命题大赛 云南省德宏州芒市高一数学下学期期末测试2025-2026学年人教A版必修第一册、第二册

**基本信息** 高一数学期末测试立足2019人教A版必修知识，原创题与新情境题结合，通过水库污染物浓度等真实问题考查数学抽象、运算推理及应用意识，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、概率、函数性质、三角函数|第3题结合偶函数单调性比较大小，考查逻辑推理| |填空题|3题/15分|向量投影、外接球、函数零点|第14题函数零点问题，需分类讨论，体现数学思维严谨性| |解答题|5题/77分|统计与概率、函数单调性、解三角形、立体几何|17题解三角形多问递进，求面积取值范围，培养数学探究能力；19题翻折问题考查空间观念，符合高考命题趋势|

高一数学上学期期中测试 2019人教A版必修第一册、第二册 答案及解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B C A D D D B A BCD BCD BC 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．【答案】B 【解析】集合、为点集，函数与函数的图像只有3个交点， 还有一个交点。故中的元素个数有3个。故选：B. 2．【答案】C 【解析】基本事件总数，点数之和是7包括共6种情况， 则所求概率是．故选：C. 3．【答案】A 【解析】因为定义在上的偶函数，且，都有，所以在上单调递增， 故选：A. 4．【答案】D 【解析】∵点在单位圆上，∴， ∵为锐角，则，∴解得． ∴， ∴， ．故选：D. 5．【答案】D 【解析】因为，所以，所以为的一个三等分点（靠近），即， 又，所以为的中点， 所以. 故选：D 6．【答案】D 【解析】因为，所以. 又 所以. 故. 故选：D. 7．【答案】B 【解析】当时，，当时，，即. ，当时，， 即20h后，还剩65.61%的污染物.故选：B. 8．【答案】A 【解析】由函数的最小正周期T满足，得，解得， 又因为函数图象关于点对称，所以，且， 所以，所以，， 所以. 故选：A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．【答案】BCD 【解析】对于A，因为复数在复平面对应的点为， 所以，所以， 所以，所以，复数的虚部为，故A错误； 对于B，复数的模为，故B正确； 对于C，复数，其对应的点为在第一象限，故C正确； 对于D，设复数，在复平面内对应的点分别为， 则，，， 由复数的几何意义可知，，分别在以原点为圆心，以，2为半径的圆上运动， 故，所以的最大值为，故D正确． 故选：BCD 10．【答案】BCD 【解析】对于选项A：例如，则，可得， 所以的最小值不为4，故A错误； 对于选项B：因为， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4，故B正确； 对于选项C：因为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4，故C正确； 对于选项D：因为，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4，故D正确；故选：BCD. 11.【答案】BC 【解析】如图所示，取中点为，中点为，连接， 在中，、分别为、的中点， 所以为的中位线， 所以，又， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 正方体中，为棱的中点，为棱的中点, 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为，平面，平面， 所以平面平面. 所以点的轨迹为线段. 对于A选项：在中：，所以点轨迹长度为，A错误； 对于B选项：因为， 所以当时，，B正确； 对于C选项：因为平面，所以 ，所以三棱锥的体积为定值，C正确； 对于D选项：因为平面,三棱锥的体积， 所以当点在点时，有最大值， 所以，D错误. 故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．【答案】 【详解】由得， 又，所以，所以， 所以在上的投影向量的坐标为． 故答案为：． 13．【详解】因为正四棱锥的体积为2，底面边长为， 所以有，所以棱锥的高， 由题意得，正四棱锥的外接球的球心在它的高上， 记球心为，则，，， 在直角中，， 解得，外接球的体积为. 故答案为：. 14.【答案】 【解析】 令，则，可得或， 当时，有2个不等的实根， 又函数有6个零点，所以方程有6个不等实根， 则有4不等实根，所以，解得: 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．【答案】（1），84分 （2） （3）， 【解析】（1）由频率分布直方图易知，， 解得， 由图知，的频率为，的频率为， （2分） 所以获奖学生最低分数线落在内，不妨设为， 则，解得， 所以估计获奖学生的最低分数线为84分． （4分） （2）由图可知，与的频率之比是， 根据分层随机抽样的方法可知，在内抽取4人，记为， 在内抽取1人，记为，从这5人中选取2人， 则该试验的样本空间为：， 则， （6分） 记事件“这2人中恰有1人的成绩落在内”， 则，则， 由古典概型概率公式，可得． （8分） （3）样本数据在内的人数为， 在内的人数为， 所以， （10分） ． （13分） 16．【答案】（1）增函数，证明见解析； （2）故存在实数，使函数为奇函数. 【解析】（1）函数的定义域为，而为增函数，为减函数，故是增函数. （4分） 证明如下：任取，当，则， .故在上为增函数. （7分） （2）假设存在实数a，使为奇函数，则，， （12分） 即，，。 故存在实数，使函数为奇函数. （15分） 17．【答案】（1）； （2）； （3）； 【解析】（1）因为，所以，即，（3分） 解得，又，所以； （5分） （2）由（1）知，所以，又， 所以， （8分） 当且仅当时取“=”， 所以三角形面积的最大值为. （10分） （2）,， （12分） 在锐角△ABC中：，解得：， ，则. （15分） 18．【答案】（1）； （2）；函数的单调递增区间为。 （3）； 【解析】（1）因为，即，又因为，所以； （5分） （2）因为直线和直线是的两条相邻的对称轴， 所以，所以，即，解得， （7分） 又是的一条对称轴，所以，， 解得，， 又，所以，所以； （9分） 由，，解得，， 所以函数的单调递增区间为； （11分） （3）当时，， 所以，则函数， （13分） 当时，恒成立； 当时，，所以只需，解得； 当时，，所以只需，解得； （16分） 综上，． （17分） 19．【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】（1）取的中点为，连接， 因为为的中点，所以，且， 又为的中点，所以，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）取中点，连接，由，得， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面， 在矩形中，，所以， 以为原点，以为轴，为轴，作，以为轴，建立空间直角坐标系， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的大小为； （3）连接，由，得，又， 所以为二面角的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 所以， 显然平面，平面，所以平面平面， 在平面内过作于点，则平面， 设，又，所以， 所以， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 所以. 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 应用场景：周测/单元测/月考/期中/期末/（如以上均不符合则自行添加） 高一数学下学期期末测试 2019人教A版必修第一册、第二册 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.（原创）集合，集合，则中的元素个数有( )个。 A. 2 B.3 C.4 D.1 2.将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字）先后抛掷2次，观察向上的点数，则2次抛掷的点数之和为7的概率是（     ） A． B． C． D． 3.（原创）定义在上的偶函数满足：且，都有，设则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4.在平面直角坐标系中，锐角的顶点是坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点．将角的终边按逆时针方向旋转得到角．则（ ）； A． B． C． D． 5.在中，，，则（    ） A． B． C． D． 6.设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且， ，，则（     ） A． B． B． C． D． 7.（原创，新情境题）某水库的水体污染物浓度P（单位：mg/L）与净化时间t（单位：h）满足指数衰减关系，其中初始污染物浓度，是正的常数。已知净化5h后，污染物减少了10%，那那么净化20小时后，水体中污染物还剩余百分之几（ ）。 A.76.51% B. 65.61% C. 55.61% D. 75.61% 8.记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9.复数在复平面内对应的点为，且（i为虚数单位）的实部为，则（     ） A．复数的虚部为 B．复数的模长为 C．复数对应的点在第一象限 D．若复数满足，则的最大值为 10.下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 11. 在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内的一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹长度为 B. 的最小值为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 三棱锥的最大体积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.已知向量满足：，则在上的投影向量的坐标为 ． 13.已知正四棱锥的体积为2，底面边长为，则该正四棱锥的外接球的体积为 . 14.（原创）.已知函数，若函数，且有6个零点，则非零实数的取值范围是______________; 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.（13分）某校举办了校园诗词大赛，学生的比赛成绩均在内（单位：分），随机抽取了100名学生的成绩，整理后按照，，，，分成五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）若规定成绩较高的前的学生获奖，请求出的值并估计获奖学生的最低分数线； （2）现从样本成绩在与两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取5人，再从这5人中随机选取2人，求这2人中恰有1人的成绩落在内的概率； （3）已知样本数据落在的平均数是77，方差是9，落在的平均数是82，方差是4，求这两组数据合并后的平均数和总方差. 16.（原创）（15分）对于函数（）. （1）判断函数的单调性并用定义证明。 （2）是否存在实数使函数为奇函数？ 17.(15分）（原创）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）已知 求面积的最大值； （3）若是锐角三角形，a＝2，求面积的取值范围. 18.(17分）设函数（，）． （1）若，求的值； （2）若直线和直线是的两条相邻的对称轴，求的解析式及的单调递增区间； （3）在（2）的条件下，若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 如图①所示，矩形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥，为中点. （1）求证：∥平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的大小； （3）设二面角的大小为，求平面和平面夹角的余弦值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 集合运算与元素个数（集合的表示、交集 / 并集运算、元素互异性） 0.85 2 单选题 5 古典概型、基本事件计数（两次抛掷点数和概率） 0.85 3 单选题 5 偶函数单调性与函数值比较（利用奇偶性转化自变量、单调性比大小） 0.8 4 单选题 5 三角函数值计算（单位圆、任意角三角函数、诱导公式） 0.75 5 单选题 5 向量基本计算（向量线性运算、数量积、模） 0.7 6 单选题 5 概率运算（对立事件、和事件、概率性质） 0.65 7 单选题 5 指数衰减模型(指数函数应用、对数运算、实际问题) 0.6 8 单选题 5 三角函数图像性质综合（周期、对称性、参数求解） 0.4 9 多选题 6 复数运算与几何意义（实部虚部、模、几何意义、最值） 0.6 10 多选题 6 基本不等式求最值（基本不等式、对勾函数、等号条件） 0.55 11 多选题 6 空间位置关系与最值（线面平行、动点轨迹、棱锥体积） 0.4 12 填空题 5 向量投影计算（投影、投影向量、坐标运算） 0.6 13 填空题 5 几何体与外接球综合（棱锥体积、外接球、球体积） 0.5 14 填空题 5 复合函数零点个数问题（函数零点、换元法、图像分析） 0.45 15 解答题 13 统计与概率综合（频率直方图、分层抽样、概率、平均数方差） 0.6 16 解答题 15 函数性质证明与存在性（用定义证单调性、奇函数） 0.55 17 解答题 15 解三角形综合（求角、面积最值与范围） 0.5 18 解答题 17 三角函数综合（解析式、单调性、恒成立求参） 0.45 19 解答题 17 立体几何翻折问题（空间证明与空间角计算；线面平行、面面垂直、线面角、二面角） 0.4 $