2026年辽宁省铁岭市铁岭县莲花第一初级中学九年级中考第二次模拟数学试题

**基本信息** 2026年铁岭县莲花一中九年级二模数学试卷，以AI阅卷、辽宁非遗、智能手环等真实情境为载体，通过基础题到综合创新题的梯度设计，考查数学抽象、运算推理及模型应用素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相反数、三视图、概率计算等|结合“天辽地宁”文旅情境考查概率，体现文化传承| |填空题|5/15|误差计算、一元二次方程根、一次函数应用|以智能手环压力传感器为背景，考查一次函数建模| |解答题|8/75|方程应用、统计分析、函数与几何综合|含喷泉抛物线设计（二次函数）、几何翻折旋转（22题）、新定义“等值函数”（23题），突出创新思维与实际应用|

2026年铁岭县莲花一中九年级第二次模拟 数 学 (本试卷共23小题 满分 120分 考试时长 120分钟) ⚠注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的关键信息填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：抛物线 的顶点坐标是 第一部分 选择题(共30分) 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 的相反数是 ( ) B. C. D.2 A.-2 2.为了防止快递物品在运输过程中磕碰和折损，往往用泡沫模型等物品进行固定.如图是泡沫模型的几何体，则它的俯视图为 ( ) 3.下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) 4.下列计算正确的是 ( ) A. B. C. D. 5.辽宁省文旅局通过一系列丰富多彩的文旅活动，彰显“山海有情，天辽地宁”的独特魅力，吸引越来越多的游客来到辽宁、打卡辽宁.将分别标有汉字“天”“辽”“地”“宁”的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外都相同，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“辽宁”的概率是 ( ) D. C. B. A. 6.电子显微镜的分辨率大约是0.2纳米，1纳米=0.000 001 毫米，那么0.2纳米可用科学记数法表示为 ( ) A. 毫米 B. 毫米C. 毫米D. 毫米 7.杠杆原理在生活中随处可见.如图是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆的一端时，另一端就会撬动石头.若动力臂OA=20B,BD=20cm,则AC的长度是 ( ) A.80 cm B.40 cm C.20cm D.50cm 8.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-1，1)，点B的坐标为(2，3)，将线段AB平移得到线段CD，其中点 A 的对应点 C 的坐标为(2，1)，则点 B 的对应点 D 的坐标为 ( ) A.(5,3) B.(-3,1) C.(2,6) D.(-1,-1) 9.近年来，我国人工智能技术快速发展，并被广泛应用于生产生活中.某次考试阅卷引入了AI机器人批阅非解答题，效率是人工批阅的6倍，且AI机器人批阅15 000道非解答题比人工批阅3 600道非解答题少用5小时.设人工每小时批阅非解答题的数量为x道，则可列方程为( ) A. B. C. D. 10.如图,在边长为2的正方形ABCD中,E为AD上一点,连接BE,将△ABE 沿直线 BE 翻折,得到△FBE,连接DF,当DF的长最小时,DE的长为 ( ) A. B. C. D.2 第二部分 非选择题(共90分) 二、填空题(本题共5 小题，每小题3分，共15分) 11.某工厂加工一种精密零件，图纸上标明该零件的标准直径是30 mm，超过标准直径记为正，不足标准直径记为负.现检验员抽检一个零件，测得直径相对标准的误差为-0.08 mm，则该零件的实际直径是 mm. 12.关于x的一元二次方程 有实数根，则实数c的取值范围是 . 13.如图,在△ABC中,分别以点A,B为圆心,大于 的长为半径作弧，两弧分别交于点 M，N，作直线MN交BC于点 D ；再以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AD，AB于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 P，作射线AP.若 则∠PAB 的度数为 . 14.智能手环的压力传感器原理：当佩戴者手腕施加压力时，传感器的弹性膜发生形变，带动内部可变电阻R阻值变化，进而使电路中电流发生变化，最终转化为可显示的压力值.已知该可变电阻R(单位：欧)与手腕施加的压力 F(单位：牛)之间的关系为一次函数，当F=0牛时，R=240欧;当F=120牛时,R=0欧.当可变电阻R为60欧时,对应手腕施加的压力F为 牛. 15.如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABO的直角边OA,OB分别在x轴和y轴上,其中A(12,0),B(0,5),O(0,0),E是OA上一点,将△ABE以BE为轴翻折,点A 刚好落在y轴的点D处,则点 E 的坐标是 . 三、解答题(本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16.(10分)计算: 学科网（北京）股份有限公司 17.(8分)某校准备到体育用品店购进一批A型足球和B型足球.已知每个A型足球的标价比B 型足球贵 30元，购买 10个A型足球和 5个B型足球共需 1200元. (1)A型足球和 B型足球的标价各是多少? (2)若该校计划购买两种型号的足球共40个，总费用不超过3 300元，请问最多购买A型足球多少个? 18.(8分)为传承和弘扬辽宁非遗文化，让同学们深入了解家乡的非遗知识，某校开展了“辽宁非遗文化知多少”主题研学活动，活动后以自愿报名的方式组织了非遗知识竞赛.竞赛结束后，从竞赛成绩(单位：分，满分100分，均不低于60分)中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，得到如下统计图表. 非遗知识竞赛成绩频数分布表 非遗知识竞赛成绩扇形统计图 A组 90≤x≤100 B组 80≤x<90 C组 70≤x<80 D组 60≤x<70 备注:B组共有15 个成绩:89,88,88,86,85,85,85,84,84,83,81,81,81,80,80. 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量为 ； (2)B组15个成绩的平均数为 分，本次被抽取的所有成绩的中位数为 分； (3)学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有300名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数. 学科网（北京）股份有限公司 19.(8分)如图,一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于A，B两点，且点A的纵坐标为1. (1)求反比例函数的表达式及点 B 的坐标； (2)点P为y轴正半轴上一点,连接AP,BP,若△ABP 的面积为12,求点 P 的坐标. 20.(8分)根据以下素材，探索完成任务. 修改设计方案使喷泉造型更加美观 素材1 某公司办公楼前欲设计一个圆形喷水池，最初的设计方案如图1所示，在喷水池的中心O 处竖直安装一个喷水管 OP，P处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线落下，喷出水流的运动路线可以看作抛物线的一部分. 素材2 如图2，以O为原点，OA所在直线为x轴，OP所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，测得高度为3米的P处有一个喷水孔.为使喷泉造型更加美观，对方案进行修改：使图1 中喷泉喷出水流形成以 OP 为对称轴的两个对称的抛物线.当喷出的水流最高为4米时，水流与OP的水平距离为2米. 问题解决 任务1 求y轴右侧抛物线的表达式. 任务2 安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动(假设抛物线形水流移动时，保持对称轴及形状不变)，当水管OP的高度增加0.84米时，水流离喷水池中心O的最远水平距离为多少米? 学科网（北京）股份有限公司 21.(8分)如图1,已知AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,BE平分 交⊙O 于点 E,连接AC, 交BC的延长线于点 D. (1)求证:ED是⊙O 的切线; (2)如图2,作 的平分线交⊙O于点 F，连接DF，DF恰好过点O，当AC=8,BC=6时，求 的面积. 学科网（北京）股份有限公司 22. (12分)已知在 中， ,点 D 和点 B 在 AC 的同侧,且.AD=DC, (1)请你在图1 中尺规作图，作出点 D 的位置，并证明 (2)如图2,当 时，求证： (3)如图3,当( 时,延长 DA 到点 E,使DE=AC,，将DE 绕点 D 顺时针旋转得到 DF，连接AF,FC,当.AF+FC最短时，求 的长. 学科网（北京）股份有限公司 23.(13分)定义：对于一个函数，如果存在自变量. 时，其对应的函数值 那么我们称该函数为“等值函数”，点(m，m)为该函数图象上的“等值点”.例如：在函数 中，当x=1时，y=1，则我们称函数 为“等值函数”，点(1，1)为该函数图象上的“等值点”. (1)下列说法中正确的有 . ①函数 是“等值函数”,其“等值点”为(1,1); ②函数y=x是“等值函数”，其图象上存在无数个“等值点”； ③函数 是“等值函数”，其等值点为(2，2). (2)若“等值函数 的图象上仅存在一个“等值点”，求b的值以及“等值点”. (3)若点A(-3,-3)和点B(1,1)是函数 图象上的“等值点”，当-3<x<1时，函数y的值随x的增大而增大，求a的取值范围. 1-5BCBCC 6-10 CBACC 11.29.92 12. c≤1 13.12.5° 14.90 15.(13,0) 16.解:(1)原式 (3分) (5分) (2)原式 (2分) (3分) (5分) 17.解：(1)设B型足球的标价为每个x元，则A 型足球的标价为每个(x+30)元. 由题意,得10(x+30)+5x=1200. (2分) 解得x=60. 所以x+30=90. 答：A型足球的标价为每个90元，B型足球的标价为每个60元. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (4分) (2)设购买 A 型足球 m 个,则购买 B 型足球(40-m)个. 由题意,得90m+60(40-m)≤3300. ⋯⋯⋯ (6分)解得m≤30. 答：最多购买 A型足球30个. (8分) 18.解:(1)50 (2分) 【解法提示】本次调查的样本容量为15÷30%=50. (2)84 81 (6分) 【解法提示】B组 15 个成绩的平均数为 81+83+2×84+3×85+86+2×88+89)=84(分);本次样本容量为50,A组人数为50×26%=13(个),把50个成绩从大到小排列，排在中间的两个数分别是81，81，所以本次被抽取的所有成绩的中位数为 (分). (3)300×26%=78(人). 答：估计本次竞赛的获奖人数为78人 (8分) 19.解:(1)当y=1时, 解得x=6. ∴A(6,1). (1分) 将A(6,1)代入 中,得k=6. ∴反比例函数的表达式为 ⋯⋯⋯⋯(2分)联立两个函数表达式，得 解得 或 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3分) ∴点 B 的坐标为(-2,-3). (4分) (2)如图,设AB 与y轴的交点为 C. 把x=0代入 得y=-2,即OC=2. (6分) ∴CP=3. 又∵点P在y轴正半轴上， ∴OP=CP-OC=3-2=1. ..点 P 的坐标为(0,1). (8分) 20.解:任务1:当x=2时,y的最大值为4, ..设y轴右侧抛物线的表达式为 当x=0时,y=3, 解得 ∴y轴右侧抛物线的表达式为 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (3分) 任务2：∵抛物线形水流移动时，保持对称轴及形状不变， ∴可设抛物线为 ∵此时点 P 的坐标为(0,3.84), ∴3.84=-1+m, 解得m=4.84. 当y=0时, 解得 (不合题意，舍去). ∴水流离喷水池中心O的最远水平距离为6.4米. (8分) 21.(1)证明:连接OE,如图1. ∵AB为⊙O的直径, ∴∠ACB=90°. ∵DE∥AC, ∴∠D=∠ACB=90°. ∵BE平分∠ABC, ∴∠OBE=∠DBE. ∵OE=OB, ∴∠OEB=∠OBE. ∴∠OEB=∠DBE. ∴OE∥BD. (2分) ∴∠OED+∠D=180°. ∴∠OED=90°. 又∵点E在⊙O上, ∴ED是⊙O的切线. (3分) (2)解:如图2,分别过点B,D作BM⊥CF于点M,DN⊥FC交 FC的延长线于点 N,连接OE,BF,设OE与AC交于点H. 在 Rt△ABC中, ∴OA=OB=OE=5. ∵∠EDC=∠DCH=∠DEH=90°, ∴四边形 CDEH 为矩形. ∴EH=CD,∠EHC=90°. ∵OE∥BD,OA=OB, ∴EH=OE-OH=5-3=2. ∴CD=2. (5分) ∵CF平分∠ACB,∠ACB=90°, ∴∠ACF=∠FCB=45°. ∴∠DCN=∠FCB=45°. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (6分) 在 Rt△CMB中,BC=6,∠FCB=45°, 在△BOF中,∠BOF=2∠FCB=90°,∠ABF=∠ACF=45°, 在Rt△FBM中,∠BMF=90°, ∴△CDF的面积为 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (8分) 22.(1)解:如图1,点 D 即为所求. (1分) 证明:∵AD=DC,AC=AB,∠ADC=∠BAC, ∴∠DCA=∠DAC=∠ACB=∠ABC. ∴△ABC∽△DAC. (2分) (3分) (2)证明:如图2,过点A作AM⊥DC,交 CD于点 F,在射线AM上截取AE=AD,连接BE. 学科网（北京）股份有限公司 ∵α=45°,AD=CD, ∴∠DAB=∠DAC-∠BAC=67.5°-45°=22.5°. ∵AB=AC,AF⊥BC, ∴∠BAF=∠FAC=22.5°,BF=FC. ∴∠DAB=∠EAB. (5分) 又∵AB=AB,AD=AE, ∴△ABD≌△ABE(SAS). ∴BD=BE,∠D=∠AEB=45°. ∴△BFE 是等腰直角三角形. (7分) (3)解:过点 D 作 DG⊥DF,且 DG=DF,连接 CG,如图3. ∵∠BAC=α=90°, ∴∠ADC=∠BAC=90°. ∵∠FDG=90°, ∴∠ADF=∠CDG. 又∵ AD=CD,DF=DG, ∴△ADF≌△CDG(SAS). ∴AF=CG,∠DAF=∠DCG. ∴AF+FC=CG+CF. 当点 C,F,G共线时,CF+CG最短,即AF+FC最短.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (9分) ∴∠DCF+∠DCG=180°. ∴∠DAF+∠DCF=180°. ∴在四边形 DCFA 中,∠ADC+∠AFC=180°. ∵∠ADC=90°, ∴∠AFC=90°. ∵DF=DG,∠FDG=90°, ∴ △DFG是等腰直角三角形. ∴AF=CF. ∴∠FAC=∠FCA=45°. ∴∠DAF=∠DCF=90°. 又∵∠ADC=90°, ∴ 四边形 ADCF 是矩形. 又∵ AD=DC, ∴ 四边形ADCF是正方形. ∴∠EDF=45°. ∵ DE=AC=2, ∴EF的长为 (12分) 23.解:(1)② (3分) 【解法提示】若函数 是“等值函数”，则 ±1,∴其“等值点”是(1,1)和(-1,-1),故①错误;∵直线y=x上存在无数个横、纵坐标相等的点，∴函数y=x是“等值函数”，且图象上存在无数个“等值点”，故②正确；当 时，此时一元二次方程 3x+6=0无解,故该函数不存在x₀=m时,y₀=m的的情况，因此该函数不是“等值函数”，故③错误. (2)∵“等值函数 的图象上仅存在一个“等值点”， 的图象与直线y=x有且只有一个交点，即方程 有两个相等的实数根. 的判别式 解得 ∴b的值为-3或5. (6分) 当b=-3时, 解方程 得 此时“等值点”为(2,2); 当b=5时, 解方程 得 此时“等值点”为(-2,-2). ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (8分) (3)∵点A(-3,-3)和点B(1,1)是函数 的“等值点”， (10分) 当a=0时,y=x,y随x的增大而增大; 当a>0时,如图1,若当-3<x<1时,函数y的值随x的增大而增大，对称轴在直线x=-3的左侧. 当a<0时,如图2,若当-3<x<1时,函数y的值随x的增大而增大，则对称轴在直线x=1的右侧. 综上，a的取值范围是 (13分) 学科网（北京）股份有限公司 $