专题03：应用题六大类型 2026年中考数学三轮满分冲刺一卷过（江苏专用）

**基本信息** 聚焦中考应用题六大核心类型，通过分层题型训练构建从方程到函数再到几何应用的完整解题体系，强化数学模型意识与实际问题转化能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二元一次方程组|3题|古代数学问题与现代情境结合，含和差倍分关系|从实际问题抽象等量关系，建立方程组模型| |一元二次方程|2题|增长率与面积问题，强调等量关系构建|基于增长率公式与几何面积公式推导方程| |分式方程|3题|行程与工程问题，含速度与效率关系|通过时间等量关系建立分式方程，需验根| |一次函数|5题|销售利润与行程图像，结合表格与图像信息|从实际数据抽象一次函数关系，解决最值问题| |二次函数|3题|利润最大化问题，含售价与销量关系|建立利润二次函数模型，利用顶点求最值| |解直角三角形|6题|测量与航海问题，涉及仰角俯角与坡度|通过构造直角三角形，运用三角函数解决距离高度问题|

2026年中考数学三轮满分冲刺一卷过（江苏专用） 专题03 应用题六大类型 1. 我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果1托为5尺，那么索长为_______尺．（其大意为：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺．） 2. 某商店三月份的利润是25000元，要使五月份的利润达到36000元，假设每月的利润增长率相同，那么这个相同的增长率是________ 3. 我国是世界上第一个成功研发和推广杂交水稻的国家某农业基地现有杂交水稻种植面积30公顷，计划逐年增加杂交水稻种植面积，两年后将杂交水稻种植面积增加到公顷，设该农业基地这两年杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为______． 4. 《九章算术》“方程”篇中有这样一道题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱八十，乙得甲太半（注：太半，意思为三分之二）而钱亦八十．问甲、乙持钱各几何？”若设甲、乙原本各持钱x、y，则根据题意可列方程组为_________． 5. 我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列的方程正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 2018年某公司一月份的销售额是50万元，第一季度的销售总额为182万元，设第一季度的销售额平均每月的增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（　　） A. B. C. D. 8. 淮安马拉松全程的总赛程约为千米，途经众多历史人文景观和现代都市区域，参赛者将领略“伟人故里”“运河之都”“美食之都”“文化名城”四张城市名片的独特魅力（如图）．在同一场比赛中选手甲的平均速度是选手乙的倍，最终甲冲刺终点的时间比乙提早分钟，若乙的平均速度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（　　） A. B. C. D. 10. 为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 数学老师根据我国古代数学名著《九章算术》方程篇改编了一道题：贩粟归梓，空车日行百里，满载日行六十，十一日二返，外地几何？大意是：去外地采购谷物回乡，空车日行里，装满后日行里，天往返乡里两次，求到外地有多少里？设到外地有里，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 题型一、二元一次方程组应用题 1. 我国古代数学名著《九章算术》中记载了一道数学问题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？其大意：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．求合伙人数是多少？ 2. 得益于“互联网”和人工智能的发展，无人配送服务行业已经进入人们的生活．某大学校园内使用了无人配送车和无人机配送快递．已知一架无人机一次可运送3千克货物，一辆无人配送车一趟可运送120千克货物．快递公司提供了无人机和无人配送车共30台运送2430千克货物，求运送物资使用的无人机和无人配送车各有几台． 3. 利用二元一次方程组解应用题：某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具，据了解，8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3100元，求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元． 题型二、一元二次方程应用题 4. 某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率． 5. 如图，一块长5米，宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的． （1）求配色条纹的宽度； （2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价． 题型三、分式方程应用题 6. 某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72千米，部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的倍，求大型客车的速度． 7. 某公司打算购买一批相同数量的玻璃杯和保温杯，计划用2000元购买玻璃杯，用2800元购买保温杯．已知一个保温杯比一个玻璃杯贵10元，求一个玻璃杯的价格． 8. 为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵树是原计划的倍，结果提前4天完成任务，原计划每天种树多少棵？ 题型四、一次函数应用题 9. 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如表： x/元 … 15 20 25 … y/件 … 25 20 15 … 已知日销售量y是销售价x的一次函数． （1）求日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式； （2）当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润是多少元？ 10. 某网店专门销售某种品牌的笔筒，成本为20元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图，其中规定每天笔筒的销售量不低于210件． （1）写出y与x之间的函数关系式 　 _； （2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 11. 甲骑电动车从A地驶向B地，甲行驶2min后，乙骑摩托车沿同一直路从A地驶向B地，已知乙的速度是甲速度的2倍．在整个行驶过程中，甲离A地的距离（单位：m）与时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示． （1）乙行驶_________min后追上甲； （2）在图中画出乙离A地的距离（单位：m）与时间x之间的函数图象； （3）已知A、B两地的距离为3500米，乙追到甲时距离B地还有2000米，当乙在行驶途中与甲相距不超过500米时，求x的取值范围． 12. 某商场销售一种小商品，进货价为40元/件.当售价为60元/件时，每天的销售量为300件．在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件．设销售价格上涨元/件（为偶数），每天的销售量为件． （1）当销售价格上涨10元时，每天对应的销售量为______件． （2）请写出与的函数关系式． （3）设每天的销售利润为元，为了让利于顾客，则每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少? 13. 某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度，小聪想用刻度不超过的温度计测算出这种食用油沸点的温度，在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔10s测量一次锅中油温，得到的数据记录如下： 时间t/s 0 10 20 30 40 油温y/℃ 10 30 50 70 90 （1）小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y（单位：℃）与加热的时间t（单位：s）符合初中学习过的某种函数关系，该函数关系是_____函数关系（请选填“一次、二次、反比例”）； （2）根据以上判断，求y关于t的函数表达式； （3）当加热到115s时，油沸腾了，请推算该食用油沸点温度． 14. 无人快递车在我市的城市道路上已正式“上岗”．现有一条笔直的路上依次有三个快递网点，甲车由网点地驶往网点，乙车由网点地驶往网点，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离网点的路程（单位：千米）与乙车行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车的速度是_______千米/时； （2）求图象中线段的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （3）当两车距网点的路程之和是360千米时，此时乙车的行驶时间为_______． 题型五、二次函数应用题 15. 平安路上，多“盔”有你．在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶80元，售价为每顶120元，平均每周可售出200顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于108元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶． （1）该商店若希望每周获利12000元，则每顶头盔应降价多少元？ （2）当每顶头盔的售价为多少元，商店每周获得最大利润，最大利润是多少？ 17. 某公司销售一批产品，进价每件50元，经市场调研，发现售价为60元时，可销售800件，售价每提高1元，销售量将减少25件.公司规定:售价不超过70元. (1)若公司在这次销售中要获得利润10800元，问这批产品的售价每件应提高多少元? (2)若公司要在这次销售中获得利润最大，问这批产品售价每件应定为多少元? 18. 2021年春节，不少市民响应国家号召原地过年．为保障市民节日消费需求，某商家宣布“今年春节不打烊”，该商家以每件80元价格购进一批商品，规定每件商品的售价不低于进价且不高于100元，经市场调查发现，该批商品的日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示： 每件售价（元） … 85 90 95 … 日销售量（件） … 230 180 130 … （1）求与之间的函数关系式； （2）当每件商品的售价定为多少元时，该批商品的日销售利润最大？日销售最大利润是多少？ 题型六、解直角三角形应用题 19. 如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图2，从侧面看，立柱DE高1.8米，踏板静止时踏板连杆与DE上的线段AB重合，BE长为0.2米，当踏板连杆绕着点A旋转到AC处时，测得∠CAB＝37°，此时点C距离地面的高度CF为0.45米，求AB和AD的长(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 20. 如图，在一条笔直的海岸线上有，两个观测站，在的正东方向．有一艘小船从处沿北偏西方向出发，以每小时20海里速度行驶半小时到达处，从处测得小船在它的北偏东的方向上． （1）求的距离； （2）小船沿射线的方向继续航行一段时间后，到达点处，此时，从测得小船在北偏西的方向．求点与点之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号） 21. 有一水果摊，其侧面示意图如图所示，分别是水果摊前挡板，后挡板，均与水平地面垂直，，，坡面是水果放置区，坡度为，在后挡板的正上方点E处安装顶棚，，且，此时顶棚的另一端点F到前挡板的水平距离．（参考数据，） （1）水果放置区的水平宽度； （2）求顶棚端点F离地面的高度．（精确到1） 22. 如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午点，一条船从海岛出发，以海里/时的速度由西向东方向航行，时整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向． （1）求处到灯塔的距离； （2）已知在以灯塔为中心，周围海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 23. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状下的侧面结构示意图(是基座的高，是主臂，是伸展臂，)．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角． （1）求点P到地面的高度； （2）若，求的长．（结果保留根号）（参考数据，，，） 24. 如图是某座山的索道缆车，如图是其中一段索道的示意图，点A为观景台，点B是缆车停靠点．从山脚D处看A处的仰角为，从A处看B处的俯角为，点A与点D之间的距离，点B到山脚的距离． （1）求点A到山脚的距离； （2）求的长（结果精确到）．（参考数据：，，，，，） 1. 《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：四只雀、六只燕共重一斤：雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少斤？ 2. 某商场今年8月营业额为400万元，9月份营业额比8月份增加10%，11月份的营业额达到633.6万元，求9月份到11月份营业额的月平均增长率． 3. 2025年3月19日，习近平总书记来到云南丽江古城考察，称“云南咖啡代表着中国，现在国外也是受欢迎的．”已知云南咖啡厂甲团队加工1000千克咖啡豆需要的时间比乙团队加工800千克咖啡豆需要的时间多2天，乙团队每天的工作效率是甲团队的1.25倍．求甲、乙团队每天各能加工多少千克咖啡豆？ 4. 某公司生产了一款新能源电动汽车，该款汽车充满电后电池的剩余电量是其行驶路程的一次函数．已知该款汽车的行驶路程为时，剩余电量为；行驶路程为时，剩余电量为． （1）求与之间的函数表达式； （2）当电池电量低于时，该款汽车将会发出电量警报，提示及时充电．行驶多少千米后，该款汽车将会发出电量警报？ 5. 某文具店计划用不高于1600元的资金购进甲、乙两款书包共30个．已知甲款书包每个进价70元，乙款书包每个进价40元． （1）该文具店最多购进多少个甲款书包？ （2）若该文具店以甲款书包每个100元，乙款书包每个60元的价格将这30个书包全部卖出，则哪种进货方案能获利最大？最大获利是多少元？ 6. 某校运动会欲购买，两种奖品，若购买种奖品件和种奖品件，共需元；若购买种奖品件和种奖品件，共需元． （1）求、两种奖品的单价各是多少元？ （2）学校计划购买，两种奖品共件，购买费用不超过元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的倍，设购买种奖品件，购买费用为元，写出元与件之间的函数关系式求出自变量的取值范围． 7. “互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为元(为正整数)，每月的销售量为条． (1)直接写出与的函数关系式； (2)设该网店每月获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ (3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？ 8. 某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． （1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）若甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，如将购进的甲、乙两种商品全部售出，求售出后两种商品总利润的最大值． 9. 一家水果超市以每斤4元的价格购进橘子若干斤，然后以每斤6元的价格出售，每天可售出80斤，通过调查发现，这种橘子每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤． （1）若将橘子每斤的售价降低元，则每天的销售量是____________斤（用含的代数式表示）； （2）销售这批橘子要想每天盈利280元，且保证每天至少售出220斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？ （3）当每斤橘子售价为多少元时，才能在一天内获得最大利润？最大利润是多少? 10. 无人机在各行各业都有广泛应用．某地利用无人机投放救灾物资，物资包裹距地面的高度米与离投放点的水平距离米的关系为，当无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为20米． （1）求物资包裹下落过程中y与x的函数关系式； （2）若无人机投放点正前方15米地面有10米高的障碍物，通过计算判断物资包裹下落过程中是否会撞上障碍物； （3）若投放点向上升高米，物资包裹经过的抛物线形状不变，求包裹落地点距离投放点的水平距离增加了多少． 11. 生活中我们经常看见如图1所示的落地晾衣架，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，和分别是两根不同长度的支撑杆，夹角．若，．问：当时，较长支撑杆的端点A离地面的高度约为多少？（参考数据：，，，．） 12. 如图，避风港M在岛礁P正东方向上．一艘渔船正以海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在北偏东方向上，继续航行小时后到达B处时测得岛礁P在北偏东方向，避风港M在北偏东方向上．求此时渔船离避风港的距离．（参考数据：，，，） 13. （科技成就）随着技术的发展，为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座坡度为的小山坡上新建了一座大型的网络信号发射塔（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块警示牌，当太阳光线与水平线成角时，测得信号塔落在警示牌上的影子长为3米．求信号塔的高．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学三轮满分冲刺一卷过（江苏专用） 专题03 应用题六大类型 1. 我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果1托为5尺，那么索长为_______尺．（其大意为：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺．） 【答案】20 【解析】 【分析】设绳索长尺，根据两种量竿的方法建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设绳索长尺， 由题意得：， 解得， 即绳索长20尺， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键． 2. 某商店三月份的利润是25000元，要使五月份的利润达到36000元，假设每月的利润增长率相同，那么这个相同的增长率是________ 【答案】 【解析】 【分析】设每月的利润增长率为x，根据该商店三月份及五月份的利润，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每月的利润增长率为x， 依题意，得：， 解得：，不合题意，舍去． 故答案为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3. 我国是世界上第一个成功研发和推广杂交水稻的国家某农业基地现有杂交水稻种植面积30公顷，计划逐年增加杂交水稻种植面积，两年后将杂交水稻种植面积增加到公顷，设该农业基地这两年杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据计划两年后将杂交水稻种植面积增至公顷，即可得出关于的一元二次方程； 【详解】解：依题意，得：． 故答案为：． 4. 《九章算术》“方程”篇中有这样一道题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱八十，乙得甲太半（注：太半，意思为三分之二）而钱亦八十．问甲、乙持钱各几何？”若设甲、乙原本各持钱x、y，则根据题意可列方程组为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据甲、乙原本各持钱x、y，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=80，乙的钱+甲所有钱的，据此列方程组可得． 【详解】解：设甲、乙原本各持钱x、y，根据题意， 得：， 故答案是：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组． 5. 我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列的方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为步，再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步， ∴矩形的长为步． 依题意，得：． 故选D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6. 2018年某公司一月份的销售额是50万元，第一季度的销售总额为182万元，设第一季度的销售额平均每月的增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】等量关系为：4月份销售额+4月份销售额×（1+增长率）+4月份销售额×（1+增长率）2=182，把相关数值代入计算求得合适解即可． 【详解】设月增长率为x，根据：等量关系为：4月份销售额+4月份销售额×（1+增长率）+4月份销售额×（1+增长率）2=182，得 50+50（1+x）+50（1+x）2=182． 故选D 【点睛】考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b；得到第二季度的总销售额的等量关系是解决本题的关键． 7. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：枚黄金重x两，每枚白银重y两 由题意得： 故选D． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 8. 淮安马拉松全程的总赛程约为千米，途经众多历史人文景观和现代都市区域，参赛者将领略“伟人故里”“运河之都”“美食之都”“文化名城”四张城市名片的独特魅力（如图）．在同一场比赛中选手甲的平均速度是选手乙的倍，最终甲冲刺终点的时间比乙提早分钟，若乙的平均速度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙的平均速度为，由题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设乙的平均速度为，则甲的平均速度为， 由题意得：， 故选：． 9. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出数量关系是解题关键．设清酒x斗，则醑酒斗，根据题意正确列方程即可． 【详解】解：设清酒x斗，则醑酒斗， 由题意可得：， 故选：A． 10. 为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为元，根据“用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个”列方程即可． 【详解】解：设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为元， 由题意可得：， 故选：A． 【点睛】本题考查分式方程的应用，正确理解题意是关键． 11. 数学老师根据我国古代数学名著《九章算术》方程篇改编了一道题：贩粟归梓，空车日行百里，满载日行六十，十一日二返，外地几何？大意是：去外地采购谷物回乡，空车日行里，装满后日行里，天往返乡里两次，求到外地有多少里？设到外地有里，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设到外地有里，由题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设到外地有里， 由题意得：， 故选：． 题型一、二元一次方程组应用题 1. 我国古代数学名著《九章算术》中记载了一道数学问题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？其大意：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．求合伙人数是多少？ 【答案】合伙买羊的有21人 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解二元一次方程组，设合伙买羊的有人，羊价为钱，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设合伙买羊的有人，羊价为钱， 依题意，得：，解得． 答：合伙买羊的有21人． 2. 得益于“互联网”和人工智能的发展，无人配送服务行业已经进入人们的生活．某大学校园内使用了无人配送车和无人机配送快递．已知一架无人机一次可运送3千克货物，一辆无人配送车一趟可运送120千克货物．快递公司提供了无人机和无人配送车共30台运送2430千克货物，求运送物资使用的无人机和无人配送车各有几台． 【答案】无人机10台，无人配送车20台 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设运送物资使用的无人机有台，无人配送车有台，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解． 【详解】解：设运送物资使用的无人机有台，无人配送车有台， 根据题意，得， 解得， 答：运送物资使用的无人机10台，无人配送车20台． 3. 利用二元一次方程组解应用题：某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具，据了解，8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3100元，求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元． 【答案】“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是150元，80元 【解析】 【分析】设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为x元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为y元，根据题意列方程组解方程即可． 【详解】解：设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为x元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为y元， 由题意得：，解得：， 答：“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为150元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为80元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，明确题意，找等量关系是解题的关键． 题型二、一元二次方程应用题 4. 某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率． 【答案】20% 【解析】 【分析】设每月获得的利润的增长率是x，然后用x分别表示出2月份和3月份，根据“3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元”列方程求解． 【详解】设这个增长率为x． 依题意得：20（1+x）2﹣20（1+x）=4.8， 解得 x1=0.2，x2=﹣1.2（不合题意，舍去）． 0. 2=20%． 答：这个增长率是20%． 5. 如图，一块长5米，宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的． （1）求配色条纹的宽度； （2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价． 【答案】（1）配色条纹的宽度为 米 （2）元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系列方程是解题的关键． （1）设条纹的宽度为米，根据图中所示可列出条纹面积的代数式为，又根据题意得出等量关系：配色条纹面积整个地毯面积，列出方程求解即可； （2）根据： 总价单价数量，地毯总造价条纹面积造价其余面积造价，地毯总面积中，条纹面积占则其余面积占代入数据计算即可． 【小问1详解】 设配色条纹的宽度为米，根据题意，可列方程为： 整理得， ， 解得 (不符合题意，舍去)，， 答：配色条纹的宽度为 米； 【小问2详解】 条纹造价： (元) ， 其余部分造价： (元) ， 总造价为： (元) ， 所以地毯的总造价是元． 题型三、分式方程应用题 6. 某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72千米，部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的倍，求大型客车的速度． 【答案】大型客车的速度为 【解析】 【分析】设出慢车的速度，再利用慢车的速度表示出快车的速度，根据所用时间差为12分钟列方程解答. 【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为， 根据题意得 ， 解得：， 经检验，是原方程的根. 故大型客车的速度为. 【点睛】此题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键，此题的等量关系是快车与慢车所用时间差为12分钟. 7. 某公司打算购买一批相同数量的玻璃杯和保温杯，计划用2000元购买玻璃杯，用2800元购买保温杯．已知一个保温杯比一个玻璃杯贵10元，求一个玻璃杯的价格． 【答案】一个玻璃杯的价格是25元． 【解析】 【分析】由题目可知等量关系即相同数量的玻璃杯和保温杯，根据数量相等可以列出方程，进行解答． 【详解】解：设一个玻璃杯的价格是x元． 由题意，得：， 解这个方程，得：x＝25． 经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意． 答：一个玻璃杯的价格是25元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，其中根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 8. 为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵树是原计划的倍，结果提前4天完成任务，原计划每天种树多少棵？ 【答案】原计划每天种树60棵． 【解析】 【详解】试题分析：设原计划每天种树x棵，则实际每天种树为x棵，根据实际比原计划提前4天完成任务，列方程求解． 试题解析：设原计划每天种树x棵，则实际每天种树为x棵， 由题意得，， 解得：x=60， 经检验，x=60是原方程的解，且符合题意． 答：原计划每天种树60棵． 题型四、一次函数应用题 9. 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如表： x/元 … 15 20 25 … y/件 … 25 20 15 … 已知日销售量y是销售价x的一次函数． （1）求日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式； （2）当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润是多少元？ 【答案】（）；（）此时每天利润为元． 【解析】 【详解】试题分析：（1） 根据题意用待定系数法即可得解； （2）把x=35代入（1）中的解析式，得到销量，然后再乘以每件的利润即可得. 试题解析：（）设，将，和，代入，得：，解得：， ∴； （）将代入（）中函数表达式得： ， ∴利润（元）， 答：此时每天利润为元． 10. 某网店专门销售某种品牌的笔筒，成本为20元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图，其中规定每天笔筒的销售量不低于210件． （1）写出y与x之间的函数关系式 　 _； （2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价为40元时，每天获取的利润最大，最大利润是4000元 【解析】 【分析】（1）可用待定系数法来确定与之间的函数关系式； （2）根据利润销售量单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， ， 解得，， 与之间的函数关系式为， 故答案为：； 【小问2详解】 设利润为元， 则， ， 时，， 当销售单价为40元时，每天获取的利润最大，最大利润是4000元． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用，利用函数性质得出最值是解题关键 11. 甲骑电动车从A地驶向B地，甲行驶2min后，乙骑摩托车沿同一直路从A地驶向B地，已知乙的速度是甲速度的2倍．在整个行驶过程中，甲离A地的距离（单位：m）与时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示． （1）乙行驶_________min后追上甲； （2）在图中画出乙离A地的距离（单位：m）与时间x之间的函数图象； （3）已知A、B两地的距离为3500米，乙追到甲时距离B地还有2000米，当乙在行驶途中与甲相距不超过500米时，求x的取值范围． 【答案】（1）2 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解一元一次不等式，正确理解题意、数形结合是解题的关键 （1）设甲的速度为，则乙的速度为,设乙行驶tmin后追上甲，当乙追上甲时二人行驶的路程相等，据此列关于t的一元一次方程并求解即可； （2）当时，，当时，两个函数图象相交，据此即可画出函数图象； （3）分别求出甲、乙离A地的距离与时间之间的函数关系式，再根据乙在行驶途中与甲相距不超过500米，列关于x的绝对值不等式并求其解集即可． 【小问1详解】 解：设甲的速度为，则乙的速度为，设乙行驶tmin后追上甲， 根据题意可得：， 解得：， 所以乙行驶2min后追上甲； 故答案为：2； 【小问2详解】 解：当时，，当时，两个函数图象相交，则乙离A地的距离（单位：m）与时间x之间的函数图象如图： 【小问3详解】 解：根据题意可得：甲的速度为， 乙的速度为， 甲到达B地的时间为， 乙到达B地的时间为（min）， 甲离A地的距离与时间x的函数关系式是， 乙离A地的距离与时间x的函数关系式是， 当时，乙在行驶途中与甲相距不超过500米时，， 解得：． 12. 某商场销售一种小商品，进货价为40元/件.当售价为60元/件时，每天的销售量为300件．在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件．设销售价格上涨元/件（为偶数），每天的销售量为件． （1）当销售价格上涨10元时，每天对应的销售量为______件． （2）请写出与的函数关系式． （3）设每天的销售利润为元，为了让利于顾客，则每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少? 【答案】（1）200 （2）与的函数关系式为 （3）每件商品的销售单价定为64元时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】（1）根据销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件即可得到答案； （2）根据销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件可得到与的函数关系式； （3）先求出利润关于x的二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件， ∴当销售价格上涨10元时，每天对应的销售量为（件）， 故答案为：200 【小问2详解】 设销售价格上涨元/件， 销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件. 其销售量； 【小问3详解】 依题意可得每天的销售利润为， 故当时，最大值， 但为偶数，当或时，有最大利润， 为了让利于顾客， ，符合题意，此时． 此时销售单价为（元）， ∴每件商品的销售单价定为64元时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 【点睛】此题主要考查了一次函数和二次函数的应用，读懂题意，正确列函数解析式是解题的关键． 13. 某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度，小聪想用刻度不超过的温度计测算出这种食用油沸点的温度，在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔10s测量一次锅中油温，得到的数据记录如下： 时间t/s 0 10 20 30 40 油温y/℃ 10 30 50 70 90 （1）小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y（单位：℃）与加热的时间t（单位：s）符合初中学习过的某种函数关系，该函数关系是_____函数关系（请选填“一次、二次、反比例”）； （2）根据以上判断，求y关于t的函数表达式； （3）当加热到115s时，油沸腾了，请推算该食用油沸点温度． 【答案】（1）一次 （2）； （3）该油的沸点温度是． 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用、用待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法正确求出一次函数的解析式是解题关键． （1）根据表格中两个变量对应值变化的规律，分析即可解答； （2）直接利用待定系数法即可求解； （3）将代入（2）求得的函数解析式中即可求解． 【小问1详解】 解：根据表格中两个变量对应值变化的规律可知，时间每增加，油的温度就升高， 故锅中油温与加热的时间可能是一次函数关系； 故答案为：一次； 【小问2详解】 解：设锅中油温与加热的时间的函数关系式为， 将点，代入得，， 解得：， ； 【小问3详解】 解：当时，， 经过推算，该油的沸点温度是． 14. 无人快递车在我市的城市道路上已正式“上岗”．现有一条笔直的路上依次有三个快递网点，甲车由网点地驶往网点，乙车由网点地驶往网点，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离网点的路程（单位：千米）与乙车行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车的速度是_______千米/时； （2）求图象中线段的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （3）当两车距网点的路程之和是360千米时，此时乙车的行驶时间为_______． 【答案】（1） （2） （3） 或小时 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，数形结合是解题的关键． （1）根据函数图象，结合路程除以速度，即可求解； （2）先求得乙车的速度，进而得出，待定系数求得解析式，即可求解； （3）分别求得各段解析式，根据题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，千米/时； 故答案为：． 【小问2详解】 解：乙车的速度为千米/时； 而， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴． 【小问3详解】 解：由题意设， ∴， 解得：， ∴， 同理可得：当时，， ∴， 设乙车的行驶小时后，两车距B的路程之和是千米， 当乙未过时， 解得： 当乙经过B后， ， （舍） 当甲到达后， 答：乙车的行驶 或小时后两车距B的路程之和是千米． 题型五、二次函数应用题 15. 平安路上，多“盔”有你．在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶80元，售价为每顶120元，平均每周可售出200顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于108元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶． （1）该商店若希望每周获利12000元，则每顶头盔应降价多少元？ （2）当每顶头盔的售价为多少元，商店每周获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）20元；（2）当每顶头盔的售价为105元，商店每周获得最大利润，最大利润是12500元． 【解析】 【分析】（1）设每顶头盔降价元，从而可得平均每周可售出顶，再根据“每周获利12000元”建立方程，解方程即可得； （2）设商店每周获得最大利润元，每顶头盔的售价为元，从而可得平均每周可售出顶，再根据利润公式可得与的函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：（1）设每顶头盔降价元，则平均每周可售出顶， 由题意得：， 解得或， 当时，售价为，不符题意，舍去， 当时，售价，符合题意， 答：每顶头盔应降价20元； （2）设商店每周获得最大利润元，每顶头盔的售价为元，则平均每周可售出顶，且， 由题意得：， 整理得：， 由二次函数的性质可知，在内，当时，取最大值12500， 答：当每顶头盔的售价为105元，商店每周获得最大利润，最大利润是12500元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，正确建立方程和函数关系式是解题关键． 17. 某公司销售一批产品，进价每件50元，经市场调研，发现售价为60元时，可销售800件，售价每提高1元，销售量将减少25件.公司规定:售价不超过70元. (1)若公司在这次销售中要获得利润10800元，问这批产品的售价每件应提高多少元? (2)若公司要在这次销售中获得利润最大，问这批产品售价每件应定为多少元? 【答案】（1）8元；（2）售价70元时，利润最大. 【解析】 【分析】（1）设每件售价提高x元，由题意得(10+x)(800-25x)=10800,;（2）设售价提高x元，利润y元，则,在0≤x≤10范围内求函数最值. 【详解】解：（1）设每件售价提高x元， 由题意得(10+x)(800-25x)=10800, 解得：x1=8,x2=14, 因为0≤x≤10 所以，x=8 答：售价应提高8元. （2）设售价提高x元，利润y元，则 因为0≤x≤10，当x=10元时，利润最大. 答：售价为70元，获得利润最大. 【点睛】理解题意，把问题转化为二次函数的最值问题是关键. 18. 2021年春节，不少市民响应国家号召原地过年．为保障市民节日消费需求，某商家宣布“今年春节不打烊”，该商家以每件80元价格购进一批商品，规定每件商品的售价不低于进价且不高于100元，经市场调查发现，该批商品的日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示： 每件售价（元） … 85 90 95 … 日销售量（件） … 230 180 130 … （1）求与之间的函数关系式； （2）当每件商品的售价定为多少元时，该批商品的日销售利润最大？日销售最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）94元，1960元． 【解析】 【分析】（1）根据日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系利用待定系数法求解可得； （2）根据“日销售利润每件利润日销售量”可得日销售利润的函数解析式，将函数解析式配方成顶点式即可得最值情况． 【详解】解：（1）设，将、代入，得： ， 解得：， ； （2）设该批商品的日销售利润为元， ， ， 当时，取得最大值为1960， 答：当每件商品的售价定为94元时，该批商品的日销售利润最大，日销售最大利润是1960元． 【点睛】本题主要考查二次函数和一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质． 题型六、解直角三角形应用题 19. 如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图2，从侧面看，立柱DE高1.8米，踏板静止时踏板连杆与DE上的线段AB重合，BE长为0.2米，当踏板连杆绕着点A旋转到AC处时，测得∠CAB＝37°，此时点C距离地面的高度CF为0.45米，求AB和AD的长(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 【答案】米，米． 【解析】 【分析】过点作于，则四边形是矩形，根据矩形的性质可得，设，求得，，根据三角函数的定义列方程即可得到结论． 【详解】 解：过点作于， 则四边形是矩形， ∴， 设， ∴， ∴，， 在中，，， ， 解得：， ∴米，米， 答：和的长分别为1.25米，0.35米． 故答案为米，米. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数的定义是解题的关键． 20. 如图，在一条笔直的海岸线上有，两个观测站，在的正东方向．有一艘小船从处沿北偏西方向出发，以每小时20海里速度行驶半小时到达处，从处测得小船在它的北偏东的方向上． （1）求的距离； （2）小船沿射线的方向继续航行一段时间后，到达点处，此时，从测得小船在北偏西的方向．求点与点之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号） 【答案】（1）海里；（2）海里． 【解析】 【分析】（1）过点作于点,利用余弦定义解出AP、AD的长，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解得PD的长，最后根据等腰直角三角形两直角边相等的性质解题即可； （2）过点作于点，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，解得BF的长，在中，由勾股定理解得BC的长即可． 【详解】解：（1）如图，过点作于点， 在中，，， ∵， ∴ 在中，，， ∴． ∴海里 （2）如图，过点作于点， 在中，，， ∴ 在中，． 在中，，， ∴海里． ∴点与点之间的距离为海里． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用之方向角的问题，其中涉及含30°角的直角三角形的性质、余弦、三角形内角和、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，正确作出辅助线，构造直角三角形、掌握相关知识是解题关键． 21. 有一水果摊，其侧面示意图如图所示，分别是水果摊前挡板，后挡板，均与水平地面垂直，，，坡面是水果放置区，坡度为，在后挡板的正上方点E处安装顶棚，，且，此时顶棚的另一端点F到前挡板的水平距离．（参考数据，） （1）水果放置区的水平宽度； （2）求顶棚端点F离地面的高度．（精确到1） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． （1）如图1，过点作于，则四边形是矩形，，，，由，可求，进而可得； （2）如图1，过点作于，则四边形是矩形，，，，由，即，可求，根据，求解作答即可． 【小问1详解】 解：如图1，过点作于， 又∵，， 四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴水果放置区的水平宽度为； 【小问2详解】 解：如图1，过点作于， 又，， 四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，，即， 解得，， ∴， ∴顶棚端点F离地面高度为． 22. 如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午点，一条船从海岛出发，以海里/时的速度由西向东方向航行，时整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向． （1）求处到灯塔的距离； （2）已知在以灯塔为中心，周围海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】（1）海里 （2）有触礁的危险，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据已知条件得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）过作交的延长线于点，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：根据题意得，， （海里）， ， ， （海里）， 故处到灯塔的距离为海里； 【小问2详解】 解：有触礁的危险，理由如下： 过作交的延长线于点， （海里），， （海里）， ， 若该船继续由西向东航行会有触礁的危险． 23. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状下的侧面结构示意图(是基座的高，是主臂，是伸展臂，)．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角． （1）求点P到地面的高度； （2）若，求的长．（结果保留根号）（参考数据，，，） 【答案】（1）点到地面的高度约为； （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答； （2）根据三角形的内角和定理和解直角三角形即可得到结论． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，， 在中，，， ， ， 点到地面的高度约为； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， ，， ， ． 24. 如图是某座山的索道缆车，如图是其中一段索道的示意图，点A为观景台，点B是缆车停靠点．从山脚D处看A处的仰角为，从A处看B处的俯角为，点A与点D之间的距离，点B到山脚的距离． （1）求点A到山脚的距离； （2）求的长（结果精确到）．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1）点到山脚的距离约为 （2）的长约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． （1）过作于，则，在中，由即可解答； （2）过作于，证明四边形是矩形，所以，求得，由得，在中，由即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过作于，则， 在中，， ， 答：点到山脚的距离约为； 【小问2详解】 解：如图，过作于，则， ， 四边形矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 答：的长约为． 1. 《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：四只雀、六只燕共重一斤：雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少斤？ 【答案】雀的重量为斤，燕的重量为斤 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 设雀重斤，燕重斤，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设雀重斤，燕重斤，根据题意得， 解得：， 答：雀重斤，燕重斤． 2. 某商场今年8月营业额为400万元，9月份营业额比8月份增加10%，11月份的营业额达到633.6万元，求9月份到11月份营业额的月平均增长率． 【答案】20% 【解析】 【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设9月份到11月份营业额的月平均增长率为x，则10月份的营业额是400（1+10%）（1+x），11月份的营业额是400（1+10%）（1+x）2，据此即可列方程求解． 【详解】解：设9月份到11月份营业额的月平均增长率为x， 依题意得：400（1+10%）（1+x）2＝633.6， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：9月份到11月份营业额的月平均增长率为20%． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用--增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），根据题意找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 3. 2025年3月19日，习近平总书记来到云南丽江古城考察，称“云南咖啡代表着中国，现在国外也是受欢迎的．”已知云南咖啡厂甲团队加工1000千克咖啡豆需要的时间比乙团队加工800千克咖啡豆需要的时间多2天，乙团队每天的工作效率是甲团队的1.25倍．求甲、乙团队每天各能加工多少千克咖啡豆？ 【答案】甲团队每天加工180千克咖啡豆，乙团队每天加工225千克咖啡豆 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，设甲团队每天加工千克咖啡豆，则乙团队每天加工千克咖啡豆，根据甲团队加工1000千克咖啡豆需要的时间比乙团队加工800千克咖啡豆需要的时间多2天，再建立分式方程求解即可． 【详解】解：设甲团队每天加工千克咖啡豆，则乙团队每天加工千克咖啡豆， ， ， 经检验是原分式方程的解且符合题意， ， 答：甲团队每天加工180千克咖啡豆，乙团队每天加工225千克咖啡豆． 4. 某公司生产了一款新能源电动汽车，该款汽车充满电后电池的剩余电量是其行驶路程的一次函数．已知该款汽车的行驶路程为时，剩余电量为；行驶路程为时，剩余电量为． （1）求与之间的函数表达式； （2）当电池电量低于时，该款汽车将会发出电量警报，提示及时充电．行驶多少千米后，该款汽车将会发出电量警报？ 【答案】（1） （2）行驶320千米后，该款汽车会发出电量警报 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，读懂题意，准确求出与之间的函数表达式是解决问题的关键． （1）根据题意，利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案； （2）由（1）中求得的与之间的函数表达式，求出满电量，得到报警电量，代入表达式解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：设， 根据题意得，解得， 与之间的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：当时，，则， 当时，，解得， 行驶320千米后，该款汽车会发出电量警报． 5. 某文具店计划用不高于1600元的资金购进甲、乙两款书包共30个．已知甲款书包每个进价70元，乙款书包每个进价40元． （1）该文具店最多购进多少个甲款书包？ （2）若该文具店以甲款书包每个100元，乙款书包每个60元的价格将这30个书包全部卖出，则哪种进货方案能获利最大？最大获利是多少元？ 【答案】（1）最多购进甲书包13个； （2）购进甲书包13个，乙书包17个时，获利最大；最大获利（元）． 【解析】 【分析】（1）设购进甲款书包x个，则乙书包个，由题意得，解不等式，求最大整数解；（2）设获利w元，则，运用一次函数的增减性，得时，w取最大值，即购进甲书包13个，乙书包17个时，获利最大，最大值． 【小问1详解】 设购进甲款书包x个，则乙书包个，由题意得 ∴，取最大整数解，即 ∴最多购进甲书包13个． 【小问2详解】 设获利w元，则 ∵ ∴时，w取最大值，即购进甲书包13个，乙书包17个时，获利最大， 最大获利（元）． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用、一次函数的增减性；审题得出不等关系、在自变量取值范围内确定极值是解题的关键． 6. 某校运动会欲购买，两种奖品，若购买种奖品件和种奖品件，共需元；若购买种奖品件和种奖品件，共需元． （1）求、两种奖品的单价各是多少元？ （2）学校计划购买，两种奖品共件，购买费用不超过元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的倍，设购买种奖品件，购买费用为元，写出元与件之间的函数关系式求出自变量的取值范围． 【答案】（1）中奖品的单价为12元，种奖品的单价为16元 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，，不等式的应用，解题的关键是掌握相关的知识． （1）设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解； （2）根据购买费用种奖品的费用种奖品可求出元与件之间的函数关系式，再根据题意列出不等式组可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元， 由题意得：， 解得：， 答：种奖品的单价为元，种奖品的单价为元； 【小问2详解】 由题意可得：， 购买费用不超过元， ， 解得：， 又种奖品数量不大于种奖品数量的倍， ， 解得：， 自变量的取值范围． 7. “互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为元(为正整数)，每月的销售量为条． (1)直接写出与的函数关系式； (2)设该网店每月获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ (3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？ 【答案】(1)；(2)当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；(3)当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠． 【解析】 【分析】(1)直接利用销售单价每降1元，则每月可多销售5条得出与的函数关系式； (2)利用销量×每件利润＝总利润进而得出函数关系式求出最值； (3)利用总利润，求出的值，进而得出答案． 【详解】解：(1)由题意可得：整理得； (2)由题意，得： ∵， ∴有最大值， 即当时，， ∴应降价(元) 答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元； (3)由题意，得： 解之，得：，， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，符合该网店要求 而为了让顾客得到最大实惠，故， ∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案，正确得出与之间的函数关系式是解题关键． 8. 某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． （1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）若甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，如将购进的甲、乙两种商品全部售出，求售出后两种商品总利润的最大值． 【答案】（1）每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元 （2）售出后两种商品总利润的最大值为405元 【解析】 【分析】（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为元，根据题意建立方程求出其解就可以了． （2）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品个．设售出后两种商品总利润为w元，“根据进两种商品的总数量不超过95个”可得出不等式，求出y的取值范围，然后列关于w的关系式，再求解即可． 【小问1详解】 解：设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的根， 每件甲种商品的进价为：（元）． 答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元． 【小问2详解】 解：设购进乙种商品y个，则购进甲种商品个．设售出后两种商品总利润为w元， 由题意得：． 解得， ， ∵， ∴w随y的增大而增大， ∴当时，w取最大值，且最大值为： （元）， 答：售出后两种商品总利润的最大值为405元． 【点睛】本题考查分式方程的应用及一元一次不等式的应用，一次函数的应用，找出等量关系与不等关系列出方程与不等式是解题关键． 9. 一家水果超市以每斤4元的价格购进橘子若干斤，然后以每斤6元的价格出售，每天可售出80斤，通过调查发现，这种橘子每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤． （1）若将橘子每斤的售价降低元，则每天的销售量是____________斤（用含的代数式表示）； （2）销售这批橘子要想每天盈利280元，且保证每天至少售出220斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？ （3）当每斤橘子售价为多少元时，才能在一天内获得最大利润？最大利润是多少? 【答案】（1） （2）水果店需将每斤橘子的售价降低1元 （3）当每斤橘子售价为5.2元时，才能在一天内获得最大利润，最大利润是288元 【解析】 【分析】本题考查二次函数解析式和一元二次方程的应用； （1）利用每天的销售量=降低的价格，即可用含x的代数式表示出每天的销售量； （2）利用每天销售利润=每斤的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要保证每天至少售出220斤，即可确定x的值，进而可得出每斤的售价降低的钱数． （3）设将这种橘子每斤的售价降低元，一天内获得的利润为元，列出二次函数解析式，即可求解 【小问1详解】 由题意得：斤， 故答案为： 【小问2详解】 设：水果店需将每斤橘子的售价降低元，则每斤橘子售价为元，由题意得： ， 解之得：， 为保证每天至少售出220斤，即 水果店需将每斤橘子的售价降低1元． 【小问3详解】 设将这种橘子每斤的售价降低元，一天内获得的利润为元， 由题意得： 当时， 每斤橘子的售价为 答：当每斤橘子售价为5.2元时，才能在一天内获得最大利润，最大利润是288元 10. 无人机在各行各业都有广泛应用．某地利用无人机投放救灾物资，物资包裹距地面的高度米与离投放点的水平距离米的关系为，当无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为20米． （1）求物资包裹下落过程中y与x的函数关系式； （2）若无人机投放点正前方15米地面有10米高的障碍物，通过计算判断物资包裹下落过程中是否会撞上障碍物； （3）若投放点向上升高米，物资包裹经过的抛物线形状不变，求包裹落地点距离投放点的水平距离增加了多少． 【答案】（1） （2）物资包裹下落过程中不会撞上障碍物，理由见解析 （3）包裹落地点距离投放点的水平距离增加了2米 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为20米，得到函数的图象过点，利用待定系数法求解即可； （2）依据题意，结合（1），令，则，可得，从而可以判断得解； （3）依据题意，由投放点向上升高米，物资包裹经过的抛物线形状不变，从而新抛物线解析式为，又令，可得，求出x后即可判断得解． 【小问1详解】 解：无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为20米， 函数的图象过点， ， ， 与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由（1）知， 令，则， ∵， 答：物资包裹下落过程中不会撞上障碍物． 【小问3详解】 解：投放点向上升高米，物资包裹经过的抛物线形状不变， 新抛物线解析式为 令，则， （舍去）， （米）， 包裹落地点距离投放点的水平距离增加了2米． 11. 生活中我们经常看见如图1所示的落地晾衣架，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，和分别是两根不同长度的支撑杆，夹角．若，．问：当时，较长支撑杆的端点A离地面的高度约为多少？（参考数据：，，，．） 【答案】较长支撑杆的端点A离地面的高度约为 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，作出合适的辅助线是本题的关键．过O作，可得，可得，求解，再进一步利用三角函数求解即可． 【详解】解：过O作，则， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：较长支撑杆的端点A离地面的高度约为． 12. 如图，避风港M在岛礁P正东方向上．一艘渔船正以海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在北偏东方向上，继续航行小时后到达B处时测得岛礁P在北偏东方向，避风港M在北偏东方向上．求此时渔船离避风港的距离．（参考数据：，，，） 【答案】250（海里） 【解析】 【分析】过点P、M分别作于C，于D，交的延长线于点C、D．于是得到海里，根据矩形的性质得到，设海里，解直角三角形即可得到结论． 【详解】过点P、M分别作于C，于D，交的延长线于点C、D， 由题意可知：海里， 则四边形为矩形， ∴， 设海里， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，（海里）， 答：渔船离避风港的距离为海里． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用：方向角问题；合理构建直角三角形是解决此题的关键． 13. （科技成就）随着技术的发展，为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座坡度为的小山坡上新建了一座大型的网络信号发射塔（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块警示牌，当太阳光线与水平线成角时，测得信号塔落在警示牌上的影子长为3米．求信号塔的高．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】信号塔的高为米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，同时涉及矩形的判定与性质，勾股定理等知识，延长交直线于点B，过点E作于点G，证明四边形是矩形，根据坡比先求出 ，，再根据，问题即可得解 详解】解：延长交直线于点B，过点E作于点G，如图， 根据题意有：，，，，，，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（米）， 答：信号塔的高为米． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $