2026年中考数学二轮复习：四边形

**基本信息** 以题载法系统整合四边形性质判定，通过分层题型构建“概念-推理-应用”逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|选择1-4、6、8-10，填空11-15|平行四边形对角线平分、菱形面积公式、多边形内角和公式|从一般到特殊四边形性质递进，结合三角形全等/中位线转化| |判定证明|解答16-19|菱形判定（四边相等/对角线垂直）、平行四边形判定（对边平行且相等）|通过角平分线、垂直平分线等条件构建判定定理应用路径| |计算综合|选择7、填空15、解答18(2)、19(2)|勾股定理求边长、面积转化法、方程思想|融合几何性质与代数计算，培养空间观念与运算能力| |拓展探究|解答20|多边形对角线公式推导|从具体到抽象归纳规律，发展创新意识与推理能力|

2026年中考数学二轮复习：四边形 一．选择题（共10小题） 1．如图，▱ABCD中，点E，F分别是AD，AB边上的中点，连接EF，CE，CF．若△CEF是等腰直角三角形，∠CEF＝90°，AB＝2，则CF的长是（　　） A．3 B． C． D．3.5 2．在▱ABCD中，AC、BD交于点O，AB＝4、BC＝6，设OB＝a，则（　　） A．1＜a＜10 B．2＜a＜10 C．1＜a＜5 D．2＜a＜5 3．如图，在▱ABCD中，∠BAC＝78°，∠ACB＝40°，则∠D的大小为（　　） A．52° B．62° C．68° D．78° 4．如图，在▱ACBD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点，若OE＝3，则AB的长为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 5．下列说法错误的是（　　） A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线互相垂直 C．有一个角是直角的菱形是正方形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠ABC＝80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上，且BE＝BO，则∠AOE的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 7．如图，在▱ABCD中，AD＝12，AC＝26，∠ADB＝90°，则AD与BC间的距离为（　　） A．5 B．10 C． D．26 8．历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是心思，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（　　） A．1080° B．900° C．720° D．540° 9．小馨同学按如下步骤作四边形ABCD；（1）画∠MAN；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接BC，CD，BD．若∠A＝48°，则∠CBD的大小是（　　） A．64° B．65° C．66° D．67° 10．如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，连接AC，BD交于点O．若，BD＝4，则EF的长为（　　） A． B．2 C． D． 二．填空题（共5小题） 11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的面积为　 　 ． 12．如图，四边形OABC是平行四边形，顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（4，0），（1，2），则顶点B的坐标是　 　 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点O在原点处，顶点A在y轴上，已知点C的坐标为（4，3），则点B的坐标为　 　 ． 14．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，一副七巧板是由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．如图，整个七巧板拼图是个大正方形，若七巧板中平行四边形的面积为16，则图中小正方形的面积为　 　 ． 15．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为边AD上一点，过点E分别作BD、AC的垂线，垂足分别为F、G，则EF+EG的值为　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，线段AD的垂直平分线分别交AB，AD，AC于点E，F，G，连接DE，DG．求证：四边形AEDG是菱形． 17．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DB平分∠ADC，AE∥BD，DE∥AC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若BC＝10，求OE的长． 18．如图，平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点E，∠ABC的平分线交边AD于点F，连接EF． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）记AE、BF的交点为O，连接OC．若AB＝4，AD＝7，∠ABC＝60°，求OC的长． 19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，BO＝DO． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）已知AB＝5，AC+BD＝14，求菱形ABCD的面积． 20．探究归纳应用题： 【试验分析】 （1）如图①，过点A可以作1条对角线；同样，经过点B可以作1条对角线；经过点C可以作1条对角线；经过点D可以作1条对角线；且对角线AC与CA为同一条．通过以上分析和总结，图①共有　 　 条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有　 　 条对角线，共有　 　 条对角线；图③共有　 　 条对角线； 【探索归纳】 （3）对于n边形（n＞3），共有　 　 条对角线（用含n的代数式表示）； 【拓展应用】 （4）12个人围着圆桌开会，每不相邻的人都握一次手，共握多少次手？ 2026年中考数学二轮复习：四边形 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．如图，▱ABCD中，点E，F分别是AD，AB边上的中点，连接EF，CE，CF．若△CEF是等腰直角三角形，∠CEF＝90°，AB＝2，则CF的长是（　　） A．3 B． C． D．3.5 【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形中位线定理． 【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力． 【答案】A 【分析】延长FE和CD交于G，判定△EDG≌△EAF（AAS），推出EG＝EF，DG＝AF，判定CE垂直平分FG，得到CF＝CG，求出CG＝3，即可得到CF的长． 【解答】解：延长FE和CD交于G， ∵ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，CD＝AB＝2， ∴∠G＝∠AFE，∠EDG＝∠A， ∵E是AD的中点， ∴DE＝AE， ∴△EDG≌△EAF（AAS）， ∴EG＝EF，DG＝AF， ∵∠CEF＝90°， ∴CE垂直平分FG， ∴CF＝CG， ∵F是AB边上的中点， ∴AFAB＝1， ∴CG＝CD+DG＝2+1＝3， ∴CF＝3． 故选：A． 【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，关键是判定△EDG≌△EAF（AAS）． 2．在▱ABCD中，AC、BD交于点O，AB＝4、BC＝6，设OB＝a，则（　　） A．1＜a＜10 B．2＜a＜10 C．1＜a＜5 D．2＜a＜5 【考点】平行四边形的性质． 【专题】多边形与平行四边形． 【答案】C 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．就可以转化为三角形的三边的关系的问题． 【解答】解：∵▱ABCD，AC、BD交于点O， ∴BD＝2OB＝2a， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝4， ∴6﹣4＜BD＜6+4，即2＜2a＜10， ∴1＜a＜5， 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 3．如图，在▱ABCD中，∠BAC＝78°，∠ACB＝40°，则∠D的大小为（　　） A．52° B．62° C．68° D．78° 【考点】平行四边形的性质． 【专题】三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理求出∠B＝62°，由平行四边形的性质推出∠D＝∠B＝62°． 【解答】解：∵∠BAC＝78°，∠ACB＝40°， ∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝62°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝∠B＝62°． 故选：B． 【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形内角和定理，关键是掌握平行四边形的对角相等，三角形的内角和是180度． 4．如图，在▱ACBD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点，若OE＝3，则AB的长为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【考点】平行四边形的性质． 【专题】三角形；多边形与平行四边形；推理能力． 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质推出AO＝CO，由三角形中位线定理得到AB＝2OE＝6． 【解答】解：∵四边形ACBD是平行四边形， ∴AO＝CO， ∵点E是BC的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴AB＝2OE＝2×3＝6． 故选：B． 【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，关键是掌握平行四边形的对角线互相平分，三角形的中位线等于第三边的一半． 5．下列说法错误的是（　　） A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线互相垂直 C．有一个角是直角的菱形是正方形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【考点】正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质． 【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】B 【分析】对于选项A，由平行四边形的性质得平行四边形的对角线互相平分，则该选项正确； 对于选项B，由矩形的性质得矩形的对角线相等且互相平分，则该选项错误； 对于选项C，由正方形的判定得有一个角是直角的菱形是正方形，则该选项正确； 对于选项D，由菱形的判定得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则该选项正确，综上所述即可得出答案． 【解答】解：对于选项A， 由平行四边形的性质得：平行四边形的对角线互相平分， 故选项A正确，不符合题意； 对于选项B， 由矩形的性质得：矩形的对角线相等且互相平分， 故选项B错误，符合题意； 对于选项C， 由正方形的判定得：有一个角是直角的菱形是正方形， 故选项C正确，不符合题意； 对于选项D， 由菱形的判定得：对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 故选项D正确，不符合题意， 故选：B． 【点评】此题主要考查了平行四边形和矩形的性质，正方形和菱形的判定，熟练掌握平行四边形和矩形的性质，正方形和菱形的判定是解决问题的关键． 6．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠ABC＝80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上，且BE＝BO，则∠AOE的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【考点】菱形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力． 【答案】A 【分析】由菱形的性质推出BD平分∠ABC，AC⊥BD，得到∠ABO∠ABC＝40°，由等腰三角形的性质得到∠BOE＝∠BEO＝70°，即可求出∠AOE的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BD平分∠ABC，AC⊥BD， ∴∠ABO∠ABC80°＝40°， ∵BE＝BO， ∴∠BOE＝∠BEO（180°﹣40°）＝70°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOE＝∠AOB﹣∠BOE＝20°． 故选：A． 【点评】本题考查菱形的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 7．如图，在▱ABCD中，AD＝12，AC＝26，∠ADB＝90°，则AD与BC间的距离为（　　） A．5 B．10 C． D．26 【考点】平行四边形的性质． 【专题】多边形与平行四边形；推理能力． 【答案】B 【分析】利用平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再利用勾股定理求出DO，从而得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC，OB＝OD， ∴OA＝13， 在Rt△ADO中，由勾股定理得， DO5， ∴BD＝2OD＝10， ∴AD与BC间的距离为10， 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 8．历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是心思，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（　　） A．1080° B．900° C．720° D．540° 【考点】多边形内角与外角． 【专题】多边形与平行四边形；运算能力． 【答案】A 【分析】根据多边形的内角和公式，（n﹣2）•180°，进行求解即可． 【解答】解：南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形． 八边形的内角和为（8﹣2）×180°＝1080°； 故选：A． 【点评】本题考查求多边形的内角和，正确进行计算是解题关键． 9．小馨同学按如下步骤作四边形ABCD；（1）画∠MAN；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接BC，CD，BD．若∠A＝48°，则∠CBD的大小是（　　） A．64° B．65° C．66° D．67° 【考点】菱形的判定与性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质． 【答案】C 【分析】根据题意得出AB＝AD＝BC＝CD，继而证得四边形ABCD是菱形，得出AD∥BC，由平行线的性质得出∠CBD＝∠ADB，根据等边对等角得出∠ABD＝∠ADB，再根据三角形内角和定理求出∠ADB的度数，即可得解． 【解答】解：根据题意得AB＝AD＝BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠CBD＝∠ADB， ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵∠A＝48°， ∴∠ABD＝∠ADB66°， ∴∠CBD＝66°， 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握这些定理是解题的关键． 10．如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，连接AC，BD交于点O．若，BD＝4，则EF的长为（　　） A． B．2 C． D． 【考点】菱形的性质；三角形中位线定理． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】C 【分析】由菱形的性质可得，AC⊥BD，AC＝2AO，再利用勾股定理可得，即；然后利用三角形中位线的性质即可解答． 【解答】解：∵BD＝4， ∴，AC⊥BD，AC＝2AO ∴， ∴， ∵E，F分别为AB，BC的中点， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的面积为　12　 ． 【考点】菱形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】12． 【分析】直接利用菱形的面积公式得出答案． 【解答】解：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，BD＝4， ∴菱形ABCD的面积AC•BD6×4＝12． 故答案为：12． 【点评】此题主要考查了菱形的性质，熟记“菱形的面积等于对角线乘积的一半”是解题关键． 12．如图，四边形OABC是平行四边形，顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（4，0），（1，2），则顶点B的坐标是　（5，2）　 ． 【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质． 【专题】平面直角坐标系；多边形与平行四边形；推理能力． 【答案】（5，2）． 【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，且BC＝OA即可得到结论． 【解答】解：如图，在▱OABC中，O（0，0），A（4，0）， ∴OA＝BC＝4，BC∥AO， ∴点B的纵坐标与点C的纵坐标相等， ∴顶点B的坐标为（4+1，2）， ∴B（5，2）， 故答案为：（5，2）． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质．此题充分利用了“平行四边形的对边相互平行且相等”的性质． 13．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点O在原点处，顶点A在y轴上，已知点C的坐标为（4，3），则点B的坐标为　（4，8）　 ． 【考点】菱形的性质；坐标与图形性质． 【专题】平面直角坐标系；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】（4，8）． 【分析】过B作BD⊥y轴，延长BC交x轴于E，设菱形边长为x，在Rt△AOCE，根据勾股定理求出x＝5，据此即可得解． 【解答】解：如图，过B作BD⊥y轴于点D，延长BC交x轴于E， 设菱形边长为x， ∵C（4，3）， ∴OE＝BD＝4，CE＝3， ∵OE2+CE2＝OC2， 即42+32＝x2， ∴x＝5（负值已舍）， ∴BC＝x＝5， ∴BE＝BC+CE＝8， ∴B（4，8）， 故答案为：（4，8）． 【点评】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，设边长，根据勾股定理构建方程是解题的关键． 14．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，一副七巧板是由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．如图，整个七巧板拼图是个大正方形，若七巧板中平行四边形的面积为16，则图中小正方形的面积为　16　 ． 【考点】平行四边形的性质；七巧板． 【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】16． 【分析】根据正方形的性质，以及七巧板的特点，得到正方形EFMO的面积＝▱MNBH的面积＝16． 【解答】解：如图所示， 依题意得：△EDF的面积+正方形EFMO的面积＝△MON的面积+▱MNBH的面积，△EDF的面积＝△MON的面积， ∴正方形EFMO的面积＝▱MNBH的面积＝16 故答案为：16． 【点评】本题考查平行四边形的性质，七巧板，关键是由图形得到正方形EFMO的面积＝▱MNBH的面积． 15．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为边AD上一点，过点E分别作BD、AC的垂线，垂足分别为F、G，则EF+EG的值为　　 ． 【考点】矩形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力． 【答案】． 【分析】过点D作DM⊥AC于点M，设矩形对角线的交点为点O，连接OE，根据矩形的性质，勾股定理，三角形的面积求解即可． 【解答】解：过点D作DM⊥AC于点M，设矩形对角线的交点为点O，连接OE， 由题意可得：∠ABC＝90°，DC＝AB＝6，AD＝BC＝8， ∴， ∴， 根据题意，得， 故； 根据题意，得S△AOE+S△DOE＝S△AOD ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查矩形的性质，正确进行计算是解题关键． 三．解答题（共5小题） 16．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，线段AD的垂直平分线分别交AB，AD，AC于点E，F，G，连接DE，DG．求证：四边形AEDG是菱形． 【考点】菱形的判定与性质；线段垂直平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】∵EG垂直平分AD， ∴∠AFE＝∠AFG＝90°，AE＝DE，AG＝DG， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（ASA）， ∴AE＝AG， ∴AE＝DE＝DG＝AG， ∴四边形AEDG是菱形． 【分析】根据线段垂直平分线的性质求出∠AFE＝∠AFG＝90°，AE＝DE，AG＝DG，利用ASA证明△AEF≌△AGF，根据全等三角形的性质求出AE＝AG，则AE＝DE＝DG＝AG，最后根据“四边相等的四边形是菱形”即可得证． 【解答】证明：∵EG垂直平分AD， ∴∠AFE＝∠AFG＝90°，AE＝DE，AG＝DG， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（ASA）， ∴AE＝AG， ∴AE＝DE＝DG＝AG， ∴四边形AEDG是菱形． 【点评】本题考查菱形的判定，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 17．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DB平分∠ADC，AE∥BD，DE∥AC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若BC＝10，求OE的长． 【考点】菱形的判定与性质；角平分线的性质；平行四边形的性质． 【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BDC＝∠ABD， ∵DB平分∠ADC， ∴∠BDC＝∠BDA， ∴∠BDA＝∠ABD， ∴AD＝AB， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）10． 【分析】（1）根据平行四边形的性质和菱形的判定证明即可； （2）根据已知条件得到四边形OAED是平行四边形，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AD＝BC＝10，求得∠COD＝90°，推出四边形OCED是矩形，再根据矩形的对角线相等求解即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BDC＝∠ABD， ∵DB平分∠ADC， ∴∠BDC＝∠BDA， ∴∠BDA＝∠ABD， ∴AD＝AB， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵AE∥BD，DE∥AC， ∴四边形OAED是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AD＝BC＝10， ∴∠COD＝90°， ∴四边形OAED是矩形， ∴OE＝AD＝10． 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键． 18．如图，平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点E，∠ABC的平分线交边AD于点F，连接EF． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）记AE、BF的交点为O，连接OC．若AB＝4，AD＝7，∠ABC＝60°，求OC的长． 【考点】菱形的判定与性质；角平分线的性质；平行四边形的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】（1）∵∠BAD的平分线交BC于点E， ∴∠BAE＝∠EAF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAF＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE， 同理，AB＝AF， ∴BE＝AF． ∵AD∥BC， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AB＝BE， ∴▱ABEF是菱形； （2）． 【分析】（1）先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可证明； （2）过点O作OG⊥BC于点G．分别在Rt△OEG，Rt△OCG中，由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理解答即可． 【解答】（1）证明：∵∠BAD的平分线交BC于点E， ∴∠BAE＝∠EAF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAF＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE， 同理，AB＝AF， ∴BE＝AF． ∵AD∥BC， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AB＝BE， ∴▱ABEF是菱形； （2）解：过点O作OG⊥BC于点G，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝7， ∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°， ∴BE＝AB＝4，∠OBE＝30°，∠BOE＝90°． ∴OEBE＝2，∠OEB＝60°，CE＝BC﹣BE＝3， ∴GE＝1，OGGE， ∴GC＝GE+CE＝4， ∴OC． 【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，BO＝DO． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）已知AB＝5，AC+BD＝14，求菱形ABCD的面积． 【考点】菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力． 【答案】（1）∵四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴∠AOB＝∠COD， ∵AB∥CD， ∴∠OAB＝∠OCD， 在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（AAS）， ∴OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． （2）菱形ABCD的面积为24． 【分析】（1）由AB∥CD，得∠OAB＝∠OCD，而∠AOB＝∠COD，BO＝DO，可根据“AAS”证明△AOB≌△COD，得OA＝OC，所以四边形ABCD是平行四边形，因为AC⊥BD，所以四边形ABCD是菱形． （2）由菱形的性质得OAAC，OBBD，而∠AOB＝90°，则AB2，推导出AC2+BD2＝4AB2，因为AB＝5，AC+BD＝14，所以AC2+BD2＝4AB2＝100，（AC+BD）2＝196，则AC2+BD2+2AC•BD＝196，所以100+2AC•BD＝196，求得S菱形ABCDAC•BD＝24． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴∠AOB＝∠COD， ∵AB∥CD， ∴∠OAB＝∠OCD， 在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（AAS）， ∴OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． （2）解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O， ∴OA＝OCAC，OB＝ODBD， ∵AC⊥BD于点O， ∴∠AOB＝90°， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴AB2， ∴AC2+BD2＝4AB2， ∵AB＝5，AC+BD＝14， ∴AC2+BD2＝4AB2＝4×52＝100，（AC+BD）2＝142＝196， ∴AC2+BD2+2AC•BD＝196， ∴100+2AC•BD＝196， ∴S菱形ABCDAC•BD＝24， ∴菱形ABCD的面积为24． 【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、乘法公式等知识，证明△AOB≌△COD是解题的关键． 20．探究归纳应用题： 【试验分析】 （1）如图①，过点A可以作1条对角线；同样，经过点B可以作1条对角线；经过点C可以作1条对角线；经过点D可以作1条对角线；且对角线AC与CA为同一条．通过以上分析和总结，图①共有　2　 条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有　2　 条对角线，共有　5　 条对角线；图③共有　9　 条对角线； 【探索归纳】 （3）对于n边形（n＞3），共有　　 条对角线（用含n的代数式表示）； 【拓展应用】 （4）12个人围着圆桌开会，每不相邻的人都握一次手，共握多少次手？ 【考点】多边形的对角线． 【专题】多边形与平行四边形；几何直观；推理能力． 【答案】（1）2； （2）2，5，9； （3）； （4）54次． 【分析】（1）根据对角线的定义，可得答案； （2）根据对角线的定义，可得答案； （3）根据探索，可发现规律； （4）根据对角线的公式，可得答案． 【解答】解：（1）如图①，过点A可以作1条对角线；同样，经过点B可以作1条对角线；经过点C可以作1条对角线；经过点D可以作1条对角线；且对角线AC与CA为同一条．通过以上分析和总结，图①共有2条对角线； 故答案为：2； （2）运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有2条对角线，共有5条对角线；图③共有9条对角线；； 故答案为：2，5，9； （3）对于n边形（n＞3），共有条对角线， 故答案为：； （4）当n＝12时，54， 所以12个人围着圆桌开会，每不相邻的人都握一次手，共握54次手． 【点评】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $