微专题04 多边形的内角和与外角和定理七大题型（专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

**基本信息** 以七大题型为框架，系统整合多边形内角和与外角和定理的计算、应用及综合问题，提炼三步解题法，形成从基础公式到实际应用的完整逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |多边形内角和计算|6题|公式直接应用、方程求边数|从n边形内角和公式出发，基础计算到含角平分线的综合| |多（少）算一个角问题|6题|设未知角列不等式估算n|内角和取值范围的灵活应用| |截角后内角和问题|7题|分类讨论边数变化（+1/0/-1）|图形变换对内角和的影响分析| |复杂多边形内角和|6题|分割法或补形法转化|不规则图形向三角形的转化思想| |多边形外角问题|7题|外角和恒为360°，正多边形外角公式|内角与外角的互补关系应用| |外角和实际应用|6题|转弯模型（总转角=360°）|几何知识与生活情境的结合| |内角和外角综合|7题|内角外角互补关系列方程|内角和与外角和定理的综合运用|

微专题04 多边形的内角和定理与外角和定理 七大题型 题型一 多边形内角和的计算 1. 公式：n 边形内角和 = (n−2)×180°； 2. 已知边数 n，直接代入公式计算； 3. 已知内角和，列方程 (n−2)×180°= 内角和，求 n。 1．如图是位于内蒙古赤峰市巴林右旗的辽庆州白塔，又称辽释迦佛舍利塔，始建于辽重熙十六年，为八角七级，是第三批全国重点文物保护单位．从上面看白塔，得到的平面图形是八边形，八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·辽宁鞍山·阶段检测）九边形的内角和为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·福建福州·期中）一个多边形的内角和，则这个多边形是（   ） A．八边形 B．七边形 C．六边形 D．五边形 4．（2026·广东江门·一模）如图，五边形中，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在五边形中，，平分，平分，则的度数是（） A． B． C． D． 6．求多边形的边数 (1)若多边形的内角和为，求此多边形的边数； (2)一个n边形的每个外角都相等，如果它的内角与相邻外角的度数之比为，求n的值． 题型二 多（少）算一个角问题 1. 设多边形边数为 n，未知角为 x（0°<x<180°）； 2. 列不等式：内角和 − 180° < 已知和 < 内角和； 3. 估算 n，再求 x。 1．（23-24八年级上·甘肃武威·期中）在计算多边形内角和时，不小心多加了一个内角，结果为，则边数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 3．一个多边形除去一个内角外，剩下的内角和是1000°，则这个多边形是（    ）． A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 4．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）马小虎在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于 ，则该多边形的边数是_________． 5．（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图所示，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形．求原多边形的边数． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）看下图解答问题． (1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？ (2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？ 题型三 多边形截角后的内角和问题 1. 截角分三种：边数 + 1、不变、−1； 2. 分别用公式 (n±1−2)×180°、(n−2)×180° 计算； 3. 按题意讨论所有情况。 1．如图，沿着虚线将四边形纸片剪成两部分，如果所得两个图形的内角和相等，则符合条件的剪法是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 2．（25-26八年级下·湖南邵阳·阶段检测）一个多边形被一条直线截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．10或11 B．9或10或11 C．11或12或13 D．10或11或12 3．（25-26八年级下·四川绵阳·月考）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A．8或9 B．9或10 C．8或9或10 D．9或10或11 4．（2026·河北·二模）将一个三角形纸片剪掉一个角后得到了如图所示的四边形，经测量可知，，，则剪去的这个角的度数为（   ） A．或 B．或 C． D． 5．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 6．（23-24八年级上·河南安阳·期中）已知正多边形的每一个内角的度数等于相邻外角的倍． (1)求这个正多边形的边数． (2)若截去一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）张明和李华的对话如图所示，请根据对话内容回答下列问题： (1)张明的说法正确吗？请说明理由； (2)张明得到的新多边形是几边形？ 题型四 复杂多边形的内角和 1. 分割法：连对角线，分成若干三角形； 2. 内角和 = 三角形个数 × 180°； 3. 或补形为简单多边形，用整体减空缺。 1．如图，等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·期中）如图，图中的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，以四边形各顶点及各边延长线上的点构成，，，，则，，，，，，，的度数和为____________． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）下图为某公司的产品标志图案，求的度数和． 5．（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图是一个五角星， (1)是三角形_____的外角，是三角形_____的外角． (2)请利用三角形的外角与内角的关系，求的度数． 6．（23-24八年级上·广东韶关·期中）（1）如图，求出的度数． （2）如图，求出的度数． 题型五 多边形外角问题的计算 1. 任意多边形外角和恒为 360°； 2. 正 n 边形每个外角 = 360°÷n； 3. 已知外角求边数：n=360°÷ 外角。 1．（2024•沅江市二模）一个正多边形的每个外角都是60°，这个正多边形的边数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O．若是某正多边形的一个外角，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（25-26八年级下·山东日照·期中）一个多边形的每个内角都相等，且内角和是外角和的3倍，则这个多边形的每个内角为________． 4．（25-26八年级下·河南许昌·期中）已知一个正多边形的一个内角比与它相邻的外角的3倍多，则这个多边形的内角和为_______． 5．一个多边形的所有内角与它的所有外角之和是1260°． （1）求该多边形的边数． （2）若该多边形为正多边形，求每一个外角的度数． 6．按要求回答下列各小题． (1)若一个n边形的内角和的比一个四边形的内角和多360°，求n的值； (2)一个正多边形的所有内角与它的所有外角之和是1620°，求该正多边形的边数及一个外角的度数． 7．（25-26八年级上·全国·单元复习）如图是由射线，，，，组成的平面图形，若，，求的度数． 题型六 多边形外角和的实际应用 1. 模型：行走转弯、正多边形地砖等；2. 转弯总角度 = 外角和 = 360°；3. 用 360°÷ 每次转角，求边数 / 次数。 1．（25-26八年级下·河北保定·期中）图1是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图2是从左图冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西朔州·期末）石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，六边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东泰安·期末）某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·江苏淮安·月考）如图，小玲从点A出发，前进3米后向右转20°，再前进3米后又向右转20°，这样一直下去，直到她第一次回到出发点A为止，她所走的路径构成了一个多边形．    (1)小玲一共走了多少米？ (2)求这个多边形的内角和． 5．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）规定：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形． 一个机器人以的速度在平地上按如下要求行走， (1)该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是_____； (2)该机器人从开始到停止所需时间为_______； (3)若机器人还差就第次回到点处，则它所走过的路程为_____． 6．（22-23八年级下·山东济南·期末）如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．    (1)该五边形广场的内角和是 度； (2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度； (3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）． 题型七 多边形的内角和外角的综合 1. 内角 + 相邻外角 = 180°（互补）； 2. 结合内角和、外角和公式列方程； 3. 正多边形：内角 = 180°−360°÷n。 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 2．（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）多边形的外角和与内角和之比为，则该多边形的边数为_________． 3．（25-26八年级下·上海青浦·阶段检测）一个多边形的内角和比四边形的内角和多，并且这个多边形的各内角相等，求这个多边形的一个外角的度数． 4．（23-24八年级上·河北唐山·期中）已知一个多边形的内角和与外角和的差为，求这个多边形的边数及内角和． 5．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·月考）如果一个多边形的每个外角都相等，且比内角小，求这个多边形的一个外角的度数及这个多边形的边数和内角和． 6．请认真完成下列的数学活动 我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究 （1）如图①，与分别为的两个外角，试探究与之间的数量关系． 初步运用 （2）如图②，在纸片中剪去，得到四边形．若，则 ．小明联想到了曾经解决的一个问题：如图③，在中，，分别平分外角，，则与之间的数量关系为 （请利用上面的结论直接写出答案）． 拓展提升 （3）如图④，在四边形中， ，分别平分外角，，设，试说明与的数量关系． 7．（24-25七年级下·四川内江·期末）（1）探究一：如图1，与分别为的两个外角， 已知，，则的度数为________； 易得，与之间的数量关系为________． （2）探究二：如图2，在四边形中，、分别是外角、的平分线，设，试说明与的数量关系； （3）拓展应用：如图3，在（2）的条件下，作的平分线与的延长线交于点，在中，其中一个内角是另一个内角的4倍，请计算出所有符合条件的的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题04 多边形的内角和定理与外角和定理 七大题型 题型一 多边形内角和的计算 1. 公式：n 边形内角和 = (n−2)×180°； 2. 已知边数 n，直接代入公式计算； 3. 已知内角和，列方程 (n−2)×180°= 内角和，求 n。 1．如图是位于内蒙古赤峰市巴林右旗的辽庆州白塔，又称辽释迦佛舍利塔，始建于辽重熙十六年，为八角七级，是第三批全国重点文物保护单位．从上面看白塔，得到的平面图形是八边形，八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是多边形的内角和公式，根据内角和公式计算即可． 【详解】∵内角和公式， ∴八边形的内角和为． 2．（25-26八年级下·辽宁鞍山·阶段检测）九边形的内角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用初中所学的多边形内角和定理，代入边数计算即可得到结果． 【详解】解：∵多边形内角和公式为 ，其中为多边形的边数， 又∵所求多边形为九边形，即， ∴代入公式计算得 ． 3．（25-26八年级下·福建福州·期中）一个多边形的内角和，则这个多边形是（   ） A．八边形 B．七边形 C．六边形 D．五边形 【答案】C 【分析】本题考查多边形的内角和公式，掌握边形的内角和为是解题关键，根据内角和公式列方程求解即可得到边数． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 边形的内角和为，该多边形内角和为， ， 解得：， 这个多边形是六边形． 4．（2026·广东江门·一模）如图，五边形中，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多边形内角和公式解题即可． 【详解】解：多边形的内角和为， ∴五边形的内角和为， ∴． 故选：A． 5．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在五边形中，，平分，平分，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据五边形内角和求出的度数，再利用角平分线性质求出的度数，最后在中求解． 【详解】解：∵五边形的内角和等于，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 在中，， ∴的度数是． 6．求多边形的边数 (1)若多边形的内角和为，求此多边形的边数； (2)一个n边形的每个外角都相等，如果它的内角与相邻外角的度数之比为，求n的值． 【答案】(1)此多边形的边数为11 (2)8 【分析】（1）先设此多边形的边数为n，再根据多边形内角和定理得，求出解即可； （2）设多边形的一个内角为度，则一个外角为x度，再根据内角和相邻外角的和为得出方程，求出解，然后用除以一个外角的度数可得边数． 【详解】（1）解：设此多边形的边数为n，则 ， 解得． 所以此多边形的边数为11； （2）解：设多边形的一个内角为度，则一个外角为x度，依题意得， 解得． ， 故这个多边形的边数是8． 题型二 多（少）算一个角问题 1. 设多边形边数为 n，未知角为 x（0°<x<180°）； 2. 列不等式：内角和 − 180° < 已知和 < 内角和； 3. 估算 n，再求 x。 1．（23-24八年级上·甘肃武威·期中）在计算多边形内角和时，不小心多加了一个内角，结果为，则边数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，即，根据题意先得出这个多加的内角为，然后再根据多边形内角和定理可得出：，求出n即可得出答案． 【详解】解：， ∴这个多加的内角为， 设这个多边形的边数为n， 根据多边形内角和定理可得出：， 解得：， 故选∶D 2．小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】边形的内角和是，少计算了一个内角，结果得．则内角和是与的差一定小于180度，并且大于0度． 【详解】解：设多边形的边数为，小红少加的这个角的度数是， 则有， 则， 因为， 所以， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式．解答此题的关键是把所求的角正确的分解为与一个正整数的积再减去一个小于的角的形式，再根据多边形的内角和公式即可求解． 3．一个多边形除去一个内角外，剩下的内角和是1000°，则这个多边形是（    ）． A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【答案】D 【分析】设多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理列不等式组求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为n， 由题意得：1000＜（n−2）·180＜1000+180， 解得：＜n＜， ∴n＝8， 即这个多边形是八边形， 故选：D． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 4．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）马小虎在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于 ，则该多边形的边数是_________． 【答案】7或8 【分析】n边形的内角和为，多边形每个内角大于小于，因此少算的2个内角和的范围为，根据多边形内角和定理列出不等式，求解得到正整数n即可． 【详解】解：设少算的2个内角和为，该多边形的边数为n， 根据多边形内角和定理可得：， 整理得， 多边形每个内角满足内角， ∴少算的2个内角和的范围， 即， 移项得， 不等式同除以得， 为正整数， ∴或． 5．（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图所示，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形．求原多边形的边数． 【答案】原多边形为十四边形 【分析】本题考查多边形的内角和，掌握n边形的内角和为是解题的关键． 设原多边形的边数为x，则新多边形的边数为，根据“内角和为”列出方程，求解即可． 【详解】解：设原多边形的边数为x，则新多边形的边数为，根据题意，得 ， 解得， 答：原多边形为十四边形． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）看下图解答问题． (1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？ (2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)十三边形，内角和，外角 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握边形的内角和为：． （1）由边形的内角和公式为，可知边形的内角和一定是的整数倍，而不能被整除，所以小明说不可能； （2）由（1）可得到多加的那个外角的度数，以及多边形的边数和内角和． 【详解】（1）解：∵边形的内角和是， ∴多边形的内角和一定是的整数倍． ∵， ∴小明说多边形的内角和不可能是． （2）解：． ， ． 故小华求的是十三边形的内角和，内角和是，多加的那个外角是． 题型三 多边形截角后的内角和问题 1. 截角分三种：边数 + 1、不变、−1； 2. 分别用公式 (n±1−2)×180°、(n−2)×180° 计算； 3. 按题意讨论所有情况。 1．如图，沿着虚线将四边形纸片剪成两部分，如果所得两个图形的内角和相等，则符合条件的剪法是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据多边形内角和定理逐一判断即可得答案． 【详解】三角形内角和为180°，四边形内角和为360°，五边形内角和为（5-2）×180°=540°， ①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，符合条件， ②剪开后的两个图形是五边形和三角形，它们的内角和分别是540°和180°，不符合条件， ③剪开后的两个图形都是三角形，它们的内角和是180°，符合条件， ④剪开后的两个图形是三角形和四边形，它们的内角和分别是180°和360°，不符合条件， ∴符合条件的剪法是①③， 故选：B． 【点睛】本题考查多边形的内角和定理，多边形内角和=（n-2）×180°（n≥3）；熟练掌握多边形内角和公式是解题关键． 2．（25-26八年级下·湖南邵阳·阶段检测）一个多边形被一条直线截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．10或11 B．9或10或11 C．11或12或13 D．10或11或12 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截出一个角后的多边形的边数，再根据截出一个角后边数增加，不变，减少讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少， 原来多边形的边数是10或11或12． 3．（25-26八年级下·四川绵阳·月考）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A．8或9 B．9或10 C．8或9或10 D．9或10或11 【答案】D 【分析】先根据多边形内角和公式求出新多边形的边数，再根据多边形截去一个角的三种情况，讨论得到原多边形的边数． 【详解】解：设内角和为的新多边形的边数是，根据多边形内角和公式可得 ， 解得， ∵多边形截去一个角共有三种情况， ①截线不过原多边形顶点时，新多边形边数比原多边形多， ②截线过原多边形一个顶点时，新多边形边数与原多边形相等， ③截线过原多边形两个顶点时，新多边形边数比原多边形少， ∴原多边形边数为或或，即原来多边形的边数是或或． 4．（2026·河北·二模）将一个三角形纸片剪掉一个角后得到了如图所示的四边形，经测量可知，，，则剪去的这个角的度数为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分别画出图形，根据三角形和四边形的内角和进行解答即可． 【详解】解：在四边形中，内角和等于． ∵，，， ∴． 若剪去的三角形与边重合，如图（1）所示， ∴． 若剪去的三角形与边重合，如图（2）所示， ∴． 综上所述，剪去的这个角的度数是或． 5．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，理解一个长方形锯掉一个角以后得到的多边形的形状是解题的关键． 长方形木板锯掉一个角后可能是三角形或四边形或五边形，再根据多边形的内角和定理即可解决． 【详解】解：长方形木板锯掉一个角以后可能是：三角形或四边形或五边形， 则剩下的多边形木板的内角和是或或． 故选：D． 6．（23-24八年级上·河南安阳·期中）已知正多边形的每一个内角的度数等于相邻外角的倍． (1)求这个正多边形的边数． (2)若截去一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【答案】(1)这个多边形的边数为； (2)截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 【分析】（）利用邻补角互补求出外角，用外角和除以一个外角的度数即可求解； （）分三种情况，根据多边形的内角和计算公式即可求解； 本题考查了正多边形的内角和外角，掌握多边形的内角和计算及分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）设正多边形的一个外角的度数为，则与其相邻的内角的度数等于， ∴， 解得，     答：这个多边形的边数为； （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了条，也可能减少了条，或者不变， 当多边形为九边形时， 内角和； 当多边形为八边形时， 内角和； 当多边形为七边形时， 内角和． 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）张明和李华的对话如图所示，请根据对话内容回答下列问题： (1)张明的说法正确吗？请说明理由； (2)张明得到的新多边形是几边形？ 【答案】(1)不正确；理由见解析 (2)九边形或八边形或七边形 【分析】（1）根据多边形的内角和公式，可知任意多边形的内角和一定能被整除，即可求解； （2）设这个正多边形的边数为n，剪去的内角为，根据题意列式用n表示出x，然后根据x的取值范围，得到n的取值范围，求得整数解，再分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：张明的说法不正确．理由如下： 由多边形内角和定理可知，多边形的内角和为， 即任意多边形的内角和一定能被整除， ∵不能被整除， ∴张明的说法不正确． （2）解：设这个正多边形的边数为n，剪去的内角为， 根据题意，得， ∴， ∵， ∴， ∵n为整数， ∴这个正多边形为正八边形， 如图所示， 将正八边形剪去一个角后，得到的多边形的边数增加1或不变，或减少1，则得到的多边形边数为9或8或7， 即得到的新多边形是九边形或八边形或七边形． 题型四 复杂多边形的内角和 1. 分割法：连对角线，分成若干三角形； 2. 内角和 = 三角形个数 × 180°； 3. 或补形为简单多边形，用整体减空缺。 1．如图，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 2．（25-26八年级上·全国·期中）如图，图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，三角形外角的定义和性质，设与，分别交于点，，与交于点，由三角形外角的定义得出，，则同理进而转化成求五边形的内角和求解即可． 【详解】解：设与，分别交于点，，与交于点， 则，， 同理 ． 故选A 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，以四边形各顶点及各边延长线上的点构成，，，，则，，，，，，，的度数和为____________． 【答案】 【分析】首先根据外角的性质可得：根据四边形的外角和为，所以，即可解答． 【详解】解：由三角形外角的性质，得，，，． 四边形的外角和为， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形外角的性质和多边形的外角和，解决本题的关键是熟记多边形的外角和为． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）下图为某公司的产品标志图案，求的度数和． 【答案】 【分析】根据三角形外角的性质可得，，再根据五边形内角和解答即可． 【详解】解：如图所示．，， ． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质和五边形内角和．解决问题的关键是利用三角形内角与外角的关系把所求的角的度数归结到五边形中，利用五边形的内角和定理解答． 5．（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图是一个五角星， (1)是三角形_____的外角，是三角形_____的外角． (2)请利用三角形的外角与内角的关系，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理， （1）根据三角形外角的定义可得是的外角，是的外角， （2）由三角形外角的性质可推出，再由三角形内角和定理可得，据此可得答案． 【详解】（1）解：是三角形的外角，是三角形的外角， 故答案为：，； （2）解：由题意得，是的外角，是的外角， ∵， ∴， ∵在中，， ∴． 6．（23-24八年级上·广东韶关·期中）（1）如图，求出的度数． （2）如图，求出的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了三角形外角的性质、多边形的外角和定理、四边形的内角和定理等知识． （1）根据三角形外角的性质得到，，再用多边形外角和定理即可求解； （2）根据三角形外角的性质得到，再用四边形内角和为即可求解． 【详解】解：（1）∵是的外角， ∴， 同理， ∵三角形的外角和为， ∴， （2）∵是的外角，是的外角， ∴， ∵四边形内角和为， ∴ 题型五 多边形外角问题的计算 1. 任意多边形外角和恒为 360°； 2. 正 n 边形每个外角 = 360°÷n； 3. 已知外角求边数：n=360°÷ 外角。 1．（2024•沅江市二模）一个正多边形的每个外角都是60°，这个正多边形的边数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C． 【分析】根据多边形的外角和为360°，求出多边形的边数即可． 【详解】解：设正多边形的边数为n， 由题意得：n×60°＝360°， 解得：n＝6． 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O．若是某正多边形的一个外角，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角和外角性质，先求出的度数，即可得出的值，熟练掌握正多边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， 则，， ∴， ∵是某正多边形的一个外角， ∴， 故选：D． 3．（25-26八年级下·山东日照·期中）一个多边形的每个内角都相等，且内角和是外角和的3倍，则这个多边形的每个内角为________． 【答案】135°/135度 【分析】根据多边形的一个内角与相邻外角的和为，内角和是外角和的3倍，建立方程求出一个外角的度数，再求内角的度数即可． 【详解】解：∵一个多边形的每个内角都相等，且内角和是外角和的3倍， ∴每个内角是相邻外角的3倍， 设多边形的一个外角的度数是， ∴， 解得：， ∴每个内角为：． 4．（25-26八年级下·河南许昌·期中）已知一个正多边形的一个内角比与它相邻的外角的3倍多，则这个多边形的内角和为_______． 【答案】 【分析】设这个正多边形的一个外角为，根据内角与相邻外角互补列出方程，求出外角的度数，结合多边形外角和为求出边数，再利用多边形内角和公式计算内角和即可 【详解】解：设这个正多边形的一个外角为，则与它相邻的内角为. ， 解得， 任意多边形的外角和为，正多边形每个外角都相等， 这个正多边形的边数为 ， ∴这个多边形的内角和为． 5．一个多边形的所有内角与它的所有外角之和是1260°． （1）求该多边形的边数． （2）若该多边形为正多边形，求每一个外角的度数． 【答案】（1）7； （2）． 【分析】（1）根据多边形的内角和定理列方程求解即可； （2）根据正多边形每个外角都相等，且外角和是360°，进行计算即可． 【详解】解：（1）设这个多边形的边数是n． 根据题意，得（n﹣2）×180°+360°＝1260°， 解得n＝7， ∴这个多边形的边数为7； （2）由（1）可得该多边形是正七边形， ∴每一个外角的度数， ∴每一个外角的度数为 ． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和与外角和定理是正确解答的前提． 6．按要求回答下列各小题． (1)若一个n边形的内角和的比一个四边形的内角和多360°，求n的值； (2)一个正多边形的所有内角与它的所有外角之和是1620°，求该正多边形的边数及一个外角的度数． 【答案】(1)14 (2)该正多边形的边数为9，一个外角的度数是 【分析】（1）n边形的内角和为，结合已知条件，列出关于n的一元一次方程，即可求解； （2）正n边形的内角和为，外角和为，则，解方程即可． 【详解】（1）解：n边形内角和为，四边形的内角和为360°， 由题意得，， 解得， 即n的值为14； （2）解：正n边形的内角和为，所有外角都相等且外角和为， 由题意得，， 解得， ， 即该正多边形的边数为9，一个外角的度数是． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，解题的关键是掌握n边形内角和为，外角和为． 7．（25-26八年级上·全国·单元复习）如图是由射线，，，，组成的平面图形，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形外角和公式和平行线的性质，准确计算是解题的关键． 根据多边形的外角和等于，即可得到的度数，进而得出的度数，再根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：如图， 由多边形的外角和等于可知，， 又， ， ， 又， ． 题型六 多边形外角和的实际应用 1. 模型：行走转弯、正多边形地砖等；2. 转弯总角度 = 外角和 = 360°；3. 用 360°÷ 每次转角，求边数 / 次数。 1．（25-26八年级下·河北保定·期中）图1是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图2是从左图冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由多边形的外角和等于可知，． 2．（24-25八年级上·山西朔州·期末）石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，六边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的外角定理，根据多边形的外角和为即可求解，掌握多边形的外角和为是解题的关键． 【详解】解：六边形的外角和为， 故选：． 3．（25-26八年级上·山东泰安·期末）某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多边形外角和定理的应用，熟练掌握多边形外角和定理是解题的关键． 根据转过的角度之和等于多边形外角和，解答即可． 【详解】解：根据题意得：某人在途中转过了， 由于在B，C，D，E，F五个转角处都转了， 则他在A处转过的度数为 故选：D． 4．（23-24七年级下·江苏淮安·月考）如图，小玲从点A出发，前进3米后向右转20°，再前进3米后又向右转20°，这样一直下去，直到她第一次回到出发点A为止，她所走的路径构成了一个多边形．    (1)小玲一共走了多少米？ (2)求这个多边形的内角和． 【答案】(1)54米 (2)2880° 【分析】（1）第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形，求得边数，即可求解； （2）根据多边形的内角和公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形， ∴， （米）． 答：贾玲一共走了54米． （2）根据题意，得， 答：这个多边形的内角和是． 【点睛】本题考查了正多边形的外角以及多边形的内角和，理解“第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是20度的多边形是正多边形”是解题关键． 5．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）规定：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形． 一个机器人以的速度在平地上按如下要求行走， (1)该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是_____； (2)该机器人从开始到停止所需时间为_______； (3)若机器人还差就第次回到点处，则它所走过的路程为_____． 【答案】(1)正九边形； (2)18； (3)． 【分析】本题考查了正多边形的外角和定理，理解经过的路线是正多边形是关键． （1）该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用除以，即可求得正多边形的边数； （2）求出多边形的周长，利用周长除以速度即可求得所需时间； （3）求出n次的路径长减去4即可． 【详解】（1）解：由题意得，该机器人所经过的路径是一个正多边形， 多边形的边数为：， 所以，该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是正九边形， 故答案为：正九边形； （2）解：该机器人所走的路程是：， 则所用时间是：． 故答案为：18； （3）解：已知机器人n次回到原点的路程为：， 还差，即：． 故答案为：． 6．（22-23八年级下·山东济南·期末）如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．    (1)该五边形广场的内角和是 度； (2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度； (3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据五边形内角和求解即可； （2）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和； （3）延长NE交AB于点F，再在五边形中计算即可． 【详解】（1）五边形广场的内角和， 故答案为：； （2）∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角度的和是度， 故答案为：； （3）延长NE交AB于点F    ∵ ∴ ∵ ∴ ∵在五边形中 ∴ 【点睛】考查了多边形内角与外角，关键是熟练掌握多边形的外角和等于360度的知识点． 题型七 多边形的内角和外角的综合 1. 内角 + 相邻外角 = 180°（互补）； 2. 结合内角和、外角和公式列方程； 3. 正多边形：内角 = 180°−360°÷n。 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】边形的内角和为，外角和为，据此结合题意建立方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数是n， 根据题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数为8． 2．（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）多边形的外角和与内角和之比为，则该多边形的边数为_________． 【答案】5 【分析】根据任意多边形的外角和为，结合已知的外角和与内角和的比，求出该多边形的内角和度数，再利用边形内角和公式求解边数即可． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，多边形外角和与内角和之比为， ∴该多边形的内角和为， 设该多边形的边数为，由边形内角和公式得： ， 等式两边同时除以得 ，解得． 3．（25-26八年级下·上海青浦·阶段检测）一个多边形的内角和比四边形的内角和多，并且这个多边形的各内角相等，求这个多边形的一个外角的度数． 【答案】 【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式建立方程可推出这个多边形为八边形，再根据多边形的外角和为360度可求出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形为八边形， ∵这个多边形的各内角相等， ∴这个多边形的一个外角的度数为． 4．（23-24八年级上·河北唐山·期中）已知一个多边形的内角和与外角和的差为，求这个多边形的边数及内角和． 【答案】这个多边形的边数为及内角和为． 【分析】本题主要考查了多边形内角和与外角和综合，设这个多边形的边数为，然后根据多边形内角和公式，结合所有多边形外角和为度，列出方程，然后求解即可，熟知多边形内角和公式和多边形外角和为度是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ， 解得：， ∴内角和为， 答：这个多边形的边数为，内角和为． 5．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·月考）如果一个多边形的每个外角都相等，且比内角小，求这个多边形的一个外角的度数及这个多边形的边数和内角和． 【答案】这个多边形的一个外角的度数，这个多边形的边数是，内角和是 【分析】本题考查多边形的内角与外角关系、方程的思想．先根据多边形的内角和外角的关系，求出一个内角．再根据外角和是，从而可代入公式求解． 【详解】解：设多边形的一个外角为度，则一个内角为度， 依题意得， 解得． ． ， ∴这个多边形的一个外角的度数为，这个多边形的边数是，内角和是． 6．请认真完成下列的数学活动 我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究 （1）如图①，与分别为的两个外角，试探究与之间的数量关系． 初步运用 （2）如图②，在纸片中剪去，得到四边形．若，则 ．小明联想到了曾经解决的一个问题：如图③，在中，，分别平分外角，，则与之间的数量关系为 （请利用上面的结论直接写出答案）． 拓展提升 （3）如图④，在四边形中， ，分别平分外角，，设，试说明与的数量关系． 【答案】（1） （2）， （3） 【分析】本题是几何变换综合题，考查角平分线的定义，三角形外角性质与内角和定理，四边形内角和定理，熟练掌握三角形外角性质与内角和定理是解题的关键． (1)根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求解即可． (2)先由邻补角性质求出，再根据三角形外角性质、角平分线的定义计算即可． (3)利用角平分线的定义、三角形外角和内角和定理求解即可． 【详解】（1），， ， ； （2）， ， ， ， ，分别平分外角，， ，， 即， 故答案为：，； （3），分别平分外角，， ，， 即． 7．（24-25七年级下·四川内江·期末）（1）探究一：如图1，与分别为的两个外角， 已知，，则的度数为________； 易得，与之间的数量关系为________． （2）探究二：如图2，在四边形中，、分别是外角、的平分线，设，试说明与的数量关系； （3）拓展应用：如图3，在（2）的条件下，作的平分线与的延长线交于点，在中，其中一个内角是另一个内角的4倍，请计算出所有符合条件的的值． 【答案】（1）； ．（2）；（3）或或或． 【分析】本题主要考查三角形外角性质、四边形内角和、角平分线性质及分类讨论思想，熟练掌握三角形与四边形的角度关系、角平分线性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． （1）先利用三角形外角与内角的关系，结合已知角求出，再通过计算找出与的数量关系． （2）利用四边形内角和、外角和以及角平分线的性质，推导出与（ ）的数量关系． （3）先结合（2）的结论表示出内角，再根据“一个内角是另一个内角的倍”分情况列方程求解 ． 【详解】解：（1）求的度数及与的关系 ∵是外角，，， ∴． 又∵是外角，，且，，， ∴， ∴． ∴， ， ∴ ． 故答案为：； ． （2）四边形中，， ∴ ． ∵，， ∴ ． 又∵、分别平分、， ∴， ． 在中， ． （3）由（2）知，平分，平分， ∴ ． ∴中，，即 ． 分四种情况讨论： 当时，，解得 ． 当时，，解得 ． 当时，，解得 ． 当时，，解得 ． 综上，的值为或或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $