专题08 等腰三角形压轴题综合（押题预测20题）（期末真题汇编，上海专用）七年级数学下学期

**基本信息** 聚焦等腰三角形综合应用，汇编20道解答压轴题，涵盖新定义、几何变换、动态探究等，适配期末压轴题专项突破。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|20题|等腰三角形性质与判定、全等证明、旋转/翻折变换、新定义（如“等角分割线”）、动态几何|分层设计，基础证明（如第1题定义验证）到多问探究（如第5题含翻折与最值），融合新定义与动态问题，贴合中考压轴题命题趋势。|

命学科网 www zxxk.com 专题08等腰三角形压轴题综合 1.(1)证明：：AB=AC, .∠ABC=∠C, .BD=BC, .∠BDC=∠C, .∠ABC=∠BDC, :∠ABC=∠ABD+∠DBC,∠BDC=∠A+∠ABD, .LABD+LDBC=∠A+LABD, .∠A=∠DBC, .BD是ABC的等角分割线”； (2)67.5 (3)45°或180 2.(1)解：若BD=CE,则BE与CD不一定相等，如图： E B 当点E在AB上某个位置时，以B为圆心，CE为半径画弧与AC 时BE=CD,但BE≠CD2, 故若BD=CE,则BE与CD不一定相等； (2)解：若0D=0E,则B0与0C一定相等， 证明：假设0B≠0C,这里不妨设0B>0C, .Z0CB Z0BC .∠ABC=∠ACB, .ZABC-ZOBC ZACB-Z0CB .LEBF>∠DC0, 在OB上截取OF=OC,连接EF, 1/22 让教与学更高效 (押题预测20题) 产生两个交点，这两个交点即为点D,此 学科网 www.zxxk.com :OD=OE,∠E0F=∠D0C :△EOF≌△DOC(SAS) .∠EF0=∠DCO, .∠EBF>LEFO, 与∠EF0>∠EBF(三角形的一个外角大于任何一个与之不相邻的内角) 故假设不成立， .0B=0C; 若假设0B<OC时，同理与三角形的外角性质矛盾， .0B=0C; （③2340°或1400 11 7或216°或1620 7 3.(1)解：①在△OAC中，0A=0C,∠AC0=20°， :∠CA0=LAC0=20°， ∴.∠AOC=180°-（∠CA0+∠ACO)=140°， 又∠A0B=120°， .∴.∠BOC=360°-（∠AOC+∠AOB)=100°， :0A=0B,0A=0C, 0B=0C, 在△B0C中，0B=0C,∠B0C=100°， .∠0BC=∠0CB=(180°-∠B0C)=40°； ②ABC为等边三角形，理由如下： 如图1所示： 让教与学更高效 矛盾， 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :CO平分∠ACB, B 图1 ·设L0CA=∠0CB=a,则∠ACB=2, 在△OAC中，0A=0C, .∠0AC=∠OCA=a, 在△OBC中，OB=0C, .∠OBC=∠OCB=a, 在△0AB中，0A=0B,∠A0B=120°， ∠0BA=∠0AB=180°-∠A0B)=30°， 2 ∠CAB=∠0AB+∠0AC=30°+a,∠CBA=∠OBA+∠0BC=30°+a, 在ABC中，∠ACB+∠CAB+∠CBA=180°， 2a+30°+a+30°+a=180°， .a=30° .∠ACB=2a=60°，∠CAB=30°+a=60°，∠CBA=30°+a=60°， ∴△ABC为等边三角形； (2)L0CB的度数为20°或40°. 4.(1)证明：：∠ACB=90°，∠B=30°， ∠BAC=60°， :DE垂直平分AB, .EA=EB, ∠BAE=∠B=30°， ∠EAC=∠BAC-LBAE=30°， .∠BAE=∠EAC=30°， AE平分∠BAC: (2)①证明：如图，连接AG,DG, 3/22 学科网 www.zxxk G D E B 由(1)得∠BAC=60°，AC=AD, :∠AFG=60°，AF=FG, :△AFG是等边三角形， AF=AG,∠FAG=60°， ZBAC ZFAG :∠FAC=∠BAC-∠BAF, ∠GAD=∠GAF-∠BAF, :ZFAC=ZGAD :△FAC≌△GAD(SAS), .∠C=∠ADG=90°， ∠ADE+∠ADG=180°， E,D,G三点共线； ②EG=EB-EF或EG=EB+EF. 理由：分两种情况讨论： I如图所示，当点F在点E左侧时，EG=EB-EF, 延长GE到M,使得EM=EF,连接FM, :∠EDB=90°，∠B=30°， B M .∠DEB=90°-∠B=60°， .∠FEM=∠DEB=60°， :△EFM是等边三角形， .MF=EF,∠MFE=60°， ∠C=90°，∠CAE=30°， .∠AEC=90°-∠CAE=60°， com 让教与学更高效 学科网 www zxxk.com .LAFG=∠MFE=∠AEC, :∠AFE=∠AFG+∠GFB, ∠GFM=∠EFM+∠GFB, :ZAFE ZGFM :△AFE≌aGFM(ASA), :AE =GM :BE =GM 即EG=EB-EF; IⅡ如备用图2所示，当点F在点E右侧时，EG=EB+EF, G 同理可证EG=EB+EF. 综上所述，EF,EG与EB之间的数量关系为EG=EB-EF或EG 5.(1)3 (2)证明：延长BE到点M,使得BE=EM,连接AM, :点E为AD中点， :AE DE, AE=DE 在△AEM和△DEB中， ∠AEM=∠DEB, EM=EB ,△AEM≌△DEB(SAS), .AM=DB,∠M=∠EBD, AM∥BC, .∠MAC=∠ACB, AB=AC, 5/22 让教与学更高效 EB+EF. 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :ZABC ZACB, ∠MAC=∠ABC, AH=AD+DH=2AE+2EF=2(AE+EF=2AF, .CH=AC, .CF⊥AH,∠CAD=∠CHD, ∠DCF+LFDC=90°， LDCF+∠BHD=90°， .∠FDC=∠BHD, :LFDC=∠BDH, .∠BDH=∠BHD, :BH BD, .BH AM .CH=AC,AB=AC, :AB=CH, ∠BAM=∠BAD+∠DAC+∠CAM=∠BAD+∠CHD+∠ACB=∠BAD+∠CHD+∠ABC =∠BAD+∠ABC+∠CHD=∠ADC+∠CHD=∠BDH+∠CHD=∠BHD+∠CHD =∠CHB AB=HC 在△ABM和△HCB中 ∠BAM=∠CHB. AM=HB △ABM≌△HICB(SAS), :BM=CB, BM =2BE, :BC=2BE 图2 1 (316m 6.(1)证明：AE⊥BD,CF⊥BD, ∴∠AEB=∠BFC=90°， 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠ABC=90°， .∠ABE+∠CBF=∠BCF+∠CBF=90°， ∠ABE=LBCF, 又AB=BC, .AABE≌ABCF(AAS (2)3; (3)证明：延长BE至G,使EG=BE,连接DG,BF,GF,如图： A CE DE,ZBEC=ZGED,BE GE, G C ∴△BEC≌△GED(SAS, :BC =DG=AB,CBE =ZDGC, EF⊥BE,BE=GE, :FB=FG 又AF=DF,AB=DG, △ABF≌△DGF(SSS), .LAFB=LDFG,∠ABF=∠DGF, ∴.∠AFD=∠AFB+∠BFD=∠DFG+∠BFD=∠BFG, ZABF+ZCBE ZDGF+DGE=ZBGF, BF=GF, ∴.∠GBF=∠BGF, LABF+LCBE=∠GBF, ∠ABC=90°， .GBF=∠BGF=45°， ∠BFG=90°， LAFD=∠BFG=90°. 7/22 6学科网 7.(1)20° (2)证明：如图，过点E作EH⊥ B .∠EHC=∠EHB=90°， :△ECD是等腰直角三角形， .CD=EC,∠ECD=90°， 在△EHC中，∠EHC=90°， .∠HEC+∠ECH=90°， :LECD=∠ECB+∠BCD=90°， .∠HEC=∠BCD, 在△EHC和△CBD中， [∠EHC=∠CBD ∠HEC=∠BCD, EC=DC .△EHC≌△CBD(AAS, .HC=BD,HE BC, BC=BA, .DA=BH, .∠EHB=∠CBD=90°， .BD∥EH, .∠BDE=∠FEH, 点F为DE的中点， .DF=FE, 在△DFB和△EFI中， www.zxxk.com C交BC于点H,交BG于 让教与学更高效 点I, 函学科网 www.zxxk.com ∠BDE=∠FEH DF=EF ∠BFD=∠EFI △DFB≌△EFI(ASA, ∴.EI=BD, :IH DA, :IH=BH, .∠EHB=90°， ∴.∠IBC=45°=∠BCA, BG∥AC. 4 8.(1)∠NCM=60 (2)①LADC=2LAEC成立，理由如下： :AE平分LCAD, ∠CAE=∠DAE=7∠CAD,LCAD=2∠DL 设∠CAE=∠DAE=x,则∠CAD=2x, :△ABC是等边三角形， .∠ACB=∠BAC=∠B=60°， :LACB=LCAE+∠AEC, ∠AEC=∠ACB-∠CAE=60°-x, CN‖AB, .∠ACD=∠BAC=60°， 在△ACD中， ∠ADC=180°-∠ACD+∠CAD=180°-(60°+2x)=120°-2x 又.∠AEC=60°-x, :∠ADC=2(60°-x)=2∠AEC」 ②LCAE=15° 9.(1)证明：：△ABC和△DBC是美好等腰三角形， .AB=AC,DB=DC. 9/22 让教与学更高效 学科网 www.zxxk .∠ABC=∠ACB,∠DBC=∠DCB. ·LABC-∠DBC=∠ACB-∠DCB,即∠ABD=∠ACD. :AB=AC, ·点A在线段BC的垂直平分线上. DB=DC, :点D在线段BC的垂直平分线上. :直线AD是线段BC的垂直平分线. (2)证明：如图，作射线AG交BC于点H. AE⊥CD,垂足为E, E G 图2 .∠AEG=∠CEF=90°. :LGAE+∠AGE=90°. :∠ACE=45°， .∠CAE=90°-∠ACE=45°. .∠CAE=∠ACE. :AE =CE. :EF =EG, AAEG≌△CEF(SAS. ∠GAE=∠FCE. :LAGE=∠CGH, ∠CGH+∠FCE=90°. ∠GHC=180°-∠CGH-∠FCE=90°. AH⊥BC. .AB=AC, .BH CH :GB=GC. :△ABC和△GBC是美好等腰三角形 com 让教与学更高效 函学科网 (3)①解：如图3， G H 图3 AE⊥CD, FE⊥DG, EG=EF, .LEGF=∠EFG=45°. DF=FG, .∠FDG=∠EGF=45°， .FD=FG, FE⊥DG, ∴.AF垂直平分DG, .AD=AG, .∠DAE=∠GAE. 设∠DAE=LGAE=a. :AB=AC,AH⊥BC, :ZCAH =ZBAH 2a. :∠CAE=45°， .a+2a=45°， .a=15°， .∠BAC=4×15°=60°； ②问题：在图2的基础上继续探究： 解：如图3， AE⊥CD, .∠FEG=90°. EG=EF, .∠EGF=∠EFG=45°. www zxx k.com 分别连接DF、FG,若DF⊥FG, 11/22 让教与学更高效 请直接写出∠BAC的度数. 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :DF⊥FG, .∠DFG=90°， .∠FDG=∠DGF=45°， .FD=FG, .AF垂直平分DG, .AD=AG, ∴.∠DAE=∠GAE. 设∠DAE=∠GAE=a. AB=AC,AH⊥BC, ∠CAH=∠BAH=2. :∠CAE=45°， .a+2a=45°， .a=15°， .∠BAC=4×15°=60°. 10.(1)AACD,SAS,AD,60 (2)证明：：线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE, AD=AE,∠DAE=60°， :∠ADE=∠AED=60°. :△ABC为等边三角形， .AB=AC,LBAC=60°， :LBAC-∠DAC=LDAE-LDAC,即∠BAD=LCAE. 在△BAD和△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE .∴△BAD≌△CAE(SAS), .∠BDA=∠CEA. :B,D,E三点共线，∠ADE=60°， .∠BDA=∠CEA=120°， :∠AED=60°， 学科网 www.zxxk.com .∠BEC=60°， ∠AED=∠BEC,即EB平分∠AEC; (3)12.5 11.(1)证明：：AD⊥CE于D,BE⊥DE于E, .∠ADC=∠BEC=90°， :∠ACB=90°， .LDAC+LDCA=LDCA+∠BCE=90°， .LDAC=∠BCE, 在△ADC和△CEB中， ∠ADC=∠CEB ∠DAC=∠ECB AC=CB ∴△ADC2ACEB(AAS); (2)解：同意.理由如下： 如图2，过点D作D'E⊥AB于点E, D' ∠D'EB=∠BAD=90°， 图2 .∠D'BE+∠BD'E=90°. 由旋转的性质得，BD'=BD,LDBD'=90°， .∠ABD+∠D'BE=90°， ∠BD'E=∠ABD 在△ABD和△ED'B中， ∠ABD=∠ED'B ∠BAD=∠D'EB BD=BD ,.AABD≌△ED'B(AAS), .D'E AB=AC. :∠A=∠D'EG,∠D'GE=∠AGC, 13/22 让教与学更高效 学科网 www zxxk aAGC≌△D'GE(AAS), CG=D'G,点G为线段CD'的中点； (3)解：如图3，过点D作DF⊥MN交AB于点F, .∠FDP+∠2=90°. M D24 图3 :∠BAC=90°，AB=AC, .LABC=∠ACB=45°， :MN∥BC, .∠DAF=∠ACB=45°， ∴.△ADF为等腰直角三角形， .DA=DF,∠DAF=∠DFA=45°， .∠DFB=∠DAP=135°， ∠BDE=90°， .∠1+∠FDP=90°， ∠1=∠2. 在BDF与△PDA中， ∠1=∠2 DF=DA, ∠DFB=∠DAP △BDF≌△PDA(ASA), .BD=PD 又：∠BDE=90°， △BDP为等腰直角三角形. 12.(1)30°+x° (2)∠ADE=二u或459 2 com 让教与学更高效 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 片 13.(1)①a;②12 (2)解：AB=CH+CD,理由如下： 如图，过点H作HN⊥AB于点N,过点N作NP⊥AH于点P, E 0 H :在△BCD中，∠DCB=135°，CD=CB, 、 BF ·∠CBD=∠CDB= 0802-∠Dc8)=×080w-1359=25. :CD∥AB, ∠ABH=∠CDB=22.5°，∠DCA=∠EAF=45°， :∠ACB=∠DCB-∠DCA=135°-45°=90°，∠ABH=∠CBD=22.5°. :HN⊥AB, :∠HNA=∠HNB=90°， ·∠ACB=∠HNB=90°. 在BCH和△BNH中， ∠ABH=∠CBD ∠ACB=∠HNB, BHBH .△BCH≌△BNH(AAS), .BC BN CH =HN .CD=CB, :CD BN :在△AHN中，∠HNA=90°，∠EAF=45°， :∠AHN=45°， ·∠PAN=∠AHN=45°. :NP⊥AH, ∠APN=∠HPN=90° 在△APN和△HPN中， 15/22 学科网 www zxxk ∠PAN=∠AHN ∠APN=∠HPN, PN=PN .△APN≌△HPN(AAS), :AN =HN :AN =CH :AB=AN +BN CH CD 14.(1)DE =BD+CE (2)解：(1)中结论仍然成立；理由如下： ∠BDA=∠BAC=, .LDBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-&， :ZCAE ZABD 「∠ABD=∠CAE 在△ADB和aCEA中， ∠BDA=∠CEA, AB=AC .△ADB≌△CEA(AAS, .AE BD,AD=CE, :DE=AE+AD=BD+CE , (4)FD=FE,且FD与FE夹角为60°. 15.(1)CD=BE (2)解：DE=3,理由如下： :AD⊥CE,BE⊥CE, .LADC=∠CEB=90°， :LACD+∠CAD=90°， :∠ACB=90°， .∠ACD+∠BCE=90°， :ZCAD ZBCE, 在△CAD与△BCE中， com 让教与学更高效 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE, AC=CB .ACAD≌△BCE(AAS), .CD BE,AD=CE, :AD=5,BE=2, .DE CE-CD=AD-BE=5-2=3; (3)证明：如图所示，过点E作EH⊥BA交BA的延长线于点H, 心H A D B .∠H=90°， ∴.∠HEA+∠HAE=90°， :ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形， ∠DAE=90°，AE=AD, .∠HAE+∠BAD=90°， .ZHEA ZBAD :LABC=90°， ∠ABD=180°-∠ABC=90°， .∠H=∠ABD, .△HAE≌△BDA(AAS), .EH=AB AH=BD, AB=BC, .EH =BC, 又∠H=∠FBC=90°，∠HFE=∠BFC, :.△HFE≌△BFC(AAS), :BF =HF, 17/22 丽学科网 WWW .BH BF HF =2BF, 又：BH=AB+AH=BD+BC=CD, .CD =2BF. 16.(1)①a0BD;②45； （2)证明：如图， B AC⊥OP,BD⊥OP, ∴.LAC0=∠0DB=90°， .∠1+∠3=90°， :∠A0B=90°， ∠2+∠3=90°， .∠1=∠2， 又：0A=0B, .△AOC≌△OBD(AAS, ..OC=BD,AC=OD .AC=OD=0C+CD=BD+CD; (3)3 17.(I)BD=CE,BD⊥CE (2)结论：BD2+DE2=2DA2. 证明：：△ABE和△ADC是等腰直角三角形， ∴.AB=AE,AD=AC,∠BAE=∠CAD=90°， ,∠BAE-∠DAE=∠CAD-∠DAE, 即∠BAD=LEAC, △EAC≌△BAD(SAS), :BD=CE∠AEC=∠B, :∠B+∠BEA=90°， zxxk.com 让教与学更高效 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 LBEA+∠AEC=90°， 即：∠DEC=90°， :.根据勾股定理得：EC2+DE2=DC2, :BD=CE, BD2+DE2 DC2, :在等腰直角三角形ADC中，DC2=2AD2, ∴.BD2+DE2=2DA; (3)13 18.(1)证明：：AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE, .LBAC-∠DAC=∠DAE-LDAC, .LBAD=∠CAE, :△ABD≌△ACE(SAS), .BD=CE (2)12 (3)3≤BE≤13 19.(1)t=1 (2)t=2 (3)1或1.75或1.6 20.(1)证明：：在△ABD与△BCE中， AB=BC ∠A=∠CBE, AD=BE .△ABD≌△BCE(SAS, .LABD=∠BCE; (2)证明：延长FG至点P,使得PG=FG,连接CP, 19/22 扇学科网 WWW. D H :PF=PG+FG=2FG, 6 G G为BC中点， BG=GC, 在△BFG与△CPG中， BG=CG ∠BGF=∠CGP, FG=PG .ABFG≌CPG(SAS), L6=∠7，BF=CP, :∠BAC=∠FAH=60°， :∠BAC-∠2=∠FAH-∠2，即∠1=∠3， :在△ABF与△ACH中， (AB=AC ∠1=∠3 AF=AH ∴.△ABF≌△ACH(SAS), BF=CH,∠4=∠8， :CP=CH, 由(1)得，△ABD≌△BCE, .L4=∠5， .∠5=∠8， :∠ABC=∠ACB=60°， .∠4+∠6=60°，∠5+∠9=60°， ∠5+∠7=60°，即∠PCF=60°，∠8+∠9=60°， .LPCF=∠HCF, zxxk .com 让教与学更高效 即∠HCF=60°， 丽学科网 www zxxk.com .在△PCF与△HCF中， CP=CH ∠PCF=∠HCF, CF=CF △PCF≌△HCF(SAS), :FP=FH, AF=FH, .AF=FP, AF=2FG (3)解：CN=2BH-PM,理由如下， 如图，延长BH至点K,使得HK=BH,连接CK,则BK=2BH BL, M :点H是PC的中点， .PH=CH, :在△BPH和△KCH中， BH=KH ∠BHP=∠KHC, PH=CH .△BPH≌△KCH(SAS, ∠PBH=∠K,BP=KC, .AB∥CK, .∠KCB=180°-∠ABC=180°-60°=120°， .∠ABC=60°，∠M0N=120°， 21/22 让教与学更高效 延长PM至点L,使得ML=NC,连接 丽学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 :.在四边形BN0M中，∠1+∠2=360°-（∠ABC+∠MOW)=180°， :∠2+∠3=180°， .∠1=∠3， ∴在△BCN和△BLM中， BN=BM ∠1=∠3， NC=ML .△BCN≌△BLM(SAS, ∴.BC=BL,LMBL=∠NBC=60°，CN=ML, .∠PBL=∠ABC+∠MBL=60°+60°=120°， LPBL=∠KCB, 在△PBL和△KCB中， BP=CK ∠PBL=∠KCB, BL=CB .△PBL≌AKCB(SAS), .PL=BK =2BH ML=CN PL-PM .CN =2BH-PM.学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08等腰三角形压轴题综合（押题预测20题） 一、解答题 1.定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等 腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”. 己知在ABC中，AB=AC,点D在边AC上. D B 图1 图2 (I)如图1，如果BD=BC,求证：BD是ABC的等角分割线”； (2)如图2，如果BD⊥AC,且BD是ABC的等角分割线”，求∠C的度数； (3)BD是ABC的等角分割线”，∠BAC的平分线交BD于点F,如果DF=DC,那么∠BAC的度数为 【答案】(1)详见解析 (2)67.5° (③)45°或180 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外 角性质，三角形内角和定理等知识点， (1)由等边对等角得到∠ABC=∠C,∠BDC=∠C,则LABC=∠BDC,再由三角形的外角性质即可求证； (2)先由等腰三角形性质以及三角形内角和定理得到∠A=180°-2∠C,再由外角性质得到 ∠ABD=2∠C-90°，∠DBC=90°-∠C,然后再分类讨论即可； (3)分两种情况讨论，当∠DBC=LBAC时，由三线合一得到AE⊥BC,BE=CE,设LBAE=∠CAE=x ,则∠DBC=∠BAC=2x,可得AE垂直平分BC,则LDBC=∠FCB=2x,然后根据外角性质表示出 LDFC=LDCF=4x再由三角形内角和定理得到∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°；当∠ABD=∠BAC时，设 ∠BAE=∠CAE=x,则∠ABD=∠BAC=2x,则∠FDC=∠BAC+∠ABD=4x,由△ABF≌△ACF(SAS),以 及等腰三角形性质得到∠DFC=∠DCF=2x,在△DFC中由三角形内角和定理建立方程求解. 【详解】(1)证明：：AB=AC, 1/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ABC=∠C, .BD=BC, :ZBDC ZC, ∴∠ABC=LBDC, :∠ABC=∠ABD+∠DBC,∠BDC=∠A+∠ABD, LABD+∠DBC=LA+∠ABD, ∠A=∠DBC, BD是ABC的“等角分割线”； (2)解：：AB=AC, .LABC=∠C, :∠A+∠ABC+∠C=180°， ∠A=180°-2∠C, :BD⊥AC, ∠BDC=90°，∠BDA=90°， ZBDC=ZA+ZABD,ZBDA=ZDBC+ZC, .∠ABD=2∠C-90°，∠DBC=90°-∠C, :BD是ABC的“等角分割线”， ①∠A=∠ABD,180°-2LC=2LC-90°， 解得：LC=67.5°， ②∠A=∠DBC,180°-2∠C=90°-LC, 解得：∠C=90°（舍去）， 综上：LC=67.5°： (3)解：记∠BAC的平分线与BC交于点E, ①当∠DBC=∠BAC时， A 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AB=AC,AE平分∠BAC, ∴.AE⊥BC,∠BAE=∠CAE,BE=CE, 设LBAE=∠CAE=x,则∠DBC=∠BAC=2x AE⊥BC,BE=CE, .AE垂直平分BC, .FB=FC, ∠DBC=∠FCB=2x, .∠DFC=∠FBC+∠FCB=2x+2x=4x, DF =DC, :ZDFC ZDCF =4x, .∠ACE=∠DCF+LFCB=4x+2x=6x, ,AE⊥BC, CAE+LACE+∠AEC=I80°， x+6x+90°=180°， 解得：x=90 , 90°180° ∠BAC=2× 77 ②当LABD=∠BAC时， D F B E :AE平分∠BAC, ∴.∠BAE=∠CAE, 设LBAE=∠CAE=x,则LABD=∠BAC=2x, ∴.∠FDC=∠BAC+LABD=4x, :AB=AC,∠BAE=∠CAE,AF=AF, 、.△ABF≌△ACF(SAS), 3/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠ACF=∠ABD=2x, .DF =DC, .ZDFC ZDCF 2x, :在△DFC中，∠FDC+∠DFC+∠DCF=1I80°， 4x+2x+2x=180°， 解得：x=22.5°， ∠BAC=2×22.5°=45°， 综上：∠BAC的度数为45°或180°」 2.如图1，ABC中，AB=AC,∠ABC=∠ACB,D、E分别在AC、AB上(D、E不与A重合)、BD、 CE交于点O, 图1 图2 图3 备用图 (1)若BD=CE,则BE与CD一定相等吗？若不一定，在图2中举出反例，并简单说明（不写作法，保留痕 迹) (2)如图3，若0D=0E,则B0与0C一定相等吗？试用反证法给出证明. (3)若△BCE中有两角相等，△COD中有两角相等，△BCD中有两角相等，直接写出∠ABC度数、∠BEC度 数和∠BDC度数之和. 【答案】(1)不一定，反例图见解析 (2)一定相等，见解析 7或216°或1620 1440° 一或 7 【分析】(1)当点E在AB上某个位置时，以B为圆心，CE为半径画弧与AC产生两个交点，这两个交点 即为点D,此时BE=CD,但BE≠CD2; (2)假设0B≠OC,这里不妨设0B>OC,在OB上截取OF=OC,连接EF,证明 △EOF≌△DOC(SAS),然后根据全等三角形的性质，三角形的外角性质进行证明即可； (3)分9种情况讨论，根据三角形内角和以及三角形的外角性质列二元一次方程组求解即可. 【详解】(1)解：若BD=CE,则BE与CD不一定相等，如图： 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D D2 C 当点E在AB上某个位置时，以B为圆心，CE为半径画弧与AC产生两个交点，这两个交点即为点D,此 时BE=CD,但BE≠CD2, 故若BD=CE,则BE与CD不一定相等； (2)解：若0D=OE,则BO与OC一定相等， 证明：假设0B≠0C,这里不妨设0B>OC, .∠0CB>∠0BC, :∠ABC=LACB, ∠ABC-LOBC>∠ACB-LOCB, .∠EBF>∠DCO, 在OB上截取OF=OC,连接EF, A D B :0OD=OE,∠EOF=∠D0C :.△EOF≌△DOC(SAS) ∠EFO=∠DCO, ∠EBF>LEFO, 与∠EF0>∠EBF(三角形的一个外角大于任何一个与之不相邻的内角)矛盾， 故假设不成立， 0B=0C; 若假设0B<OC时，同理与三角形的外角性质矛盾， .0B=0C; (3)解：①当∠BEC=∠BCE,∠BDC=∠BCD,∠COD=∠CDO时， 5/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D :∠ABC=LACB LABC=LBDC=LBCD=∠COD 设∠ABC=∠BDC=∠BCD=∠COD=y,∠OCD=x 则在△C0D中，由三角形内角和定理可得x+2y=180 :∠BCE=∠ACB-∠OCD=y-x=∠BEC, 在BEC中，由三角形内角和定理可得y+2(y-x)=180°， 180° x+2y=180° x= 7 y+2(y-x)=180,解得 540°’ y= 7 ÷∠ABC+∠BEC+∠BDC=540°+540°_180）+540°-140 7气77 77 ②当∠BEC=∠BCE,∠BDC=∠BCD,∠DOC=∠DCO时， A B :∠ABC=∠ACB .∠ABC=∠BDC=LBCD 设∠DOC=∠DCO=x,∠BCE=∠BEC=y :∠ABC=∠BDC=∠BCD=x+y 2x+x+y=180° 在△DOC和BEC中，由三角形内角和定理可得 x+y+2y=180° 解得 x=45° y=450' 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 此时∠ABC=x+y=90°=∠ABC,不符合题意； ③当∠BEC=∠BCE,∠BDC=∠BCD,∠ODC=∠OCD时，此时O,B,E重合，不符合题意； ④当∠CBE=∠CEB,∠BDC=∠BCD,∠CDO=∠COD时， A E B C :∠ABC=LACB, .ZABC ZACB=ZBEC ZCDO=ZCOD, 设∠DCO=x,∠ABC=∠ACB=∠BEC=∠CDO=∠COD=y 则在△CD0中，由三角形内角和定理得x+2y=180°，则x=180°-2y 在△BDC,△CBE中，由三角形内角和定理可得∠DBC=∠BCE=180°-2y ∠DBC=∠BCE=x, :∠DOC=∠DBC+∠BCE=2x, y=2x, x+2y=180° y=2x 解得 x=36° y=72 ∠ABC+LBEC+∠BDC=72°+72°+72°=216°； ⑤当∠CBE=∠CEB,∠BDC=∠BCD,∠DOC=∠DCO时， D :∠ABC=∠ACB, :.LABC=LACB=LBEC=∠CDO,设∠ABC=∠ACB=∠BEC=∠CDO=y,△DOC=∠DCO=x 7/60 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则在aDC0中，由三角形内角和定理可得2x+y=180°， 在△BEC,△BDC中，由三角形内角和定理可得∠OBC=∠OCB :∠0BC+∠OCB=LD0C=x, ∠OBC=∠OCB=5x, 1 在△BCD中，由三角形内角和定理可得二x+2y=180°， [2x+y=180° 1 +2y=1800 360° x= 解得 7 540° y= 7 ·∠ABC+∠BEC+∠BDC=540°+540540_16200 7 7 7 7 ⑥当∠CBE=∠CEB,∠BDC=∠BCD,∠ODC=∠OCD时，此时O,B,E重合，不符合题意； ⑦当∠CBE=∠CEB,∠CBD=∠CDB,∠ODC=∠OCD时， D B :∠ABC=LACB, .LABC=LACB=∠CEB, 设LODC=LOCD=LCBD=x,∠BCE=y .∠DOC=∠OBC+∠OCB=x+y,∠ACB=∠ABC=∠BEC=x+y 在△DC0中，由三角形内角和定理可得x+y+x+x=180 在△CBE中，由三角形内角和定理可得y+(x+y)+(y+x)=180°， x+y+x+x=180° y+(x+y)+y+x)=180 360° X= 7 解得 180 y= 1 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 360°1440° :.∠ABC+∠BEC+∠BDC= 360°180° 7+1 ×2+ 7 7 7: ⑧当∠BEC=∠CBE,∠CBD=∠CDB,∠DOC=∠DCO时， D E O 设∠CBD=∠CDB=x,∠DOC=∠DCO=y,则△CD0中，由三角形内角和定理可得x+2y=180°， :.∠BCE=∠DOC-∠CBD=y-x :LABC=∠ACB=180°-∠CBD-∠CDB=180°-2x, .LCEB=∠CBE=180°-2x, 在△CBE中，由三角形内角和定理可得180°-2x+180°-2x+y-x=180° x+2y=180° 180°-2x+180°-2x+y-x=180° 540° x= 解得 11 720° y= 11 ∴.∠ABC+∠BEC+∠BDC= /180°-2×540×2+540°_2340 11 11 11 ⑨∠BEC=∠CBE,∠CBD=∠CDB,∠COD=∠CDO时，此时B,O,E三点重合，不符合题意， 综上：∠48C度数、∠BEC度数和∠BDC度数之和为2340或1440°或216°或1620 11 或1 7 3.已知在AOB中，0A=0B,∠A0B=120°，点C是平面内一点，连接AC、BC、0C,0A=0C. B 图1 备用图 备用图 (1)如图1，点0在ABC的内部. ①当∠AC0=20°，求∠0BC的度数； 9/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②当CO平分∠ACB,判断ABC的形状，并说明理由； (2)如果直线BC与直线AO相交于点D,如果△COD是以DO为腰的等腰三角形，求LOCB的度数（直接 写出答案). 【答案】(1)①∠OBC=40°；②ABC为等边三角形，见解析 (2)L0CB的度数为20°或40°， 【分析】(1)①根据0A=0C,∠AC0=20°得∠CA0=∠AC0=20°，则∠A0C=140°，进而得 ∠B0C=100°，再根据0A=0B,0A=0C得0B=OC,进而得∠0BC=∠0CB=40°，然后根据0A=0B, ∠A0B=120°得∠0BA=∠0AB=30°，由此可得∠ABC的度数； ②根据CO平分∠ACB,设∠0CA=LOCB=a,则LACB=2a,根据0A=OC得L0AC=∠0CA=a,根据 OB=OC得L0BC=∠0CB=a,则LCAB=30°+a,∠CBA=30°+Q,再根据三角形内角和定理得 2a+30°+a+30°+a=180°，则a=30°，进而得∠ACB=2a=60°，∠CAB=30°+a=60°， ∠CBA=30°+4=60°，由此可判定ABC的形状： (2)分两种情况讨论如下：①当直线BC与线段AO交于点D时，设∠OCB=B,则∠DOC=∠OCB=阝， ∠COB=B+120°，再根据0B=0C得L0BC=L0CB=B,再根据三角形内角和定理得 B+B+120°+B=180°，则B=20°，②当直线BC与A0的延长线交于点D时，设∠0CB=0,则 LD0C=∠0CB=0,再求出LB0D=60°，得LC0B=0+60°，根据0B=0C得∠0BC=∠0CB=0,再根 据三角形内角和定理得0+0+0+60°=180°，则0=40°，综上所述即可得出∠0CB的度数. 【详解】(1)解：①在△OAC中，0A=0C,∠AC0=20°， .∠CA0=∠AC0=20°， ∴.∠AOC=180°-（∠CA0+∠ACO)=140°， 又∠A0B=120°， ∠BOC=360°-（∠AOC+∠AOB)=100°， :0A=OB,0A=0C, 0B=0C, 在△B0C中，0B=0C,∠B0C=100°， ∠08c=∠0c8=5080-∠B0c)=40; ②ABC为等边三角形，理由如下： 如图1所示： 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :CO平分∠ACB, B 图1 设∠0CA=∠0CB=a,则LACB=2a, 在△OAC中，OA=OC, .∠OAC=∠OCA=a, 在△OBC中，OB=0C, ∠OBC=∠OCB=a, 在△0AB中，0A=0B,∠A0B=120°， :∠0BA=∠0AB=Q80°-∠A0B)=30°， 2 ∠CAB=∠0AB+L0AC=30°+a,∠CBA=∠0BA+∠0BC=30°+M, 在ABC中，∠ACB+∠CAB+∠CBA=180°， 2a+30°+a+30°+a=180°， .a=300 :∠ACB=2a=60°，∠CAB=30°+a=60°，LCBA=30°+a=60°， △ABC为等边三角形： (2)解：∠0CB的度数为20°或40°，理由如下： :直线BC与直线AO相交于点D,且△COD是以DO为腰的等腰三角形， :有以下两种情况： ①当直线BC与线段A0交于点D时，如图2①所示： D A B 图1① 设∠OCB=B, :△COD是以DO为腰的等腰三角形，即DO=DC, .∠DOC=∠OCB=B, ∠A0B=120°， ∴.∠COB=∠DOC+∠AOB=B+120°， 11/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在△0BC中，0B=0C, ∴OBC=LOCB=B, :∠OCB+∠C0B+∠OBC=180°， ∴.B+B+120°+B=180°， :B=20°， 即∠0CB=B=20°， ②当直线BC与A0的延长线交于点D时，如图2②所示： D A B 图2② 设∠OCB=0, ∠A0B=120°， ∠B0D=180°-∠A0B=60°， :aCOD是以DO为腰的等腰三角形，即DO=DC, ∠D0C=∠0CB=0, .∠C0B=∠D0C+∠B0D=0+60°， 在△0BC中，0B=0C, ∠OBC=∠OCB=0, :∠OBC+∠OCB+∠COB=180°， .0+0+0+60°=180°， .0=40°， ∠0CB=0=40°， 综上所述：∠0CB的度数为20°或40°， 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角 形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点。 4.已知：如图，∠ACB=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,点E,连接AE. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D D 备用图1 备用图1 (1)如图，求证：AE平分∠BAC; (2)若点F是线段CB上的一点（点F不与点B,C,E重合），现以AF为一边，作∠AFG=60°，使得点B, G在直线AF的同侧，且AF=GF, ①求证：E、D、G三点共线： ②试探究EF,EG与EB之间的数量关系，并说明理由. 【答案】(1)见解析： (2)①见解析；②EG=EB-EF或EG=EB+EF,理由见解析 【分析】(1)根据三角形的内角和定理得到LBAC=60°，根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB,得到 LBAE=∠B=30°，根据角平分线的定义即可得到结论： (2)①如图，连接AG,DG由(1)得∠BAC=60°，AC=AD,根据等边三角形的性质得到AF=AG, LFAG=60°，求得LBAC=LFAG,得到LFAC=∠GAD,根据全等三角形的性质得到∠C=LADG=90°， 于是得到结论： ②分两种情况讨论：当点F在点E左侧时，EG=EB-EF，,延长GE到M,使得EM=EF,连接FM,根 据三角形的内角和定理得到∠DEB=90°-LB=60°，根据等边三角形的性质得到MF=EF,∠MFE=60°，求 得∠AEC=90°-∠CAE=60°，根据全等三角形的性质即可得到结论；如图所示，当点F在点E右侧时， EG=EB+EF,同理可证EG=EB+EF,于是得到结论 【详解】(1)证明：：∠ACB=90°，∠B=30°， .∠BAC=60°， :DE垂直平分AB, :EA=EB, ∠BAE=∠B=30°， .∠EAC=∠BAC-∠BAE=30°， ∠BAE=∠EAC=30°， :AE平分∠BAC, (2)①证明：如图，连接AG,DG, 13/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G CF E B 由(1)得∠BAC=60°，AC=AD, :∠AFG=60°，AF=FG, :△AFG是等边三角形， AF=AG,∠FAG=60°， .∠BAC=LFAG, :∠FAC=∠BAC-∠BAF, LGAD=∠GAF-∠BAF, .∠FAC=∠GAD, ·△FAC≌△GAD(SAS), ∠C=∠ADG=90°， :∠ADE+∠ADG=180°， E,D,G三点共线： ②EG=EB-EF或EG=EB+EF, 理由：分两种情况讨论： I如图所示，当点F在点E左侧时，EG=EB-EF, 延长GE到M,使得EM=EF,连接FM, :∠EDB=90°，∠B=30°， M ∠DEB=90°-∠B=60°， .∠FEM=∠DEB=60°， :△EFM是等边三角形， ∴.MF=EF,∠MFE=60°， ∠C=90°，∠CAE=30°， .∠AEC=90°-∠CAE=60°， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠AFG=∠MFE=LAEC, :∠AFE=∠AFG+∠GFB, ∠GFM=∠EFM+LGFB, :ZAFE ZGFM ·△AFE≌aGFM(ASA), :AE GM, :BE =GM 即EG=EB-EF; IⅡ如备用图2所示，当点F在点E右侧时，EG=EB+EF, G M 同理可证EG=EB+EF, 综上所述，EF,EG与EB之间的数量关系为EG=EB-EF或EG=EB+EF, 【点晴】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直 平分线的性质，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键 5.在等腰ABC中，AB=AC,点D为BC上一点，连接AD,在AD上分别取点E、F,连接BE,CF. δ 图1 图2 图3 (I)如图1，若∠BAC=∠BED=∠CFD,BE=5,CF=8,求EF的长度； (2)如图2，点E为AD中点，H为AD延长线上一点，连接CH、BH,满足CH=AC,DH=2EF.若 ∠DCF+LBHD=90°，求证：BC=2BE; (3)如图3，若∠BAC=60°，BC=m,点D是BC中点，在AB上取一点P,连接CP,使∠BCP=37.5°，将 15/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △BCP沿CP翻折到ABC所在平面内，得到△B'CP,点Q为BC所在直线上一动点，连接AQ,将AQ绕 点A顺时针旋转90°得到AR,点T为线段B'C上的动点，连接RT、DT,当RT+DT取最小值时，请直接 写出此时△DCT的面积（用字母m表示）. 【答案】(1)3 (2)见详解 1 ③16m 【分析】(1)判定三角形全等，再根据性质：对应边相等，进行等量代换，求出EF的长度： (2)倍长BE到点M,使得BM=2BE,根据三角形全等证明BM=BC,从而得到结论： (3)根据动点Q的运动轨迹及AQ和AR的关系，确定动点R的运动轨迹，再根据对称性和垂线段最短确 定动点T的位置，最后利用三角形面积公式算出结果。 【详解】(1)解：：∠BAC=LCFD, ∠BAC=∠BAD+∠CAD,∠CFD=∠ACF+∠CAD, ·LBAD=LACF,即∠BAE=∠ACF, ∠BED=∠CFD, ∠BEA=∠AFC, 「∠BAE=∠ACF 在△ABE和CAF中， ∠BEA=∠AFC, AB=CA △ABE≌CAF(AAS, :AE =CF,BE=AF, :EF AE-AF CF-BE =8-5=3. (2)证明：延长BE到点M,使得BE=EM,连接AM, :点E为AD中点， :AE=DE, AE=DE 在△AEM和△DEB中， ∠AEM=∠DEB, EM=EB △AEM≌△DEB(SAS, .AM=DB,∠M=∠EBD, AM∥BC, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠MAC=LACB, AB=AC, ∠ABC=∠ACB, :ZMAC ZABC .AH=AD+DH =2AE+2EF=2(AE+EF=2AF, CH=AC, :CF⊥AH,LCAD=LCHD, ∠DCF+∠FDC=90°， :∠DCF+∠BHD=90°， :∠FDC=∠BHD, :∠FDC=∠BDH, ∠BDH=∠BHD, :BH =BD, .BH AM, CH AC,AB=AC, :AB=CH, ∠BAM=∠BAD+∠DAC+∠CAM=∠BAD+∠CHD+∠ACB=∠BAD+∠CHD+∠ABC =∠BAD+∠ABC+∠CHD=∠ADC+∠CHD=∠BDH+∠CHD=∠BHD+∠CHD =∠CHB AB=HC 在△ABM和△HCB中， ∠BAM=∠CHB, AM=HB :△ABM≌△HCB(SAS), :BM =CB, BM =2BE, :BC=2BE. 图2 (3)过点D作B'C的对称点D,连接D'R交B'C于点T,过点D作D'H⊥BC的延长线，垂足为点H, 17/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AB=AC,∠BAC=60°， △ABC是等边三角形， :点D是BC中点，BC=m, :BD=DC=BC=)m,AD⊥BC, 1 2 :点Q为BC所在直线上一动点，且AQ绕点A顺时针旋转90°得到AR, :点R的运动轨迹为：在点D左侧，到点D的距离为线段AD的长的直线I上，且1∥AD, :当D'R⊥I时，RT+DT取最小值，此时D'R⊥AD,即D'RBC,此时D'R与B'C的交点为点T, :翻折， .∠BCP=∠B'CP, :∠BCP=37.5°， ∠BCB′=2LBCP=2×37.5°=75°， :对称， CD=CD',∠DCT=∠D'CT=75°， ∠DCD'=2∠DCT=2x75°=150°， ∠D'CH=180°-150°=30°， :.DH=IDC-1x-m-im. 2 22 4 .S.mcr-DCxh=1DCxDH=xmxm= 2 22 4 161 D 图3 【点晴】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的性质和判定，对称性、 垂线段最短、三角形面积公式，解题关键是数形结合 6.如图1，ABC是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，射线BD是∠ABC内部的一条射线，过点A作 AE⊥BD于点E.过点C作CF⊥BD于点F. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 图3 (1)求证：△ABE≌△BCF; (2)如图2，现将图1中的射线BD逆时针旋转至∠ABC的外部，过点A作AE⊥BD于点E,过点B在射线 BD的左侧作BG⊥BE,且BG=BE,连接CG交射线BD的反向延长线于点H.若AE=3,BE=4,求BCH的 面积： (3)如图3，ABC是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，点D为三角形内部一点，连接AD和CD,取CD 的中点E,连接BE,作EF⊥BE,连接AF与DF,若AF=DF,求证：∠AFD=90°， 【答案】(1)证明见解析： (2)3: (3)证明见解析. 【分析】(I)根据AAS证明△ABE≌△BCF即可； (2)过点C作CM⊥EH,交EH的延长线于点M,先证明△ABE≌△CBM得到CM=BE=4,BM=AE=3 ,再注明：GB阳≌，CM,得到8H一号我据三角形面积公式即可求解， (3)延长BE至G,使EG=BE,连接DG,BF,GF,证明△BEC≌△GED,得到BC=DG=AB, ∠CBE=∠DGC,证明△ABF≌△DGF,得到LAFB=LDFG,∠ABF=∠DGF,进而得到 ∠AFD=∠BFG,再求得∠BFG=90°，即可得出结论 【详解】(1)证明：：AE⊥BD,CF⊥BD, ∴∠AEB=∠BFC=90°， :∠ABC=90°， :∠ABE+∠CBF=∠BCF+∠CBF=90°， ∴.∠ABE=∠BCF, 又：AB=BC, .△ABE≌ABCF(AAS) (2)解：过点C作CM⊥EH,交EH的延长线于点M,如图： 19/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B H M :AE⊥BD,CM⊥EH, ∠AEB=∠M=90°， :∠ABC=90°， ∠ABE+∠BAE=∠ABE+∠CBM=90°， ∠BAE=∠CBM, 在△ABE和△CBM中， ∠AEB=∠M=90° ∠BAE=∠CBM, AB=BC :△ABE≌aCBM(AAS), .CM=BE=4,BM=AE=3, BG=BE, .BG=CM :BG⊥BE, .∠GBH=∠M=90°， 在△GBH和aCMH中， ∠BHG=∠MHC ∠GBH=∠M, BG=CM △GBH≌CMH(AAS), G.BH=MH--BM-7X3-3 5w-cw-4= (3)证明：延长BE至G,使EG=BE,连接DG,BF,GF,如图： 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :CE DE,ZBEC=ZGED,BE GE, G B △BEC≌aGED(SAS, :BC=DG=AB,ZCBE=ZDGC, :EF⊥BE,BE=GE, :FB=FG, 又AF=DF,AB=DG, ∴△ABF≌aDGF(SSS, LAFB=LDFG,∠ABF=∠DGF, ∴.∠AFD=∠AFB+∠BFD=∠DFG+∠BFD=∠BFG, ∠ABF+∠CBE=∠DGF+DGE=LBGF, .BF=GF, ∠GBF=∠BGF, ∠ABF+LCBE=∠GBF, ∠ABC=90°， ∴.∠GBF=∠BGF=45°， .∠BFG=90°， ∠AFD=∠BFG=90°. 7.等腰直角三角形是顶角为90°，底角为45°的等腰三角形.ABC是等腰直角三角形，AB=BC, ∠ABC=90°，∠BAC=∠BCA=45°. E B G B B D A H 图1 图2 图3 21/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)如图1，D为ABC外一点，E为ABC内一点，连接BD,AD,BE,CE,若∠DBE=90°，BD=BE ,其中∠BEC=120°，∠BAD=40°，求∠DBA的度数 (2)如图2，点D为线段AB上一点，连接CD.以CD为直角边作等腰直角三角形CDE,取DE的中点F, 连接BF并延长交CE于点G.求证：BG∥AC. (3)如图3，点D为直线AB上的动点，连接CD,将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE,连接AE,AE与 直线BC交于点F,当BC=4,BC=3BF时，在线段CD上取一点K满足DB=DK,点L,H分别在线段 BD与线段DK上运动，始终满足BL=DH,当BH+KL取最小值时，过点L作AB的垂线1，I上有一动点 S,将BS绕点B顺时针旋转90°得到BT,当AT取最小值时，直接写出△ATC的面积. 【答案】(1)20 (2)证明见详解 【分析】(1)由角度和差得出∠DBA=∠EBC,证明△DBA≌△EBC(SAS),利用三角形内角和定理即可得出 结果 (2)过点E作EH⊥BC交BC于点H,交BG于点I,证明△EHC≌aCBD(AAS),△DFB≌△EFI(ASA), 利用等腰直角三角形的性质及平行线的判定即可证得结论： (3)先求出BF的长度，由于点F是直线BC上的动点，点F分情况讨论：①当点F在点B左侧时；②当 点F在点B右侧时，通过全等三角形的判定与性质，逆等线模型，等腰直角三角形的性质需确定点T的运 动轨迹，求出相关线段的长度，从而得出最终结果 【详解】(1)解：：∠ABC=∠DBE=90°， .ZDBA+ZABE ZABE ZEBC ∴∠DBA=∠EBC, 在△DBA和△EBC中， DB=BE ∠DBA=∠EBC, AB=BC △DBA≌△EBC(SAS, ∴∠DBA=∠EBC,∠BEC=∠BDA=I20°， .∠BAD=40°， ∴.∠DBA=180°-∠BDA-∠BAD=20°， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)证明：如图，过点E作EH⊥BC交BC于点H,交BG于点I, G A .∠EHC=∠EHB=90°， :△ECD是等腰直角三角形， .CD=EC,∠ECD=90°， 在△EHC中，∠EHC=90°， ∴.LHEC+∠ECH=90°， :LECD=∠ECB+∠BCD=90°， ∠HEC=LBCD, 在△EHC和△CBD中， ∠EHC=∠CBD ∠HEC=∠BCD, EC=DC △EHC≌CBD(AAS), :HC=BD,HE=BC, .BC=BA, .DA=BH, :∠EHB=∠CBD=90°， ∴BD∥EH, ∠BDE=∠FEH, :点F为DE的中点， .DF FE, 在△DFB和△EFI中， ∠BDE=∠FEH DF=EF ∠BFD=∠EFI 23/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :△DFB≌△EFI(ASA), :EI=BD, .IH =DA, .IH BH, ∠EHB=90°， .∠IBC=45=∠BCA, BG∥AC. (3)解：BC=4,BC=3BF,点F为直线BC上的动点， r-ac- 此时点F分情况讨论： ①当点F在点B左侧时： 如图，过点E作EM⊥BC交直线BC于点M, m.' r '、 D H :∠DBC=∠CME=90°， ∴.LBDC+LBCD=LMCE+LMEC=90°， .∠DCE=∠DCB+∠BCE=90°， .∠DCB=∠CEM, 在△DBC和△CME中， ∠DBC=∠CME=90° ∠DCB=∠CEM CD=CE 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.△DBC≌△CME(AAS), .EM BC=AB=4, 在EMF和△ABF中， ∠MFE=∠BFA ∠FME=∠FBA=90°， EM=AB △EMF≌△4BF(AAS, BF=FM,头 AD=BM =2BF-* BD=AB+AD-4+3 820 :BL=DH,BD=DK,点L,H分别是BD,DK的动点， 过点B作BK'=DK且BK'∥DK,连接KK', ∠KBL=∠BDH，BD=BK', 在△KBL和△BDH中， K'B=BD ∠K'BL=∠BDH, BL=DH .△K'BL≌△BDH(SAS), .BH =KL, 当点K',L,K三点共线时，BH+KL有最小值， KL+KL≥KZ'+L'K=KK, 在△KBL'和△KDL'中， ∠K'L'B=∠KL'D ∠K'BL'=∠KDL', BK'=KD :.△KBL'≌△KDL'(AAS), :BL'=DL', 点L为BD的中点， :点S是直线1上的一动点，将BS绕点B顺时针旋转90°得到BT,BL'⊥ST, 25/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴BS=BT,∠BTS=∠BST=45°， :∠T'BS'=∠TBS=90°， ∠T'BT+∠TBS'=∠TBS'+∠S'BS=90°， ∠T'BT=∠S'BS, 在△TBT和△SBS中， TB=SB ∠TBT=∠SBS, TB=BS :△T'BT≌△S'BS(SAS), ∴.∠TTB=∠S'SB=45°， .∠TTS=∠TTB+∠BTS=90°， ∴点T的运动轨迹是与直线1夹角为90°的直线m, 当AT"⊥m时，AT有最小值， .:AB Il m ÷AT”=TL'=BL'=DL'=BD=10 2 3， 110 :.S△4r心=)AT"AB=) 20 -×4= 23 3 ②当点F在点B右侧时： 如图，过点E作EN⊥BC交直线BC于点N, ,'m E T 同理可证得：△DBC≌aCNE(AAS), .EN BC=AB=4, 同理可证得：△ENF≌△ABF(AAS, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BF=FN=4 , 44.4 .CN=BC-BF-FN=4- 33 4 :BD=CN=3' :BL=DH,BD=DK,点L,H分别是BD,DK的动点， 过点B作BK'=DK且BK'∥DK,连接KK', ∠KBL=∠BDH,BD=BK', 易证得：△KBL≌△BDH(SAS), .BH =KL, 当点K',',K三点共线时，BH+KL有最小值， KL+KL≥KL'+L'K=KK,此时点L'为BD的中点， 由情况①可得：点T的运动轨迹是与直线1夹角为90°的直线m, 当AT'⊥m时，AT有最小值， .AB II m 1r==8=0-0 =3 12,4 综上所达，。4TC的面织为9或号 3 8.【阅读材料】 如图1，点B,C分别在∠EAF的两条边上，若∠EAF和∠CBF的角平分线交于点P,则CP平分∠ECB. 【数学思考】 利用上述材料的结论解决下列问题： 如图2，在等边ABC中，点M在边BC的延长线上，CN∥AB,点D在射线CN上（点D不与点C重合）， AE平分LCAD交射线CM于点E. B F B E M 图1 图2 (1)求LNCM; 27/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)当点D在射线CN上移动时， ①有同学猜想：在上述条件下，∠ADC=2∠AEC始终成立.该猜想是否成立？若成立，请写出推理过程， 若不成立，请举出反例： ②连接DE,若∠ADC-∠AED=60°，求∠CAE的大小. 【答案】(1)∠NCM=60 (2)①LADC=2∠AEC成立，推理过程见解析；②∠CAE=15° 【分析】(1)根据平行线的性质，即可得出： (2)①利用△ABC是等边三角形，以及CN∥AB,得到LACD=∠ACB=60°，设∠CAE=∠DAE=x,则 ∠CAD=2x,结合三角形外角的性质得到LAEC=∠ACB-∠CAE=60°-x,在△ACD中， ∠ADC=180°-（∠ACD+∠CAD)=120°-2x,综上LADC=2LAEC,结论成立： ②分别延长AD,AC到点H,G,先证明CM平分∠NCG,再利用阅读材料的结论DE平分△ACD的外角 ∠CDH,设∠CAE=∠DAE=x,由平行线的性质得出∠CDH=∠BAD,求出LEDH=30°+x,又因为 ∠EDH是ADE的外角有∠EDH=∠DAE+∠AED,得到LAED=30°，最后结合∠ADC-LAED=60°，即 可得出答案。 【详解】(1)解：：△ABC是等边三角形， ·∠B=60° :CN‖AB, .∠NCM=∠B=60°. (2)①∠ADC=2∠AEC成立，理由如下： AE平分∠CAD, ∠CAE=∠DAE=)ZCAD,∠CAD=2∠DAE 设∠CAE=∠DAE=x,则∠CAD=2x, “△ABC是等边三角形， ∠ACB=∠BAC=∠B=60°， :∠ACB=LCAE+LAEC, LAEC=LACB-∠CAE=60°-x, .CN‖AB, .∠ACD=∠BAC=60°， 在△ACD中， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ADC=180°-（∠ACD+∠CAD)=180°-(60°+2x)=120°-2x 又：∠AEC=60°-x, :∠ADC=2(60°-x)=2∠AEC. ②解：分别延长AD,AC到点H,G,如图2所示： :∠NCM=60,∠MCG=∠ACB=60°， E M G 图2 ∠NCM=∠MCG=60°， .CM平分∠NCG, 又：AE平分∠CAD, 由阅读材料的结论得：DE平分△ACD的外角∠CDH, ∠EDI-片cDH, 设∠CAE=∠DAE=x,则∠CAD=2x, :ABI CD, ∠CDH=∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°+2x, :DE平分LCDH, ∠CD6=∠EDH=<CDH=60+2刻=30+x, 、 :∠EDH=∠DAE+∠AED ∴.∠AED=∠EDH-∠DAE=30°+x)-x=30°， :∠ADC-∠AED=60°， 由①知，∠ADC=120°-2x, (120°-2x-30°=60°， x=15°， ∠CAE=15°. 9.【理解问题】 如图1，在ABC和△DBC中，AB=AC,DB=DC,点A,D在底边BC的同侧.我们把具有这种位置关 29/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 系的两个等腰三角形叫做美好等腰三角形.在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连接 顶角顶点的线段叫做轴线.如图1中∠ABD和∠ACD是腰角，线段AD是轴线. 图1 图2 (1)【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在 的直线垂直平分底边.小颖利用图1给出如下己知、求证，请帮助小颖完成证明， 己知：如图1，ABC和△DBC是美好等腰三角形，连接AD.求证：∠ABD=∠ACD,AD所在直线是线段 BC的垂直平分线. (2)【实施计划】 如图2，在ABC中，AB=AC,点D在AB上，∠ACD=45°，AE⊥CD,垂足为E,AE的延长线与BC交 于点F,点G在线段DC上，且EG=EF,连接BG,求证：ABC和aGBC是美好等腰三角形. (3)【回顾反思】①小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接DF,FG,若DF=FG,请直 接写出∠BAC的度数. ②参考小颖的问题尝试提出一个新的问题（不用解答）， 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①LBAC=60°；②见解析（答案不唯一） 【分析】(I)利用美好等腰三角形的性质得AB=AC,DB=DC,得∠ABC=∠ACB,∠DBC=∠DCB,从而有 ∠ABD=∠ACD;再由AB=AC,DB=DC,结合线段垂直平分线的判定即可证明； (2)作射线AG交BC于点H.由己知LCAE=LACE,则AE=CE,再证明△AEG≌△CEF得 LGAE=∠FCE,即可得证； (3)①证明AF垂直平分DG得AD=AG,从而∠DAE=∠GAE,设∠DAE=∠GAE=a,根据 ∠CAE=45°可求出a=15°，进而可求出∠BAC的度数： ②证明AF垂直平分DG得AD=AG,从而LDAE=∠GAE,设LDAE=∠GAE=Q,根据LCAE=45°可求 出a=15°，进而可求出∠BAC的度数 【详解】(1)证明：：△ABC和△DBC是美好等腰三角形， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AB=AC,DB=DC. .∠ABC=∠ACB,∠DBC=∠DCB. :∠ABC-∠DBC=∠ACB-∠DCB,即∠ABD=∠ACD. AB =AC, ·点A在线段BC的垂直平分线上， DB=DC, ·点D在线段BC的垂直平分线上. :直线AD是线段BC的垂直平分线： (2)证明：如图，作射线AG交BC于点H AE⊥CD,垂足为E, B 图2 .∠AEG=∠CEF=90°. ∠GAE+LAGE=90°. ∠ACE=45°， ∠CAE=90°-∠ACE=45° ∠CAE=∠ACE. :AE CE. EF=EG, △AEG≌△CEF(SAS. ∠GAE=∠FCE. :∠AGE=∠CGH, LCGH+LFCE=90°. .∠GHC=180°-∠CGH-∠FCE=90°. AH⊥BC. AB=AC, :BH CH 31/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.GB=GC. :△ABC和△GBC是美好等腰三角形 (3)①解：如图3， G H 图3 :AE⊥CD, FE⊥DG, :EG=EF, .∠EGF=LEFG=45o. .DF=FG, ∠FDG=∠EGF=45°， .FD=FG, :FE⊥DG, AF垂直平分DG, .AD=AG, ∴LDAE=∠GAE. 设∠DAE=∠GAE=a. :AB=AC,AH⊥BC, .CAH ZBAH 2a. :∠CAE=45°， .a+2a=45°， 4=15°， ∠BAC=4×15°=60°： ②问题：在图2的基础上继续探究：分别连接DF、FG,若DF⊥FG,请直接写出∠BAC的度数. 解：如图3， :AE⊥CD, ∠FEG=90°. 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EG=EF, ∴.∠EGF=∠EFG=45o. :DF⊥FG, ∠DFG=90°， .∠FDG=∠DGF=45°， .FD=FG, AF垂直平分DG, .AD=AG, .∠DAE=LGAE. 设∠DAE=∠GAE=a, :AB=AC,AH⊥BC, .ZCAH ZBAH 2a. :∠CAE=45°， .a+2a=45°， .a=15°， ∠BAC=4×15°=60°. 10.《被数学选中的人》是央视推出的纪录片，节目中说道：“数学区别于其他学科，最主要的特征是抽象与 推理.”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本的几何模型，用类比等方法，进行 探究，推理，以解决新的问题. E D 图1 图2 图3 【建立模型】 (I)如图1，ABC为等边三角形，点D在BC的延长线上，在BD的同侧以CD为边构造等边三角形CDE, 连接BE,AD交于点F.则△BCE≌-，判定依据为-，BE=-,并直接写出∠AFB的度数_ 【应用模型】 (2)如图2，点D为等边ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE,连接CE,若 B、D、E三点共线，求证：EB平分∠AEC; 33/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)如图3，在Rt ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是ABC外一点，连接AD,BD,CD.当 AD=5,∠BDC=90°时，请直接写出四边形ABDC的面积. 【答案】(I)△ACD,SAS,AD,60° (2)见解析 (3)12.5 【分析】(I)观察图形可知△BCE≌△ACD,结合已知条件可以确定全等的判定方法，然后利用全等三角形 的对应角相等，再通过进一步推导可以求出∠AFB； (2)首先结合第(I)问的图形结构证明△ABD≌△ACE,然后利用全等的性质和已知条件确定∠AEC的 度数，进而证明LAED=LBEC即可； (3)依据前2问的解题经验，构造类似的图形结构，通过作辅助线把四边形的面积进行转化而求解. 【详解】(1)解：如图1，设BE,AC交于点O :△ABC,△CDE为等边三角形， B D 图1 .BC=AC,CE=CD,LBCA=∠ECD=60°， ·LBCA+LACE=LECD+LACE,即LBCE=LACD, aBCE≌△ACD(SAS), .BE=AD,∠CBE=∠CAD, 又：LB0C=LAOF, ∠AFB=∠BCA=60°； (2)证明：：线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE, .AD=AE,∠DAE=60°， ∠ADE=∠AED=60. :△ABC为等边三角形， AB=AC，∠BAC=60°， :LBAC-LDAC=LDAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE. 在△BAD和△CAE中， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ∴△BAD≌△CAE(SAS), :ZBDA=ZCEA. :B,D,E三点共线，∠ADE=60°， ∠BDA=∠CEA=120°， :∠AED=60°， ∠BEC=60°， ·LAED=LBEC,即EB平分∠AEC: (3)解：答案12.5.理由： 如图2，延长DC到E,使CE=BD. B -E:∠BAC=90°，LBDC=90°， 图2 在四边形ABDC中， ∠ABD+∠ACD=360°-∠BAC-∠BDC=180°. :∠ACE+∠ACD=180°， :ZABD ZACE. 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠ABD=∠ACE BD=CE △ABD≌△ACE(SAS). :AD=AE=5,∠BAD=∠CAE, ∠DAE=90°， 1 :.S.ADE -×5×5=12.5. :S四边形BDc=S4BD+S.DC,S4BD=S,4CE, 35/60 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 S边形BDc=SACE+S。ADc=SADE=12.5. 【点晴】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形（等边三角形）的性质，能够在探究的过 程中掌握基本图形的结构并加以应用是解题的关键 11. 育英中学“巅峰数学”兴趣小组对三角形全等模型展开探究. M 图1 图2 图3 (I)初步探究：如图1，小华绘制的ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于D ,BE⊥DE于E,求证：△ADC≌△CEB; (2)探究升级：如图2，小丽绘制了另外一个ABC,AB=AC,∠BAC=90°，AC上取一点D,连接BD, 线段BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BD',连接CD'交直线AB于G,小丽说点G必为线段CD'的中点. 你同意她的观点吗？请说明理由 (3)思维发散：在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线MN过点A且MN∥BC,过点B 为一锐角顶点作Rt△BDE,∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图3，边DE与线段 AC交于点P,连接BP,试运用所学全等三角形的知识说明△BDP是等腰直角三角形. 【答案】(1)见解析 (2)同意，理由见解析 (3)见解析 【分析】(1)先证明LDAC=∠BCE,然后根据AAS即可证明△ADC≌△CEB; (2)过点D作D'E⊥AB于点E,证明△ABD≌△EDB(AAS得D'E=AB=AC,再证明 △AGC≌△D'GE(AAS)得CG=D'G,可得点G为线段CD的中点； (3)过点D作DF⊥MN交AB于点F,证明△BDF≌APDA(ASA)得BD=PD,进而可证△BDP是等腰直 角三角形. 【详解】(1)证明：：AD⊥CE于D,BE⊥DE于E, :∠ADC=∠BEC=90°， :∠ACB=90°， :∠DAC+∠DCA=∠DCA+∠BCE=90°， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :ZDAC=ZBCE, 在△ADC和△CEB中， ∠ADC=∠CEB ∠DAC=∠ECB AC=CB .△ADC≌ACEB(AAS); (2)解：同意.理由如下： 如图2，过点D作D'E⊥AB于点E, D' ∠D'EB=∠BAD=90°， 图2 .LD'BE+∠BD'E=90°. 由旋转的性质得，BD'=BD,∠DBD'=90°， .∠ABD+∠D'BE=90°， ∠BD'E=∠ABD, 在△ABD和△ED'B中， [∠ABD=∠ED'B ∠BAD=∠D'EB BD=BD △ABD≌△ED'B(AAS), :D'E AB=AC. :∠A=∠D'EG,∠D'GE=∠AGC, △AGC≌△D'GE(AAS, :CG=D'G,点G为线段CD'的中点； (3)解：如图3，过点D作DF⊥MN交AB于点F, .∠FDP+∠2=90°. 37/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 图3 :∠BAC=90°，AB=AC, LABC=∠ACB=45°， :MN∥BC, ∠DAF=∠ACB=45°， :△ADF为等腰直角三角形， DA=DF,LDAF=∠DFA=45°， .∠DFB=∠DAP=135°， :∠BDE=90°， .∠1+∠FDP=90°， ∠1=∠2. 在BDF与△PDA中， ∠1=∠2 DF=DA ∠DFB=∠DAP ∴△BDF≌△PDA(ASA, :BD PD. 又：∠BDE=90°， ∴aBDP为等腰直角三角形 12.在ABC中，∠BCA=90°，∠B=Q,点D是AC边上一点，E为AB边上一个动点，将ADE沿DE翻 折后得到△A'DE(点A的对应点为点A) A B B D D 图1 图2 备用图 (I)如图1，当点4落在AB上方时，a=60°，LADE=x°，则∠BED=-;(用含x的代数式表示) (2)点A落在AB上方，当∠DA'E的一边与BC平行时，求∠ADE的度数.（用含a的代数式表示) 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)如图2，DE的延长线与AA'交于点F,若AC=8,CD=3时，当△ADF面积最大时，求CDF的面积. 【答案】(1)30°+x° 1 ②∠1DE=2a或45° 号 【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠A=30°，然后再根据三角形外角性质，求出结果即可； (2)分两种情况：当A'E∥BC时，当AD∥BC时，分别画出图形，进行求解即可； M‘=qr号=DF=p0=DH的四钳·9d=90到‘)学0V#‘06=01V7甲能梦年斡￥第( 而得出FG和AD为定值，说明当FG⊥AD时，△ADF面积最大，即可得出答案。 【详解】(1)解：：a=60°，∠BCA=90°， .∠A=90°-60°=30°， ∠ADE=x°， .∠BED=180°-∠AED=∠A+∠ADE=30°+x°： (2)解：当A'E∥BC时，延长AE,交AC于点G,如图所示： E D G A'E∥BC, .∠DGA'=180°-∠ACB=90°， :在ABC中，∠BCA=90°，∠B=a, .∠BAC=90°-a, 根据折叠可得：∠DA'E=∠BAC=90°-Q,∠ADE=∠A'DE, ∠ADA'=90°-∠DA'E=a, 1 ∠ADE=∠ADE3∠ADA,C 2 当AD∥BC时， D 39/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :A'D∥BC, ∠ADA'=∠ACB=90°， 根据折叠可得：∠ADE=∠ADE=)∠ADA=x90°=45， 2 综上，∠ADE=5o或45°： (3)解：：AC=8,CD=3, AD=AC-CD=8-3=5, 根据折叠可得：DE⊥AA', ∠AFD=90°， 在AD上取点G,使DG=FG,则∠GDF=∠GFD, :∠GDF+∠FAD=90°，∠DFG+∠AFG=90°， ∠FAD=∠AFG, ∴.AG=FG, AD=5 1 .FG=DG=AG=- ·FG和AD为定值， .当FG⊥AD时，△ADF面积最大， 当△ADF面积最大时，S,cr=)CD×FG 3x515 2 2=41 D G A 13.如图1，已知LEAF=45°，射线AE上有一定点C,射线AF上有一动点B,作四边形ABCD,使得 CD=CB,且∠DCB=135°. E E D C H G BF 图1 图2 (1)如图1，当∠CBA为锐角时， ①若∠CBA=a,求∠DCA的度数（用含C的式子表示）； 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②过点D作DG⊥AC于点G,若DG=4,AB=6时，求ABC的面积； (2)如图2，当CD∥AB时，连接BD交AC于点H,请探究线段CD,CH,AB之间的数量关系，并说明理 由. 【答案】(1)①0；②12 (2)AB=CH+CD,理由见解析 【分析】(1)①根据三角形内角和定理，进行解答即可； ②先过点C作CW⊥AB于点M,再利用全等三角形的判定与性质，以及三角形的面积公式，进行解答即可； (2)先过点H作HN⊥AB于点N,过点N作NP⊥AH于点P,再利用等腰三角形的性质，平行线的性质， 全等三角形的判定与性质，进行解答即可。 【详解】(1)解：①：在ABC中，∠EAF=45°，∠CBA=a, ·∠ACB=180°-∠EAF-∠CBA=180°-45°-a=135°-a. :∠DCB=135°， :∠DCA=∠DCB-∠ACB=135°-(I35°-a）=a. 答：∠DCA的度数为oa. ②如图，过点C作CW⊥AB于点M, D E :DG⊥AC, M B LDGC=∠CMB=90°. 由①得∠DCA=a，且∠CBA=a, :∠DCA=∠CBA. 在△DCG和aCBM中， ∠DGC=∠CMB ∠DCA=∠CBA, CD=CB ∴.△DCG≌△CBM(AAS), .CM =DG=4, ∴Sc=)AB-CM=x6x4=12. 2 41/60 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 答：ABC的面积为12 (2)解：AB=CH+CD,理由如下： 如图，过点H作HN⊥AB于点N,过点N作NP⊥AH于点P, E H :在△BCD中，∠DCB=135°，CD=CB, P BF 1 ZCBD=∠CDB=)XI80°-∠DCB)三5x180°-1359)=22-59 :CD∥AB, ∠ABH=∠CDB=22.5°，∠DCA=∠EAF=45°， :∠ACB=∠DCB-∠DCA=135°-45°=90°，∠ABH=∠CBD=22.5°. HN⊥AB, ∠HNA=∠HNB=90°， .∠ACB=∠HNB=90°. 在BCH和△BNH中， [∠ABH=∠CBD ∠ACB=∠HNB, BH=BH ∴△BCH≌△BNH(AAS), .BC=BN,CH=HN. :CD=CB, :CD BN :在△AHN中，∠HNA=90°，∠EAF=45°， :∠AHN=45°， :∠PAN=∠AHN=45°. :NP⊥AH, ·∠APN=∠HPN=90° 在△APN和△HPN中， '∠PAN=∠AHN ∠APN=∠HPN, PN=PN 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.△APN≌△HPN(AAS), :AN =HN :AN =CH, :AB=AN+BN =CH +CD 14.数学问题研究常遵循：特殊化探究→一般化推理→综合应用→深化探究的思考路径，请你据此思路回 答以下问题.点A在直线I上，AB=AC,点D、E为直线I上的动点，且LBDA=LBAC=LAEC=Q· 水 ☒1 ☒② A E 图③ 图④ 【特殊化探究】 (I)如图①，当a=90°时，猜想DE、BD、CE之间的数量关系为； 【一般化推理】 (②)如图②，若α为任意锐角或钝角，请问(1)中结论是否仍然成立？如成立，请证明；若不成立，请说明 理由； 【综合应用】 (3)如图③，a是钝角，直线I与CB的延长线交于点F,若BC=3BF,ABC的面积是S,请用S表示 △FBD与△CEA的面积之和： 【深化探究】 (4)如图④，a=120°，△ABF为等边三角形，求FD与FE的数量关系和夹角度数. 【答案】(I)DE=BD+CE (2)成立，理由见解析 5 (4)FD=FE,且FD与FE夹角为60° 【分析】(1)由LBDA=LBAC=∠AEC=90°得到LBAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°，进而得到 LDBA=LEAC,然后结合AB=AC得证△DBA≌△EAC,最后得到DE=BD+CE; 43/60 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (2)由LBDA=∠BAC=a,得到∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-a,推出∠CAE=∠ABD,同理 (I)证明△ADB≌△CEA(AAS),即可得出结论： (3)同理(2)得△ABD≌aCAE(AAS),得到SABD=S,CAE,设ABC的底边BC上的高为h,则△ABF的底 边F上的高为A,求出Sm-9,根据Sw=Sm+So=Sm+Sa一号，即可求解， (4)证明△DBA≌△EAC(AAS),可得BD=AE,∠ABD=LCAE,由△ABF为等边三角形，证明 △FBD≌△FAE(SAS,得到FD=FE,∠BFD=∠AFE,即可解答. 【详解】(1)解：猜想DE=BD+CE,理由如下： :∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°， ∠BAD+∠EAC=LBAD+LDBA=90°， ∠DBA=∠EAC, AB=AC, :.△DBA≌△EAC(AAS), .AD=CE,BD=AE, .DE AD+AE=BD CE (2)解：(1)中结论仍然成立；理由如下： '∠BDA=LBAC=a, .∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-a, ∴∠CAE=∠ABD, ∠ABD=∠CAE 在△ADB和aCEA中， ∠BDA=∠CEA, AB=AC ∴△ADB≌△CEA(AAS, :AE=BD,AD =CE, :DE AE AD =BD+CE (3)解：同理(2)得△ABD≌aCAE(AAS), ∴.S△ABD=S△CAE, 设ABC的底边BC上的高为h,则△ABF的底边BF上的高为h, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Sc=2BC-h=S,Sr=号8Fh, 2 :BC=3BF, 1 SF-38. SA4BF =SAFBD+SAABD=SAFBD+SACEA= 3 :△F8D与aCE4的面积之和为S. (4)解：∠BDA=∠BAC=∠AEC=120°， ∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°-120°=60°， ∴LDBA=LEAC, AB=AC, :.△DBA≌AEAC(AAS), BD=AE,∠ABD=∠CAE, :△ABF为等边三角形， ∠FBA=LFAB=∠BFA=60°，FB=FA. :a=120°， ∠FAC=∠BAC-∠FAB=60°， ∠FAC=∠FBA, .∠FAC+∠CAE=∠FBA+∠ABD. 即∠FBD=∠FAE, FB=FA 在△FBD和△FAE中， ∠FBD=∠FAE, BD=AE △FBD≌△FAE(SAS), FD=FE,LBFD=∠AFE, :∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=∠BFA=60°. FD=FE,且FD与FE夹角为60°. 15.综合与实践 45/60 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 C 图1 图2 图3 【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，于是有三组边相互垂直，所 以称为“一线三垂直模型”.当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形， (I)如图1，在等腰直角ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于点D, BE⊥DE于点E,则CD与BE的数量关系是； (2)如图2，在等腰直角ABC中，LACB=90°，AC=BC,过点C作直线CE,过点A作AD⊥CE于点D, 过点B作BE⊥CE于点E,AD=5,BE=2,则DE的长为多少，请说明理由； (3)如图3，在等腰直角ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,点D是CB延长线上一点，以A为直角顶点， 线段AD为直角边向左侧作等腰直角ADE,连接EC交AB于点F,求证：DC=2FB. 【答案】(I)CD=BE (2)DE=3,理由见解析 (3)见解析 【分析】(1)根据AD⊥DE,BE⊥DE得到LADC=LCEB=90°，结合∠ACB=90°，得到 LACD+LCAD=90°，∠ACD+∠BCE=90°从而得到∠CAD=∠BCE即可得到△CAD≌△BCE即可得到答案， (2)同(1)证明△CAD≌△BCE即可得到答案； (3)过点E作EH⊥BA交BA的延长线于点H,证明△HAE≌△BDA(AAS),得到EH=AB,AH=BD,再 证明△HFE≌△BFC(AAS),得到BF=HF,则可证明CD=BH=2BF, 【详解】(1)解：：AD⊥DE,BE⊥DE, .LADC=LCEB=90°， ∠ACD+∠CAD=90°， :∠ACB=90°， LACD+∠BCE=90°， .∠CAD=LBCE, 在△CAD与△BCE中， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE, AC=CB :△CAD≌△BCE(AAS), .CD=BE; (2)解：DE=3,理由如下： :AD⊥CE,BE⊥CE, .∠ADC=∠CEB=90°， .∠ACD+∠CAD=90°， :∠ACB=90°， .∠ACD+LBCE=90°， ∴LCAD=LBCE, 在△CAD与△BCE中， 「∠ADC=∠CEB {∠CAD=∠BCE, AC=CB :△CAD≌ABCE(AAS), .CD=BE,AD =CE, :AD=5,BE=2, .DE=CE-CD=AD-BE=5-2=3; (3)证明：如图所示，过点E作EH⊥BA交BA的延长线于点H, D B .∠H=90°， .∠HEA+∠HAE=90°， :ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形， ∠DAE=90°，AE=AD, 47/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠HAE+∠BAD=90°， :ZHEA ZBAD, :∠ABC=90°， ∠ABD=180°-∠ABC=90°， .∠H=∠ABD, :.△HAE≌△BDA(AAS), .EH AB,AH =BD, AB=BC, .EH =BC, 又：∠H=∠FBC=90°，∠HFE=∠BFC, :.△HFE≌△BFC(AAS), ∴.BF=HF, .BH =BF+HF =2BF, 又：BH=AB+AH=BD+BC=CD, .CD=2BF. 16.【学习概念】 三角形一边的延长线与三角形另一边的夹角叫做三角形的外角.如图1中∠ACD是△AOC的外角，那么 ∠ACD与∠A,∠O之间有什么关系呢？ 分析：：∠ACD=180°-∠AC0,∠A+∠0=180°-∠AC0, :∠ACD=∠A+, 结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 点 图1 图2 图3 图4 图5 ()【问题探究】 ①如图2，已知：∠A0B=∠ACP=∠BDP=60°，且A0=B0,则△AOC≌； ②如图3，已知∠ACP=∠BDP=45°，且A0=B0,当∠A0B=°，①中的结论仍然成立； (2)【应用结论】 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图4，∠A0B=90°，0A=0B,AC⊥OP,BD⊥0P,请说明：AC=CD+BD. (3)【拓展应用】 如图5，四边形ABCD,AB=BC,AE∥CD,LABC+∠AEB=180°，BE=ED,BD=9,则CD的长 3 为 【答案】(I)①a0BD；②45： (2)见解析 (3)3 【分析】(1)①由邻补角互补可知LAC0=∠0DB=120°，由三角形外角的性质可知 ∠AOC+∠OAC=∠ACP=60°，等量代换得∠OAC=∠B0D,进而可证△AOC和aOBD全等：②当 LA0B=45°时，△AOC≌A0BD,证法同(1)①： (2)证明△AOC≌AOBD,可得OC=BD,AC=OD,进而可证AC=CD+BD: (3)在DB上取一点F使CF=CD,由角平分线的定义和平行线的性质可得LAED=∠CFD,再证明 LBAE=∠CBF,然后可证△ABE≌△BCF,进而可得CD=CF=3. 【详解】(1)解：①∠ACP=∠BDP=60°， .∠AC0=∠0DB=180°-60°=120°，∠A0C+∠0AC=∠ACP=60°， :∠A0B=∠A0C+∠B0D=60°， .∠0AC=∠B0D, 在△AOC和△OBD中， ∠ACO=∠ODB ∠OAC=∠BOD, OA=BO :△AOC≌AOBD(AAS】 ②当∠A0B=45°时，△AOC≌△OBD,理由如下， ∠ACP=∠BDP=45°， .∠AC0=∠0DB=180°-45°=135°，∠A0C+∠0AC=∠ACP=45°， :∠A0B=∠A0C+∠B0D=45°， .∠OAC=LB0D, 在△AOC和△OBD中， 49/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ACO=∠ODB ∠OAC=∠BOD, OA=BO △AOC≌aOBD(AAS): 故当∠A0B=45°时，△AOC≌a0BD; (2)证明：如图， 1 P ○ :AC⊥OP,BD⊥OP, ∠AC0=∠0DB=90°， ∠1+∠3=90°， :∠A0B=90°， ∠2+∠3=90°， .∠1=∠2， 又0A=0B, △A0C≌aOBD(AAS, ..OC=BD,AC=OD, .AC=0D=0C+CD=BD+CD; (3)解：如图，在DB上取一点F,使CF=CD,连接CF, LCDF=∠CFD, E B :AE∥CD, LBDC=∠AED, ∠AED=∠CFD, :∠AEB+∠AED=180°，∠AEB+∠ABC=180°，∠BFC+∠CFD=180°， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :LAED=∠ABC,∠AEB=∠BFC, :∠AED=∠ABE+∠BAE,∠ABC=∠ABE+∠CBF, LBAE=∠CBF, AB=BC, :△ABE≌△BCF(AAS), ∴CF=BE, BE=LED,BD=9, :.CF=BE=1BD=3, :CD CF=3. 17.【问题探究】 D B C C 图1 图2 图3 如图1，△ABE和△ACD都是等腰直角三角形，直角顶点为A,△ABE固定不动，△ACD绕着点A旋转. 如图2，将aACD绕点A旋转，当点D落在BE边上时，连接CE. (I)直接写出BD与CE的数量关系是 ，位置关系是 (2)探索AD,BD,DE之间的数量关系，并完整地证明你的结论： 【拓展应用】 (3)如图3，在ABC中，LACB=45°，以AB为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角△ABD,连接CD, 若AC=√2，BC=3,求CD长 【答案】(I)BD=CE,BD⊥CE (2)BD2+DE2=2DA2,见解析 (3)13 【分析】(1)证明△BAD≌△EAC(SAS),得出BD=CE,∠AEC=∠B=45°，即可得出结论； (2)证明BD=CE,∠DEC=90°，再根据勾股定理和等腰直角三角形的性质，即可得出BD2+DE2=2DA 51/60 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)在AC的上方作等腰直角△ACE,使得∠CAE=90°，AC=AE,连接BE,根据勾股定理求出 BE=√BC2+CE2=V32+22=√3，证明△ABE≌△ADC(SAS),得出BE=CD=I3即可. 【详解】(1)解：：△ABE和△ACD都是等腰直角三角形， AB=AE,AD=AC,∠B=∠AEB=45°，∠BAE=∠DAC=90°， ∠BAD+∠DAE=∠DAE+∠EAC=90°， LBAD=∠EAC, △BAD≌△EAC(SAS), BD=CE,∠AEC=∠B=45°， ∠BEC=LAEB+∠AEC=90°， BD⊥CE; (2)结论：BD2+DE2=2DA2· 证明：：△ABE和△ADC是等腰直角三角形， .AB=AE,AD=AC,∠BAE=∠CAD=90°， :∠BAE-∠DAE=∠CAD-∠DAE, 即LBAD=LEAC, △EAC≌△BAD(SAS, BD=CE∠AEC=LB, :∠B+∠BEA=90°， ∠BEA+∠AEC=90°， 即：LDEC=90°， .根据勾股定理得：EC2+DE2=DC2, :BD=CE, :BD2+DE2=DC2, :在等腰直角三角形ADC中，DC2=2AD2, ..BD2+DE2=2DA2: (3)解：在AC的上方作等腰直角△ACE,使得∠CAE=90°，AC=AE,连接BE,如图所示： 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E AC=2, 夕 C .AE=2,EC=2, :∠ACB=45°，LACE=45° .∠BCE=90° 在Rt△BCE中，BE=VBC2+CE2=V32+22=V13, :∠BAD=LCAE=90°， .∠BAD+LDAE=∠CAE+LDAE, 即：∠BAE=∠DAC, AB=AD,AE=AC, AABE≌△ADC(SAS, :BE CD=13. I8.如图，ABC和ADE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,连接BD、CE M 图1 图2 图3 (1)如图1，当点D在ABC的内部时，求证：BD=CE; (2)如图2，∠BAC=∠DAE=126°，BC=12,且点E落在BC边上.若M为BC上的一点，且 ∠BAM+∠CAE=63°，求△BDM的周长； (3)如图3，在ABC中，AB=5,BC=8,∠ABC是一个变化的角，以AC为边作等边△ACE,连接BE, 试探究，随着∠ABC的变化，BE的长度的取值范围？ 【答案】(1)见详解 (2)12 (3)3≤BE≤13 53/60 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【分析】(1)先证明∠BAD=∠CAE,证明△ABD≌△ACE即可得出结论； (2)先证明△ABD≌△ACE,得出BD=CE,∠C=∠ABD=27°，∠BAD=∠CAE,再证明△ADM≌△AEM, 即可求出结论； (3)以AB为边作等边△ABF,连接EF,然后可得AB=BF=AF=5,∠BAF=60°，AE=AC,LEAC=60 ,进而可得△AEF≌△ACB(SAS),最后根据三角形三边不等关系可进行求解. 【详解】(1)证明：：AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE, :ZBAC-ZDAC ZDAE-ZDAC .∠BAD=∠CAE, :.△ABD≌△ACE(SAS), .BD=CE; (2)解：AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE=126°， ∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE,∠ABC=∠ACB=27°， ∠BAD=∠CAE, :△ABD≌△ACE(SAS), BD=CE,∠C=∠ABD=27°， :∠BAC=∠DAE=126°，∠BAM+∠CAE=63°， :∠BAM+∠BAD=∠DAM=63°，∠EAM=∠BAC-∠BAM-∠CAE=63°， ∠DAM=∠EAM, AD=AE,AM=AM, :△ADM≌△AEM(SAS), .DM EM, :△BDM的周长=BM+DM+BD=BM+EM+CE=BC=12; (3)解：以AB为边作等边△ABF,连接EF,如图所示： AB=BF=AF=5,∠BAF=60°， :△ACE是等边三角形， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AE=AC,LEAC=60°， ∴.∠EAC-∠CAF=∠BAF-∠CAF, ∠EAF=∠CAB, .△AEF≌△ACB(SAS), .EF BC=8, 在△BEF中，由三角形三边关系可得：EF-BF<BE<EF+BF, 当B、E、F三点共线时，可取等号， EF-BFSBE≤EF+BF, 3≤BE≤13. 19.如图，已知ABC中，AB=AC=12cm,BC=10cm,点D为AB的中点.若P、Q两点分别从B、A两 点同时出发，点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动.同时，点Q在线段AC上以4cm/s的速 度由点A向点C运动，设运动时间为t,回答下列问题： D P P C 备用图 (1)当t为何值时，C在PQ的垂直平分线上： (2)当t为何值时，△BPD≌△CQP: (3)经过 秒后，△CPQ为等腰三角形，且△CPQ的周长为18cm· 【答案】(1)t=1 (2)1=2 (3)1或1.75或1.6 【分析】(1)先根据已知条件得到BD=AB=6cm,∠B=∠C;再表示出CP=(10-21)cm, CQ=(12-4)cm,利用垂直平分线的性质列等式10-2t=12-4t,解得1=1； (2)由AB=AC得∠B=∠C,结合全等三角形的判定条件，确定aBPD≌△CQP需满足BD=CP且 BP=CQ,列出方程组求解得1=2； (3)先根据周长为18cm得出P2=(6t-4)cm,再分CP=CQ、CP=PQ、CQ=PQ三种等腰三角形的情况 列方程求解，最后验证三种情况均符合要求三角形三边关系即可。 55/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)解：在△ABC中，AB=AC=12cm,D是AB中点， 臣BD-AB=6cm,LB=LC9 由动点运动得：BP=2tcm,AQ=4tcm, 因此CP=(10-2t)cm,CQ=(12-4)cm, :点C在PQ的垂直平分线上，根据垂直平分线性质， CP=C0,即10-21=12-4t, 解得1=1； (2)解：AB=AC=12cm, ∠B=∠C, 当ABPD≌aCQP且∠B=∠C, BD=CP :对应边满足{BP=CQ' 6=10-2t 即{21=12-4 两个方程同解得t=2, 当t=2时，△BPD≌△CQP; (3)解：：△CPQ为等腰三角形，且△CPQ的周长为18cm, 、.PQ=18-CP-CQ=18-(10-21)-(12-41)=(6t-4cm, 分三种情况讨论等腰三角形： 若CP=C0时，10-2t=12-4t, 解得t=1, 此时三边为8cm,8cm,2cm,符合三角形三边关系： 若CP=PQ时，10-21=6t-4, 解得t=1.75, 此时三边为6.5cm,5cm,6.5cm,符合三角形三边关系； 若CQ=PQ时，12-41=6t-4, 解得t=1.6, 此时三边为5.6cm,6.8cm,5.6cm,符合三角形三边关系. 综上，经过1或1.75或1.6秒后，△CPQ为等腰三角形，且△CPQ的周长为18cm. 20.如图，在ABC中，AB=BC=AC,∠A=∠ABC=∠ACB=60°，D,E分别为AC,AB边上的点， 连接BD,CE交于点F,AD=BE. 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 D G M 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠ABD=∠BCE; (2)如图2，以AF为边作△AFH,AF=FH=AH,∠FAH=LAFH=LAHF=60°，连接CH,G为BC中 点，连接FG,求证：AF=2FG; 为解答这个问题，小明所在的小组经过讨论已有部分思路： ①延长FG至点P,使得PG=FG,连接CP,通过证明△BFG≌△CPG推出BF=CP; ②通过证明△ABF≌△ACH推出BF=CH,则CH=CP; 请你通过己有思路继续研究，并写出证明过程. (3)如图3，P为AB上一点，连接CP,H为CP中点，连接BH.M,N分别为BC,BP上的点，连接PM ,CN交于点O,若BM=BN,∠MON=120°，请直接写出CN,BH与PM之间的数量关系， 【答案】（①）见解析 (2)见解析 (3)CN=2BH-PM,见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，四边形的内角 和等知识点。 (1)通过证明△ABD≌△BCE,得到对应角相等，从而得证结论 (2)延长FG至点P,使得PG=FG,连接CP,通过证明aBFG≌aCPG,得到对应边对应角相等，通过证 明△ABF≌△ACH,得到对应边对应角相等，结合(1)中△ABD≌△BCE,得到△PCF≌△HCF,从而得证 结论 (3)延长BH至点K,使得HK=BH,连接CK,则BK=2BH,延长PM至点L,使得ML=NC,连接 BL,通过证明△BPH≌△KCH,得到对应边对应角相等，结合四边形的内角和为360°，得证△BCN≌△BLM 得到对应边对应角相等，继而再证明△PBL≌△KCB,得到CN,BH与PM之间的数量关系. 【详解】(1)证明：在△ABD与aBCE中， AB=BC ∠A=∠CBE, AD=BE 57/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △ABD≌△BCE(SAS), :∠ABD=∠BCE: (2)证明：延长FG至点P,使得PG=FG,连接CP, D :PF=PG+FG=2FG, 6 G :G为BC中点， :BG=GC, :在aBFG与△CPG中， BG=CG ∠BGF=∠CGP, FG=PG ∴，△BFG≌CPG(SAS), ∠6=∠7，BF=CP, :∠BAC=∠FAH=60°， ∠BAC-∠2=∠FAH-∠2，即∠1=∠3， :在△ABF与△ACH中， AB=AC ∠1=∠3， AF=AH ∴.△ABF≌△ACH(SAS, BF=CH,∠4=∠8， :CP=CH, 由(1)得，△ABD≌△BCE, .∠4=∠5， ∴.∠5=∠8， :∠ABC=∠ACB=60°， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠4+L6=60°，∠5+∠9=60°， ∠5+∠7=60°，即∠PCF=60°，∠8+∠9=60°，即∠HCF=60°， ∴.∠PCF=∠HCF, ∴在△PCF与△HCF中， (CP=CH ∠PCF=∠HCF, CF=CF △PCF≌aHCF(SAS), .FP=FH AF=FH, :AF FP, :AF=2FG; (3)解：CN=2BH-PM,理由如下， 如图，延长BH至点K,使得HK=BH,连接CK,则BK=2BH,延长PM至点L,使得ML=NC,连接 BL, B 31M :点H是PC的中点， .PH=CH, :在△BPH和△KCH中， BH=KH ∠BHP=∠KHC, PH=CH .△BPH≌a△KCH(SAS), ∠PBH=∠K,BP=KC, 59/60 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB∥CK, ∠KCB=180°-∠ABC=180°-60°=120°， :∠ABC=60°，∠M0N=120°， ∴.在四边形BN0M中，∠1+∠2=360°-（∠ABC+∠MON)=180°， ∠2+∠3=180°， ∠1=∠3， 在△BCN和△BLM中， BN=BM ∠1=∠3， NC=ML :△BCN≌△BLM(SAS), .BC=BL,∠MBL=∠NBC=60°，CN=M, ∠PBL=∠ABC+∠MBL=60°+60°=120°， ∠PBL=LKCB, 在△PBL和△KCB中， BP=CK ∠PBL=∠KCB, BL=CB .△PBL≌△KCB(SAS), .PL=BK =2BH ML=CN PL-PM, .CN =2BH-PM.函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08等腰三角形压轴题综合（押题预测20题） 一、解答题 1.定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个 等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线” 己知在△ABC中，AB=AC,点D在边AC上 图1 图2 I)如图1，如果BD=BC,求证：BD是△ABC的“等角分割线”： (②)如图2，如果BD⊥AC,且BD是△ABC的“等角分割线”，求∠C的度数： 3)BD是△ABC的“等角分割线”，∠BAC的平分线交BD于点F.如果DF=DC,那么∠BAC的度数为 2.如图1，△ABC中，AB=AC,∠ABC=∠ACB,D、E分别在AC、AB上(D、E不与A重合)、BD、 CE交于点O A B 图1 图2 图3 备用图 (I)若BD=CE,则BE与CD一定相等吗？若不一定，在图2中举出反例，并简单说明（不写作法，保留痕 迹). (2)如图3，若OD=OE,则B0与OC一定相等吗？试用反证法给出证明， B)若aBCE中有两角相等，△COD中有两角相等，△BCD中有两角相等，直接写出∠ABC度数、∠BEC 度数和∠BDC度数之和. 3.已知在△AOB中，OA=OB,∠AOB=120°，点C是平面内一点，连接AC、BC、OC,OA=OC. 1/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B 图1 备用图 备用图 (1)如图1，点O在△ABC的内部. ①当∠AC0=20°，求∠OBC的度数； ②当CO平分∠ACB,判断△ABC的形状，并说明理由； (②)如果直线BC与直线AO相交于点D,如果△COD是以DO为腰的等腰三角形，求∠OCB的度数（直接 写出答案). 4.已知：如图，∠ACB=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,点E,连接AE. D D E E 备用图1 备用图1 (I)如图，求证：AE平分∠BAC: ②)若点F是线段CB上的一点（点F不与点B,C,E重合），现以AF为一边，作LAFG=60°，使得点 B,G在直线AF的同侧，且AF=GF, ①求证：E、D、G三点共线： ②试探究EF,EG与EB之间的数量关系，并说明理由. 5.在等腰△ABC中，AB=AC,点D为BC上一点，连接AD,在AD上分别取点E、F,连接BE,CF B D 图2 图3 (I)如图1，若∠BAC=∠BED=∠CFD,BE=5,CF=8,求EF的长度： (②)如图2，点E为AD中点，H为AD延长线上一点，连接CH、BH,满足CH=AC,DH=2EF.若 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠DCF+∠BHD=90°，求证：BC=2BE: 6)如图3，若∠BAC=60°，BC=m,点D是BC中点，在AB上取一点P,连接CP,使∠BCP=37.5°，将 △BCP CP ,△ABC △B'CP BC 沿翻折到所在平面内，得到，点Q为所在直线上一动点，连接，将绕 点A顺时针旋转9O°得到AR,点T为线段B'C上的动点，连接RT、DT,当RT+DT取最小值时，请直 接写出此时△DCT的面积（用字母表示）， 6.如图1，△ABC是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，射线BD是∠ABC内部的一条射线，过点A作 AE⊥BD于点E.过点C作CF⊥BD于点F 图1 图2 图3 (I)求证：△ABE兰△BCF. (2)如图2，现将图1中的射线BD逆时针旋转至∠ABC的外部，过点A作AE⊥BD于点E,过点B在射线 BD的左侧作BG⊥BE，且BG=BE,连接CG交射线BD的反向延长线于点H.若AE=3,BE=4,求△BCH 的面积； 3)如图3，△ABC是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，点D为三角形内部一点，连接AD和CD,取CD 的中点E,连接BE,作EF⊥BE,连接AF与DF,若AF=DF,求证：∠AFD=9O° 7.等腰直角三角形是顶角为90°，底角为45°的等腰三角形.△ABC是等腰直角三角形，AB=BC, ∠ABC=90°，∠BAC=∠BCA=45° E E B B D 图1 图2 图3 (I)如图1，D为△ABC外一点，E为△ABC内一点，连接BD,AD,BE,CE,若∠DBE=90°， 3/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BD=BE,其中∠BEC=120°，∠BAD=40°，求LDBA的度数. (②)如图2，点D为线段AB上一点，连接CD.以CD为直角边作等腰直角三角形CDE,取DE的中点F, 连接BF并延长交CE于点G.求证：BG∥AC 3)如图3，点D为直线AB上的动点，连接CD,将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE,连接AE,AE 与直线BC交于点F,当BC=4,BC=3BF时，在线段CD上取一点K满足DB=DK,点L,H分别在线 段BD与线段DK上运动，始终满足BL=DH,当BH+KL取最小值时，过点L作AB的垂线I,I上有一动 点S,将BS绕点B顺时针旋转90°得到BT,当AT取最小值时，直接写出△ATC的面积. 8.【阅读材料】 如图1，点B,C分别在∠EAF的两条边上，若∠EAF和∠CBF的角平分线交于点P,则CP平分∠ECB 【数学思考】 利用上述材料的结论解决下列问题： 如图2，在等边△ABC中，点M在边BC的延长线上，CN∥AB,点D在射线CN上（点D不与点C重 合)，AE平分∠CAD交射线CM于点E. 入 B E 图1 图2 (I)求∠NCM: (2)当点D在射线CN上移动时， ①有同学猜想：在上述条件下，∠ADC=2∠AEC始终成立.该猜想是否成立？若成立，请写出推理过程， 若不成立，请举出反例： ②连接DE,若∠ADC-∠AED=60°，求∠CAE的大小. 9.【理解问题】 如图1，在△ABC和△DBC中，AB=AC,DB=DC,点A,D在底边BC的同侧.我们把具有这种位置 关系的两个等腰三角形叫做美好等腰三角形，在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连 接顶角顶点的线段叫做轴线.如图1中∠ABD和∠ACD是腰角，线段AD是轴线. 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 (1)【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在 的直线垂直平分底边.小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明， 已知：如图1，△ABC和△DBC是美好等腰三角形，连接AD.求证：∠ABD=∠ACD,AD所在直线是线 段BC的垂直平分线 (2)【实施计划】 如图2，在△ABC中，AB=AC,点D在AB上，∠ACD=45°，AE⊥CD,垂足为E,AE的延长线与BC 交于点P,点G在线段DC上，且EG=EF,连接BG.求证：△ABC和△GBC是美好等腰三角形. B)【回顾反思】①小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接DF,FG,若DF=FG,请直 接写出∠BAC的度数， ②参考小颖的问题尝试提出一个新的问题（不用解答）· 10.《被数学选中的人》是央视推出的纪录片，节目中说道：“数学区别于其他学科，最主要的特征是抽 象与推理.”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本的几何模型，用类比等方法， 进行探究，推理，以解决新的问题 D 图1 图2 图3 【建立模型】 (I)如图1，△ABC为等边三角形，点D在BC的延长线上，在BD的同侧以CD为边构造等边三角形CDE, 连接BE,AD交于点F.则△BCE≌_，判定依据为，BE=-,并直接写出∠AFB的度数 【应用模型】 (2)如图2，点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE,连接CE,若 5/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B、D、E三点共线，求证：EB平分∠AEC; 3)如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是△ABC外一点，连接AD,BD,CD.当 AD=5 ∠BDC=90 ABDC 时，请直接写出四边形 的面积. 11.育英中学“巅峰数学”兴趣小组对三角形全等模型展开探究. B D 图1 图2 图3 (1)初步探究：如图1，小华绘制的△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于 D,BE L DE于E,求证：△ADC≌△CEB: (2)探究升级：如图2，小丽绘制了另外一个△ABC,AB=AC,∠BAC=90°，AC上取一点D,连接BD 线段BD绕点B逆时针旋转0°，得到线段BD',连接CD'交直线AB于G.小丽说点G必为线段CD'的中 点，你同意她的观点吗？请说明理由 B)思维发散：在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线MN过点A且MN∥BC,过点 B为一锐角顶点作Rt△BDE,∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图3，边DE与线 段AC交于点P,连接BP.试运用所学全等三角形的知识说明△BDP是等腰直角三角形， 12.在△ABC中，∠BCA=90°，∠B=a,点D是AC边上一点，E为AB边上一个动点，将△ADE沿DE 翻折后得到△ADE(点A的对应点为点A), 0 图1 图2 备用图 (I)如图1，当点4落在AB上方时，a=60°，∠ADE=x°，则∠BED=_;(用含x的代数式表示) (②)点A落在AB上方，当∠DAE的一边与BC平行时，求∠ADE的度数.（用含a的代数式表示） 3)如图2，DE的延长线与AA'交于点F,若AC=8,CD=3时，当△ADF面积最大时，求△CDF的面积. 13.如图1，已知∠EAF=45°，射线AE上有一定点C,射线AF上有一动点B,作四边形ABCD,使得 CD=CB,且∠DCB=135° 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E E D H G B F BF 图1 图2 (1)如图1，当∠CBA为锐角时， ①若∠CBA=a&,求∠DCA的度数（用含a的式子表示）： ②过点D作DG⊥AC于点G,若DG=4,AB=6时，求△ABC的面积； (2)如图2，当CD∥AB时，连接BD交AC于点H,请探究线段CD,CH,AB之间的数量关系，并说明 理由， 14.数学问题研究常遵循：特殊化探究→一般化推理→综合应用→深化探究的思考路径，请你据此思路回 答以下问题.点A在直线I上，AB=AC,点D、E为直线I上的动点，且∠BDA=∠BAC=∠AEC=CW. ☒① 图② 图③ 图④ 【特殊化探究】 (1)如图①，当a=90°时，猜想DE、BD、CE之间的数量关系为一： 【一般化推理】 (2)如图②，若为任意锐角或钝角，请问(1)中结论是否仍然成立？如成立，请证明；若不成立，请说 明理由： 【综合应用】 B)如图③，a是钝角，直线I与CB的延长线交于点F,若BC=3BF,△ABC的面积是S,请用S表示 △FBD与△CEA的面积之和； 【深化探究】 (4)如图④，a=120°，△ABF为等边三角形，求FD与FE的数量关系和夹角度数 7/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15.综合与实践 图1 图2 图3 【问题背景】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，于是有三组边相互垂 直，所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形 (I)如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE,ADL DE于点D, BE LDE于点E,则CD与BE的数量关系是一： ②)如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线CE,过点A作AD⊥CE于点 D,过点B作BE⊥CE于点E,AD=5,BE=2,则DE的长为多少，请说明理由： 3)如图3，在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,点D是CB延长线上一点，以A为直角顶点， 线段AD为直角边向左侧作等腰直角△ADE,连接EC交AB于点F,求证：DC=2FB 16.【学习概念】 三角形一边的延长线与三角形另一边的夹角叫做三角形的外角.如图1中∠ACD是△AOC的外角，那么 ∠ACD与∠A,∠O之间有什么关系呢？ 分析：：∠ACD=180°-∠AC0,∠A+∠O=180°-∠AC0, .∠ACD=∠A+ 结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 图1 图2 图3 图4 图5 (1)【问题探究】 ①如图2，己知：∠AOB=∠ACP=∠BDP=60°，且A0=B0,则△A0C≌一： ②如图3，已知∠ACP=∠BDP=45°，且A0=B0,当∠AOB=°，①中的结论仍然成立： (2)【应用结论】 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图4，∠AOB=90°，OA=OB,，AC⊥OP,BD⊥OP,请说明：AC=CD+BD (3)【拓展应用】 如图5，四边形4BCD,4B=C,4E1CD,∠ABC+∠AEB=180,B配=ED,BD=9:则C0雨 2 长为 17.【问题探究】 B B C 图1 图2 图3 如图1，△ABE和△ACD都是等腰直角三角形，直角顶点为A,△ABE固定不动，△ACD绕着点A旋转， 如图2，将△ACD绕点A旋转，当点D落在BE边上时，连接CE. (I)直接写出BD与CE的数量关系是 ,位置关系是 (2)探索AD,BD,DE之间的数量关系，并完整地证明你的结论： 【拓展应用】 )如图3，在△ABC中，∠ACB=45°，以AB为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角△ABD,连接CD 老4C=5,BC=3,求CD长 18.如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,连接BD、CE. M 图1 图2 图3 (I)如图1，当点D在△ABC的内部时，求证：BD=CE: (2)如图2，∠BAC=∠DAE=126°，BC=12,且点E落在BC边上.若M为BC上的一点，且 9/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠BAM+∠CAE=63°，求△BDM的周长： B)如图3，在△ABC中，AB=5,BC=8,∠ABC是一个变化的角，以AC为边作等边△ACE,连接BE, 试探究，随着∠ABC的变化，BE的长度的取值范围？ 19.如图，己知△ABC中，AB=AC=12cm,BC=-10cm,点D为AB的中点.若PQ两点分别从B、A 丙点同时出发，点在线段8C上以20m的速度点P向白S运动.同时，友P在线段4C上以4如m。 的 速度由点A向点C运动，设运动时间为，回答下列问题： D B P B P 备用图 (1)当t为何值时，C在PQ的垂直平分线上： △BPD≌△CQP (2)当为何值时， (3)经过 秒后，aCPQ为等腰三角形，且△CPQ的周长为l8cm. 20.如图，在△ABC中，AB=BC=AC,∠A=∠ABC=∠ACB=60°，D,E分别为AC,AB边上的点， 连接BD,CE交于点F,AD=BE. G M 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：∠ABD=∠BCE: (②)如图2，以AF为边作△AFH,AF=FH=AH,∠FAH=∠AFH=∠AHF=60°，连接CH,G为BC中 点，连接FG,求证：AF=2FG: 为解答这个问题，小明所在的小组经过讨论已有部分思路： 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①延长FG至点P,使得PG=FG,连接CP,通过证明△BFG≌△CPG推出BF=CP: ②通过证明△ABF≌△ACH推出BF=CH,则CH=CP: 请你通过已有思路继续研究，并写出证明过程， ()如图3，P为AB上一点，连接CP,H为CP中点，连接BH.M,N分别为BC,BP上的点，连接PM, CN交于点O,若BM=BN,∠MON=120°，请直接写出CN,BH与PM之间的数量关系. 11/11