广东省东莞市2025-2026学年九年级下学期期末阶段测试（人教版）

**基本信息** 试卷以东莞智能制造、荔枝园实践等本土情境为载体，融入《九章算术》文化素材，通过新定义“k-对称积数”、遮阳篷动态几何等问题，考查数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、科学记数法、图形性质等|第8题以《九章算术》锯木问题考查方程思想| |填空题|5/15|因式分解、正多边形、相似三角形等|第14题开放探究三角形相似条件，培养推理意识| |解答题（一）|3/21|分式化简、尺规作图、利润函数|第18题结合机床能耗构建函数模型，体现应用意识| |解答题（二）|3/27|平行四边形证明、数据分析、解直角三角形|第20题通过荔枝园数据对比，发展数据观念| |解答题（三）|2/27|新定义、二次函数与动态几何|第22题“k-对称积数”考查抽象能力，第23题“L点”问题融合几何与函数，呼应中考创新趋势|

命题细目表 试卷整体分析 考试性质： 九年级下学期期末测试（中考模拟/复习检测） 试卷难度： 中等偏上（第10、22、23题为压轴难题） 核心素养： 重点关注了数学运算、直观想象、逻辑推理及数学建模能力 特色亮点： 结合了本地特色（东莞智能制造、广东荔枝），体现了数学来源于生活并应用于生活的理念 命题细目表 一、选择题（共10小题，30分） 题号 考查知识点 能力要求 分值 1 倒数的概念 理解与识记 3分 2 科学记数法（大数） 数据处理与应用 3分 3 轴对称与中心对称图形 空间观念与识别 3分 4 整式的运算（合并同类项、幂的乘方等） 运算能力 3分 5 二次根式有意义的条件 概念理解 3分 6 统计量（众数、中位数） 数据分析观念 3分 7 几何综合（平行线、三角形内角和、凸透镜性质） 逻辑推理 3分 8 垂径定理与勾股定理（《九章算术》背景） 数学文化与建模 3分 9 反比例函数与一次函数图象（解不等式） 数形结合 3分 10 菱形性质、轴对称最短路径、三角函数 综合分析与创新思维 3分 二、填空题（共5小题，15分） 题号 考查知识点 能力要求 分值 11 因式分解（提公因式+平方差） 运算技能 3分 12 正多边形的内角和与外角和 几何推理 3分 13 一元二次方程根的判别式 代数推理 3分 14 相似三角形的判定（AA/SAS/SSS） 几何证明基础 3分 15 网格作图、扇形面积、割补法求阴影面积 空间想象与计算 3分 三、解答题（一）（共3小题，21分） 题号 考查知识点 能力要求 分值 16 分式的化简（通分、约分原理） 运算算理理解 7分 17 尺规作图（垂直平分线）、勾股定理 动手操作与计算 7分 18 二次函数应用题（利润问题、平均数最值） 数学建模与应用 7分 四、解答题（二）（共3小题，27分） 题号 考查知识点 能力要求 分值 19 平行四边形性质、全等三角形证明、特殊四边形判定 逻辑证明 9分 20 频数分布直方图、数据分析（平均数、中位数）、决策判断 数据分析能力 9分 21 解直角三角形应用（太阳高度角、遮阳篷模型） 实际问题转化 9分 五、解答题（三）（压轴题，共2小题，27分） 题号 考查知识点 能力要求 分值 22 新定义问题（“k-对称积数”）、代数推理、不等式、整数解问题 学习能力、抽象思维 13分 23 综合与实践（正方形“格点”、函数图象交点、二次函数参数讨论） 探究能力、数形结合 14分 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省东莞市九年级下学期期末测试 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 2026的倒数是（ ） A. 2026 B. -2026 C. D. - 2. 2025年，中国新能源汽车产销量继续保持全球第一，全年产销量均突破1600万辆。将数据“1600万”用科学记数法表示为（ ） A. 1.6×10⁶ B. 1.6×10⁷ C. 16×10⁶ D. 0.16×10⁸ 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 正五边形 4. 下列运算错误的是（ ） A. a2 + a3 = a⁵ B. ( a2)3 = a6 C. a6 ÷ a2= a4 D. (-2a)2 = 4a2 5. 若在实数范围内有意义，则 的值可以是( ) A.−3 B.−2 C.−1 D.2 6. 某校开展“劳动最光荣”实践活动，记录了10名同学一周做家务的时间（单位：小时）：3, 2, 2, 4, 2, 3, 5, 4, 7, 6。这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 2, 3.5 B. 2, 2.5 C. 3, 3 D. 3, 4 7. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心 的光线相交于点，点为焦点.若 ， ，则 的度数为( ) A.120∘ B.130∘ C.140∘ D.150∘ 8. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸，锯道长1尺（1尺=10寸），问这块圆形木材的直径是多少？设圆形木材的半径为 x 寸，根据题意可列方程为（ ） A. x² = 5² + (x-1)² B. x² = 10² + (x-1)² C. x² = 5² + (x+1)² D. x² = 10² + (x+1)² 9. 如图，反比例函数与一次函数 的图象相交于点，，则关于 的不等式 的解集是( ) A.或 B. C. D.或 10. 如图，点E为菱形ABCD的边AD 上一点，且AE=3，DE=2，点F为对角线AC 上一动点，若△DEF的周长的最小值为6，则sin∠BCD为（ ）． A.1 B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.分解因式：x3 – 9x = ______。 12.若一个正多边形的内角和是外角和的3倍，则这个正多边形的边数是______。 13.若关于x的一元二次方程 -2x2 +5x - k = 0 有两个不相等的实数根，则k的正整数值的和是______。 14.如图，已知∠CAE=∠BAD，添加一个条件使“△ABC∽△ADE”，你添加的条件是_______________________．（不加其他字母和辅助线，写出一个即可） 15. 如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,点,,,在这些小正方形的顶点上,以 为圆心,长为半径画弧,点为 与网格线的交点,则图中阴影部分的面积是_ ________.结果保留 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 化简： ．下面是甲、乙两位同学的部分运算过程. 甲：解：原式= …… 乙：解：原式 …… （1）甲同学解法的依据是___，乙同学解法的依据是__________.（填序号） a.等式的基本性质；b.分式的基本性质；c.乘法分配律；d .乘法交换律． （2）请从甲、乙两位同学的解法中选择一种，写出完整的解答过程． 17.如图，在Rt△ABC中，∠A=90° ，AB>AC . （1）作BC边上的垂直平分线，交AB于点D （要求:尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接CD.若线段AD=2，AC=4，求BD 的长. 18. （原创）东莞某智能制造企业引进了新型数控机床，用于生产精密零件。已知该机床在连续工作过程中，每小时的能耗费用与工作时间的平方成正比，比例系数为0.5元/小时³。同时，每台机床每小时可生产80个零件，每个零件的售价为15元，生产成本为8元（不含能耗费用）。 （1）若该机床连续工作t小时，求这段时间内的总利润P(t)（单位：元）的函数表达式； （2）为保证生产效率，该企业规定单次连续工作时间不超过10小时。问：该机床单次连续工作多少小时时，平均每小时的利润最大？最大值是多少？ 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平行四边形ABCD中，点E 是对角线BD上的一点，过点C作CF//BD，且CF=DE，连接AE，BF，EF ． （1）求证：△ADE≌△BCF . （2）请从以下三个条件中选择一个作为已知条件， 判断四边形ABFE 的形状，并证明你的结论． 条件①：∠BFC−∠ABE=90^∘ ； 条件②：AE=EF ； 条件③：连接AF，AF⊥BD ． 已知：____（填写序号）. 20. 荔枝是广东的特色水果，在荔枝丰收季，某中学的数 学社团前往甲、乙两个荔枝园开展实践活动,从甲、乙两个荔枝园采摘的荔 枝中各随机选取200颗，在专业果农的指导下，测量每颗荔枝的直径作为 样本数据，荔枝的直径用x（单位：mm ）表示． 将收集的样本数据进行如下分组： 组别 A  B  C  D  E  𝑥  20≤𝑥<25  25≤𝑥<30  30≤𝑥<35  35≤𝑥<40  40≤𝑥<45  整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： （1）补全甲园样本数据频数分布直方图. （2）甲园样本数据的平均数一定______29（填“大于”“等于”或“小于”），乙园样本数据的中位数在__________组. （3）结合市场标准，将D，E 两组的荔枝认定为优等品，C组的荔枝认定为一等品，其他组的荔枝认定为二等品，其中优等品荔枝的品质最好，一等品次之，二等品最次．试估计哪个园的荔枝品质更好，并说明理由． 21.综合与实践 素材一：某款遮阳篷如图（1）所示，图（2）、图（3）是它的侧面抽象示意图，点A，C为墙壁上的固定点，摇臂CB可绕点C 旋转且长度保持不变，遮阳篷AB可自由伸缩，篷面始终保持平整，点D在地面l 上，CA=CB=CD=1.5 m ． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角α 的正切值如下表. 时刻/时 12 13 14 15 tanα 5 2.5 1.25 1 （1）如图（2），当∠ACB=90^∘ 时，这天12时在靠点E 左侧位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离DE ； （2）如图（3），旋转摇臂CB，使点B与墙壁的距离为1.2 m ，为使绿萝在这天12时—14 时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？ 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分.） 22. （原创）【题目背景】 数学兴趣小组在研究实数的性质时，对满足特定关系的两个实数产生了兴趣。他们发现，对于某些实数 和 ，其和与积之间存在着一种特殊的倍数关系。为此，他们给出了如下定义： 【新定义】 若两个实数 满足关系式 （其中 为常数且 ），则称 为一组“ -对称积数”。 【问题提出】 (1) 初步感知： 若 ，且它们是一组“ -对称积数”，求 的值； 若 ，且 是一组“2-对称积数”，求 的值。 (2) 代数推理： 已知实数 是一组“1-对称积数”。 ① 求证： ； ② 若 ，试判断代数式 是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由。 (3) 深度探究： 已知实数 是一组“ -对称积数”，且 均为整数， 为正整数。 请通过代数推理，求出所有可能的 的值，并写出对应的 ( 组合。（注： ( 与 ( 视为同一组解）。 23. 在平面直角坐标系中，正方形的边长为（为正整数），点在 轴正半轴上，点在轴正半轴上.若点 在正方形的边上，且，均为整数，定义点为正方形的“ 点”. 若某函数的图象与正方形只有两个交点，且交点均是正方形 的“点”，定义该函数为正方形的“ 函数”.#1.1 例如：如图（1），当时，某函数的图象经过点和 ，则该 函数是正方形的“ 函数”.#1.2 （1）当时，若一次函数是正方形的“ 函数”，则一 次函数的表达式是_____________________（写出一个即可）； （2）如图（2），当时，函数的图象经过点 ，与边相交于点，判断该函数是否是正方形的“ 函数”，并说明理由； （3）当时，二次函数的图象经过点 ，若该函数是正方形的“函数”，求 的取值范围； （4）在（3）的条件下，， 是二次函数图象上的两点，若点，之间的图象（包括点， ）的最高点与最低点纵坐标的差为，直接写出的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省东莞市九年级下学期期末测试 参考答案与解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. C【解析】2026的倒数是。 2. B【解析】1600万 = 16000000 = 1.6 × 10⁷。 3. C【解析】矩形既是轴对称又是中心对称。 4. A【解析】A不能合并，错误。 5. C【解析】若在实数范围内有意义,则且 ,且 ,故选C. 6. A【解析】排序：2,2,3,3,3,4,4,5,6,7。众数2，中位数(3+4)÷2=3.5。 7. A【解析】 光线与主光轴平行, （点拨:两直线平行,同旁内角互补）, （点拨:对顶角相等）, . 8. A【解析】垂径定理，半弦长5，半径x，圆心到弦距离x-1。勾股定理得 x² = 5² + (x-1)²。 9. D【解析】 点,在反比例函数 的图象上, ,,, 当 或时,反比例函数 的图象在一次函数的图象的上方, 不等式 即的解集是或 . 10. B.【解析】根据菱形的性质和“两点之间线段最短”最值问题连接BF,BE,求出△DEF周长取最小值时BE 的长. 如图,连接BF,BE. ∵ 四边形ABCD是菱形,AE=3 , DE=2, ∴AB=AD=5,点D和点B关于AC 对称, ∠BCD=∠BAD,∴BF=DF , ∴EF+DF=EF+BF≥BE, ∴△DEF 周长的最小值为DE+BE=2+BE. ∵△DEF的周长的最小值为6, ∴BE=4 . ,,,, 是直角三角形, , 在中求出的值,继而得到 的值. , . 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. x(x+3)(x-3) 12. 8 【解析】正多边形外角和是360°，内角和360°×3=1080°，(n-2)×180=1080，n=8。 13. 6 【解析】Δ = b2 - 4ac=25-8k > 0解得k < ，k的正整数值有1、2、3，∴和为1+2+3=6。 14. ∠B=∠D（答案不唯一）【解析】, , 当 , 或时, ． 15. 【解析】如图,连接,则 , ,, , 三、解答题（一） 16. （1）b，c （2）解：答案一:选择甲同学的解法. 原式 .（7分） 答案二:选择乙同学的解法. 原式 .（7分） 17. 解：（1）作图如图（1）所示.（3分） 图（1） （2）如图（2）,由作图可知点D在线段BC 的垂直平分线上, 图（2） ∴BD=CD （依据:垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）.（4分） ∵∠A=90° ,AD=2,AC=4 , 在中, ,（6分） .（7分） 18.（1）（1）总利润 = 总收入 - 总成本 - 能耗费用 总收入 = 80t × 15 = 1200t（元） 总成本 = 80t × 8 = 640t（元） 能耗费用 = 0.5t²（元） ∴ P(t) = 1200t - 640t - 0.5t² = 560t - 0.5t² （2）平均每小时利润 = P(t)÷t = 560 - 0.5t 这是一个关于t的一次函数，在0＜t≤10递减 ∴ 当t=10时，平均每小时利润最大，最大值为560 - 0.5×10 = 555元/小时 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 证明:∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD=BC,AD//BC , ∴∠ADB=∠DBC . 又∵CF//BD , ∴∠DBC=∠BCF , ∴∠ADB=∠BCF .（3分） 又∵DE=CF,AD=BC , ∴△ADE≌△BCF(SAS) .（4分） （2）答案一：① 四边形ABFE 是矩形．（5分） 证明:∵CF//BD,CF=DE , ∴ 四边形CDEF 是平行四边形（依据:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）, ∴EF//CD,EF=CD . ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB//CD,AB=CD , ∴AB//EF,AB=EF , ∴ 四边形ABFE 是平行四边形. ∵△ADE≌△BCF , ∴∠AED=∠BFC . 又∵∠BFC−∠ABE=90^∘ , ∴∠AED−∠ABE=∠BAE=90^∘ ， ∴ 平行四边形ABFE 是矩形（依据:有一个角是直角的平行四边形是矩形）. （9分） 答案二：② 四边形ABFE 是菱形．（5分） 证明:∵CF//BD,CF=DE , ∴ 四边形CDEF 是平行四边形, ∴EF//CD,EF=CD . ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB//CD,AB=CD , ∴AB//EF,AB=EF , ∴ 四边形ABFE 是平行四边形. 又∵AE=EF , ∴ 平行四边形ABFE 是菱形（依据:有一组邻边相等的平行四边形是菱形）. （9分） 答案三：③ 四边形ABFE 是菱形．（5分） 证明:∵CF//BD,CF=DE , ∴ 四边形CDEF 是平行四边形, ∴EF//CD,EF=CD . ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB//CD,AB=CD , ∴AB//EF,AB=EF , ∴ 四边形ABFE 是平行四边形. 又∵AF⊥BD , ∴ 平行四边形ABFE 是菱形（依据:对角线互相垂直的平行四边形是菱形）. （9分） 20.解：（1）补全频数分布直方图如图.（2分） （2）大于；C 【解法提示】, , ∴ 甲园样本数据的平均数一定大于29. 乙园样本数据中,A组有30个,B组有50个,C组有55个,D组有35个,E 组有30个, 故按从小到大排序后,第100,101个数据都在C组,故中位数在C组. （3）甲园一等品数量为60颗,一等品频率为60÷200=0.3 ； 乙园一等品数量为55颗,一等品频率为55÷200=0.275 ．（7分） 甲园优等品数量为40+25=65（颗）, 乙园优等品数量为35+30=65 （颗）, 故两园优等品频率相同．（8分） ∵ 甲园一等品频率大于乙园一等品频率且两园优等品频率相同, ∴ 估计甲园的荔枝品质更好．（9分） 21.解：（1）如图（1）,过点 作 于点,则四边形 是矩形. , 四边形 是正方形, . 在中, ,即 , , . （2） 如图（2）,过点作于点,过点作于点 , 则四边形是矩形, , , . 由题意可知在12时时 逐渐减小, 在14时绿萝刚好不被阳光照射到的位置为 绿萝摆放位置与墙壁的最远距离. 设此时经过点的太阳光线与地面的交点为,则 . 在中,,即 , , . 答:绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是0.72 m ． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分.） 22. (1) 解：当 时，代入定义式 ，得 ，即 ，解得 。 当 ，且为“2-对称积数”时，代入定义式 ，得 ，即 ，解得 ，故 。 (2)① 证明： 由定义可知，因为 是“1-对称积数”，所以 ，即 。 在等式两边同时加 1，得： 。 利用分组分解法提取公因式： ，即 。得证。 ② 解： 由①知 。因为 ，所以 ，进而可得 ，即 。 根据基本不等式（或完全平方公式的非负性），对于正数 ，有 。 令 ，则 。 即 ，所以 。 当且仅当 ，即 时取等号。 故 存在最小值，最小值为 4。 (3) 深度探究 由定义得 ，变形为 。 因式分解，等式两边同乘 （因为 为正整数， ）： 推理分析： 因为 均为整数， 为正整数，所以 和 也必须是整数。 两个整数的乘积为 1，只有两种情况： 情况一： 因为 是正整数， 是整数，所以 必须是 2 的因数。 若 ，则 。检验： ，成立。 若 ，则 。检验： ，成立。 情况二： 因为 为正整数（ ），所以必须 。 代入原定义式： ，即 ，恒成立。 此时 可以是任意正整数。但题目通常隐含考察非零解或特定结构，若题目未限制 非零，则此情况成立。但在常规“对称积”探究中，往往关注非平凡解。如果考虑 为非零整数，则舍去此情况。 综上所述（考虑非零整数解）： 当 时，对应解为 (； 当 时，对应解为 (。 23. （1）y=x（答案不唯一） (2) 该函数是正方形OABC的“LS 函数”.理由如下: 把点代入中,得,解得 , . 把代入,得 , . 函数的图象与正方形只有两个交点,,且点, 均是 正方形的“ 点”, 该函数是正方形的“ 函数”. (3)当n=4时,点B的坐标为(4,4),点C的坐标为(0,4) . 将点的坐标代入,得 , , . 易知函数的图象的 顶点坐标为 , 当时, , 点在函数 的图象上. 二次函数是正方形的“函数”,其图象经过点 , （点拨:由此得到函数的图象与正方形 无其他交 点）, . 当时,,解得 , ; 当 时,显然符合题意. 综上,的取值范围为或 . (4) 的值是或 【解析】当时,, ,抛物线开口向上. 点,之间的图象的最高点是点 ,最低点是顶点. , 整理,得 , 解得, （舍去）, 即 . 当 时,抛物线开口向下,分以下两种情况讨论. ①当,即时,有, . 点,之间的图象的最高点是顶点,最低点是点 , , 整理,得 , 此方程无实数根, 的值不存在. ②当,即时,有 . 点,之间的图象的最高点是点,最低点是点 , , 整理,得 , . 综上所述,的值是或 . 学科网（北京）股份有限公司 $