专题04 数据分析7大考点（期末真题汇编，湖南专用）八年级数学下学期新教材湘教版

**基本信息** 聚焦湖南各地期末真题，系统覆盖数据分析7大核心考点，通过读书日调查、演讲比赛评分等现实情境，实现基础计算到综合图表分析的分层能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约30题|集中趋势（平均数/中位数）、离散程度（方差）、频数分布|结合农产品销售（小龙虾定价）、体育测试（跳绳次数）等真实场景设计问题| |解答题|约15题|四分位数、总体估计、综合分析|如“湘超联赛积分分析”综合考查数据描述与推断，适配期末复习对知识整合的要求|

专题04 数据分析 高频考点概览 考点01数据的集中趋势——平均数、中位数、众数 考点02数据的离散程度——方差 考点03数据分类——组内离差平方和 考点04 四分位数与箱线图 考点05 数据的频数分布 考点06  总体的估计 考点07 数据分析中的综合题 考点01 数据的集中趋势——平均数、中位数、众数 1．（22-23七年级上·湖南岳阳·期末）在一次青年歌手大赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为________． 【答案】 【分析】根据平均数的计算公式求解即可． 【详解】解：根据题意去掉最高分9.9，去掉最低分9.0， 平均数为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求平均数，熟知平均数的计算公式是解题的关键． 2.（25-26九年级上·湖南益阳·期末）4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的读书时间，并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图． 根据本次调查的数据估计该校学生最近一周的平均读书时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是求解平均数，利用样本估计总体，求解数据的平均数即可． 【详解】解：， 本次调查的数据估计该校学生最近一周的平均读书时间为． 故选：B 3．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）有8个数的平均数是10，另外有12个数的平均数是20，这20个数的平均数是（    ）． A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】A 【分析】根据平均数的定义及求解公式直接求解即可得到答案． 【详解】解：这20个数的平均数是， 故选：A． 【点睛】本题考查平均数的定义及求法，熟记平均数的求法是解决问题的关键． 4.（20-21七年级下·湖南永州·期末）一组数据2、5、x、4、3；这组数据的平均数是4，那么x等于___． 【答案】6 【分析】根据算术平均数的定义得出，解之即可得出答案． 【详解】解：∵数据2、5、x、4、3的平均数是4， ∴ 解得x＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了平均数的定义和解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握平均数的定义. 5.（22-23七年级下·湖南娄底·期末）三个数，，分别以，，为权的加权平均数是______． 【答案】15 【分析】根据加权平均数的计算公式计算即可得答案． 【详解】，，分别以，，为权的加权平均数是， 故答案为： 【点睛】本题考查加权平均数，熟练掌握计算公式是解题关键． 6.（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）某校举行“预防溺水，从我做起”演讲比赛，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面给选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占，演讲能力占，演讲效果占，计算选手的综合成绩，小亮的三项成绩依次是92，95，90，他的综合成绩是_______分． 【答案】93 【分析】本题考查了加权平均数的定义，分式方程的应用，加权平均数：（其中）；理解定义，掌握公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 （分）， 故答案：． 7.（22-23七年级下·湖南怀化·期末）我校规定学生的英语成绩由三部分组成：听力成绩、语言表达成绩和笔试成绩．小明这三项的成绩依次为92分、90分、95分，若这三项成绩按确定学生的英语成绩，那么小明的英语成绩是_________分． 【答案】92.6 【分析】根据加权平均数的计算公式求解即可． 【详解】解：小明的英语成绩是分； 故答案为：92.6． 【点睛】本题考查了加权平均数，熟知加权平均数的计算公式是解题关键． 8.（22-23七年级下·湖南益阳·期末）某农产品经销商按大小将小龙虾分A，B，C三个等级包装后运往外地，每箱的价格依次是400元，600元，800元．某天这三个等级的小龙虾销售数量的百分比如图所示，则这天销售的小龙虾每箱平均价格为_________元．    【答案】620 【分析】根据加权平均数定义即可求出这天销售的苹果每箱平均价格． 【详解】解：这天销售的小龙虾每箱平均价格为： （元）， 故答案为：620． 【点睛】本题考查了加权平均数、扇形统计图，解决本题的关键是掌握加权平均数的定义． 9.（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）初三（）班名同学在一次测试中数学成绩（单位： 分）如下：，，，，，，，． 这组数据的中位数是_____． 【答案】 【分析】本题考查中位数的求解．熟记相关定义是解题的关键．根据中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，求解即可． 【详解】解：将数据按照从小到大的顺序排列：，，，，，，，． 中位数为：， 故答案为：． 10.（23-24七年级下·湖南株洲·期末）某路段的一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的机动车的车速一组数据如下：67、63、69、55、65，则该组数据的中位数为______． 【答案】65 【分析】本题考查求中位数．掌握中位数的定义是关键．中位数，是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数），根据定义求解即可． 【详解】解：将原数据排序为：55、63、65、67、69， 所以中位数为：65， 故答案为：65． 11.（23-24七年级下·湖南株洲·期末）在一组数据1， 0， 4， 5， 8中插入一个数据x，使该组数据中位数为3，则插入数据x的值为________． 【答案】2 【分析】根据中位数的定义得到数据-1，0，4，5，8中插入一个数据x，共有6个数，最中间的数只能为x和4，然后根据计算它们的中位数为3求出x． 【详解】解：∵数据-1，0，4，5，8中插入一个数据x， ∴数据共有6个数， 而4为中间的一个数， ∵该组数据的中位数是3， ∴=3， 解得x=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 12.（22-23七年级下·湖南湘潭·期末）已知一组数据5，2，1，3，x的平均数为3，则这组数据的中位数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据平均数求未知数据，求中位数，先根据平均数的定义求出x的值，再将数据从小到大排列，找出中间位置的数即为中位数． 【详解】解：∵一组数据5，2，1，3，x的平均数为3， ∴， 解得， 将数据按从小到大排列：1，2，3，4，5，则这组数据的中位数为3， 故选：C． 13.（23-24七年级下·湖南·期末）某商场某店一天中卖出某种品牌的休闲鞋双，它们的尺码与销售量如表所示： 鞋的尺码/cm 销售量/双 则这双鞋的尺码组成的数据的中位数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．中位数是将数据按从小到大排列后，位于中间位置的数；数据个数为（奇数），中位数为第个数据． 【详解】解：∵尺码从小到大排列为，对应数量分别为， ∴所有数据序列：个，个，个，个，个， ∵总数据个数为奇数， ∴中位数是第个数据， ∵前个数据为，第至第个数据为， ∴第个数据为， 因此中位数为． 故选：B． 14.（24-25七年级上·湖南·期末）某班男生的平均身高是165厘米．请你想一想，下面哪位男生最不可能是这个班的？（    ） A．乐乐身高168厘米，是篮球队中锋 B．力力身高132厘米，是全班最矮的 C．明明身高165厘米，是全班最高的 D．浩浩身高180厘米 【答案】C 【分析】根据平均数的特点：平均数比最小的数要大，比最大的数要小，解答即可. 本题考查了平均数的特点，熟练掌握平均数比最小的数要大，比最大的数要小是解题的关键. 【详解】解：男生的平均身高是165厘米．且平均数比最小的数要大，比最大的数要小， 故选C. 15.（23-24八年级下·湖南郴州·期中）某校有19名同学参加了中学生规范汉字书写大赛的初赛，他们的成绩各不相同，在统计这些同学的成绩后取前10名代表学校参加复赛．如果小新只知道自己的成绩，想判断自己能否进入复赛，那么他需要知道这组数据的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．频数 【答案】B 【分析】本题考查了运用中位数作决策，将数据按小到大或大到小排序后，位于中间位置的数为中位数，结合题意，即可作答． 【详解】解：∵统计这些同学的成绩后取前10名代表学校参加复赛． ∴只有排在前10名就可以进入复赛， 故他需要知道这组数据中位数， 故选：B． 16.（24-25八年级下·湖南·期末）数据的众数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了众数的定义，根据众数的定义直接解答即可，掌握众数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵数据中出现的次数最多， ∴众数为， 故选：C． 17.（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）某排球队12名队员的年龄如表：该队队员年龄的众数和中位数分别是（   ） 年龄（岁） 18 19 20 21 22 人数（人） 2 4 3 2 1 A．19岁，19岁 B．19岁，19.5岁 C．19岁，20岁 D．20岁，21岁 【答案】B 【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：这组数据中19出现4次，次数最多， 众数为19岁， 中位数是第6、7个数据的平均数， 中位数为岁， 故选：B． 18.（21-22七年级下·湖南怀化·期末）某校四个绿化小组某天的植树棵树如下：10，10，，8．若这组数据的众数与平均数相等，那么的值是（     ） A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】根据众数的定义和平均数的求法分类讨论，列出方程求解即可． 【详解】解：某校四个绿化小组某天的植树棵树如下：10，10，，8，由于值不确定，因此分情况讨论： 当时，根据众数的定义可知这组数据的众数为，平均数为，显然，与题中这组数据的众数与平均数相等不符，故舍弃； 当时，根据众数的定义可知这组数据的众数为和，平均数为，显然，与题中这组数据的众数与平均数相等不符，故舍弃； 且，根据众数的定义可知这组数据的众数为，平均数为，若满足题意，则这组数据的众数与平均数相等，即，解得， 故选：D． 【点睛】本题考查众数和平均数的概念及求解方法，熟记相关定义，并掌握众数与平均数的求法是解决问题的关键． 19.（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导我们青少年要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为1、1、4、5、1、4，有关这一组数，下列说法错误的是（    ） A．众数是1 B．平均数为 C．中位数为4.5 D．1、4、5这三个数中1的权数最大 【答案】C 【分析】本题考查了众数、平均数、中位数以及加权平均数，掌握相关定义是解题关键．根据众数、平均数、中位数以及加权平均数的概念逐一分析即可． 【详解】解：A、1出现了3次，次数最多，即众数是1，说法正确，不符合题意； B、平均数，说法正确，不符合题意； C、中位数为，说法错误，符合题意； D、1的权数是3，4的权数是2，，5的权数是1，即这三个数中1的权数最大，说法正确，不符合题意； 故选：C． 20.（23-24七年级下·湖南郴州·期末）某外贸公司人事部拟招聘一位负责外贸销售的公关人员，对应聘者进行英语听、说、读、写四个方面的考核，成绩优秀者入选．下面是甲、乙两位应聘人员的考核成绩： 听 说 读 写 甲的成绩 80 90 75 75 乙的成绩 80 75 85 80 (1)人事部最初拟定通过比较甲乙两人四项的平均分确定录用者，请你通过计算说明此方案可行吗？ (2)为了招聘到更适合岗位需求的人才，董事会改进了选聘方案，将听、说、读、写成绩依次按的权数记入总分，并以此为依据确定录用者，请问，谁将被录用？ 【答案】(1)此方案不可行，理由见解析 (2)甲会被录用 【分析】此题考查加权平均数，掌握运算法则是解题关键， （1）代入求平均数公式即可求出两人的平均成绩，根据结果即可解决； （2）根据加权平均数定义算出甲、乙的得分即可得出结论． 【详解】（1）解：此方案不可行，理由如下： 分， 分， ∴， ∴两人平均分相同，无法做选择，故此方案不可行； （2）甲的成绩为：分， 乙的成绩为：分， ∵甲的成绩高于乙的成绩， ∴甲会被录用． 21.（21-22七年级下·湖南邵阳·期末）甲、乙两班参加学校举办的学生英语口语竞赛，两班参赛人数相等，比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分），根据统计数据绘制了如下尚不完整的统计表和统计图： 甲班学生英语口语成绩统计表 分数 7分 8分 9分 10分 人数 0 1 8 (1)请补全甲班学生英语口语成绩统计表，在图①中，“7分”所在扇形的圆心角等于______； (2)请你将图②中统计图补充完整； (3)经计算乙班的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲班的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个班成绩较好； (4)为便于管理、如果学校准备组织以班为单位的8人代表队参加县级团体赛，决定从这两个班中挑选一个班参赛，请你分析，应选哪个班？ 【答案】(1)11；144° (2)将图②中统计图补充完整见解析 (3)甲班的平均分为8.3分、中位数为7分；两班平均分相等，甲班的中位数低于乙班，乙班成绩较好 (4)应选甲班，理由见解析． 【分析】（1）先求得乙班9分的百分比，再求乙班参赛的总人数，即可求得乙班“7分”所在扇形圆心角的度数，根据两班参赛人数相等求得甲班参赛的7分的人数． （2）计算出得8分的人数补全统计图即可． （3）先算平均分，中位数，再比较． （4）找出两个班最好的8个成绩进行比较． 【详解】（1）由图1知得“9分”的百分比为：72°÷360°×100%＝20%， ∴本次调查的总人数为：4÷20%＝20， ∴“7分”所在扇形圆心角的度数为：360°× ＝144°． 甲班得“7分”的人数为：20−8−1＝11， 故答案为：11，144°． （2）得“8分”的人数为：20−4−5−8＝3， 补全条形统计图如下： （3）甲班的平均分为：（分）， 中位数为：7分， ∴甲、乙两班的平均分相同，甲班的中位数低于乙班， ∴乙班的成绩比甲班好． （4）甲班有8个人得10分，乙班只有5个人得10分， ∴应该选甲班的8人参加团体赛． 【点睛】本题考查统计图表的有关知识，理解统计表，扇形统计图和条形统计图的意义是求解本题的关键． 22.（20-21七年级下·湖南邵阳·期末）车间有20名工人，某天他们生产的零件个数统计如下表． 车间20名工人某一天生产的零件个数统计表 生产零件的个数（个） 10 11 12 13 15 16 19 20 工人人数（人） 2 4 6 3 2 1 1 1 （1）直接写出这一天20名工人生产零件个数的众数为______，中位数为______； （2）求这一天20名工人生产零件的平均个数； （3）为了提高大多数工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施，并将每天每位工人生产零件个数定额为13个，你认为合理吗？为什么？如果不合理，请你制定一个较为合理的“定额”，并说明理由． 【答案】（1）12个，12个；（2）这一天20名工人生产零件的平均个数为13个；（3）不合理，见解析 【分析】（1）按照众数与中位数的定义即可求得结果； （2）根据平均数的计算公式计算即可； （3）根据众数与中位数的数值来回答即可． 【详解】解：（1）由表知，生产零件数12个的人数最多，故众数为12个； 由表知，第10、11个数据均为12个，故中位数为12个． 故答案为：12，12； （2）（个）， 所以这一天20名工人生产零件的平均个数为13个． （3）不合理，因为定额为13个时，只有8人达标，5人获奖，有12人不达标．13虽然是所给数据的平均数，但是受到极端值的影响，不能完全反映每位工人一天生产零件的实际情况，这样不利于提高工人的积极性； 定额为12个较为合适一些，因为12个既是众数，又是中位数，并且有14人达标，8人获奖，有利于提高大多数工人的积极性． 【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数等统计量，掌握它们的概念及计算方法是关键．要注意的是，它们都是反映一组数据的集中趋势的统计量，但平均数易受极端值的影响较大，与所有数据都有关，而众数和中位数只与部分数据有关． 考点02 数据的离散程度——方差 1.数据的平均数和离差平方和分别为（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查平均数的定义和离差平方和的定义，首先根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数差的平方和，进而得出答案． 【详解】解：∵这组数据为，共个数据， ∴平均数为， ∴离差平方和为： ， ， ， ， ∴这组数据的平均数和离差平方和分别为和． 故选：． 2.有6名同学参加体能测试，测试成绩（单位：分）分别是：80，80，90，75，75，80．这组数据的离差平方和是（   ） A．5 B．25 C．125 D．150 【答案】D 【分析】本题主要考查了离差平方和的计算，计算离差平方和，需先求平均值，再求每个数据与平均值之差的平方和． 【详解】解∶∵数据总和， 平均值， ∴离差平方和， 故选：D． 3.数据，，，，，，，，，的离差平方和是________，方差是________． 【答案】 【详解】数据，，，，，，，，，的平均数是， 离差平方和是； 方差是． 4.某超市抽检水果的甜度数据共8个，已知这组数据的方差为2，则其离差平方和是_______． 【答案】16 【分析】根据方差计算公式，可得离差平方和等于样本容量乘以方差，代入数值计算即可得到结果． 【详解】解：其离差平方和是：． 故答案为：16． 5.若一组数据3、4、5、x、6的平均数是5，则这组数据的离差平方和为______． 【答案】10 【分析】先根据平均数的定义求出x，然后运用离差平方和的公式求解即可作答． 【详解】解：根据题意得， 解得：， ∴这组数据的离差平方和为． 6.求一组数据方差的算式为：对于这组数据，下列说法错误的是（   ） A．n的值为5 B．平均数是7 C．离差平方和是5 D．方差是 【答案】C 【分析】先从方差算式中提取原数据，再根据定义逐一计算各选项，判断得到错误说法． 【详解】解：∵方差算式中共有5个平方项， ∴， ∴A选项说法正确，不符合题意； 原数据为6，8，8，6，7计算平均数得： ， ∴B选项说法正确，不符合题意； 将平均数代入： ； ∴离差平方和为4，不是5 ∴C选项说法错误，符合题意． ， ∴D选项说法正确，不符合题意； 7.校运动队统计男、女各5名队员的一周训练达标次数，数据整理如下，分析两组队员的达标情况，说法正确的是（    ） A．男生训练达标次数的平均数高于女生 B．男、女生训练达标次数的离差平方和相等 C．男、女生训练达标次数的中位数均为4 D．男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定 【答案】D 【分析】根据折线统计图读取男、女生各5次的达标次数数据，分别计算平均数、中位数和方差（或观察波动情况），逐一判断选项即可． 【详解】由图可知， 男生数据为：； 女生数据为：. ，， 男、女生训练达标次数的平均数相同， 故A错误； 将男生数据从小到大排列为：，中位数为； 将女生数据从小到大排列为：，中位数为， 男、女生训练达标次数的中位数均为， 故C错误； 男生离差平方和为：， 女生离差平方和为：， 男、女生训练达标次数的离差平方和不相等， 故B错误； ，， ， 女生达标情况更稳定， 故D正确． 故选：D． 8.（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）已知一组数据，，，的方差是，另一组数据，，，的方差是 ， 则 ____________． 【答案】 【分析】本题考查了方差，数据，，，的方差为，把数据，，，的每一个数都加，可得数据，，，，再根据每个数都加相同的数时，方差不变，即可得出答案． 【详解】一组数据，，，的方差为，把数据，，，的每一个数都加，可得数据，，，， 数据，，，的方差为； ，则； 故答案为：． 9.已知一组数据：1，2，3，a ， 5的平均数为3，则这组数据的方差为__________． 【答案】2 【分析】本题主要考查方差和平均数．解题的关键是掌握方差和平均数的定义． 先根据平均数的定义求出a的值，再依据方差的定义求解即可得出答案． 【详解】解：∵1，2，3，a ， 5的平均数为3， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 10.（25-26九年级上·湖南永州·期末）为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为：，，，，，则麦苗又高又整齐的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查方差的意义，在平均数相同的前提下，方差越大，数据波动越大，长势越不整齐；方差越小，数据波动越小，长势越整齐，据此判断即可．掌握方差的意义是解答本题的关键． 【详解】解：∵， ∴四种麦苗的平均高度相同， ∵， 又∵方差越小，麦苗长势越整齐， ∴麦苗又高又整齐的是甲． 故选：A． 11.（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）“菜篮子”事关民生工程，是建设和谐社会的标准之一．某数学活动小组对甲、乙、丙、丁四个菜市场冬季的相同品质的白菜价进行调查．四个菜市冬季白菜的平均价与方差如下表： 甲 乙 丙 丁 平均价（元） 方差（元） 根据统计结果，若你推荐王阿姨去购买白菜，选择哪个菜市场比较合适．（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查了方差的意义，先通过平均数确定甲和丙，最后由方差的意义即可确定丙，解题的关键是正确理解方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中.各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：通过表格可知， 又∵， ∴选择丙菜市场比较合适， 故选：． 12.（24-25九年级上·湖南永州·期末）九年级某班准备从甲、乙、丙三名同学中选一人参加学校组织的跳绳比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是190个/分，方差分别是，，，要从中选一名平均成绩好，且发挥稳定的去参加比赛，则派______同学去参赛更合适（填“甲”、“乙”、“丙”）． 【答案】丙 【分析】本题考查了利用方差做决策，熟练掌握方差的稳定性是解题关键．只有当两组数据的平均数相等或接近时，才能用方差比较它们波动的大小．方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小，由此即可得． 【详解】解：∵甲、乙、丙三名同学的平均成绩都是190个/分，方差分别是，，，且， ∴丙同学发挥最稳定， ∴派丙同学去参赛更合适， 故答案为：丙． 13.学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试，已知七、八年级各有人，现从两个年级分别随机抽取名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级： 八年级： 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 离差平方和 七年级 84 90 444 八年级 84 87 87 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_____；_____； (2)A同学说：“这次测试我得了分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是_________年级的学生，请说明理由； (3)你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出相应理由． 【答案】(1) (2)七，理由见解析 (3)八年级，理由见解析 【分析】（1）由中位数的求法、离差平方和的求法代入计算即可； （2）比较七年级成绩和八年级成绩的中位数即可得到答案； （3）分别求出七年级、八年级成绩的方差，比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：将七年级名学生的测试成绩按照由小到大的顺序排列：， 七年级成绩的中位数为 ，即； ； （2）解：由（1）知七年级成绩的中位数为分、八年级成绩的中位数为分，若A同学这次测试得了分，大于分，位于年级中等偏上水平，则他是七年级学生； （3）解：八年级， 理由如下： 七年级成绩的方差为；八年级成绩的方差为， 七年级成绩的平均数与八年级成绩的平均数相等，八年级成绩的中位数大于七年级成绩的中位数，八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差， 八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好． 14.某班为了选拔一名学生参加学校举办的诗词大赛，组织了五次测试，其中甲、乙两名学生的成绩较为优秀，他们在这五次测试中的成绩（单位：分）如下： 【数据收集】 甲：； 乙：． 【数据分析】 学生 众数/分 中位数/分 平均数/分 甲 乙 根据上述收集、分析的结果，解答下列问题： (1)上表中_________，_________； (2)求乙同学这五次测试成绩的平均数； (3)计算甲、乙两名学生这五次测试成绩的离差平方和，若班主任张老师要选一名成绩比较稳定的学生去参加学校举办的诗词大赛，选择哪名学生更合适？ 【答案】(1)， (2)乙同学这五次测试成绩的平均数是分 (3)甲的离差平方和是，乙的离差平方和是；选择学生甲去参加学校举办的诗词大赛更合适 【分析】本题考查了众数、中位数、离差平方和、平均数，关键是熟练应用特征数的算法进行数据的整理和分析； （1）根据众数及中位数的定义计算即可； （2）根据平均数的求法计算即可； （3）根据离差平方和的求法计算出两名学生的成绩，利用离差平方和越小成绩越稳定来选择参赛学生即可． 【详解】（1）解：∵甲成绩中出现次数最多， ∴， ∵乙成绩按从小到大排序中间位置的数是， ∴； 故答案为：． （2）解：∵， 乙同学这五次测试成绩的平均数是分． （3）解：甲的离差平方和，      乙的离差平方和，            ∵， 选择学生甲去参加学校举办的诗词大赛更合适． 15.（23-24七年级下·湖南株洲·期末）隆兴中学校组织开展了主题为“青春齐奋进，携手向未来”的演讲比赛，七（1）班、七（2）班均有5名同学进入复赛，其中七（1）班5名同学的比赛成绩如下（单位：分）：7，9，10，7，8．根据以上信息，解答下列问题： (1)七（1）班5名同学的比赛成绩的众数是______，中位数是______． (2)已知七（1）班5名同学的比赛成绩的平均数是8.2（分），求这5名同学的方差．（方差公式：） (3)已知七（2）班5名同学的比赛成绩的平均数为8.4分，中位数为8分，方差为1.04．请根据统计数据进行分析，说说哪个班进入复赛的同学在比赛中的表现更优秀？ 【答案】(1)7，8 (2) (3)七（2）班 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据方差的定义求解即可； （3）根据平均数和方差进行决策比较即可． 本题考查数据的波动程度和数据的离散程度，涉及平均数，方差，众数，中位数等，解题的关键是熟练掌握相关定义． 【详解】（1）解：将七（1）班5名同学的比赛成绩按从小到大顺序排列序得： 7，7，8，9，10． ∵数据7出现了两次，次数最多， ∴众数为7； ∵第三个数是8， ∴中位数是8． （2）解：平均数 方差 答：七（1）班5名同学的比赛成绩的方差为． （3）解：七（2）班进入复赛的同学表现更优秀，理由如下： 七（2）同学的成绩的平均数大于七（1），说明平均水平更高；方差更小，说明成绩比较稳定． ∴七（2）进入复赛的同学表现更优秀． 16.（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）某校举行了“珍爱生命，预防溺水”主题知识竞赛活动，七（1），七（2）班各选取5名选手参赛，两班参赛选手成绩依次如下：（单位：分） 七（1）班：5，9，7，10，9 七（2）班：8，8，7，8，9 根据以上信息，请解答下面的问题： (1)求七（2）班5名同学比赛成绩的平均数和方差； (2)已知七（1）班5名同学的比赛成绩平均数为8分，方差为，请根据数据进行分析，你认为哪个班能成为获胜班级，为什么？ (3)若七（1）班又有一名学生参赛，成绩是8分，则七（1）班这6名选手成绩的平均数与5名选手成绩的平均数相比会_______，方差相比会_______（填“变大”、“变小”或“不变”） 【答案】(1)平均数为8，方差： (2)七（2）班能成为获胜班级，理由见解析 (3)不变，变小． 【分析】本题考查了平均数和方差，解题的关键在于熟练掌握平均数和方差的公式． （1）根据平均数公式（数据之和除以数据的个数）和方差公式（先求出平均数与各个数据之差，将其平方，平方数之和除以数据个数）即可求出答案． （2）根据方差越小越稳定即可判断出哪个班级能获胜． （3）分别求出七（1）班5名同学和6名同学的平均数和方差，将其比较即可求出答案． 【详解】（1）解：七（2）班5名同学比赛成绩的平均数为： ． 方差：①平均：平均数为8 ②求差：0，0，，0，1 ③平方：0，0，1，0，1 ④再平均： 故答案为：平均数为8，方差：． （2）解：七（1）班5名同学比赛成绩的平均数为， 七（2）班5名同学比赛成绩的平均数为：8 两个班级的平均数都要是8， 七（2）班的比赛成绩的方差小于七（1）班方差， 七（2）班的成绩更稳定， 我认为七（2）班能成为获胜班级． 故答案为：七（2）班能成为获胜班级． （3）解：七（1）班又有一名学生参赛，成绩是8分， 七（1）班这6名选手成绩的平均数为：． 七（1）班5名同学比赛成绩的平均数为8， 七（1）班这6名选手成绩的平均数与5名选手成绩的平均数相比不变． 七（1）班5名同学的比赛成绩方差为， 七（1）班这6名选手方差：①平均：平均数为8 ②求差：，1，，2，1，0 ③平方：9，1，1，4，1，0 ④再平均：， 七（1）班这6名选手成绩的平均数与5名选手成绩的方差相比会变小． 故答案为：不变，变小． 考点03 数据分类——组内离差平方和 1.在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（    ） A．使每组数据量相等 B．保证组间均值相等 C．减少计算复杂度 D．使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大 【答案】D 【分析】本题考查离差平方和的实际意义．根据离差平方和与数据差异的关联作答即可． 【详解】解：∵离差平方和用于衡量数据间的差异程度， ∴组内离差平方和最小，代表每组组内数据的差异尽可能小， 又∵总离差平方和固定时，组内离差平方和越小，组间离差平方和越大，即组间数据差异尽可能大， ∴该要求的目的是使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大． 故选：D． 2.将位同学的英语口语成绩，，，，，分成前个一组，后三个一组，则这两组数据的组内离差平方和为______． 【答案】 【分析】根据分组先分别求出两组数据的平均数，再分别计算每组的组内离差平方和，最后求和得到总的组内离差平方和． 【详解】解：由题意得，前个数据为，，，后个数据为，，， 计算第一组的平均数：， 第一组的离差平方和：， 计算第二组的平均数：， 第二组的离差平方和：， 总的组内离差平方和为． 3.已知一组数据的离差平方和为，将数据分成、两组，这两组数据的组间离差平方和为，则这两组数据的组内离差平方和为______． 【答案】 【分析】本题根据离差平方和的分解关系，总离差平方和等于组间离差平方和与组内离差平方和的和，已知总离差平方和与组间离差平方和，通过有理数减法计算即可得到组内离差平方和． 【详解】解：根据离差平方和分解，可得组内离差平方和总离差平方和组间离差平方和 代入数据计算得． 4.晓慧同学为了在明年的中考体育考试中取得最好的成绩，每天自己在家里练习一分钟仰卧起坐，妈妈统计了她连续六天内仰卧起坐的个数：28，25，30，27，30，26．按照“组内离差平方和达到最小”的方法分成两组，则组内离差平方和的最小值是（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】先将数据从小到大排序，枚举所有合理分组，分别计算各组的组内离差平方和（组内每个数据与组平均数差的平方和），比较后得到最小值. 【详解】解：将数据从小到大排列得：， 当分组为， 则， 的平均数为， ， ∴， 当分组为时，同法可得：； 当分组为3个数和3个数时，要使“组内离差平方和达到最小”，则应分组为和， 第一组平均数， ， 第二组平均数， ， 总离差平方和； 当分组为时，同法可得， 当分组为时，同法可得； 组内离差平方和的最小值为. 5.山西省晋南地区独特的地理与气候条件，为苹果提供了良好的生长条件，运城地处北纬，黄土层深厚肥沃，是公认的苹果“黄金生产带”．现某苹果商贩购进一批苹果按照苹果的个头进行包装销售．抽取其中的10个苹果直径为80，69，81，80，70，65，78，76，76，75．按照“组内离差平方和达到最小”的方法分成2组，共有9种情况，如下：（结果保留整数） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 147 147 第2个间隔 8 90 98 第3个间隔 14 34 48 第4个间隔 51 25 76 第5个间隔 82 16 98 第6个间隔 103 5 108 第7个间隔 136 1 137 第8个间隔 183 1 184 第9个间隔 219 0 219 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第3个间隔分组时，组内离差平方和最小．因此，按组内离差平方和最小的分法为______________和________________． 【答案】 65，69，70 75，76，76，78，80，80，81 【分析】先将给出的10个苹果直径数据从小到大排序， 根据分组规则，第个间隔对应前个数据为第一组，剩余数据为第二组，结合题意第3个间隔分组满足组内离差平方和最小，即可得到分组结果； 【详解】解：将原数据从小到大排序，得， 按第3个间隔分组时，组内离差平方和最小，第3个间隔对应前3个数据为第一组，剩余数据为第二组， 按组内离差平方和最小的分法为和． 6.在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，则正确的分组是______． 【答案】{7，9}，{12，13，15} 【分析】根据组内离差平方和越小，组内数据相差越小，得到第2个间隔组内离差平方和最小，据此解答即可． 【详解】解：将5名同学的引体向上个数从小到大排列为：7，9，12，13，15， 观察表格，4种分法中最小的组内离差平方和为， 因此，正确的分组是：{7，9}，{12，13，15}． 7.在一分钟跳绳测试中，6名同学完成的次数分别为120，135，110，105，140，125．根据组内离差平方和最小的原则，把这6名同学跳绳次数分为两组． 【答案】与 【分析】求出组内离差平方和最小值． 【详解】解：数据排序为105，110，120，125，135，140．分组列表如下： 分组 第一组 离差平方和 第二组 离差平方和 组内 离差平方和 第1个间隔 0 570 570 第2个间隔 250 第3个间隔 第4个间隔 250 第5个间隔 570 0 570 对比所有分组的总离差平方和发现，当按第3个间隔分组时，组内离差平方和最小，因此，按组内离差平方和最小的分法为与． 8.某班级5名学生的成绩为60，70，78，90，100．若将其分为两组，如何分组可使组内离差平方和最小？请计算最小值． 【答案】60，70，78一组，90，100一组   最小值约为212.67 【分析】先将数据排序，最优分组是按顺序将数据分成连续的两段；因此，只需列出所有连续划分的情况，分别计算组内离差平方和，比较后即可找到最小值及其对应的分组． 【详解】解：将数据60，70，78，90，100分成两组共有4种情况， ①，； ②，； ③，； ④，； 分别计算组内离差平方和（精确到）如下表所示： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 ① 0 523 523 ② 50 242.67 292.67 ③ 162.67 50 212.67 ④ 483 0 483 由表可知，当60，70，78一组，90，100一组时，组内离差平方和最小，最小值约为212.67． 【点睛】本题考查了组内离差平方和的计算与分组优化，掌握列出所有分组情况、分别计算每组离差平方和后比较总和是解题的关键． 考点04 四分位数与箱线图 1.九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（    ） A． B．168 C．124 D．150 【答案】C 【分析】本题考查第一四分位数的计算，解题思路为先对数据从小到大排序，第一四分位数为前一半数据的中位数，计算即可得到结果． 【详解】解：将原数据从小到大排序得：， ∵总共有8个数据，第一四分位数是前4个数据的中位数，前4个数据为， ∴第一四分位数是． 2.样本数据5，9，1，3，7，6，10的是________． 【答案】9 【分析】先将样本数据从小到大排序，再计算分位数的位置，最后根据百分位数的定义得到结果． 【详解】解：将样本数据从小到大排列，得，，，，，， 样本容量，计算分位数位置 因为不是整数，将向上取整，得，即该分位数为排序后第个数据 故该样本的为． 3.为考察某种农作物的长势，研究人员分别抽取了10株苗，测得它们的高度（单位：）如下：8，8，9，9，10，11，12，12，13，14．则这组数据的________，________，________． 【答案】 9 12 【分析】分别计算下四分位数、中位数和上四分位数即可． 【详解】解：由数据排序得：，，，，，，，，，， ∴中位数为第和第个数据的平均值，即； 下四分位数为前个数据的中位数，即第个数据； 上四分位数为后个数据的中位数，即原数据中的第个数据． 4.如图是某次测试成绩的箱线图．根据图中的信息，下列判断错误的是（   ） A．本次测试的最高分是99分 B．本次测试的平均分是79分 C．本次测试成绩的第三四分位数是88分 D．本次测试成绩在65~88分的人数占了50% 【答案】B 【分析】准确识别箱线图中五个关键统计量：最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值，同时理解四分位数间距（箱体部分）所代表的数据占比，据此逐一分析各个选项的判断即可． 【详解】A项：由图可知，箱线图最上方的横线（上须末端）对应的数值是99，这代表数据的最大值，故A项判断正确，不符合题意； B项：箱线图中间的横线代表中位数，而非平均数，图中显示中位数为79，平均数需要所有数据之和除以数据个数，仅凭箱线图无法直接得出平均数，故B项判断错误，符合题意； C项：由图可知，图中箱体上沿的横线表示本次测试成绩的第三四分位数，即为88分，故C项判断正确，不符合题意； D项：箱线图的箱体部分（从第一四分位数到第三四分位数）包含了数据集中间的数值，图中第一四分位数为65，第三四分位数为88，这意味着成绩在65分到88分之间的数据占总人数的，故D项判断正确，不符合题意． 5.游泳培训中心特训班进行毕业考试，100米蛙泳24名成员的成绩如下（单位：秒）： 158  149  145  128  140  135  142  150 155  132  136  150  142  152  130  136 140  144  166  142  144  150  132  138 据此回答： (1)填写四分位数表 四分位数 数值 136 142 150 说说本次成绩所反映的总体情况 (2)如下图所示，将这一年的成绩绘制成箱线图，并与去年的成绩进行比较，说说你对这一年成绩的评价． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先将24名成员的成绩从小到大排序，再分别计算出，再根据数据特征分析即可； （2）根据（1）将今年箱线图补充完整，再将箱线图比较两组数据特征分析即可． 【详解】（1）解：将24名成员的成绩从小到大排列为： 128，130，132，132，135，136，136，138，140，140，142，142，142，144，144，145，149，150，150，150，152，155，158，166； ，，； 填表如下： 四分位数 数值 136 142 150 四分位数反映了本次考试成绩中，有不少于的学员的成绩在136秒及以内；有至少一半的学员的成绩在142秒及以内；但是还有不少于的学员的成绩至少有150秒，仍需努力； （2）箱线图如图所示： 通过箱线图可知，今年总体成绩超过去年，不但最少用时和最多用时均比去年要短，而且中位数也提高了8秒，除此之外，这一成绩段的学员成绩更加集中，表示了总体上成绩的集中体现． 6.某银行理财经营团队A对其2025年上半年负责经营的12项理财产品的收益率（%）进行统计，数据如下（已按从小到大的顺序排列）： 2.10，3.15，3.18，3.19，3.50，，3.93，4.00，4.44，，4.47，4.89． 团队A产品收益率的相关数据（%） 团队 收益率的平均值 A 3.925 4.450 3.769 请根据以上信息解答下列问题： (1)计算，，的值，并填入表格． 团队 收益率的平均值 A 3.925 4.450 3.769 (2)根据统计数据绘制了A团队负责经营的理财产品收益率的箱线图，写出两条你从中得到的信息． 【答案】(1)3.185，3.92，4.46 (2)1．收益率最低为2.10%，最高为4.89%；2．收益率的中位数是3.925% 【分析】（1）根据四分位数的公式分别列式计算下四分位数、中位数、上四分位数，即可求解； （2）根据箱线图即可得出结论． 【详解】（1）解：下四分位数； 中位数， ∴； 上四分位数， ∴； 填表如下： 团队 收益率的平均值 A 3.185 3.925 4.450 3.92 4.46 3.769 （2）解：由箱线图可得，1．收益率最低为，最高为；2．收益率的中位数是． 考点05 数据的频数分布 1.（24-25八年级下·湖南益阳·期末）已知一组数据，，，（每两个4之间的1的个数依次增加）．在这组数据中，有理数出现的频数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解题的关键，首先判断每个数是否为有理数，统计有理数的个数即可得到频数． 【详解】解：∵，是整数，属于有理数， ，是整数，属于有理数， 可化为无限循环小数，属于有理数， 小数部分无规律且不循环，属于无理数， ∴有理数有3个， ∴频数为3， 故选：C． 2.（24-25八年级下·湖南郴州·期末）某校名学生参加艺术考试，成绩在分的有人，则这个分数段的频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了频率的计算，根据频率的计算公式，频率等于频数除以总数即可求解，掌握频率的计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵成绩在分的学生有人，总人数为人， ∴该分数段的频率为：， 故选：． 3.（24-25八年级下·湖南郴州·期末）在一次学生安全知识竞赛中，将八（1）班50名学生的成绩分为5组，第一组到第四组的频率之和为0.8，则第五组的频数是（   ） A．8 B．10 C．20 D．40 【答案】B 【分析】本题考查了频率与频数的计算，根据频率之和为1的性质，先求出第五组的频率，再乘以总人数得到频数． 【详解】∵所有组的频率之和为1，已知前四组的频率之和为0.8， ∴第五组的频率为： ∴第五组的频数为： 故选B． 4.（24-25八年级下·湖南湘潭·期末）某同学投掷硬币20次，出现“反面向上”的频率是，则出现“正面向上”的频数是___________． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率求频数． 先求出出现“正面向上”的频率，再乘以20即可． 【详解】解：∵某同学投掷硬币20次，出现“反面向上”的频率是， ∴出现“正面向上”的频率是， ∴出现“正面向上”的频数是， 故答案为：． 5.（24-25八年级下·湖南怀化·期末）李明将一枚质地均匀的硬币连续抛掷10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，正面朝上的频率是______． 【答案】 【分析】本题考查频数与频率，掌握频率频数总数是正确解答的关键．根据频率频数总数进行计算即可． 【详解】解：李明抛掷一枚质地均匀的硬币，连续抛掷10次，6次正面朝上，反面朝上4次， 则正面朝上的频率是． 故答案为：． 6.（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）一组数据的最大值为98，最小值为18，若取组距为9，作等距分组，则分成的组数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查频数分布表，理解极差和组距，组数的意义是正确判断的前提．根据组数（最大值最小值）组距计算，注意小数部分要进位． 【详解】解：极差为，且组距为9， 组数为． 故选：B 7.（21-22八年级下·湖南永州·期末）收集某班50名同学的身高根据相应数据绘制的频数分布直方图中各小长方形的高比为，那么第二组的频数是（　　） A．10 B．20 C．15 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了频数分布直方图，掌握频数分布直方图的特点是解题的关键；用总人数乘以第二组所占的百分比即可得解． 【详解】解：第二组的频数是， 故选：． 8.（24-25八年级下·湖南·期末）某次数学测试，抽取部分同学的成绩（得分为整数），整理制成如图所示的频数分布直方图，根据图示信息描述不正确的是（   ） A．频数分布直方图中组距是10 B．本次抽样样本容量是60 C．这一分数段的频数为18 D．这次测试及格（不低于60分）率以上 【答案】B 【分析】本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意和直方图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由直方图得，频数分布直方图中组距为：，故选项A正确，不符合题意； 本次抽样样本容量为：，故选项B不正确，符合题意； 这一分数段的频数为18，，故选项C正确，不符合题意； 这次测试及格(不低于60分)率以上，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 9.（24-25八年级下·湖南常德·期末）某班体育课进行了一次体能测试，如图是反映该班测试成绩（得分为整数）的频数分布直方图． (1)该班共有多少名学生参加了体能测试？ (2)若分以上为优秀，求该班这次测试的优秀率． (3)从图中你还能获得哪些信息？（写出一条即可） 【答案】(1)该班共有名学生参加了体能测试 (2) (3)各组中，测试成绩在～分的人数最多（答案不唯一） 【分析】本题考查了读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．此外还利用了样本估计总体的思想． （1）将各分数段的人数相加即可得出答案； （2）用分以上人数除以总人数即可得出答案； （3）答案不唯一，合理即可． 【详解】（1）解：（名）， 答：该班共有名学生参加了体能测试； （2）解：该班这次测试的优秀率为； （3）解：∵得分为整数，该班测试成绩人数最多的是第三组， ∴各组中，测试成绩在～分的人数最多（答案不唯一）． 10.（24-25八年级下·湖南张家界·期末）育才学校为了解八年级学生的视力情况，对八年级的学生进行了一次视力抽样调查，并将调查数据进行统计整理，绘制出如下频数分布表和频数分布直方图的一部分． 视力x 频数 频率 10 0.1 a 0.2 35 0.35 b 0.3 5 c (1)在频数分布表中_____，______；______；（每空1分） (2)将频数分布直方图补充完整； (3)小明同学说“我的视力情况是此次抽样调查所得数据的中位数”，问小明同学的视力情况在哪个范围内？ (4)若视力在4.6以上（含4.6）均属正常，求视力正常的人数占被调查人数的百分比． 【答案】(1)20，30，0.05 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查频数分布表与频数分布直方图，频率与频数之间的关系，以及中位数的求解问题，正确理解题意是解题的关键． （1）先由视力在的频数除以频率求出总数，再由总数乘以频率分别求出，然后由视力在范围的频数除以总数即可求解频率； （2）由（1）求出的即可补全频数分布直方图； （3）由中位数得定义求解即可； （4）用视力正常的人数除以总数，再乘以即可求解． 【详解】（1）解：抽取的人数：人， ∴，， ， 故答案为：20，30，0.05； （2）解：如图： （3）解：由于调查人数为100人，则中位数为第50，51人视力的平均数，从频数分布表可得中位数落在视力范围这一组； （4）解：由题意得，， 答：视力正常的人数占被调查人数的百分比为． 11.（23-24八年级下·湖南益阳·期末）跳绳是一种很好的运动方式，某校对八年级学生进行了1分钟跳绳次数的测试，所有学生的成绩绘制出频数分布表和频数直方图的一部分如下． 跳绳次数(x) 频数(人数) 频率 20 0.1 40 0.2 70 a b c 10 0.05 请根据图表信息回答下列问题： (1)在频数分布表中，a的值为______，b的值为______，c的值为______； (2)将频数直方图补充完整； (3)小健说“我的跳绳次数是此次测试所得数据的中位数”，小键的成绩在哪个范围内? (4)若跳绳次数在120次以上（含120次）属优良，求此次测试中成绩优良的人数占总人数的百分比． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)小健的成绩在的范围内 (4)此次测试中成绩优良的人数占总人数的百分比为70％ 【分析】本题考查频数分布表、频数分布直方图等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于基础题，中考常考题型． （1）根据跳绳次数在的频数和频率求出抽取的人数，再用70除以总人数求出，再用整体1减去其它视力段的频率求出，进而求出b即可； （2）根据（1）求出的数据直接补图即可； （3）根据中位数的定义直接解答即可； （4）跳绳次数在120次以上（含120次）所占的比例乘以即可． 【详解】（1）抽取的总人数是：（人， 则， ， （人， 故答案为：，，； （2）根据（1）求出的数据，补全频数分布直方图如下： （3）中位数落在第3组内， 小健的成绩在的范围内； （4）此次测试中成绩优良的人数占总人数的百分比为． 考点06  总体的估计 1.（24-25九年级上·湖南·期末）从总体中抽取一部分数据作为样本去估计总体的某种属性，下面叙述正确的是（    ） A．样本容量越大，样本平均数就越大 B．样本容量越大，样本的标准差就越大 C．样本容量越小，样本平均标准差就越大 D．样本容量越大，对总体的估计就越准确 【答案】D 【分析】根据样本容量与总体的关系解答即可. 【详解】解：A、样本容量越大，样本平均数就越大，叙述错误； B、样本容量越大，样本的标准差就越大，叙述错误； C、样本容量越小，样本平均标准差就越大，叙述错误； D、样本容量越大，对总体的估计就越准确，叙述正确； 故选：D. 【点睛】本题考查了利用样本估计总体，熟知在一个总体中，总体的估计只与样本容量在总体中所占的比例有关是解答关键. 2.（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）某班有30名男同学、20名女同学，学校想了解该班学生的身体素质，随机抽取10名同学进行测试分析，应抽取男同学（　　） A．4名 B．6名 C．8名 D．10名 【答案】B 【分析】本题主要考查样本估计总体，熟练掌握样本估计总体是解题的关键．根据样本进行估计即可． 【详解】解：， 故选B． 3.（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）为了调查我县初中学生近视人数，凯凯同学对自己所在城区的初中生近视人数做了调查，发现每1000初中生中，大约有200人近视．若我县初中生人数约为2万，据此凯凯推断出我县初中生的近视人数是（    ） A．万 B．万 C．万 D．万 【答案】C 【分析】本题考查用样本估计总体． 根据样本中近视比例推断总体近视人数即可． 【详解】解：∵样本中每1000初中生有200人近视， ∴近视比例为， ∵总初中生人数为2万， ∴近视人数为万． 故选：C． 4.（25-26九年级上·湖南怀化·期末）“鄱阳湖鱼肥，南昌米粉香”．鄱阳湖地区某水产养殖专业户为了估计池塘里鱼的数目，第一次捕捞了200条鱼，将这些鱼都做上标记后放回池塘．几天后，第二次捕捞了3500条鱼，发现其中有20条鱼身上有标记，由此可估计该池塘里约有______条鱼． 【答案】35000 【分析】本题考查用样本估计总体，通过标记重捕法建立比例方程求解，利用分式方程的应用解决问题． 【详解】解：设该池塘里约有条鱼， 根据题意得， 解得， 经检验是原分式方程的解， 因此该池塘里约有条鱼． 故答案为：． 5.（25-26九年级上·湖南永州·期末）某工厂生产了一批产品，从中随机抽取了件来检查，发现有件优等产品，试估计这批产品的优等率是（    ） A．85% B．90% C．95% D．98% 【答案】B 【分析】本题考查用样本估计总体的统计思想，通过计算样本的优等率来估计总体的优等率，优等率即优等品数量占总数量的百分比． 【详解】解：∵抽取的件样本中优等品有件． ∴样本优等率为 ∴用样本估计总体，这批产品的优等率估计为， 故选：B． 6.（21-22七年级下·湖南湘西·期末）在2021年义务教育质量国家监测中，对某校八年级（1）班30名学生语文成绩进行分析，分数段的学生有21人，则这21人所占该班人数的百分比是______． 【答案】 【分析】用该分数段的人数除以总人数求解即可． 【详解】解：这21人所占该班人数的百分比是； 故答案为：． 【点睛】本题考查统计问题，属于基础题目，掌握求解的方法是关键． 7.（25-26九年级上·湖南益阳·期末）2025年湖南省足球联赛（简称“湘超联赛”）于9月7日在长沙贺龙体育场开幕以来，激发了湖南这片土地上的足球热情．某校体育兴趣小组随机对部分同学进行了足球知识的问卷调查（满分100分）．将调查的数据整理、绘制成如下不完整的统计图表． 等级 分数x（分） 频率 A 0.2 B a C 0.3 D b 请根据图表中的信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)求扇形统计图中B对应的圆心角的度数； (3)若该校有2200名学生，估计其中达到A等级的学生共有多少名？ 【答案】(1)，， (2) (3)估计其中达到A等级的学生共有名 【分析】本题考查的是从频数分布表与扇形图中获取信息，利用样本估计总体． （1）由频数分布表与扇形图可得答案． （2）由乘以扇形统计图中B的占比即可得到结论． （3）由2200乘以A的占比即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∴． （2）解：扇形统计图中B对应的圆心角的度数为：． （3）解：， ∴该校有2200名学生，估计其中达到A等级的学生共有名． 8.（25-26九年级上·湖南永州·期末）近年来，长沙“新中式茶馆”频出，并受到市民游客追捧，经有意无意的传播与分享，不断走红“出圈”．某茶馆老板，为了更好的销售，统计了部分顾客最喜爱茶品的数据，得到如下两幅待完善的统计图表． 茶名 喜欢的人数 A铁观音 B龙井 C碧螺春 D毛尖 E银针 根据图表中所给信息，解答下列问题： (1)本次统计了________人；表中_______； (2)在扇形统计图中，“A”所对应的扇形的圆心角为________度； (3)若该茶馆大约每天有顾客1000人，请你帮茶馆的老板分析每天准备铁观音茶叶多少份？ 【答案】(1)， (2) (3)每天准备铁观音茶叶份 【分析】本题考查了扇形统计图，统计表，样本估计总体． （1）根据D的数量与占比求得总人数，进而结合统计表求得的值； （2）用A的占比乘以，即可求解； （3）根据样本估计总体，用乘以的占比，即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：，． （2）解： 故答案为：． （3）解： 答：每天准备铁观音茶叶份 9.（25-26九年级上·湖南娄底·期末）国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．杨家坪中学教育集团响应号召，计划组织全集团学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取各个校区的部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______； (2)被调查学生中最喜欢打篮球的人数是______； (3)若集团内总共有大约9000名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？ 【答案】(1)24 (2)16 (3)估计该校最喜欢篮球运动的学生约有2880人 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用样本估计总体，解题的关键是正确理解题意，读懂统计图． （1）先由喜欢排球的人数除以占比求出样本容量，再由总数乘以喜欢足球人数的占比即可求解； （2）由总数减去喜欢其余运动项目的人数即可求解喜欢打篮球的人数； （3）由总数乘以喜爱篮球运动人数的占比即可求解． 【详解】（1）解：样本容量为：，故． 故答案为：24． （2）解：篮球人数为：． 故答案为：16． （3）解：（人）． 答：估计该校最喜欢篮球运动的学生约有2880人． 10.（25-26九年级上·湖南郴州·期末）某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目你及时纠错解疑吗？”，设置的选项有：A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查人数是_____，请补全条形统计图； (2)扇形统计图中选项“较少”占的百分比中_____，选项“较多”对应的圆心角是_____度； (3)若该校共2400名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 【答案】(1)200，图见解析 (2)；108 (3)“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有840名 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的应用，计算扇形统计图中的占比和圆心角，用样本估算总体，掌握好相关知识是关键． （1）用“偶尔”的人数除以占比求得抽样调查的人数，作差求出“较多”的人数，然后补全条形统计图即可； （2）用“较少”的人数除以抽样调查的人数求出占比，同样方法算出“较多”的占比，再乘以得出“较多”对应的圆心角； （3）计算出“一直”在样本中的占比，再乘以全校学生数即可． 【详解】（1）解：对比两个统计图可知，“偶尔”的人数为人，占比， ∴本次抽查的人数为（人）， ∴“较多”的人数为（人）， 补全条形统计图，如图所示： （2）解：“较少”的百分比为， ∴， “较多”对应的圆心角的度数为； （3）解：（人）． 答：“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有840名． 11.（23-24九年级上·湖南株洲·期末）在一次数学基础题测试中（满分分），某班的两名同学根据班级的成绩（分数为整数）分别绘制了频率分布统计表和频数分布直方图．在频数分布直方图中从左到右每个小组的人数之比为，其中小组的人数为人，请结合统计图表，回答下列问题： 分组 频率 (1)求这个班级参加测试的人数； (2)若这次测试成绩分以上（含分）为优秀，求优秀率； (3)若这次测试成绩分以上（含分）为及格，求及格率． 【答案】(1)这个班级参加测试的人数人； (2)这次测试的优秀率为； (3)这次测试的合格率为． 【分析】（）根据频率分布直方图知道小组人数为人，根据求出所占比，即可求出这个班级参加测试的人数； （）根据频数分布直方图中每个小组的频数之比为可以求出各个小组的频率，然后就可以找到这次测试的成绩分以上（含分）的人数，也就可以求出优秀率； （）结合直方图可得低于分的人数为人，又结合频数分布表可得低于分的人数即可求出及格率； 本题考查了频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题是解题的关键． 【详解】（1）由题意可得参加测试的人数为（人）， 答：这个班级参加测试的人数人； （2）由直方图可得：优秀率 ， 答：这次测试的优秀率为； （3）结合直方图可得低于分的人数为人，又结合频数分布表可得低于分的人数也为人， 故及格率， 答：这次测试的合格率为． 考点07 数据分析中的综合题 1.（25-26九年级上·湖南郴州·期末）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（用表示学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在组的数据是：82，83，85，86，87，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 90 100.8 九年级 88 94 110.0 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的___________，___________，___________； (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校八年级有800名，九年级有700名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 【答案】(1)93；87.5；30 (2)八年级学生的知识竞赛成绩更好，理由见解析 (3)估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有755人 【分析】本题考查了扇形统计图、统计表、中位数、众数以及用样本估计总体，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键． （1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据中位数、方差的意义求解即可； （3）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 【详解】（1）解：根据数据，八年级20名学生的竞赛成绩中，93出现次数最多， 所以众数， 由题知，九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据有6个， 所以占，则， 根据扇形图可知，竞赛成绩在C、D占，共名学生， 又20名学生竞赛成绩的中位数为从小到大排列第10、11位的平均值， 所以中位数， 故答案为：93；87.5；30． （2）解：八年级学生的知识竞赛成绩更好， 因为两个年级的平均数相同，八年级的中位数高于九年级，方差小于九年级， 故八年级的学生成绩更好． （3）解：根据数据，八年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又八年级有800名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）； 九年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又九年级有700名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）； （人）． 答：估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有755人． 2.（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）AI的迅猛发展在多个领域影响着我们的生活．某校七、八年级利用课余时间举办了人工智能知识竞赛活动，并从七、八年级各随机抽取了10名学生代表的成绩（满分：5分）进行了整理、描述和分析，相关信息如下． a：七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人． b：七年级10名学生代表成绩的条形统计图（尚不完整），八年级名学生代表成绩的扇形统计图及七、八年级学生代表成绩的平均数与方差对比表格如下： 七、八年级学生代表成绩的平均数与方差 平均数 方差 七年级 八年级 请根据以上信息，解答下列问题． (1)学生代表成绩比较整齐的是______年级．（填“七”或“八”） (2)补全条形统计图． (3)若共600名学生参与竞赛，根据七年级和八年级学生代表的成绩，请估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数． 【答案】(1)七 (2)见解析 (3)人 【分析】本题考查的是条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，方差和用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）根据方差的意义判断即可； （2）根据七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人，求出2分和3分的人数，即可补全条形统计图； （3）用400乘以参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数所占的百分比即可． 【详解】（1）解：， 学生代表成绩比较整齐的是七年级； 故答案为：七； （2）解：七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人， 分和3分的人数分别有1人和4人， 补全条形统计图如下： （3）解：抽取的八年级学生的成绩不低于4分的人数有人， （人）， 答：估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数有人． 3.（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）“湘超”联赛截止到12月18日结束后前8名的积分情况如下表：（注：积分与进失球个数无关） 球队名 长沙队 株洲队 常德队 娄底队 永州队 衡阳队 郴州队 岳阳队 场次 13 13 13 13 13 13 13 13 胜/平/负（场） 11/2/0 8/3/2 8/2/3 6/5/2 6/4/3 6/2/5 4/7/2 5/4/4 进/失球（个） 26/4 27/10 26/12 15/8 24/14 24/16 20/16 10/7 积分 35 27 26 23 22 20 (1)表中的值为_____； (2)这8支球队前13轮比赛进球个数的中位数是_____； (3)前13轮长沙队每场的进球个数为：2、4、1、3、1、2、1、5、2、1、2、0、2； 永州队每场的进球个数为：3、3、0、0、4、2、1、3、2、4、0、1、1． 长沙队与永州队前13轮比赛进球个数数据统计表 进球数 平均数 中位数 众数 方差 长沙队 26 2 2 1.69 永州队 24 0/1/3 1.98 ①求出统计表中的及的值； ②在“四强”淘汰赛中，永州队以的比分战胜了长沙队，有人认为这纯属偶然，你是否同意这种说法，请从进球的角度阐述你的理由？ 【答案】(1)19 (2)24 (3)①，；②答案不唯一，合理即可 【分析】本题主要考查了列式计算、方差、中位数、众数，熟练掌握相关定义列式计算是解题的关键． （1）先利用方程组求得：胜1场得3分，平1场得1分，负得0分，则可得郴州队：胜4，平7，负2，则积分；岳阳队：胜5，平4，负4，积分，据此即可解答； （2）依据题意，将8支球队进球个数从小到大排序：10，15，20，24，24，26，26，27，故可得第4、5个数的平均数为其中位数，然后计算即可解答； （3）①依据题意，将长沙队进球个数从小到大排：0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，4，5，根据众数的定义可得；先求得缺少的数据，再将永州队进球个数从小到大排：0，0，0，1，1，1，2，2，3，3，3，4，4，则中位数是第7个：，进而可以得解；②依据题意，分别从平均数、中位数、方差的角度分析判断即可解答． 【详解】（1）解：设胜1场得x分，平1场得y分，负得z分， 由题意可得：，解得：， ∴胜1场得3分，平1场得1分，负得0分， ∴以郴州：胜4，平7，负2，则积分； 岳阳队：胜5，平4，负4，积分， ∴． 故答案为：19． （2）解：由题意知，将8支球队进球个数从小到大排序：10，15，20，24，24，26，26，27， ∵共8个数， ∴中位数是第4、5个数的平均数：中位数． 故答案为：24． （3）解：①由题意，将长沙队进球个数从小到大排：0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，4，5， ∴2出现5次，此时最多，即众数为； 又∵永州队共比赛13场，总进球数为24，而题干文字部分只给出12个进球数据，其和为23， ∴永州队缺失的一个进球数据为. ∴永州队13场比赛的进球数据排序后为：0，0，0，1，1，1，2，2，3，3，3，4，4， ∴中位数是第7个，即． ②“永州胜长沙纯属偶然”不同意．理由如下： ∵长沙队平均数 2，永州队平均数， ∴两队平均进球非常接近． ∵中位数都是 2， ∴说明两队中间水平一样． ∵永州队方差大于长沙队， ∴永州队发挥波动更大，更容易打出高比分． 又∵单场淘汰赛偶然性本来就存在，但从数据看，两队进攻能力在同一档次， ∴永州队并非完全没有赢球可能．故不能说纯属偶然． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数据分析 高频考点概览 考点01数据的集中趋势——平均数、中位数、众数 考点02数据的离散程度——方差 考点03数据分类——组内离差平方和 考点04 四分位数与箱线图 考点05 数据的频数分布 考点06  总体的估计 考点07 数据分析中的综合题 考点01 数据的集中趋势——平均数、中位数、众数 1．（22-23七年级上·湖南岳阳·期末）在一次青年歌手大赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为________． 2.（25-26九年级上·湖南益阳·期末）4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的读书时间，并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图． 根据本次调查的数据估计该校学生最近一周的平均读书时间为（   ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·湖南怀化·期末）有8个数的平均数是10，另外有12个数的平均数是20，这20个数的平均数是（    ）． A．16 B．17 C．18 D．19 4.（20-21七年级下·湖南永州·期末）一组数据2、5、x、4、3；这组数据的平均数是4，那么x等于___． 5.（22-23七年级下·湖南娄底·期末）三个数，，分别以，，为权的加权平均数是______． 6.（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）某校举行“预防溺水，从我做起”演讲比赛，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面给选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占，演讲能力占，演讲效果占，计算选手的综合成绩，小亮的三项成绩依次是92，95，90，他的综合成绩是_______分． 7.（22-23七年级下·湖南怀化·期末）我校规定学生的英语成绩由三部分组成：听力成绩、语言表达成绩和笔试成绩．小明这三项的成绩依次为92分、90分、95分，若这三项成绩按确定学生的英语成绩，那么小明的英语成绩是_________分． 8.（22-23七年级下·湖南益阳·期末）某农产品经销商按大小将小龙虾分A，B，C三个等级包装后运往外地，每箱的价格依次是400元，600元，800元．某天这三个等级的小龙虾销售数量的百分比如图所示，则这天销售的小龙虾每箱平均价格为_________元．    9.（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）初三（）班名同学在一次测试中数学成绩（单位： 分）如下：，，，，，，，． 这组数据的中位数是_____． 10.（23-24七年级下·湖南株洲·期末）某路段的一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的机动车的车速一组数据如下：67、63、69、55、65，则该组数据的中位数为______． 11.（23-24七年级下·湖南株洲·期末）在一组数据1， 0， 4， 5， 8中插入一个数据x，使该组数据中位数为3，则插入数据x的值为________． 12.（22-23七年级下·湖南湘潭·期末）已知一组数据5，2，1，3，x的平均数为3，则这组数据的中位数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 13.（23-24七年级下·湖南·期末）某商场某店一天中卖出某种品牌的休闲鞋双，它们的尺码与销售量如表所示： 鞋的尺码/cm 销售量/双 则这双鞋的尺码组成的数据的中位数是（   ） A． B． C． D． 14.（24-25七年级上·湖南·期末）某班男生的平均身高是165厘米．请你想一想，下面哪位男生最不可能是这个班的？（    ） A．乐乐身高168厘米，是篮球队中锋 B．力力身高132厘米，是全班最矮的 C．明明身高165厘米，是全班最高的 D．浩浩身高180厘米 15.（23-24八年级下·湖南郴州·期中）某校有19名同学参加了中学生规范汉字书写大赛的初赛，他们的成绩各不相同，在统计这些同学的成绩后取前10名代表学校参加复赛．如果小新只知道自己的成绩，想判断自己能否进入复赛，那么他需要知道这组数据的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．频数 16.（24-25八年级下·湖南·期末）数据的众数为（    ） A． B． C． D． 17.（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）某排球队12名队员的年龄如表：该队队员年龄的众数和中位数分别是（   ） 年龄（岁） 18 19 20 21 22 人数（人） 2 4 3 2 1 A．19岁，19岁 B．19岁，19.5岁 C．19岁，20岁 D．20岁，21岁 18.（21-22七年级下·湖南怀化·期末）某校四个绿化小组某天的植树棵树如下：10，10，，8．若这组数据的众数与平均数相等，那么的值是（     ） A．4 B．8 C．10 D．12 19.（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导我们青少年要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为1、1、4、5、1、4，有关这一组数，下列说法错误的是（    ） A．众数是1 B．平均数为 C．中位数为4.5 D．1、4、5这三个数中1的权数最大 20.（23-24七年级下·湖南郴州·期末）某外贸公司人事部拟招聘一位负责外贸销售的公关人员，对应聘者进行英语听、说、读、写四个方面的考核，成绩优秀者入选．下面是甲、乙两位应聘人员的考核成绩： 听 说 读 写 甲的成绩 80 90 75 75 乙的成绩 80 75 85 80 (1)人事部最初拟定通过比较甲乙两人四项的平均分确定录用者，请你通过计算说明此方案可行吗？ (2)为了招聘到更适合岗位需求的人才，董事会改进了选聘方案，将听、说、读、写成绩依次按的权数记入总分，并以此为依据确定录用者，请问，谁将被录用？ 21.（21-22七年级下·湖南邵阳·期末）甲、乙两班参加学校举办的学生英语口语竞赛，两班参赛人数相等，比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分），根据统计数据绘制了如下尚不完整的统计表和统计图： 甲班学生英语口语成绩统计表 分数 7分 8分 9分 10分 人数 0 1 8 (1)请补全甲班学生英语口语成绩统计表，在图①中，“7分”所在扇形的圆心角等于______； (2)请你将图②中统计图补充完整； (3)经计算乙班的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲班的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个班成绩较好； (4)为便于管理、如果学校准备组织以班为单位的8人代表队参加县级团体赛，决定从这两个班中挑选一个班参赛，请你分析，应选哪个班？ 22.（20-21七年级下·湖南邵阳·期末）车间有20名工人，某天他们生产的零件个数统计如下表． 车间20名工人某一天生产的零件个数统计表 生产零件的个数（个） 10 11 12 13 15 16 19 20 工人人数（人） 2 4 6 3 2 1 1 1 （1）直接写出这一天20名工人生产零件个数的众数为______，中位数为______； （2）求这一天20名工人生产零件的平均个数； （3）为了提高大多数工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施，并将每天每位工人生产零件个数定额为13个，你认为合理吗？为什么？如果不合理，请你制定一个较为合理的“定额”，并说明理由． 考点02 数据的离散程度——方差 1.数据的平均数和离差平方和分别为（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 2.有6名同学参加体能测试，测试成绩（单位：分）分别是：80，80，90，75，75，80．这组数据的离差平方和是（   ） A．5 B．25 C．125 D．150 3.数据，，，，，，，，，的离差平方和是________，方差是________． 4.某超市抽检水果的甜度数据共8个，已知这组数据的方差为2，则其离差平方和是_______． 5.若一组数据3、4、5、x、6的平均数是5，则这组数据的离差平方和为______． 6.求一组数据方差的算式为：对于这组数据，下列说法错误的是（   ） A．n的值为5 B．平均数是7 C．离差平方和是5 D．方差是 7.校运动队统计男、女各5名队员的一周训练达标次数，数据整理如下，分析两组队员的达标情况，说法正确的是（    ） A．男生训练达标次数的平均数高于女生 B．男、女生训练达标次数的离差平方和相等 C．男、女生训练达标次数的中位数均为4 D．男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定 8.（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）已知一组数据，，，的方差是，另一组数据，，，的方差是 ， 则 ____________． 9.已知一组数据：1，2，3，a ， 5的平均数为3，则这组数据的方差为__________． 10.（25-26九年级上·湖南永州·期末）为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为：，，，，，则麦苗又高又整齐的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 11.（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）“菜篮子”事关民生工程，是建设和谐社会的标准之一．某数学活动小组对甲、乙、丙、丁四个菜市场冬季的相同品质的白菜价进行调查．四个菜市冬季白菜的平均价与方差如下表： 甲 乙 丙 丁 平均价（元） 方差（元） 根据统计结果，若你推荐王阿姨去购买白菜，选择哪个菜市场比较合适．（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 12.（24-25九年级上·湖南永州·期末）九年级某班准备从甲、乙、丙三名同学中选一人参加学校组织的跳绳比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是190个/分，方差分别是，，，要从中选一名平均成绩好，且发挥稳定的去参加比赛，则派______同学去参赛更合适（填“甲”、“乙”、“丙”）． 13.学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试，已知七、八年级各有人，现从两个年级分别随机抽取名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级： 八年级： 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 离差平方和 七年级 84 90 444 八年级 84 87 87 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_____；_____； (2)A同学说：“这次测试我得了分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是_________年级的学生，请说明理由； (3)你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出相应理由． 14.某班为了选拔一名学生参加学校举办的诗词大赛，组织了五次测试，其中甲、乙两名学生的成绩较为优秀，他们在这五次测试中的成绩（单位：分）如下： 【数据收集】 甲：； 乙：． 【数据分析】 学生 众数/分 中位数/分 平均数/分 甲 乙 根据上述收集、分析的结果，解答下列问题： (1)上表中_________，_________； (2)求乙同学这五次测试成绩的平均数； (3)计算甲、乙两名学生这五次测试成绩的离差平方和，若班主任张老师要选一名成绩比较稳定的学生去参加学校举办的诗词大赛，选择哪名学生更合适？ 15.（23-24七年级下·湖南株洲·期末）隆兴中学校组织开展了主题为“青春齐奋进，携手向未来”的演讲比赛，七（1）班、七（2）班均有5名同学进入复赛，其中七（1）班5名同学的比赛成绩如下（单位：分）：7，9，10，7，8．根据以上信息，解答下列问题： (1)七（1）班5名同学的比赛成绩的众数是______，中位数是______． (2)已知七（1）班5名同学的比赛成绩的平均数是8.2（分），求这5名同学的方差．（方差公式：） (3)已知七（2）班5名同学的比赛成绩的平均数为8.4分，中位数为8分，方差为1.04．请根据统计数据进行分析，说说哪个班进入复赛的同学在比赛中的表现更优秀？ 16.（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）某校举行了“珍爱生命，预防溺水”主题知识竞赛活动，七（1），七（2）班各选取5名选手参赛，两班参赛选手成绩依次如下：（单位：分） 七（1）班：5，9，7，10，9 七（2）班：8，8，7，8，9 根据以上信息，请解答下面的问题： (1)求七（2）班5名同学比赛成绩的平均数和方差； (2)已知七（1）班5名同学的比赛成绩平均数为8分，方差为，请根据数据进行分析，你认为哪个班能成为获胜班级，为什么？ (3)若七（1）班又有一名学生参赛，成绩是8分，则七（1）班这6名选手成绩的平均数与5名选手成绩的平均数相比会_______，方差相比会_______（填“变大”、“变小”或“不变”） 考点03 数据分类——组内离差平方和 1.在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（    ） A．使每组数据量相等 B．保证组间均值相等 C．减少计算复杂度 D．使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大 2.将位同学的英语口语成绩，，，，，分成前个一组，后三个一组，则这两组数据的组内离差平方和为______． 3.已知一组数据的离差平方和为，将数据分成、两组，这两组数据的组间离差平方和为，则这两组数据的组内离差平方和为______． 4.晓慧同学为了在明年的中考体育考试中取得最好的成绩，每天自己在家里练习一分钟仰卧起坐，妈妈统计了她连续六天内仰卧起坐的个数：28，25，30，27，30，26．按照“组内离差平方和达到最小”的方法分成两组，则组内离差平方和的最小值是（   ） A． B． C． D．5 5.山西省晋南地区独特的地理与气候条件，为苹果提供了良好的生长条件，运城地处北纬，黄土层深厚肥沃，是公认的苹果“黄金生产带”．现某苹果商贩购进一批苹果按照苹果的个头进行包装销售．抽取其中的10个苹果直径为80，69，81，80，70，65，78，76，76，75．按照“组内离差平方和达到最小”的方法分成2组，共有9种情况，如下：（结果保留整数） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 147 147 第2个间隔 8 90 98 第3个间隔 14 34 48 第4个间隔 51 25 76 第5个间隔 82 16 98 第6个间隔 103 5 108 第7个间隔 136 1 137 第8个间隔 183 1 184 第9个间隔 219 0 219 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第3个间隔分组时，组内离差平方和最小．因此，按组内离差平方和最小的分法为______________和________________． 6.在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，则正确的分组是______． 7.在一分钟跳绳测试中，6名同学完成的次数分别为120，135，110，105，140，125．根据组内离差平方和最小的原则，把这6名同学跳绳次数分为两组． 分组 第一组 离差平方和 第二组 离差平方和 组内 离差平方和 第1个间隔 0 570 570 第2个间隔 250 第3个间隔 第4个间隔 250 第5个间隔 570 0 570 8.某班级5名学生的成绩为60，70，78，90，100．若将其分为两组，如何分组可使组内离差平方和最小？请计算最小值． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 ① 0 523 523 ② 50 242.67 292.67 ③ 162.67 50 212.67 ④ 483 0 483 考点04 四分位数与箱线图 1.九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（    ） A． B．168 C．124 D．150 2.样本数据5，9，1，3，7，6，10的是________． 3.为考察某种农作物的长势，研究人员分别抽取了10株苗，测得它们的高度（单位：）如下：8，8，9，9，10，11，12，12，13，14．则这组数据的________，________，________． 4.如图是某次测试成绩的箱线图．根据图中的信息，下列判断错误的是（   ） A．本次测试的最高分是99分 B．本次测试的平均分是79分 C．本次测试成绩的第三四分位数是88分 D．本次测试成绩在65~88分的人数占了50% 5.游泳培训中心特训班进行毕业考试，100米蛙泳24名成员的成绩如下（单位：秒）： 158  149  145  128  140  135  142  150 155  132  136  150  142  152  130  136 140  144  166  142  144  150  132  138 据此回答： (1)填写四分位数表 四分位数 数值 136 142 150 说说本次成绩所反映的总体情况 (2)如下图所示，将这一年的成绩绘制成箱线图，并与去年的成绩进行比较，说说你对这一年成绩的评价． 四分位数 数值 136 142 150 6.某银行理财经营团队A对其2025年上半年负责经营的12项理财产品的收益率（%）进行统计，数据如下（已按从小到大的顺序排列）： 2.10，3.15，3.18，3.19，3.50，，3.93，4.00，4.44，，4.47，4.89． 团队A产品收益率的相关数据（%） 团队 收益率的平均值 A 3.925 4.450 3.769 请根据以上信息解答下列问题： (1)计算，，的值，并填入表格． 团队 收益率的平均值 A 3.925 4.450 3.769 (2)根据统计数据绘制了A团队负责经营的理财产品收益率的箱线图，写出两条你从中得到的信息． 团队 收益率的平均值 A 3.185 3.925 4.450 3.92 4.46 3.769 考点05 数据的频数分布 1.（24-25八年级下·湖南益阳·期末）已知一组数据，，，（每两个4之间的1的个数依次增加）．在这组数据中，有理数出现的频数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.（24-25八年级下·湖南郴州·期末）某校名学生参加艺术考试，成绩在分的有人，则这个分数段的频率是（    ） A． B． C． D． 3.（24-25八年级下·湖南郴州·期末）在一次学生安全知识竞赛中，将八（1）班50名学生的成绩分为5组，第一组到第四组的频率之和为0.8，则第五组的频数是（   ） A．8 B．10 C．20 D．40 4.（24-25八年级下·湖南湘潭·期末）某同学投掷硬币20次，出现“反面向上”的频率是，则出现“正面向上”的频数是___________． 5.（24-25八年级下·湖南怀化·期末）李明将一枚质地均匀的硬币连续抛掷10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，正面朝上的频率是______． 6.（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）一组数据的最大值为98，最小值为18，若取组距为9，作等距分组，则分成的组数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 7.（21-22八年级下·湖南永州·期末）收集某班50名同学的身高根据相应数据绘制的频数分布直方图中各小长方形的高比为，那么第二组的频数是（　　） A．10 B．20 C．15 D．5 8.（24-25八年级下·湖南·期末）某次数学测试，抽取部分同学的成绩（得分为整数），整理制成如图所示的频数分布直方图，根据图示信息描述不正确的是（   ） A．频数分布直方图中组距是10 B．本次抽样样本容量是60 C．这一分数段的频数为18 D．这次测试及格（不低于60分）率以上 9.（24-25八年级下·湖南常德·期末）某班体育课进行了一次体能测试，如图是反映该班测试成绩（得分为整数）的频数分布直方图． (1)该班共有多少名学生参加了体能测试？ (2)若分以上为优秀，求该班这次测试的优秀率． (3)从图中你还能获得哪些信息？（写出一条即可） 10.（24-25八年级下·湖南张家界·期末）育才学校为了解八年级学生的视力情况，对八年级的学生进行了一次视力抽样调查，并将调查数据进行统计整理，绘制出如下频数分布表和频数分布直方图的一部分． 视力x 频数 频率 10 0.1 a 0.2 35 0.35 b 0.3 5 c (1)在频数分布表中_____，______；______；（每空1分） (2)将频数分布直方图补充完整； (3)小明同学说“我的视力情况是此次抽样调查所得数据的中位数”，问小明同学的视力情况在哪个范围内？ (4)若视力在4.6以上（含4.6）均属正常，求视力正常的人数占被调查人数的百分比． 11.（23-24八年级下·湖南益阳·期末）跳绳是一种很好的运动方式，某校对八年级学生进行了1分钟跳绳次数的测试，所有学生的成绩绘制出频数分布表和频数直方图的一部分如下． 跳绳次数(x) 频数(人数) 频率 20 0.1 40 0.2 70 a b c 10 0.05 请根据图表信息回答下列问题： (1)在频数分布表中，a的值为______，b的值为______，c的值为______； (2)将频数直方图补充完整； (3)小健说“我的跳绳次数是此次测试所得数据的中位数”，小键的成绩在哪个范围内? (4)若跳绳次数在120次以上（含120次）属优良，求此次测试中成绩优良的人数占总人数的百分比． 考点06  总体的估计 1.（24-25九年级上·湖南·期末）从总体中抽取一部分数据作为样本去估计总体的某种属性，下面叙述正确的是（    ） A．样本容量越大，样本平均数就越大 B．样本容量越大，样本的标准差就越大 C．样本容量越小，样本平均标准差就越大 D．样本容量越大，对总体的估计就越准确 2.（24-25九年级上·湖南湘潭·期末）某班有30名男同学、20名女同学，学校想了解该班学生的身体素质，随机抽取10名同学进行测试分析，应抽取男同学（　　） A．4名 B．6名 C．8名 D．10名 3.（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）为了调查我县初中学生近视人数，凯凯同学对自己所在城区的初中生近视人数做了调查，发现每1000初中生中，大约有200人近视．若我县初中生人数约为2万，据此凯凯推断出我县初中生的近视人数是（    ） A．万 B．万 C．万 D．万 4.（25-26九年级上·湖南怀化·期末）“鄱阳湖鱼肥，南昌米粉香”．鄱阳湖地区某水产养殖专业户为了估计池塘里鱼的数目，第一次捕捞了200条鱼，将这些鱼都做上标记后放回池塘．几天后，第二次捕捞了3500条鱼，发现其中有20条鱼身上有标记，由此可估计该池塘里约有______条鱼． 5.（25-26九年级上·湖南永州·期末）某工厂生产了一批产品，从中随机抽取了件来检查，发现有件优等产品，试估计这批产品的优等率是（    ） A．85% B．90% C．95% D．98% 6.（21-22七年级下·湖南湘西·期末）在2021年义务教育质量国家监测中，对某校八年级（1）班30名学生语文成绩进行分析，分数段的学生有21人，则这21人所占该班人数的百分比是______． 7.（25-26九年级上·湖南益阳·期末）2025年湖南省足球联赛（简称“湘超联赛”）于9月7日在长沙贺龙体育场开幕以来，激发了湖南这片土地上的足球热情．某校体育兴趣小组随机对部分同学进行了足球知识的问卷调查（满分100分）．将调查的数据整理、绘制成如下不完整的统计图表． 等级 分数x（分） 频率 A 0.2 B a C 0.3 D b 请根据图表中的信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)求扇形统计图中B对应的圆心角的度数； (3)若该校有2200名学生，估计其中达到A等级的学生共有多少名？ 8.（25-26九年级上·湖南永州·期末）近年来，长沙“新中式茶馆”频出，并受到市民游客追捧，经有意无意的传播与分享，不断走红“出圈”．某茶馆老板，为了更好的销售，统计了部分顾客最喜爱茶品的数据，得到如下两幅待完善的统计图表． 茶名 喜欢的人数 A铁观音 B龙井 C碧螺春 D毛尖 E银针 根据图表中所给信息，解答下列问题： (1)本次统计了________人；表中_______； (2)在扇形统计图中，“A”所对应的扇形的圆心角为________度； (3)若该茶馆大约每天有顾客1000人，请你帮茶馆的老板分析每天准备铁观音茶叶多少份？ 9.（25-26九年级上·湖南娄底·期末）国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．杨家坪中学教育集团响应号召，计划组织全集团学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取各个校区的部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______； (2)被调查学生中最喜欢打篮球的人数是______； (3)若集团内总共有大约9000名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？ 10.（25-26九年级上·湖南郴州·期末）某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目你及时纠错解疑吗？”，设置的选项有：A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查人数是_____，请补全条形统计图； (2)扇形统计图中选项“较少”占的百分比中_____，选项“较多”对应的圆心角是_____度； (3)若该校共2400名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 11.（23-24九年级上·湖南株洲·期末）在一次数学基础题测试中（满分分），某班的两名同学根据班级的成绩（分数为整数）分别绘制了频率分布统计表和频数分布直方图．在频数分布直方图中从左到右每个小组的人数之比为，其中小组的人数为人，请结合统计图表，回答下列问题： 分组 频率 (1)求这个班级参加测试的人数； (2)若这次测试成绩分以上（含分）为优秀，求优秀率； (3)若这次测试成绩分以上（含分）为及格，求及格率． 考点07 数据分析中的综合题 1.（25-26九年级上·湖南郴州·期末）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（用表示学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在组的数据是：82，83，85，86，87，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 90 100.8 九年级 88 94 110.0 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的___________，___________，___________； (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校八年级有800名，九年级有700名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 2.（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）AI的迅猛发展在多个领域影响着我们的生活．某校七、八年级利用课余时间举办了人工智能知识竞赛活动，并从七、八年级各随机抽取了10名学生代表的成绩（满分：5分）进行了整理、描述和分析，相关信息如下． a：七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人． b：七年级10名学生代表成绩的条形统计图（尚不完整），八年级名学生代表成绩的扇形统计图及七、八年级学生代表成绩的平均数与方差对比表格如下： 七、八年级学生代表成绩的平均数与方差 平均数 方差 七年级 八年级 请根据以上信息，解答下列问题． (1)学生代表成绩比较整齐的是______年级．（填“七”或“八”） (2)补全条形统计图． (3)若共600名学生参与竞赛，根据七年级和八年级学生代表的成绩，请估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数． 3.（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）“湘超”联赛截止到12月18日结束后前8名的积分情况如下表：（注：积分与进失球个数无关） 球队名 长沙队 株洲队 常德队 娄底队 永州队 衡阳队 郴州队 岳阳队 场次 13 13 13 13 13 13 13 13 胜/平/负（场） 11/2/0 8/3/2 8/2/3 6/5/2 6/4/3 6/2/5 4/7/2 5/4/4 进/失球（个） 26/4 27/10 26/12 15/8 24/14 24/16 20/16 10/7 积分 35 27 26 23 22 20 (1)表中的值为_____； (2)这8支球队前13轮比赛进球个数的中位数是_____； (3)前13轮长沙队每场的进球个数为：2、4、1、3、1、2、1、5、2、1、2、0、2； 永州队每场的进球个数为：3、3、0、0、4、2、1、3、2、4、0、1、1． 长沙队与永州队前13轮比赛进球个数数据统计表 进球数 平均数 中位数 众数 方差 长沙队 26 2 2 1.69 永州队 24 0/1/3 1.98 ①求出统计表中的及的值； ②在“四强”淘汰赛中，永州队以的比分战胜了长沙队，有人认为这纯属偶然，你是否同意这种说法，请从进球的角度阐述你的理由？ 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $