广东深圳第二外国语学校2025-2026学年高三下学期5月学情自测数学试题

**基本信息** 高三5月学情自测数学卷，以核心素养为导向，覆盖函数、几何、概率等主干知识，通过气象降雨概率（第3题）、摸球得分模型（第17题）等真实情境，考查数学眼光观察现实、数学思维推理及数学语言表达能力，梯度适配高考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、概率、立体几何|第3题结合气象降雨概率，考查独立事件运算，体现数学应用| |多选|3/18|统计、数列、三角函数|第11题分析含绝对值三角函数性质，考查逻辑推理与分类讨论| |填空|3/15|函数对称性、最值、导数应用|第14题直线与双函数交点距离，融合导数求最值，培养数学思维| |解答|5/77|数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数|第17题摸球得分概率模型，第19题导数与三角函数方程根比较，综合考查数学建模与逻辑推理|

2025-2026学年高三下学期5月学情自测 数学试题 满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合A＝（﹣1，1]，B＝{x|x＞0}，则A∪（∁RB）＝（　　） A．（﹣1，+∞） B．[﹣1，+∞） C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1） 2．已知为z的共轭复数，若，则|z+i|＝（　　） A．2+4i B．2﹣2i C． D． 3．某地气象部门预报，在国庆期间甲地的降雨概率为0.2，乙地的降雨概率为0.3．假定这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这段时间内至少有一个地方降雨的概率为（　　） A．0.4 B．0.44 C．0.56 D．0.6 4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 5．正四棱锥P﹣ABCD的体积为8，AB＝2，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（　　） A．9π B． C． D．25π 6．记椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2．若，则（　　） A． B． C．2 D．3 7．已知命题p：函数f（x）＝|x﹣a|在[1，3]上是单调函数，命题q：函数的定义域为R，若命题p与q有且只有一个为真命题，则实数a的取值范围为（　　） A．[﹣4，1]∪[3，4] B．（﹣4，1]∪[3，4） C．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） D．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞） 8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D．3 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．现有一组数据为3，5，6，6，3，7，下列说法正确的是（　　） A．该组数据的中位数为6 B．该组数据的平均数为5 C．该组数据的方差为 D．该组数据的第45百分位数为4 10．若{an}是公比为q（q≠0）的等比数列，记Sn为{an}的前n项和，则下列说法正确的是（　　） A．若a1＞0，0＜q＜1，则{an}为递减数列 B．若a1＜0，0＜q＜1，则{an}为递增数列 C．若q＞0，则S4+S6＞2S5 D．若bn，则{bn}是等比数列 11．已知函数f（x）＝sinx|cosx|+cosx|sinx|，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）的周期为 B．f（x）的图象关于对称 C．f（x）在[0，π]上恰有3个零点 D．若f（ωx）（ω＞0）在上单调递增，则ω的最大值为 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知函数的图像关于直线x＝2对称，则a+b＝ 　 　 ． 13．函数的最大值与最小值之差为　 　 ． 14．已知直线y＝﹣x+b与函数y＝lnx﹣1，y＝ex+1的图象分别交于A，B两点，则|AB|最小值为　 　 ，此时b＝　 　 ． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）记Sn为等比数列{an}的前n项和，S2＝5S1，S3＝4（S2+1）． （1）求{an}的通项公式； （2）若2nbn＝an+1，求{bn}的前n项和Tn． 16．（15分）如图，已知正四面体F﹣ABC的底面与正四棱锥A﹣BCDE的一个侧面重合． （1）求证：AF⊥DE； （2）求二面角F﹣BC﹣D的余弦值． 17．（15分）一只不透明的口袋中放有形状、大小完全相同的4个黑球和2个白球，若每次摸一个球后，观察其颜色，再放回袋中，摸到黑球得1分，摸到白球得﹣1分，用随机变量η表示k次摸球后得1分的总次数，用随机变量X表示k次摸球后总得分． （1）若摸球100次． ①求η的数学期望； ②求X的数学期望． （2）当摸球次数k为何值时，X＝4的概率取得最大值． 18．（17分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F关于直线l：y＝x+1对称的点F′为． （1）求C的方程； （2）设原点为O，点P，Q均在C上．若直线PQ经过点（2，0），直线OP与直线l′：x＝﹣4相交于点M，点Q在l′上的投影为R，设l′与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （3）已知点A（2，2），点G，H均在C上，若直线AG，AH的斜率互为相反数，且AG的斜率大于1，记点F到直线GH的距离为d，求的最大值． 19．（17分）已知函数f（x）＝excosx，g（x）＝sinx+1． （1）求f（x）在内的单调性； （2）若存在使得f（x）﹣ag（x）≥0，求实数a的取值范围； （3）设方程f（x）＝g（x）在区间（n＝1，2，…，2025，2026）内的根从小到大依次为x1，x2，…，x2025，x2026，试比较x2026与x2025+2π的大小，并说明理由． 参考答案 1． 单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B B C C A C 2． 多项选择题 9 10 11 BC ABD BD 三．填空题 12．2． 13．4． 14．；0． 四．解答题 15．解：（1）设数列{an}的公比为q， 因为S2＝5S1，S3＝4（S2+1）， 所以，解得， 所以． （2）因为2nbn＝an+1， 所以， 所以2n+11（n∈N*）． 16．（1）证明：分别取棱BC、DE的中点G、H，连接FG、GH和AH， 如图所示： 因为正四面体F﹣ABC的底面与正四棱锥A﹣BCDE的一个侧面重合， 所以该多面体的所有棱长都相等，所以FG⊥BC，AH⊥DE； 在正四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为正方形，所以GH⊥DE， 又AH∩GH＝H，所以DE⊥平面AHG， 因为BC∥ED，所以BC⊥平面AHG， 由BC⊥GH，BC⊥FG，且FG∩GH＝G，则BC⊥平面FGH； 所以平面FGH与平面AGH重合，即BC⊥平面AFGH； 所以BC⊥AF，所以AF⊥DE． （2）解：由（1）知，在平面AFGH中，AF＝BE＝GH，FG＝AH， 所以四边形AFGH是平行四边形，所以AF∥GH， 取AF的中点M，连接GM、AG，则FG＝AG， 因为GM在平面AFGH中，所以GM⊥AF，GM⊥GH， 由BC平面AFGH，得BC⊥GM，则GH、BC和GM两两垂直； 设多面体的棱长为1，则FG＝AG，GM， 以G为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示： 则B（0，，0），C（0，，0），F（，0，），M（0，0，）， 所以（，，），（0，﹣1，0）， 设平面BCF的一个法向量为（x，y，z），则， 令x＝1，则y＝0，z，所以平面BCF的一个法向量为（1，0，）； 又平面BCD的一个法向量为（0，0，）， 所以cos，， 且二面角F﹣BC﹣D的平面角为钝角，所以二面角F﹣BC﹣D的余弦值为． 17．解：（1）①由题意可知：每次摸到黑球的概率均为P， 即得1分的概率均为P， 则η～B（100，），∴η的数学期望为E（η）． ②∵X＝η﹣（100﹣η）＝2η﹣100， ∴X的数学期望为E（X）＝E（2η﹣100）＝2E（η）﹣100． （2）设摸到白球的次数为m∈N，则摸到黑球的次数为m+4，则k＝2m+4， 则P（X＝4）＝P（η＝m+4）， 由题意可得， 解得25，且m∈N*，可得m＝2， ∴当摸球次数为k＝2m+4＝8时，X＝4的概率取得最大值． 18．解：（1）易知抛物线C的焦点， 此时线段FF′的中点为， 该中点在直线l上， 所以， 解得p＝1， 则抛物线C的方程为y2＝2x； （2）设直线PQ的方程为x＝ty+2，P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立，消去x并整理得y2﹣2ty﹣4＝0， 此时Δ＝（﹣2t）2+16＞0， 由韦达定理得y1+y2＝2t，y1y2＝﹣4， 则ty1y2＝﹣2（y1+y2）． 直线OP的方程为， 令x＝﹣4， 解得， 因为点Q在l′上的射影为R， 所以yR＝y2， 所以 ， 则为定值，定值为2； （3）设直线AG的方程为y﹣2＝k（x﹣2）（k＞1），G（x3，y3），H（x4，y4）， 联立，消去x并整理得ky2﹣2y+4﹣4k＝0， 由韦达定理得2， 解得y3， 同理得， 即， 此时， 所以直线GH的方程为y， 即x+2y0， 又点到直线GH的距离为， 因为， 所以 ， 令， 因为k＞1， 所以m＞1， 所以， 当且仅当m＝4，即时，等号成立． 则的最大值为． 19．解：（1）f'（x）＝excosx+ex（﹣sinx）＝ex（cosx﹣sinx）， 当时，cosx＞sinx，f′（x）＞0，f（x）单调递增； 当时，cosx＜sinx，f'（x）＜0，f（x）单调递减； 所以f（x）在上单调递增，在上单调递； （2）由题可知存在，使得excosx≥a（sinx+1）成立， 因为时，， 故存在，使得， 令，其中， ，且h（x）不恒为零， 故函数h（x）在上单调递减， 则， 故， 所以实数a的取值范围为（﹣∞，]； （3）x2026＞x2025+2π，理由如下： 由 f（x）＝g（x）， 可得excosx＝1+sinx， 令φ（x）＝excosx﹣sinx﹣1， 则φ'（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣cosx， 因为， 则sinx＞cosx＞0，所以φ'（x）＜0， 所以函数φ（x）在上单调递减， 因为， ， 所以存在唯一的，使得φ（x0）＝0， 所以，， 且， 所以φ（x2026﹣2π） cosx2026﹣sinx2026﹣1 φ（x2025）， 因为函数φ（x）在上单调递减，故x2026﹣2π＞x2025，即x2026＞x2025+2π． 声明：试题解析著 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $