专题03 三角形综合问题（压轴题专练，10大题型+强化训练）（江苏专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03三角形综合问题 01压轴命题透视 三角形作为中考数学的核心板块之一，是江苏中考数学的热门考点之一；从去年江 苏各地区的中考数学来看，三角形的压轴题型考法集中在全等三角形的判定与性质、 命题预测 特殊三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等等，同时也会考 查常见的辅助线添加问题，三角形中的最值问题等等；预计2026年江苏各地区的 压轴题型仍会有三角形的一席之地，考生应加以重视。 1.与三角形有关的线段压轴 2.与三角形有关的角压轴 3.全等三角形的判定与性质压轴 4.等腰三角形的判定与性质压轴 5.等边三角形的判定与性质压轴 6.直角三角形的性质压轴 高频考法 7.勾股定理压轴问题 8.相似三角形的判定与性质压轴 9.全等三角形中的模型问题 10.三角形中的最值问题 11.三角形与圆综合 12.三角形与函数综合 02压轴题型情讲 ●典例靶向突破 口题型01与三角形有关的线段压轴 1.(2025江苏宿迁二模)综合与实践： 【回归教材】 在八年级我们探究了三角形中边与角之间的不等关系，发现：在三角形中，大边对大角，大角对大边。 小明的探究方法如下： 如图1，在ABC中，如果AB>AC,作∠BAC的角平分线交BC于点E,在AB边上截取AD=AC,连接 DE,进而证明△ADE≌△ACE,则LC=LADE,:LADE>LB,:∠C>LB.这说明“"在三角形中，大边对 大角” 如图2，在ABC中，如果∠C>∠B,作EF垂直平分BC交AB于点F,则FB=FC, :AB=AF+FB=AF+FC>AC,AB>AC·这说明"在三角形中，大角对大边”. 1/85 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B E E 图1 图2 图3 【尝试探究】 (1)如图3，在ABC中，LC>LB,AE为∠BAC的角平分线交BC于点E,试证明：BE-CE<AB-AC; 【进阶思考】 (2)如图4，在ABC中，LACB=2LB,AE、CD分别为LBAC、∠ACB的角平分线，求证： CD+AD=AC+CE 【拓展运用】 (3)如图5，在ABC中，D为AB上一点，且LACB=∠CDA>90°，比较CD+AB和CA+CB的大小关系， 并说明理由. D B D B 图4 图5 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)CD+AB>CA+CB,见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，证明三角形的相似和全 等是解题的关键。 (I)在三角形中，在AB边上截取AD=AC,连接DE,证明△ADE≌△ACE(SAS),得到DE=CE,利用三 角形的三边关系即可得到答案； (2)延长AC至F,使得AF=AB,连接EF,证明△BAE≌△FAE(SAS),进一步得到CE=CF,即可证明 结论成立： 3》证明△4C8A40C,得到S把8G设6-8C-k,进一步进行解答即可 AD AC CD 【详解】(1)解：在三角形中，在AB边上截取AD=AC,连接DE, 2/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D :AE平分∠BAC, B E :∠BAE=LCAE 在ADE和△ACE中， AD=AC ∠DAE=∠CAE, AE=AE ∴.△ADE≌△ACE(SAS), :DE =CE, AB-AC=AB-AD=BD, BE-CE=BE-DE <BD, :BE-CE<AB-AC (2)证明：延长AC至F,使得AF=AB,连接EF,如图所示， :∠ACB=2∠B,AE、CD分别为∠BAC、∠ACB的角平分线， :∠BAE=LCAE,∠B=∠DCB=LACD, :BD CD. 在△BAE和△FAE中， AB=AF ∠BAE=∠CAE. AE=AE .∴△BAE≌△FAE(SAS), :∠F=∠B=∠DCB=∠ACD, ∠CEF+∠F=∠ACB=2LF, 故∠CEF=∠F, :.CE=CF. 3/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :CD+AD BD +AD AB=AF =AC+CF AC CE, 即CD+AD=AC+CE, (3)证明：CD+AB>CA+CB,理由如下： :LACB=∠CDA,LA=∠A, △ACB∽△ADC, AC AB BC AD AC CD 设4C-4BBC =k, AD AC CD AC kAD,AB=kAC,BC kCD, .AB=k2AD. .CD+AB=CD+k2AD,CA+CB=kAD+kCD, :CD+AB-(CA+CB)=CD+k2AD-kAD-kCD =(1-k)CD+kAD(k-1) =(1-k)(CD-kAD) =(1-k)(CD-AC). :∠CDA>∠A, :.AC>CD.CD-AC<0.k=4C>1, AD 1-k<0, .(1-k)(CD-AC)>0, 即CD+AB-(CA+CB)>0,故CD+AB>CA+CB, 2.(2025江苏扬州·二模)定义：若一个三角形被某条直线分成面积相等的两个部分，则称这条直线是该三 角形的"等积线”. A P 图1 图2 图3 (1)如图1，用无刻度的直尺与圆规作出ABC过点A的“等积线”（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）： (2)如图2，点P是ABC中AB上一点(AP<BP),用无刻度的直尺与圆规作出ABC过点P的“等积线”（保 4/85 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 留作图痕迹，写出必要的文字说明)； (3)如图3，点P是ABC中AB上一点(AP>BP),D为BC中点，连接PD,过点A作AM∥PD,交BC延 长线于点M,连接PM交AC于Q,判断PQ是不是ABC的"等积线”，并说明理由， 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (B)PQ不是ABC的"等积线”，理由见解析 【分析】(1)作BC的垂直平分线MN交BC于点D,连接AD,则AD为ABC过点A的"等积线”； (2)作AB的垂直平分线MN交AB于点D,连接CD,以点D为顶点，CD为边，作LCDE=LPCD, DE交BC于点E,连接PE,则直线PE为ABC过点A的“等积线”： (3)连接AD,PC,由AM∥PD,推出S&PDA=S&PDM,由D为BC中点，推出 S。m-)Sc=S0+Saea,据此即可说明PD不是ABC的等积线” 【详解】(1)解：如图，AD为ABC过点A的"等积线”； A M B w 由作图知，BD=CD, S.4BD=S.ACD AD为ABC过点A的等积线”； (2)解：如图，PE为ABC过点A的“等积线”； 4 B 由作图知BD=AD,DE∥CP, 1 :SACD=SAP+S.PpC=SAPC+SPEC=S图边形PEC, 5/85 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :PE为ABC过点A的"等积线”； (3)解：P9不是ABC的“等积线”，理由如下. 连接AD,PC, M :S&PDM=S边形PCe+Sa0CM, :AM∥PD, SAPDA SAPDM :D为BC中点， Sa48n=2Sa4Bc=SaBae+Sam4=Sam+Sapaw =S图边形PBcQ+S△QCM, :S△ecM≠0， Smc0=S-Sa≠25c PQ不是ABC的"等积线” 【点晴】本题考查了尺规作图，三角形中线的性质，平行线的性质.熟记各图形的性质并准确识图是解题 的关键 口题型02与三角形有关的角压轴 3.(2025江苏南京.一模)在ABC中，∠B=30°，AB=6.若∠C为钝角，则AC的取值范围是 【答案】3<AC<6 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、正弦函数、直角三角形的性质等知识点，灵活运营相关知识 成为解题的关键。 如图，过A作AD⊥BC,则AD=号AB=3,由三角形的内角和定理可得90°<∠4CB<150°，则 30°<LACD<90°，即号<sim∠4CD<1,然后求得AC的取值范围即可. 【详解】解：如图：过A作AD⊥BC,则∠ADB=90° 6/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B :∠ACB为钝角，∠B=30°， AD4B3,90°<LACB<150 ∴.30°<∠ACD<90°， sin∠ACD<1 2 AC= AD in∠ACD .3<AC<6. 故答案为：3<AC<6 4.(2025江苏扬州.一模)如图，己知∠ABC=90°，AB=BC,将线段AB绕着点A顺时针旋转 a(0°<C<90)得到线段AE,作点C关于直线BE的对称点D,连接AD交直线BE于点F. 备用图 (1)若a=40°，则∠ADC的度数为一； (2)猜想线段AF、DF、AB之间的数量关系，并证明： (3)若AB=6,当AD长为10时，求△ABE的面积. 【答案】(1)45° (2)AF2+DF2=2AB2,证明见解析 3)7 【分析】(I)连接BD,设CD与直线BE的交点为H,由等腰三角形的性质可得∠ABE=∠AEB=7O°，即 得∠CBH=20°，再根据轴对称的性质得BC=BD,CD⊥BH,即得∠CBD=40°，∠BDC=∠C=70°， ∠BDA=∠BAD=25°，进而根据角的和差即可求解： (2》证明△B1E2.CBD(SAS,)得8E=CD,∠BDC=∠AEB=90-a,进而得∠ADC=45,即得 7185 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △DHF为等腰直角三角形，得到LAFB=∠DFH=45°，过点A作AG⊥BE于G,可得BG=DH,△AGF为 等腰直角三角形，设AG=a,BG=DH=b,则AF=√2AG=√2a,DF=√2DH=√2b, AB=√AG2+BG2=Va2+b2,据此即可求证； (3)利用(2)的结论解答即可求解 【详解】(1)解：连接BD,设CD与直线BE的交点为H, D 由旋转得，AB=AE, ∠BAE=a=40°， ∠ABE=∠AEB=180°-40 2 =70°， :∠ABC=90°， .∠CBH=180°-70°-90°=20°， :点C和点D关于直线BE的对称， BC=BD,CD⊥BH, .∠DBH=∠CBH=20°， ∠CBD=20°+20°=40°， ∠BDC=∠C=180°-400 =70°， 2 .∠ABD=∠ABC+∠CBD=90°+40°=130°， :AB=BC, .AB BD, ·∠BDA=∠BAD=180°-130 =25°， 2 ∴.∠ADC=∠BDC-∠BDA=70°-25°=45°， 故答案为：45°； (2)解：AF2+DF2=2AB2,证明如下： 由旋转得，AB=AE, 8/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠BAE=Q, ÷∠ABE=∠AEB=180°-a=90°- 2 2, :∠ABC=90°， .∠CBH=180°- 90=1。 2 :点C和点D关于直线BE的对称， .BC=BD,CD⊥BH, ∠DBH=∠CBH=a,CH=DH=CD,∠DHF=90°， 1 1 1 ÷∠CBD=2a+20=a, 2 ∠BAE=LCBD,LABD=∠ABC+∠CBD=90°+a, AB=BC,AB=AE,BC=BD, .AB =AE=BC =BD,AB=BD, △BAE≌△CBD(SAS), BE=CD，∠BDC=∠AEB=90°-1d ,∠BDA=∠BAD-180-90+al-45- 2 2 2a-45-1） ZADC=ZBDC-ZBDA=90-1a- 20=45°， △DHF为等腰直角三角形， .∠AFB=∠DFH=45°， A作AG⊥BE于G,则BG=)BE,LAGF :BG=DH,△AGF为等腰直角三角形， 设AG=a,BG=DH=b,则AF=√2AG=2a,DF=VDH=Vb,AB=√AG2+BG2=Va2+b, AF2+DF2=(2a'+(2b)=2a2+2b2=2a2+b2）,AB2=a2+b2, AF2+DF2=2AB2: (3)解：AF2+DF2=2AB2，AB=6, AF2+DF2=2×62=72, AD=AF+DF=10, (AF+DF)2=102=100, 9/85 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即AF2+DF2+2AFDF=100, .AFDF=(100-72)÷2=14, 由(2)得AF=V2AG,DF=√2DH=√2BG, √2AG×V2BG=14, .AG×2BG=14, .BE =2BG ∴.AGx BE=14, ·SABE= 4=14=7 【点晴】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，轴对称的性质， 全等三角形的判定和性质，完全平方公式的应用，正确作出辅助线是解题的关键， 口题型03全等三角形的判定与性质正轴 5.(2026江苏扬州一模)如图，点M为正方形ABCD对角线AC上的一个动点，将线段BM绕B点逆时针 旋转45°后得到线段BN,连接DN,下列结论正确的是 ·(请将所有正确结论的序号填写在横线上) ①当N落在AC上时，BMDN; ②当∠ABM=67.5°时，点M到点N距离最短； ③若正方形的边长为1，则DN长度范围为√2-1≤DN≤√5 D 【答案】①③ 【分析】①由旋转性质和正方形性质得到aBAM≌△BCN≌aDCN，得到对应角相等，再根据内错角相等得 到BM II DN. ②由于∠MBN是定角，故MN最短时BM也最短，由垂线段最短即可求出∠ABM=45°· ③M与A重合时B,D,N三点共线，此时DN最短；M与C重合时，△BDN是直角三角形，此时DN最长， 由勾股定理即可求出DN长度. 【详解】①如图所示， 10/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 N落在AC上，由旋转可知BM=BN, .∠BMN=∠BNM, ∠1=∠2， 由正方形性质知AB=BC, ·LBAC=∠BCA ∴△BAM≌△BCN :AM =CN, 再由正方形性质知AB∥CD,，AB=CD, ∴.∠BAM=∠DCN, ∴△BAM≌aDCN ∠1=∠DNC, :∠BMN=∠DNM, ∴.BM‖DN. 故①正确. ②如图，观察aBMN,过B作BQ⊥MN, M N 由△BMN是等腰三角形知MW=2 BM sin∠MBQ=2sin22.5BM, 故当BM最小时，MN距离最近， 由垂线段最短知BM⊥AC时，BM最短，此时∠ABM=45°. 故②错误， ③如图所示， 11/85 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B B (M)A C(M D D 图一 图二 BD是正方形的对角线且正方形边长为1， ·.BD=√2， 由三角形三边关系可知在aBDN中， BD-BN≤DN,故当BD-BN=DN时，DN最小，此时B,D,N三点共线， 由图一知此时M与A点重合，∠MBN=45°，BM=BN=1, DNmm=BD-BN=√2-1， 在此后随着M点向右平移，N与D的距离越来越大，故当M与C重合时，N与D的距离最大， 由图二所示，∠DBN=45°+∠MBN=90°，BM=BN=1, ·在Rt△DBN中，DN=VBD2+BN2=V2+1=V3, :DN=, 综上所述，√2-1≤DN≤√5，故③正确 【点晴】解本题的关键是画出每一小问对应的图形，综合运用三角形、四边形各种性质来判定一些线段关系， 角度大小以及线段长度 6.(2026江苏扬州一模)综合与探究 学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助 线.所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的 有关知识来解决问题的方法。 如图1，在Rt△ABC中，取BC的中点O,连接A0并延长，使得AO=OD,连接BD、CD,四边形 ABDC为平行四边形. 12/85 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 备用图 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将Rt△ABC保持固 定，RtAADE绕点A按逆时针方向旋转，其中LACB=∠AED=90°，若∠ABC=30°，当点E落在AB边上 时，连接AE并延长，使得CE=EF,连接AF、BF,判断四边形ACBF的形状，并说明理由. 深入探究： (2)如图3，当RtAADE绕点A按逆时针方向旋转90时，连接CD、BE,取BE的中点P,连接AP交CD于 点Q,试判断AP和CD的数量关系和位置关系，并说明理由. 拓展延伸： (3)当RtsADE绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接BE,M是射线AC上的一点，连接DM,过点A作 DM的垂线交BE于点G,若G是BE的三等分点，请直接写出4M的值. AC 【答案】(1)矩形，理由见解析 包AP=CD,APLCD,理由见解析 B)}或2 【分析】(1)由旋转证明△ACE是等边三角形，再证明∠CAF=90°，进而得到△AEF△BEC，证明 AF∥CB,则四边形ACBF是平行四边形.证明 ∠CAF=90°，则问题可证 (2)延长AP至点F,使PF=AP,连接BF,证明aAPE兰AFPB,从而证明AE∥FB,C、B、F共线， 再证明△ABF=aDAC,得到CD=2AP,再由角度的互余关系证明∠FQC=90°，则问题可证； ③)延长CB交EG延长线于点久证明：4GEn,CG,得到品能，再有D11G,和 ∠EAG+∠MAG=90°证明∠EAG=∠AMD,再证明∠MAD=∠ABF,由AD=AB△MAD≌△FBA,故得到 AM=BF,最后分别利用G是BE的三等分点，分类讨论求解即可 【详解】(1)解：：RtAABC兰RtAADE,∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=30°， 13/85 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠BAC=60°，AC=AE, :点E落在AB边上， △ACE中，AC=AE,∠CAE=60°， :△ACE是等边三角形， :CE=AC,∠AEC=60, CE=EF, △AEF是等腰三角形， ∠AEF=180°-∠AEC=120°， ∴.∠EAF=∠EFA=30, .∠CAF=∠CAE+∠FAE=60°+30°=90°， 1 AE-AC-74B. :E是AB中点，AE=BE, 在△AEF和BEC中： CE=EF,∠AEF=∠BEC=I20°， △AEF=△BEC(SAS), ∠EAF=∠EBC=30°，AF=CB, .∠EFA=∠ECB=30 AF∥CB, :四边形ACBF是平行四边形. ∠CAF=∠CAE+∠EAF=60°+30°=90°， :四边形ACBF是矩形 (2)AP=CD,且AP1CD, 2 理由：延长AP至点F,使PF=AP, 连接BF, 14/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D P是BE的中点， B .BP=PE, 在APE和△FPB中： AP=FP, ∠APE=∠FPB, PE=PB, .AAPE=△FPB(SAS), ∴.AE=FB,∠PAE=∠PFB, AE∥FB, :Rt△ADE是绕点A逆时针旋转90得到， ,∠DAE=∠CAB,∠DAB=∠CAE=90°，AD=AB, :AE∥CB, C、B、F共线， :∠CAD=∠CAB+∠DAB, ∠ABF=LACB+∠CAB ·LCAD=∠ABF 在△ABF和△DAC中： AB=AD, LABF=∠CAD, BF=AE=AC, △ABF兰△DAC, .AF=CD,∠BFE=∠ACD, AF =2AP, CD=2AP,即AP= CD· 2 15/85 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠ACF=∠ACD+∠QCB=∠BFA+∠QCB=90°， ∠AQC=180°-90°+∠BAF-∠BAF=90 AP⊥CD. (3)解：延长CB交EG延长线于点F, :Rt△ADE是绕点A逆时针旋转90°得到， AD⊥AB,AC⊥AE, .AE∥CB ∴△AGE∽△FGB, EGAE GB BF' :AG⊥DM, .∠AMD+∠MAG=90°， :∠EAG+∠MAG=90° ∠EAG=∠AMD, :AE∥CB ∴.∠EAG=∠F, .∠AMD=∠F, .∠MAD=∠MAB+∠DAB, LABF=∠ACB+LCAB, .∠MAD=∠ABF AD=AB △MAD≌△FBA, AM =BF, :G是BE的三等分点 当8G=BE时，4-BF-BG-1 AC AE EG2' 16/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E M C BF BGBE时，AM=BFB AC AE EG =2 D EG AM=1或2 AC 2 M 【点晴】本题需要运用"倍长中线法"构造全等三角形和相似三角形，通过证明全等三角形，转化边的数量 关系是解题的关键， 口题型04等腰三角形的判定与性质正轴 7.(2026江苏连云港.一模)如图1，在ABC中，点D,E分别在AB,BC边上，连接AE,CD,DE, AB=CD,EB=ED,DE平分∠BDC. D T E E 图1 图2 (1)求证：∠DEB=∠AEC. (2)若BE=4,CE=6,求AC. B如图2，过点A作AB的垂线交ED延长线于点R,作CG1AE,垂足为G,求 EG 的值。 17/85 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)见解析 (2)215 6)号 【分析】(1)根据等边对等角结合角平分线的性质证明∠EDC=∠EBA,从而证得△ABE≌△CDE(SAS),根 据全等三角形的性质即可得证： (2)过点A作AF⊥BC交BC于点F,通过证明AB=AC,根据等腰三角形三线合一得到CF=BC,进 而求得EF,根据勾股定理依次求得AF和AC的长即可 (3)过点A作BC的平行线交FD于点M,作EN⊥AM,通过证明△CEG≌△EAW(AAS),，得到EG=AN, 根据等角对等边证得EM=EA,MA=MD,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得 FD=2AM=4AN，从而得解. 【详解】(1)证明：“EB=ED, ∠EBA=∠EDB, :DE平分∠BDC, ·∠EDC=∠EDB=∠EBA, 在△ABE和△CDE中， AB=CD ∠EBA=∠EDC, EB=ED .△ABE≌ACDE(SAS), ∴∠AEB=LCED, ∴∠AEB-∠AED=LCED-∠AED, 即∠DEB=∠AEC. (2)解：如图，过点A作AF⊥BC交BC于点F, D B EF △ABE≌△CDE, 18/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .AE=CE=6, ∠EAC=∠ACB, :∠DEB=∠AEC, :180-∠DEB_180°-∠4EC,即∠ABC=∠4CB, 2 2 .AB=AC, :BE=4,CE=6, ∴BC=BE+CE=10, CF=BC=5 .EF=CE-CF=1, ÷AF=VAE2-EF2=V62-12=√35， AC=VAF2+CF2=35+52=25. (3)解：过点A作BC的平行线交FD于点M,作EN⊥AM, D G B E ∴：∠BED=∠AME,∠CEG=∠EAN,∠CGE=∠ENA,∠MAD=∠B, EA=EC, ∴△CEG≌△EAN(AAS), ∴EG=AN, ZDEB=ZAEC,ZEMA=ZDEB, ∴∠EMA=∠EAM, :EM EA, :AM =2AN, :∠MAD=∠B=∠BDE=∠MDA, .MA=MD, :∠FAD=90°， 19/85 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :.∠F+∠FDA=90°，∠MDA+∠FAM=90 ∴∠F=∠FAM, :MF MA, ∴FD=2AM=4AN, EG 1 DF 4 8.(2026江苏苏州模拟预测)如图，在Rt△ABC中，LA=90°，AC=6,AB=8,D是边AB上一点，连接 CD,过点D作DE⊥DC交BC于E,己将BDE沿DE翻折得△DB,E,连接B,C.下列说法错误的是() B B A.∠ADC=∠B,DC B.当BE∥AC时，DB,⊥BC C.当B,E∥AC时，折痕DE的长5 D.当△B,CD是等腰三角形时，4D的长☑ 【答案】D 【分析】由翻折的性质，结合等角的余角相等，可判断A;DB,与BC的交点记作点O,延长B,E,交AB于 点F,由平行线的性质，结合翻折的性质，可证明△DFE≌aDOE(ASA),可得LDFE=∠DOE,可判断B: 证明RtADFB,≌RtA DOB(HL,可得DF=DO,证明△DOC≌△DAC(AAS),DO=DA,设 DF=D0=DA=,证明△BFEn△BAC,可得BF=FE,证明ADFEACAD, DF EF CA DA ,可得DF, BA AC EF,由勾股定理可得DE,可判断C;当△B,CD是等腰三角形时，DB,=DC,或CD=CB,或B,C=BD ，分类讨论，用勾股定理，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，可得AD,可判断D. 【详解】解：由翻折可得∠BDE=∠BDE, DE⊥DC, ∴.∠CDE=90°， ∠BDE+∠ADC=180°-90°=90°，∠B,DE+∠B,DC=90°， 20/85 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠ADC=∠BDC, ∴A正确，不符合题意； 当B,E∥AC时， DB与BC的交点记作点O,延长B,E,交AB于点F,则∠BEF=∠B,EO, B B :B,E∥AC, ∴.∠BFD+∠A=180°， :∠A=90°， ∠B,FD=180°-90°=90°， .∠EDF+∠DEF=90°， ·LADC=LFED, 由翻折可得∠BDE=∠BDE,DB=DB,∠BED=∠B,ED, ∴.∠BED-∠BEF=∠BED-∠BEO, ∠DEF=∠DEO, 在△DFE和aDOE中， 「∠EDF=∠EDO DE=DE ∠DEF=∠DEO ·△DFE≌△DOE(ASA), .∠DFE=∠DOE,DF=DO, .∠D0E=90°， DB⊥BC,∠D0C=90°=LA, “B正确，不符合题意； 在Rt△DFB,和RtADOB中， 21/85 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DF=DO DB =DB' .RtADFB RtADOB(HL), :DF =DO, 在△DOC和∠DAC中， ∠DOC=∠A ∠CDO=∠CDA, CD=CD △DOC≌△DAC(AAS), :DO=DA, .DF=DO=DA, 设DF=DO=DA=x,则BF=8-2x, :EF∥AC, .△BFE∽△BAC, BFFE BA AC EF=6x8-2=6-3x 8 x, 2 :∠FED=LADC,∠DFE=∠A, △DFE∽aCAD, DF EF CA DA 3 :x6 2x, 6 解得x=3,2=-12(舍去)， .DF=3,EF=6- 3x3=3 3 DE=3+ 35 2 ∴C正确，不符合题意 当△B,CD是等腰三角形时， 22/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 若DB=DC, B B 由翻折可得DB,=DB, :.DC=DB=8-AD, AD2+62=(8-AD), 7 .AD= 4 若CD=CB, A D B B 作CH⊥B,D于点H,则DH=B,H,LDHC=90°=∠A, ∴BD=BD=2HD, 在△DAC和ADHC中， I∠A=∠DHC ∠ADC=∠HDC, CD=CD △DAC≌△DHC(AAS), .AD =HD, :BD 2AD, .2AD+AD=8, 若BC=BD, 23/85 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 作BT1CD,则∠B,TD=90°=LA,DT=CD=AD+6-VAD2+36 2 2 B 又：∠BDT=∠CDA, ∴.△B,TD∽ACAD, DT DB AD DC √AD2+36 2 8-AD = AD V√AD2+63 .3AD2-16AD+36=0, :△=(-16)2-4×3×36=-176<0， “方程3AD2-16AD+36=0在实数范围内无解， B,C≠BD, 之当△RCD是等腰三角形时，AD的长或号， D不正确，符合题意 题型05等边三角形的判定与性质压轴 9.(2026江苏盐城一模)如图是小明在学习了“赵爽弦图”的相关知识后，构造的“类赵爽弦图”.ABC是 等边三角形，△ABF、△BCD、△ACE是三个全等的三角形，△DEF是围成的三角形.若AE=3,EF=1, 则BC的长是() D B A.5 B.6 c.√37 D.213 24/85 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】c 【分析】过点A作AM⊥BD于点M,根据等边三角形的性质，三角函数的定义求解即可. 【详解】解：过点A作AM⊥BD于点M, :△ABC是等边三角形，△ABF、△BCD、△ACE是三个全等的三角形，AE=3,EF=1, :AB=BC=CA,BF=AE=CD=3,AF=CE=BD, :EF DE DF =1, A :△DEF是等边三角形， ∠AFD=60°， AF EF+AE=4, AM=AF sin60°=23，FM=AF cos60°=2， :BM BF FM =5, :AB=AM2+BM2=37, :BC=AB=37. 10.(2026江苏无锡.一模)如图，正ABC边长为1，D为AC上一动点（D不与A、C重合)，过D作 DE⊥BC,垂足为E,M为线段AB上一点，且BM=AD,过M作MN∥DE交BD于N.设BE=x, MN=y.当AM=BE时，x=；在点D运动的过程中，y关于x的函数表达式为。 M 【答案】 2 V5(2x-12 3 2x 【分析】设BM=AD=m,得到m+x=1,结合等边三角形的性质，直角三角形的性质，得到x=2m,代 入解答即可；延长MN交BC于点G,利用三角形相似的性质，直角三角形的性质，勾股定理解答即可. 【详解】解：设BM=AD=m, 25/85 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :正ABC边长为1， ∴AB=BC=CA=1,∠A=∠ABC=∠ACB=60°， :BE=x,且AM=BE, :AM BE =x, .m+x=1, .CD=m+x-m=x,EC=m+x-x=m, :DE⊥BC, .∠DEC=90°， ∠EDC=30°， .DC=2EC, .x=2m, :m+x=1, 1 ÷2x+x=l, 2 ..X= 3 D M 延长MN交BC于点G,如图所示： D M N B G :正ABC边长为1， AB=BC=CA=1,∠A=∠ABC=∠ACB=60°， BE=x, .EC=BC-BE =1-x, :DE⊥BC, 26/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠DEC=90°， ∴∠EDC=30°， :DC=2EC=2-2x,DE=DC2-EC2=3(1-x), .AD=AC-DC=2x-1, BM AD, BM=2x-1, MN∥DE,DE⊥BC, .∠MGB=90°， ∴∠BMG=30°， 0-w-2-.MG=BwG-52x-: :MN∥DE, .△BGNm△BED, BG NG BE DE 2x-1 2= NG x V3(1-x) 解得NG= 3(1-x(2x-1) 2x :y=MN =MG-NG 532x- V51-x(2x-1 2x 5(2x-12 题型06直角三角形的性质压轴 11.(2026江苏南京模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=4,点D是BC的中点， 点P、Q分别是AC、BD上的动点，且AP=DQ,则PO的最小值为· A B 27/85 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】22 【分析】作PE⊥BC于点E,设AP=DQ=2x,根据含30度角的直角三角形的性质，求出 PE=PC=25-,CE=5PE=6-5x,进而求出点E与点Q重合时，PE的长，当点Q在点E左侧， 得到EQ=CD+DQ-CE=4+2x-6+V5x=2+V5)x-2,勾股定理得到 P02=PE2+E0=25-x+[2+V5)x-2]，利用二次函数求最值，当点0在点E右侧得到PE的长比 E,Q重合时要大，且P9>PE,得到PQ>4√5-4，即可得出结果. 【详解】解：作PE⊥BC于点E,设AP=DQ=2x, :∠A=90°，∠C=30°，AB=4, .BC=2AB=8,AC=3AB=43, :CP=AC-AP=43-2x, :点D是BC的中点， CD =BC=A :PE⊥BC,∠C=30°， CPB=PC=23-x CE=3PE-6-13x 当点E与点Q重合时，则：CE=CD+DE=4+2x=6-√5x, 解得x=4-2V3, P0=PE=2V3-4+2V5=4V5-4, A E(O)D 当点Q在点E的左侧时，如图， OE D 28/85 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则：E0=CD+D0-CE=4+2x-6+V5x=2+V5x-2, P02=PE2+E0=(25-'+[2+5)x-2] =(8+43x2-(85+8x+16, :抛物线的开口向上，当x= -85+8）-5-1时， 2×8+4V5 Pg有最小值为=(8+45)5--(85+8(5-+16=8， ∴PQ的最小值为V⑧=2√2； 当点Q在点E的右侧时，如图， B EO D 此时PE的长比E,Q重合时要大，且PQ>PE, P0>45-4, :45-4>2√2， .Q的最小值为2√2. 12.(2026江苏无锡.一模)如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上，0A=4, OB:子3，C为x轴正半轴上一点，以0C为一边在第一象限内作等边OCD,使得D点恰好落在线！ AB上，D点坐标为 将aOCD沿x轴的正半轴向右平移得到△OCD',当AB将AOCD的面积分 为1：2两部分时，00'的长为 B 0 【答案】 （,5 26或426 3 【分析】由题意作辅助线，作DH⊥OC于点H,设等边△OCD边长为2a,得到Da,V3a,再利用待定系 29/85 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 数法求出直线AB的解析式，把D代入求解即可；分C未过点A和C超过点A两种情况求解. 【详解】解：过D作DH⊥OC于点H,设等边aOCD边长为2a, L0DH=30°，0H=0D=a,DH=V0D2-0H=N5a, :.D(a,a), :0A=4,0B=45, 3 :440eo 设直线AB的解析式为y=x+b, 「4k+b=0 6·解 3 5 .= 5x+手万，又D点在线段MB上， 3 5a+45=5a,解得a=1 3 3 D山，5)： 等边0CD边长为2，Sam=20C-DH=2×2x5=V5, ①当C未过点A时，如图，AB与O'D'、C'D'相交于点E、F, B DED O'CCA衣 此时SDEf:Sg边形0cFE=1:2,又SocD=SocD=V5, 1 .S.om-3S.ocn= 设00'=x, 又AC=0A-0C=4-2=2,则AC'=2-x, 30/85 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·tan∠OAB=OB-V5 OA 3 ∠0AB=30°， 又∠0'C'D'=∠0AB+∠AFC'=60°， ∠AFC'=30°， :.C'A=C'F=2-x, :D'F =C'D'-C'F=x, 又∠EFD'=∠AFC'=30°，∠ED'F=60°， :∠D'EF=90°， D'E-XEF=VDF2-DE=V3 -X 2 1 SDr=D'E·EF=)×7xx -X= 2 2、6 115 22 8 3 解得r=2V6 (负值已舍去)： ②当C超过点A时，如图，AB与O'D'相交于点M, CO' 由题可知S,oM三，S,0C7÷灯 3 3 设00'=x,则0'A=4-x, 又∠0'AM=30°，∠A0'M=60°， ∠AM0'=90°， 0w-04=4-4w-94- 2 S.ow-OMAM= 2 8(4-x2=3 3 解得x=4-26(负值已舍去)： 3 综上，00的长为26或4-26 3 3 题型07勾股定理压轴问题 13.(2026江苏无锡.一模)如图，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4,△AED的顶点D在边BC上 31/85 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 运动（点D不与点B,C重合），且∠ADE=90°，AD=DE,直线AE与直线BC相交于点F,连接BE,则 下列结论：①△ACF∽△DEF;②△ABE的面积等于ABC的面积；③线段BE的最大值为4√5；④AABE周长 的最小值为4+25.其中正确的为() A.①② B.②④ C.①②③ D.①②④ 【答案】A 【分析】①根据题意得到LAED=∠ACB=45°，然后得到∠FAC=∠FDE,即可证明△ACF∽aDEF,即可判 断①：②如图，连接CE,证明出点A,D,C,E四点共圆，得到AB‖CE,即可判断②：③得到点E在直 线CE上运动，然后结合点D在边BC上运动，点D不与点B,C重合即可判断③；如图，作点A关于CE的 对称点N,连接A'C,A'E,当点B,E,三点共线时，△ABE的周长最小，即4+A'B的值，然后利用勾 股定理求解即可判断④ 【详解】解：①设DE、AC交于M, B :∠BAC=90°，AB=AC=4, .∠ABC=∠ACB=45°， :∠ADE=90°，AD=DE, ∠DAE=∠DEA=45°， ∠AED=∠ACB=45° :∠DMC=∠AME, ∴.∠FAC=∠FDE, :∠F=LF, △ACFADEF,故①正确： ②如图，连接CE 32/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B :∠FAC=∠FDE 点A,D,C,E四点共圆 LACE=LADE=90°=LBAC .ABI CE ∴△ABE的面积等于ABC的面积，故②正确： ③：AB‖CE :点E在直线CE上运动 :点D在边BC上运动，点D不与点B,C重合 :BE不存在最大值，故③错误； ④如图，作点A关于CE的对称点A,连接A'C,AE D --cA ·△ABE的周长=AB+AE+BE=4+A'E+BE≥4+A'B ∴当点B,E,A三点共线时，△ABE的周长最小，即4+AB的值 由对称得，A'C=AC=4 A'A=8 :∠BAC=90° A'B=AB2+A'A2=45 △ABE周长的最小值为4+4√5，故④错误. 综上所述，其中正确的为①②. 14.(2026江苏无锡.一模)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠A=90°，AB-CD=5,AD=12.现 33/85 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 将其分割成①、②、③、④四部分，然后再拼成两个正方形（不重叠、无缝隙），则②的面积为 D ● ① ④ ① ④ ② ③ 【答案】 15 2 【分析】过点C作CE⊥AB于点E,判定出四边形AECD为矩形，结合两个图形，利用勾股定理求出相关 线段的长度，即可求解。 【详解】解：如图所示，过点C作CE⊥AB于点E, D ① ④ ② B GE :AB∥CD,∠A=90°， .四边形AECD为矩形， .BE=AB-AE=AB-CD=5,CE=AD=12, 由勾股定理得BC=VCE2+BE2=13, 由图形可得，FG=8C= >4。三AD6 由勾股定理得AG=VFG2-AF_ 2 2*6=15 ②的面积为)4G4F=xx 口题型08相似三角形的判定与性质正轴 15.(2026湖北模拟预测)如图1，已知Rt△ABC,AB=AC,∠BAC=90°，点D,E分别在AB,AC上， AD=AE,连接DE,将ADE绕点A顺时针旋转∠a(O°<<90)，连接BD,CE, 34/85 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D D 图1 图2 图3 (1)求证：BD=CE; 2如图2，当CE的延长线经过点D,若AD=7V反，AB=32,求CE的长， 2 2 1 (3)如图3，当CE的延长线经过AB的中点F,与BD交于点G,AD=。AB,求tan ZBCG的值 【答案】(1)见解析 (25 时 【分析】(1)根据SAS证明△ABD≌△ACE,然后根据全等三角形的性质即可得证； (2)根据勾股定理求出DE=7,BC=13,然后根据全等三角形的性质，三角形的内角和定理求出 ∠BDC=90°，最后在RtABDC中，根据勾股定理可构造出关于CE的方程，解方程即可； (3)设AB=AC=2a,根据线段中点定义求出BF=AF=a,根据勾股定理求出CF=√5a,证明 △BGFn△C4P,求出BG号5a,FG=5,最后在R16BCG中，根据正切的定义求解即可。 【详解】(1)证明：：旋转前点D,E分别在AB,AC上，∠BAC=90°， ∠DAE=90°， 旋转后的图形如下： B :旋转， ∠DAE=LBAC=90°， ∴∠BAD=∠CAE=90°-∠BAE, 又AB=AC,AD=AE, △ABD≌△ACE(SAS), 35/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :BD=CE; （2)解：：AD=75,∠DAE=90,AD=AE, 2 DE=AD2+AE2=7, AB-2.ZBAC-90 AB-AC. BC=AB2+AC2=13, :△ABD≌△ACE, .∠ABD=LACE, ∠BAC=90°， ∠ABC+∠ACB=90°，即∠ABC+∠ACE+∠BCE=90°， LABC+LABD+LBCE=90°，即LCBD+LBCE=90°， :CE的延长线经过点D, .ZACE ZACD, .∠BDC=90°， BD2+CD2=BC2,即CE2+(CE+7)2=132, 解得CE=5(负值舍去)： (3)解：设AB=AC=2a, :F是AB中点， .BF AF a, :∠BAC=90°， .CF=√AF2+AC2=V5a, 由(2)可知：∠BGC=90°， LBGC=∠FAC, 又∠GBF=∠ACF, △BGF∽△CAF, .BG=FG BF BG FG a C AFCF,即 2a a 5a' :BG=25a,FG=5。 0, CG=CF+FG=5。 3a, 36/85 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2V5 BG 1 ∴tan∠BCG= =-5 a CG 65 3 5 - 16.(2026江苏南京，模拟预测)已知ABC中，CD是AB边上的高，BF是AC边上的中线，AE是∠CAB 的角平分线，且CD、BF、AE交于一点G,则称点G为该三角形的“金中点”. E G U D A (1)求证： AC CG AD DG (2)当∠BAC=45°，求∠ABC度数； ()若。CEG为等腰三角形时，求1C的比值k为多少？请在下面直接填写结果： EG ①当EC=EG时，k=—: ②当CE=CG时，k= ③当GC=GE时，则k的一位小数的近似值≈一。 【答案】(1)见解析 (2)22.5° B)0√2：②5+1；③1.54 2 【分析】(1)根据角平分线的性质，结合三角形的面积公式，即可得证： (2)过点F作FM⊥AB于M,则△BDG∽△BMF,分别计算∠ABC,∠GAD的正切，得出 tan∠ABC=tan∠GAD,即可求解： 3)先证明D5》4C,得出女=瓷8%。再分类讨论，限据相似三角形的性质列出式不，计莫即可求解。 【详解】(1)证明：如图所示，过点G作GH⊥AC于H, B :AE是∠CAB的角平分线，G在AE上，GD⊥AB,GH⊥AC, ..GH =GD 37/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.GH 1 AC S△AGD I AD.GD AD 2 又：Sc= CG·AD CG SAAGD 1AD.GD GD 2 AC CG AD DG (2)解：如图所示，过点F作FM⊥AB于M, C B :∠BAC=45°，CD⊥AB, ∴.△ADC是等腰直角三角形， .AD DC,AC=2AD, :FM⊥AB,CD⊥AB, FM∥CD, 又F为AC的中点， ·FM为△ADC中位线， ÷FM=DC,DM=AD, 2 设AD=DC=a,则4C=2a,FM=a,DM=a, 由(1)得CG-4C-50-2, DG AD a ..DG=- DC=-1 1 2+1 2+a=2-a, :FM∥CD, △BDG∽△BMF, BD DG (2-la BM FM 1 =22-2, 20 :BD=(22-2BM=(22-2(BD+DM)=(2V2-2BD+(2N2-2DM, 38/85 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :(3-22)BD=2V2-2DM, BD 25-2DM=2-2]03+22例×3a=(5-3+22)a=(2+a, 3-2√2 在RIACDB中an∠ABC=DC= a=1=N2-L,在RIA ADG中 BD (+1a 2+1 tan∠GAD= DG (2-la 2-1 AD tan∠ABC=tan∠GAD, ∠ABC=∠GAD, :AE是∠CAB的角平分线，∠BAC=45°， ABC=∠GAD=)∠BAC=×45°=2 2 (3)解：如图，延长GF至点M,使得FM=FG, B D :BF是AC边上的中线， .AF=FC .四边形AMCG是平行四边形， CG∥AM,AG∥MC BG BD BE BG BM BA BC BM BD BE BA BC 又：∠ABC=∠DBE .△BDE∽△BAC .∠DEB=∠ACB ∴DE∥AC :DE∥AC 怒彩 ①当EC=EG时，如图，过点E作EH⊥CG, 39/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D .EH∥AD .△HEGn△DAG .k=4G=DG_x EGHG-I 设CH=HG=1,DG=x “k= AG DG x EGHG1 :k=4G、CG EG DG :k==2 1x “x=V2(负值舍去)，即k=√2 ②当CE=CG时，如图，连接DE, B :AE平分∠CAB ÷∠CAE=∠EAB=∠CAB :∠AGD=∠CGE=∠CEG=90°-∠EAB=90°-∠CAB ∠CAB+∠AEC=∠CAE+∠AEC=∠ACB=90° 2 :DE∥AC ∠DEB=90 设DG=1,CG=CE=x ∴k= AG_CG--x. EG DG1 :DE∥AC △ACG∽△EDG,△ACB∽△DEB 40/85 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 CG x AC AC BC BC DG1 DE'DE BE CB-CE CG x AC BC BC DG-1-DE BECB-CE :1=1-CE BC :∠DEB=∠CDB=90°，∠DCE=LBCD .△DCEABCD CD CE BC CD :CD2=CE.CB ..CB=CD_(x+1) CE -1x2 1 (x+12 .x2-x-1=0 解得：x=5+!(负值舍去)即=5+ 2 2 ③当GC=GE时，设GC=GE=x,DG=1 C k-AG-CG-x-AG G1, EG DG B ..AG=x2 AD=-司 AC=CG=x AD DG :AC=xVx4-1 在RtAACD中，AC2=AD2+CD2 .x2(x4-1=x4-1+(x+1)2 .x3-x3-2x-2=0 x3(x2-1=2(x+1) x3(x-1=2 41/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x4-x3-2=0 当x=1时，x4-x3-2=-2<0 当x=2时，x4-x3-2=6>0 当x=1.5,x4-x3-2=-0.3125<0 当x=1.55,x4-x3-2=0.04513125>0 .x≈1.54，即k≈1.54 题型09全等三角形种的模型问题 17.(2026江苏宿迁一模)如图，四边形ABCD为正方形，点P为平面内一点，已知PA=2,PB=4,则 PC的最大值为 【答案】2+4√2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质； 过点B作BE⊥BP,且BE=PB,连接AE、PE、PC,求出PE,证明△ABE和aCBP全等，可得AE=PC ,把求PC的最大值转换为求AE的最大值即可。 【详解】解：如图，过点B作BE⊥BP,且BE=PB,连接AE、PE、PC, B :BE2+PB2=PE2,BE PB,PB=4, PE=V42+42=42, :正方形ABCD, .AB=BC,∠ABC=90°， ∠ABE=∠ABP+90°，∠CBP=∠ABP+90°， .∠ABE=∠CBP, 42/85 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 「AB=BC 在△ABE和ACBP中， ∠ABE=∠CBP, BE=PB △ABE≌aCBP(SAS), .AE=PC, :AE≤PE+AP, 当点A、P、E三点共线时，AE最大，此时AE=AP+PE, :PA=2, AE=AP+PE=2+4v2, 即PC的最大值为2+4√2. 18.(2026江苏连云港·一模)“数学区别于其他学科最主要的特征是抽象和思维”.几何学习尤其需要我们从 复杂的问题中进行抽象，形成一些基本模型，用类比等方法进行探究，以解决新的问题，综合实践课上， 李老师以“发现探究-拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维，以下是李老师的课堂主题展示： 图1 图2 图3 (1)如图，在等腰ABC中，AC=BC,点D为线段AB上的一动点（点D不与A,B重合），以CD为边 作等腰△CDE,CD=CE,LACB=∠DCE=a,连接BE,解答下列问题： 【观察发现】 ①如图1，小明发现当a=90°时，线段AD=BE且AD⊥BE,请说明理由. 【类比探究】 ②如图2，当α=60°时，试探究线段AC与BE的位置关系，并说明理由. 【拓展延伸】 (2)如图3， ABC中，∠ACB=120,CA=CB,点P为ABC内一点，∠APC=120°，CP=3, AP=6,请直接写出BP的长.（温馨提示：顶角为120°的等腰三角形三边之比为1：1：√3） 【答案】(1)①见解析，②AC∥BE,理由见解析；(2)3√万 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判 定与性质是关键. 43/85 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)①先根据全等三角形的判定，证明ACD≌BCE,得到AD=BE,∠CAD=∠CBE,进一步证明 ∠CBA=∠CBE=45°，即可证明结论： ②根据①的方法证明ACD≌BCE,即可得出结论； (2)将线段CP绕点C逆时针旋转得到CH,连接PH,HB,根据①的方法证明aACP≌△BCH,得到 BH=6,∠BHC=120°，并根据温馨提示求出PH=3V3,同时证明∠PHB=90°，即可根据勾股定理求出 答案 【详解】解：(1)①∠ACB=∠DCE=90°， ZACB-ZBCD ZDCE-ZBCD, 即∠ACD=∠BCE, 又：AC=BC,CD=CE, AACD≌BCE(SAS, ,AD=BE,LCAD=∠CBE, ∠ACB=∠DCE=90，AC=BC,CD=CE, :∠CAD=∠CBA=∠CBE=45°， LABE=LCBA+∠CBE=90°， .AD⊥BE; ②AC∥BE,理由如下： :∠ACB=∠DCE=60°， :.∠ACB-LDCB=∠DCE-∠DCB, 即∠ACD=LBCE, CA=CB, 4=4C81n80-60到-60. 在△ACD和△BCE中， AC=BC ∠ACD=∠BCE, CD=CE △ACD≌△BCE(SAS), .∠A=∠CBE=60°， 44/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠ACB=LCBE, AC∥BE; (2)将线段CP绕点C逆时针旋转得到CH,连接PH,HB, H .∠ACB=∠PCH=120°， A B ∠ACB-∠BCP=∠PCH-LBCP, 即∠ACP=LBCH, 又：AC=BC,CP=CH, △ACP≌△BCH(SAS), AP=BH=6,∠APC=∠BHC=120°， :CP=CH=3,∠PCH=120°， ∠CPH=∠CHP=180,120°=30°，PH-N5PC=3N5, 2 :∠PHB=∠BHC-∠CHP=120°-30°=90°， ·.BP=V√PH2+BH =V35+62=3万. 口题型10三角形冲的最值问题 19.(2026江苏扬州一模)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=3√5.点D是AC上的一点， 且CD=√5，P为边AB上的一个动点，连接PD,将PD绕点D顺时针旋转60°得到线段DQ,连接BQ,点 P在从A向B运动的过程中，线段BQ的最小值为) A.4 B.25 C.2 D.5 【答案】D 【分析】过点D作DE⊥AB于点E,连接DB,过点Q作OF⊥DB于点F,则∠PED=∠QFD=90°，求得 45/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BC,DB,进而求得DB的长得出DB=AD,证明△PDE≌△QDF(AAS),进而得出QF垂直平分DB, OB=PD,当DP⊥AB时，DP取得最小值，DP=√3，即可求解. 【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E,连接DB,过点Q作OF⊥DB于点F,则 ∠PED=∠QFD=90° A D :Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=3√5.CD=V5 BC=4C.m4=3x5=3.4D=4C-CD=2 24BC=60 3 在R△BCD中，DB=VDC2+BC2=V5+32=2W5 :DB=AD .∠DBA=∠A=30° .LDBC=∠ABC-LDBA=30°，LEDB=60 :DE⊥AB DE=14D=3, :将PD绕点D顺时针旋转60°得到线段DQ, :∠PDQ=60°=∠EDF,PD=QD, ∴.∠PDE=∠QDF=60°-∠EDQ .△PDE≌△QDF(AAS .DF=DE :BF=DB-DF=23-3=3 .DF=BF QF垂直平分DB ∴.QB=QD, 46/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 而PD=QD :OB=PD, 当DP⊥AB时，DP取得最小值，DP=√5，即线段BQ的最小值为V5 20.(2026江苏宿迁.一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，其中∠A=45°，AC=8,若点M是AC边 上的动点，连接BM,以BM为斜边作等腰直角△BMN,连接CN.则aCMN面积的最大值是 【答案】4 【分析】通过证明△ABM∽△CBN,可得 M-√2，∠BCN=∠BAC=45°，可求NH的长，由三角形的面 CN 积公式和二次函数的相知可求解最大值. 【详解】解：过点N作NH⊥直线AC于H, -CH M C 在RIAABC中，LACB=90°，LA=45°， ABC是等腰直角三角形， AB=V2BC,∠ABC=45°， :△BMN是等腰直角三角形， .BM=V2BN,∠MBN=45°=∠ABC, ∠ABM=LCBN, 又：AB-BM =√2， BC BN △ABM∽△CBN, :4M=V2,∠BCN=∠BAC=45°， CN .AM=√2CN,∠ACN=135°， 47/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠NCH=45°， :NH = 2 CN=-AM, 2 ecwv面积=分×Cw×8-Cw-ca-4+4 2 :当CM=4时，△CMN面积的最大值为4， 题型11三角形与圆综合 21.(2026江苏南京模拟预测)如图，在ABC中，BA=BC,以AB为直径作O0交AC于点D,过点D 作DE⊥BC,垂足为E,延长DE交AB的延长线于点F. B 0 D (1)求证：DF为⊙0的切线： (2)若BE=1,BF=3,求AD的长 【答案】(1)证明见解析 (2)√6 【分析】(1)连接OD,BD,由AB为⊙O的直径，得LADB=90°，由AB=CB,得点D为AC的中点， 由点O为AB的中点，得OD为△ABC的中位线，然后证明DF⊥OD即可： 2)根据题意得EBP2-BB22阴BEOD,得0 DFREF,进面得=92F ,将数摆代入后，得OB-多DE=反，再求待5D=BE+DE=5,最后，得出 AD=AB2-BD2=6. 【详解】(1)证明：如图，连接OD,BD, :AB为⊙O的直径， ∠ADB=90°， BD⊥AC, AB=CB, 点D为AC的中点， :点0为AB的中点， 48/85 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :OD为∠ABC的中位线， .OD BC, .∠ODE=∠DEC, :DE⊥BC, ∠DEC=90°， .∠0DE=90°， DF⊥OD, :0D为⊙O的半径， DF为⊙O的切线； D (2)解：如图，：DE⊥BC,BE=1,BF=3, 由勾股定理，得EF=√BF2-BE2=2√2， 由(1)知BEOD, △ODF∽△BEF, .OF=OD DF BF BE EF' .BE=1,BF=3,OB=OD, :3+0B=0B22+DE 3 1 2√2 ,解得OB-,DE=5, AB=20B=3, 在Rt△BDE中，BD=VBE2+DE2=√5， :AB为⊙O的直径， ∠ADB=90°， AD=√AB2-BD2=V6. 【点晴】解题的关键是熟练运用圆的性质，等腰三角形的“三线合一”，切线的判定方法，证得 ODFBEF,进而得出3+OB_OB-25+DE,解得OB=),DE=2,求出 3122 49/85 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BD=BE2+DE2=3. 22.(2026江苏无锡.一模)如图，点P是边长为1的正方形ABCD的边AB上一动点，连接DP,交对角线 AC于点E,作△ADP的外接圆O0,交AC于点F.连接PF,则∠DPF的度数为；若AE=2CF, 则AP= D E B 【答案】 45° V5-1 2 【分析】由正方形的性质可得∠CAD=∠CAB=45,再结合圆周角定理即可得出∠DPF的度数；连接DF, 由圆周角定理可得∠DFP=90°，则△DFP为等腰直角三角形，进而可得DF=PF,作FM⊥CD于点M, 延长MF交AB于点N,证明四边形BCMN为矩形，得出CM=BN,证明△DFM≌△FPN(AAS),得出 DM=FN,MF=PN,证明△FCM为等腰直角三角形，得出CM=FM=PN=BN,设 CM=FM=PN=BN=a,则CF=V2a,DM=NF=I-a,AP=1-2a,AF=√2-V2a,再证明 △DAF△EAP,求出AE= 1-2a 再结合4E=2CF,求出a=3-5 即可得出结果。 2-2a 4 【详解】解：：四边形ABCD为正方形， .LCAD=LCAB=LDCA=45°，AB=CD=BC=AD=1,AB∥CD,AC=VAB2+BC2=V2, 连接PF, D E B :DF=DE, ∠DPF=∠DAF=45°； 50/85 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 连接DF, :DP为OO的直径， ∠DFP=90°， ∴△DFP为等腰直角三角形， :DF PF, 作FM⊥CD于点M,延长MF交AB于点N, :AB∥CD, .MN⊥AB, ∴∠DMF=∠FNP=∠DFP=∠MNC=90°， :四边形BCMN为矩形， .CM BN '∠DFM+LFDM=∠DFM+LPFN=90°， ∴.∠FDM=∠PFN, .△DFM≌△FPN(AAS), ∴.DM=FN,MF=PN, :∠DCA=45°，FM⊥CD, ∴△FCM为等腰直角三角形， ∴.CM=FM=PN=BN, 设CM=FM=PN=BN=a,则CF=VCM2+MF2=√2a,DM=NF=1-a,AP=1-2a, AF=AC-CF=V2-√2a, AD=AD .∠DFA=∠EPA, :∠DAF=∠EAP=45°， △DAF∽△EAP, DA AE AF AP 1 AE 2-2a1-2a 1-2a .AE=2-2a 51/85 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AE =2CF, 1-2a 2-2a =2×V2a, 解得：a=3+5 (不符合题意，舍去)或a= 3-V5 4 4 AP=1-2a=1-2x3-5=5-1 4 2 【点晴】本题考查了圆周角定理、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角 形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助 线是解此题的关键 口题型12三角形与函数综合 23.(2025江苏无锡模拟预测)如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A,与二次函数 y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B,二次函数y=ar2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C,且 0C=2. 备用图 (1)求二次函数的表达式： (2)点M为一次函数下方抛物线上的点，△ABM的面积最大时，求点M的坐标： (3)设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数的图象的另一交点为D,已知P为x轴上的一个动点，且 △PBD为直角三角形，求点P的坐标. 【答案】(1)二次函数的表达式为y=0.5x2-2x+2 M) 3)点P的坐标为P(1,0)和P（7.25,0 【分析】(1)根据y=0.5x+2交x轴于点A,与y轴交于点B,即可得出A,B两点坐标，二次函数 y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C,且0C=2.得出可设二次函数y=ax2+bx+c=a(x-2)2, 进而求出即可： (2)作MH⊥AD于H,MG∥y轴交AD于点G,易证△A0B∽△MHG，设Mt,0.5t-2t+2),则 52/85 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G(1,0.51+2),可表示出MH,进而求出S△4BM的函数解析式，进而即可求解； (3)根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时进行分类讨论，利用三角形相似对 应边成比例求出即可 【详解】(1)解：：y=0.5x+2交x轴于点A, .0=0.5x+2, x=-4, .A-4,0), :直线y=0.5x+2与y轴交于点B, “B点坐标为(0,2， :二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C,且0C=2, “可设二次函数y=a(x-2)2, 把B(0,2)代入得，a=0.5, .二次函数的表达式：y=0.5x2-2x+2; (2)解：作MH⊥AD于H,MG∥y轴交AD于点G, 则∠MGH=∠OBA,∠MHG=∠AOB=90°， .△AOB△MHG, MH MG OA AB H 设Mi,0.512-2t+2),则G1,0.51+2), MG=(0.51+2)-(0.5r2-2+2)=-+ -1, 2 2 又：AB=V42+22=2√5,0A=4, 53/85 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 MH=、 5） :SABM= 1x25-2×3+2=8 当1=时，S64Bw最大，此时，y=2×4 5 1 8 (3)解：(I)当点B为直角顶点时，过B作BE⊥AD交x轴于R点，则RtAA0B∽RtABOP,如图1， D A 图1 AO BO BO PO' 4 2 得OR=1, P(1,0): (I)当点D为直角顶点时，作P,D⊥BD,如图2， B A 图2 将y=0.5x+2与y=0.5x2-2x+2联立， 得0.5x+2=0.5x2-2x+2 0.5x2-2.5x=0 0.5xx-5=0 解得x=0（舍去)或x2=5, 将x=5代入y=0.5x+2得，y=4.5, 54/85 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴D点的坐标为5,4.5)， 4D=5+42+45-0F-95 2 :∠DAP=∠BAO,∠BOA=∠ADP, △ABO∽△APD, :4B=40 254 4RD,即AB9V5 2 解得：AP=11.25,则0P=11.25-4=7.25, 故点坐标为7.25,0)： ()当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E,如图3， 图3 设Pa,0)， OP OB 则由RtOBP,∽R△EP,D,得DE PE' 4.55-a :方程无解， ·点B不存在， 点P的坐标为P(1,0)和P7.25,0). 【点晴】此题主要考查了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相似三角形的判定与性质等知识， 关键是根据已知进行分类讨论得出所有结果。 24.(2026江苏徐州.一模)己知，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+3的图象分别与x轴、y轴交于 点A,B. 55/85 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图，若抛物线y=ax2-2ax+a+4经过点A,且与x轴的另一个交点为点C. ①求出这个二次函数的表达式： ②在抛物线上存在点P,使得BO平分∠CBP,求点P的坐标； (2)把点B向右平移3个单位长度得到点D,若抛物线y=ax2-2ax+a+4与线段BD只有一个公共点，求实 数a的取值范围。 【答案】(1)①y=-x2+2x+3:②P(5,-12) ②-1<as- 4 【分析】(1)①先求出抛物线与坐标轴的交点，再把点A代入抛物线表达式求解☑即可： ②先求出C(-L,0),设直线BP交x轴于点D,证明△BOC≌△BOD(ASA),求出D(1,O),再求出直线BP的 表达式，然后与抛物线表达式联立求解点P; (2)找出两个临界位置求解即可 【详解】(1)解：①对于y=-x+3,当x=0时，y=3: 当y=0时，-x+3=0,解得x=3 .A3,0),B(0,3) :抛物线y=ax2-2ax+a+4经过点A, .9a-6a+a+4=0 解得a=-1 .二次函数表达式为y=-x2+2x+3; ②令y=-x2+2x+3=0, 解得x1=-1,x2=3 C(-1,0 如图，设直线BP交x轴于点D, 56/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :BO平分∠CBP, ∴.∠CBO=∠DBO, :BO=BO,∠BOC=∠BOD=90° △BOC≌△BOD(ASA 0D=0C=1 D(1,0 设直线BP:y=x+b, [k+b=0 则b=3 k=-3 解得b=3 :直线BP:y=-3x+3 与抛物线y=-x2+2x+3联立得，-x2+2x+3=-3x+3 解得x=0或x=5 P5,-12): (2)解：y=ax2-2ax+a+4=ax-12+4, 抛物线顶点为1,4， :点B(0,3)向右平移3个单位长度得到点D, D(3,3, :顶点在线段BD上方， :.当a>0时，抛物线开口向上，抛物线与线段BD没有交点： 当a<0时，抛物线经过点D(3,3时，如图： 57/85 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D 0 则9a-6a+a+4=3, 解得a=-4 1 此时粒物线与)锥交点为0-子+4即(0) 在点B上方： 当抛物线经过点B(0,3)时，如图： B D 此时a+4=3, 解得a=-1, “要使得抛物线y=ar2-2ar+a+4与线段BD只有一个公共点，实数a的取值范围为-1<a≤- 03压轴强化训练 1.(2025江苏连云港.中考真题)如图，在ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AD平分∠CAB, BE上AD,E为垂足，则4D BE的值为() B A.25 B.7V3 D.&V3 3 c 3 【答案】A 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，设BC=x,根据含 58/85 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 30度的直角三角形的性质，得到AB=2x,AC=√5x,根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比等于 底边比，得到分G,进面求出CD的长，与服定无求出D的K,等布的E孩值相，得到CD85 BD AB AD AB 求出BE的长，进而求出4D 的长即可 BE 【详解】解：：∠ACB=90°，∠CAB=30°， .AB =2BC,AC=3BC, 设BC=x,则：AB=2x,AC=V3x, :AD平分∠CAB,LACB=90°， 点D到AC,AB的距离相等均为CD的长，LCAD=LBAD, SACD= AC.CD CD SABD B.CD 1 BD CD_AC BD AB 2 2+5BC=(25-3x, AD=AC+CD=(32-6x, :BE⊥AD,∠CAD=∠BAD, .sin ZCAD=sin∠BAD, CD BE BE_2V3-3 AD AB ,即： 2x3√2-√6 .BE= √6-√2 2 AD (32-v6)x ∴.BE -23 6-2 2 故选：A 2.(2025江苏镇江.中考真题)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=8,D是AB的中 点，M是边AC上的动点，作DN1DM,交BC于点N,延长MD到点P,使得DP=2MD.当PNB面 积最大时，AM的长等于一 59/85 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C M 【答案】2 【分析】连接CD,取BD的中点Q,连接PQ并延长交BC于点E,证明△ADM≌△CDN,得到AM=CN ,证明△ADM∽△QDP,得到PQ∥AM,AM=2PQ,进而得到PE⊥BC,推出△BEQ为等腰直角三角形， 求出BE=EQ= 20=5BD=2,设PQ=x,则：CN=M=2x,PE=+2,限据aPWB面积 2 4 =BNPE,转化为二次函数求最值即可。 2 【详解】解：连接CD,取BD的中点Q,连接PQ并延长交BC于点E, M D B :∠C=90°，AC=BC=8,D是AB的中点， :AB=V2AC=8N2,∠A=∠CBA=45°，CD=AB=AD=BD=4V2,LACD=∠BCD=45°，CD⊥AB, ∴∠ADM+∠CDM=90°， :DM⊥DN, ∴.∠CDN+∠CDM=90°， .∠CDN=∠ADM, .△ADM≌△CDN, .AM =CN, :Q为BD的中点. DO=IBD=1AD, 1 2 2 DP=IMD, MD AD DP DO =2 :∠ADM=∠PDQ, 60/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .△ADM∽aQDP, ∴.∠MAD=∠PQD, AM=2, PO :.PQ∥AM,AM=2PQ, ∠PEB=∠ACB=90°，即：PE⊥BC, ∠CBA=45°， ∴.△BEQ为等腰直角三角形， BE=EQ-2B0-2D=2, 4 设PQ=x,则：CN=AM=2x,PE=x+2, .BN BC-CN =8-2x, 六aPW8面积=BNPE=8-20x+2引=-+2x+8=-x-+9, :当x=1时，△PNB面积的面积最大： 此时AM=2; 故答案为：2. 【点晴】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，相似 三角形的判定性质，二次函数求最值，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，确定动点的位置，将三角 形的面积转化为二次函数求最值，是解题的关键。 3.(2026江苏苏州模拟预测)如图，在ABC中，∠BAC=64°，∠C=36°，将ABC绕点A按逆时针方 向旋转后得ADE,AE与BD相交于点F.当DE∥AB时，∠AFD=() A.76° B.14° C.76°或14° D.74°或16 【答案】C 【分析】分情况讨论，当DE在AB的上方时，由三角形内角和定理得∠ABC=80°，由旋转的性质得 ∠ADE=∠ABC=80°，∠EAD=∠BAC=64°，进而根据平行线的性质可得∠BAD=100°，即得∠ADF=40°， 再根据三角形内角和定理即可求解，当DE在AB的下方时，同理可求得∠AFD 【详解】解：如图1，在ABC中，LBAC=64°，∠C=36°， 61/85 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B .∠ABC=180°-64°-36°=80°， D A C 图1 ∠ADE=∠ABC=80°， .ABI DE, .∠BAD+∠ADE=180°， ∠BAD=100°， AD=AB, ∠ADF=40°， ∠EAD=∠CAB=64°， .∠AFD=180°-40°-64°=76°： 如图2， B ABI DE, C D E 图2 .∠BAD=∠ADE=80°， AD AB, :∠ADF=∠ABD=50°， .LEDF=∠ADE+∠ADF=80°+50°=130°， ∠E=∠C=36°， ∠AFD=180°-36°-130°=14°， 综上所述，∠AFD=76°或14°. 4.(2026江苏无锡.一模)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，AB=V5,CD=32,将 62/85 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A'B'C,当AB恰好经过点D时，△B'CD为等腰三角形，若BB'=1, 则AA=(). A.26 B.25 C.3 D.√26 3 3 【答案】A 【分析】由旋转的性质和△B'CD为等腰三角形可得，△B'CD为等腰直角三角形，则 BC =B'C CD=3,使用勾股定理计算出4C=26.容易证明△AC4△BCB,则g=AC,代 2 2 BB BC 入数值计算即可. 【详解】解：由旋转的性质可得，∠A'B'C=∠ABC=90°，B'C=BC,AC=A'C,∠BCB'=LACA', :△B'CD为等腰三角形，∠A'B'C=90°， △B'CD为等腰直角三角形， ∴B'C=B'D,∠B'DC=45°， 在直角△B'CD中，B℃=CD·sin∠BDC=3V2×sin45°=3， .B'C=BC=3, 在直角4BC中，AC=VAB2+BC='+32=26, B'C=BC,AC=A'C, BC B'C ·ACAC1 又：∠BCB'=LACA', .△ACA'∽△BCB', =4C,即M-26 BB=BC 1 3 AA'= 2v6 3 5.(2026江苏扬州一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=4,线段CD绕点C在平面内旋 转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E.若CD=2,则AE长的最大值是() 63/85 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A.4 B.2V3+2 C.4W2 D.43 【答案】B 【分析】先确定点C与点E的运动轨迹，继而得到AB=√2AC=4v2,当cos ZBAE最大时，AE最大，当 ∠BAE最小，AE最大，再进行计算最大值即可. 【详解】解：BE⊥AE, ∠BEA=90°， “点E是在以AB为直径的圆上运动. :CD=2,且CD是绕点C旋转， ·点D是以点C为圆心，以2为半径的圆上运动. AB=2AC=42, :当cos ZBAE最大时，AE最大，即∠BAE最小，AE最大. 如图，当AE与⊙C相切于点D,且点D在ABC内部时，∠BAE最小，AE最大. :∠ADC=∠CDE=90°， B AD=VAC2-CD2=V42-22=2V5, AC=BC, ∠CEA=∠CBA=45°， :DE CD=2, 此时AE=2√3+2，即AE的最大值为2V3+2. 6.(2026江苏南京模拟预测)如图，在ABC中，D为边AB上一点，连接CD.点E为CD中点，连接 BE,若∠CDB=∠CBD=30°，∠ACD=∠EBD,AC=V6,，则BE的长是() 64/85 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D A.3V2 B.3V3 c.√6 2 D.22 2 【答案】A 【分析】过点B作BF⊥DC交DC的延长线于点F,过点C作CH BE交AB的延长线于点H,设CE=n, 通过论证，DE8:0CH可列船8册2S-递面得到cH=2x0H=4,又通过 △ACD”aAHC,可得D-AC=CD AC AH CH 进而可得AD及n,最后求解BE即可 【详解】解：过点B作BF⊥DC交DC的延长线于点F,过点C作CH‖BE交AB的延长线于点H, ∠DBE=LDHC, :∠ACD=∠DBE, ∠ACD=∠DHC, :∠A=∠A, .△ACD∽△AHC, AD AC CD AC AH CH' 设CE=n, :点E为CD中点， :CD=2CE =2DE =2n, :∠CDB=LCBD=30°， .BC=CD =2n, :LFCB=∠CDB+∠CBD=60°， ∴∠FBC=90°-∠BCF=90°-60°=30°， CF-BC=n BF=BC2-CF2=3n, :∠CDB=30°，∠F=90°， BD=2BF=23n, :∠F=90°，BF=V3n,EF=EC+CF=2n, 65/85 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BE=VBF2+EF2=√7n, :BEI‖CH,CD=2CE, .△DEBADCH, BE BD DE 1 CH DH CD2' CH=2√7n,DH=4V5n, AD CD AC CH AD 2n 627n 解得：4D=V42 :AD AC AC AH' √42 7 6 6 42+4N5n 7 解得：n=34 14 BE=VIn=3 2 故选：A. E D 7.(2026江苏无锡.一模)如图，在矩形ABCD中，AB=√5，AD=4,E为边BC上的一个动点.连接AE 、DE,将△ABE沿着AE折叠，得到△AFE,再将△AFE沿着DE折叠，得到△HGE(F与G为对应点).当 边EG与△ECD的边所在直线重合时，BE=cm. 66/85 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 【答案】1或3或4-√13 【分析】根据矩形的性质，折叠的性质，分点G落在BC上和点G落在DE上，两种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：当点G落在BC上时，如图， B H :矩形ABCD,折叠， ∠AEB=∠AEF,∠FED=∠GED,∠B=∠C=90°，CD=AB=V3,BC=AD=4 ∴.2∠AEF+2∠DEF=180°， ∴∠AEF+∠DEF=90°，即∠AED=90°， ∠BAE=∠CED=90°-∠AEB, 又：∠B=∠C=90°， .△ABEn△ECD, 太AB、BE CE CD :AB.CD=BE·CE=BE(BC-BE),即V3×V3=BE4-BE), 解得BE=1或BE=3; ②当点G落在DE上时，如图，此时F,G两点重合， 67/85 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 FG) BE H :矩形ABCD, .AD∥BC,∠B=90°， ∠DAE=∠BEA, :折叠， BE=EF,∠AEB=∠AED,∠AFE=90°，AB=AF=√5， ∠DAE=∠DEA,∠AFD=90°， AD=DE=4, 在Rt△AFD中DF=√AD2-AF2=V3, .BE=EF=DE-DF=4-√13： 综上：BE=1或BE=3或BE=4-√13. 8.(2026江苏徐州一模)如图，在ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=8,P是线段BC外一动点，BP=6 ,连接CP,将线段CP绕点P逆时针旋转90°得到线段DP,连接BD,则BD的长最大值为 B 【答案】6√2+8/8+6√2 【分析】连接AD,CD,根据三角形的三边关系得出当点D在BA的延长线时，BD的长度取得最大值，证明 △BCP∽△ACD,得出AD=6√2，即可求解. 【详解】解：如图，连接AD,CD, 68/85 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :BD≤AB+AD, :当点D在BA的延长线时，BD的长度取得最大值， 由题意得，△ABC、aCDP均为等腰直角三角形， LACB=LDCP=45°， ∠ACB-∠ACP=∠DCP-∠ACP, 即∠PCB=∠DCA, “Cos LACB= C2,cos∠DCP=PC-V2 BC2 CD 2 BC PC AC CD △BCP∽△ACD, :BP_BC AD AC 2 :BP=6, AD=6√2， AB=BC=8, .BD的长最大值为6N2+8 9.(2026江苏南京模拟预测)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在边AC和BC上， AC+CD=5,BC+CE=7,则AE+BD的最小值是· B D 【答案】√74 【分析】设CD=a,CE=b,得出AC=5-a,BC=7-b,勾股定理表示出AE+BD,转化为平面内一点到 N(5,O)和点M(0,7)的距离的和，则当(a,b)在线段MN上时，AE+BD取得最小值，最小值为MN的长， 即可求解 【详解】解：设CD=a,CE=b, AC+CD=5,BC+CE=7, ∴.AC=5-a,BC=7-b, 69/85 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AE=AC2+CE2=(5-a)2+b2,BD=CD2+BC2=a2+(7-b)2, .AE+BD=V(5-a)2+b2+Va2+(7-b)2, 即表示点(a,b)到点(5,0)和点(0,7)的距离的和， 如图： (a,b) 0 当a,b)在线段MN上时，AE+BD取得最小值，最小值为MN的长V52+7?=√74. 10.(2026江苏南京模拟预测)定义：若一个直角三角形中，两个锐角的内角满足其中一个角的2倍与 一个角互余，则我们称这个三角形为“倍角互余三角形”.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8, 点P为BC上一个动点，若△APB为"倍角互余三角形”，则BP的长为， B 【答案】？或5 2 【分析】根据题意，当2∠B+∠BAP=90°，在AB上取一点D,连接DP,使得DP=DB,过点D作 DE⊥BC于E,可证明∠ADP=∠DPB+∠B=2∠B,则可证明APD=90°，利用勾股定理求出 48=C寸8C:10,则m8=6-有进而将到w8能-专设E=48D=P0=5,则 BP=8x,AD=10-5x,PC=BC-BP=8-8x,由勾股定理得(10-5x)-(5x)=62+(8-8x),解方程即可 得到答案；当2∠BAP+∠B=90°时，可证明AP平分∠BAC,过点P作PH⊥AB于H,则PH=PC,设 BP=5m,则PH=CP=8-5m,解直角三角形可得PH=PB=3m,则8-5m=3m,解方程即可得到答案. 【详解】解：如图所示，当2∠B+∠BAP=90°时， 如图，在AB上取一点D,连接DP,使得DP=DB,过点D作DE⊥BC于E, ∠DPB=∠B,BP=2BE, 70/85 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ADP=∠DPB+∠B=2∠B, ∴∠ADP+∠BAP=90°， ∠APD=90°， :在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8, AB=AC2+BC2=10, .'cos B= BC 4 AB 5' 在Rt△BDE中，cosB=BE-4 BD5' 设BE=4x,BD=PD=5x, BP=8x,AD=10-5x, .PC=BC-BP=8-8x, 由勾股定理得AP2=AD2-PD2=AC2+CP2, (10-5x)2-(5x2=62+(8-8x)2, 解得x6或x=0(舍去)了 :BP=8x=2' 7 D 、 C 如图所示，当2∠BAP+∠B=90°时， :∠BAC+LB=90°， .∠BAC=2∠BAP, .AP平分∠BAC, 如图所示，过点P作PH⊥AB于H,则PH=PC, 设BP=5m,则PH=CP=8-5m, sin B=PH AC 3 PBAB5 .PH= B=3m 5 71/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8-5m=3m, m=1, BP=5; A H B 综上所述， BP的长为2或5 11.(2026江苏无锡.一模)如图，AB为O0直径，C,D为O0上的两点，且CE是O0的切线，CE⊥DB 交DB的延长线于点E. D (1)若∠A=25°，求LACD的度数； (2)若AB=6,BE=1,求CD的长. 【答案】(1)∠ACD=50°： (2)CD=30. 【分析】(1)连接OC,利用切线的性质结合已知判定出OC∥DE,得出∠D=∠DC0,由等弧对等角得 ∠A=∠D,再利用角的等量代换即可解答： (2)作OF⊥BD于点F,证明四边形OCEF是矩形，求出BF=EF-BE=2,再利用垂径定理、勾股定理 求解即可. 【详解】(1)证明：连接0C,如图， B D :CE是⊙O的切线， 72/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 OC⊥CE, :CE⊥DB, .OC∥DE, ∴∠D=LDC0, :BC=BC. .∠A=∠D, .LA=∠DC0, :0A=0C, ∠A=∠AC0, .∠ACD=∠DC0+∠AC0=2∠A=50°： (2)解：作OF⊥BD于点F,如图， B ∠0CE=∠E=∠0FE=90°， :.四边形OCEF是矩形， :AB=6, 5EF=0C=0B=AB=3, ∴BF=EF-BE=2, OF⊥BD, BD=2BF=4,CE=0F=V0B2-BF2=V32-22=√5， ∴ED=BD+BE=5, CD=CE2+DE2 V5)+52=30 12.(2026江苏连云港模拟预测)如图，在△ABF中，点C是边BF上的一点， 73/85 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E C 图1 图2 (1)请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，在边AF上作一点D,使得∠ADB=∠ACB(保留作图痕迹，不写 作法). (2)若AB=AC,BD⊥AC. ①求证：∠BAC=2LCAF. ②当tan∠ABC=3时， S△cDE的值， SABF 【答案】(1)见解析 2)0见解析；②1 【分析】(1)根据三角形外角的性质得出∠FBD=∠FAC,然后作图即可： (2)①根据等腰三角形的性质得出∠ABC=LACB,确定∠ADB=LABC,再由垂直得出 LCAF=90°-∠ADB,利用三角形内角和得出LBAC=180°-2LABC,即可证明；②过点A作AH⊥BC, 得出BH=CH,设BH=3a,则AH=9a,BH=CH=3a,BC=6a,确定AB=AC=310a,由(1)得 LABC=LACB=∠ADB,利用正切函数及勾股定理确定CD=√CE2+DE2=√0a,再由圆内接四边形的性 质及相似三角形的判定和性质即可求解。 【详解】(1)解：如图所示，作∠FBD=∠FAC,BD交AF于点D,即为所求； :∠ACB=LF+LFAC,∠ADB=∠F+∠FBD, ∠ADB=LACB; (2)证明：：AB=AC, .∠ABC=∠ACB, 74/85 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠ADB=∠ACB, ∠ADB=∠ABC, :BD⊥AC, ∠ADB+LCAF=90°， ∠CAF=90°-∠ADB, :∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB=180°-∠ABC, ∠BAC=180°-2LABC, .∠BAC=2∠CAF; ②过点A作AH⊥BC,如图所示， E AB=AC, :BH=CH, 设BH=CH=3a,则BC=BH+CH=6a, :am∠ABC=4H=3, BH .AH =3BH =9a, AB=AC=AH2+BH2=310a, 由(1)得∠ABC=∠ACB=LADB, .tan∠ABC=tan∠ACB=tan∠ADB=3, :BD⊥AC, .tan∠ACB= BE=3, CE .BE 3CE, BC =6a,CE2+BE2=BC2, CE2+(3CE)2=(6a, ∴CE= 3V10 5 -a, 75/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ÷AE=AC-CE=12io。 5a, :tan∠ADB=4E=3, DE “DE=AE-4V -a, 35 CD=CE2+DE2=10a, :四边形ABCD为圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC=180°， :∠FDC+∠ADC=180°， ∴∠ABC=LFDC, :∠F=∠F, ∴△FDC△FBA, .DC10a 1 BA 310a 3 S.CDE= (DC 1 S。ABF 13.(2026江苏苏州.一模)如图1，在ABC中，AF为BC边上的中线，BE⊥AF交AC于点E,此时我 们称点E为B、C的“垂对称点”.特别的，当点E也为AC中点时，我们称这样的三角形为“中垂三角形”， 例如，图2、图3中，AF,BE是ABC的中线，AF⊥BE,垂足为P,像ABC这样的三角形均为“中垂 三角形”.设BC=a,AC=b,AB=c. B 图1 图2 图3 图4 图5 (1)【特例探究】如图1，∠ABC=90°，AB=BC,E为B、C的“垂对称点”，c=4,则CE= 如图2，ABC为“中垂三角形”，当∠ABE=45°，c=2√2时，则EF=,a=一，b=一； (2)【归纳证明】观察特例探究结果，猜想？、b2、2三者之间的关系，并利用图3证明你的猜想； (3)【拓展应用】如图4，在平行四边形ABCD中，点E、F、G分别是AD、BC、CD的中点，BE⊥EG, AD=2V5,AB=3,求AF的长度. 76/85 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (4)【知识迁移】如图5，在平面直角坐标系中，点C(2,2),∠C=45°，点A在x轴上，点B在y轴上，CB 与x轴交于点Q,当CP=OB时，求证：O为线段PB的黄金分割点， 【答案】)42 ;V2;2W5;25 3 (2)a2+b2=5c2,证明见解析 (3)4 (4)证明见解析 【分析】(1)过点C作CH‖AB,交BE的延长线于点H,根据平行线的性质得出LHCB=90°，根据等角 的余角相等得出乙H81=∠B1C,根据全等三角形的判定和性质得出CH=BF=)AB,根据相以三角形的 判定和性质得出AE=2CE,结合勾股定理求出AC的值，即可求解；连接EF,根据直角三角形的性质得 出∠BAF=LABE=45°，根据等角对等边得出AP=BP,根据勾股定理求出AP=BP=2,根据中线的定义 以及中位线的判定和性质得出EF∥AB,EF=)AB=V反，根据平行线的性质和等角对等边得出PE=PF, 根据勾股定理求出PE=PF=1,结合勾股定理即可求解； (2)连接E,根据中线的定义以及中位线的判定和性质得出EB=,根据勾股定理推待 EF2AB2AE2BF2,据此即可证明： (3)连接AC，EF交于点H,AC与BE交于点Q,根据中线的定义以及中位线的判定和性质得出 EG∥AC,根据平行线的性质得出BE⊥AC,根据平行四边形的性质和平行线的性质得出AD=BC=2√5， ∠EAH=∠FCH,求得AE=BF=CF=√5，根据平行四边形的判定和性质得出AQ=OF,EF=AB=3, 根据全等三角形的判定和性质得出EH=FH,根据中线的定义得出EQ,AH分别是△AFE的中线，结合(2) 的结论，即可求解； (4)过点C作CH⊥y轴于点H,连接0C,根据等边对等角和三角形内角和定理求得 ∠HOC=∠HC0=45°，根据三角形的外角性质和等角的余角相等得出∠PC0=∠PBC,根据相似三角形的 判定和性质得出 光祭。等经代提有出858 OB BP ,即可证明。 【详解】(1)如图所示，过点C作CH‖AB,交BE的延长线于点H, 77/85 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AB∥CH,∠ABC=90°， ∴.∠HCB=180°-∠ABC=90°， :∠HBC+∠HBA=90°，LHBC+∠BHC=90°， ∠HBA=∠BHC, :∠HCB=∠ABC=90°，AB=BC,∠HBA=∠BHC, .△ABF≌△BCH, CH=BF =AB :AB∥CH, .△CHE∽△ABE, CH=CE1 AB AE 2' 即AE=2CE, 在Rt△ABC中，AB=BC=c=4, 故AC=√AB2+BC2=V42+42=4V2 AC=AE+CE=2CE+CE=3CE=42 故CE=4 3 如图所示，连接EF, B 根据题意可得：AF、BE是ABC的中线，AF⊥BE,AB=c=2√2： AF⊥BE,∠ABE=45°， LBAF=LABE=45°， .AP=BP, 在RtAPB中，AB=√AP2+PB2=√2AP=2√2， 故AP=BP=2, 78/85 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AF、BE是ABC的中线， :AE=CE,BF=CF, ·EF是ABC的中位线， :EF∥AB,EF=AB=√2， 2 :LPFE=LPEF=∠BAF=∠ABE=4S°， 故PE=PF, 在Rt△EFP中，EF=√EP2+FP2=√2EP=√2， :PE PF =1, 在RtaPEA中，AE=VEP2+AP2=VP+22=√5， 在RtFPB中，BF=VFP2+BP2=2+22=5, AC=2AE=25,BC=2BF=25, 即EF=√2，a=25,b=25. (2)猜想：a2+b2=5c2, 如图所示，连接EF, A 根据题意可得：AF、BE是ABC的中线，AF⊥BE, 即E-号4c-0,8F-8c- 2 2 :AF、BE是ABC的中线， .AE=CE,BF=CF, ∴EF是ABC的中位线， 则EFAB-0, 1 在Rt△EFP中，EF2=EP2+FP2, 在RtAABP中，AB2=AP2+BP2, 79/85 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在RtAPEA中，AE2=EP2+AP, 在Rt△FPB中，BF2=FP2+BP2, 故EF2+AB2=(EP2+AP2)+PF2+PB2）=(EP2+PF2）+AP2+PB2）=AE2+BF2, *-9 整理，得a2+b2=5c2. (3)如图所示，连接AC,，EF交于点H,AC与BE交于点Q, D :点E、G分别是AD、CD的中点， .EG是△ACD的中位线， .EG∥AC, ·BE⊥EG, BE⊥AC, :四边形ABCD是平行四边形 AD∥BC,AD=BC=2V5, ∴.∠EAH=∠FCH, :点E,F分别是AD,BC的中点， 4e-4D,8p8C 2 FCF-2AD5 AE∥BF, :.四边形ABFE是平行四边形， ·AQ=QF,EF=AB=3, :∠EAH=∠FCH,∠AHE=∠FHC,AE=CF, .△AEH≌△CFH, :EH FH, EQ,AH分别是△AFE的中线， 80/85 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由(2)的结论得：AF2+EF2=5AE2, :AF2=5AE2-EF2=55-32=16, AF=4. (4)如图所示，过点C作CH⊥y轴于点H,连接OC, Hh. 即∠CH0=90°， 根据题意可得CH=OH=2, ∠H0C=∠HC0=45°. 在△0BC中，∠H0C=∠0BC+∠BC0=45°， 又：∠ACB=∠AC0+LBC0=45°， .∠PC0=∠PBC, :∠OPC=∠CPB,LPCO=LPBC, ∴.△OPCn△CPB, OP PC PC BP 又：PC=0B, 858 .点O为线段PB的黄金分割点 14.(2026江苏连云港.一模)【问题原型】 A D B D B D B 图① 图② 图③ 如图①，∠A0B=90°，点C为A0上一点，且C0=2,D是BO边上的动点，∠DCE=90°，且 81/85 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 CD·CE=16,连接OE,求OE的最大值. 【问题探究】 (1)如图②，小明过点C作CF∥OB,过点E作EF CD,可得LCEF=90°，连接ED、FD,将CD·CE=16 转化为ScD-CD,CE=8,再利用Sacn=3。cm,通过面积计算，从而确定CP为定值，又因为 2 ∠CEF=90°，最终确定点E的轨迹进而解决问题. 以下是小明确认CF为定值的部分过程： 证明：由【问题原型】的作法可知，∠CEF+∠ECD=180°，，∠CEF=90°. 证明过程缺失 CF=8: 请你补全缺失的证明过程 【问题解决】 (2)请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出【问题原型】中的点E的轨迹，并直接写 出OE最大值= (保留作图痕迹) 【问题拓展】 (3)如图③，∠A0B=60°，C为A0上一点，C0=6,D是B0边上的动点，∠DCE=90°，且 CD.CE=18√3，直接写出OE的最大值= 【答案】(1)见解析： (2)见解析，2√5+4： 3)37+3. 【分析】(1)根据三角形的面积公式和平行线间的距离相等即可解答； (2)以CF为直径作圆，点E的轨迹是OG,当O,G,E三点共线时，OE有最大值，根据勾股定理即可 解答； (3)过点C作CF∥OB,过点E作EF∥CD,连接ED,FD,过点C作CM⊥OB于点M,根据30度角 的性质及勾股定理得到0M=3,CM=3√5，同(1)证明CF=6,根据∠CEF=90°得到点E在⊙G上运动， 可知当OE过点G时OE的值最大，过点G作GN⊥OB于点N,过点F作FK⊥OB于点K,可知四边形 CGNM、CFKM是矩形，得到GN=CM=3√3，根据勾股定理求出OG=37,即可求出OE的最大值. 【详解】(1)解：补全缺失的证明过程如下： 如图1，过点C作CF∥OB,过点E作EF∥CD,连接ED,FD, 82/85 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 、 D B 图1 :.四边形CODF是平行四边形， :∠A0B=90°， :平行四边形CODF是矩形， .C0=DF,∠CFD=90°， :∠DCE=90°， _1.CD.CE. .S.CDE= :CD.CE=16, 5.ce=2x16=8, EF∥CD, .S.CDE S.CDF .S.CDF=8, 1 S.ame=2xCFx0C,0C=2,L40B=90°， CF=8; (2)解：：∠CEF=90°， 点E在OG上运动； 如图2，作CF的垂直平分线交CF于点G,以G为圆心，CF为直径作圆，点E的运动轨迹就是OG, G 0D* B 图2 当OE过点G时OE的值最大， :CF=8, 83/85 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .EG=CG=4, 由勾股定理得：0G=V22+42=2√5， 0E=0G+EG=2√5+4， 即OE的最大值是2√5+4； (3)解：如图3，过点C作CF∥OB,过点E作EF∥CD,连接ED,FD,过点C作CM⊥OB于点M, E .∠CM0=90°， M DB 图3 :∠A0B=60°， ∠0CM=30°， OM=0C=x6=3,CM=V6-=3W5, 2 :∠DCE=90°， CD.CE=183, 55.co EF∥CD, S.CDE S.CDF .S.CDF=93, 2xCF×35=9W5, CF=6, :∠CEF=90°， :点E在OG上运动， 可知当OE过点G时OE的值最大， 84/85 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图4，过点G作GN⊥OB于点N,过点F作FK⊥OB于点K, C M NDK B 图4 :四边形CGNM、CFKM是矩形， GN=CM=33, :CF=6 .MN=CG=3, :0N=0M+MN=3+3=6, 由勾股定理得：0G=VGW2+0N2=V35+62=37, 0E=0G+EG=3V7+3, 即OE的最大值为3√7+3. 85/85 专题03 三角形综合问题 命题预测 三角形作为中考数学的核心板块之一，是江苏中考数学的热门考点之一；从去年江苏各地区的中考数学来看，三角形的压轴题型考法集中在全等三角形的判定与性质、特殊三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等等，同时也会考查常见的辅助线添加问题，三角形中的最值问题等等；预计2026年江苏各地区的压轴题型仍会有三角形的一席之地，考生应加以重视。 高频考法 1.与三角形有关的线段压轴 2.与三角形有关的角压轴 3.全等三角形的判定与性质压轴 4.等腰三角形的判定与性质压轴 5.等边三角形的判定与性质压轴 6.直角三角形的性质压轴 7.勾股定理压轴问题 8.相似三角形的判定与性质压轴 9.全等三角形中的模型问题 10.三角形中的最值问题 11.三角形与圆综合 12.三角形与函数综合 典例·靶向·突破 题型01 与三角形有关的线段压轴 1．（2025·江苏宿迁·二模）综合与实践： 【回归教材】 在八年级我们探究了三角形中边与角之间的不等关系，发现：在三角形中，大边对大角，大角对大边． 小明的探究方法如下： 如图1，在中，如果，作的角平分线交于点，在边上截取，连接，进而证明，则．这说明“在三角形中，大边对大角”． 如图2，在中，如果，作垂直平分交于点，则，．这说明“在三角形中，大角对大边”． 【尝试探究】 （1）如图3，在中，为的角平分线交于点，试证明：； 【进阶思考】 （2）如图4，在中，分别为的角平分线，求证：； 【拓展运用】 （3）如图5，在中，为上一点，且，比较和的大小关系，并说明理由． 2．（2025·江苏扬州·二模）定义：若一个三角形被某条直线分成面积相等的两个部分，则称这条直线是该三角形的“等积线”． (1)如图1，用无刻度的直尺与圆规作出过点的“等积线”（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (2)如图2，点是中上一点，用无刻度的直尺与圆规作出过点的“等积线”（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (3)如图3，点是中上一点，为中点，连接，过点作，交延长线于点，连接交于，判断是不是的“等积线”，并说明理由． 题型02 与三角形有关的角压轴 3．（2025·江苏南京·一模）在中，，．若为钝角，则的取值范围是__________． 4．（2025·江苏扬州·一模）如图，已知，，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，作点关于直线的对称点，连接交直线于点． (1)若，则的度数为______； (2)猜想线段、、之间的数量关系，并证明； (3)若，当长为时，求的面积． 题型03 全等三角形的判定与性质压轴 5．（2026·江苏扬州·一模）如图，点M为正方形对角线上的一个动点，将线段绕B点逆时针旋转后得到线段，连接．下列结论正确的是________．（请将所有正确结论的序号填写在横线上） ①当N落在上时，； ②当 时，点M到点N距离最短； ③若正方形的边长为1，则长度范围为． 6．（2026·江苏扬州·一模）综合与探究 学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图1，在中，取的中点O，连接并延长，使得，连接、，四边形为平行四边形． 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将保持固定，绕点A按逆时针方向旋转，其中，若，当点E落在AB边上时，连接并延长，使得，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图3，当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接、，取的中点P，连接交于点Q，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接，M是射线上的一点，连接，过点A作的垂线交于点G，若G是的三等分点，请直接写出的值． 题型04 等腰三角形的判定与性质压轴 7．（2026·江苏连云港·一模）如图1，在中，点D，E分别在边上，连接，，平分． (1)求证：． (2)若，求． (3)如图2，过点A作的垂线交延长线于点F，作，垂足为G，求的值． 8．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，是边上一点，连接，过点作交于，已将沿翻折得，连接．下列说法错误的是（    ） A． B．当时， C．当时，折痕的长 D．当是等腰三角形时，的长 题型05 等边三角形的判定与性质压轴 9．（2026·江苏盐城·一模）如图是小明在学习了“赵爽弦图”的相关知识后，构造的“类赵爽弦图”．是等边三角形，、、是三个全等的三角形，是围成的三角形．若，，则的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 10．（2026·江苏无锡·一模）如图，正边长为1，为上一动点（不与A、C重合），过作，垂足为E，M为线段上一点，且，过作交于．设，．当时，__；在点D运动的过程中，y关于x的函数表达式为______． 题型06 直角三角形的性质压轴 11．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，，，点D是的中点，点P、Q分别是、上的动点，且，则的最小值为______． 12．（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上，，，C为x轴正半轴上一点，以为一边在第一象限内作等边．使得D点恰好落在线段上，D点坐标为________，将沿x轴的正半轴向右平移得到，当将的面积分为两部分时，的长为________． 题型07 勾股定理压轴问题 13．（2026·江苏无锡·一模）如图，在中，，，的顶点在边上运动（点不与点重合），且，，直线与直线相交于点，连接，则下列结论：①；②的面积等于的面积；③线段的最大值为；④周长的最小值为．其中正确的为（    ） A．①② B．②④ C．①②③ D．①②④ 14．（2026·江苏无锡·一模）如图，在四边形中，，，，．现将其分割成①、②、③、④四部分，然后再拼成两个正方形（不重叠、无缝隙），则②的面积为______． 题型08 相似三角形的判定与性质压轴 15．（2026·湖北·模拟预测）如图1，已知，，．点D，E分别在，上，，连接．将绕点A顺时针旋转，连接，． (1)求证：； (2)如图2，当的延长线经过点D，若， ，求的长； (3)如图3，当的延长线经过的中点F，与交于点G，，求的值． 16．（2026·江苏南京·模拟预测）已知中，是边上的高，是边上的中线，是的角平分线，且交于一点G，则称点G为该三角形的“金中点”． (1)求证：； (2)当，求度数； (3)若为等腰三角形时，求的比值k为多少？请在下面直接填写结果： ①当时，______； ②当时，______； ③当时，则k的一位小数的近似值______． 题型09 全等三角形中的模型问题 17．（2026·江苏宿迁·一模）如图，四边形为正方形，点P为平面内一点，已知，，则的最大值为_____． 18．（2026·江苏连云港·一模）“数学区别于其他学科最主要的特征是抽象和思维”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本模型，用类比等方法进行探究，以解决新的问题．综合实践课上，李老师以“发现-探究-拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维，以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图1，小明发现当时，线段且，请说明理由． 【类比探究】 ②如图2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）如图3，中，，，点P为内一点，，，，请直接写出的长．（温馨提示：顶角为的等腰三角形三边之比为） 题型10 三角形中的最值问题 19．（2026·江苏扬州·一模）如图，中，，，．点是上的一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接．点在从向运动的过程中，线段的最小值为(   ) A．4 B． C．2 D． 20．（2026·江苏宿迁·一模）如图，在中，，其中，，若点M是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角，连接．则面积的最大值是__________． 题型11 三角形与圆综合 21．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作交于点D，过点D作，垂足为E，延长交的延长线于点F． (1)求证：为的切线： (2)若，，求的长． 22．（2026·江苏无锡·一模）如图，点P是边长为1的正方形的边上一动点，连接，交对角线于点E，作的外接圆，交于点F．连接，则的度数为_______；若，则______． 题型12 三角形与函数综合 23．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与二次函数的图象交于y轴上的一点B，二次函数的图象与x轴只有唯一的交点C，且． (1)求二次函数的表达式； (2)点M为一次函数下方抛物线上的点，的面积最大时，求点M的坐标； (3)设一次函数的图象与二次函数的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且为直角三角形，求点P的坐标． 24．（2026·江苏徐州·一模）已知，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B． (1)如图，若抛物线经过点A，且与x轴的另一个交点为点C． ①求出这个二次函数的表达式； ②在抛物线上存在点P，使得平分，求点P的坐标； (2)把点B向右平移3个单位长度得到点D，若抛物线与线段只有一个公共点，求实数a的取值范围． 1．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于_____． 3．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，．将绕点A按逆时针方向旋转后得，与相交于点F．当时，（   ） A． B． C．或 D．或 4．（2026·江苏无锡·一模）如图，在四边形中，，，，，将绕点顺时针方向旋转后得，当恰好经过点时，为等腰三角形，若，则（　　）． A． B． C． D． 5．（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，则长的最大值是（    ） A．4 B． C． D． 6．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，为边上一点，连接．点为中点，连接，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，，为边上的一个动点．连接、，将沿着折叠，得到，再将沿着折叠，得到（与为对应点）．当边与的边所在直线重合时，______． 8．（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，，P是线段外一动点，，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，则的长最大值为_______． 9．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，Rt△ABC中，，点D、E分别在边和上，，，则的最小值是______． 10．（2026·江苏南京·模拟预测）定义：若一个直角三角形中，两个锐角的内角满足其中一个角的2倍与另一个角互余，则我们称这个三角形为“倍角互余三角形”．如图，在中，，点为上一个动点，若为“倍角互余三角形”，则的长为______． 11．（2026·江苏无锡·一模）如图，为直径，C，D为上的两点，且是的切线，交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 12．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在中，点C是边上的一点， (1)请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，在边上作一点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若，． ①求证：． ②当时，求的值． 13．（2026·江苏苏州·一模）如图1，在中，为边上的中线，交于点，此时我们称点为、的“垂对称点”．特别的，当点也为中点时，我们称这样的三角形为“中垂三角形”，例如，图2、图3中，，是的中线，，垂足为，像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，． (1)【特例探究】如图1，，，为、的“垂对称点”，，则________； 如图2，为“中垂三角形”，当，时，则___，____，____； (2)【归纳证明】观察特例探究结果，猜想、、三者之间的关系，并利用图3证明你的猜想； (3)【拓展应用】如图4，在平行四边形中，点、F、G分别是、、的中点，，，，求的长度． (4)【知识迁移】如图5，在平面直角坐标系中，点，，点在轴上，点在轴上，与轴交于点．当时，求证：为线段的黄金分割点． 14．（2026·江苏连云港·一模）【问题原型】 如图①，，点为上一点，且，是边上的动点，，且，连接，求的最大值． 【问题探究】 (1)如图②，小明过点作，过点作，可得，连接，将转化为，再利用，通过面积计算，从而确定为定值，又因为，最终确定点的轨迹进而解决问题． 以下是小明确认为定值的部分过程： 证明：由【问题原型】的作法可知，，． 证明过程缺失 ； 请你补全缺失的证明过程 【问题解决】 (2)请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出【问题原型】中的点的轨迹，并直接写出最大值___________（保留作图痕迹） 【问题拓展】 (3)如图③，，为上一点，，是边上的动点，，且，直接写出的最大值___________． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $