江苏省扬州中学2025-2026学年高二5月自主学习评估数学试卷

江苏省扬州中学2025-2026学年高二5月自主学习评估 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.某班有5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队、羽毛球队，每人限报 其中一个运动队，则不同的报法种数是() A.C B. C.54 D.4 2.已知正态分布X:N(3,o2),若P(X≤4)=0.6，则P(2≤X≤4)=( A.0.6 B.0.4 C.0.2 D.0.1 3.已知a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2),则a+66-8为() A.(14,-3,3) B.(14,-3,-7) C.(10-3,-1) D.(10,-3,3) 4.项】 9 的展开式中，常数项为() A.672 B.84 C.-84 D.-672 5.已知函数f(x)=dnx+x2在x=1处的切线方程为3x-y-b=0,则a-b的值为() A.-1 B.3 C.4 D.5 6.若事件M,V满足PM-PN网)=子PMuN-8,则P(M=（) A C.is D.is 7.已知函数f(x)=e-ar在(0，+∞)上有两个极值点，则实数a的取值范围是() B. D.( 8.已知函数f(x)=xe-hx+(3-ax-1,若f(x)≥0恒成立，则a的取值范围是 ( A.（-0,e]B.（o,4] C.e,+oo) D.[4,+m) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 试卷第1页，共4页 9.已知m,n∈N且n≥，则下列结论正确的是() A.A”=CWA B.若C%=21,则n=6 C.C=CC D.C=(n+1)C 10.某计算机程序每运行一次都随机出现一个四位二进制数A=44,444(每一位上数字 只能是0或1，例如出现1010)，其中A的各位数字中a位=1234)出现0的概率为 出现1的概率为行，各个位数之间互相独立。记随机变量X=4+4+马+4，则当程序 运行一次时，下列说法正确的有() A.P(X=0)=81 B. C.X的数学期望E(X)= 8 D.随机变量3X+1的方差D(3X+1)=8 11.如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB和△ABC均为边长为2的等边三角形，则下列说 法正确的是() P B A.PC⊥AB B.当三棱锥P-ABC的体积最大时，三棱锥P-ABC的外接球的体积为2正， 3 C.当二面角P-AB-C的余弦值为片时，PB⊥AC D.若二面角P-AB-C的大小为0，且9e停受1时，直线PB与AC所成角的余弦值 绿大为店 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.某产品的广告投入x(万元)与销售额y（万元)的统计数据如下图所示： 2 3 6 20 35 50 55 试卷第2页，共4页 若y关于x的线性回归方程为=8.5x+a,则a= 13.已知盒子中有除颜色外完全相同的6个乒乓球，其中有2个白色的，4个橙色的.若 每次随机抽取1个球，确定颜色后再放回，直到两种颜色的球都取到后停止取球，则第2 次取球后恰好停止的概率为 14.函数fx)=1ogx十2loga+1)x十1)(0<a<1)在，+o)上单调递增，则a的取值范 围是 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床 产品的质量，分别用两台机床生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表： “级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 ()甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ (2)依据小概率值=0.01的独立性检验，能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有 差异？ 附： P(rza) 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 n(ad-be)? (a+b)(c+d)(a+o)(b+d).n=a+b+c+d 0m∈N,)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是} (1)求二项展式中各项二项式系数和： (2)求二项展开式中系数最大的项. 试卷第3页，共4页 17.从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生二孩政策 的态度，某市选取70后作为调查对象，随机调查了8人，其中打算生二胎的有3人，不打 算生二胎的有5人. (1)从这8人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为5，求随机变量的分布列和数学期 望 (2)若以这8人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市70后中随机抽 取3人，记打算生二胎的人数为刀，求随机变量刀的分布列和数学期望， 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,ADIIBC,PA=AD=CD= 2,BC=3,B为PD的中点，点F在PC上，且PR=} PC 3 (1)证明：平面PCD⊥平面PAD: (2)求PC与平面AEF所成角的正弦值： (3)若校PB上一点G满足PG=PB,且平面ABP与平面AG的夹角的余弦值为5 ,求元 7 1.已知函数f()-+o(aER).J为函数f)的号函。数 (1)若a≤-2，讨论∫'(x)在(0,2元)上的单调性： (2)若函数8(x)=f(x)+'(x),且g(x)在(0，)内有唯一的极大值，求实数a的取值范围. 试卷第4页，共4页江苏省扬州中学2025-2026学年高二5月自主学习评估 数学参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.D 2.C 3.A4.A5.A 6.B 7.B8.B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9.ABC 10.BCD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.6 13. 14. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 150 15.(1)甲机床生产的产品中一级品的频率为： 200 =0.75.(3分) 乙机床生产的产品中一级品的频率为： 200=0.6.(6分) 120 (2)由题意：X2=40x150x80-120×502 ≈10.256.(3分) 200×200×270×130 因为10.256>6.635，所以依据小概率值α=0.01的独立性检验，可认为甲机床的产品质 量与乙机床的产品质量有差异.(4分) n 1 16.(1)由题意得Cn:C=1:3,即n(n-1)3,解得n=7或0（舍去）：(3分) 2 故二项展开式中各项二项式系数和为2？=128，(3分) 2 (2) 3x+ 展开式的通项公式为7=C-32x,(2分) 设展开式中系数的绝对值最大的项为T,, C537-r.2≥C.36-r.21 C32≥C32解得 则 5,3分) 又reN,∴r=3,(2分) ∴展开式中系数的最大的项为T,=22680x2.(2分) 17.(1)由题意知，5的值为0,1,2,3. P(5-0)=CC-s Cc315 28 P(5=1)= -281 P(5=2)-C3C-15 561 P5=3)-CC- C。56 .(4分) ·5的分布列为： 5 0 1 2 3 J 15 15 1 28 2 56 56 15 15 ∴E(5)=0× +1× +2× +3x1=9 28 =1.125.(3分) 28 56 568 (2)由题意可知， 全市70后打算生二胎的概率为P2分)，力-0123.且7~86， P==C53*k=0l2,3.2分 n的分布列为： 0 2 3 125 225 135 27 512 512 512 512 B0=3x2=1.125.4分) 8 18.（1)PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD, PA⊥CD,(2分) :AD⊥CD,PAOAD=A,PA、ADC平面PAD, .CD⊥平面PAD,又~CDc平面PCD,(1分) 平面PCD⊥平面PAD.(1分) (2)以A为原点，AD,AP所在直线分别为y,z轴，作Ax/CD为x轴，建立如图所示的 空间直角坐标系， 则4aa0,Poa2.c220.Eo,Ffg号) 正-o.亚（得 PC=(2,2,-2), m.AE=y+z=0 设平面AEF的法向量为m=(x,y,z),则 2 m:MF-3+y+2z)=0 令y=1,则z=-1,x=1,故i=(1,1,-1),(2分) PC· 设PC与平面AEF所成角为0，则sin6=cos(PC,m》 PCHm 2+2+2=-1,(3分) 2W5×5 ∴PC与平面AEF所成角的正弦值为1.(1分) (3)由(2)知，B(2,-1,0),平面AEF的一个法向量为m=(1,1,-), PG=PB=(2,-1,-2),∈[0,1]，(1分) ÷AG=AP+PG=(0,0,2)+(2,-1,-2)=(22,-,2-22),(1分) 设平面AFG的法向量为i=(a,b,c),则 F-(a+b+2e)=0 ，(1分) i.AG=21a-b+(2-2)c=0 令a=-2,则b=2-61,c=31,故i=（-2,2-62,32),(1分) :平面4EF与平面AG的夹角的余弦值为V7 7 cosm训 m列_。-2+(2-6)-3入 √万 m同V3xV4+2-6r+37,1分) 整理得18/2+3/-1=0，即(62-1)(3+1)=0， 解得入=石或3 (舍)， 6 1 ǎ=石2分) 19）因为f)-+as,所以f=。r-sn,0分 e =)=cosx-sinz-asinx, e* e 当*eo2时.eee2(忌2： 2 当a≤-2时，。+a<0.1分) 当e@2时，令=0，则名=受6=经1分列) 当x0引时，公)0，则()即国单调递指：1剂 当〔任）时，N<0,则（即了单调蓝藏，1分 当x经2江时，)0，则4()即f率道塔.1分列 综上，了)在0引经2上单调递地，在）上单调速藏：0分别 (2)由(1)知， g闭小-f+f代)-0+aoax+。r-awir-e+alcr-, e g-mt-a4r+oo-n+g+o小a分剂 (1)当a≥0时，在(0，)内，1+a>0恒成立， 当xe(0时，令g()=0,得=3江 4 当0受）时，g)8()单调递减。 当x径时.8小8)单调递常， .当a≥0时，g(x)在(0，π)内有唯一的极小值点x。= ,不存在极大值，不符合题意(2分) (i)当a<0,令过+a=0,得5=n( 当<6时，号+a>0:当>6时， e+a<0 @当06音时，若30，即05 则当x0买)时.)>心g(羊调造道。 当x[子j时。g(<08(创单调递读 故8()在与一正处取得0，网内的唯一极大值，符合题意. 即-l<a< 1 e4 则当x∈(0，x)时，g(x)<0,g(x)单调递减， ,3江时，g'()>0,g(y单调递增， 当xex,4)月 当x时.gg()单酒递减。 故g(x)在飞=3买处取得(0，)内的唯一极大值，符合题意.2分 4 1 ②当x=,即a=-远时， e4 若x0买) 则g(x)<0,g(x)单调递减， 则g(x)<0,g(x)单调递减， 故g(x)在(0，π)内无极值，不符合题意.(1分) 3π 内单调递减， 在)内单调造省，在气内单调港减。 故=日 处取得(0，π)内的唯一极大值，符合题意.(1分) 回当之，即sa<0时，8()在0） 3π 内单调递减，在年内单调递增， 故g(x)在x。= 处取得(0，)内的唯一极小值，不存在极大值，不符合题意.Q分) 4 ma之小