专题04 填空压轴题（作图题5大题型，压轴题专项训练）2026年中考数学(天津专用)

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04填空压轴题 (作图题) 目录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴龈题型专练 题型01线段相关作图 题型02最值相关作图 题型03角相关作图 题型04三角形相关作图 题型05找圆心 模块三、综合实战演练 解题方法总述 模块一 一、线段相关作图的解题方法： 1.分析题目：先思考用什么定理能把题目要求转化为几何性质（如“作等边三角形”→“构造手拉手全等”）。 2.拆解步骤：把复杂的图形分解成2-3个基本操作，并在草稿纸上规划好关键点。 3.描点连线：严格遵循“只连格点或已知线交点”的规则，精确连线作答。 二、最值相关作图的解题方法： 1.识别模型与系数 2转换为可作图的几何变换根据识别出的模型，确定网格中可执行的构造步骤。 3.连线定位，检验合理性。 三、角相关作图的解题方法： 1.相似三角形法（最常用）·原理：如果两个三角形相似，对应角相等。通过构造格点直角三角形，利用 其边长比例关系，确定特定角度的正切(ta)值，从而实现角度复现。应用：作等角、作已知角。 2.等腰三角形法原理：等腰三角形底角相等，且“三线合一”可帮助构造对称或垂直关系。应用：作 角平分线（构造等腰后取底边中点）、作等角（利用等边对等角）。 3.圆周角/圆心角定理（辅助构造）·原理：同弧所对圆周角相等，直径所对圆周角为90°。应用：通 过构造圆（利用格点确定圆心和半径）来找等角或直角。 四、三角形相关作图的解题方法： 1/17 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 1. 明确目标，选择原理题中要求作“什么三角形”或“三角形的哪条线”？ 2.在网格中定位关键点。 3.用无刻度直尺精确连接。 五、找圆心的解题方法： 1垂径定理法，原理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。反过来，任意两条弦的中垂 线的交点就是圆心。在圆/弧上任取两条弦（或一条弦和一个弧上点）。分别作出每条弦的中垂线3.两条 中垂线的交点即为圆心。 2.圆周角定理法（利用90°）。直径所对的圆周角是90°：反之，若一个三角形的一条边是直径，则它所 对的角是直角。 压轴题型专练 模块二 题型01线段相关作图 1.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B均在格点上，点C在经过点A的圆上。 (1)线段AB的长为 (2)1为过点A且与圆相切的直线，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在直线1上画出点Q,使 QC=QA,并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） 2.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A在格点上，点B在格线上，以AB为直径作半圆，半 圆弧的中点为C. (1)∠CAB的度数为 (2)若点P在圆上，BP与AC相交于点Q,请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P,使 AP=BQ,并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 2/17 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 3.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上点A,B,C均是格点. B (I)线段AB+BC的长等于 (Ⅱ)请用无刻度的直尺，在线段BC上画出点S,使AB+BS=SC,并简要说明点S的位置是如何找到的 (不要求证明) 4.如图，由边长为1的小正方形组成的6×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，BC,AC是⊙0的两条 弦，且点A,B,C都是格点.仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结 果用实线表示. (1)线段AC的长等于 (2)在如图所示的网格中，在直线BC的右侧找一点M,使得∠BMC=90°且BM=MC,再在线段AB上 找一点F,使∠BFC=45°，简要说明点M和F的位置是如何找到的（不要求证明）， 5.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC的顶点均落在格点上. (1)线段BC的长等于 (2)以AB为直径作半圆，在半圆上找一点F,满足∠AFC=∠BAC;在AB上找一点G,满足 AG=5AC,请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点F和点G,并简要说明它们的位置是如 何找到的（不要求证明） 3/17 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 )类题点拨 找特殊角：利用网格线、对角线（如1：2或1：3的对角线)构造30°、45°、60°等特殊角。 ·找比例点：利用“平行线分线段成比例”或构造相似三角形，对线段进行等分或特定比例的划分。 。 找对称中点：连接格点对角线，或利用矩形对角线互相平分来找线段中点。 找平行/垂直：利用格点间的纵横差值构造斜率相等的线。 题型02最值相关作图 6.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC内接于圆，且顶点A,B均在格点上 D A (1)线段AB的长为 (2)圆与格线交于点D,点E为线段BC上一动点，当2DE+CE取得最小值时，请利用无刻度的直尺，在 如图所示的网格中，画出点E,并简要说明点E的位置是如何找到的（不要求证明） 7.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等腰直角三角形ABC的顶点A在格点上，∠CAB=90°， 以AB为直径的半圆与边BC的交点D在网格线上. A (1) CD 的值等于 DB (2)若P为边AC上的动点，当.PC+2PB取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画 4/17 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 出点P,并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 8.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A在格点上，B为小正方形边的中点，以AB直径的半 圆经过点C,且C为AB的中点 -r- (I)∠BAC的大小等于 (度)； (Ⅱ)P是BC上的动点，过点P作直线AC的垂线，交AB的延长线于点D;点Q在AC上，且满足 AQ=√2BD,连接P?.当PQ取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P,并简 要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 9.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC的顶点A,C均落在格点上，点B在网格线上，且 5 AB= 3· (I)线段AC的长等于 (Ⅱ)以BC为直径的半圆与边AC相交于点D,若P,Q分别为边AC,BC上的动点，当BP+PQ取得最小值 时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P,Q,并简要说明点P,Q的位置是如何找到的（不 要求证明)· 10.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC内接于圆，点A,B均在格点上，且∠ABC=90°. 5/17 命学科网 www zxxk .com 让教与学更高效 (1)线段AB的长等于； (2)若D为圆与网格线的交点，P为边AC上的动点，当DP+PB取得最小值时，请用无刻度的直尺，在 如图所示的网格中，画出点P,并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ●)类题点拨 按步骤连接格点或格线交点，标出目标点P的位置 反向验证：思考若P在该位置，是否确实满足最值条件（如两点是否拉直、是否形成直角） 若题中涉及多个满足条件的点，需分别分析各点对应的情况 题型03角相关作图 11.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC的顶点A,B均在格点上，点C是小正方形边的中 点，以BC为直径的半圆与边AC相交于点D. ⊙ (I)ABC的面积等于 (IⅡ)若点P在半圆上，满足∠PBC=∠ACB.请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P,并简 要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 12.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC内接于圆，且顶点A,B均在格点上，顶点C是圆 与网格线的交点。 (1)线段AB的长为； (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心O及⊙0上的一点P使得.∠PCB=∠PAC,并 简要说明圆心O和点P的位置是如何找到的（不要求证明）：一· 6/17 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 B 13.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,点B,点D均在格点上，并且在同一个圆上，取 格点M,连接AM并延长交圆于点C,连接AD, B D (1)AM= (2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段AP,使AP平分∠CAD,且点P在圆上，并简要说 明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 14.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC内接于圆，且顶点A,B均在格点上. A (1)线段AB的长为 (2)若点D在圆上，AB与CD相交于点P.请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q,使 △CPQ为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） 15.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙0经过格点A. (1)⊙0的周长等于； (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙O的内接等边ABC,并简要说明点B,C的位置 是如何找到的（不要求证明）一· 7/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ●)类题点拨 1.在角o的两边上分别取两个格点，连接得到一个三角形。 2.在网格中，过点P和某个格点，构造一个与上述三角形全等的三角形（边平行或边长比例一致）。 3.连接P与相应的顶点，即得所求射线。 题型04三角形相关作图 16.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B,C均在格点上，以AB为直径的半圆的圆心为O C 8 (I)AB的长等于 ； (Ⅱ)设P是半圆上的动点，Q是线段PC的中点，当△QOC的面积最大时，请在如图所示的网格中，用无 刻度的直尺，画出点Q,并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） 8/17 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 17.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC的顶点A,C均落在格点上，顶点B落在格线上， OO是ABC的外接圆. (1)ABC的面积等于 (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出直径BP,并在直径BP上找到点Q,使得△BCQ的 面积等于5.简要说明点P,Q的位置是如何找到的（不要求证明） 18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,F,G均在格点上 (1)线段AG的长为 (2)点E在水平网格线上，过点A,E,F作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与AE,AF的 延长线相交于点B,C,ABC中，点M在边BC上，点N在边AB上，点P在边AC上.请用无刻度的直 尺，在如图所示的网格中，画出点M,N,P,使△MNP的周长最短，并简要说明点M,N,P的位置 是如何找到的（不要求证明） 19.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A,B均在格点上，顶点C在网格线上， ∠BAC=25°. (I)线段AB的长等于 (Ⅱ)P是如图所示的△ABC的外接圆上的动点，当∠PCB=65°时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格 中画出圆心O和点P,并简要说明圆心O和点P的位置是如何找到的（不要求证明） 9/17 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 20,如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点C为以AB为直径的半圆弧的中点. (1)∠CAB的大小等于 (度)； (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以AB为直径的半圆的圆心0，简要说明点O的位置 是如何找到的（不要求证明） ●)类题点拨 作中线→找中点（矩形对角线交点） 作高线→过一点作另两点连线的垂线 作角平分线一构造菱形或利用角平分线定理 作全等/相似三角形→确定对应边长比例或角度关系 题型05找圆心 21.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC的顶点A,B,C均落在格点上. 10/17 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 A B C (1)AB的长为 (2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在AC上作一点M,使以M为圆心，MC为半径的⊙M与 AB相切，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明） 22.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC的顶点A、B、C均落在格点上. A B (I)ABC的面积为 (II)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在AC上作一点M,使以M为圆心，MC为半径的⊙M与 AB相切，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明） 23.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC的顶点B,C在格点上，顶点A是小正方形边的 中点. 11/17 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 B (1)AB的长等于； (2)E是线段AB与网格线的交点，P是ABC外接圆上的动点，点F在线段PB上（点F的位置不需要在 图上标注)，且满足PF=2BF·当EF取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点 P与ABC外接圆的圆心O,并简要说明点P与点O的位置是如何找到的·（不要求证明） 二、解答题 24.如图，在每个边长为1的小正方形网格中，点A,B均在格点上，以AB为直径作圆，点M为弧AB的 中点. (I)线段AB的长度等于 (Ⅱ)请用无刻度的直尺，在圆上找一点P,使得∠MAP=3∠BMP,并简要说明点P的位置是如何找到的 (不要求证明). A B 25.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点O,A,B均落在格点上，连接OA,BO. 12/17 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (1)线段0A的长等于一· (②)以O为圆心，OA为半径作圆，在⊙O上找一点M,满足∠B0M=∠A0B.请用无刻度的直尺，在如图 所示的网格中，画出点M,作出LBOM,并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）， ●)类题点拨 第1步：在弧/圆上选取合适的点，圆完整时：尽量选格点或网格线与圆的交点，方便后续连线。 第2步：用无刻度直尺构造中垂线。 第3步：两条中垂线相交得圆心 综合实战演练 模块三 1.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC内接于⊙O,点C为格点，AB为直径，AB=5, BC=19 B--- (I)AC的长等于 (Ⅱ)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出过点C的OO的切线，与BA的延长线交于点P,简 要说明点P位置是如何找到的（不要求证明） 2.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC内接于O0,点C为格点，AB为直径，AB=5, BC=19 13/17 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (1)AC的长等于 (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出过点C的⊙O的切线，与BA的延长线交于点P,并简 要说明点P位置是如何找到的（不要求证明） 3.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,C,D,E,F均在格点上 (1)线段EF的长为 (2)直线EF与△PAB的外接圆相切于点P,点M在4P上，满足LA+LPBM=90°，请用无刻度的直尺， 在如图所示的网格中，画出点M,并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明） 4.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，半圆的直径AC经过格点A,B,点D是半圆上一点. B ①线段AB的长等于； ②若∠DAC=22.5°，点M在线段AC上，点N在线段AD上，在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺， 画出点M和点N,使得CN+MN最短，并简要说明点M和点N的位置是如何找到的（不要求证明） 5.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A和点B是格点，点C在格线上，圆的直径CD与点C 所在的格线互相垂直，垂足为C,BE是圆的切线，点F为切点， 14/17 函学科网 www zxxk com 让教与学更高效 ⊙ (1)点A和点B的距离为 (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在半圆上画出CF的中点P,并简要说明点P的位置是如 何找到的（不要求证明，所作的直线，射线或线段的条数不得大于5） 6.如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A在格点上，点B是小正方形边的中点，有一个经过格点 A的圆. (I)线段AB的长等于 (Ⅱ)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出经过点A的圆的切线，并简要说明画图方法（不要 求证明) 7.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B在格点上，点C是小正方形的中心，⊙C与直线 1相切于点T.以点G为圆心的圆经过点A,B,并且与直线1相切 B T (I)直线CG与AB的位置关系为 (填“平行“相交但不垂直“垂直”)； (Ⅱ)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点G,并简要说明点G的位置是如何找到的（不要 求证明) 8.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC中，顶点A是圆与格线的交点，顶点B在格线上， 顶点C是格点，点D是格点，连接CD 15/17 函学科网 www zxxk com 让教与学更高效 B (I)线段CD的长为 (Ⅱ)线段CD交圆于点E,线段AB交圆于格线上一点F,请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，作 出ABC的内心I(所作直线、射线及线段的总数不得大于6条)，并简要说明点I的位置是如何找到的（不 要求证明) 9.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,E,F均在格点上 D (I)线段AF的长为 (Ⅱ)点D在竖直网格线上，过点A,D,E作圆，经过圆与竖直网格线的交点作切线，分别与AD,AE的 延长线相交于点B,C,ABC中，点G在边BC上，点H在边AB上，点P在边AC上.请用无刻度的直 尺，在如图所示的网格中，画出点G,H,P,使△GHP的周长最短，并简要说明点G,H,P的位置是如 何找到的（不要求证明） 10.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC的顶点B,C均落在格线上，点A在格点上. (I)当C为小正方形一边的中点时，线段AC的长为 (IⅡ)以AB为直径作半圆，在线段AB上有一点P,满足BP=BC,请用无刻度的直尺，在如图所示的网 16/17 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 格中，画出点P,并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 17/17 专题04 填空压轴题 （作图题） 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 线段相关作图 题型02 最值相关作图 题型03 角相关作图 题型04 三角形相关作图 题型05 找圆心 模块三、综合实战演练 一、线段相关作图的解题方法： 1. 分析题目：先思考用什么定理能把题目要求转化为几何性质（如“作等边三角形” → “构造手拉手全等”）。 2. 拆解步骤：把复杂的图形分解成2-3个基本操作，并在草稿纸上规划好关键点。 3. 描点连线：严格遵循“只连格点或已知线交点”的规则，精确连线作答。 二、最值相关作图的解题方法： 1.识别模型与系数 2.转换为可作图的几何变换 根据识别出的模型，确定网格中可执行的构造步骤。 3.连线定位，检验合理性。 三、角相关作图的解题方法： 1. 相似三角形法（最常用） ·原理：如果两个三角形相似，对应角相等。通过构造格点直角三角形，利用其边长比例关系，确定特定角度的正切（tan）值，从而实现角度复现。 应用：作等角、作已知角。 2. 等腰三角形法 原理：等腰三角形底角相等，且“三线合一”可帮助构造对称或垂直关系。 应用：作角平分线（构造等腰后取底边中点）、作等角（利用等边对等角）。 3. 圆周角/圆心角定理（辅助构造） · 原理：同弧所对圆周角相等，直径所对圆周角为90°。 应用：通过构造圆（利用格点确定圆心和半径）来找等角或直角。 四、三角形相关作图的解题方法： 1. 明确目标，选择原理 题中要求作“什么三角形”或“三角形的哪条线”？ 2. 在网格中定位关键点 。 3.用无刻度直尺精确连接。 五、找圆心的解题方法： 1.垂径定理法，原理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。反过来，任意两条弦的中垂线的交点就是圆心。 在圆/弧上任取两条弦（或一条弦和一个弧上点）。分别作出每条弦的中垂线 3. 两条中垂线的交点即为圆心 。 2. 圆周角定理法（利用90°）。直径所对的圆周角是90°；反之，若一个三角形的一条边是直径，则它所对的角是直角。 题型01 线段相关作图 1．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上，点C在经过点A的圆上． （1）线段的长为________； （2）l为过点A且与圆相切的直线，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在直线l上画出点Q，使，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）________． 【答案】 见解析 【分析】（1）由勾股定理求解； （2）借助网格，利用直径定理确定圆心，利用平行线分线段成比例确定中点，利用垂径定理确定垂直，最后利用线段的垂直平分线确定点的位置． 【详解】解：（1）由勾股定理得； （2）如图， 取圆与网格线的交点D，E，连接； 取格点F，连接与圆相交于点G； 取与圆的交点H，连接与相交于点O； 连接与网格线相交于点I，连接与网格线相交于点J； 连接，取与网格线的交点K，连接并延长，与相交于点P； 连接并延长，与直线l相交于点Q，则点Q即为所求． 2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点在格点上，点在格线上，以为直径作半圆，半圆弧的中点为． （1）的度数为________°； （2）若点在圆上，与相交于点．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）________． 【答案】 45 取格点，，，，连接，分别与格线交于，，射线交于圆心：作射线交格线于点，连接交格线于，连接交圆弧于点，则点即为所求． 【分析】（1）根据圆周角定理的推论和等腰三角形的性质解答； （2）先确定圆心O，再确定的中点F，连接，可知是的中位线，可得，然后根据，可得，进而推导出，即． 【详解】解：（1）∵是的直径，点C是的中点， ∴， ∴； （2）如图所示，取格点，，，，连接，分别与格线交于，，射线交于圆心：作射线交格线于点，连接交格线于，连接交圆弧于点，则点即为所求． 3．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上点A，B，C均是格点． （Ⅰ）线段的长等于________； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在线段上画出点S，使，并简要说明点S的位置是如何找到的（不要求证明）__________________________________________． 【答案】 画图见解析，如图，取圆与网格线交点D，连接交网格线于E，取与网格线交点F，连接交圆于点G；取格点H，K，连接交网格线于点I，连接并延长交网格线于点L；取圆与网格线交点M，P，连接，交于点N，连接并延长交圆于点Q，连接交于点S． 【详解】解：（Ⅰ）由勾股定理可得：，而， ∴； （Ⅱ）如图，取圆与网格线交点D，连接交网格线于E，取与网格线交点F，连接交圆于点G；取格点H，K，连接交网格线于点I，连接并延长交网格线于点L；取圆与网格线交点M，P，连接，交于点N，连接并延长交圆于点Q，连接交于点S，则即为所求． 理由如下：∵， ∴为直径， 而格线是弦的垂直平分线， ∴为圆心， 由网格特点可得为弦的中点， ∴， 由网格特点可得：四边形为矩形， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 标注格点， ∵，， ∴， ∴， ∴等于， ∴之间的距离， ∴， ∴， ∴，即即为所求. 故答案为：（Ⅰ）（Ⅱ）如图，取圆与网格线交点D，连接交网格线于E，取与网格线交点F，连接交圆于点G；取格点H，K，连接交网格线于点I，连接并延长交网格线于点L；取圆与网格线交点M，P，连接，交于点N，连接并延长交圆于点Q，连接交于点S． 4．如图，由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，是的两条弦，且点A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）线段的长等于______； （2）在如图所示的网格中，在直线的右侧找一点M，使得且，再在线段上找一点F，使，简要说明点M和F的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 见解析 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2），，， ， ， 为圆的直径， 在上取格点G，则，找到格点N，连接，相交于点M， 为正方形， ； 取格点D，连接，则交于点F，连接，可得， 如图，点M，F即为所求． 5．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上． （1）线段的长等于______； （2）以为直径作半圆，在半圆上找一点，满足；在上找一点，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，并简要说明它们的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 见解析 故答案为：． （2）解：如图所示， 如图，取格点，即半圆的圆心，连接并延长交半圆于点，，，点即为所作点； 取格点，连接并延长，与的延长线交于点，连接交于点，连接，并延长交于点，，，，，，，点即为所求． · 找特殊角：利用网格线、对角线（如1:2或1:3的对角线）构造30°、45°、60°等特殊角。 · 找比例点：利用“平行线分线段成比例”或构造相似三角形，对线段进行等分或特定比例的划分。 · 找对称/中点：连接格点对角线，或利用矩形对角线互相平分来找线段中点。 · 找平行/垂直：利用格点间的纵横差值构造斜率相等的线。 题型02最值相关作图 6．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点A，B均在格点上． （1）线段的长为_______； （2）圆与格线交于点，点为线段上一动点，当取得最小值时，请利用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 设与网格交点为，连接、，与交于点，连接，交圆于点，连接，交于，则点即为所求． 【详解】解：（1）如图，∵顶点A，B均在格点上， ∴ 故答案为： （2）如图，设与网格交点为，连接、，与交于点，连接，交圆于点，连接，交于，则点即为所求． ∵，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴是的垂直平分线，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴有最小值为， ∴点即为所求． 【点睛】本题考查无刻度直尺作图、圆周角定理、平行线分线段成比例、线段垂直平分线的判定与性质、等边三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 7．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等腰直角三角形的顶点A在格点上，，以为直径的半圆与边的交点D在网格线上． （1）的值等于______________； （2）若P为边上的动点，当．取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）______________． 【答案】 作图见解析，连接与网格线交于点，取与网格线交点，连接与网格线交于点，连接，与半圆相交于点，连接并延长，与相交于点，点即为所求． 【详解】解：（1）连接， ∵为直径， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （2）在左侧，作，， 则，当点、、三点共线的时候，取得最小值，即取得最小值， 此时 ， ， 则是等边三角形， 过点作，交于点，交于点， 则为中点，为中点， ∴过中点，作的平行线，与圆交于点，与的交点，即可确定点， 用无刻度直尺作图如下， 连接与网格线交于点，取与网格线交点，连接与网格线交于点，连接，与半圆相交于点，连接并延长，与相交于点，点即为所求． 8．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点在格点上，为小正方形边的中点，以直径的半圆经过点，且为的中点．      （）的大小等于___________（度）； （）是上的动点，过点作直线的垂线，交的延长线于点；点在上，且满足，连接．当取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）___________． 【答案】 45 见解析 【详解】（）连接      为圆的直径， ， 为的中点， ， ，即是等腰直角三角形， ； （）如图，取格点， 连接相交于点；取格点，连接与相交于点；连接，与半圆相交于点，则点即为所求．      【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型． 9．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上，点B在网格线上，且． （Ⅰ）线段的长等于___________； （Ⅱ）以为直径的半圆与边相交于点D，若分别为边上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】解：（Ⅰ）如图，在Rt△AEC中，CE=3,AE=2,则由勾股定理，得AC==； （Ⅱ）如图，取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点；连接，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求． 10．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，点A，B均在格点上，且． （1）线段的长等于______； （2）若D为圆与网格线的交点，P为边上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 见解析 【详解】（1）解：由勾股定理得， 故答案为：； （2）解：如图，点P即为所作， ． 由作图知，，， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， 由垂径定理知和关于直径对称， ∴， ∴， ∴点P即为所作． · 按步骤连接格点或格线交点，标出目标点P的位置 · 反向验证：思考若P在该位置，是否确实满足最值条件（如两点是否拉直、是否形成直角） · 若题中涉及多个满足条件的点，需分别分析各点对应的情况 题型03 角相关作图 11．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B均在格点上，点C是小正方形边的中点，以为直径的半圆与边相交于点D．    （Ⅰ）的面积等于______； （Ⅱ）若点P在半圆上，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）_______． 【答案】 取格点，连接，则、、三点共线，取格点，，连接并延长交网格线于，连接，，得四边形为平行四边形，取格点，，并连接交网格线于，交于，连接，交半圆于点，点即为所求． 【详解】解：（Ⅰ）由题意可知，边上的高为3， ∴， 故答案为：； （Ⅱ）如图所示，点即为所求．    故答案为：如图，取格点，连接，则、、三点共线，取格点，，连接并延长交网格线于，连接，，得四边形为平行四边形，取格点，，并连接交网格线于，交于，连接，交半圆于点，如图所示，点即为所求． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定，圆周角定理，格点作图，解题的关键是学会利用平行四边形性质作图． 12．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点A，B均在格点上，顶点C是圆与网格线的交点． （1）线段的长为______； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心O及上的一点P使得．，并简要说明圆心O和点P的位置是如何找到的（不要求证明）：______． 【答案】 见解析 【分析】（1）由勾股定理即可求得线段的长； （2）根据同圆中，直角所对的弦是直径即可得出圆心；根据中位线的性质得出是的中点；根据平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧可得，根据圆周角即可得出． 【详解】（1）解：由勾股定理可得：， 故答案为：． （2）解：如图：取圆与网格线的交点，，，，连接，，与交于点，点即为所求圆心； 取格点，，，，连接，，与网格线分别相交于点，，连接并延长与相交于点，连接并延长与相交于点，即为所求． 根据点与点在格点上，借助格点确定圆与网格线的交点，，，，使得， ∴，均为直径， ∴与交点即为所求圆心； 取格点，，，，连接，，与网格线分别相交于点，，连接， 则点为的中点， 连接并延长与相交于点，取格点，则为的中点， 由于，则是的中点； 连接并延长与相交于点， ∴垂直平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了复杂作图，勾股定理与网格问题，圆周角定理，垂径定理，平行线分线段成比例定理等，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． 13．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点D均在格点上，并且在同一个圆上，取格点M，连接并延长交圆于点C，连接．    （1）______； （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段，使平分，且点P在圆上，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）_____________________． 【答案】 作图见解析；连接交于点，连接交圆于点，连接即可． 【分析】（1）先作出圆心，再根据勾股定理求解； （2）根据网格线的特点和垂径定理求解． 【详解】解：（1）找出圆的圆心，连接， 根据勾股定理得：； （2）即为所求；    连接交于点，连接交圆于点，连接即可． 【点睛】本题考查了作图的应用和设计，掌握勾股定理和垂径定理是解题的关键． 14．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点A，B均在格点上．    （1）线段的长为________； （2）若点D在圆上，与相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）________． 【答案】(1) (2)画图见解析；如图，取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点G；连接与网格线相交于点H，连接并延长与网格线相交于点I，连接并延长与圆相交于点K，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求 【分析】（1）在网格中用勾股定理求解即可； （2）取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点M，连接；连接与网格线相交于点G，连接并延长与网格线相交于点H，连接并延长与圆相交于点I，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求，连接，，过点E作网格线，过点G作网格线，由图可得，根据全等三角形的性质可得和，根据同弧所对圆周角相等可得，进而得到和，再通过证明即可得到结论． 【详解】（1）解：； 故答案为：． （2）解：如图，取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点G；连接与网格线相交于点H，连接并延长与网格线相交于点I，连接并延长与圆相交于点K，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求； 连接，，过点E作网格线，过点G作网格线，      由图可得：∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，即， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形，此时点Q即为所求； 故答案为：如图，取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点G；连接与网格线相交于点H，连接并延长与网格线相交于点I，连接并延长与圆相交于点K，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，勾股定理、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键． 15．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A． （1）⊙的周长等于____； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 【答案】 见解析 【分析】（1）利用勾股定理可得答案； （2）延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求． 【详解】（1）∵⊙的半径为：， ∴⊙的周长， 故答案为： （2）如图： ∵， 又∵， ∴， ∴． ∵，   ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．   ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形． ∴， ∴， ∵， ∴，   ∴， ∴． ∵， ∴， ∵过圆心, ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 故答案为：如图，延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求． 【点睛】此题考查作图中的复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型． 1. 在角α的两边上分别取两个格点，连接得到一个三角形。 2. 在网格中，过点P和某个格点，构造一个与上述三角形全等的三角形（边平行或边长比例一致）。 3. 连接P与相应的顶点，即得所求射线。 题型04 三角形相关作图 16．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，以为直径的半圆的圆心为O． （Ⅰ）的长等于__________； （Ⅱ）设P是半圆上的动点，Q是线段的中点．当的面积最大时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点Q，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）__________． 【答案】 作于点，根据网格的特点作正方形，取中点，进而连接，交于点，连接，作矩形，连对角线，则对角线交点，即为所求． 【分析】（1）根据网格的特点以及勾股定理求解即可； （2）Q是线段的中点，要使的面积最大，则面积最大，找到平行于的切线与的交点即可，作于点，根据网格的特点作正方形，取中点，进而连接，交于点，连接，作矩形，连对角线，则对角线交点，即为所求． 【详解】（Ⅰ） （Ⅱ）如图， ①根据网格的特点找到点，则，，同理作正方形， ②取格点，，则为的中点， ③连接交于点，点即为所求 ④作，则四边形是矩形，连接，交于点，则点即为所求 故答案为：作于点，根据网格的特点作正方形，取中点，进而连接，交于点，连接，作矩形，连对角线，则对角线交点，即为所求． 【点睛】本题考查了网格与勾股定理，无刻度直尺作图，相似三角形的性质与判定，圆的性质，找到点是解题的关键． 17．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，C均落在格点上，顶点B落在格线上，是的外接圆． （1）的面积等于______． （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出直径，并在直径上找到点Q，使得的面积等于5．简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）__________________________________________________________________________________________． 【答案】 5 如图，取圆与格线的交点D，E，连接，，两条线段交于点O；连接并延长，与圆交于点P；取格点F，G，并连接，交于点M，连接，并延长交格线于点H，连接，并延长交于点Q，点P，Q即为所求． 【分析】本题主要考查了90度的圆周角所对的弦是直径，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等： （1）根据三角形面积计算公式结合网格的特点求解即可； （2）如图，取圆与格线的交点D，E，连接，，两条线段交于点O；连接并延长，与圆交于点P；取格点F，G，并连接，交于点M，连接，并延长交格线于点H，连接，并延长交于点Q，点P，Q即为所求． 【详解】解：（1）由题意得，， 故答案为：5； （2）如图，取圆与格线的交点D，E，连接，，两条线段交于点O；连接并延长，与圆交于点P；取格点F，G，并连接，交于点M，连接，并延长交格线于点H，连接，并延长交于点Q，点P，Q即为所求． 由90度的圆周角所得的弦是直径，可得的交点O，即为圆心，则即为直径； 易知点M分别为的中点，则易证明，进而证明，则由平行线的性质可得． 故答案为：如图，取圆与格线的交点D，E，连接，，两条线段交于点O；连接并延长，与圆交于点P；取格点F，G，并连接，交于点M，连接，并延长交格线于点H，连接，并延长交于点Q，点P，Q即为所求． 18．如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上．    （1）线段的长为______； （2）点在水平网格线上，过点，，作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与，的延长线相交于点，，中，点在边上，点在边上，点在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，，使的周长最短，并简要说明点，，的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 图见解析，说明见解析 【分析】此题考查了勾股定理、切线的性质等知识，根据题意正确作图是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）作点关于、的对称点、，连接、，分别与、相交于点、，的周长等于的长，等腰三角形的腰长为，当的值最小时，的值最小，此时是切点，由此作图即可． 【详解】（1）由勾股定理可知，， 故答案为： （2）如图，根据题意，切点为；连接并延长，与网格线相交于点；取圆与网格线的交点和格点，连接并延长，与网格线相交于点；连接，分别与，相交于点，，则点，，即为所求．    19．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B均在格点上，顶点C在网格线上，． （I）线段AB的长等于___________； （II）P是如图所示的△ABC的外接圆上的动点，当时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出圆心O和点P，并简要说明圆心O和点P的位置是如何找到的（不要求证明）________ 【答案】 图见解析，理由见解析 【分析】（I）利用勾股定理可得答案； （II）利用勾股逆定理确定格点D，使得，故，取△ABC的外接圆与网格线的交点F，G，使得,则FG与BE相交于点，为圆心，由同弧所对的圆周角相等，可得，因为，故． 【详解】解：（I）； 故答案为： （II）利用勾股逆定理确定格点D， ∵ 又∵ ∴ ∴， ∴，是的直径， 由方格知,则与相交于点， ∴是的直径 ∴为圆心， ∵ ∴， ∵， ∴． 故答案为：如图，取格点D，连接并延长，与的外接圆相交于点E，连接；取的外接圆与网格线的交点F，G，连接与相交于点O；连接并延长，与的外接圆交于点P，则点P即为所求． 【点睛】此题考查的是勾股定理逆定理的应用，圆的基本性质，复杂的作图，掌握以上知识是解题的关键． 20．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点为以为直径的半圆弧的中点． （1）的大小等于__________（度）； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以为直径的半圆的圆心，简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）__________． 【答案】 取圆上两个格点，，再作的垂直平分线与的交点即为圆心 【分析】本题考查无刻度直尺作图，涉及到圆周角定理； （1）连接，证明是等腰直角三角形即可得到； （2）取圆上两个格点，，再作的垂直平分线与的交点即为圆心． 【详解】（1）连接， ∵点为以为直径的半圆弧的中点， ∴，， ∴， 故答案为： （2）取圆上两个格点，，再作的垂直平分线与的交点即为圆心，如图： 故答案为：取圆上两个格点，，再作的垂直平分线与的交点即为圆心 · 作中线 → 找中点（矩形对角线交点） · 作高线 → 过一点作另两点连线的垂线 · 作角平分线 → 构造菱形或利用角平分线定理 · 作全等/相似三角形 → 确定对应边长比例或角度关系 题型05 找圆心 21．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均落在格点上． （1）的长为__________； （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在AC上作一点M，使以M为圆心，为半径的与相切，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）___________． 【答案】 5 画图见解析，取格点G，连接交于M，点M即为所求 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）取格点G，连接交于M，点M即为所求． 【详解】解：（1）由题意得，， ∴， 故答案为：5； （2）如图所示，取格点G，连接交于M，点M即为所求； 设与相切于点D，连接， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴点M即为所求； 故答案为：取格点G，连接交于M，点M即为所求． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，切线的性质，利用网格结构找到格点G是解题的关键． 22．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点、、均落在格点上． （I）的面积为________； （II）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在上作一点，使以为圆心，为半径的与相切，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）________． 【答案】 6 作∠ABC的角平分线BD交AC与M，则点即为所求 【分析】（I）利用三角形面积公式求解即可； （II）计算得到AB=5，取格点E，连接AE，取AE中点D，连接BD，利用等腰三角形的性质即可得到BD是∠ABC的角平分线． 【详解】（I）由图中可判断ΔABC为直角三角形，直角边为AC，BC，分别长为3， 4， 则 故答案为：6； （II）由题M为圆心的圆与AB相切且为半径，作∠ABC的角平分线，则有MC=MP且MP⊥AB，则与相切 故答案为：作∠ABC的角平分线BD交AC与M，则点即为所求． 【点睛】本题考查三角形的面积、角平分线的性质、切线的判定，熟练掌握相关性质定理是关键 23．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，在格点上，顶点是小正方形边的中点． （1）的长等于_____； （2）是线段与网格线的交点，是外接圆上的动点，点在线段上（点F的位置不需要在图上标注），且满足．当取得最大值时，请在如图所示的网格中，用的直尺，画出点与外接圆的圆心，并简要说明点与点的位置是如何找到的______．（不要求证明） 【答案】 将点向下平移一个格点、向右平移6个格点，得格点D，连接，与外接圆相交于点．连接，将点向下平移2个格点、向右平移1个格点，得格点，连接并延长与圆相交于点，连接，与交于点． 【分析】①根据，计算求解即可；②由题意知，，，，则，即，可知当最大，即最大，则为直径，如图，取格点，则与圆交点即为，连接，由的圆周角所对的弦为直径可得为直径，取格点G，连接并延长与圆交点记为，连接，由的圆周角所对的弦为直径可得为直径，与的交点即为圆心． 【详解】①解：， 故答案为：； ②解：由题意知，，，， ∴， ∴， 当最大，即最大， ∴为直径， 如图，取格点D，连接，与外接圆相交于点．连接，此时，由的圆周角所对的弦为直径可得为直径；   取格点，则，连接并延长与圆相交于点，连接，此时，由的圆周角所对的弦为直径可得为直径； 与交点即为圆心点．         （草图）                  （正式图） ∴点与点即为所求． 【点睛】本题考查了勾股定理与格点，的圆周角所对的弦为直径，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识点的熟练掌握与灵活运用． 二、解答题 24．如图，在每个边长为1的小正方形网格中，点A，B均在格点上，以为直径作圆，点M为弧的中点． （I）线段的长度等于________． （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在圆上找一点P，使得，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）图见详解 【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可； （Ⅱ）取格点，连接，，使得是等腰直角三角形，交于点Q，连接，取的中点R，连接交于点P（此时），连接，，点P即为所求． 【详解】解：（Ⅰ）， 故答案为：； （Ⅱ）如图，点即为所求； 由作图可知：是等腰直角三角形， ∴， ∵点O是的中点，点R是的中点， ∴， ∴， ∵点P是弧的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，勾股定理，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 25．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点O，A，B均落在格点上，连接，．    (1)线段的长等于　 　． (2)以O为圆心，为半径作圆，在⊙O上找一点M，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，作出，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用勾股定理求解即可． （2）延长交⊙O于点C，取格点D，E，H，连接并延长，交⊙O于点M，交于点F，连接，结合垂径定理以及圆心角、弧、弦的关系可知，点M和即为所求． 【详解】（1）由勾股定理得， （2）如图，点M和即为所求． 延长交⊙O于点C，取格点D，E，H，连接并延长，交⊙O于点M，交于点F，连接OM， ∴∠AOE＝∠AEO，， ∴， 即点M和为所求．    【点睛】本题考查作图﹣复杂作图、勾股定理和圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 第1步：在弧/圆上选取合适的点 ， 圆完整时：尽量选格点或网格线与圆的交点，方便后续连线。 第2步：用无刻度直尺构造中垂线 。 第3步：两条中垂线相交得圆心 1．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于，点C为格点，为直径，，． （Ⅰ）的长等于__________； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出过点C的的切线，与的延长线交于点P，简要说明点P位置是如何找到的（不要求证明）__________． 【答案】 如图，取圆与网格线交点D，E，连接交于点O，点O即为圆心，连接与网格线交于点F，取格点M，N，H，L，连接，，延长交于G，连接并延长，交格线于点K，连接并延长，交延长线于点P，点P即为所求；图见解析． 【分析】（Ⅰ）根据直径所对的圆周角是直角，得出 。 然后用勾股定理即可解答；（Ⅱ）取圆与网格线交点D，E，连接交于点O，则O为圆心．连接与网格线交于点F，取格点M，N，H，L，连接，．延长交于，连接并延长，交格线于点，此时．连接并延长，交的延长线于点P，则即为所求切线，点P即为所求． 【详解】（Ⅰ）因为是的直径，根据**直径所对的圆周角是直角**，可得： ，即是直角三角形． 在中，由勾股定理： 已知，，代入得： 所以，的长为． （Ⅱ）如图，取圆与网格线交点D，E，连接交于点O，点O即为圆心，连接与网格线交于点F，取格点M，N，H，L，连接，，延长交于G，连接并延长，交格线于点K，连接并延长，交延长线于点P，点P即为所求． ． 2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于，点为格点，为直径，，． （1）的长等于__________； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出过点的的切线，与的延长线交于点，并简要说明点位置是如何找到的（不要求证明）__________． 【答案】 见解析 【分析】（1）利用直径定理和勾股定理求解； （2）根据的圆周角所对的弦是直径确定圆心，通过正方形的性质以及全等三角形的判定和性质证明，得出，证明，得出，得出，即得出圆的切线． 【详解】解：（1）∵为直径， ∴， ∴由勾股定理得； （2）如图，取圆与格线交点，，连接交于点，点即为圆心，连接与格线交于点，取格点，，，，Q，T，连接，，延长交于，连接并延长，交格线于点，连接并延长，交延长线于点，点即为所求． 说明：根据的圆周角所对的弦是直径确定圆心，通过正方形的性质证明，证明，得到，进而得出，证明，得出，得出，即得出圆的切线． 3．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，C，D，E，F均在格点上． （1）线段的长为______； （2）直线与的外接圆相切于点P，点M在上，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）________． 【答案】 先作出的垂直平分线，并交于点，点即为圆心，连接并延长交圆于一点，此点即为点 【分析】（1）可利用勾股定理计算线段的长度； （2）先借助网格特点确定的垂直平分线；观察图可知，根据切线的性质，得到圆心在上，则的垂直平分线与的交点即为圆心；再结合的条件，利用圆的相关性质，即可找到符合条件的点M． 【详解】（1）由网格可知，、的水平间距为，竖直间距为， 根据勾股定理得： ； （2）先作出的垂直平分线，并交于点，点即为圆心，连接并延长交圆于一点，此点即为点． 4．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，半圆的直径经过格点A，B，点D是半圆上一点． ①线段的长等于______； ②若，点M在线段上，点N在线段上，在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，画出点M和点N，使得最短，并简要说明点M和点N的位置是如何找到的（不要求证明）_______． 【答案】 画图见解析，取格点E，连接与半圆交于点F，连接并延长与交于点G，连接与交于点N，连接并延长与交于点M，则点M，N即为所求 【分析】①根据勾股定理即可解答； ②取格点E，连接与半圆交于点F，可得为等腰直角三角形，得到，连接并延长与交于点G，根据，可得点和点关于对称，连接与交于点N，连接并延长与交于点M，则可得，所以，根据垂线段最短可得此时最短． 【详解】解：（1）； （2）如图，取格点E，连接与半圆交于点F，连接并延长与交于点G，连接与交于点N，连接并延长与交于点M，则点M，N即为所求． 5．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A和点B是格点，点C在格线上，圆的直径与点C所在的格线互相垂直，垂足为C，是圆的切线，点F为切点． （1）点A和点B的距离为________； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在半圆上画出的中点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明，所作的直线，射线或线段的条数不得大于5）________． 【答案】 取圆与格线交点M，N，连接交于点O，延长交格线于点T，连接交圆O于点P，点P即为所求 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）取圆与格线交点M，N，连接（1条）交于点O，此时，即为直径，即点O为圆心；延长（2条）交格线于点T，根据题意是圆的切线，点C为切点；连接（3条）交圆O于点P，根据切线长定理可知，易证，可知，则，故点P即为所求． 【详解】解：（1）由网格可知，； （2）取圆与格线交点M，N，连接（1条）交于点O，延长（2条）交格线于点T，连接（3条）交圆O于点P，点P即为所求． 6．如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A在格点上，点B是小正方形边的中点，有一个经过格点A的圆． （Ⅰ）线段AB的长等于______； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出经过点A的圆的切线，并简要说明画图方法（不要求证明）______． 【答案】【答题空1】 【答题空2】图见解析；取格点、，连接交圆于点，连接交圆于点，连接，则为直径，取圆与格线的交点、，连接，则是直径，与交于点，点即为圆心，连接并延长交圆于点，连接交圆于点，连接交于点，连接并延长交于点，取与格线的交点，取与格线的交点，连接并延长交格线于点，连接即为所求． 【分析】本题主要考查了作圆的切线，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，根据相关知识点正确作图是解题的关键． （Ⅰ）由勾股定理即可求解； （Ⅱ）取格点、，连接交圆于点，连接交圆于点，连接，由全等三角形可得，则为直径，取圆与格线的交点、，连接，由图可知，则是直径，与交于点，则点即为圆心，连接并延长交圆于点，则为直径，连接交圆于点，连接交于点，则有，连接并延长交于点，根据三角形的三条高相交于一点，则，则，取与格线的交点，取与格线的交点，连接并延长交格线于点，因为，，，则，则，则，则连接即为所求． 【详解】解：（Ⅰ）由题意得：， 故答案为：． （Ⅱ）如图，即为所求． 答案为：取格点、，连接交圆于点，连接交圆于点，连接，则为直径，取圆与格线的交点、，连接，则是直径，与交于点，点即为圆心，连接并延长交圆于点，连接交圆于点，连接交于点，连接并延长交于点，取与格线的交点，取与格线的交点，连接并延长交格线于点，连接即为所求． 7．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B在格点上，点C是小正方形的中心，与直线l相切于点T．以点G为圆心的圆经过点A，B，并且与直线l相切． （Ⅰ）直线与的位置关系为______（填“平行”“相交但不垂直”“垂直”）； （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点G，并简要说明点G的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 垂直 见解析 【分析】本题考查了尺规作图，切线的性质，三角形外接圆的性质，垂直平分线的性质，平行线分线段成比例等知识点，熟练应用切线的性质构造平行线是解答本题的关键． (1)先根据图形计算求出，得到点C在线段的垂直平分线上，而根据三角形外心的性质可知过A、B两点的圆其圆心也在线段的垂直平分线上，从而得出直线就是线段的垂直平分线． (2)假设与直线l相切于点H，易得，连接交直线l于点E，然后连接交于点F，过点A作交于点G．通过平行线分线段成比例可得，结合进而得出．即可得出为的半径． 【详解】解：（Ⅰ）连接，如图 ， 点C在线段AB的垂直平分线上． 又 ∵ 过A、B两点的其圆心G也在线段的垂直平分线上， C、G两点都在线段AB的垂直平分线上， ． 故答案为：垂直． （Ⅱ）如图，取与网格线的交点D，连接并延长，与直线l相交于点E；连接与交于点F；连接并延长，与网格线交点为P，Q；连接与网格线相交于点R；连接并延长，与网格线相交于点S；连接并延长，与相交于点G，则点G即为所求． 8．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，中，顶点A是圆与格线的交点，顶点B在格线上，顶点C是格点，点D是格点，连接． （Ⅰ）线段的长为_____； （Ⅱ）线段交圆于点E，线段交圆于格线上一点F，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，作出的内心I（所作直线、射线及线段的总数不得大于6条），并简要说明点I的位置是如何找到的（不要求证明）______________________________________________． 【答案】 取格点G，作射线交圆于点K，连接，取圆与格线交点J，连接交于点O，连接交格线于点H，作射线交于点M，连接交于点I 【分析】本题考查勾股定理，圆周角定理，三角形内心，正确理解题意，灵活运用知识点是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）先利用网格的特征结合圆周角定理找到圆心，再利用圆周角定理结合网格的特征找到的角平分线，两条角平分线的交点即为内心． 【详解】解：（Ⅰ）， 故答案为：； （Ⅱ）取格点G，作射线交圆于点K，连接，取圆与格线交点J，连接交于点O，连接交格线于点H，作射线交于点M，连接交于点I，点I即为所求． 由作图得，即点为圆心，为直径， 由网格的特征得点为中点，即， ∴， ∴，即是的角平分线， ∵，即是的角平分线， ∴点I为的内心． 故答案为：取格点G，作射线交圆于点K，连接，取圆与格线交点J，连接交于点O，连接交格线于点H，作射线交于点M，连接交于点I． 9．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，E，F均在格点上．    （Ⅰ）线段的长为_________． （Ⅱ）点D在竖直网格线上，过点A，D，E作圆，经过圆与竖直网格线的交点作切线，分别与的延长线相交于点B，C，中，点G在边上，点H在边上，点P在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点G，H，P，使的周长最短，并简要说明点G，H，P的位置是如何找到的（不要求证明）___________． 【答案】 图见解析，说明见解析 【分析】本题考查勾股定理、切线的性质等知识，根据题意正确作图是解题的关键． （Ⅰ）直接根据勾股定理进行求解即可； （Ⅱ）作点关于的对称点，连接，分别与交于点H，P，的周长等于的长，等腰三角形的的腰长为的长，故当最小时，的长最短，故点为切点，据此作图即可． 【详解】解：（Ⅰ）由勾股定理，得：； 故答案为：； （Ⅱ）如图，根据题意，切点为点G；连接并延长与网格线交于点：取圆与网格线的交点M与格点N，连接并延长，与网格线交于点：连接，分别与交于点H，P，则点G，H，P即为所求．    10．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点B，C均落在格线上，点A在格点上． （Ⅰ）当C为小正方形一边的中点时，线段的长为______； （Ⅱ）以为直径作半圆，在线段上有一点P，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 画法见解析 【分析】（1）由勾股定理即可求解； （2）取格点，连接交于点，连接交于点，连接，与交点即为圆心，因为由正方形的轴对称性可知为中点，故，则，取与格线交点为点，则为中点，因为，连接并延长交于点，连接交于点，则，那么，则，由于为中位线，则，则，即平分，连接并延长与延长线交于点，则，那么，连接并延长与交点即为点，由于点为等腰三角形中线上一点，由轴对称性可得． 【详解】解：（1）如图： 由题意得：，， ∴， 故答案为：； （2）如图：点即为所作： 【点睛】本题考查了使用无刻度直尺作图，涉及勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，正方形的性质等知识点，难度大． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $