河南郑州外国语学校等校2026届高三下学期适应性训练（一）数学试卷

高三 数学 训练一 参考答案 选择题 1.D 2.C 3.B 4.A 5.B 6.C 7.C 8.C 9.ACD 10.ABD 11.BCD 填空题 12.7 13.(-∞,1] 14.8或10 提示: 1.由y=子r可得=4,故20=4,故p=2,故抛物线的焦点 到准线的距离为p=2.故选D. 2.对于A,当m=1时W2m十1=√2+1,∴√2+1∈M,故A错误. 对于B√2m十1=√2在m∈N内无解,√2M,故B错误.对 于C,当m=0时,√2m十1=1,∴.1∈M,故C正确.对于D,由 √2m十1=1-√2,得m=-1￠N,故1-√24M,故D错误.故选 3.:三个力,下,下的作用下恰好处于平衡状态,十下十 =0,设=(x,y),根据向量的坐标运算,++=(x +2,y)=0,x=-2,y=0,.=(-2,0).: =2, -矿在矿上的发彩勺室的这标为,膏- (-1,0).故选B. 了4.由题意906”。一=之,解得m=10.故选A. x90+2 5.:复数=cos0+isin0(0∈R),则z= 1,表示复数之在复平面内的轨迹是以 (0,2) 原,点(0,0)为圆心、半径为1的单位圆, x2+y2=1 x-2i表示复数之到点(0,2)的距离, 即求解单位圆上的点到(0,2)的距离取 值范围,(0,0)到点(0,2)的距离为2, .z一2i的最大值为3.故选B. 6ne0=1,即合=ea,两边取对数可得:ln合=le=n,得 -lhn=0,则en0=六n0=行 (一0)=-1,故A和B都 是错误的:显然0为正实数,构建g()=e-,则0为g(x) 的零点,显然g(x)在(0,十∞)内单调递增,g(7)=E-2<0, g(号)=-是=E-1.5=E-3.3万>0且g(1) =e一1>0,故C正确,D不正确.故选C. 7.对于A,加入P点后,变量x与预报变量y相关性变弱,但不能 说x,y不具有线性相关性,A不正确;对于B,决定系数越接 近于1,拟合效果越好,加上点P后,决定系数R变小,故B 不正确;对于C,从图中可以看出P点较其他点,偏离直线远, 加上点P后,回归效果变差,∴相关系数r的绝对值越趋于 0,故C正确;对于D,残差平方和变大,拟合效果越差,.加上 点P后,残差平方和变大,故D不正确.故选C 8,:直线1的∠PFF:=否,由角平分线 PF L=PQL=2,:. 性质定理可知FF=QF2 PF1=2F1F2=4c,由双曲线的定义 可知PF|-PF2=2a,.|PF2= PF1-2a=4c-2a,在 PF1F2中由 余弦定理可得PF22=PF:I2+F1F22-2PFF1F2 cos∠PF1F2,即(4c-2a)2=(2c)2+(4c)2-2 2c 4c cos60 ,整理得c2-4ac十a=0,两边同除以a可得e2-4e十1 =0,解得e=2十√或e=2-√(舍去).故选C 9.对于A,本地编译平均用时30mi,样本方差为36,本地编译 用时X都服从正态分布,.X~V(30,62),.P(X≤30)=0.5, A正确;对于B,'云编译平均用时34min,样本方差为4,云编 译用时Y都服从正态分布,Y~N(34,2),其分布关于均值 34对称.由于40-34=6而34-30=4,40和30并不关于34 对称,故P(Y≤40)≠P(Y≥30),B错误;对于C,计算34分钟 内不超时的概率为P(X≤34)>0.5,P(Y≤34)=0.5,P(X ≤34)>P(Y≤34), 本地编译不超时的概率更高,C正确;对 于D,计算38分钟内不超时的概率为P(X≤38)=P(X≤30十 8)=P(X≤30+专 6,PY≤38)=P(Y≤34+4) P(Y34十2X2),.P(Y38)>P(X38),∴.云编译不超时 的概率更高,D正确.故选ACD. 10,易如函数f)=2sin(ar+晋)sin(受-ar)=2(。 cOSwx)( 3。 1 2 oswx sinx)sinotcosor千空《cosx sin or)= 号(sn2ar+5os2ar)=sin(2ar十号):当fx)的 最小正周期为 时,可知=,解得=1,即A正确:当x∈ 2w (0,m)时,可知2ax十晋∈(号,2m十号),若f)在(0,x)上 单洞,剥需满足子<2am十号≤受,解得0<u≤立B正确: 结合B中分析可知当f(x)在(0, )上恰有两个零点时,需满 足2a<2om十受<3,解得号<o<专,即C错误:当w=2时 可知)=sin4r+晋).若x(0圣),则4r十晋∈(晋, sm4r+晋)E(-号,,可知f)在0,子)上的值 域为(一 9,即D正病故选AD, 11.根据题意,在六面体ABDFC中, AB-AD-AF-BC=CD-CF- 1,BD=BF=DF=J2,故此六面体 C(G ABDFC由两个全等的三棱锥A一 AE) BDF、C-BDF构成,又AB十 BA方 AD=BD2,∴.AB⊥AD,同理可得 AF⊥AB,AF⊥AD,又AB∩AD=A,AB、ADC平面ABC, AFL手而AC,V=2W,m=2W,m-子 宁 1X1 X1=号,故A错误:如图,以A为原点建立空间直角坐标系, 并连接AC交平面BDF于O,则D(1,0,0),B(0,1,0), F(0,0,1),又 BDF为等边三角形,且六面体ABDFC关于 年西BDF对称0号,写子),C(号,号,号,别Dd= 0+号+0 (-日号号.ai=010osd.A=- 号,直线DC与AB所成角的余孩值为号,故B正确:易知平 面ADF的一个法向量m=(0,1,0),设平面CDF的一个法向 nD心=-子x+子y叶子=0 2 2 量n=(x,y,之),则 ,不妨取 n D求=-x十x=0 x=2,则n=(2,-1,20sm:m-0若0=-子又二面 1 3 角A一FD一C为钝角,.二面角A一FD一C的余弦值为 子,故C正确:渡六面体内能装下的最大的球为共内切球, 设半径为,六面体表面积为S,S=6 号 1 1=3, Ve=子Sr,即子 3r=号,解得=号,表面积为42 4 ,即该六面体内能装下的最大的球的表面积为青,故 D正确.故选BCD. 12.二项式(W匠十2)"(n∈N“)的展开式的第r+1项为:T+1=C x号 2(r=0,1,2,n),.第4项的系数为C% 23,第6项 的系数为C 25.又第4项系数与第6项系数之比为5:6, n! 8:g=a 2 5 C 25 n! 一三n-3)(n-4)-6,.】 5!(n-5)7 2 (n一3)(n一4)=6,整理可得n一7n十6=0,由题意可知n≥5 且n∈N*,故n=6,∴.展开式一共有7项. 13.f(x)=logs (3+x)+logs (1-ax)=logs [(3+x)(1-ax)], 其为偶函数,.f(-x)=f(x),即log[(3-x)(1十ax)]= log[(3十x)(1-ax)],∴.(3-x)(1十ax)=(3十x)(1-ax), 解得a=子.当a=子时,fx)=log[(3十x)1-音)],由(3 十x)1-号)>0解得x∈(-3,3),满足偶函数定义,故a= 3x)=lg[3+01-专]xe(-3,3). y=(3+ x)(1-三),x∈(-3,3),由二次函数图象和性质可知,当x= 0时,yms=3X1=3,当x趋近于一3或3时,y趋近于0,y =(3十x)1-号),x∈(-3,3)的值城为(0,3]:对数函数y =logt在(0,十∞)上单调递增,令1=(3十)1-号),t (0,3],根据单调性可知,当t∈(0,3]时,log:t1og3=1,且 当t趋近于0时,logt趋近于-oo,∴.f(x)= og[3十x)1-学)]的值城为(-,1].综上,画数fx) 的取值范围是(-o∞,1]. 14,不妨设AB=2,:∠A=100 ,故 ∠ABC=40 ,∴.BC=4cos40 ,故BD B =4cos40 -2,设∠BCD=a(0 <a<D 40 ),则∠BDC=40 -a,在 BCD中,由正弦定理有 4cos40 -2 sim40。如(40a2- 4cos40 C0s40 sina sina c0s40 -c0s60 c0s40 C0s40 cos(50 -107-cos(50-107=2sin50sin10=2sinl0, 2sin(40 -a)sinl0=sine即2sin(g-o)sin员=sime,设f) =2sin(径-x)sin是一mx,共中0<<径,:0<吾-x< 2号<受,in是>0,故y=2sin(语-)sin是在0,号)上为 减函数,而y=一six在(0,号)上为减函教,故f(x)在(0, 号)上为减画数,而八最)=2sm否-爱sin后一sn意 0,故2sin(号-a)sin后=sim有唯一解需故。=总 解答题 3 时1)证明,6.a2+-之3a+1十2m十1)-2.1分》 a2-2 吉as-6m+(2mD-是 1 3 a.+1- 3 a2m-2 3 a2m一2 空-4分 “6是以-号为首项,弓为公比的等比数列.(6分) (2)由1)得么,)是以-日为首项,号为公比的等比数列 故&=w一号=(号=号(,7分) 1 由a2.=3a-1十(2n-1),得a-1=3a,-3(2n-1)= -合(3y1-6m+号(0分) a1十a,=-号[(号)+(号)y门-6m+9 -2号)-6m+9,10分) S2n=(a1十a2)+(ag十a1)十…十(agm-1十a2n) =-2号+(宁)++(3门-6.n+9m 2 =(宁)-1-3m2+6m=(3)-3(n-1)+2.12分) 显然当n∈N时,{Sn}单调递减, 又当m=1时,5=子>0,当m=2时,5=-8<0, .当n≥2时,Sn<0: 综上,满足S>0的所有正整数n为1.(13分) 16.(1)①质点运动6次回到原点,则必定右移3次,左移3次,(2 分) 则可看作质点作6次运动,X表示向右移动的次数,则X ~B(6,令),则质点回到原点的概率为P(X=3)= C(号(宁)=最4分) ②设质点第一次向右移动为事件M,则PM)=号:(5分) 质点移动4次后回到原点0为事件N,质点运动4次回到 原点,质点第1次向右移动,则剩下3次必定右移1次,左 移2次,则PMN)=C(宁)1=品:(8分 .在质点第1次向右移动的条件下,质点移动4次后回到 原点0的既率为:PNM=-是 2=景(0 分) (2)方法1: X所有可能的取值为-3,一1,1,3,(10分) P(X=-3)=C(1-p)3=(1-)3, P(X=-1)=C(1-p)2=3p(1-p)2, P(X=1)=C号p2(1-)=3p(1-), P(X=3)=Cp3=p3,(12分) 由E(X)=-3(1-p)3-3p(1-p)2+3p2(1-p)+3p3= 6p-3>1,(13分) 解得D>号,14分) 又:0<1,故p的取值范围为号<p1.15分) 方法2: 设在移动3次中,向右移动的次数为Y, 则Y~B(3,p),.E(Y)=3p,(11分) 向右移动的次数为Y,则向左移动3一Y次, .质点最终所在位置的坐标为X=Y-(3-Y)=2Y一3, (12分) ∴.E(X)=E(2Y-3)=2E(Y)-3=6p-3,(13分) 即随机变量X的数学期塑为6p-3>1.解得p>号,(14 分) 又:0<p<1,故p的取值范图为号<p<1.(15分) 17.(1)在正方形ABCD中,由CE=DF,得BE=CF,tan∠BAE 器货-an∠CB, 则∠BAE=∠CBF,∠BAE+∠FBA=∠CBF+∠FBA= 90 ,因此AE⊥BF,(2分) 由PB是圆柱OO1的母线,得PB⊥平面ABCD,而AEC 平面ABCD,则AE⊥PB,(4分) 又BF∩PB=B,BF,PBC平面PBF, .AE⊥平面PBF.(5分) (2)()设圆柱OO的底面圆半径为r, 圆柱OO的体积为 ,PB=2,得 r2 PB= , 解得r号则AB=BC=1,显然 直线BA,BC,BP两两垂直, D 以点B为原点,直线BA,BC,BP 分别为x,y,之轴建立空间直角坐标系,(7分) 则A(1,0,0),C(0,1,0),D(1,1,0),P(0,0,2),设BE= t(0<t<1),则E(0,t,0),F(t,1,0), A市=(-1,0,2),P市=(t,1,-2),由点A到直线PF的距 离是1,(8分) 得√一=1则-(产层=,而0 w2+5 <tK1,解得=3: 2 CE=BC-BE=子.(I0分) (mC市=1.0,0,A证=(-1,号,0.11分) 设平面PAE的法向量为n=(x,y,z), fn A市=-x十2x=0 则 2 n…At=-x+分y=0 ,取x=1,得n=(2,3,1),(13 分) 设直线CD与平面PAE所成的角为O, 则sinf=cos(n,C市1=n Cd 2 nC /14.1 =,(14 7 分) “直线CD与平面PAE所成角的正弦值为平.(15分) 18.1f)=ln1+x)t千则f0)=1,(2分) 又f(0)=0,.曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程 为y=x.(4分) (2)0令g(x)=fm=eln1+2(x>0). x 则g(x)= Ce'ln(l( c[(x-1h1+)+2,6分) I] x 令(x)=(x-1)ln(1+x)十1x' 则1=1a1+)十品a=h1+)十 (1十x)7 当x>0时,t'(x)>0恒成立,∴t(x)在区间(0,十o∞)上单 调递增,(8分) 则t(x)>t(0)=0, 又x2>0,∴g'(x)>0在区间(0,十o∞)恒成立,(9分) ∴ g(x)在区间(0,十∞)上单调递增, 又1<4,则f)<f,即kan<km.(10分) ②当x∈[0,十o)时,f(x)=eln(1十x)≥0,当且仅当x =0时取等号, ∴d(O,C)=x十x2十f(x1十x2),d(O,A)=1+f(x1), d(O,B)=x2+f(x2),(11分) 要证d(O,C)>d(O,A)+d(O,B),即证明x十x2十f(x 十x2)>x1十f(x1)十x2十f(x2), 也即证明f(x1十x2)>f(x1)十f(x2),(12分) 令G(x)=f(x1十x)-f(x1)-f(x),易知G(0)=f(x1) f(x1)-f(0)=0, 则G(x)=f(x1十x)-f(x),(13分) 令)=fD=eln1+x)+于则N(x)=e[nd +叶1 易知当x>0时,h'(x)>0恒成立,.h(x)在区间(0,十∞) 上单调递增,(15分) 又当x>0时,x1十x>x>0,.f(x1十x)>'(x),则 f(x1+x)-f(x)>0, .G(x)在区间(0,十o)上单调递增,(16分) 又x2>0,则G(x2)=f(x1十x2)-f(x1)-f(x2)>G(0) =0, 即f(x1十x2)>f(x1)十f(x2),命题得证.(17分) 19.(1),椭圆C的左、右焦点分别为F(-2,0),F2(2,0), 且过点(2,2),.2a=√(2-2)2+2+√(2+2)2+2= 4√2,(2分) ∴.a=2√2,6=a2-c2=8-4=4,(3分) 可得椭圆方程为后+学=1.4分) 1 (2)①直线1的方程为x=2y十2,设A(mM),B(), 1 2y十2 联立 ,消去x,得9y2+8y-16=0, =1 8 4 8 则y十y= y12=- 96分 又P(0,-4),F2(2,0), ..S+S BPI十AF2 S.+S BF,+AF, =十4+y,(8分) yh一y2 y十y2+4 4 √/(y十y2)-4y1y2 7西,(10分) /64,64 20 V81+9 ②假设存在直线l,设直线l的方程为x=my十2, (x=my+2 联立x 8+￥= 消去x,得(m十2)y十4my二4=0,4 =1 =32(m2十1)>0, -4m -4 六M十业=m十2M为=+212分) (01-)产=(1十)2-41=32m2 (m2十2)2, 如图,延长QA交x轴于点S,若 Q,R,F2,A四点共圆, ∴∠AQR十∠AF,R= ,而 ∠AF,R+∠AF,S= , .∠AFS=∠AQR, B :tan∠AF,S= m tan∠AQR=, 又∠AQR=∠1-∠2,(13分) :.tan∠AQR=tan(∠I-∠2)=1+anZ1 tanZ2 tan∠1-tan∠2 ka4一kaB 1十ka1 kaB 品 由kai=m12kaa=my22, .tan∠AQR= 4(M-y2) (m+1D十(2m-系)(n+)+4十三 m m 4(y-y2) (m+1m+(2m-品)0十)+4+是 m :1=162m+卫,即2m/2m+2=2+ -m2,(15 m16+-8m 分) 由点P在点E的下方得品<-2,即0<<1, 记fm)=2mV/Em2+m-是-2,0m<1, ∴fm)=2Vm干+m2m+品>0. V√2m2+2 ∴函数f(m)在(0,1)上单调递增, 又f)=-23<0,1)=2>0. 2 4 ∴.函数f(m)在(0,1)上只有唯一零点,即存在唯一m∈ (0,1), 使得2m√m干=2+是-m成立, .存在直线1,条数为1条.(17分)2026届高三数学适应性训练（一） 本训练共150分，时间120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.已知抛物线)y=x,则抛物线的焦点到准线的距离为 A君 B是 C.1 D.2 2.已知集合M={W2m+1|m∈N},则 A.√2+1M B.√2∈M C.1∈M D.1-√2∈M 3.在平面内，某质点在三个力，F,F的作用下恰好处于平衡状态，其中F=(3,一2)，F=(一1， 2),则F在可上的投影向量的坐标为 A.（-2,0) B.(-1,0) c(-25,45, n2,-4) 4.已知外卖员甲一周(7天)的第一天送货90件，之后每天的送货量比前一天多m件，若甲第7天的 送货量是其该周前3天的送货总量的2，则m= A.10 B.11 C.12 D.13 5.若复数之=cos0+isin0(0∈R),则|之-2il的最大值是 A.2 B.3 C.4 D.5 6.我们把方程xex=1的实数解称为欧米加常数，记为2,2和e一样，都是无理数，2还被称为在指 数函数中的“黄金比例”.下列有关Ω的结论正确的是 A.eaIn=1 B.eaInn=e D.ae(3D) 7.为研究某电动汽车的充电时间x(小时)和续航里程y(公里)之间的关系，某课题研究小组采集了 9组数据，绘制散点图如图所示，并对x,y进行线性回归分析.若在此图中加上点P后，再次对x, y进行线性回归分析，则下列说法正确的是 A.x,y不具有线性相关性 B.决定系数R2变大 C.相关系数r变小 D.残差平方和变小 8.已知双曲线C:无-1(a>0,6>0),F1,F,分别为左、右焦点，过F且倾斜角为60的直 与C在第一象限的交点为P,∠PFF2的平分线与线段PF2交于点Q.若|PQ|=2QF2,则该 双曲线的离心率是 《高三·数学·训练一》第1页（共4页) A.√3 B.1+√3 C.2+3 D.3+√3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分， 9.某程序员在开发项目时，有时使用本地编译，有时使用云编译，他各记录了50次编译所花的时 间，经数据分析得到：本地编译平均用时30min,样本方差为36；云编译平均用时34min,样本方 差为4.假设本地编译用时X和云编译用时Y都服从正态分布，则 A.P(X≤30)=0.5 B.P(Y≤40)=P(Y≥30) C.若某天只有34min可用，为了尽可能不超时，应选择本地编译 D.若某天只有38min可用，为了尽可能不超时，应选择云编译 10.已知函数f(x)=2sin(wx+君)sin(写-wx)(w>0),则 A.当f(x)的最小正周期为π时，ω=1 B当f)在0m上单调时，0<o≤品 C当f(x)在(0，x)上恰有两个零点时，号<0<号 D当。2时，在0，让的值城为(-受， 11.如图长方形ABGH,AH=3,AB=1,点C,F,D,E是所在边BG和AH上的三等分点，将长方 形按照图中虚线进行翻折，使得AD,DE重合，AB,EH重合，GH,BC重合，FC,FG重合，得到 六面体ABDFC,其直观图如图所示，则 A.该六面体的体积为号 G R.直线DC与AB所成角的余弦值为号 B(H) C二面角A-FD-C的余弦值为一号 D.该六面体内能装下的最大的球的表面积为音x 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知（√x十2）"(n∈N")的展开式中，第4项系数与第6项系数之比为5：6，则展开式一共有 项. 13.已知函数f(x)=log3(3十x)十log3(1一ax)是偶函数，则函数f(x)的值域为 14.△ABC中，AB=AC,延长AB到点D,使AD=BC,连接CD.若∠A=100°，则∠BCD的大小为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知数列{an}中a1=1,an+1= 3a,十n,n为奇数 am一3n,n为偶数 《高三·数学·训练一》第2页（共4页） 3 (1)已知数列(b}满足b,=am一？，求证：{b}是等比数列； 18.(本小题满分17分) (2)若Sn是数列{a.}的前n项和，求满足S2m>0的所有正整数n. 已知定义在[0，十∞)上的函数f(x)=eln(1十x). (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)设A(x1,f(x1),B(x2,f(x2),C(x十x2,f(x1+x2)为函数f(x)的图象上不同于原点O 的三个不同的点，其中x<x2. ①证明：kOA<koB; ②定义M,N两点间的距离如下：d(M,N)=|xM-xw|+|yM一yw, 16.(本小题满分15分) 证明：d(O,C)>d(O,A)+d(O,B). 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每次向左或向右移动一个单位，每次 向右移动的概率为(0<p<1). (1)若力=号 654321012345678 ①求质点移动6次后回到原点0的概率； ②在质点第1次向右移动的条件下，求质点移动4次后回到原点0的概率； (2)若移动3次后，质点最终所在位置的坐标为X,若随机变量X的期望E(X)>1,求p的取值 范围. 19.(本小题满分17分) 已知椭圆C号+芳-1（®>6>0）的左，右焦点分别为R,R,焦距为4，且椭圆C过点(2， √2)，椭圆的下顶点为E. (1)求椭圆C的方程； 17.(本小题满分15分) 如图，PB是圆柱OO1的母线，四边形ABCD是底面内接正方形.点E,F是棱BC,CD上的 (2)过右焦点F2的直线1与椭圆C交于A,B两点（点A在点B的上方），与y 动点(E,F不与端点重合)，且CE=DF. 轴交于点P(点P在点E的下方)，点Q为点P关于原点的对称点，QB交 (1)证明：AE⊥平面PBF; 0 (2)已知圆柱OO的体积为π，PB=2,点A到直线PF的距离是1. x轴于点R,设△PBQ,△BF2Q,△AF2Q的面积分别为S1,S2,S. (i)求CE的长度； (i)求直线CD与平面PAE所成角的正弦值. ①若直线1的斜率为2，求十 S2+S3 的值： ②是否存在直线l,使Q,R,F2,A四点共圆？若存在，试判断直线1的条数；若不存在，请说 明理由. 《高三·数学·训练一》第3页（共4页） 《高三·数学·训练一》第4页（共4页）