阶段提升自测(二)-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

58 阶段提升 [范围：22.1~22.3时 一、选择题（每小题5分，共30分） 1.下列说法中正确的是 A.两个直角三角形相似 B.两个等腰三角形相似 C.两个等边三角形相似 D.两个锐角三角形相似 2.如图，已知△ABC,则下列三角形中，与△ABC 相似的是 75 75 60 309 6 D 第2题图 第3题图 3.如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射 线BF交AD的延长线于点E,则下列结论错 误的是 畏器 B器器 C能 BC CF D部器 4.如图所示，□ABCD中，G是BC延长线上一 点，AG与BD交于点E,与DC交于点F,则图 中相似三角形共有 A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 B F 第4题图 第5题图 5.如图，正方形ABCD中，E为AB中点，BC 4BF,那么图中与△ADE相似的三角形有 A.△CDF B.△BEF C.△EDF D.△BEF,△EDF 自测（二） :60分钟分值：100分 6.如图，一块材料的形状是等腰 △ABC,底边BC=120,高 AD=120.若把这块材料加工 成正方体零件（阴影部分为正 方体展开图)，则正方体的棱 长为 ( A.20 B.24 C.28 D.32 二、填空题（每小题6分，共30分） 7.如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC 的延长线上一点，连接AE,交CD于点F,连 接BF,写出图中任意一对相似三角形 第7题图 第8题图 8.如图，点P在△ABC的边AC上，请你添加一 个条件，使得△APB∽△ABC,这个条件可以 是 9.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是 边长为2的正方形，顶点A、C分别在x、y轴 的正半轴上.点Q在对角线OB上，且QO= OC,连接CQ并延长CQ交边AB于点P.则 点P的坐标为 4 B C 第9题图 第10题图 10.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶 点O与原点重合，顶点B在x轴上，∠ABO =90,01与反比例函数y-的图象交于点 D,且OD=2AD,过点D作x轴的垂线交x 轴于点C,若S△4oB=18,则的值为 11.如图，一条4m宽的道路将5m 矩形花坛分为一个直角三角 形和一个直角梯形，根据图 4m 中数据，可知这条道路的占 ←12m→ 地面积为 m2. 三、解答题（共40分） 12.（12分)如图，在△ABC中，CD∥EF,AF 1,AD=3,AE=2. (1)求AC的长. (2)若AB=9,求证：△ABC∽△ADE. 13.(14分)如图，在△ABC和△DEF中，∠A= ∠D=90°，AB=DE=3,AC=2DF=4. (1)判断这两个三角形是否相似并说明为什 么？ (2)能否分别过A,D在这两个三角形中各作 一条辅助线，使△ABC分割成的两个三角形 与△DEF分割成的两个三角形分别对应相 似？证明你的结论 59 14.(14分)△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，P 为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明三角 板，使45°角的顶点落在点P,三角板可绕P 点旋转 (1)如图1，当三角板的两边分别交AB、AC 于点E、F时.求证：△BPE∽△CFP, (2)将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角 板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、 F.△BPE与△CFP还相似吗？请说明理由. P 图1 图222.3.3相似三角形的性质 ∴.∠FDN=∠C, ∴.△AMCp△FND 1.A2.A3.8:9,4cm 14.（1)证明：.在△ABC中， 4.B5.D6.1:4 ∠BAC=90°，AB=AC, 7.F的张是空om,AC的k是5m ∴.∠B=∠C=45° :∠B+∠BPE+∠BEP= 8.4:25或9：259.B10.D 180°，∴.∠BPE+∠BEP= 11.1:312.①②③ 135°，∠EPF=45°， 13.(1)证明略：(2) 又，∠BPE+∠EPF+ ∠CPF=180°， 14.(1)证明略； ∴.∠BPE+∠CPF=135°， (2)SAABC=5cm2. ∴.∠BEP=∠CPF, 15.C 又.∠B=∠C,∴.△BPEn 阶段提升自测（二） △CFP. 1-5 CCBDD 6.B (2)△BPE∽△CFP; 7.例：△EFCp△AFD,△EAB∽ 理由：在△ABC中，∠BAC △AFD =90°，AB=AC, 8.∠ABP=∠C9.(2,4-2W2) ∴.∠B=∠C=45° 10.-1611.80 .'∠B+∠BPE+∠BEP= 12.(1).AF=1,AD=3,AE=2, 180°，.∠BPE+∠BEP= CD//EF,.'.AF:AD=AE:AC, 135°，，∠EPF=45°， 即1：3=2：AC,∴.AC=6. 又.∠BPE+∠EPF+ (2)证明：.AD=3,AB=9, ∠CPF=180°， AE=2,AC=6, ∴.∠BPE+∠CPF=135°， .'.AD:AB=AE:AC, ∴.∠BEP=∠CPF, ∠DAE=∠BAC, 又.∠B=∠C,.△BPE∽ .△ABCc△ADE. △CFP. 13.(1)不相似， 22.3.4相似三角形的应用 ,在Rt△BAC中，∠A=90°，1.92.5.1m3.A4.C5.B AB=3,AC=4; 6.河宽为37.5m. 在Rt△EDF中，∠D=90°， 7.10.18.B9.A10.C DE=3,DF=2, 漂多品青架≠ 儿贵 12.(1)证明，AB=CD,OA=OC, BS:R△BAC与R△DFE 0B-08器8 不相似， 又，∠AOC=∠BOD, (2)能作如图所示的辅助线进 ∴.△AOC△BOD, 行分割. ∴.∠OAC=∠OBD, 证明：作∠BAM=∠E,交BC ∴.AC∥BD. 于M;作∠NDE=∠B,交EF (2)小红的连衣裙会拖落到地 于N,由作法和已知条件可知 面.在△OEF中，OE=OF △BAM∽△DEN, 34cm,EF=32cm,作OM⊥EF ,'∠BAM=∠E,∠NDE= 于点M,则EM=16cm ∠B,∠AMC=∠BAM+∠B, 在Rt△OEM中，OM= ∠FND=∠E+∠NDE, √OE-EF=√342-162= ∴.∠AMC=∠FND, 30cm .∠FDN=90°-∠NDE, 过点A作AH⊥BD于点H,同 ∠C=90°-∠B, (1)可证得EF∥BD, 46 .∴.∠ABH=∠OEM, 位似图形，位似中心的坐标为 则Rt△OEE∽Rt△ABH, (0,0): 需AM出 (4)S1:S2=1:4. OE 综合与实践（一）旋转相似变换 30×136=120cm (1)证明：，四边形ABCD是矩 34 形，.∠B=∠C=90°，∠BAP .122>120,∴.小红的连衣裙 +∠BPA=90°，.∠MPN=90°， 会拖落到地面. ∴.∠CPD+∠BPA=90°， 22.4位似图形 ∴.∠BAP=∠CPD,∴.△ABPc∽ 1.D2.A3.D4.B △PCD: 5.36.D7.图略. 8.A9.A10.C11.A (2票的值为定值，理由如下：如 12.18cm13.略 图3，过点F作FG⊥BC于G, 14.(1)AC∥A'C',理由略； ∴∠FGP=90°，.∠FGP=∠B, (2)CC=5. ∠PFG+∠FPG=90°，易知四边 15.24040 形ABGF是矩形，∴.FG=AB=2, 22.5图形与坐标 .∠MPN=90°，.∠EPB+ 22.5.1用坐标确定位置 ∠FPG=90°，.∠EPB 1.C2.C3.D4.D ∠PFG,∴.△EBP∽△PGF, 5.(1)(南偏西60°，25)；(2)（北偏 PE_ 西30°，15)；(3)图略. 骠-熙=骠的值是定 6.A7.D8.C 9.南偏西30°方向，距小明家1000 值，该定值为； 米 (3),AE=m,∴.BE=2-m, 10.(2,-1) 11.(-1,2),(3,-2),(-1,-2) ①当距-时.：∠B=∠EPF 或(3,2) =90△BPEO△PFE,g 12.(1)教学楼在校门的东北方向 3 2√2cm处，到校门的实际距 5、…2-m=号m号27 PF·1 离为200√2米. (2)(1,1),(5,2),(5,4). @当那票时，：∠i=∠EPr 13.(1)(0,-3); =90°，∴.△BPE∽△PEF,.F (2)Q(2,-√3). PE·1 22.5.2图形的变换与坐标 PF…2%=2m=0 1.D2.D3.C4.(-1,3) 5.-66.A 综上，当m=0或号时，△BPE与 7.(-0.5a,-0.5b) △PEF相似： 8.图略.9.B10.A 综合与实践（二）折叠相似变换 1.(号-4)12.6 (1)证明略； (2)四边形ABCD是矩形， 13.(1)A(0,3),B(2,1),C(3,4), ∴.CD=AB=2,AD=BC=3, A'(-3,0),B(-1,-2),C ∠A=∠D=∠C=90°， (0,1),△ABC向左平移3个 ,P为CD中点，.DP=CP=1, 单位，向下平移3个单位可以 设EP=AE=x,'.ED=AD-x 得到△A'BC'; =3-x,在Rt△EDP中，EP2= (2)a=8,b=4. ED2+DP2,即x2=(3-x)2+1, 14.(1)~(2)图略； （3)△ABC是△ABG的解得x-号EP=AE=x=号 -47 ∴ED=AD-AE=专：△EDP 3√2 3 4 ED EP APCH,0-品，即 BE=AB= 2 (2)略 PPH=号， 第23章解直角三角形 23.1测量 .PG=AB=2,.GH=PG 1.C2.12 PH=是 3.这棵树的高度为6米. 4.水池的深度AC为2米 (3)延长AB,PG交于点M,连接5.C6.A7.C8.7 AP,由折叠的性质，可知AP⊥9.DE=14V2米. EF,BG⊥直线EF,∴.BG∥AP, 10.二、三；AB=12m.理由略. AE=EP,∴.∠EAP=∠EPA, 23.2直角三角形的性质 .∠BAP=∠GPA,.△MAP1.D2.D3.204.1 是等腰三角形，∴.MA=MP, 5.证明略 由题意，设DP=CP=y,AB=6.BC=3AD.理由略. PG=CD=2y,由ASA易证7.B8.A9.310.211.8 △MBH≌△PCH, 12.EF⊥AC.证明略. ∴.BM=CP=y,HM=HP, 13.(1)受到台风影响.理由略； ∴.MP=MA=MB+AB=3y, (2)当台风中心位于D处时， HP=专PM=号，在R A市所受风力最大，其风力为 12-100=7(级). △PCH中，CH=√PH-PC 20 -…BC=20H=5∴AD 23.3锐角三角函数 23.3.1 锐角三角函数 =BC=√5y,在Rt△APD中，AP 第1课时正弦、余弦和正切 =√AD+PD=√6y, 1.C2.A3. :BG∥AP,∴.△BMGD 4.B5.2√76.A7.C △An器--日G 8.在Rt△ABD中， 6 2y=√6，.AB a∠BAD-ADBD- 6 3y AD·tan∠BAD=12X=9, =√6BG. ∴.CD=BC-BD=14-9=5, 章末考点整合与素养提升 ∴.AC=√AD+CD=/12+5 1-3DBB4.195 5.C 6.2:17.①②③④ 8.2.7 =l3∴.sinC-AD_12 AC 13 9.1①号 ②20cm (29m 10.A11.A12.C 10.略.11.C12.C13.B 14.D15.12 1号 14.多15. 16.(1)△BMC∽△NMA,证明略： 16.(1),△BDC由△BDC翻折 2、- 而成，∴.∠C=∠BAG=90°，CD =AB=CD,∠AGB= 17.(1).BD∥AC,∴.△DBE ∠DGC,在△ABG和△CDG △CE装.DB 「∠BAD=∠C 中，∠AGB=∠C'GD √2，AC=32,AB=22, AB-CD 48