10.2.1 复数的加法与减法 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

该高中数学课件聚焦复数的加法与减法，通过“尝试与发现”引导学生从实数加法运算律迁移，建立复数加法定义，再类比实数减法定义复数减法，结合几何意义构建从代数到几何的学习支架。 其亮点在于以数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）为核心，通过实例探究运算律、几何意义及模的性质，小结系统梳理知识结构。学生能提升逻辑推理与数形结合能力，教师可借助分层练习优化教学效果。

第十章 复数 10.2.1 复数的加法与减法 《人教B版2019高中数学必修第四册》 我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律，即a,b,c∈R时，必定有 a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c). 那么，复数中的加法应该如何规定，才能使得类似的交换律与结合律都成立呢？ 一般地，设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，称z1+z2为z1与z2的和，并规定 z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 显然，两个复数的和仍然是复数.而且容易证明，复数的加法运算满足交换律与结合律，即对任意复数z1,z2,z3，有 z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 例如，对于上述尝试与发现中的三个复数来说，有 z1+z2=(1+i)+(2−2i)=(1+2)+(1−2)i=3−i, 类似地，可以算出 (z1+z2)+z3=(3−i)+(−2+3i)=1+3i 由复数加法的几何意义可以得出 ||z1|−|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|. (在三角形中，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边） 由复数与向量之间的对应关系可以得出复数加法的几何意义：如果复数z1,z2所对应的向量分别为与，则当与不共线时，以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则z1+z2所对应的向量就是，如图10-2-1所示． 在实数中，减去一个数可以看成加上这个数的相反数．例如，因为3的相反数为-3，因此8-3=8+(-3)=5. 在复数中是否可以用类似方法来定义两个复数的减法呢？ 一般地，复数z=a+bi(a,b∈R)的相反数记作-z，并规定 -z=-(a+bi)=-a-bi 复数z1减去z2的差记作z1−z2，并规定 z1−z2=z1+(−z2) 因此 z1−z2=z1+(−z2)=(5+8i)+(−5+3i)=11i 一般地，如果z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，则 z1−z2=(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i. 显然，两个复数的差仍然是复数.而且，同实数中的情况类似，两个复数的差一般也不满足交换律，即一般来说，z1−z2≠z2−z1. 由复数减法的几何意义可以得出 ||z1|−|z2||≤|z1−z2|≤|z1|+|z2|. 由复数与向量之间的对应关系同样可以得出复数减法的几何意义：如果复数z1,z2所对应的向量分别为，设点Z满足=则z1−z2所对应的向量就是，如图10-2-2所示． 因为复数相加、相减之后的结果都还是复数，所以当然可以进行有限个复数的加减运算，也可以进行加、减法的混合运算，下面以实例进行说明. 探究新知 例1 计算(2-5i)+(3+7i)-(5+4i) 解 根据定义有 (2-5i)+(3+7i)-(5+4i) =(2+3-5)+(-5+7-4)i =-2i. 例2 判断命题“两个共轭复数的差一定是纯虚数”的真假，并说明理由. 解 这是假命题，理由如下. 设z=a+bi(a,b∈R)，则 =a-bi, 从而有 z−=(a+bi)−(a−bi)=2bi, 当b=0时，z−=0，这不是纯虚数. 复数差的模的几何意义：|z1-z2| 表示复平面上点Z1与点Z2之间的距离，其中z1,z2 分别对应点Z1,Z2. (1)以点(1,1)为圆心，2为半径的圆 (2)以点(-1,0)和(1,0)为端点的线段（含端点） 练习A ①已知z是复数，判断下列等式是否成立. (1)0+z=z； (2)z-0=z. ②已知z1=3+2i,z2=1−4i，计算z1+z2,z1−z2. ③ 计算下列各式的值. (1)(5-4i)+0; (2)3+(4+2i); (3)5i+(3+7i). ④计算下列各式的值. (1)5-(3+2i); (2)(4+5i)-3; (3)0-(4-5i). 5 求证：两个共轭复数的和是实数． 成立 成立 z1+z2=4-2i， z1−z2=2+6i 5-4i， 7+2i 3+12i 2-2i， 1+5i -4+5i 设复数z=a+bi(a,b∈R），则其共轭复数=a-bi z+=(a+bi)+(a-bi)=2a 2a是实数，所以两个共轭复数的和是实数 练习B ① 计算下列各式的值. (1)(-3+2i)-(5-i)+(4+7i); (2)(1+i)-(1-i)-(5-4i)+(-3+7i). ② 如果复数z1,z2的和z1+z2是实数，那么z1与z2定互为共轭复数吗？为什么？ -4+10i -8+13i 不一定。 反例：z1=1+2i，z2=2-2i z1+z2=(1+2i)+(2-2i)=3和是实数，但z1与z2不互为共轭复数（共轭复数要求实部相等、虚部互为相反数）. 结论：和为实数只是两个复数虚部互为相反数，不一定实部相等，所以不一定互为共轭复数。 练习B ③ 求证： (1)=+ (2)= 证明： 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，则z1=a-bi，z2=c-di (1) z1+z2=(a+c)+(b+d)i =(a+c)-(b+d)i +=(a-bi)+(c-di)=(a+c)-(b+d)i ∴=+ (2) z1-z2=(a-c)+(b-d)i =(a-c)-(b-d)i =(a-bi)-(c-di)=(a-c)-(b-d)i ∴= 练习B ④ 已知复数6+5i与-3+4i对应的向量分别为,，求 与 所对应的复数. ⑤ 如果不相等的两个复数z1,z2在复平面内所对应的点分别为Z1与Z2，且Z为线段Z1Z2的中点，用z1,z2表示点Z对应的复数. 复数与复平面内的向量一一对应，向量加减对应复数加减。 ∴=(6+5i)+(-3+4i)=(6-3)+(5+4)i=3+9i =(6+5i)-(-3+4i)=(6+3)+(5-4)i=9+i 设复数z1=a+bi(对应点Z1(a,b)）,z2=c+di(对应点Z2(c,d)），其中(a,b,c,d∈R). 根据中点坐标公式，线段Z1Z2 的中点 Z 的坐标为：(,) 这个点对应的复数为： +i = 所以，点Z对应的复数是 小结 1.复数形式 设两个复数：z1=a+bi, z2=c+di(a,b,c,d∈ R) 2.复数加减法法则 ①加法实部加实部，虚部加虚部：z1+z2=(a+c)+(b+d)i ②减法实部减实部，虚部减虚部：z1-z2=(a-c)+(b-d)i 3.运算律 ①交换律：z1+z2=z2+z1 ②结合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 小结 4.几何意义 复数对应复平面内点：z=a+bi ↔点Z(a,b) 复数对应向量：=(a,b) 加法几何意义：z1+z2 对应向量加法的平行四边形法则 减法几何意义：z1-z2 对应向量 |z1-z2|=两点Z1,Z2之间的距离 5.常用结论 ①|z1-z2|= ②z+=2a（实数），z-=2bi（纯虚数或 0） ③若z1+z2=0⇔ z1=-z2 巩固提升 1.直接复数加减运算 解题步骤：实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，写成m+ni标准形式 计算下列各式的值 （1）(3+4i)+(2-i) （2）(5-2i)-(1+3i) 解：（1）(3+4i)+(2-i) =(3+2)+(4-1)i =5+3i 解： （2）(5-2i)-(1+3i) =(5-1)+(-2-3)i =4-5i 巩固提升 2.复数加减运算 （1）设z1=2-3i,z2=5+4i,则z1-在复平面内对应的点位于(　　) A.第一象限　　　　B.第二象限 C.第三象限　　　　D.第四象限 解析： 因为z1=2-3i,z2=5+4i,所以z1-=2-3i-(5-4i)=-3+i,其在复平面内对应的点的坐标是(-3,1),位于第二象限. B 巩固提升 2.复数加减运算 （2）复数z1=a+3i,z2=-4+bi,a,b为实数,若z1+z2为实数,z1-z2为纯虚数,则a+b=(　　) A.-7　　　　B.7　　　　C.-1　　　　D.1 解析： 由已知得z1+z2=a-4+(3+b)i,z1-z2=a+4+(3-b)i. 因为z1+z2为实数,所以3+b=0,即b=-3. 因为z1-z2为纯虚数,所以a+4=0,3-b≠0,即a=-4且b≠3, 综上,a=-4,b=-3,所以a+b=-7. A 巩固提升 2.复数加减运算 （3）已知复数z满足|z|-3i=z+1,其中i为虚数单位,则|z|=(　　) A.2　　　　B.4　 C.2　　　　D.5 解析： 设z=a+bi(a,b∈R), 由题意可得|z|=z+1+3i=(a+1)+(b+3)i,则=a+1+(b+3)i, 由复数相等的充要条件可得a+1=,b+3=0, 解得a=4,b=-3,即z=4-3i, 故|z|==5. D 巩固提升 3.含共轭复数的加减运算 解题步骤： 先写出共轭复数 再分别算实部、虚部加减 （1）已知z=2-3i，求z+ 解：∵z=2-3i∴=2+3i z+=(2+2)+(-3+3)i =4 （2）若复数z满足z-2=2+6i,则z=　　　　. 解析： 设z=x+yi(x,y∈R),则=x-yi, 所以z-2=x+yi-2(x-yi)=-x+3yi=2+6i, 则-x=2,3y=6,即x=-2,y=2, 所以=-2-2i. -2-2i 巩固提升 4.根据复数相等求参数 解题步骤 左边、右边分别化成标准复数形式 实部 = 实部，虚部 = 虚部 列方程组求解 (1)已知(x+2y)+(2x-y)i=3-2i, x,y∈R,求x,y 解：x+2y=3 2x-y=-2 解得：x=-,y= （3）已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋ (b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4， 则a＋b＝________． 解析： z1－z2＝a＋(a＋1)i-(－3b＋(b＋2)i) ＝(a+3b)＋(a－b－1)i＝4， 由复数相等：a+3b＝4a−b−1＝0， 解得a＝2，b＝1．∴a＋b＝3． 3 巩固提升 5.复数加减法几何意义（向量） 解题步骤 复数对应坐标(a,b) 加减对应坐标加减 求模长：|z|= （1）z1=1+2i,z2=3-i，求|z1-z2| 解：z1-z2=-2+3i |z1-z2|= = (2)已知z1＝2－2i，且|z|＝1， 则|z－z1|的最大值为________ 如图所示，因为|z|＝1，所以z所对应点的轨迹可看作是半径为1，圆心为原点的圆，而z1对应坐标系中的点为(2，－2)， 所以z−z1的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点的最大距离，则z−z1的最大值为2＋1． 2＋1 巩固提升 5.复数加减法几何意义（向量） (3)已知复平面上有点C(2，4)和点D，使得向量所对应的复数是1＋i，则点D的坐标为________． 解析： 设O为坐标原点，因为＝(1，1)，＝(2，4)， ＝ ∴＝(1，1)＋(2，4)＝(3，5)，即D点的坐标为(3，5)． (3，5) 巩固提升 5.复数加减法几何意义（向量） (4)复平面上三点A,B,C分别对应复数1,2i,5＋2i,则由A，B，C所构成的三角形是(　　) A．直角三角形    B．等腰三角形 C．锐角三角形    D．钝角三角形 解析： |＝|2i－1|＝，||＝|4＋2i|＝2，|BC|＝5，∴BC2＝AB2 +AC2． A 巩固提升 5.复数加减法几何意义 (5)复数z是纯虚数的一个充分条件为(　　) A.z=　　　　 B.z+=0 C.|z-1|=|z+1|　　　　D.|z-i|+|z-3i|=2 解析： 设z=a+bi(a,b∈R),对于A,由z=可得a+bi=a-bi,即2bi=0,所以b=0,此时z=a为实数,不是纯虚数,故A不符合;对于B,由z+=0得(a+bi)+(a-bi)=0,所以a=0,此时z=bi,当b=0时,z=0不是纯虚数,故B不符合;对于C,由|z-1|=|z+1|可得=,化简得4a=0,即a=0,此时z=bi,当b=0时,z=0不是纯虚数,故C不符合;对于D,由|z-i|+|z-3i|=2知,复数z对应的点Z(a,b)到点(0,1)和点(0,3)的距离之和为2,而点(0,1)和点(0,3)之间的距离为|3-1|=2,所以点Z(a,b)在线段x=0(1≤y≤3)上,即a=0且1≤b≤3,满足a=0且b≠0,所以z是纯虚数 D $