专题02 相似三角形的性质与判定九类综合问题 （压轴题专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 以“先判后用”为主线，系统整合相似三角形判定与性质，通过九类题型构建“特征-方法-易错”三维训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1核心解法|判定定形→性质定数→检验意义|上承比例线段，下启实际应用，构建判定与性质逻辑链| |九类题型|每类1典例+3-4变式|条件选择用三大判定排查，求线段列比例方程，面积比=相似比²，动点分类讨论|从基础判定到综合证明、动态问题，形成从易到难递进结构|

专题02 相似三角形的性质与判定九类综合问题 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、选择或补充条件使两个三角形相似 1 类型二、利用相似三角形的性质求解 2 类型三、证明三角形对应线段成比例 8 类型四、网格中画与已知三角形相似的三角形 13 类型五、利用三角形的性质结合判定求线段长度 16 类型六、利用三角形的性质结合判定求面积 24 类型七、利用三角形的性质结合判定求求最值 30 类型八、利用三角形的性质结合判定综合证明 35 类型九、动点问题 46 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 相似三角形的性质与判定九类综合问题是初中几何的核心压轴模块，上承平行线与比例线段，下启相似三角形的实际应用。所有题型均围绕判定与性质两大核心展开，解题贯穿一条主线：先判后用—— 用判定定理确定相似关系（定 "形"），再用相似性质列比例求值（定 "数"），最终结果均需结合图形实际意义检验。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、选择或补充条件使两个三角形相似 典例精讲1（2026·河北张家口·二模）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴，不符合题意； 对于，缺少夹角，故不能证明相似，符合题意． 题型归纳 1.特征：给出两个三角形及部分已知条件，要求选择或补充一个条件，使两个三角形相似。 2.方法：依据三大判定定理逐一排查 —— 优先用 AA（已有两角相等只需补一角）；已有两边比例时补 "夹角相等" 用 SAS；补第三边使三边成比例用 SSS。 3.易错提醒：SAS 必须是 "夹角" 相等，不可补成任意边；补充条件后须回代验证是否真正相似，防止 "看似相似实则不相似"。 变式训练1（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，平行线的性质与判定，对于A，可证明得到，再由得到，据此可证明；对于B，所加条件和现有条件无法证明；对于C、可证明，则同A可证明；对于D，根据平行线的性质得到，则可证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， 再结合条件不能证明，故此选项符合题意； C、∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故此选项不符合题意； D、∵， ∴， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； 故选：B． 变式训练2（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，、和3张都标注一个条件的卡片．从这3张卡片中随机一次性抽取2张，根据这2张的条件，能判断的概率为___________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，概率等知识．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：若，，则； 若，，则； 若，，则无法证明； 从这3张卡片中随机一次性抽取2张有3种等可能结果，其中能判断的有两种， 能判断的概率为， 故答案为：． 变式训练3（25-26九年级上·吉林长春·期中）在中，P为AB上的一点，下列四个条件：①；②；③；④等，其中能判断的有__________． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形的判定是本题的关键．根据相似三角形的判定定理对各项逐一分析． 【详解】解：①，，； ②，，； ③，，； ④，但对应边夹角不是公共角，所以无法判定． 故答案为：①②③． 类型二、利用相似三角形的性质求解 典例精讲2（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴相似三角形对应边成比例可得，故选项A错误； 相似三角形对应角相等可得，故选项B错误； 相似三角形面积比等于相似比的平方可得，故选项C错误； 相似三角形周长比等于相似比可得，故选项D正确． 题型归纳 1.特征：已知两个三角形相似及部分边长 / 角度，求对应边长、对应角、周长或面积。 2.方法：由相似先确定相似比，再按 "对应边成比例、对应角相等、周长比 = 相似比、面积比 = 相似比 ²" 逐项求解。 3.易错提醒：对应顶点顺序不能写乱，写错则比例式全错；求面积必须先求相似比再平方，勿忘平方。 变式训练1（2026·四川乐山·中考真题）如图，在 中，点 、 、分别是、 、 的中点，连接、、．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，同理可证，解答即可． 【详解】解：点 、 分别是、  的中点， ∴， ∴， ∴， 同理可证，， ∴， 由， ∴． 变式训练2（2026·河南平顶山·二模）如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为5，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，再证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A，的坐标分别为，， ． ， ， ． ， ． 变式训练3（26-27九年级上·全国·课后作业）一个三角形的边长分别为4，5，6，和它相似的另一个三角形的最长边为24，则较大三角形的周长为________． 【答案】60 【分析】先根据一个三角形的三边长分别为4，5，6，与其相似的三角形的最长的边为24，求出其相似比，再设较大三角形的周长为L，由相似三角形周长的比等于相似比即可得出L的值． 【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为4，5，6，与其相似的三角形的最长的边为24， ∴其相似比， 设较大三角形的周长为L， ∴， 解得． 即较大三角形的周长为60． 变式训练4（26-27九年级上·全国·课后作业），，边上的中线，的周长为，的面积是，求： (1)边上的中线的长； (2)的周长； (3)的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据相似三角形中对应中线比等于相似比求解即可； （2）根据相似三角形的周长比等于相似比求解即可； （3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）解：，，边上的中线， ， ； （2）解：，，的周长为， ， ； （3）解：，，的面积是， ， ． 类型三、证明三角形对应线段成比例 典例精讲3（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点是上一点，作交于点，点是上的一点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若点为的重心，求与的比． 【答案】(1) 证明：， ，， ，， ，， ，， ． (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形重心的性质，平行线的性质，掌握重心的性质是解题关键． （1）利用平行线得到两组相似三角形，通过中间比建立比例关系，从而证明； （2）由重心性质得到线段比，再结合平行线得到的相似三角形，推出． 【详解】（1）略 （2）解：点为的重心， ， ， ， ， ， ， ． 答：． 题型归纳 1.特征：图形中有一对或多对三角形，要求证明某两条线段（含分点线段）成比例。 2.方法：先证明所在三角形相似（首选 AA，通过平行线、公共角、对顶角找角），再利用相似 "对应边成比例" 性质直接得证；必要时通过中间三角形传递比例。 3.易错提醒：比例式中的线段必须与相似三角形对应顶点严格对应，不可跨三角形混用；需多步传递时每步都要写明相似依据。 变式训练1（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，点，点分别是边、上的点，和相交于点，，连接． (1)求证：； (2)如果，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴ ∴ ∴ (2) 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定：有两个角相等的三角形相似，相似三角形对应边成比例，两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似； （1）由和公共角相等可得出，进而得出即； （2）由得出和公共角相等可得出，进而得出. 【详解】（1）略 （2），理由如下： 由（1）得 ∴ 即 又∵ ∴ ∴. 故答案为：. 变式训练2（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质， （1）证明，可得，可证，可得，即可得证； （2）利用重心的性质可得，，由可得，即可得证． 【详解】（1）略． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式训练3（2025九年级上·上海·专题练习）如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 【答案】 证明：如图，过点E作 交BC于点M， ∵， ∴ ，， ∴ ， ∴ , 即 ， ∵ ∴ ， ∴， ∴ 【分析】过点E作 交BC于点M，可得到 ，，进而有 ，，根据，可得到，即证． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和性质． 类型四、网格中画与已知三角形相似的三角形 典例精讲4（25-26九年级上·广东深圳·期中）以下三角形的顶点均在格点上，那么下列三角形中（    ）与第一个三角形相似． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据勾股定理求出各三角形的三边长，根据各边对应成比例的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：的三边长分别为， ∴； 的三边长分别为，则， 故； 同理可得，剩余的3个三角形均不满足三边比为，不能与相似，不符合题意； 故选A． 题型归纳 1.特征：在方格纸（网格）中，按要求画出与已知三角形相似（给定相似比）的三角形。 2.方法：用勾股定理或格点距离算原三角形三边，按相似比放大 / 缩小各边长，在网格中定位格点作出；先算边长再选判定（SSS 最稳妥）。 3.易错提醒：按比例缩放时边长要取整格，避免出现不可定位的格点；勿忘相似比可能大于 1 或小于 1，方向不可画反。 变式训练1（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点，，都在正方形网格的格点上．在图中以线段为一边，另一个顶点在格点上，且与相似（但不全等）的格点三角形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理与网格，根据相似三角形的性质画出图形,即可求解． 【详解】解：如图所示， ，，，，，， ， ， ，，，，， ， ， 综上所述，与相似（但不全等）的格点三角形的个数是2个 故选：B． 变式训练2（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，在的正方形网格中，画个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定并根据网格结构判断出三角形的三边的比例是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：第1个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第2个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第3个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 第4个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 综上所述， 故选：D．正确的画法有4个． 变式训练3（24-25九年级上·上海虹口·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有________个． 【答案】6 【分析】本题考查了在直角坐标系中画出与已知三角形相似的图形，解题的关键在于找出与已知三角形各边长成比例的三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 根据题意，得出的三边之比，并在直角坐标系中找出与各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 【详解】解：有图可知：的三边为： ，， ， 如图所示： 可能出现的相似三角形共有以下六种情况： ， 故答案为：6． 类型五、利用三角形的性质结合判定求线段长度 典例精讲5（2026·辽宁·中考真题）如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 【答案】 【分析】由平行线的性质得出内错角相等，结合垂直的定义得出直角相等，从而证明 ，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 题型归纳 1.特征：图形含平行线、角相等或公共角等条件，要求通过相似求某条线段的长。 2.方法：先用判定定理证明目标线段所在三角形相似，写清对应顶点，再由对应边成比例列方程求解未知线段；常用中间线段作为桥梁传递。 3.易错提醒：列比例式前务必确认相似三角形对应关系；求出的线段要检验是否满足几何意义（长度为正、符合图中位置），防止增根。 变式训练1（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________． 【答案】 【分析】先利用矩形性质得到平行线与直角，推出一组等角，结合垂直得到另一组直角相等，证出与相似；再在直角三角形中用勾股定理算出斜边，最后根据相似三角形对应边成比例列等式，代入已知边长求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴． 变式训练2（2026·广东深圳·三模）如图，在矩形中， ，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交 于点 ，再分别以点 为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交 于点，则的长是__________． 【答案】 【分析】由矩形的性质得到，，，则由勾股定理可得，证明，得到，证明，得到，据此代入数值得出 ，，利用勾股定理求出，再根据即可求出． 【详解】解：矩形中，，， ，，， ， 由作图过程知平分 ，则， ， ， 又 ， ， ， ∴， ， ， ，即， ，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 变式训练3（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知，如图，在中，是上的一点，的平分线交于点． (1)求的长； (2)若交于点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平分得，由等腰三角形的性质得，可得，即可证明，得到，求解即可； （2）由平行线的性质得到，有代入求得，结合即可． 【详解】（1）解：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ∴， ∴； （2）， ∴， ∵， ∴， ∴， ，，， ∴， ∴， ∴． 变式训练4（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，点是的边上一点，连结，在线段上取点，连结并延长交于点． (1)若是的中线，且时． ①证明：； ②若，求的面积； (2)当（，是正整数）时，若依然成立，则 （用字母，表示）． 【答案】(1)①证明：过点作，交于点，如图所示： ， 则， ， 是的中线， ， ， ， 则， ， ， ； ② (2) 【分析】（1）①过点作，交于点，由平行线的性质推出、，得出相似比，结合题中已知条件即可得到、，等量代换即可得证； ②由中线等分三角形面积得到，设，再由相似三角形面积比为相似比的平方、等高三角形面积比等于底边比得出、，代入列方程求出即可确定，最后根据求出即可得到的面积； （2）过点作，交于点，由平行线的性质推出，结合得到，根据题意，设，再由的相似比得到，设，，由前面相关比例关系表示出要求的线段，代入计算即可． 【详解】（1）解：①略 ②连接，如图所示： 由①知， ，， ， ， 由①知，且相似比， ∴， 设， ， 由①知，且相似比，则， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， 则， ， ， ∴的面积； （2）解：过点作，交于点，如图所示： ， ， ， 则， ∵（，是正整数）， ∴设， ， ， ， ∴， 设，，则， ∵， ∴， ，， ． 类型六、利用三角形的性质结合判定求面积 典例精讲6（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，将沿边上的中线平移到的位置，如果点恰好是的重心，，分别与交于点，，那么的面积与的面积之比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由重心的性质可得，由相似三角形的性质可得面积与的面积之比． 【详解】解：点恰好是的重心， ， 将沿边上的中线平移到的位置， ，， ， ， ，， ，， ， 面积与的面积之比． 题型归纳 1.特征：已知部分边长或比例，要求通过相似求三角形（或图形）的面积。 2.方法：先判定相似并求出相似比，再用 "面积比 = 相似比 ²" 列式求解；面积比也可配合底高关系、等底等高转化使用。 3.易错提醒：面积比是相似比的平方，先求相似比再平方，勿直接套用边长比；由面积比反求相似比时记得开方。 变式训练1（2025九年级上·广东深圳·专题练习）如图，在矩形中，E是边上一点，且，与相交于点F，若的面积是3，则的面积是（    ） A．12 B．21 C．27 D．36 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 先证明，则，，即可求解，则，再由求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵的面积是3， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 变式训练2（22-23九年级上·四川广安·期末）如图，中，，，取边中点，作，，得到四边形，它的面积记作；取中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律作下去，则____________（为正整数）. 【答案】 【分析】本题主要考查了图形类规律探索，相似多边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似图形的判定与性质是解题的关键． 根据已知条件可得，然后可证得，利用相似三角形的性质可得，同理可得，于是可求得；根据已知条件，易证得四边形四边形，且相似比为，可推出，同理可得，，发现并总结出一般规律，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， 为的中点， ， ， ， ， ， 同理可得， ， 取中点，作，，得到四边形， 易证得四边形四边形，且相似比为， ， ， 同理可得：， ， ， ， 故答案为：． 变式训练3（2024·江苏徐州·二模）[阅读理解]如图1，在学习三角形的中位线时，我们发现三角形的三条中位线在三角形内部构成一个新的三角形，则其面积与原三角形面积的比是 ． [探究思考]如图2，已知，，分别是三边的三等分点，且，依次连接、、，则与的面积比是定值吗？如果是，请求出该数值；如果不是，请说明理由． [发现结论]如图3，已知，E，分别是三边的等分点，且，依次连接、、，则与的面积比是 ． 【答案】阅读理解：；探究思考：是定值，定值为；发现结论： 【分析】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 阅读理解：由中位线可得，进而证明，，同理可证，，即可求解； 探究思考：取中点G，中点H，中点I，连接，，，先证，推出，根据等高三角形面积比等于底边长度之比，可得，同理推出，，即可求解； 发现结论：取G、H、I分别是三边的n等分点，且，先证，推出，根据等高三角形面积比等于底边长度之比，可得，同理可得，，即可求解． 【详解】解：阅读理解： 是的中位线， ， 又， ， ，即， 同理可证，， ， ， 故答案为：； 探究思考: 如图，取中点G，中点H，中点I，连接，，， ， ，，， ， 又， ， ，即， ， ， 同理可证，， ， 综上可知，与的面积比是定值，定值为； 发现结论： 如图，取G、H、I分别是三边的n等分点，且， ， ，，， ，， ， ，即， ， ， 同理可证，， ， ， 故答案为：． 类型七、利用三角形的性质结合判定求求最值 典例精讲7（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，在一个直角三角形内部作一个矩形，其中和分别在两直角边上，如果设矩形的一边的长为，要使矩形面积最大，的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，二次函数的应用，先证明，可得，然后根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：如图，设矩形的一边的长为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴； ∴矩形的面积， ∵， ∴当时，面积有最大值． 故选：C． 题型归纳 1.特征：几何图形中某点或线段运动，要求某个量（面积、线段长）的最大值或最小值。 2.方法：抓住运动过程中不变的角或平行关系构造相似，由对应边成比例建立目标量的函数关系（常为二次函数或一次函数），再求最值；注意自变量的取值范围。 3.易错提醒：求最值必须先确定自变量的取值范围（与点运动范围一致），忽略范围会导致最值取错；函数开口方向判断错误也会使最大 / 最小值颠倒。 变式训练1（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，已知边长为12的正方形，是边上一动点（与、不重合），连接，是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若，则的最大面积为_________． 【答案】18 【分析】先证，则可得，设、，则可得、，代入比例式中可得．根据三角形的面积公式可得，将代入，利用配方即可求得S的最大值． 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，以及二次函数的性质，求出y与x的关系是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形，且，， ， ，， ， ， ． 设，，则， ∵平分，， ，， ，， ， 得， ， ∴当时，． 故答案为：18． 变式训练2（24-25九年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点，B两点，交y轴于点C． （1）______； （2）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，当周长的最大时，点P的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，面积的计算，三角形相似，熟练掌握三角形相似是解题的关键． （1）将点代入函数解析式即可求出答案； （2）求出解析式，设点，则点，求出当时，最大，即时，最大，即可得到答案． 【详解】解：（1）将点代入函数解析式， 即， 解得， 故答案为：． （2）由（1）可得， 令，即，解得或， 令，即， 故， 设解析式为：， 将代入， 解得， 解析式为：， 设点，则点， ， ，抛物线开口向下， 当时，最大，为， ， ， ， ，则， 当最大时，即时，最大， 则点， 故答案为：． 变式训练3（25-26九年级上·全国·期中）如图，在中，，．是上任意一点(点与点，不重合)，的顶点，分别在，上．设，的面积为． (1)求关于的函数表达式． (2)上述函数有最大或最小值吗？若有，求当取何值时，有最大或最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)有最大值，当时，有最大值，最大值为 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，二次函数求最值问题，熟练掌握以上性质是做题的关键． （1）由四边形是平行四边形，可得，，则可证出和，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得出，同理可得：，最后根据即可得出与的函数关系式； （2）先把（1）中得到的与的函数关系式化成顶点式，然后由，可得当时，有最大值即可解答． 【详解】（1）解：四边形为平行四边形， ，． ，， ，即， 同理，， ， 即． （2）解：y有最大值，理由如下， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为． 类型八、利用三角形的性质结合判定综合证明 典例精讲8（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）【问题感知】如图，点是的边上的一点，连接，点是的中点，连接并延长交于点．若，则（不用证明）； 【问题解决】 （1）填空：①若，则 （填数字）； ②若，则 （填数字）； … （2）论证：证明①的结论； 【猜想】根据上述规律，猜想，则 （用含n的式子表示，不用证明） 【答案】（1）①；②； （2）证明：如图，过点作交于点， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 猜想： 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． （1）根据【问题感知】即可得出①和②的结论； （2）过点作交于点，证明，得，证明，得，由得，继而推出，可得结论； 【猜想】 结合（2）的证明及结论即可得出答案． 【详解】解：（1）①若，则， 故答案为：； ②若，则， 故答案为：； （2）略 【猜想】 解：∵， ∴， 由（1）得：，， ∴， ∴． 故答案为：． 题型归纳 1.特征：多步综合题，需同时运用相似判定与性质，证明线段关系、比例式或角度关系。 2.方法：从结论反推需证哪对三角形相似，再正推找条件（平行线、公共角、对顶角、中点、垂直等）；证明过程按 "判定→性质" 链条层层推进，必要时构造辅助线。 3.易错提醒：中间步骤的相似结论不可跳过，每步都要有判定依据；辅助线构造后须说明平行或相等关系再使用，不可默认。 变式训练1（25-26九年级上·山东滨州·期末）【概念】三角形三条中线的交点叫作三角形的重心． 【证明】学了这个知识后，爱信遇到这样一个问题：如图1，点为的重心，连接并延长分别交于点，连接，通过观察他发现，请你帮他证明一下．这个发现非常重要，由以上的证明你得到的结论是：________________． 【应用】如图2，在中，已知是边的中线，是的重心，过点的直线分别交于点．如图2，当时，求证：； 【提升】如图3，是边的中线，是的重心，当和不平行，且点分别在线段上时，【应用】中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】 证明：三角形中的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为； 应用： 证明：点是的重心， ， 又， ， ； 提升：应用中结论成立．证明： 如图，过点作交的延长线于点与的延长线相交于点， 则， ， ， 又， 而是的中点，即， ， ， 又， ， 故结论成立． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心，三角形的中位线，平行线分线段成比例： 证明：利用三角形的中位线和三角形的相似即可证明结论； 应用：利用三角形的重心和平行线分线段成比例即可证明； 提升：过点作交的延长线于点与的延长线相交于点，则，得到，进而推出，，即可证明． 【详解】证明：点为的重心， 点分别为线段的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ∴得到结论：三角形中的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为； 应用：略 提升：略 变式训练2（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图所示，正方形中，点、分别在边、上，且． (1)证明：； (2)证明：正方形的边长是与的比例中项． 【答案】(1) 证明：连接，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：由（1）可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即正方形的边长是与的比例中项． 【分析】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）连接，由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求证； （2）由（1）可知：，，则有，然后可得，进而根据相似三角形的性质及正方形的性质可进行求证． 【详解】（1）略． （2）略． 变式训练3（2025·山东济南·二模）在中，，，点D是边上一点，连接，在右侧作，使，，连接． 【问题初探】 （1）如图1，当时，请判断线段和线段的数量关系并给出证明； 小亮同学从时，与均为等腰直角三角形，这个条件出发给出如下解题思路：通过证得到，从而得到结论； 小新同学从猜想的结论出发给出另一种解题思路：如图2，在线段上截取，连接，通过证明，将线段转化为线段； ①线段和线段D的数量关系为______； ②请你选择自己喜欢的解题思路，写出证明过程； 【类比研究】 （2）如图3，当，，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图4，当时，过点C作交于点F，若，，求的长． 【答案】（1）①； ②证明：方法一： ， ， ， ， ， ， ，又， ， ， ， 即． 方法二：如图， 在上截取， ，． ． ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． （2）； （3） 【分析】（1）方法一：根据，得出，证明，得出，即可得，从而证出，得出，，即． 方法二：如图，在上截取，得出，从而得，根据，得出，证明，结合，证明，得出，即可证． （2）证明，得出，再证明，得出，，即可求解． （3）如图，过点做，交的延长线于点，根据，得出，在中，求出，证明，得出，证明，得出，，设，则，表示出，证明，得出，表示出，再列方程即可求解． 【详解】（1）解：①； ②略 （2）， ， ， ， ， ， ， ， ，又， ， ， ， ， ． （3）解：如图， 过点作，交的延长线于点， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，又， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 在和中，，， ， ， ， ，解得：， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质和内角和定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 类型九、动点问题 典例精讲9（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，t秒后，与相似，则t的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．注意分两种情况讨论求解．设t秒后，与相似，可表示出，，再分与是对应边和与是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：设t秒后，与相似，则，， 当与是对应边时，则， ， 解得， 当与是对应边时，则， ， 解得， 故t的值为或时，与相似， 故选：C． 题型归纳 1.特征：动点在三角形边上（或直线上）按一定速度运动，运动过程中两三角形相似，求运动时间、路程或某线段长。 2.方法：设运动时间为 t（或路程为 x）表示相关线段，抓住 "角不变" 构造相似，由对应边成比例列方程求解；按动点所在边的不同位置分类讨论，逐一验证。 3.易错提醒：动点位置变化可能产生多解，须按位置分类讨论并检验是否满足相似条件，防止漏解；表示线段时要考虑 "剩余部分 = 全长 − 已走部分"，勿用错长度。 变式训练1（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，，，，，．点P在上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，则的长为（    ）． A．6或1或3.5 B．1或3.5或4.2 C．4.2或1或6 D．6或4.2或3.5 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据对应点进行分类讨论是解题关键． 设，则，以P，C，D为顶点的三角形与相似，有两种可能性，分别为和，可得或，分别代入求出x即可． 【详解】解：设，则， 当时， 则， 代入得，， 解得，； 当时， 则， 代入得，， 解得，或， 故选：C． 变式训练2（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，正方形的边长为4，，那么当______时，与相似．（M为边上的动点，N为边上的动点） 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，利用相似三角形对应边成比例，分两种情况讨论：①和 ②，据此求得的长． 【详解】解：四边形是正方形， ， 正方形的边长为4， ， 在中，由勾股定理得：， 与相似， 分两种情况： ①，即， 解得； ②，即， 解得， 因此，当或时，与相似， 故答案为：或． 变式训练3（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）如图，四边形，，，，，，动点从点开始沿的方向向点匀速运动，运动速度为，动点从点开始沿的方向向点匀速运动，运动速度为．点和点同时出发． （1）当时，的值为________； （2）当时，的值为________； 【答案】 【分析】本题考查了直角梯形的性质、相似三角形的判定与性质、动点问题中的平行与垂直关系，解题的关键是通过作辅助线求出AD的长度，利用相似三角形的比例关系建立方程求解的值． （1） 先求AD长度，当时，利用的相似比列方程； （2） 作构造，利用与互余的正切关系列方程． 【详解】（1）解：过作于， ∵，， ∴四边形DEBC是矩形，， ∵， ∴， ∴. 当时，， ∴， 即，解得． 故答案为：． （2） 解：过作于， ∵，， ∴， ∴， 其中， 即， ∵， ∴ ∵， ∴， 又， ∴， ∴ 在中，， 即， 化简得， 解得， 故答案为：. 变式训练4（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒，t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ 【答案】或 【分析】分类讨论：①，②，逐个分析求解即可． 【详解】解：在矩形中，， ∴， 由题意，有， ∴， ∴①当时，如答图1，   ，， ， ，即， 解得秒； ②当时，如答图2，   ，， ， ，即， 解得秒， 综上所述，为秒与秒时，与相似． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，E为上一点，连接，且交于点，则（     ） A．2:3 B．2:5 C．3:5 D．3:2 【答案】B 【详解】四边形是平行四边形， ， ． ， ， ． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过ts时与相似，那么t的值为（     ） A．2 B．或2 C． D．或2 【答案】B 【分析】设x秒后，与相似，可表示出，再分与两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：由题意，得，． ，， ． ①当时， ， ， ， ， 解得； ②当时， ， ， ， ， 解得， 综上所述，的值为或2． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形中，点E，M是边，上的点，，与交于点F，G，如果，那么下列错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在正方形中，根据正方形的性质对角线平分和，又因为，所以，又因为对顶角相等，再结合相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】 ∵在正方形ABCD中，点E，M是边AD，CD上的点，， ∴，，， 即， ∵， ∴， 故A正确，该选项不符合题意； ∵，， ∴， 故B正确,该选项不符合题意； ∵， ∴ 故C正确，该选项不符合题意； ∵， ∴， 而不一定等于， ∴与不一定相似， 故D错误，该选项符合题意． 4．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，，相交于点O，点A，B，C，D都在这些小正方形网格的格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由网格特点得，，，则，由相似三角形的性质得出，，，代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】解：由网格特点得，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴． 5．（25-26八年级下·山东烟台·期末）在中，分别为边上的点，与相交于点D．若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图：连接，先证得到相似比为，，即，再证可得，求得，则，进而求得． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ， ； ∵， ∴的面积为20， ∵， ∴，即， ∴的值为． 6．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、如图， 根据题意得，， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、如图， ∵不知道的长度， ∴无法求出的长度， ∴无法得出和以为夹角的两边成比例 ∴剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似，符合题意； C、如图， ∵， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、∵，且 ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意． 7．（2026·河南平顶山·三模）如图，在平行四边形中，E，F分别为边的中点，连接交于点P，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点E作交BF于点G，证明，则．进一步得到．证明，即可得到． 【详解】解：过点E作交BF于点G， ∴ ∴ ∵E是的中点， ∴． ∵F是的中点， ∴ 在平行四边形中， ∴． ∴ ∴， ∴． 8．（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______． 【答案】/ 【分析】根据平移的性质可知，，，进而可证得，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得结论． 【详解】解：等边三角形沿边上的高线平移到， 且与边相交于、点， ，， ，， ， ， ， ， 的阴影部分面积记为，， ， 解得． 9．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，D、E分别是的边上的点，，若，则________． 【答案】 【分析】证明得出，证明得出，进而求出结论． 【详解】解：， ． ， ． ， ， ， ． 与等高， ． 10．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，矩形的顶点，在坐标轴上，顶点在反比例函数的图象上，若，则的值是________ ． 【答案】 【分析】先作水平、垂直辅助线构造直角三角形，利用矩形直角推导出两组角相等证明三角形相似，结合边长比例得到线段等量关系，设点坐标并代入相似比例式列方程求解出坐标，最后根据反比例函数坐标乘积等于算出值． 【详解】解：如图，过点作轴于点E，过点作轴交于点F， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设点的坐标为，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴． 11．（2026·新疆·中考真题）如图，等边的面积为，边与双曲线相交于点，且，则____________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，设等边的边长为，结合三角形面积，求出，，证明，利用相似三角形对应边成比例，求出，，从而得到点的坐标，即可得到的值． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 设等边的边长为， ，， ， 等边的面积为， ， （负值舍去）， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ． 12．（2026·福建福州·模拟预测）如图，等边的边长为a，点D，E分别在边AB，AC上，且，BE与CD相交于点F，则的值为______． 【答案】/0.5 【分析】证明，得出，，再证明，即可得，等量代换求出，同理得到证明，得到，等量代换求出，进而求解即可． 【详解】解：∵等边的边长为， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 13．（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）如图是由边长为的小正方形组成的的网格，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)在图①中作出的中线； (2)图②中，在的边上找一点，使； (3)图③中，在的边上找一点，连接，使的面积为． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)如图，点即为所求． (3)如图，点即为所求． 【分析】（1）根据网格特征，取的中点，连接即可； （2）取格点，使且，延长交于点，则点即为所求； （3）取格点，，使且，连接交于点，连接，则点即为所求． 【详解】（1）解：取BC的中点D，连接AD，则AD即为所求． 如图①所示：略 （2）解：取格点，使且，延长交于点，则点即为所求； 如图②所示：略 （3）解：取格点，，使且，连接交于点，连接， 如图③，略 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则点即为所求． 14．（25-26八年级下·山东泰安·期末）解决下列问题： (1)如图1，在中，D为上一点，．求证：； (2)如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，求的长． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴． (2)9 【分析】（1）证出即可； （2）先得出，再证出，求出的长，由此即可得． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵， ∴． 15．（2026·广东·中考真题）如图，在中，，，点在上，且，连接．过点作的垂线交于点，交于点，连接，． (1)求的长； (2)求证：； (3)求的值． 【答案】(1)4 (2) 证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； (3)2 【分析】（1）直接由勾股定理求解即可； （2）证明，得到，再由代入求证即可； （3）先证明点为的中点，然后求出，，再由共高三角形面积比等于底之比求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）略 （3）解：由（2）知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相似三角形的性质与判定九类综合问题 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、选择或补充条件使两个三角形相似 1 类型二、利用相似三角形的性质求解 2 类型三、证明三角形对应线段成比例 4 类型四、网格中画与已知三角形相似的三角形 5 类型五、利用三角形的性质结合判定求线段长度 7 类型六、利用三角形的性质结合判定求面积 8 类型七、利用三角形的性质结合判定求求最值 10 类型八、利用三角形的性质结合判定综合证明 11 类型九、动点问题 14 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 相似三角形的性质与判定九类综合问题是初中几何的核心压轴模块，上承平行线与比例线段，下启相似三角形的实际应用。所有题型均围绕判定与性质两大核心展开，解题贯穿一条主线：先判后用—— 用判定定理确定相似关系（定 "形"），再用相似性质列比例求值（定 "数"），最终结果均需结合图形实际意义检验。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、选择或补充条件使两个三角形相似 典例精讲1（2026·河北张家口·二模）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：给出两个三角形及部分已知条件，要求选择或补充一个条件，使两个三角形相似。 2.方法：依据三大判定定理逐一排查 —— 优先用 AA（已有两角相等只需补一角）；已有两边比例时补 "夹角相等" 用 SAS；补第三边使三边成比例用 SSS。 3.易错提醒：SAS 必须是 "夹角" 相等，不可补成任意边；补充条件后须回代验证是否真正相似，防止 "看似相似实则不相似"。 变式训练1（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A． B． C． D． 变式训练2（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，、和3张都标注一个条件的卡片．从这3张卡片中随机一次性抽取2张，根据这2张的条件，能判断的概率为___________． 变式训练3（25-26九年级上·吉林长春·期中）在中，P为AB上的一点，下列四个条件：①；②；③；④等，其中能判断的有__________． 类型二、利用相似三角形的性质求解 典例精讲2（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：已知两个三角形相似及部分边长 / 角度，求对应边长、对应角、周长或面积。 2.方法：由相似先确定相似比，再按 "对应边成比例、对应角相等、周长比 = 相似比、面积比 = 相似比 ²" 逐项求解。 3.易错提醒：对应顶点顺序不能写乱，写错则比例式全错；求面积必须先求相似比再平方，勿忘平方。 变式训练1（2026·四川乐山·中考真题）如图，在 中，点 、 、分别是、 、 的中点，连接、、．若，则（     ） A． B． C． D． 变式训练2（2026·河南平顶山·二模）如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为5，则的长为（     ） A． B． C． D． 变式训练3（26-27九年级上·全国·课后作业）一个三角形的边长分别为4，5，6，和它相似的另一个三角形的最长边为24，则较大三角形的周长为________． 变式训练4（26-27九年级上·全国·课后作业），，边上的中线，的周长为，的面积是，求： (1)边上的中线的长； (2)的周长； (3)的面积． 类型三、证明三角形对应线段成比例 典例精讲3（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点是上一点，作交于点，点是上的一点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若点为的重心，求与的比． 题型归纳 1.特征：图形中有一对或多对三角形，要求证明某两条线段（含分点线段）成比例。 2.方法：先证明所在三角形相似（首选 AA，通过平行线、公共角、对顶角找角），再利用相似 "对应边成比例" 性质直接得证；必要时通过中间三角形传递比例。 3.易错提醒：比例式中的线段必须与相似三角形对应顶点严格对应，不可跨三角形混用；需多步传递时每步都要写明相似依据。 变式训练1（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，点，点分别是边、上的点，和相交于点，，连接． (1)求证：； (2)如果，求的值． 变式训练2（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 变式训练3（2025九年级上·上海·专题练习）如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 类型四、网格中画与已知三角形相似的三角形 典例精讲4（25-26九年级上·广东深圳·期中）以下三角形的顶点均在格点上，那么下列三角形中（    ）与第一个三角形相似． A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：在方格纸（网格）中，按要求画出与已知三角形相似（给定相似比）的三角形。 2.方法：用勾股定理或格点距离算原三角形三边，按相似比放大 / 缩小各边长，在网格中定位格点作出；先算边长再选判定（SSS 最稳妥）。 3.易错提醒：按比例缩放时边长要取整格，避免出现不可定位的格点；勿忘相似比可能大于 1 或小于 1，方向不可画反。 变式训练1（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点，，都在正方形网格的格点上．在图中以线段为一边，另一个顶点在格点上，且与相似（但不全等）的格点三角形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式训练2（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，在的正方形网格中，画个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式训练3（24-25九年级上·上海虹口·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有________个． 类型五、利用三角形的性质结合判定求线段长度 典例精讲5（2026·辽宁·中考真题）如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 题型归纳 1.特征：图形含平行线、角相等或公共角等条件，要求通过相似求某条线段的长。 2.方法：先用判定定理证明目标线段所在三角形相似，写清对应顶点，再由对应边成比例列方程求解未知线段；常用中间线段作为桥梁传递。 3.易错提醒：列比例式前务必确认相似三角形对应关系；求出的线段要检验是否满足几何意义（长度为正、符合图中位置），防止增根。 变式训练1（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________． 变式训练2（2026·广东深圳·三模）如图，在矩形中， ，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交 于点 ，再分别以点 为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交 于点，则的长是__________． 变式训练3（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知，如图，在中，是上的一点，的平分线交于点． (1)求的长； (2)若交于点，求的长． 变式训练4（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，点是的边上一点，连结，在线段上取点，连结并延长交于点． (1)若是的中线，且时． ①证明：； ②若，求的面积； (2)当（，是正整数）时，若依然成立，则 （用字母，表示）． 类型六、利用三角形的性质结合判定求面积 典例精讲6（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，将沿边上的中线平移到的位置，如果点恰好是的重心，，分别与交于点，，那么的面积与的面积之比是（     ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：已知部分边长或比例，要求通过相似求三角形（或图形）的面积。 2.方法：先判定相似并求出相似比，再用 "面积比 = 相似比 ²" 列式求解；面积比也可配合底高关系、等底等高转化使用。 3.易错提醒：面积比是相似比的平方，先求相似比再平方，勿直接套用边长比；由面积比反求相似比时记得开方。 变式训练1（2025九年级上·广东深圳·专题练习）如图，在矩形中，E是边上一点，且，与相交于点F，若的面积是3，则的面积是（    ） A．12 B．21 C．27 D．36 变式训练2（22-23九年级上·四川广安·期末）如图，中，，，取边中点，作，，得到四边形，它的面积记作；取中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律作下去，则____________（为正整数）. 变式训练3（2024·江苏徐州·二模）[阅读理解]如图1，在学习三角形的中位线时，我们发现三角形的三条中位线在三角形内部构成一个新的三角形，则其面积与原三角形面积的比是 ． [探究思考]如图2，已知，，分别是三边的三等分点，且，依次连接、、，则与的面积比是定值吗？如果是，请求出该数值；如果不是，请说明理由． [发现结论]如图3，已知，E，分别是三边的等分点，且，依次连接、、，则与的面积比是 ． 类型七、利用三角形的性质结合判定求求最值 典例精讲7（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，在一个直角三角形内部作一个矩形，其中和分别在两直角边上，如果设矩形的一边的长为，要使矩形面积最大，的取值为（   ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：几何图形中某点或线段运动，要求某个量（面积、线段长）的最大值或最小值。 2.方法：抓住运动过程中不变的角或平行关系构造相似，由对应边成比例建立目标量的函数关系（常为二次函数或一次函数），再求最值；注意自变量的取值范围。 3.易错提醒：求最值必须先确定自变量的取值范围（与点运动范围一致），忽略范围会导致最值取错；函数开口方向判断错误也会使最大 / 最小值颠倒。 变式训练1（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，已知边长为12的正方形，是边上一动点（与、不重合），连接，是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若，则的最大面积为_________． 变式训练2（24-25九年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点，B两点，交y轴于点C． （1）______； （2）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，当周长的最大时，点P的坐标为______． 变式训练3（25-26九年级上·全国·期中）如图，在中，，．是上任意一点(点与点，不重合)，的顶点，分别在，上．设，的面积为． (1)求关于的函数表达式． (2)上述函数有最大或最小值吗？若有，求当取何值时，有最大或最小值；若没有，请说明理由． 类型八、利用三角形的性质结合判定综合证明 典例精讲8（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）【问题感知】如图，点是的边上的一点，连接，点是的中点，连接并延长交于点．若，则（不用证明）； 【问题解决】 （1）填空：①若，则 （填数字）； ②若，则 （填数字）； … （2）论证：证明①的结论； 【猜想】根据上述规律，猜想，则 （用含n的式子表示，不用证明） 题型归纳 1.特征：多步综合题，需同时运用相似判定与性质，证明线段关系、比例式或角度关系。 2.方法：从结论反推需证哪对三角形相似，再正推找条件（平行线、公共角、对顶角、中点、垂直等）；证明过程按 "判定→性质" 链条层层推进，必要时构造辅助线。 3.易错提醒：中间步骤的相似结论不可跳过，每步都要有判定依据；辅助线构造后须说明平行或相等关系再使用，不可默认。 变式训练1（25-26九年级上·山东滨州·期末）【概念】三角形三条中线的交点叫作三角形的重心． 【证明】学了这个知识后，爱信遇到这样一个问题：如图1，点为的重心，连接并延长分别交于点，连接，通过观察他发现，请你帮他证明一下．这个发现非常重要，由以上的证明你得到的结论是：________________． 【应用】如图2，在中，已知是边的中线，是的重心，过点的直线分别交于点．如图2，当时，求证：； 【提升】如图3，是边的中线，是的重心，当和不平行，且点分别在线段上时，【应用】中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 变式训练2（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图所示，正方形中，点、分别在边、上，且． (1)证明：； (2)证明：正方形的边长是与的比例中项． 变式训练3（2025·山东济南·二模）在中，，，点D是边上一点，连接，在右侧作，使，，连接． 【问题初探】 （1）如图1，当时，请判断线段和线段的数量关系并给出证明； 小亮同学从时，与均为等腰直角三角形，这个条件出发给出如下解题思路：通过证得到，从而得到结论； 小新同学从猜想的结论出发给出另一种解题思路：如图2，在线段上截取，连接，通过证明，将线段转化为线段； ①线段和线段D的数量关系为______； ②请你选择自己喜欢的解题思路，写出证明过程； 【类比研究】 （2）如图3，当，，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图4，当时，过点C作交于点F，若，，求的长． 类型九、动点问题 典例精讲9（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，t秒后，与相似，则t的值是（    ） A． B． C．或 D．或 题型归纳 1.特征：动点在三角形边上（或直线上）按一定速度运动，运动过程中两三角形相似，求运动时间、路程或某线段长。 2.方法：设运动时间为 t（或路程为 x）表示相关线段，抓住 "角不变" 构造相似，由对应边成比例列方程求解；按动点所在边的不同位置分类讨论，逐一验证。 3.易错提醒：动点位置变化可能产生多解，须按位置分类讨论并检验是否满足相似条件，防止漏解；表示线段时要考虑 "剩余部分 = 全长 − 已走部分"，勿用错长度。 变式训练1（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，，，，，．点P在上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，则的长为（    ）． A．6或1或3.5 B．1或3.5或4.2 C．4.2或1或6 D．6或4.2或3.5 变式训练2（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，正方形的边长为4，，那么当______时，与相似．（M为边上的动点，N为边上的动点） 变式训练3（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）如图，四边形，，，，，，动点从点开始沿的方向向点匀速运动，运动速度为，动点从点开始沿的方向向点匀速运动，运动速度为．点和点同时出发． （1）当时，的值为________； （2）当时，的值为________； 变式训练4（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒，t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，E为上一点，连接，且交于点，则（     ） A．2:3 B．2:5 C．3:5 D．3:2 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过ts时与相似，那么t的值为（     ） A．2 B．或2 C． D．或2 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形中，点E，M是边，上的点，，与交于点F，G，如果，那么下列错误的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，，相交于点O，点A，B，C，D都在这些小正方形网格的格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·山东烟台·期末）在中，分别为边上的点，与相交于点D．若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A．B．C．D． 7．（2026·河南平顶山·三模）如图，在平行四边形中，E，F分别为边的中点，连接交于点P，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______． 9．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，D、E分别是的边上的点，，若，则________． 10．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，矩形的顶点，在坐标轴上，顶点在反比例函数的图象上，若，则的值是________ ． 11．（2026·新疆·中考真题）如图，等边的面积为，边与双曲线相交于点，且，则____________． 12．（2026·福建福州·模拟预测）如图，等边的边长为a，点D，E分别在边AB，AC上，且，BE与CD相交于点F，则的值为______． 13．（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）如图是由边长为的小正方形组成的的网格，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)在图①中作出的中线； (2)图②中，在的边上找一点，使； (3)图③中，在的边上找一点，连接，使的面积为． 14．（25-26八年级下·山东泰安·期末）解决下列问题： (1)如图1，在中，D为上一点，．求证：； (2)如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，求的长． 15．（2026·广东·中考真题）如图，在中，，，点在上，且，连接．过点作的垂线交于点，交于点，连接，． (1)求的长； (2)求证：； (3)求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $