专题 6.5 变量之间的关系全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

本讲义聚焦变量之间的关系核心知识点，系统梳理变量与常量的概念，详解表格法、关系式法、图象法三种表示方法及联系区别，通过概念辨析、实际情境应用、几何问题等题型构建从基础到综合的学习支架。 资料特色在于结合购物车、蓄水池等生活情境及正方形剪角等几何问题，培养抽象能力与几何直观（数学眼光），通过表格图象转化、动点问题推理提升运算与推理能力（数学思维），同步检测分层设计，课中辅助教学，课后帮助学生查漏补缺。

专题 6.5 变量之间的关系全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】变量与常量 1 【知识二】表示变量关系的三种方法 1 【知识三】图象法优缺点 2 【题型 1】 概念辨析题 2 【题型 2】从表格中获取信息 3 【题型 3】从表格中求关系式 5 【题型 4】实际情境列关系式 6 【题型 5】从几何图形中列关系式 7 【题型 6】从图象中获取信息 8 【题型 7】表格法、图象法、解析法综合 10 【题型 8】图象中的动点问题 13 二.同步检测 14 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,） 14 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 17 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】变量与常量 在一个变化过程中，数值会发生变化的量叫做变量；其中主动变化、不受其他量影响，并引起其他量变化的量叫做自变量。随着自变量的变化而变化的量，它的变化是被动的、由自变量决定的量叫做因变量。数值始终保持不变的量叫做常量。 【知识二】表示变量关系的三种方法 1. 表格法 用法：列出自变量与因变量一一对应的数值 作用：直接读取对应数据；观察增减变化趋势；根据规律估算未知数值 2. 关系式法 形式：写成用含的代数式因变式，同时因变量放左边； 两类计算：已知自变量，代入求因变量；已知因变量，列方程求自变量。 3. 图象法 规定：水平横轴：表示自变量；竖直纵轴：表示因变量； 折线三种趋势：从左向右上升：自变量增大，因变量增大；从左向右下降：自变量增大，因变量减小；水平线段：自变量变化，因变量保持不变 变化快慢：直线越陡表示变化速度越快；直线越平缓表示变化速度越慢；拐点：代表事物运动、数量变化状态发生改变。 【知识三】图象法优缺点 联系：三者都用来表示自变量与因变量之间的变化关系，研究同一组变量。可以互相转化：表格数据能写出关系式、画出图象关系式能列出表格、画出图象；图象能读出数据列表，也能推导简单关系式；描述的变化规律、增减趋势完全一致。 区别：表格法：优点：数据精准，查找对应值方便；缺点：只有有限组数据，不能求所有值，看不出完整变化趋势； 2、关系式法：优点：可计算任意自变量对应的因变量，通用性最强；缺点：无法直观一眼看出变化快慢与整体走势； 3、图象法：优点：直观清晰，快速判断增减、快慢、静止、转折；缺点：读数有误差，不能进行精确计算 【题型 1】 概念辨析题 【例题1】（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）在行进路程s、速度v和时间t的相关计算中，若保持行驶的速度不变，则下列说法正确的是（   ） A．速度v是变量 B．速度v是常量，路程s和时间t都是变量 C．时间t，速度v是变量 D．速度v、时间t、路程s都是常量 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）饮食店里快餐每盒元，买盒需付元，则其中因变量是_______． 【变式2】（25-26八年级上·全国·寒假作业）某居民小区电费标准为元/千瓦时，收取的电费y（元）和所用电量x（千瓦时）之间的关系式为，则下列说法正确的是（    ） A．x是自变量，是函数 B．是自变量，x是函数 C．x是自变量，y是因变量 D．y是自变量，x是函数 【变式3】（24-25六年级下·山东烟台·期末）下列三个问题中都有两个变量： ①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x； ②如图2，往一个盛有一些水的圆柱形杯子中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒空杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x； ③如图3，实线是小明从家出发匀速步行的路线（圆心O表示小明家的位置），他离家的距离y与步行的时间x； 其中，变量y与x之间的关系大致符合图4的是______（填写序号）． 【题型 2】从表格中获取信息 【例题2】（25-26七年级上·全国·课后作业）下表是小华做观察水的沸腾实验时所记录的数据： 时间（分） 0 1 2 3 4 5 6 温度（℃） 时间（分） 7 8 9 温度（℃） （1）时间是8分钟时，水的温度为________； （2）此表反映了变量________和________之间的关系，其中________是自变量，________是因变量； （3）在________时间内，温度随时间增加而增加；________时间内，水的温度不再变化． 【变式1】（25-26七年级下·重庆·期中）某快递公司同城快递的收费标准见下表（交寄物品的质量不足按计算）： 质量/ … 费用/元 … 下列有关表格的分析中，不正确的是（    ） A．在这个变化中，自变量是交寄物品的质量，因变量是快递费用 B．交寄物品的质量越重，快递费用就越高 C．当交寄物品的质量为时，快递费用为元 D．交寄物品的质量每增加，快递费用增加元 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量之间有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 10 11 12 下列说法正确的是___________． ①x与y都是变量； ②弹簧不挂重物时的长度为； ③物体质量每增加，弹簧长度增加； ④所挂物体质量为时，弹簧长度为． 【变式3】（24-25七年级下·河南平顶山·期末）一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表，请解答下列问题： 放水时间 0 1 2 3 4 …… 水池中的水量 50 48 46 44 42 …… （1）在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； （2）这个放水过程中，每分钟放水 ，放水 后，水池中的水全部放完； （3）根据上表反映的规律，试写出水池中的水量V与放水时间t的关系式 ． 【题型 3】从表格中求关系式 【例题3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）陕西美食风味独特，某工厂用现代生产工艺制作“榆林豆腐”和“榆林米线”，涉及原料与出品率（）如下表： 类别 原料 出品率 榆林豆腐 黑豆、水、酸浆等 榆林米线 大米，水等 工厂由于产能限制，榆林豆腐的原料和榆林米线的原料每天一共可加工 800 千克，设每天加工榆林豆腐的原料x千克，榆林豆腐和榆林米线的总成品量为y千克． （1）若，则榆林米线的成品量是多少千克？ （2）求出y与x之间的关系式（不需要写出自变量的取值范围）． （3）根据（2）中的关系式，试说明总成品量y与榆林豆腐的原料x之间的变化情况． 【变式1】（24-25七年级下·重庆奉节·期末）一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表所示，下面说法不正确的是（   ） 放水时间 1 2 3 4 …… 水池中水量 45 40 35 30 …… A．放水时间是自变量，水池中水量是因变量 B．每分钟放水 C．放水后，水池中还有水 D．与的关系式为 【变式2】（24-25七年级下·山东青岛·期中）某商场销售某种商品，原价260元，随着不同幅度的降价（元），日销售量（件）发生相应变化，关系如下表所示： 降价/元 5 10 15 20 日销售量/件 480 510 540 570 根据以上信息，当售价为260元时，该商品日销售量为________件；若设该商品的售价为元，日销售量为y件，则y与x之间的关系式是___________． 【变式3】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）某学校采用药熏消毒法对教室进行消毒，已知从消毒开始，室内每立方米空气的含药量y（单位：）和时间x（单位：）成比例关系（y随x变化而变化的数据见如表），请根据表中的信息，解答下列问题． 0 2 4 6 8 10 12 16 24 … 0 1.5 3 4.5 6 4.8 4 3 2 … （1）当时，y与x成什么比例关系？写出y和x的关系式； （2）当时，y与x成什么比例关系？写出y和x的关系式； （3）研究表明，当每立方米空气的含药量不低于时，消毒才有效果，那么此次消毒的有效时间范围是第几分钟到第几分钟？ 【题型 4】实际情境列关系式 【例题4】（24-25七年级上·广东中山·阶段检测）甲乙两城之间的高速公路上，行驶着下面几辆车．每辆车的平均速度与驶完全程所需的时间如下表． 车辆 大客车 小货车 小轿车 大货车 平均速度（千米/时） 90 75 100 60 时间（小时） 3.2 2.4 4 （1）如果用V表示车辆的平均速度，T表示驶完全程所需的时间．T与V成什么比例关系？再写出这个关系式． （2）王师傅从甲城开车走高速公路去乙城办事，想在3小时内到达．那么他开车的平均速度不能低于多少千米/时？ 【变式1】（2025·广西·模拟预测）某水文局测得一组关于降雨强度和产汇流历时的对应数据如下表（注：产汇流历时是指由降雨到产生径流所经历的时间），根据表中数据，可得关于的函数解析式近似为（  ） 降雨强度 4 6 8 10 12 14 产汇流历时 18.0 12.1 9.0 7.2 6.0 5.1 A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地出发以的速度匀速向乙地行驶，则货车距离乙地的路程与时间之间的函数表达式是_____． 【变式3】（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）某商场叠放的购物车如图所示，小亮尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系．下表是小亮测得的一些数据：    购物车数量/辆 1 2 3     4 5 车身总长 1.0 1.2 1.4    1.6 1.8 根据上表回答下列问题： （1）随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加 ． （2）若某商场采购了x辆购物车，求整齐叠放时车身总长y与购物车辆数x的表达式． 【题型 5】从几何图形中列关系式 【例题5】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，在一个边长为的正方形的四个角处，都剪去一个大小相等的小正方形当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． （1）在这个变化过程中，因变量是_________． （2）若小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请直接写出y与x之间的关系式（不写x的取值范围）． （3）当小正方形的边长由变化到时，图中阴影部分的面积是怎样变化的？ 【变式1】（24-25八年级下·北京东城·期末）下面的四个问题中都有两个变量： ①正方形的面积与边长； ②等腰三角形周长为20，底边长与腰长； ③汽车从地匀速行驶到地，汽车行驶的路程与行驶时间； ④用长度为10的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用形如（其中是常数，）的式子表示的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【变式2】（24-25九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，正方形的边长是，是上一点，是延长线上的一点，．四边形是矩形，矩形的面积与的长的函数关系是______． 【变式3】（24-25九年级上·江西赣州·期中）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成．已知篱笆长80m．设垂直于墙的边长为． （1）则________m（用含的代数式表示），矩形的面积________（用含的代数式表示）； （2）当为何值时，围成的矩形花圃的面积最大，并求出这个最大值． 【题型 6】从图象中获取信息 【例题6】（24-25七年级下·宁夏银川·期末）甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系：折线表示轿车离甲地的距离s（千米）与时间t（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题： （1）点B所对应的数为_________． （2）货车的速度为_________千米/小时；轿车在段的速度为________千米/小时；轿车在段的速度为__________千米/小时． （3）求轿车到达乙地时，货车与甲地的距离． （4）货车和轿车谁先到达乙地？提前几小时到达？ 【变式1】（24-25七年级下·广东佛山·期末）甲、乙两车沿同一条路从地出发匀速行驶至相距的地，甲出发1小时后乙再出发，如图表示甲、乙两车离开地的距离与乙出发的时间之间的关系，下列结论错误的是（    ） A．甲车的速度是 B．乙车的速度是 C．的值为60，的值为4 D．甲车出发后被乙车追上 【变式2】（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s（单位：km）与小红所花的时间t（单位：h）之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程是____________km． 【变式3】（24-25七年级下·河南郑州·期末）研究表明，当每公顷土地中钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 氮肥施用量/ 0 34 67 110 135 202 255 336 404 471 土豆产量/t 14.73 21.10 26.61 32.82 35.92 42.38 45.55 47.22 45.55 41.20 如果用x表示氮肥施用量，用y表示土豆产量，根据表中的实验数据，将氮肥施用量x与土豆产量y的关系拟合成图象，见下图： （1）上述问题中的两个变量，自变量是______； （2）图中点A表示的实际意义是____________； （3）当每公顷土地氮肥的施用量为时，土豆的产量约为______；（保留两位小数） （4）你认为氮肥的施用量大概是多少时比较适宜？说说你的理由． 【题型 7】表格法、图象法、解析法综合 【例题7】（25-26六年级下·全国·单元测试）综合与实践 【问题背景】某超市员工现需利用扶梯将70辆购物车从一层转运到负一层． 【相关素材】 素材1：如图，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加1辆，购物车列的车身总长变化情况相同．如表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长y与购物车数量x的关系： 购物车数量x/辆 1 2 3 4 5 车身总长y/米 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 素材2：如图，该超市的扶梯斜坡米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内． 【问题解决】 （1）根据表格可知，购物车列的车身总长y与购物车数量x之间的关系式为___________； （2）在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由． 【变式1】（2023·北京海淀·二模）小明近期计划阅读一本总页数不低于300页的名著，他制定的阅读计划如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 页数 15 20 15 10 20 40 30 若小明按照计划从星期开始连续阅读，10天后剩下的页数为，则与的图象可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2】（24-25六年级下·山东泰安·期末）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是_________．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．    【变式3】（25-26七年级下·全国·周测）研究表明，当每公顷土地中钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量（单位：t）与氮肥的施用量（单位：）有如下表所示的关系： 氮肥施用量/kg 0 34 67 110 135 土豆产量/t 14.73 21.10 26.61 32.82 35.92 氮肥施用量/kg 202 255 336 404 471 土豆产量/t 42.38 45.55 47.22 45.55 41.20 如果用表示氮肥施用量，用表示土豆产量，根据表中的数据，可以将氮肥施用量与土豆产量的关系拟合成如下图象，请根据图象回答下列问题： （1）上述问题中的两个变量中，自变量是____________，因变量是____________； （2）图中点表示的实际意义是_____________________________________________； （3）当每公顷土地氮肥的施用量为时，土豆的产量约为____________t； （4）你认为氮肥的施用量大概是多少时比较适宜？说说你的理由． 【题型 8】图象中的动点问题 【例题8】（24-25八年级上·江苏连云港·月考）如图，已知长方形ABCD中，AB＝CD＝16，BC＝DA＝24，E为CD边的中点，P为长方形ABCD边上的动点，动点P以4个单位/秒的速度从A出发，沿着A→B→C→E运动到E点停止，设点P运动的时间为t秒，△APE的面积为y． （1）求当t＝2时，y的值是　 　；当t＝6时，y的值是　 　． （2）点P运动过程中，求出y与t之间的关系式； 【变式1】（24-25七年级下·河北保定·期末）如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1，在长方形中，动点P从点B出发，沿运动，至点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，y与x的关系如图2所示，则当时，对应的x的值是______． 【变式3】（24-25九年级上·北京顺义·期中）如图，边长为6的正方形中，E，F，G，H分别是，，，边上的动点，且，点E从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动（到达点时停止），设运动时间为t（单位：秒）． （1）①当运动停止时，t的值为______； ②设A，H之间的距离为y，则y与t满足______关系（选填“正比例函数”，“一次函数”，“二次函数”） （2）设四边形的面积为S， ①直接写出S的表达式______（用含有t的代数式表示），并写出t的取值范围______； ②S是否可以为20？若可以，请求出此时t的值，若不能，请通过计算说明理由． 二.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,） 1．（2025七年级上·四川成都·专题练习）你听说过“乌鸦喝水”的故事吧．一只乌鸦口渴了，到处找水喝，它看见一个瓶子里有水，可是水不多，瓶口又小，它喝不着．聪明的乌鸦看见旁边有许多小石子，想出了办法．它把小石子一颗一颗地衔进瓶子里，乌鸦就喝到水了．如果从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时，设时间为x，瓶中的水位高度为y．下面图（  ）最符合故事情境． A．   B．   C．   D．   2．（24-25七年级下·全国·课后作业）乐乐在公园的便利店中购买了矿泉水，如图所示的是该便利店购物小票的部分内容，其中的常量为（   ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和单价 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如果每盒圆珠笔有支，每盒的售价是元，那么圆珠笔的销售额（元）与销售量（支）之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·全国·期中）血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在血浆内的浓度随着时间的变化而变化．如图为一名成人患者在单次口服1个单位某药物后，体内血药浓度与时间的关系图，下列说法错误的是（    ） A．血药浓度在时达到最高 B．当血药浓度小于时，药物无效 C．每间隔服用该药物1单位，可以使药物持续发挥治疗作用 D．首次服用该药物1单位时，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 5．（25-26八年级上·贵州·期中）国庆节期间，小明跟爸爸妈妈一起自驾去外地旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 150 300 450 600 … 油箱剩余油量 60 48 36 24 12 … 下列说法中①该车的油箱容量为；②该车每行驶耗油；③当轿车行驶的路程为时，油箱中剩余油量；④油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果，下表是测得的指距与身高的一组数据： 指距d（） 20 21 22 23 身高h（） 已知，世界上被证实最高的人的身高是厘米，则他的指距约为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·河北保定·期末）在2025年春晚的舞台上，名为《秧BOT》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．嘉嘉为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间和搬运货物的重量记录如下表： 搬运时间 1 2 3 4 ．．． 搬运货物的重量 120 160 240 320 400 ．．． 下列说法错误的是（　　） A．搬运货物的重量随着搬运时间的变化而变化 B．当搬运货物的重量为时，搬运时间为 C．与之间的关系式为 D．搬运时间每延长，搬运货物的重量增加 8．（24-25八年级下·重庆渝中·期末）匀速地向一个容器内注水（注满为止）．在注水过程中，若容器中水面高度与注水时间的变化规律如图所示，则这个容器的形状可以是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·重庆·期中）小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 100 200 250 300 400 镜片与光斑的距离/m 1 下列说法错误的是（    ） A．在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离 B．当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为 C．老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小 D．老花镜的度数每升高50度，镜片与光斑的距离减小0.1 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·阶段检测）一个等腰三角形的周长为24，其中它的腰长为自变量，底边长为因变量，则用表示的关系式是_____________. 12．（24-25七年级下·山西晋中·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现了水位h（单位：）和时间t（单位：）两个变量之间的关系．下表是小明记录的部分数据，当h为时，对应的时间t为________． t/ … 1 2 3 4 … h/ … 2.4 2.8 3.2 3.6 … 13．（24-25八年级下·海南儋州·期中）购买单价为3元的笔记本，总金额（元）与笔记本数（本）的关系为，其中_____是常量，_____是变量． 14．（24-25七年级上·广东惠州·开学考试）小淘气刚出生时，爸爸为其种下一棵如下图的树种，希望他茁壮成长，三年后树已长到2.7米高，那么小淘气9周岁时，树的高度是___________米． 15．（24-25八年级上·江苏泰州·月考）一幢商住楼底层为店面房，第一层高为4米，第一层以上每层高3米，则楼高与层数之间的函数关系式为_______． 16．（25-26八年级上·福建漳州·月考）在运动会200米跑比赛中，运动员甲因为起步摔跤，导致晚出发了几秒钟，甲．乙两人的路程与时间的关系如图所示．下列说法①乙的速度为； ②甲在时追上了乙；③甲的速度为；④甲比乙晚出发了3s．其中正确的是______．（填序号） 17．（18-19八年级下·全国·课后作业）如图，已知两地相距4千米，上午，甲从地出发步行到地，乙从地出发骑自行车到地，甲、乙两人离地的距离（千米）与甲所用的时间（分）之间的关系如图所示，由图中的信息可知，乙到达地的时间为________． 18．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，甲，乙，丙三个容器内的液体体积分别用，，（单位：）表示，某时刻计时为，此时．时打开甲的开关，以的速度向乙容器注水，且时，，此时关闭甲容器的开关，同时打开乙容器的开关，以的速度向丙容器注水，且时关闭开关，此时． （1）________； （2）与的函数关系式为：________； （3）当为________时，． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示是某地一天内的气温变化图，看图回答： （1）这天7时、10时、14时的气温分别是多少？ （2）这一天中什么时候的气温在逐渐升高？什么时候的气温在逐渐降低？ （3）这个问题中的变量是什么？ 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·辽宁鞍山·期末）学校图书馆购进一批图书，管理员在整理过程中发现，每天整理的图书数量与整理的天数之间的关系如下表： 每天整理的图书数量 1200 600 240 120 … 整理的天数 1 2 5 10 … （1）若学校计划用4天的时间完成整理，管理员每天需要整理多少本图书？ （2）若用a表示每天整理的图书数量，用t表示整理的天数，用式子表示t与a的关系，并说明t与a成什么比例关系？ 21．（本小题满分10分）（24-25七年级上·山东菏泽·期中）王师傅非常喜欢自驾游，他为了了解新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据： 行驶的路程S（） 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … （1）该轿车油箱的容量为 ，行驶150时，油箱中的剩余油量为 ； （2）在这个问题中，哪些是变量？哪些是常量？ （3）用含S的代数式来表示． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·山西晋中·期中）天然气收费标准因地而异，某城市按以下规定分档收取居民管道天然气费：第一档用气量（每户每月26立方米及以下），按每立方米元收费；第二档用气量（每户每月26立方米以上至38立方米及以下），按每立方米元收费；第三档用气量（每户每月38立方米以上），按每立方米元收费．设小丽家某月用气量为x立方米，应交管道天然气费为y元． （1）小丽家5月份的用气量为30立方米，则小丽家该月应交管道天然气费_______元 （2）当时，写出y与x之间的关系式； （3）若小丽家10月份的管道天然气费为元，求她家这个月的用气量？ 23．（本小题满分10分）（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）2024年“骑行中国”331国道最美边境线丹东起点出发仪式上，26个省份227名骑友从丹东出发，伴着碧波荡漾的鸭绿江水，踏上“骑行中国”的美好旅程．小华同学受此影响，每天放学后都骑自行车锻炼身体．某天，他从家出发骑车到鸭绿江断桥，当他以往常的速度骑行了一段路后，突然感到口渴，于是又折回到刚才经过的超市买水，喝完水后，小华继续骑车到鸭绿江断桥．已知小华家，超市，鸭绿江断桥在同一条笔直公路上，小华离家距离与所用时间的关系如图所示，根据图象回答下列问题： （1）小华家到鸭绿江断桥的距离是______米； （2）小华在超市停留了______分钟； （3）本次骑行途中，小华一共行驶了______米； （4）交通安全不容忽视，我们认为中学生骑自行车的速度超过320米/分就超过了安全限度．通过计算说明：在整个骑行途中哪个时间段小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？ 24．（本小题满分12分）（24-25六年级下·山东淄博·期末）综合与实践：小明要用总长为12米的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙（墙长9米），另外三边是篱笆，其中不超过9米，如图所示．设垂直于墙的两边，的长均为x米，长方形花圃的面积为y平方米． （1）在x，y这两个变量中，自变量是___________，因变量是___________； （2）___________米（用含x的式子表示），请判断当时是否符合题意，并说明理由； （3）求y与x之间的关系式； （4）根据（3）中y与x之间的关系式补充下面表格： x（米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … y（米2） 13.5 16 17.5 m 17.5 n 13.5 … ①___________，___________； ②请观察表格中的数据，并写出y随x变化的一个特征：___________． ③在y随x变化的过程中，问y是否存在最值（最大值或最小值）？若存在，请直接写出y的最值（注明是最大值，还是最小值）及此时x的值；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 6.5 变量之间的关系全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】变量与常量 1 【知识二】表示变量关系的三种方法 1 【知识三】图象法优缺点 2 【题型 1】 概念辨析题 2 【题型 2】从表格中获取信息 4 【题型 3】从表格中求关系式 7 【题型 4】实际情境列关系式 10 【题型 5】从几何图形中列关系式 12 【题型 6】从图象中获取信息 16 【题型 7】表格法、图象法、解析法综合 20 【题型 8】图象中的动点问题 24 二.同步检测 30 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,） 30 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 37 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 41 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】变量与常量 在一个变化过程中，数值会发生变化的量叫做变量；其中主动变化、不受其他量影响，并引起其他量变化的量叫做自变量。随着自变量的变化而变化的量，它的变化是被动的、由自变量决定的量叫做因变量。数值始终保持不变的量叫做常量。 【知识二】表示变量关系的三种方法 1. 表格法 用法：列出自变量与因变量一一对应的数值 作用：直接读取对应数据；观察增减变化趋势；根据规律估算未知数值 2. 关系式法 形式：写成用含的代数式因变式，同时因变量放左边； 两类计算：已知自变量，代入求因变量；已知因变量，列方程求自变量。 3. 图象法 规定：水平横轴：表示自变量；竖直纵轴：表示因变量； 折线三种趋势：从左向右上升：自变量增大，因变量增大；从左向右下降：自变量增大，因变量减小；水平线段：自变量变化，因变量保持不变 变化快慢：直线越陡表示变化速度越快；直线越平缓表示变化速度越慢；拐点：代表事物运动、数量变化状态发生改变。 【知识三】图象法优缺点 联系：三者都用来表示自变量与因变量之间的变化关系，研究同一组变量。可以互相转化：表格数据能写出关系式、画出图象关系式能列出表格、画出图象；图象能读出数据列表，也能推导简单关系式；描述的变化规律、增减趋势完全一致。 区别：表格法：优点：数据精准，查找对应值方便；缺点：只有有限组数据，不能求所有值，看不出完整变化趋势； 2、关系式法：优点：可计算任意自变量对应的因变量，通用性最强；缺点：无法直观一眼看出变化快慢与整体走势； 3、图象法：优点：直观清晰，快速判断增减、快慢、静止、转折；缺点：读数有误差，不能进行精确计算 【题型 1】 概念辨析题 【例题1】（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）在行进路程s、速度v和时间t的相关计算中，若保持行驶的速度不变，则下列说法正确的是（   ） A．速度v是变量 B．速度v是常量，路程s和时间t都是变量 C．时间t，速度v是变量 D．速度v、时间t、路程s都是常量 【答案】B 【分析】本题考查常量与变量的概念掌握，常量是固定不变的量，变量是变化的量是解题的关键． 速度不变即为常量，路程和时间会相互变化，故为变量. 解：∵速度保持不变， ∴是常量， ∵，且v为常量， ∴随的变化而变化，或随的变化而变化， ∴和都是变量． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）饮食店里快餐每盒元，买盒需付元，则其中因变量是_______． 【答案】 【分析】因变量是指在函数关系中，受自变量或其他变量影响而发生变化的量． 解：∵随的变化而变化， ∴是自变量，是因变量， 故填：． 【点拨】主要考查了函数的定义．函数的定义:在一个变化过程中，有两个变量，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量，叫因变量． 【变式2】（25-26八年级上·全国·寒假作业）某居民小区电费标准为元/千瓦时，收取的电费y（元）和所用电量x（千瓦时）之间的关系式为，则下列说法正确的是（    ） A．x是自变量，是函数 B．是自变量，x是函数 C．x是自变量，y是因变量 D．y是自变量，x是函数 【答案】C 【分析】本题考查了常量和变量，在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．根据常量和变量的定义来解答即可． 解：在这个问题中，x是自变量，y是因变量，元/千瓦时是常数． 故选：C． 【变式3】（24-25六年级下·山东烟台·期末）下列三个问题中都有两个变量： ①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x； ②如图2，往一个盛有一些水的圆柱形杯子中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒空杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x； ③如图3，实线是小明从家出发匀速步行的路线（圆心O表示小明家的位置），他离家的距离y与步行的时间x； 其中，变量y与x之间的关系大致符合图4的是______（填写序号）． 【答案】①③/③① 【分析】本题主要考查了图象的读图能力．要理解图象所代表的实际意义是什么才能从中获取准确的信息．根据值随的变化情况，逐一判断． 解：①当货车开始进入隧道时逐渐变大，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时不变且最大，当货车开始离开隧道时逐渐变小．故①符合题意； ②往一个盛有一些水的圆柱形杯子中匀速倒水，倒满后停止，水的体积从某一数值逐渐增加，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，这期间，水量先保持不变，然后逐渐减少至0，杯中水的体积与所用时间，变量与之间的关系不符合图象，故②不符合题意； ③小明距离家先逐渐变大，他走的是一段弧线时，此时不变且最大，之后逐渐离家越来越近直至回家，即逐渐变小，故③正确符合题意； 故答案为：①③． 【题型 2】从表格中获取信息 【例题2】（25-26七年级上·全国·课后作业）下表是小华做观察水的沸腾实验时所记录的数据： 时间（分） 0 1 2 3 4 5 6 温度（℃） 时间（分） 7 8 9 温度（℃） （1）时间是8分钟时，水的温度为________； （2）此表反映了变量________和________之间的关系，其中________是自变量，________是因变量； （3）在________时间内，温度随时间增加而增加；________时间内，水的温度不再变化． 【答案】（1）；（2）温度，时间，时间，温度；（3）0至8分钟，8至分钟 【分析】本题考查了函数的概念，函数的增减性，解题关键是理解函数的概念和函数的增减性． 根据表中数据，结合函数的概念及函数的增减性求解． 解：（1）解：时间是8分钟时，水的温度为， 故答案为：． （2）此表反映了变量温度和时间之间的关系，其中时间是自变量，温度是因变量, 故答案为：温度，时间，时间，温度； （3）在0至8分钟时间内，温度随时间增加而增加；8至12分钟时间内，水的温度不再变化， 故答案为：0至8分钟，8至12分钟． 【变式1】（25-26七年级下·重庆·期中）某快递公司同城快递的收费标准见下表（交寄物品的质量不足按计算）： 质量/ … 费用/元 … 下列有关表格的分析中，不正确的是（    ） A．在这个变化中，自变量是交寄物品的质量，因变量是快递费用 B．交寄物品的质量越重，快递费用就越高 C．当交寄物品的质量为时，快递费用为元 D．交寄物品的质量每增加，快递费用增加元 【答案】D 【分析】根据表格信息逐一判断选项即可得到错误结论． 解：选项A：快递费用随着交寄物品质量的变化而变化，故自变量是交寄物品的质量，因变量是快递费用，A说法正确； 选项B：由表格数据可知，交寄物品质量增大时，快递费用也随之增大，B说法正确； 选项C：查表可得，当交寄物品质量为时，快递费用为元，C说法正确； 选项D：计算相邻费用的差值，当交寄物品的质量从增加到时，快递费用增加元，可知交寄物品质量每增加，快递费用增加元，不是元，D说法不正确． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量之间有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 10 11 12 下列说法正确的是___________． ①x与y都是变量； ②弹簧不挂重物时的长度为； ③物体质量每增加，弹簧长度增加； ④所挂物体质量为时，弹簧长度为． 【答案】①③④ 【分析】本题考查变量和常量，熟练掌握变量是变化的量，常量是固定不变的量，是解题的关键．根据给出的表格中的数据进行分析，可以确定自变量和因变量以及弹簧伸长的长度，得到答案． 解：①x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，正确； ②弹簧不挂重物时的长度为，错误； ③物体质量每增加，弹簧长度增加，正确； ④所挂物体质量为时，弹簧长度为，正确 故答案为：①③④． 【变式3】（24-25七年级下·河南平顶山·期末）一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表，请解答下列问题： 放水时间 0 1 2 3 4 …… 水池中的水量 50 48 46 44 42 …… （1）在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； （2）这个放水过程中，每分钟放水 ，放水 后，水池中的水全部放完； （3）根据上表反映的规律，试写出水池中的水量V与放水时间t的关系式 ． 【答案】（1）放水时间，水池中的水量；（2）2，25；（3） 【分析】本题考查了用图象和关系式表示变量之间的关系，通过分析题意列出正确的关系式是解决本题的关键． （1）根据表格，理解题意得出自变量和因变量即可； （2）根据表格得出这个放水过程中，每分钟放水量，根据总量求出水池中的水全部放完需要的时间即可； （3）根据题意得出水池中的水量V与放水时间t的关系即可． 解：（1）解：在这个变化过程中，自变量是放水时间，因变量是水池中的水量； （2）解：根据题意得：这个放水过程中，每分钟放水， 水池中的水全部放完需要的时间为： ． （3）解：水池中的水量V与放水时间t的关系式为：． 【题型 3】从表格中求关系式 【例题3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）陕西美食风味独特，某工厂用现代生产工艺制作“榆林豆腐”和“榆林米线”，涉及原料与出品率（）如下表： 类别 原料 出品率 榆林豆腐 黑豆、水、酸浆等 榆林米线 大米，水等 工厂由于产能限制，榆林豆腐的原料和榆林米线的原料每天一共可加工 800 千克，设每天加工榆林豆腐的原料x千克，榆林豆腐和榆林米线的总成品量为y千克． （1）若，则榆林米线的成品量是多少千克？ （2）求出y与x之间的关系式（不需要写出自变量的取值范围）． （3）根据（2）中的关系式，试说明总成品量y与榆林豆腐的原料x之间的变化情况． 【答案】（1）320千克；（2）；（3）y随x的增大而增大（答案不唯一） 【分析】本题考查了求关系式． （1）求出榆林米线的原料量，根据出品率计算即可； （2）求出榆林豆腐的成品量和榆林米线的成品量，相加即可； （3）根据（2）作答即可． 解：（1）解：当时，榆林米线的原料量为（千克）， 出品率为，故榆林米线的成品量为（千克）， 答：榆林米线的成品量是320千克； （2）解：榆林豆腐的成品量为（千克）， 榆林米线的成品量为千克， 总成品量， 故y与x的关系式为； （3）解：由可知，y随x的增大而增大（答案不唯一）． 【变式1】（24-25七年级下·重庆奉节·期末）一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表所示，下面说法不正确的是（   ） 放水时间 1 2 3 4 …… 水池中水量 45 40 35 30 …… A．放水时间是自变量，水池中水量是因变量 B．每分钟放水 C．放水后，水池中还有水 D．与的关系式为 【答案】C 【分析】本题考查函数的应用，根据表格数据逐项判断即可得出答案，提取表格数据反映的信息是求解本题的关键． 解：由表格的数据可得：放水时间是自变量，水池中水量是因变量，每分钟水闸排水，故A、B正确，不符合题意； ∵一个蓄水池有水， ∴与的关系式为，放水后，水池中还有水，故D正确，C错误； 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·山东青岛·期中）某商场销售某种商品，原价260元，随着不同幅度的降价（元），日销售量（件）发生相应变化，关系如下表所示： 降价/元 5 10 15 20 日销售量/件 480 510 540 570 根据以上信息，当售价为260元时，该商品日销售量为________件；若设该商品的售价为元，日销售量为y件，则y与x之间的关系式是___________． 【答案】 【分析】由表中可知，每降价5元，日销售量增加30件，即可解答． 解：由表中可知，每降价5元，日销售量增加30件， 则当售价为260元时，该商品日销售量为（件）； y与x之间的关系式是． 【变式3】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）某学校采用药熏消毒法对教室进行消毒，已知从消毒开始，室内每立方米空气的含药量y（单位：）和时间x（单位：）成比例关系（y随x变化而变化的数据见如表），请根据表中的信息，解答下列问题． 0 2 4 6 8 10 12 16 24 … 0 1.5 3 4.5 6 4.8 4 3 2 … （1）当时，y与x成什么比例关系？写出y和x的关系式； （2）当时，y与x成什么比例关系？写出y和x的关系式； （3）研究表明，当每立方米空气的含药量不低于时，消毒才有效果，那么此次消毒的有效时间范围是第几分钟到第几分钟？ 【答案】（1）成正比例关系，；（2）成反比例关系，；（3）此次消毒的有效时间范围是第3.2分钟到第20分钟． 【分析】本题考查正、反比例关系及变量之间的关系．易错点是根据表格中的数据判断出在自变量相应的取值范围内y与x成什么比例关系． （1）当时，y随x的增大而均匀增大可得y与x成正比例关系，设出解析式后，把范围内的任意一对对应值代入可得k的值，即可得到y与x的关系式； （2）当时，y与x的积是一定的，那么y与x成反比例关系，设出解析式后，把范围内的任意一对对应值代入可得a的值，即可得到y与x的关系式； （3）取代入（1），（2）得到的关系式，求得x的值，可得此次消毒的有效时间范围． 解：（1）解：当时，y与x成正比例，设， ∵当时， ∴， 解得：， ∴y和x的关系式为：； （2）解：当时，y与x成反比例关系，设， ∵当时， ∴， ∴y和x的关系式为：； （3）解：当时，， 解得：； ， 解得：． 答：此次消毒的有效时间范围是第3.2分钟到第20分钟． 【题型 4】实际情境列关系式 【例题4】（24-25七年级上·广东中山·阶段检测）甲乙两城之间的高速公路上，行驶着下面几辆车．每辆车的平均速度与驶完全程所需的时间如下表． 车辆 大客车 小货车 小轿车 大货车 平均速度（千米/时） 90 75 100 60 时间（小时） 3.2 2.4 4 （1）如果用V表示车辆的平均速度，T表示驶完全程所需的时间．T与V成什么比例关系？再写出这个关系式． （2）王师傅从甲城开车走高速公路去乙城办事，想在3小时内到达．那么他开车的平均速度不能低于多少千米/时？ 【答案】（1）与成反比例关系，关系式为；（2）开车的平均速度不能低于千米/时． 【分析】本题主要考查了反比例关系的判断以及行程问题中速度、时间、路程的关系，熟练掌握反比例的定义和速度、时间、路程的关系式是解题的关键． （1）通过计算不同车辆平均速度与时间的乘积，判断与的比例关系，进而得出关系式． （2）先根据表格数据求出甲乙两城之间的路程，再根据时间求出最低平均速度． 解：（1）解：大客车： 小货车： 小轿车： 大货车： 因为（定值）， 所以与成反比例关系，关系式为． （2）解：由（1）知路程千米， （千米/时）， 答：开车的平均速度不能低于千米/时． 【变式1】（2025·广西·模拟预测）某水文局测得一组关于降雨强度和产汇流历时的对应数据如下表（注：产汇流历时是指由降雨到产生径流所经历的时间），根据表中数据，可得关于的函数解析式近似为（  ） 降雨强度 4 6 8 10 12 14 产汇流历时 18.0 12.1 9.0 7.2 6.0 5.1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数的关系式，通过表格中两个变量的对应值的变化关系，发现它们的乘积相等是正确解答的关键．根据表格中两个变量的对应值，探索两个变量的乘积，进而得出两个变量的函数关系式．通过计算降雨强度 I 与产汇流历时 t 的乘积，发现乘积近似为常数72，因此 t 与 I 成反比例关系 解：由表格数据：时 ，； 时 ，； 时 ，； 时 ，； 时 ，； 时 ，． ∵ I 与 t 的乘积近似常数72， ∴ t 与 I 成反比例关系，即， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地出发以的速度匀速向乙地行驶，则货车距离乙地的路程与时间之间的函数表达式是_____． 【答案】 【分析】本题考查了列函数关系式，根据剩余路程等于总距离减去行驶距离列函数关系式即可，熟练掌握由题意列出函数关系式是解题的关键． 解：由题意得：， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）某商场叠放的购物车如图所示，小亮尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系．下表是小亮测得的一些数据：    购物车数量/辆 1 2 3     4 5 车身总长 1.0 1.2 1.4    1.6 1.8 根据上表回答下列问题： （1）随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加 ． （2）若某商场采购了x辆购物车，求整齐叠放时车身总长y与购物车辆数x的表达式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了列出函数关系式，正确分析表格数据是解题的关键． （1）直接观察表格，即可求解； （2）根据（1）中的结论求解即可． 解：（1）解：根据题意得：随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加． 故答案为：； （2）解：∵随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加，1辆车身长为， ∴车身总长与购物车辆数的表达式为． 【题型 5】从几何图形中列关系式 【例题5】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，在一个边长为的正方形的四个角处，都剪去一个大小相等的小正方形当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． （1）在这个变化过程中，因变量是_________． （2）若小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请直接写出y与x之间的关系式（不写x的取值范围）． （3）当小正方形的边长由变化到时，图中阴影部分的面积是怎样变化的？ 【答案】（1）阴影部分的面积；（2）；（3）当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积由变到 【分析】本题考查了函数关系式． （1）根据当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化，则小正方形的边长是自变量，阴影部分的面积为因变量； （2）根据阴影部分的面积大正方形的面积个小正方形的面积，即可解答； （3）根据当小正方形的边长由变化到时，x增大，也随之增大，则随着x的增大而减小，所以y随着x的增大而减小． 解：（1）解：∵当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化， ∴小正方形的边长是自变量，阴影部分的面积为因变量， 故答案为：阴影部分的面积； （2）解：由题意可得：； （3）解：由（2）知：， 当小正方形的边长由变化到时，x增大，也随之增大，则随着x的增大而减小，所以y随着x的增大而减小， 当时，y有最大值，， 当时，y有最小值，． ∴当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积由变到． 【变式1】（24-25八年级下·北京东城·期末）下面的四个问题中都有两个变量： ①正方形的面积与边长； ②等腰三角形周长为20，底边长与腰长； ③汽车从地匀速行驶到地，汽车行驶的路程与行驶时间； ④用长度为10的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用形如（其中是常数，）的式子表示的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，根据题意分别表示出变量之间的关系，逐项判断即可得出答案． 解：①正方形的面积与边长，则，故不符合题意； ②等腰三角形周长为20，底边长与腰长，则，即，故符合题意； ③汽车从地匀速行驶到地，汽车行驶的路程与行驶时间，则，故符合题意； ④用长度为10的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长，则，故不符合题意； 综上所述，符合题意的有②③， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，正方形的边长是，是上一点，是延长线上的一点，．四边形是矩形，矩形的面积与的长的函数关系是______． 【答案】/ 【分析】由已知图形可以分析得到矩形的长为cm，宽为cm，由面积公式即可计算得到正确答案． 解：∵正方形的边长是，且 ∴矩形的长的长为cm，宽的长为cm ∴矩形的面积为： 故答案为： 【点拨】本题考查变量之间的关系，由矩形面积推导二次函数关系式等知识点．数形结合列式计算是解此类题的关键． 【变式3】（24-25九年级上·江西赣州·期中）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成．已知篱笆长80m．设垂直于墙的边长为． （1）则________m（用含的代数式表示），矩形的面积________（用含的代数式表示）； （2）当为何值时，围成的矩形花圃的面积最大，并求出这个最大值． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用： （1）根据可求出，由矩形的面积公式即可表示出面积； （2）根据求根据二次函数的性质确定函数的最大值即可． 解：（1）解：∵篱笆长， ∴米，米， ∴米． ∴， 故答案为：，； （2）解：∵且， ∴， ， 有最大值， ∴当时，取得最大值，此时， 即当时，的最大值为． 【题型 6】从图象中获取信息 【例题6】（24-25七年级下·宁夏银川·期末）甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系：折线表示轿车离甲地的距离s（千米）与时间t（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题： （1）点B所对应的数为_________． （2）货车的速度为_________千米/小时；轿车在段的速度为________千米/小时；轿车在段的速度为__________千米/小时． （3）求轿车到达乙地时，货车与甲地的距离． （4）货车和轿车谁先到达乙地？提前几小时到达？ 【答案】（1）1.5；（2）60，80，110；（3）270；（4）轿车先达到乙地，提前0.5小时到达 【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）点所对应的数为轿车出发的时间，根据题意求出轿车出发的时间即可； （2）根据图象结合速度路程时间，即可求得对应的速度； （3）根据图象求得货车行驶时间，再结合速度即可求解； （4）根据图象求得货车到达乙地时间即可求解． 解：（1）解：∵轿车比货车晚出发1.5小时，货车是第0小时出发， ∴轿车第1.5小时出发， ∴点所对应的数是1.5； 故答案为：1.5； （2）解：根据图象可知，货车速度是千米/小时， 轿车在段的速度为千米/小时， 轿车在段的速度为千米/小时， 故答案为：60，80，110； （3）根据图象可知，轿车到达乙地时， 货车行驶时间为， 此时，货车与甲地的距离为千米； （4）根据图象可知，轿车先到达乙地， 货车达到时间为小时， 可知，轿车比货车提前小时， 即：轿车先达到乙地，提前0.5小时到达． 【变式1】（24-25七年级下·广东佛山·期末）甲、乙两车沿同一条路从地出发匀速行驶至相距的地，甲出发1小时后乙再出发，如图表示甲、乙两车离开地的距离与乙出发的时间之间的关系，下列结论错误的是（    ） A．甲车的速度是 B．乙车的速度是 C．的值为60，的值为4 D．甲车出发后被乙车追上 【答案】D 【分析】根据图象，列出关于a，b的方程，求出a，b的值，从而即可逐一判断各个选项． 解：根据图象可知，（300-a）÷b=（240-a）÷3=a÷1， 解得：a=60，b=4， 甲车的速度=60÷1=60km/h，乙车的速度=300÷3=100km/h， 故A，B，C正确，不符合题意； ∵60÷（100-60）=1.5，1.5+1=2.5h， ∴甲车出发后被乙车追上， 故D错误，符合题意， 故选D． 【点拨】本题考查了用图像表示的变量间关系，理解图象以及分别求出甲、乙两人的速度是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程s（单位：km）与小红所花的时间t（单位：h）之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程是____________km． 【答案】0.64 【分析】设小红的速度为，小星的速度为．由图知甲乙两地相距，两人出发0.2小时相遇，由此可得．又由图知小星从乙地跑到甲地用了0.32小时，则可得的值，进而求得的值，由此即可求出当小星到达终点时，小红离终点的路程． 本题考查了用图像表示变量之间的关系，解题的关键是认真读题，并结合图像弄清楚图像上每一个点所表示的实际意义． 解：设小红的速度为，小星的速度为． 由图知甲乙两地相距，两人出发0.2小时相遇， ∴， ， 又由图知小星从乙地跑到甲地用了0.32小时， ， ， ∴小星到达甲地时小红好跑了， 此时小红离终点的路程为． 故答案为：0.64 【变式3】（24-25七年级下·河南郑州·期末）研究表明，当每公顷土地中钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 氮肥施用量/ 0 34 67 110 135 202 255 336 404 471 土豆产量/t 14.73 21.10 26.61 32.82 35.92 42.38 45.55 47.22 45.55 41.20 如果用x表示氮肥施用量，用y表示土豆产量，根据表中的实验数据，将氮肥施用量x与土豆产量y的关系拟合成图象，见下图： （1）上述问题中的两个变量，自变量是______； （2）图中点A表示的实际意义是____________； （3）当每公顷土地氮肥的施用量为时，土豆的产量约为______；（保留两位小数） （4）你认为氮肥的施用量大概是多少时比较适宜？说说你的理由． 【答案】（1）氮肥的施用量；（2）不施用氮肥时，土豆的产量为；（3）；（4）见分析 【分析】本题主要考查了函数的定义和结合实际土豆产量和施用氮肥量确定函数关系． （1）表格反映的是土豆的产量与氮肥的施用量的关系； （2）直接从图中得到点A表示的实际意义； （3）将代入计算即可求解； （4）从表格中找出土豆的最高产量，此时施用氮肥量是最合适的． 解：（1）解：上述问题中反映了土豆的产量与氮肥的施用量的关系，氮肥的施用量是自变量，土豆的产量是因变量； 故答案为：氮肥的施用量； （2）解：图中点A表示的实际意义是：不施用氮肥时，土豆的产量为； 故答案为：不施用氮肥时，土豆的产量为； （3）解：当时，， 故答案为：； （4）解：当氮肥的施用量约为时，氮肥的施用量是比较适宜的，因为此时土豆产量最高，又可以节约肥料． 【题型 7】表格法、图象法、解析法综合 【例题7】（25-26六年级下·全国·单元测试）综合与实践 【问题背景】某超市员工现需利用扶梯将70辆购物车从一层转运到负一层． 【相关素材】 素材1：如图，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加1辆，购物车列的车身总长变化情况相同．如表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长y与购物车数量x的关系： 购物车数量x/辆 1 2 3 4 5 车身总长y/米 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 素材2：如图，该超市的扶梯斜坡米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内． 【问题解决】 （1）根据表格可知，购物车列的车身总长y与购物车数量x之间的关系式为___________； （2）在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由． 【答案】（1）；（2）不能，见分析 【分析】本题考查两个变量之间的关系，理解题意，正确求得关系式是解答的关键． （1）根据表格，结合已知列关系式即可； （2）求出当时的y值，和比较大小即可得出结论． 解：（1）解：根据表格，增加1辆购物车，车身总长增加0.2米， 则， ∴车身总长y与购物车数量x之间的关系式为． 故答案为：． （2）解：该超市员工不能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕．理由如下： 在直角中，（米）， 当时，， ∵， ∴该超市员工不能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕． 【变式1】（2023·北京海淀·二模）小明近期计划阅读一本总页数不低于300页的名著，他制定的阅读计划如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 页数 15 20 15 10 20 40 30 若小明按照计划从星期开始连续阅读，10天后剩下的页数为，则与的图象可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据题意，分别代入，求得10天后的剩余页数，对比函数图象即可求解． 解：一周的阅读量为：页， 当时，则阅读了（页） 当时，则阅读了（页） 当时，则阅读了（页） 当时，则阅读了（页） 当时，则阅读了（页） 当时，则阅读了（页） 当时，则阅读了（页） 则剩余的页数，表现在图象上的规律为先升后降，然后再降后升， 故选：A． 【点拨】本题考查了函数图象，理解题意是解题的关键． 【变式2】（24-25六年级下·山东泰安·期末）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是_________．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．    【答案】①②③ 【分析】观察图像，根据路程、速度、时间之间的关系依次判断即可． 解：由图知小明从家出发，第8分钟至第13分钟在吃早饭，因此小明吃早饭用了5分钟，故①正确； 由图知小华从家到学校的路程为1200米，用时分钟，因此小华到学校的速度为，故②正确； 由图知小明从第13分钟至第20分钟跑步到学校，用时分钟，跑的路程为米，因此小明跑步的速度为，故③正确； 由图知小华到学校的时间为7：13，故④错误． 故答案为：①②③ 【点拨】本题主要考查了用图像法表示变量之间的关系，读懂题意，能从所给图像中获取信息是解题的关键． 【变式3】（25-26七年级下·全国·周测）研究表明，当每公顷土地中钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量（单位：t）与氮肥的施用量（单位：）有如下表所示的关系： 氮肥施用量/kg 0 34 67 110 135 土豆产量/t 14.73 21.10 26.61 32.82 35.92 氮肥施用量/kg 202 255 336 404 471 土豆产量/t 42.38 45.55 47.22 45.55 41.20 如果用表示氮肥施用量，用表示土豆产量，根据表中的数据，可以将氮肥施用量与土豆产量的关系拟合成如下图象，请根据图象回答下列问题： （1）上述问题中的两个变量中，自变量是____________，因变量是____________； （2）图中点表示的实际意义是_____________________________________________； （3）当每公顷土地氮肥的施用量为时，土豆的产量约为____________t； （4）你认为氮肥的施用量大概是多少时比较适宜？说说你的理由． 【答案】（1）氮肥施用量，土豆产量；（2）不施用氮肥时，土豆的产量为；（3）31.47；（4）当氮肥的施用量约为时是比较适宜的．因为此时土豆产量较高，又可以节约肥料（言之有理即可）． 【分析】（1）根据函数的定义解答即可； （2）根据图象解答即可； （3）将代入计算即可求解； （4）观察图象的最高点可得答案． 解：（1）解：上述问题中的两个变量，自变量是氮肥施用量，因变量是土豆产量； （2）解：图中点表示的实际意义是不施用氮肥时，土豆的产量为； （3）解：当时， 故土豆的产量约为； （4）解：当氮肥的施用量约为时是比较适宜的．因为此时土豆产量较高，又可以节约肥料（言之有理即可）． 【点拨】此题考查了函数的表示方法，函数的图象，常量与变量，弄清表格中的数据是解本题的关键． 【题型 8】图象中的动点问题 【例题8】（24-25八年级上·江苏连云港·月考）如图，已知长方形ABCD中，AB＝CD＝16，BC＝DA＝24，E为CD边的中点，P为长方形ABCD边上的动点，动点P以4个单位/秒的速度从A出发，沿着A→B→C→E运动到E点停止，设点P运动的时间为t秒，△APE的面积为y． （1）求当t＝2时，y的值是　 　；当t＝6时，y的值是　 　． （2）点P运动过程中，求出y与t之间的关系式； 【答案】（1）96，160；（2）（2）0≤t≤4时，y＝4t×24＝48t；4＜t≤10时，y＝﹣16t＋256；10＜t≤12时，y＝﹣48t＋576 【分析】（1）当t=2时，判断出点P在AB上，利用三角形的面积公式得出结论；当t=6时，判断出点P在BC上，由长方形面积减去3个直角三角形的面积，即可得出结论； （2）分三种情况讨论，当P在AB上时，y=AP×BC，当P在BC上时，由长方形减去3个直角三角形的面积，即可得出结论，当P在EC上时，y=PE×BC． 解：（1）长方形ABCD中，AB＝CD＝16，BC＝DA＝24，AD∥BC，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∵P以4个单位/秒的速度从A出发，沿着A→B→C→E运动到E点停止， ∴当t＝2时，则AP＝4×2＝8＝AB， 即P为AB的中点， ∵E为CD边的中点， ∴四边形APED是矩形（如图1所示） ∴CE＝DE＝8，∠APE＝∠B＝90°，PE⊥AB，PE＝BC＝24 ∴△APE的面积为； 当t＝6时（如图2所示）， BP＝6×4﹣AB＝24﹣16＝8， ∴PC＝BC﹣BP﹣16 ∴△APE的面积为； 故答案为：96；160； （2）①当P在AB上时（如图1）， 即0≤t≤4时， 此时，AP＝4t， ∴△APE的面积为y＝4t×24＝48t， ②当点P在BC上时（如图2） 即4＜t≤10， 此时BP＝4t﹣16， 则PC＝24﹣（4t﹣16）＝40﹣4t ． 所以y与之间的关系式为y＝﹣16t＋256 ③当P在CD上时（如图3） 即10＜t≤12， PE＝48﹣4t， ∴△APE的面积为y＝48﹣4t）×24＝﹣48t＋576． 【点拨】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质与判定、三角形面积求法，第二问关键是分类讨论． 【变式1】（24-25七年级下·河北保定·期末）如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 【答案】D 【分析】本题考查用图象法表示两个变量间的关系，能看懂图象，根据动点P所在的位置与图象的关系逐项判断即可． 解：A、根据题意，动点P在边上时，的面积y值不变， ∴，故A选项说法正确，不符合题意； B、由图象知，动点P在边上运动时间为4秒， ∴， ∴长方形的周长为， 故选项B说法正确，不符合题意； C、当秒时，动点P在边上，此时， 故选项C说法正确，不符合题意； D、当时，有两种情况： 当动点P在边上时，由得； 当动点P在边上时，由得， 综上，当时，秒或3秒， 故选项D说法错误，符合题意， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1，在长方形中，动点P从点B出发，沿运动，至点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，y与x的关系如图2所示，则当时，对应的x的值是______． 【答案】或 【分析】本题考查了利用图象表示变量之间的关系，三角形的面积求解，通过看图获取信息，理清图象的含义是解题的关键．由题意可知，时，点运动到，借助三角形面积可求得，当时，可知，在上或者上，然后借助三角形面积分类讨论即可得出答案． 解：由图可知，当时，此时点运动到点，即，此时， 即， 解得：， ∵四边形是长方形， ∴，； 由图可知，当时，点在或上， 当点在时，则 此时， 解得：； 当点在时，则， 此时， 解得：； 故答案为：或． 【变式3】（24-25九年级上·北京顺义·期中）如图，边长为6的正方形中，E，F，G，H分别是，，，边上的动点，且，点E从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动（到达点时停止），设运动时间为t（单位：秒）． （1）①当运动停止时，t的值为______； ②设A，H之间的距离为y，则y与t满足______关系（选填“正比例函数”，“一次函数”，“二次函数”） （2）设四边形的面积为S， ①直接写出S的表达式______（用含有t的代数式表示），并写出t的取值范围______； ②S是否可以为20？若可以，请求出此时t的值，若不能，请通过计算说明理由． 【答案】（1）①；②一次函数；（2）①，；②S可以为20，此时或 【分析】本题考查正方形的判定与性质，二次函数与几何应用，勾股定理； （1）①当运动停止时，，代入计算即可； ②根据，可得，即满足一次函数关系； （2）①先证明四边形是正方形，再根据计算即可； ②令，解方程后判断即可． 解：（1）∵边长为6的正方形， ∴，， ∵点E从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动， ∴， ∴， ①当运动停止时，秒， 故答案为：； ②∵， ∴y与t满足一次函数关系， 故答案为：一次函数； （2）解：①∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形是正方形， ∴， 整理得， ∵，， ∴， ∴， ∴S的表达式，t的取值范围， 故答案为：，； ②令得， 整理得， 解得或， ∵， ∴S可以为20，此时或． 二.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,） 1．（2025七年级上·四川成都·专题练习）你听说过“乌鸦喝水”的故事吧．一只乌鸦口渴了，到处找水喝，它看见一个瓶子里有水，可是水不多，瓶口又小，它喝不着．聪明的乌鸦看见旁边有许多小石子，想出了办法．它把小石子一颗一颗地衔进瓶子里，乌鸦就喝到水了．如果从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时，设时间为x，瓶中的水位高度为y．下面图（  ）最符合故事情境． A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，理解题意，分析得到乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的水位是解题的关键．根据题意乌鸦衔来小石子放入瓶中时，水位将会上升，最后乌鸦喝到水之后的水位应不低于一开始的水位，据此逐项判断即可． 解：因为乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中后，水位将会上升， 且一开始的水位乌鸦是喝不着水的， 所以乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的水位， 因此只有A选项的图象符合题意． 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）乐乐在公园的便利店中购买了矿泉水，如图所示的是该便利店购物小票的部分内容，其中的常量为（   ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和单价 【答案】B 【分析】需先明确常量的定义，再判断购物小票中各量是否固定不变，从而选出常量对应的选项． 解：常量是在变化过程中固定不变的量： A、金额随购买数量变化，是变量，不符合题意； B、单价是每瓶矿泉水的固定价格，是常量，符合题意； C、数量是购买的瓶数，可随购买需求变化，是变量，不符合题意； D、金额是变量，不符合题意． 故选：B． 【点拨】本题考查了常量的概念，掌握常量是在变化过程中固定不变的量是解题的关键． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如果每盒圆珠笔有支，每盒的售价是元，那么圆珠笔的销售额（元）与销售量（支）之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出单支圆珠笔的售价，再根据“销售额单价销售量”的关系列出函数解析式． 解：∵每盒支圆珠笔售价元， ∴单支圆珠笔的价格为（元）， ∴． 4．（24-25八年级下·全国·期中）血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在血浆内的浓度随着时间的变化而变化．如图为一名成人患者在单次口服1个单位某药物后，体内血药浓度与时间的关系图，下列说法错误的是（    ） A．血药浓度在时达到最高 B．当血药浓度小于时，药物无效 C．每间隔服用该药物1单位，可以使药物持续发挥治疗作用 D．首次服用该药物1单位时，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 【答案】D 【分析】本题主要考查函数图象．根据函数图象提供的信息逐项判断即可． 解：A、血药浓度在时达到最高，本选项不符合题意； B、当血药浓度小于时，此时药物无效，本选项不符合题意； C、每间隔服用该药物1单位，可以使药物持续发挥治疗作用，本选项不符合题意； D、由图象，首次服用该药物1单位时，血药浓度会增高，又首次服用该药物1单位时，血药浓度高于，故再次服用该药物1单位，血药浓度会高于，则会发生药物中毒，本选项符合题意； 故选：D． 5．（25-26八年级上·贵州·期中）国庆节期间，小明跟爸爸妈妈一起自驾去外地旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 150 300 450 600 … 油箱剩余油量 60 48 36 24 12 … 下列说法中①该车的油箱容量为；②该车每行驶耗油；③当轿车行驶的路程为时，油箱中剩余油量；④油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，找到变量的变化规律是解题的关键． ①根据时对应的y值判断即可； ②根据变量的变化规律判断即可； ③根据“油箱剩余油量=加满油后油箱内的油量-消耗的油量”计算即可； ④根据变量的变化规律写出y与x之间的关系式即可． 解：当时，， 该车的油箱容量为， ①正确，符合题意； 由表格可知，轿车行驶的路程增加，油箱剩余油量减小，即该车每行驶耗油为：， ②正确，符合题意； 由②知，每耗油， 耗油，则油箱中剩余油量为：， ③不正确，不符合题意； 该车每行驶耗油为，油箱容量为， 油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为， ④正确，符合题意； 故选：C． 6．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果，下表是测得的指距与身高的一组数据： 指距d（） 20 21 22 23 身高h（） 已知，世界上被证实最高的人的身高是厘米，则他的指距约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用表格表示函数关系，根据表格可知，指距每增加身高就增加，据此列式计算即可求出答案． 解：根据表格可知，指距每增加身高就增加， ， 即世界上被证实最高的人的身高是厘米，则他的指距约为， 故选：B． 7．（24-25七年级下·河北保定·期末）在2025年春晚的舞台上，名为《秧BOT》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．嘉嘉为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间和搬运货物的重量记录如下表： 搬运时间 1 2 3 4 ．．． 搬运货物的重量 120 160 240 320 400 ．．． 下列说法错误的是（　　） A．搬运货物的重量随着搬运时间的变化而变化 B．当搬运货物的重量为时，搬运时间为 C．与之间的关系式为 D．搬运时间每延长，搬运货物的重量增加 【答案】B 【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系． 通过分析表格数据，逐一判断即可． 解：由表格可知：搬运时间每延长，搬运货物的重量增加， ∴， 故A、C、D正确； 当搬运货物的重量为时，， 解得：， 故B错误， 故选：B． 8．（24-25八年级下·重庆渝中·期末）匀速地向一个容器内注水（注满为止）．在注水过程中，若容器中水面高度与注水时间的变化规律如图所示，则这个容器的形状可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的关键． 根据函数图象的走势：较缓，较陡，陡，注水速度是一定的，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢，从而得到答案． 解：如图： 从函数图象可以看出：段上升最慢，段上升较快，段上升最快，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢， ∴题中图象所表示的容器应是下面最粗，中间其次，上面最细； 故选：B． 9．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用图象表示变量间的关系，解题的关键是理解题意，数形结合．根据开始进入时y逐渐变大，完全进入后保持不变，开始出来时y逐渐变小，进行判断即可． 解：根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：当火车开始进入时y逐渐变大，当火车完全进入隧道，由于隧道长大于火车长，此时y最大，并且保持不变，当火车开始出来时y逐渐变小．另外是匀速运动，y随x的均匀变化而均匀变化，故图象呈直线型，排除选项C． 故选：B． 10．（24-25七年级下·重庆·期中）小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 100 200 250 300 400 镜片与光斑的距离/m 1 下列说法错误的是（    ） A．在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离 B．当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为 C．老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小 D．老花镜的度数每升高50度，镜片与光斑的距离减小0.1 【答案】D 【分析】本题考查了变量关系判断和数据分析能力，根据题意和老花镜的度数与镜片与光斑的距离间的关系，逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 解：A、由题意可知，在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离，故选项不符合题意； B、由表格数据可知，当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为，故选项不符合题意； C、由表格数据可知，老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小，故选项不符合题意； D、由表格数据可知，老花镜的度数从度升高到度时，镜片与光斑的距离减小了，每度减小了，说法错误，故选项符合题意； 故选：D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·阶段检测）一个等腰三角形的周长为24，其中它的腰长为自变量，底边长为因变量，则用表示的关系式是_____________. 【答案】 【分析】根据等腰三角形的周长为24列出等式，移项使y在等号左边，其余在等号右边即可． 解：等腰三角形的周长为24，腰长为，底边长为， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查列关系式，解题的关键是理解自变量与因变量的定义． 12．（24-25七年级下·山西晋中·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现了水位h（单位：）和时间t（单位：）两个变量之间的关系．下表是小明记录的部分数据，当h为时，对应的时间t为________． t/ … 1 2 3 4 … h/ … 2.4 2.8 3.2 3.6 … 【答案】 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，由表格可知，时间每增加，水位的高度增加，据此求解即可． 解：由表格可知，时间每增加，水位的高度增加， ∴当h为时，对应的时间t为， 故答案为：20． 13．（24-25八年级下·海南儋州·期中）购买单价为3元的笔记本，总金额（元）与笔记本数（本）的关系为，其中_____是常量，_____是变量． 【答案】 3 x，y 【分析】根据常量与变量的定义，在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．结合题目中各量的变化情况判断即可． 解：本题中，笔记本的单价始终为3不变，总金额y随购买笔记本的数量x的变化而变化，因此是常量，和是变量． 14．（24-25七年级上·广东惠州·开学考试）小淘气刚出生时，爸爸为其种下一棵如下图的树种，希望他茁壮成长，三年后树已长到2.7米高，那么小淘气9周岁时，树的高度是___________米． 【答案】8.1 【分析】本题主要考查了比的应用，函数图象的识别， 根据图象可知10岁前树的高度和小淘气的年龄成正比，再设树的高度是x米，可得，然后求出解即可. 解：由图象知10岁前树的高度和小淘气的年龄成正比， 设树的高度是x米，根据题意，得 ， 即， 解得， 所以树的高度是8.1米. 故答案为：8.1. 15．（24-25八年级上·江苏泰州·月考）一幢商住楼底层为店面房，第一层高为4米，第一层以上每层高3米，则楼高与层数之间的函数关系式为_______． 【答案】（n为正整数） 【分析】根据实际问题的数量关系，总楼高等于第一层高度加上第一层以上所有楼层的总高度，列出表达式后化简即可得到函数关系式． 解：由题意可知，第一层高为4米，当层数为n时，第一层以上的层数为层． 已知第一层以上每层高3米，因此总楼高h可表示为： 根据整式的加减运算法则化简得： ，其中n为正整数． 16．（25-26八年级上·福建漳州·月考）在运动会200米跑比赛中，运动员甲因为起步摔跤，导致晚出发了几秒钟，甲．乙两人的路程与时间的关系如图所示．下列说法①乙的速度为； ②甲在时追上了乙；③甲的速度为；④甲比乙晚出发了3s．其中正确的是______．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查从函数图象获取信息的能力，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． ①根据速度路程时间计算即可； ②由图象可知，当乙的路程为时被甲追上，根据乙的时间=乙的路程÷乙的速度计算即可； ③根据②，利用速度路程时间计算即可； ④根据时间路程速度求出甲追上乙时所用的时间，从而求出甲比乙晚出发的时间． 解：乙的速度为，故①正确； 甲追上乙所用时间为，故②正确； 甲的速度为，故③错误； 甲比乙晚出发了，故④正确． 综上，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 17．（18-19八年级下·全国·课后作业）如图，已知两地相距4千米，上午，甲从地出发步行到地，乙从地出发骑自行车到地，甲、乙两人离地的距离（千米）与甲所用的时间（分）之间的关系如图所示，由图中的信息可知，乙到达地的时间为________． 【答案】9点40分 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，从图象获取信息， 先根据图象求出甲的速度，再求出两人走了2千米时相遇时的时间，然后求出乙的速度，进而求出乙走完全程需要时间，则此题可解． 解：根据图象可知甲60分走了全程4千米， 所以甲的速度是4千米时． 由图象可知两人走了2千米时相遇， 则甲此时用了0.5小时，则乙用了， 所以乙的速度为（千米时）， 所以乙走完全程需要时间为（分）， 此时加上乙先前迟出发的20分， 所以现在的时间为9点40分． 故答案为：9点40分． 18．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，甲，乙，丙三个容器内的液体体积分别用，，（单位：）表示，某时刻计时为，此时．时打开甲的开关，以的速度向乙容器注水，且时，，此时关闭甲容器的开关，同时打开乙容器的开关，以的速度向丙容器注水，且时关闭开关，此时． （1）________； （2）与的函数关系式为：________； （3）当为________时，． 【答案】 8 或 【分析】（1）根据时，列出方程求解即可； （2）首先求出每分钟从乙容器注水到丙容器，然后根据题意列出关系式即可； （3）根据列出方程求解即可． 解：（1）由题意可得，时，， ∴，解得， （2）∵， ∴时，每分钟从乙容器注水到丙容器， ∴与的函数关系式为：； （3）当时，，丙容器原有液体， 若，则有， 解得； 当时，丙容器内液体体积为， 若，则有，解得， ∴当为或时，． 故答案为：（1）8；（2）；（3）或． 【点拨】本题考查了函数关系式，一元一次方程，掌握注水量与注水时间之间的关系是解决问题的关键． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示是某地一天内的气温变化图，看图回答： （1）这天7时、10时、14时的气温分别是多少？ （2）这一天中什么时候的气温在逐渐升高？什么时候的气温在逐渐降低？ （3）这个问题中的变量是什么？ 【答案】（1）、、；（2）3～14时的气温在升高；0～3时与14～24时的气温在降低；（3）时间和温度 【分析】本题考查了变量与常量、用图象表示变量之间的关系，解题的关键是： （1）根据图象即可解答； （2）根据图象即可解答； （3）根据图象即可解答． 解：（1）解： 7时、10时、14时的气温是、、； （2）解：3～14时的气温在升高；0～3时与14～24时的气温在降低； （3）解：变量是时间和温度． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·辽宁鞍山·期末）学校图书馆购进一批图书，管理员在整理过程中发现，每天整理的图书数量与整理的天数之间的关系如下表： 每天整理的图书数量 1200 600 240 120 … 整理的天数 1 2 5 10 … （1）若学校计划用4天的时间完成整理，管理员每天需要整理多少本图书？ （2）若用a表示每天整理的图书数量，用t表示整理的天数，用式子表示t与a的关系，并说明t与a成什么比例关系？ 【答案】（1）管理员每天需要整理300本图书；（2），与a成反比例关系 【分析】本题主要考查了反比例关系， （1）先求出图书的总数，再除以天数可得答案； （2）根据题意写出关系式，再判断比例关系即可． 解：（1）解：这批图书共有：（本）， 4天完成整理，每天需要整理（本）， 答：管理员每天需要整理300本图书； （2）解：由题意可知：（或或）， 与a成反比例关系． 21．（本小题满分10分）（24-25七年级上·山东菏泽·期中）王师傅非常喜欢自驾游，他为了了解新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据： 行驶的路程S（） 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … （1）该轿车油箱的容量为 ，行驶150时，油箱中的剩余油量为 ； （2）在这个问题中，哪些是变量？哪些是常量？ （3）用含S的代数式来表示． 【答案】（1）50，38；（2）变量：行驶的路程S，油箱剩余油量；常量：油箱的容量，每千米的耗油量；（3） 【分析】本题考查了列代数式，有理数的运算，变量与常量，读懂图表信息是解题的关键． （1）由表格可知，开始时油箱为，每行驶，油量减少，由此填空； （2）根据常变量的定义可得出结论； （3）由表格可知，开始时油箱为，每行驶，油量减少，即可得到用S的代数式来表示． 解：（1）解：当，， ∴轿车油箱的容量为， 行驶的油耗为， ∴行驶，油箱剩余的油为， 故答案为：50，38； （2）解：在这个问题中，变量：行驶的路程S，油箱剩余油量；常量：油箱的容量，每千米的耗油量； （3）解：∵该轿车油箱的容量为，油耗为行驶的油耗为， ∴． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·山西晋中·期中）天然气收费标准因地而异，某城市按以下规定分档收取居民管道天然气费：第一档用气量（每户每月26立方米及以下），按每立方米元收费；第二档用气量（每户每月26立方米以上至38立方米及以下），按每立方米元收费；第三档用气量（每户每月38立方米以上），按每立方米元收费．设小丽家某月用气量为x立方米，应交管道天然气费为y元． （1）小丽家5月份的用气量为30立方米，则小丽家该月应交管道天然气费_______元 （2）当时，写出y与x之间的关系式； （3）若小丽家10月份的管道天然气费为元，求她家这个月的用气量？ 【答案】（1）90；（2）；（3）她家这个月的用气量为36立方米 【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元一次方程的应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）分别求出26立方米的费用和超过26立方米的费用，二者求和即可得到答案； （2）当用气量在第二档时，总费用等于第一档的最高费用与超出26立方米部分的费用之和，据此列出y与x的关系式并化简即可； （3）根据题意可推出该月她家的用气量大于26立方米且小于38立方米，据此建立方程求解即可． 解：（1）解：元， ∴小丽家该月应交管道天然气费90元； （2）解：由题意得， ； （3）解：当时，， ， ∴该月她家的用气量大于26立方米且小于38立方米， 则，解得， 答：她家这个月的用气量为36立方米． 23．（本小题满分10分）（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）2024年“骑行中国”331国道最美边境线丹东起点出发仪式上，26个省份227名骑友从丹东出发，伴着碧波荡漾的鸭绿江水，踏上“骑行中国”的美好旅程．小华同学受此影响，每天放学后都骑自行车锻炼身体．某天，他从家出发骑车到鸭绿江断桥，当他以往常的速度骑行了一段路后，突然感到口渴，于是又折回到刚才经过的超市买水，喝完水后，小华继续骑车到鸭绿江断桥．已知小华家，超市，鸭绿江断桥在同一条笔直公路上，小华离家距离与所用时间的关系如图所示，根据图象回答下列问题： （1）小华家到鸭绿江断桥的距离是______米； （2）小华在超市停留了______分钟； （3）本次骑行途中，小华一共行驶了______米； （4）交通安全不容忽视，我们认为中学生骑自行车的速度超过320米/分就超过了安全限度．通过计算说明：在整个骑行途中哪个时间段小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？ 【答案】（1）2100；（2）4；（3）2700；（4）在分钟内，小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内 【分析】本题考查用图象表示两个变量之间的关系，解题的关键是利用数形结合的思想解答． （1）根据图象中的数据可以得到小明家到学校的路程和在书店停留的时间； （2）根据图象中的数据可以得到小明在书店停留的时间； （3）根据图象中的数据可以得到本次上学途中，小明一共行驶的路程； （4）根据题意和图象可以得到各段内对应的速度，从而可以解答本题． 解：（1）解：根据图象纵轴数据，小华家到鸭绿江断桥的距离是2100米， 故答案为：2100； （2）解：根据图象纵轴数据，小华在超市停留了分钟， 故答案为：4； （3）解：根据图象纵轴数据，本次骑行途中，小华一共行驶了（米）， 故答案为：2700； （4）解：当时间在分钟内，速度为（米/分）； 当时间在分钟内，速度为（米/分）； 当时间在分钟内，速度为（米/分）； ∵， ∴在整个骑行途中在分钟内，小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内． 24．（本小题满分12分）（24-25六年级下·山东淄博·期末）综合与实践：小明要用总长为12米的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙（墙长9米），另外三边是篱笆，其中不超过9米，如图所示．设垂直于墙的两边，的长均为x米，长方形花圃的面积为y平方米． （1）在x，y这两个变量中，自变量是___________，因变量是___________； （2）___________米（用含x的式子表示），请判断当时是否符合题意，并说明理由； （3）求y与x之间的关系式； （4）根据（3）中y与x之间的关系式补充下面表格： x（米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … y（米2） 13.5 16 17.5 m 17.5 n 13.5 … ①___________，___________； ②请观察表格中的数据，并写出y随x变化的一个特征：___________． ③在y随x变化的过程中，问y是否存在最值（最大值或最小值）？若存在，请直接写出y的最值（注明是最大值，还是最小值）及此时x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）自变量是x，因变量是y；（2），时不符合题意，理由见分析；（3）；（4）①18，16；②当时，y随x的增大而增大．（或当时，y随x的增大而减小；或当时，y取得最大值）（答案不唯一）；③y存在的最大值为18，此时x的值为3 【分析】本题考查用表格表示两个变量间的关系、用关系式表示两个变量间的关系，理解题意，能从表格数据中获取信息是解答的关键． （1）根据自变量和因变量的定义求解即可； （2）由篱笆的长度和图形周长求法列代数式即可求得表示的代数式，再求得当时的的值，进而与9比较大小可得结论； （3）根据长方形的面积公式求解即可； （4）①分别将和代入（3）中关系式中可求解m、n值； ②由表格数据中自变量和因变量的变化可得结论； ③根据表格因变量的变化规律可得答案． 解：（1）解：根据题意，自变量为x，因变量为y； （2）解：设垂直于墙的两边，的长均为x米， 根据题意，米， 当时，， ∴时不符合题意； （3）解：由题意，得； （4）解：①当时，，即； 当时，，即； ②根据表格数据变化，当时，y随x的增大而增大．（或当时，y随x的增大而减小；或当时，y取得最大值）（答案不唯一）； ③根据表格数据变化，y随x的增大，先增大再减小，在时，取得最大值， 即y存在的最大值为18，此时x的值为3． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $