、应县木塔、晋祠、壶口瀑布的景点照片制成了卡片，这些卡片除图案外完全相同，共有张．将这些卡片放在不透明的袋子中，随机抽取一张记录景点后放回摇匀，多次抽取后发现抽到关于晋祠的卡片的频率稳定在左右，则估计关于晋祠的卡片有____张． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵发现抽到关于晋祠的卡片的频率稳定在左右， ∴抽到关于晋祠的卡片的概率为， ∴估计关于晋祠的卡片的数量为（张）． 15. 如图，，，延长交的平分线于点．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作，记的交点为，过作，过作，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过作，记的交点为，过作，过作， ∵， ∴， 而， ∴，，，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）． （2）． （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先计算积的乘方，再按照单项式乘以单项式和单项式除以单项式的运算法则从左往右进行计算即可； （2）将原式适当分组，构造平方差公式的结构，再利用平方差公式，完全平方公式计算即可； （3）利用同底数幂的乘法的逆运算，积的乘方的逆运算进行简便运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 17. 如图．直线与相交于点，，，．试判断与是否垂直，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】根据对顶角相等可得，根据已知可得，得出，进而求得，根据，即可得出结论． 【详解】解：．理由如下： 因为， 所以． 因为， ， 所以 ． 所以． 因为，所以 ． 所以 ． 所以． 18. 先化简，再求值． （1），其中． （2），其中． 【答案】（1）化简为，值为 （2）化简为，值为 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 当时，原式． 【小问2详解】 解：原式 ． 当时，原式． 19. 如图，，点为上的点，． （1）尺规作图：过点作交于点（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】（1）画图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用尺规作图作出，即可作出； （2）利用平行线的性质求得，得到，再利用平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所作． ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 20. 某超市为感恩客户的支持与信赖，特推出了“感恩回馈季，幸运抽好礼”的抽奖活动，抽奖活动分为转转盘和翻奖牌两种方式，规则分别如下： 转转盘：如图1是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分为8个区域，每个区域上分别写有“10元”“20元”或“感谢参与”的字样．转动转盘，当转盘停止转动后，顾客可获得指针所指区域相应金额的代金券（若指针指向分界线，则重新转动）． 翻奖牌：如图2是9张背面完全相同的卡片，正面上分别写有“10元”“20元”“30元”或“感谢参与”的字样．将这9张卡片背面朝上洗匀后，顾客可从中随机抽取一张，并获得这张卡片正面相应金额的代金券． 顾客消费超过100元，可凭借购物小票在转转盘和翻奖牌两种方式中任选一种参与． 说明：两种方式中，“感谢参与”均无法获得代金券． （1）求转转盘方式中，顾客获得10元代金券的概率． （2）求翻奖牌方式中，顾客获得代金券的概率． （3）若你参与抽奖活动，你选择哪种方式？并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）选择转转盘方式或翻奖牌方式，理由见解析 【解析】 【分析】（）本题考查古典概型，解题核心是数出转盘中 “10 元” 区域的数量，结合总区域数，用概率公式计算； （）本题考查古典概型，解题核心是数出翻奖牌中能获得代金券的卡片数量，结合总卡片数，用概率公式计算； （）本题考查概率的实际应用与决策，解题核心是分别计算两种方式的期望代金券金额，通过比较大小选择更有利的方式． 【小问1详解】 解：转转盘方式中，所有等可能的结果有8种，其中顾客获得10元代金券的结果有4种，所以（顾客获得10元代金券）； 【小问2详解】 解：翻奖牌方式中，所有等可能的结果有9种，其中顾客获得代金券的结果有6种，所以（顾客获得代金券）； 【小问3详解】 解：答案不唯一．例如： 选择转转盘方式：因为转转盘方式获得代金券的概率为，大于翻奖牌方式获得代金券的概率． 选择翻奖牌方式：因为翻奖牌方式有的概率获得30元的代金券． 21. 阅读与思考 请认真阅读下面的材料，并完成相应的任务． 利用平行线的性质进行等角转化 通过对平行线的学习，我们发现利用平行线的性质可以进行等角转化，从而帮助我们探究角之间的数量关系． 例题：如图1，，点为直线与之间的一点，探究，之间的数量关系． 解：如图2，过点作． 因为，所以（依据）． …… 任务： （1）材料中的“依据”指的是______． （2）请补全材料中例题的解答过程． （3）如图3，，点是直线与之间的点，探究之间的数量关系． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质作答即可； （2）根据平行线的判定与性质完成证明即可； （3）根据例题的解答过程，过点E作，过点F作，结合平行线的性质作答即可． 【小问1详解】 解：两直线平行，内错角相等 【小问2详解】 解：如图2，过点作． ， ． ，， ． ． ， ． 【小问3详解】 解：如图，过点作，过点作． ，． ． ，， ． ． ． ． ，， ，即． 22. 为响应儿童友好空间建设的号召，某市政公园规划出一片长为，宽为的长方形区域，用来打造儿童活动区域．如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区，其中、游戏娱乐区和文化体验区均为长方形，绿化休息区为边长为的正方形． （1）分别求出游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区这三个区域的面积（用含的式子表示）． （2）该公园计划对这片儿童活动区域的地面进行处理，为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米元；为绿化休息区铺设草坪，造价为每平方米元．求处理这片儿童活动区域的地面所需的费用（用含的式子表示）． 【答案】（1）游戏娱乐区的面积；文化体验区的面积；绿化休息区的面积 （2）元 【解析】 【分析】（1）根据题干中的图形列式计算即可； （2）结合（1）中所求结果列式计算即可． 【小问1详解】 解：游戏娱乐区的面积 ． 文化体验区的面积 ． 绿化休息区的面积． 【小问2详解】 解：处理这片儿童活动区域的地面所需的费用 元． 23. 综合与探究 【问题情境】：在数学活动课上，老师让同学们用一张直角三角形纸片进行探究活动，如图1，在三角形纸片中，，，．先将三角形纸片的边与直线重合放置，再将三角形纸片绕点逆时针旋转．为直线下方的一条射线，． 【特例分析】： （1）如图2，当点在上方，且时，求的度数． （2）如图3，当平分时，试判断是否平分，并说明理由． 【综合探究】： （3）当时，直接写出的度数． 【答案】（1） （2）平分，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）可先求出的度数，再通过和求出，先算出，再利用求解． （2）只需证明∠．根据平分，先求出和，再结合进行角度代换． （3）分两种情况，时，利用平行线的性质，可得到或，进而计算的度数． 【小问1详解】 解：已知，， ， ， ，， ； 【小问2详解】 解：已知平分，， ， ， ， ， ， ， 平分． 【小问3详解】 情况1：当，且在上方时： 由，得， ． 情况2：当点旋转到直线下方，时： 由，得， ， 综上，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学（北师版） 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，和是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各个不透明的袋子中，分别装有不同数量的白色乒乓球和黄色乒乓球，每个乒乓球除颜色外完全相同．若从中任意摸出一个球，则摸到黄色乒乓球的可能性最大的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 观察如图所示的图形，从图1到图2可用式子表示为（ ） A. B. C. D. 6. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 经过有红绿灯的路口，碰到绿灯 B. 在班级里任选13名同学，至少有两名同学的生日在同一个月 C. 将铁块放入水中，铁块沉到水底 D. 早晨太阳从西边升起 7. 如图，下列条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为了充分利用水资源，促进农业的发展，某村计划从三条线路中选择沿挖一条水渠，将河水引到农田，以便农田灌溉，这样做的数学依据是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 9. 某农科院在相同的条件下做小麦种子发芽实验，得到如下统计表： 种子粒数 100 200 300 500 800 1000 2000 种子发芽的粒数 86 178 273 452 716 905 1804 种子发芽的频率 0.860 0.890 0.910 0.904 0.895 0.905 0.902 根据表格中的数据，估计这批种子发芽的概率为（ ） A. 0.86 B. 0.89 C. 0.90 D. 0.91 10. 如图，在光的反射活动课中，小李同学将一面平面镜放置在水平地面上，调节其支架的高度，使平面镜与地面形成的为．用激光笔从点处射出一道光束，经平面镜的点处反射，照射到天花板上的点处（根据光的反射定律可知）．已知光束与天花板形成的为，则反射光束与天花板形成的的度数为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_______． 12. 一艘轮船在海面上航行，其从点沿北偏西方向航行到点，又从点沿南偏西方向航行到点，则的度数为____． 13. 在纳米级别的电子器件中，二氧化硅是应用最广泛、技术最成熟的绝缘材料，其厚度可低至．将数据用科学记数法表示为____． 14. 小李同学将他拍摄的悬空寺、应县木塔、晋祠、壶口瀑布的景点照片制成了卡片，这些卡片除图案外完全相同，共有张．将这些卡片放在不透明的袋子中，随机抽取一张记录景点后放回摇匀，多次抽取后发现抽到关于晋祠的卡片的频率稳定在左右，则估计关于晋祠的卡片有____张． 15. 如图，，，延长交的平分线于点．若，，则______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）． （2）． （3）． 17. 如图．直线与相交于点，，，．试判断与是否垂直，并说明理由． 18. 先化简，再求值． （1），其中． （2），其中． 19. 如图，，点为上的点，． （1）尺规作图：过点作交于点（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 20. 某超市为感恩客户的支持与信赖，特推出了“感恩回馈季，幸运抽好礼”的抽奖活动，抽奖活动分为转转盘和翻奖牌两种方式，规则分别如下： 转转盘：如图1是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分为8个区域，每个区域上分别写有“10元”“20元”或“感谢参与”的字样．转动转盘，当转盘停止转动后，顾客可获得指针所指区域相应金额的代金券（若指针指向分界线，则重新转动）． 翻奖牌：如图2是9张背面完全相同的卡片，正面上分别写有“10元”“20元”“30元”或“感谢参与”的字样．将这9张卡片背面朝上洗匀后，顾客可从中随机抽取一张，并获得这张卡片正面相应金额的代金券． 顾客消费超过100元，可凭借购物小票在转转盘和翻奖牌两种方式中任选一种参与． 说明：两种方式中，“感谢参与”均无法获得代金券． （1）求转转盘方式中，顾客获得10元代金券的概率． （2）求翻奖牌方式中，顾客获得代金券的概率． （3）若你参与抽奖活动，你选择哪种方式？并说明理由． 21. 阅读与思考 请认真阅读下面的材料，并完成相应的任务． 利用平行线的性质进行等角转化 通过对平行线的学习，我们发现利用平行线的性质可以进行等角转化，从而帮助我们探究角之间的数量关系． 例题：如图1，，点为直线与之间的一点，探究，之间的数量关系． 解：如图2，过点作． 因为，所以（依据）． …… 任务： （1）材料中的“依据”指的是______． （2）请补全材料中例题的解答过程． （3）如图3，，点是直线与之间的点，探究之间的数量关系． 22. 为响应儿童友好空间建设的号召，某市政公园规划出一片长为，宽为的长方形区域，用来打造儿童活动区域．如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区，其中、游戏娱乐区和文化体验区均为长方形，绿化休息区为边长为的正方形． （1）分别求出游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区这三个区域的面积（用含的式子表示）． （2）该公园计划对这片儿童活动区域的地面进行处理，为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米元；为绿化休息区铺设草坪，造价为每平方米元．求处理这片儿童活动区域的地面所需的费用（用含的式子表示）． 23. 综合与探究 【问题情境】：在数学活动课上，老师让同学们用一张直角三角形纸片进行探究活动，如图1，在三角形纸片中，，，．先将三角形纸片的边与直线重合放置，再将三角形纸片绕点逆时针旋转．为直线下方的一条射线，． 【特例分析】： （1）如图2，当点在上方，且 时，求的度数． （2）如图3，当平分时，试判断是否平分，并说明理由． 【综合探究】： （3）当时，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $