专题05：尺规作图七种题型 2026年中考数学三轮满分冲刺一卷过（江苏专用）

**基本信息** 尺规作图专项按七种题型系统分类，覆盖基础作图到综合应用，以题载法强化几何直观与空间观念 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |作等角|5题|含矩形、正方形背景|从基本作图到结合图形性质的等角构造| |角平分线|2题|无刻度直尺作图|依托等腰、圆内接三角形性质深化作图原理| |特殊三角形|4题|含等边、直角三角形|基本作图与三角形判定定理的融合应用| |特殊四边形|5题|平行四边形、正方形|平移、对称等变换思想的作图实践| |相似与变换|2题|矩形、60°角四边形|相似判定与比例线段的作图转化| |圆相关|3题|切线、外接圆|圆的性质与基本作图的综合运用| |网格作图|5题|格点三角形、四边形|利用网格特性简化作图逻辑|

2026年高考数学三轮满分冲刺一卷过（江苏专用） 专题05 尺规作图七种题型 1.如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于EF的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M，若∠ACD＝110°，则∠CMA的度数为（　　） A.30°　　　B.35°　　　C.70°　　　D.45° , 【答案】B　　　 2.任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示.若连接EH，HF，FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（　　） A.△EGH为等腰三角形 B.△EHF为等腰三角形 C.四边形EGFH为菱形 D.△EGF为等边三角形 , 【答案】D 3. 如图,数轴上点A所表示的实数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出斜边的长，再根据圆的性质可得点A到-1的距离为斜边的长，再写出点A表示的数即可． 【详解】由勾股定理，得斜边的长为， 由圆的性质可知，点A到-1的距离为， 故点A表示的数为， 故选B． 【点睛】本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出斜边的长是解题关键． 4. 如图，在菱形中，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则的度数是________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合菱形的性质可得，再进行分类讨论：当点E在点A上方时，当点E在点A下方时，即可进行解答． 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴， 连接， ①当点E在点A上方时，如图， ∵，， ∴， ②当点E在点A下方时，如图， ∵，， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和以及三角形的外角定理，解题的关键是掌握菱形的对角线平分内角；等腰三角形两底角相等，三角形的内角和为；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 5. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为________． 【答案】（2，0） 【解析】 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 所以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示， 则圆心是（2，0）， 故答案为：（2,0）． 6. 如图，中，，，进行如下操作：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于M、N两点；②分别以点 M、N为圆心，以适当的长度为半径作弧，两弧交于点P；③作射线交于点E，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图——作角平分线，平行四边形的性质，等角对等边等，根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得到，的长，进而得到的长．理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 7. 如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为（   ） A.                B.               C.                                         D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图的方法得出△OBC是等边三角形，进而利用特殊角的三角函数值求出答案． 【详解】 解：连接BC， 由题意可得：OB=OC=BC， 则△OBC等边三角形， 故sin∠AOC=sin60°=． 故选D． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及基本作图方法，正确得出△OBC是等边三角形是解题关键． 8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：连接CD，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴AB=2BC=8． ∵作法可知BC=CD=4，CE是线段BD的垂直平分线，∴CD是斜边AB的中线，∴BD=AD=4，∴BF=DF=2，∴AF=AD+DF=4+2=6．故选B． 考点：作图—基本作图；含30度角的直角三角形． 9. 如图，△ABC中，，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点F，交于点G，分别以点F、G为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点D，分别以点B、D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，连接．则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形两底角相等与，得到，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，得到，推出，得到，推出，C正确；根据等角对等边得到，，根据三角形外角性质得到，得到，推出，B正确；根据三角形三边的关系得到，则，A错误；易证，得到，设，则，代入即可求得，D正确． 【详解】解：∵中，，， ∴， 由作图知，平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，，故C结论正确，不符合题意； ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故B结论正确，不符合题意； ∵，， ∴，即，故A结论错误，符合题意； ∵，， ∴， ∴， 即， 设，则， ∴， 解得（舍去），， ∴，故D结论正确，不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查角平分线和垂直平分线的尺规作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，平行线的判定及性质，相似三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 题型一、作两个角相等 1. 如图，已知三角形，在边上求作一点，在边上求作一点，使． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，同位角相相等，两直线平行，先以点B为圆心任意长为半径画弧，在上取一点M，再以点M为圆心，以为半径画弧，交于点E，然后以点E为圆心，以为半径画弧，交弧于点G，连接，交于点N，可知，即． 【详解】解：如图，直线即为所求． 2. 如图，矩形中，，E是边上的一点，点P在边上，且满足． （1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P（不要求写作法，但保留作图痕迹）； （2）若，试确定的长． 【答案】（1）见解析 （2）2或8 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，直径所对的圆周角是直角等等，解决本题的关键是掌握矩形的性质． （1）可证明，则点P在以为直径的圆上；连接，作的垂直平分线，以为直径画圆，交于点和，则点和即为所求； （2）根据矩形性质和，可以证明，对应边成比例进而可得的长． 【小问1详解】 解： 如图，连接，作的垂直平分线，以为直径画圆，交于点和，则点和即为所求； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在以为直径的圆上； 【小问2详解】 解：∵矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴ 解得或， ∴的长为2或8． 3. 如图，已知正方形，点E是边上的一点，连接． （1）请用尺规作图的方法在线段上求作一点F，使得(不写作法，保留作图痕迹)； （2）在（1）的条件下，若，则的长为______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法，过点C作，垂足为点F，再根据四边形的内角和，即可证得． （2）先用勾股定理求出，再证明，从而得到，继而得解． 【小问1详解】 解：如图：过点C作，垂足为点F，点F即为所求的点， 补充证明过程如下：四边形是正方形， ， ， ， ． 【小问2详解】 ∵四边形ABCD是正方形， ∴， ， ∴， 又∵， ∴， 又由作图可知：， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，即 ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了基本作图—过直线外一点作已知直线的垂线，四边形的内角和定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识点，作出点F和利用相似三角形对应边成比例求解是解决本题的关键． 4.用无刻度的直尺和圆规作图．（保留作图痕迹并写出必要的文字说明） 已知点E是矩形的边上的一个定点． (1)如图1，在边上求作点P，使； (2)如图2，若，在边上求作点Q，使，并求出的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解， 【分析】本题考查了轴对称的性质、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用轴对称将角的等量关系转化为直线交点问题，再利用相似三角形求解线段长度： (1)作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求；由对称性得，由矩形中得，从而； (2)作法与（1)相同，作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求；由，证，得，设，解得． 【详解】（1）解：作点关于直线的对称点，连接，交于点，则点即为所求． 理由：由对称性， ∵， ； （2）解：作点关于直线的对称点,连接交于点，则点即为所求． 是关于的对称点，， ， 在矩形中， 共线，在的延长线上，即共线， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ， ． 5.如图，在正方形中，点是上的一点，是边的中点，连接． (1)请用无刻度的直尺及圆规，在上找一点，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由于和分别在正方形一组对边上，所以考虑先在边上作，最后利用“两直线平行，内错角相等”，易得； （2）延长交的延长线于点，过点作于点，根据已知边长，易求出正方形的边长，根据正方形对边平行，利用平行的性质易证，即可求出的长；设，则，求出的长，再根据“等角对等边”证得，再证四边形为矩形，得出直角三角形两直角边长，最后根据勾股定理列方程即可求出的长． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，延长交的延长线于点，过点作于点， ， ，， 四边形是正方形， ，， 点是的中点， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图——结合平行线的性质作一个角等于已知角，正方形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 题型二、作角的平分线 6. 请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． （1）如图1，△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC边上，且AD＝AE，作出∠BAC的角平分线AF； （2）如图2，四边形BCED中，BD＝CE，∠B＝∠C，M为BC边上一点，在BC边上作一点N，使CN＝BM． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接BE、CD相交于P，连接AP并延长交BC于F，AF为∠BAC的角平分线； （2）延长BD、CE相交于A，连接BE、CD相交于P，连接AP并延长交BC于点F，连接EM交AF于点O，连接DO并延长交BC于N，则CN=BM． 【详解】解：（1）如图所示，AF为∠BAC的角平分线： 在△ADC和△AEB中，, ∴△ADC≌△AEB(SAS)， ∴∠ACD=∠ABE， ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB， ∴∠PBC=∠PCB， ∴PB=PC， 在△APC和△APB中，, ∴△APC≌△APB(SSS)， ∴∠PAB=∠PAC， 即AF为∠BAC的角平分线； （2）如图所示，点N即为所求作： 由（1）得AF为∠BAC的角平分线，又AB=AC， ∴AF为线段BC的垂直平分线， ∴OM=ON， ∴FM=FN， ∴CN=BM． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定与性质，线垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定和性质． 7. 请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） （1）如图1，内接于，，请在图中画一个含有圆周角的直角三角形； （2）如图2，为的内接三角形，D是的中点，E是的中点，请画出的角平分线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图−应用与设计，圆周角定理，三角形的重心，角平分线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）连接，，延长交于，即为所求； （2）连接，交于点，连接并延长交于，连接并延长交于，连接，则射线即为所求． 【小问1详解】 解：连接，，,由圆周角定理可知， ∵， ∴， 延长交于，即为所求； 【小问2详解】 连接，交于点，连接并延长交于，连接并延长交于，连接， ∵D是的中点，E是的中点， ∴为的重心，则为中边上的中线， ∴为的中点， ∴垂直弦且平分， ∴， 则射线即为所求． 题型三、作等腰三角形、等边三角形、直角三角形 8. 如图，在平行四边形中，用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图，在边上找一点，使得； （2）如图，在边上找一点，使得． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的作法和性质，掌握以上知识点是解题的关键． （）在的延长线上截取，可得，由可得，即可得，故点即为所求； （）作的垂直平分线，交于点，可得，即得，故点即为所求； 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，点即为所求． 8. 如图1，在中，为边上一点． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在上找一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分析出在上找一点，使，就是以为边尺规作图作等边三角形，延长，以点为圆心、为半径画弧，交射线于点，使，再以点为圆心、为半径画弧，交边于点，在中，，，即可得到； （2）过点作，如图所示，在和，结合直角三角形性质及勾股定理求出相关角度及边长即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，，若，如图所示： ，且， 即在上找一点，使，就是以为边尺规作图作等边三角形， 点即为所求； 【小问2详解】 解：过点作，如图所示： 在中，，，则， 设， 在中，，则， 由勾股定理可得， ，， ，解得， 则． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及尺规作图-作等边三角形、含的直角三角形性质、等腰直角三角形判定与性质、勾股定理等知识，读懂题意，熟练掌握尺规作图-作等边三角形、勾股定理求线段长是解决问题的关键． 9.如图，已知矩形，，． (1)点E在矩形内部，为等边三角形，请在图1中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点E； (2)点P为线段上一点，若，请在图2中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点P； (3)若符合（2）中要求的点P必定存在，则m的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）分别以点A，B为圆心，为半径画弧，两弧的交点即为点E； （2）作等边三角形，，交于O，以O为圆心，为半径画圆，交于，点即为所求； （3）找出两个临界位置，①当点分别与点重合时，此时点重合；②当点重合时，此时与相切，根据矩形的性质，然后解直角三角形进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，为等边三角形，点E即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求； 理由如下：在等边三角形，，矩形中，有 ， ∴， ∴． （3）解：①当点分别与点重合时，此时点重合，如图： ∵四边形是矩形， ∴， 由（2）知， ∴； ②当点重合时，此时与相切，连接并延长交于点， ∴， ∵矩形中，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴符合（2）中要求的点P必定存在，则m的取值范围是． 题型四、作平行四边形、矩形、菱形 10. 如图，C为线段外一点． （1）在图1中，求作四边形，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若在（1）的四边形中，相交于点O，则与的面积比为 ．（可用图2作图分析，不要破坏（1）中作图） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图，相似三角形的判定和性质，关键是掌握基本作图：作一个角等于已知角；相似三角形面积的比等于相似比的平方． （1）由基本作图：作一个角等于已知角，即可作出，在上截取，即可得到所要作的四边形． （2）由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可计算． 【小问1详解】 解：如图1，四边形即为所求作的四边形， 【小问2详解】 解：如图2， ， ， ， ， 与的面积比为． 故答案为：．． 11. 如图，中，，用尺规作图作出正方形，其中点D在边上，点E在边上，点F在边上 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查作图﹣复杂作图，正方形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．作平分交与点E，过点E作与点F，与点D，四边形即为所求． 【详解】解：如图，正方形即为所求． .12 几何作图 （1）如图1，图2，在中，点D是边上一点，请用无刻度直尺和圆规，在边求作一点E，使；试利用图1，图2用两种不同作法作出点E；（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图3，在正方形网格中，A、B、C均为网格线的交点，D为与一条水平网格线的交点，仅用无刻度的直尺在上求作一点E，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定、作一个角等于已知角及平行四边形的判定与性质； （1）方法一：作，与的交点即为所求作点；方法二：以为圆心为半径作弧，再以为圆心为半径作弧，两弧交于点F，连接，与的交点为点E，根据题意得出四边形是平行四边形，则，故点E即为所求作点； （2）取格点M，连接与格线交于点N，连接交于点E，则四边形是平行四边形，则，故点E即为所求作点； 【小问1详解】 解：方法一：点E即所求作点； 方法二：点E即为所求作点； 理由如下：， 四边形是平行四边形， ； 【小问2详解】 解：点E即为所求作点； 13. 已知是等边三角形 （1）正方形内接于（正方形四个顶点都在三角形的边上，其中在上），请在图中作出点、，尺规作图，保留作图痕迹，并简要写出作图步骤； （2）写出（1）中的的边长与正方形的边长比值为______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作的平分线交于点，再作的平分线交于点，然后以点为圆心，以为半径作交于点，则点，为所求作的点； （2）在中，设，根据得，则，进而得，由此即可得出的边长与正方形的边长比值． 【小问1详解】 ①作的平分线交于点， ②作的平分线交于点， ③以点为圆心，以为半径作交于点， 则点，为所求作的点，如图1所示： 理由如下： 过点，作的垂线交于点，交于点，连接，如图2所示： ，， 是等边三角形， ， 是的平分线， ，，， 由作图可知：， ， ， 在△和△中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， 平行四边形是矩形，， 是等边三角形， ， 是的平分线， ， 在中，， ， ， ， ， 矩形是正方形， 点，为所求作的点； 【小问2详解】 在中，设， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ． 的边长与正方形的边长比值为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，正方形的判定和性质，尺规作图，理解等边三角形的性质，熟练掌握正方形的判定和性质，尺规作图，全等三角形的判定和性质，含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 题型五、相似与黄金分割、图形变换 14. 在四边形ABCD中，P为CD边上一点，且△ADP∽△PCB，分别在图①和图②中用尺规作出所有满足条件的点P．（保留作图轨迹，不写作法） （1）如图①，四边形ABCD是矩形； （2）如图②，在四边形ABCD中，∠D＝∠C＝60°． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）作AB的中垂线，得到中点，再以AB为直径作圆，与CD的交点即为所求作的点，由直径所对的圆周角为90°，及一线三等角模型可得△ADP∽△PCB； （2）以AB为边向下作等边三角形，作这个等边三角形的外接圆，圆与线段CD的交点即为所求的点． 【小问1详解】 解：如图①中， △ADP∽△PCB，△AD∽△CB， 点P、即为所求； 【小问2详解】 （2）如图②中， △ADP∽△PCB，△AD∽△CB， 点P、即为所求． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，涉及直径所对的圆周角是90°、三角形的外接圆等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 15.如图，在中． (1)用尺规作图在边上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）利用尺规作图，作出，推导出，得到，则，即可解答； （2）先求出，得到，由，得到，求出，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为所求． 理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴， 即， 解得． 题型六、圆的相关作图 16.如图，的边上有一点． (1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，用无刻度直尺和圆规在线段的延长线上求作点，使以点为圆心，长为半径的圆与相切，切点为；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，与相交于两点，以该两点为圆心任意长为半径画弧，两弧相交于一点，过点与该点作射线，与的交点即为点； （2）作的角平分线交于点，再以为圆心，为半径作圆，与相切于点，即为所求； （3）在中，利用锐角三角函数结合勾股定理可求得，长，从而可得，长，设，在中，利用勾股定理列式解方程即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作的垂线，垂足点即为所求； （2）解：如图，作的角平分线交于点，再以为圆心，为半径作圆，与相切于点，即为所求； 点在的角平分线上，，， ， 为半径， 是的切线，切点为； （3）解：中，，， ，， ， ， 设，则， 在中，， ，解得， 即的半径长为． 17.如图，在中，，，． (1)尺规作图：作，使得圆心在边上，经过点并且与边相切；（不写作法，保留痕迹） (2)是边上一点（点不与点重合），若以为直径的圆与边有两个公共点，则长的取值范围是________． 【答案】(1)图形见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线、作垂直平分线、切线的判定、相似三角形的判定与性质、圆周角定理及勾股定理，熟练掌握相关性质是解题关键． （1）作的角平分线，交于，作的垂直平分线，交于，以为圆心，为半径画圆，则即为所求； （2）当与相切时，利用勾股定理求出，设，根据得出，根据相似三角形的性质可求出的值，当点与点重合时，根据圆周角定理可得点在，即可得答案． 【详解】（1）解：如图，作的角平分线，交于，作的垂直平分线，交于，以为圆心，为半径画圆，则即为所求． ∵点是垂直平分线与的交点， ∴，点在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）解：如图所示： 当与相切时，与有一个交点， ∵，，， ∴， 设，则， 由（1）可知，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 当点与点重合时， ∵，为直径， ∴点在上，与有两个交点，符合题意， ∴长的取值范围是． 18. 如图1，在中， （1）尺规作图：在图1中作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，，，则的半径______． 【答案】（1）作图见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作垂线，角平分线，解直角三角形的计算，掌握以上知识是关键． （1）延长，过点作交延长线于点，作的角平分线交于点，以点为圆心，以为半径画圆交于点，即可； （2）如图所示，过点作于点，连接，可得是等腰直角三角形，，根据解直角三角形的计算得到，则，在中，，列式得，即可求解． 小问1详解】 解：如图所示， 作，平分，连接， 假设， ∴， ∴， ∴，即点在圆上，且是圆的半径， ∴假设成立， ∴过点且与边相切于点； 小问2详解】 解：如图所示，过点作于点，连接， ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵与切于点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∵， ∴， 故答案为：． 题型七、网格中作图 19. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段两端点、都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中完成画图． （1）在图中，画出，使，； （2）在（1）条件下，在边上画出点，使； （3）在（2）条件下，的面积是________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图应用与设计作图，等腰直角三角形，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据等腰直角三角形的定义画出图形； （2）取格点，，，连接，交于点，连接交于点，点即为所求（由，推出，推出）； （3）利用平行线等分线段定理解决问题即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； ； 【小问2详解】 解：如图，点即为所求； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ， ． 故答案为：． 20. 如图，方格纸上的小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点均在格点上（两条网格线的交点叫格点）．仅用无刻度直尺完成下列问题： （1）在网格中找出格点D，连接，并使，且C、D在两侧； （2）在网格中作的平分线，E点在边上； （3）设的垂足为M，在边上画出点N，使得点N与点M关于对称． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理和勾股定理的逆定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等： （1）如图所示，取格点D，连接，点D即为所求； （2）如图所示，取格点H，连接交于E，点E即为所求； （3）如图所示，取与格线的交点F，取格点G，连接交格线于N，点N即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，取格点D，连接，点D即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，取格点H，连接交于E，点E即为所求； 易证明是直角三角形，进而可证明，则； 【小问3详解】 解：如图所示，取与格线交点F，取格点G，连接交格线于N，点N即为所求； 易求得，而，则可求出，则点M与点N关于对称． 21. 小华和小明探究一道作图题：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，的顶点A，B，C都在格点上．请仅用无刻度的直尺，在边上求作一点，使．小华和小明分别给出了作法，请判断是否正确，并选择一个人的作法说明理由． 【答案】小华的作图正确；小明的作图正确；理由见解析 【解析】 【分析】选择小华说理：如图，取格点，连接，利用菱形的判定和性质即可进行判断；选择小明说理：结合图形，利用相似三角形的判定和性质即可证明． 【详解】解：小华的作图正确；小明的作图正确； 选择小华说理： 如图，取格点，连接． 在中，， 同理， ． ∴四边形ABCD是菱形． ，即； 选择小明说理： ， ． ． ， ． ． ． 1. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：为锐角三角形． 求作：在右上方确定点，使，且． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图一复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 在是上方作，过点C作于点即可． 【详解】图形如图所示： 2. 如图，在中，． (1)尺规作图：求作点D，使得；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若与交于点P，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图作一个角等于已知角，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在的右侧作，在的上方作，射线，交于点D即可； （2）设，，利用相似三角形的性质构建方程求解． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：设， ， ， ，， ， ， ， 解得，， 经检验，是分式方程的解， ． 3. 如图，已知． (1)在图1中用无刻度的直尺和圆规在上找一点使得，再作出的内切圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）条件下，若，，则的半径为______． 【答案】(1)见解析；(2) 【详解】（1）解：如图，D点和O点即为所求； （2）解：如图，设与的交点为E 由（1）作图可知为边的垂直平分线， ∴, ， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r， 则， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 4. 如图，已知点是矩形中边的中点，连接． (1)分别在、边上求作点、点，使得点关于的对称点恰好落在线段上；（请保留作图痕迹，不需要写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求． 【答案】(1)见解析；(2)16 【详解】（1）解：如图：点P、点即为所求； （2）解：连接， ∵点是边的中点，， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 在中，根据勾股定理可得：， ∴，解得：， ∴． 5. 如图，已知，． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） ①作的高，垂足为D； ②在上求作点E，使． (2)在（1）的条件下，当，时，则的长为______．（如需画草图，请使用图2） 【答案】(1)①见解析 ②见解析；(2) 【详解】（1）①以C为圆心，以与有两个交点的长为半径画弧，分别以交点为圆心，以大于两交点之间的距离为半径画弧，二弧交于一点，过交点，点C作直线与交于点D， 则即为所求； ②解：作的垂直平分线，交于点F，以F为圆心，为半径作，交于点E，连接 则， 故点E即为所求． （2）解：∵为三角形的高，为直径，，， ∴，， ∴，， ∵ ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， 设， ∴， ∴， ∵为三角形的高，为直径，，， ∴，， ∴， 整理，得， 解得（舍去）， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6.如图，矩形中，． (1)求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求（1）中所作的正方形的边长． 【答案】(1)见解析;(2) 【分析】（1）作的中垂线交于点，交于点，以为直径画圆，交于点，即可得到正方形； （2）勾股定理求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，再根据正方形的性质，结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，四边形就是所求作的正方形． 由作图可知，，， ∵矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由作图可知，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； （2）由（1）知：，， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ． ， ． 又， ， ，即， ． 在中，， ， ∴正方形EFGH的边长为． 【点睛】本题考查尺规作图、矩形的性质、线段垂直平分线的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，考查推理能力、运算能力、几何直观与空间观念，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 7.（1）图1是在Rt△ABC中，∠B＝90°，用直尺和圆规作矩形ABCD，作法是“以点A为圆心，BC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D“，请判断所作的四边形ABCD是不是矩形，并说明理由． （2）如图2，在矩形ABCD的边AB上任取一点E，O是AC中点，在BC、CD、DA上各找一点F、G、H，使得四边形EFGH是菱形．（要求：利用直尺和圆规，作出图形，保留作图痕迹） 优网版权所有 【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； （2）连接EO，延长EO交CD于点G，作线段EG的垂直平分线，交AD于点H，交BC于点F，连接EF，FG，GH，EH，四边形EFGH即为所求（根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明） 【解答】解：（1）如图1中，四边形ABCD是矩形． 理由：∵AD＝BC，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠B＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）四边形EFGH即为所求． 8.如图，四边形ABCD是平行四边形，E为AB上一点． （1）如图①，只用无刻度直尺在CD上作出点F，使得四边形AECF为平行四边形； （2）如图②，用直尺和圆规作出矩形EFGH，使得点F、G、H分别在BC、CD、DA上．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【分析】（1）连接AC，BD交于点O，连接OE，延长EO交CD于点F，点F即为所求作． （2）连接AC，BD交于点O，连接OE，延长EO交CD于点G，以O为圆心OG为半径作弧交BC于点F，延长FO交AD于点H，连接EF，FG，GH，EH，四边形EFGH即为所求． 【解答】解：（1）如图1，点F，四边形AECF即为所求作． （2）如图2，四边形EFGH即为所求作． 理由：由△AOE≌△COF，可得OE＝OF， 由△AOH≌△COF．可得OH＝OF， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵OG＝OF， ∴FH＝EG， ∴四边形EFGH是矩形． 9.如图，已知△ABC，AP平分∠BAC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）． （1）作菱形AMPN，使点M，N分别在边AB、CA上，并根据你的作法证明你的结论； （2）若∠C＝90°，AB＝8，BP＝4，求（1）中所作菱形AMPN的面积． 【分析】（1）作线段AP的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，连接PM、PN得四边形AMPN即为所求菱形，通过证明四条边相等即可证明； （2）由四边形AMPN是菱形、∠C＝90°，可得△BPM为直角三角形，通过勾股定理求得PB、PM、BM的长度，再由相似三角形求得PC的长度，最后由AN•PC求得AMPN的面积． 【解答】解：（1）作线段AP的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，连接PM、PN得四边形AMPN即为所求菱形， 证明：∵MN是AP的垂直平分线， ∴AN＝PN，AM＝PM，∠AON＝∠AOM＝90°， ∵AP平分∠BAC， ∴∠NAO＝∠MAO， ∵AO＝AO ∴△AON≌△AOM（ASA）， ∴AN＝AM， ∴AN＝PN＝PM＝AM， ∴四边形AMPN是菱形； （2）∵四边形AMPN是菱形， ∴AN＝PN＝PM＝AM，PM∥AC， ∵∠C＝90°，AB＝8，BP＝4， ∴∠BPM＝∠C＝90°， 设AN＝PN＝PM＝AM＝x，则BM＝8﹣x， 由勾股定理得：BM2＝PM2+BP2， ∴（8﹣x）2＝x2+42， 解得：x＝3， ∴BM＝8﹣3＝5， ∵PM∥AC， ∴，即， 解得：BC， ∴PC＝BC﹣BP4， ∴菱形AMPN的面积＝AN•PC＝3． 10.已知直线l和直线外一点A，只利用圆规完成以下作图．（保留作图痕迹，不写画法） （1）图①中，作点B，使AB∥l； （2）图②中，作点B、C、D，使A、B、C、D为矩形的四个顶点． 【分析】（1）在直线l上任意取点M、N，再分别以点A、N为圆心，MN、AM的长为半径画弧，两弧相交于B点，则AB∥直线l； （2）在直线l任意取点O，以O点为圆心，OA为半径作圆交直线l于E、F，然后分别以E、F为圆心，EA为半径画弧交⊙O于B、C、D． 【解答】解：（1）如图①，点B为所作； （2）如图②，矩形ABCD为所作． 11. 已知是等边三角形 （1）正方形内接于（正方形四个顶点都在三角形的边上，其中在上），请在图中作出点、，尺规作图，保留作图痕迹，并简要写出作图步骤； （2）写出（1）中的的边长与正方形的边长比值为______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作的平分线交于点，再作的平分线交于点，然后以点为圆心，以为半径作交于点，则点，为所求作的点； （2）在中，设，根据得，则，进而得，由此即可得出的边长与正方形的边长比值． 【小问1详解】 ①作的平分线交于点， ②作的平分线交于点， ③以点为圆心，以为半径作交于点， 则点，为所求作的点，如图1所示： 理由如下： 过点，作的垂线交于点，交于点，连接，如图2所示： ，， 是等边三角形， ， 是的平分线， ，，， 由作图可知：， ， ， 在△和△中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， 平行四边形是矩形，， 是等边三角形， ， 是的平分线， ， 在中，， ， ， ， ， 矩形是正方形， 点，为所求作的点； 【小问2详解】 在中，设， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ． 的边长与正方形的边长比值为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，正方形的判定和性质，尺规作图，理解等边三角形的性质，熟练掌握正方形的判定和性质，尺规作图，全等三角形的判定和性质，含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 12.根据要求利用“圆规和无刻度直尺”完成作图． (1)作的一个内接等边三角形； (2)作的一个外切直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先任意作一条直径，再分别以直径的端点为圆心，的半径为半径画与相交的弧，间隔一个弧连接可得等边； （2）过M作直线，交于D，过D作的垂线，过M作的垂线，交于E，过E作的垂线交于C，作射线交于F，过F作的垂线交于A，交于B，则即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求： 作图理由：由作图痕迹得， ∴，则为等边三角形； （2）解：如图，即为所求： 作图理由： 由作图痕迹，，又是的半径， ∴与相切， ∵， ∴， ∵，是的半径， ∴与相切，， 同理与相切， ∴为的一个外切直角三角形． 13.按照要求进行尺规作图（保留作图痕迹，不写作图过程） (1)在图①中作正方形，且顶点都在圆上． (2)在图②中将圆的面积6等分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在圆上任意找一点A，作弦，，分别作，的垂直平分线，则两条垂直平分线的交点即为圆心O，作直径，过点O作的垂直平分线，与交于B、D两点，顺次连接A、B、C、D，则四边形即为所求作的正方形． （2）根据解析（1）的方法，先找出圆心O，然后在上任意找一点A，以点A为圆心为半径画弧，交于点B，然后以点B为圆心为半径画弧，交于点C，依次找出点D、E、F，连接、、、、、，即可将圆的面积6等分． 【详解】（1）解：如图，正方形即为所求； （2）解：如图所示： 14.如图，AB是⊙O的直径，AB=2. （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：作⊙O的内接正六边形ACDBEF． （2）在（1）的条件下，直线PE与⊙O相切于点E，交AB延长线于点P，求PB、PE和所围成的图形面积． 【答案】（1）作图见解析； （2）PB、PE和所围成的图形面积为 【详解】分析;(1)以圆的半径长为半径以此在圆上画弧,然后再连接即可.(2)由正六边形边长BE所对的圆心角为60°，可求出扇形BOE的面积， 解：（1）作图略        （2）连结OE       ∵PE切⊙O于E       ∴∠OEP=90°       ∵正六边形ACDBEF内接于⊙O       ∴∠EOB=60°       ∴       ∵∠EOB=60°，∠OEP=90°       ∴tan60°=       ∵ EO=1       ∴EP=       ∴       ∴ 15.尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）结合菱形的判定，以点D为圆心，的长为半径画弧，交为点E，再分别以点E、点A为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点F，连接、、即可； （2）作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得，以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E，再作，作直线，分别交于点、，即可求解． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求， （2）解：如图，点、即为所求， 【点睛】本题考查作图−复杂作图、菱形的判定、矩形的性质、垂直平分线的性质，理解题意、灵活运用相关知识是解题的关键． 16.如图，已知矩形． (1)用无刻度的直尺和圆规在图1中求作，使与边、分别相切于点、；（保留作图痕迹） (2)用无刻度的直尺和圆规在图2中求作，使经过、两点且与边相切于点；（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了作图，作圆，作垂直平分线，矩形的性质，切线的性质等知识，作出垂直平分线是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线交于点P，以点P为圆心，为半径画圆即可． （2）按照要求作图即可． 【详解】（1）解：即为所求， ∵四边形是矩形， ∴ 由作图得出且为的半径， ∴都是的切线 故与边、分别相切于点、； （2）解：①作线段的垂直平分线分别交于点E，交于点； ②作线段的垂直平分线交于点Q； ③以Q为圆心，长为半径作， 如下：即为所求． ∵经过、两点， ∴点在的垂直平分线上， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 则点为切点，故在圆上， ∴是圆的弦， ∴作出弦的垂直平分线，与上述的垂直平分线交于一点即为点（圆心是两条不重合的弦的垂直平分线的交点） 17.如图，在中，点C是边上的一点， (1)请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，在边上作一点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若，． ①求证：． ②当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据三角形外角的性质得出，然后作图即可； （2）①根据等腰三角形的性质得出，确定，再由垂直得出，利用三角形内角和得出，即可证明；②过点A作，得出，设，则，，确定，由（1）得，利用正切函数及勾股定理确定，再由圆内接四边形的性质及相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，作，交于点D，即为所求； ∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过点A作，如图所示， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，半圆上的点均落在格点上．请按下列要求完成作图：要求一：仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：保留作图痕迹． (1)在图中作出弧的中点D． (2)连结，作出的角平分线． (3)在上作出点P，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连与网格线交于一格点，以O为端点，作射线与圆弧交于点D， （2）作射线，则即是的角平分线， （3）连结并延长，交的延长线于点与交于点F，连结并延长交于点P，则． 本题考查了无刻度直尺作图，垂径定理，圆周角定理，角平分线的性质定理，解题的关键是：熟练掌握无刻度直尺作图，与相关定理的结合． 【详解】（1）解：由格点可知为中点，根据垂径定理可得，点D为弧的中点，点D即为所求， （2）解：∵点D为弧的中点， 根据圆周角定理，可得，即为所求， （3）解：∵为直径， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，作图如下： ． 19. 如图，在8×8的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请按要求完成下列作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹． (1)在图甲中，画出的边上的中线； (2)在图乙中， 找一点 P，连接线段 ，使得 平分． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质， （1）在图中取格点并连接对应的线段，即可得到三角形的全等，结合其性质即可知，连接即可； （2）根据网格可知，在上取格点长为5，即可得到等腰三角形，利用网格即可找到等腰三角形底边的中点，连接即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， 20. 网格作图问题： 【问题背景】如图，在边长为的小正方形网格中的顶点均落在格点上，现要求用无刻度的直尺在上找一点，使得． 以下是小金、小帆和老师的对话： 小金：如图，我在点左侧找到一个点，然后将这个点和连结，与的交点即为所求． 小帆：按照你的思路，我也可以在点的正上方找到一个点，然后将这个点…… 老师：由，我们可以得到是等腰三角形，那么我们能不能利用等腰三角形，来找到点呢？ 小金：哦…我明白了！ (1)请你按照小帆的作法，在图中用无刻度的直尺作出点．（保留作图痕迹） (2)请你按照老师的提示，在图中用无刻度的直尺作出点．（保留作图痕迹） 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析． 【分析】（1）根据勾股定理可得，取格点、，连接构造一组相似三角形，即，则，即此时点满足； （2）先构造等腰，作边中线，根据三线合一定理可知，再作，可证，则有，有，即此时点满足． 【详解】（1）解：如图，取格点、，连接交于点，点即为所求： （2）解：取格点，连接，取的中点，连接， 取格点，使，交于点，点即为所求： 【点睛】本题考查的知识点是作图—应用与设计作图，勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相关知识点并用于设计作图． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学三轮满分冲刺一卷过（江苏专用） 专题05 尺规作图七种题型 1.如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于EF的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M，若∠ACD＝110°，则∠CMA的度数为（　　） A.30°　　　B.35°　　　C.70°　　　D.45° , 2.任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示.若连接EH，HF，FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（　　） A.△EGH为等腰三角形 B.△EHF为等腰三角形 C.四边形EGFH为菱形 D.△EGF为等边三角形 , 3. 如图,数轴上点A所表示的实数是（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，在菱形中，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则的度数是________． 5. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为________． 6. 如图，中，，，进行如下操作：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于M、N两点；②分别以点 M、N为圆心，以适当的长度为半径作弧，两弧交于点P；③作射线交于点E，则的长为________． 7. 如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为（   ） A.                B.               C.                                         D. 8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 如图，△ABC中，，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点F，交于点G，分别以点F、G为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点D，分别以点B、D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，连接．则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 当时， 题型一、作两个角相等 1. 如图，已知三角形，在边上求作一点，在边上求作一点，使． 2. 如图，矩形中，，E是边上的一点，点P在边上，且满足． （1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P（不要求写作法，但保留作图痕迹）； （2）若，试确定的长． 3. 如图，已知正方形，点E是边上的一点，连接． （1）请用尺规作图的方法在线段上求作一点F，使得(不写作法，保留作图痕迹)； （2）在（1）的条件下，若，则的长为______． 4.用无刻度的直尺和圆规作图．（保留作图痕迹并写出必要的文字说明） 已知点E是矩形的边上的一个定点． (1)如图1，在边上求作点P，使； (2)如图2，若，在边上求作点Q，使，并求出的长． 5.如图，在正方形中，点是上的一点，是边的中点，连接． (1)请用无刻度的直尺及圆规，在上找一点，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，则的长为 ． 题型二、作角的平分线 6. 请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． （1）如图1，△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC边上，且AD＝AE，作出∠BAC的角平分线AF； （2）如图2，四边形BCED中，BD＝CE，∠B＝∠C，M为BC边上一点，在BC边上作一点N，使CN＝BM． 7. 请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） （1）如图1，内接于，，请在图中画一个含有圆周角的直角三角形； （2）如图2，为的内接三角形，D是的中点，E是的中点，请画出的角平分线． 题型三、作等腰三角形、等边三角形、直角三角形 8. 如图，在平行四边形中，用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图，在边上找一点，使得； （2）如图，在边上找一点，使得． 8. 如图1，在中，为边上一点． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在上找一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求的长． 9.如图，已知矩形，，． (1)点E在矩形内部，为等边三角形，请在图1中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点E； (2)点P为线段上一点，若，请在图2中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点P； (3)若符合（2）中要求的点P必定存在，则m的取值范围是______． 题型四、作平行四边形、矩形、菱形 10. 如图，C为线段外一点． （1）在图1中，求作四边形，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若在（1）的四边形中，相交于点O，则与的面积比为 ．（可用图2作图分析，不要破坏（1）中作图） 11. 如图，中，，用尺规作图作出正方形，其中点D在边上，点E在边上，点F在边上 .12 几何作图 （1）如图1，图2，在中，点D是边上一点，请用无刻度直尺和圆规，在边求作一点E，使；试利用图1，图2用两种不同作法作出点E；（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图3，在正方形网格中，A、B、C均为网格线的交点，D为与一条水平网格线的交点，仅用无刻度的直尺在上求作一点E，使．（保留作图痕迹，不写作法） 13. 已知是等边三角形 （1）正方形内接于（正方形四个顶点都在三角形的边上，其中在上），请在图中作出点、，尺规作图，保留作图痕迹，并简要写出作图步骤； （2）写出（1）中的的边长与正方形的边长比值为______． 题型五、相似与黄金分割、图形变换 14. 在四边形ABCD中，P为CD边上一点，且△ADP∽△PCB，分别在图①和图②中用尺规作出所有满足条件的点P．（保留作图轨迹，不写作法） （1）如图①，四边形ABCD是矩形； （2）如图②，在四边形ABCD中，∠D＝∠C＝60°． 15.如图，在中． (1)用尺规作图在边上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 题型六、圆的相关作图 16.如图，的边上有一点． (1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，用无刻度直尺和圆规在线段的延长线上求作点，使以点为圆心，长为半径的圆与相切，切点为；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的半径长． 17.如图，在中，，，． (1)尺规作图：作，使得圆心在边上，经过点并且与边相切；（不写作法，保留痕迹） (2)是边上一点（点不与点重合），若以为直径的圆与边有两个公共点，则长的取值范围是________． 18. 如图1，在中， （1）尺规作图：在图1中作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，，，则的半径______． 题型七、网格中作图 19. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段两端点、都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中完成画图． （1）在图中，画出，使，； （2）在（1）条件下，在边上画出点，使； （3）在（2）条件下，的面积是________． 20. 如图，方格纸上的小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点均在格点上（两条网格线的交点叫格点）．仅用无刻度直尺完成下列问题： （1）在网格中找出格点D，连接，并使，且C、D在两侧； （2）在网格中作的平分线，E点在边上； （3）设的垂足为M，在边上画出点N，使得点N与点M关于对称． 21. 小华和小明探究一道作图题：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，的顶点A，B，C都在格点上．请仅用无刻度的直尺，在边上求作一点，使．小华和小明分别给出了作法，请判断是否正确，并选择一个人的作法说明理由． 1. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：为锐角三角形． 求作：在右上方确定点，使，且． 2. 如图，在中，． (1)尺规作图：求作点D，使得；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若与交于点P，，，求的长度． 3. 如图，已知． (1)在图1中用无刻度的直尺和圆规在上找一点使得，再作出的内切圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）条件下，若，，则的半径为______． 4. 如图，已知点是矩形中边的中点，连接． (1)分别在、边上求作点、点，使得点关于的对称点恰好落在线段上；（请保留作图痕迹，不需要写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求． 5. 如图，已知，． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） ①作的高，垂足为D； ②在上求作点E，使． (2)在（1）的条件下，当，时，则的长为______．（如需画草图，请使用图2） 6.如图，矩形中，． (1)求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求（1）中所作的正方形的边长． 7.（1）图1是在Rt△ABC中，∠B＝90°，用直尺和圆规作矩形ABCD，作法是“以点A为圆心，BC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D“，请判断所作的四边形ABCD是不是矩形，并说明理由． （2）如图2，在矩形ABCD的边AB上任取一点E，O是AC中点，在BC、CD、DA上各找一点F、G、H，使得四边形EFGH是菱形．（要求：利用直尺和圆规，作出图形，保留作图痕迹） 优网版权所有8.如图，四边形ABCD是平行四边形，E为AB上一点． （1）如图①，只用无刻度直尺在CD上作出点F，使得四边形AECF为平行四边形； （2）如图②，用直尺和圆规作出矩形EFGH，使得点F、G、H分别在BC、CD、DA上．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 9.如图，已知△ABC，AP平分∠BAC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）． （1）作菱形AMPN，使点M，N分别在边AB、CA上，并根据你的作法证明你的结论； （2）若∠C＝90°，AB＝8，BP＝4，求（1）中所作菱形AMPN的面积． 10.已知直线l和直线外一点A，只利用圆规完成以下作图．（保留作图痕迹，不写画法） （1）图①中，作点B，使AB∥l； （2）图②中，作点B、C、D，使A、B、C、D为矩形的四个顶点． 11. 已知是等边三角形 （1）正方形内接于（正方形四个顶点都在三角形的边上，其中在上），请在图中作出点、，尺规作图，保留作图痕迹，并简要写出作图步骤； （2）写出（1）中的的边长与正方形的边长比值为______． 12.根据要求利用“圆规和无刻度直尺”完成作图． (1)作的一个内接等边三角形； (2)作的一个外切直角三角形． 13.按照要求进行尺规作图（保留作图痕迹，不写作图过程） (1)在图①中作正方形，且顶点都在圆上． (2)在图②中将圆的面积6等分． 14.如图，AB是⊙O的直径，AB=2. （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：作⊙O的内接正六边形ACDBEF． （2）在（1）的条件下，直线PE与⊙O相切于点E，交AB延长线于点P，求PB、PE和所围成的图形面积． 15.尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 16.如图，已知矩形． (1)用无刻度的直尺和圆规在图1中求作，使与边、分别相切于点、；（保留作图痕迹） (2)用无刻度的直尺和圆规在图2中求作，使经过、两点且与边相切于点；（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 17.如图，在中，点C是边上的一点， (1)请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，在边上作一点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若，． ①求证：． ②当时，求的值． 18. 如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，半圆上的点均落在格点上．请按下列要求完成作图：要求一：仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：保留作图痕迹． (1)在图中作出弧的中点D． (2)连结，作出的角平分线． (3)在上作出点P，使得． 19. 如图，在8×8的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请按要求完成下列作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹． (1)在图甲中，画出的边上的中线； (2)在图乙中， 找一点 P，连接线段 ，使得 平分． 20. 网格作图问题： 【问题背景】如图，在边长为的小正方形网格中的顶点均落在格点上，现要求用无刻度的直尺在上找一点，使得． 以下是小金、小帆和老师的对话： 小金：如图，我在点左侧找到一个点，然后将这个点和连结，与的交点即为所求． 小帆：按照你的思路，我也可以在点的正上方找到一个点，然后将这个点…… 老师：由，我们可以得到是等腰三角形，那么我们能不能利用等腰三角形，来找到点呢？ 小金：哦…我明白了！ (1)请你按照小帆的作法，在图中用无刻度的直尺作出点．（保留作图痕迹） (2)请你按照老师的提示，在图中用无刻度的直尺作出点．（保留作图痕迹） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $