精品解析：吉林长春吉大附中实验学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

2025-2026学年下学期高二年级 期中考试数学学科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回.注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知，则（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【详解】对于非负整数，当时， 若，则有或， 已知，显然，因此满足，解得， 此时，符合组合数的定义要求，故． 2. 8名学生争夺4项冠军，获得冠军的可能情况有（ ）种． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一个项目的冠军的情况有8种，由分步乘法计数原理求解即可. 【详解】因为每一名学生都可以同时夺得4个项目的冠军，故一个项目的冠军的情况有8种， 所以分步乘法计数原理可知，冠军的可能情况有种. 故选：A． 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数图像的变化特点进行分析即可. 【详解】结合图象可知，在从最大值逐渐减小到最小值，所以切线斜率从趋近于0逐渐到最小，斜率绝对值逐渐增大，因此下降越来越快， 在从最小值逐渐增加到0，所以切线斜率从最小值（负值）逐渐趋近于0，斜率绝对值逐渐减小，因此下降越来越平缓，D符合这个性质. 4. 某医院有现场和在线两种挂号方式，其中现场挂号的比例为，通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意，随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先用频率估计概率，再由全概率公式计算可得. 【详解】记“现场挂号”，“患者对医院的服务满意”，则. 因为通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意， 所以用频率估计概率，得. 又由全概率公式得 . 所以随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为. 5. 工厂制造某种机器零件的尺寸，任取10000个零件时，尺寸在内的个数约为（ ）（附：若，则，，） A. 2718 B. 1359 C. 430 D. 215 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，则 ， 所以任取10000个零件时，尺寸在内的个数约为． 6. 根据生物实验中的一组数据作出如图所示的散点图，并对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（ ） A. 决定系数变小 B. 残差平方和变小 C. 相关系数变大 D. 不变 【答案】A 【解析】 【详解】增加点，从散点图中可以看出拟合效果变差； 决定系数越接近1，拟合效果越好，所以拟合效果变差后决定系数变小，故A正确； 残差平方和越小，拟合效果越好，所以残差平方和变大，故B错误； 越接近1，相关程度越强，拟合效果越好，由于两个变量成正相关，所以相关系数变小，故C错误； 增加点前的的平均数为，增加点后的的平均数为， 所以变大，故D错误. 7. 设离散型随机变量的所有可能取值为1，2，3，4，5，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由离散型随机变量分布列的性质可知，所有可能取值的概率之和为1，即， 当时，代入题设条件，得：，解得， 当时，，结合题设条件可得： ，即，解得． 8. 设正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合的单调性可得，令，求导可得的最小值. 【详解】原式化为，因为，则， 则可得. 令，则可得， 因为，则可得在上单调递增， 故，即，令，求导得， 当时，，故函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以．即的最小值为. 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 某设备的使用年限（年）和所支出的维修费用（万元）有如下表的统计资料： 2 3 4 5 6 2.2 3.8 6.5 7.0 已知根据表中原始数据得回归直线方程为．某位工作人员在查阅资料时发现表中有个数据模糊不清了，下列说法正确的是（ ） A. 所支出的维修费用与使用年限正相关 B. 估计使用10年维修费用是12.38万元 C. 根据回归方程可推断出模糊不清的数据的值为5 D. 第3年维修费用的残差为0.03万元 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线性回归方程斜率判断A;利用线性回归方程预测的情况判断B；由可求出模糊数据判断C；根据残差公式计算即可判断D． 【详解】解：因为回归直线斜率大于0，所以所支出的维修费用与使用年限正相关，A正确； 将代入回归直线方程得，B正确： ，， 则模糊数据为，C错； 时，估计值，而实际值为， 则第3年维修费用的残差为0.03万元，故D正确． 10. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中4个黄球，6个白球，从中随机有放回的取4次，每次取1球，记取到黄球的个数为，则下述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，有放回的取4次，每次取到黄球的概率为，每次取球相互独立，因此取到黄球的个数服从的二项分布，即，故A错误； 对于B，由二项分布概率公式得，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误. 11. 有个编号分别为1，2，3，…，的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从号盒子取出的球是白球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，利用全概率公式即可判断AC，由条件概率的公式即可判断B，由与的关系，即可得到，从而判断D. 【详解】由题意，从1号盒子取球有两种情况：取出的球是白球和取出的球是黑球， 若从1号盒子取出的球是白球，概率为， 此时2号盒子中有2个白球和1个黑球，则从2号盒子取出的球是白球，概率为， 即，依此类推， 若从1号盒子取出的球是黑球，概率为， 此时2号盒子中有1个白球和2个黑球，则从2号盒子取出的球是白球，概率为， 即，依此类推， 由全概率公式 ， 所以A错误； 因为，则，所以B正确； 由全概率公式，时， ， 所以， ，所以C正确； 由，则， 因为，， 所以，即， 则，当时，， 所以，所以D正确． 故选：BCD． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 等6人在某博物馆前排成一列进入馆内参观，其中相邻，则不同的排队方法有__________种.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】借助捆绑法计算即可得. 【详解】两人看作一个整体，内部有种排法， 整体和剩下4人，构成5个元素全排列有种排法， 故共有种， 故相邻，则不同的排队方法有240种. 13. ，则__________． 【答案】31 【解析】 【详解】在中，取，得， 取，得， 所以. 14. 把1、2、3、4四个数字随机排成一行，从左到右依次读取，从第二个数开始，每当读到的数字比前面所有数字都大时，称该数为一个“新高”.记排列中“新高”的个数为随机变量，则______. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】用列举法写出“新高”的个数为2的排列，计数后由概率公式计算概率. 【详解】把1、2、3、4四个数字随机排成一行，有24种可能，其中“新高”的个数为2的有：2134，2314，2341，1243，1324，1342共6个， 所以 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为． （1）求n的值； （2）求展开式中的常数项． 【答案】（1）6 （2）4860 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数的定义求解即可； （2）利用二项展开式的通项公式求解即可. 【小问1详解】 由展开式的第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5:2， 得，即，而， 所以. 【小问2详解】 二项式的展开式通项公式为， 由，得，则， 所以展开式中的常数项为4860. 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：存在极大值点； 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后结合零点存在性定理分析可得函数单调性，即可得其极值情况； 【小问1详解】 由函数，函数的定义域为R， ， 则，又， 则曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 因为， 令，则，故在上单调递增， 又，，故存在，使得， 当时，，当时，， 所以时，，当时，， 故在，上单调递增，在上单调递减， 故是的极大值点. 17. 我国全面二孩政策已正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据： 产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数（单位：户） 4 8 16 20 26 （1）建立变量关于的一元线性回归模型； （2）用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数的数学期望. 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 参考数据：. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知求出，，利用公式求出，，即可得到关于的线性回归方程； （2）由回归方程求出预测值，可得残差的绝对值，判断是否为“次数据”，可得“次数据”和非“次数据”个数，“次数据”个数为，求出对应概率，即可列出分布列求出数学期望. 【小问1详解】 ，， 所以， 则， ， 所以关于的一元线性回归方程为. 【小问2详解】 由（1）回归方程为，样本数据的残差的绝对值大于1时，称该对数据为一个“次数据”， 由题意，列出下表， 产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数（单位：户） 4 8 16 20 26 预测值 3.6 9.2 14.8 20.4 26 残差的绝对值 0.4 1.2 1.2 0.4 0 是否为“次数据” 否 是 是 否 否 则“次数据”共有2个，非“次数据”共有3个，从这5个数据中任取三个，“次数据”个数为， 则， ， ， 分布列 0 1 2 所以，数学期望为 . 18. 高考数学试卷评阅采用“双评仲裁”的方式，具体规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.高考的第一道大题为基础题，不少同学的结果正确，但由于书写潦草，步骤不规范等原因，实际得分往往达不到满分，我校为了解学生的答题书写情况，开展了一次测评，针对这道满分13分的大题，选取了大量“结果正确”的试卷，由数十名阅卷老师按照高考阅卷规则进行评阅，规定每位老师给出的分数仅在13分、12分、11分中取值，经统计，各分数对应的比例如下表所示，以频率视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响. 教师评分 13 12 11 各分数所占比例 甲同学上交了一道“结果正确”的题参与本次测评. （1）求此题需要仲裁的概率； （2）求此题在一评、二评两位老师给分不同的条件下，最终得了满分的概率； （3）求此题得分的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） （3）的分布列为: 11 11.5 12 12.5 13 所以 【解析】 【分析】（1）所有可能得评分组合中，差的绝对值大于1的情况仅为，一评11，二评13或一评13，二评11，由此求解即可； （2）先计算一评二评给分相同的概率，再计算一评二评给分不同的概率，即可求解； （3）由随机变量可能的取值，分别求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望. 【小问1详解】 根据规则，只有当一评，二评的分数差绝对值大于1时，才需要仲裁， 所有可能得评分组合中，差的绝对值大于1的情况仅为，一评11，二评13或一评13，二评11， 两种情况的概率之和为：. 【小问2详解】 设事件为“一评，二评给分不同”，事件为“最终得满分13分”， 一评二评给分相同的概率为, 因此，， . 【小问3详解】 由题意可得的可能取值为：，，，，， 则， ， ， ， 所以的分布列为: 11 11.5 12 12.5 13 所以. 19. 已知，，函数，. （1）当时，讨论的单调性； （2）若存在零点. （ⅰ）当时，求的取值范围； （ⅱ）求证：. 【答案】（1）当时，在上单调递增，当时，的增区间为，减区间为 （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件得，对求导，利用导数与函数单调性的关系，分和两种情况讨论，即可求解； （2）（i）根据条件，将问题转化成方程的解，构造函数，，求出的单调区间，再数形结合，即可求解；（ii）根据条件，利用柯西不等式，将问题转化成证明，构造函数，求出的最小值，即可求解. 【小问1详解】 当时，，，则， 当时，恒成立，此时在上单调递增， 当，令，即，解得， 当时，，当时，， 此时的增区间为，减区间为， 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，的增区间为，减区间为. 【小问2详解】 （ⅰ）当时，，令，得到， 因为存在零点，且易知不是的零点，则， 令，，则， 因为，则当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又时，，当时，，且， 所以的图象如图所示，由题知的图象与的图象有交点， 由图知，. （ⅰi）因为存在零点，又，则存在，使得， 即，又，当且仅当时取等号， 要证，即证明，即证明， 令，则， 令，则在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增，又，所以在区间上恒成立， 则在区间上单调递增，所以， 故成立，命题得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期高二年级 期中考试数学学科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回.注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知，则（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 2. 8名学生争夺4项冠军，获得冠军的可能情况有（ ）种． A. B. C. D. 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 某医院有现场和在线两种挂号方式，其中现场挂号的比例为，通过调查问卷，得知的现场挂号患者对医院的服务满意，的在线挂号患者对医院的服务满意，随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 工厂制造某种机器零件的尺寸，任取10000个零件时，尺寸在内的个数约为（ ）（附：若，则，，） A. 2718 B. 1359 C. 430 D. 215 6. 根据生物实验中的一组数据作出如图所示的散点图，并对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（ ） A. 决定系数变小 B. 残差平方和变小 C. 相关系数变大 D. 不变 7. 设离散型随机变量的所有可能取值为1，2，3，4，5，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 设正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 某设备的使用年限（年）和所支出的维修费用（万元）有如下表的统计资料： 2 3 4 5 6 2.2 3.8 6.5 7.0 已知根据表中原始数据得回归直线方程为．某位工作人员在查阅资料时发现表中有个数据模糊不清了，下列说法正确的是（ ） A. 所支出的维修费用与使用年限正相关 B. 估计使用10年维修费用是12.38万元 C. 根据回归方程可推断出模糊不清的数据的值为5 D. 第3年维修费用的残差为0.03万元 10. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中4个黄球，6个白球，从中随机有放回的取4次，每次取1球，记取到黄球的个数为，则下述正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 有个编号分别为1，2，3，…，的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从号盒子取出的球是白球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 等6人在某博物馆前排成一列进入馆内参观，其中相邻，则不同的排队方法有__________种.（用数字作答） 13. ，则__________． 14. 把1、2、3、4四个数字随机排成一行，从左到右依次读取，从第二个数开始，每当读到的数字比前面所有数字都大时，称该数为一个“新高”.记排列中“新高”的个数为随机变量，则______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为． （1）求n的值； （2）求展开式中的常数项． 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：存在极大值点； 17. 我国全面二孩政策已正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据： 产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数（单位：户） 4 8 16 20 26 （1）建立变量关于的一元线性回归模型； （2）用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数的数学期望. 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 参考数据：. 18. 高考数学试卷评阅采用“双评仲裁”的方式，具体规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.高考的第一道大题为基础题，不少同学的结果正确，但由于书写潦草，步骤不规范等原因，实际得分往往达不到满分，我校为了解学生的答题书写情况，开展了一次测评，针对这道满分13分的大题，选取了大量“结果正确”的试卷，由数十名阅卷老师按照高考阅卷规则进行评阅，规定每位老师给出的分数仅在13分、12分、11分中取值，经统计，各分数对应的比例如下表所示，以频率视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响. 教师评分 13 12 11 各分数所占比例 甲同学上交了一道“结果正确”的题参与本次测评. （1）求此题需要仲裁的概率； （2）求此题在一评、二评两位老师给分不同的条件下，最终得了满分的概率； （3）求此题得分的分布列及数学期望. 19. 已知，，函数，. （1）当时，讨论的单调性； （2）若存在零点. （ⅰ）当时，求的取值范围； （ⅱ）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $