精品解析：江苏南通市启东市第一中学2024-2025学年第一学期第一次素质检测高二数学试卷

启东市第一中学2024-2025年度第一学期第一次素质检测 高二数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分，命题人：龚飞 审题人：朱海林） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线恒经过定点 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用直线系方程求解即可． 【详解】直线mx+y﹣m+2=0，化为：m（x﹣1）+y+2=0，可知直线经过（1，﹣2）． 故选C． 【点睛】本题考查直线系经过定点，考查计算能力． 2. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 故选：C. 3. 若方程表示的曲线为一个圆，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】因为方程表示的曲线为一个圆， 所以， 即，解得或． 故选：B. 4. 设，向量，，且，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，求出，再求出，再用坐标求模即可. 【详解】因为，且， 所以，解得，即， 又因为，且， 所以，则，即， 故， 所以. 故选：A. 5. 使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应m值，进而验证是否满足题设，即可得答案. 【详解】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点， 若平行，则，即； 若平行，则，即无解； 若平行，则，即； 若三条直线交于一点，，可得或； 经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个. 故选：B 6. 下列命题正确的是　　 若，则与、共面； 若，则M、P、A、B共面； 若，则A、B、C、D共面； 若，则P、A、B、C共面． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】对①②，由平面向量基本定理知可判断正误；对③，构造正方体模型；对④，利用向量的线性运算及共面向量基本定理； 【详解】对①，利用平面向量基本定理可得正确，故①正确； 对②，由平面向量基本定理知：是共面向量，则所以M、P、A、B共面，故②正确； 对③，如图，正方体中：，显然A、B、C、D不共面，故③错误． 对④， 所以则P、A、B、C共面，故④正确； 故选：C 7. 已知点到直线：和直线：的距离相等，则点到坐标原点距离的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由两直线平行可判断点所在直线，垂直时距离最小，再由点到直线的距离公式求出即可. 【详解】因为直线：和直线：平行，且点到他们的距离相等， 所以点在直线上， 当时，点到坐标原点距离的最小， 为 故选：C 8. 已知直线l过点，且方向向量为，则点到l的距离为（ ） A. B. 4 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线一个方向向量为，取直线的一个单位方向向量为，计算，代入点到直线的距离公式计算即可． 【详解】直线的一个方向向量为，取直线一个单位方向向量为 ， 又为直线外一点，且直线过点， ， ， 点到直线的距离为 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0 B. 任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为 C. 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D. 直线的倾斜角越大，则其斜率越大 【答案】AB 【解析】 【分析】根据倾斜角和斜率的关系逐项判断即可. 【详解】当时，其斜率，所以A正确； 根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有一条确定的倾斜角，由斜率定义可得当直线的倾斜角时，直线的斜率为，所以 B正确； 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为，且. ，故C不正确； 直线的倾斜角为锐角是斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D不正确； 故选：AB. 10. 已知，点及直线，则（ ） A. 直线恒过的定点在直线上 B. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则 C. 若直线过第二、四象限，则 D. 若直线及与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则 【答案】CD 【解析】 【分析】A选项，考虑直线斜率不存在和斜率存在两种情况，得到所过定点，得到答案；B选项，分析出直线过原点或直线不过原点且斜率为-1两种情况，求出的值；C选项，根据直线的斜率小于0，得到；D选项，根据题意得到只有时满足题意，求出. 【详解】对于，直线斜率不存在时，，得，直线方程为， 直线斜率存在时，其方程为，得其过定点， 综上，直线过点，其不在直线上，错误； 对于，直线在两坐标轴上的截距相等，则直线过原点或直线不过原点且斜率为-1， 当直线过原点时，解得， 直线不过原点且斜率为-1时，解得，错误； 对于，直线过第二、四象限，则直线斜率，解得，正确； 对于D，若直线及与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则该四边形对角互补， 又直线过定点，经分析知只有时满足题意， 此时直线的斜率为，D正确. 故选：CD. 11. 已知曲线，下列结论正确的是（ ） A. 当时，曲线是一条直线 B. 当时，曲线是一个圆 C. 当曲线是圆时，它的面积的最小值为 D. 当曲线是面积为的圆时， 【答案】AB 【解析】 【分析】将代入曲线的方程化简，可判断A选项；利用圆的一般方程可判断B选项；求出圆的半径，利用圆的面积公式结合基本不等式可判断C选项；利用圆的半径公式可求出的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，曲线的方程为，此时，曲线是一条直线，A对； 对于B选项，当时，曲线的方程可化为， 因为，此时，曲线是一个圆，B对； 对于C选项，当曲线是圆时，其半径为， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因此，当曲线是圆时，它的面积的最小值为，C错； 对于D选项，当曲线是面积为的圆时，其半径为， 即，解得或，D错. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆过点，，且圆心在直线上，则圆的标准方程为_______. 【答案】 【解析】 【分析】求出线段的中垂线方程，与直线的方程联立求出圆心坐标及半径即可得解. 【详解】线段的中点，直线的斜率为， 则线段的中垂线方程为，即， 由，解得，则圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为： 13. 若直线与直线平行，则实数__________． 【答案】 【解析】 【详解】直线与直线平行，则有或，当时，两直线重合，所以舍掉，符合题意； 故答案为-2 14. 已知k∈R，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，则的值为__________. 【答案】13 【解析】 【分析】 由两直线方程可得定点，，再联立两直线方程解出的坐标，然后由两点间距离公式可得，，进而可以求解． 【详解】动直线过定点 动直线过定点 联立方程， 解得，， 则由两点间距离公式可得： ， ， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了直线中定点问题以及两点间距离公式，考查了学生的运算能力，属于基础题． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线和点，． （1）在直线l上求一点P，使的值最小； （2）在直线l上求一点P，使的值最大． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）通过找出点A关于直线l的对称点为，将的最小值转化为的最小值，利用三角形三边的关系可知，即可求点P的坐标; （2）利用三角形的三边关系可知，再求出直线AB的方程，即可求出点P的坐标. 【小问1详解】 设A关于直线l的对称点为，则， 解得，故， 又∵P为直线l上的一点，则， 当且仅当B，P，三点共线时等号成立，此时取得最小值， 点P即是直线与直线l的交点． 由 ，解得， 故所求的点P的坐标为． 【小问2详解】 由题意，知A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点， 则，当且仅当A，B，P三点共线时等号成立， 此时取得最大值，点P即是直线AB与直线l的交点, 又∵直线AB的方程为， ∴由 ，解得， 故所求的点P的坐标为． 16. 已知的顶点，边 上的高所在直线方程为，点是边 的中点. （1）求边所在直线的方程； （2）求点的坐标. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由所在直线方程可得边所在直线的斜率，根据点斜式方程可得答案； （2）设点的坐标为可得，由中点坐标公式可得，且在边上可得即与上式联立可得答案. 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以边所在直线的斜率为，， 所以边所在直线的方程为， 即所在直线的方程为. （2）设点的坐标为， 因为边上的高所在直线方程为， 所以， 又因为点是边的中点， 所以点的坐标为， 由边所在直线的方程为， 所以即， 由得到： 所以点的坐标为. 【点睛】本题考查了直线的方程及直线与直线的位置关系，两直线斜率都存在且不为零时斜率乘积为-1可得两直线垂直，斜率相等可得两直线平行，有时两种情况还要斜率不存在的情况. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，． （1）求直线与平面所成角的余弦值； （2）求平面与平面夹角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，，由面面垂直的性质证明平面，建立空间直角坐标系，根据空间向量求解即可； （2）先求出平面的法向量 ，利用空间向量的夹角公式求解即可． 【小问1详解】 取的中点为，连接，． 因为，所以． 又因为平面，平面平面，且平面平面， 所以平面因为平面，所以． 因为，所以， 如图，建立空间直角坐标系， 由题意，，，，， 得 ， ，， 则 ，由，则 ， 所以平面的法向量可以取 ． 设直线与平面所成的角为， 则， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为． 【小问2详解】 设平面的法向量为，由（1）知， 则，即，令，可得，，即 ， 所以， 因为平面与平面的夹角为锐角，所以其余弦值为， 所以平面与平面的夹角的大小为． 18. 已知直线的方程为． （1）若与直线垂直，求实数的值； （2）当与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小时，求的方程 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直斜率关系求参； （2）先求出直线在坐标轴的截距，再结合面积公式应用基本不等式求最小值即可. 【小问1详解】 由已知得的斜率为， 因为与直线垂直，所以， 解得． 【小问2详解】 令，得，令，得， 由且，解得． 所以与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积 令，则，所以， 所以 当且仅当，即时取等号，此时三角形面积最小 此时的方程为 ，即． 19. 如图所示的几何体 ABCDE 中，DA⊥平面 EAB ，AB=AD=AE=2BC=2， M是EC上的点(不与端点重合)，F 为AD上的点，N 为BE的中点. （1）若M 为CE的中点， (i) 求证: 平面 (ii) 求点F 到平面MBD的距离. （2）若平面MBD与平面ABD所成角(锐角)的余弦值为 试确定点M在EC上的位置. 【答案】（1）(i)答案见解析. (ii) （2）点M是EC的中点或是EC上的靠近点C的四等分点. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点和向量的坐标；(i)求出的方向向量和平面法向量即可证明平面；(ii)根据点到平面距离的向量计算方法即可求解. （2）先根据点M是EC上的点(不与端点重合)，利用向量共线的坐标表示得出点M坐标；再求出平面MBD与平面ABD的法向量；最后根据面面所成角的向量计算方法即可求解. 【小问1详解】 DA⊥平面 EAB，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示： ， 则，，，，， M 为CE的中点，，N 为BE的中点， ，，， ，，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，得. (i) ， ， 又平面， 平面； (ii) ，平面的法向量为， 点F 到平面MBD的距离为：； 【小问2详解】 由M是EC上的点(不与端点重合)，可设，， ，， 点坐标为 设平面MBD的法向量为， 则，即，令，得. DA⊥平面 EAB ，平面 EAB 又，，平面ABD，平面ABD， 平面ABD， 平面ABD的一个法向量为 平面MBD与平面ABD所成角(锐角)的余弦值为 ， ，解得或 点M是EC的中点或是EC上的靠近点C的四等分点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 启东市第一中学2024-2025年度第一学期第一次素质检测 高二数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分，命题人：龚飞 审题人：朱海林） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线恒经过定点 A. B. C. D. 2. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 若方程表示的曲线为一个圆，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 设，向量，，且，，则（    ） A. B. C. D. 5. 使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 下列命题正确的是　　 若，则与、共面； 若，则M、P、A、B共面； 若，则A、B、C、D共面； 若，则P、A、B、C共面． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知点到直线：和直线：的距离相等，则点到坐标原点距离的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 已知直线l过点，且方向向量为，则点到l的距离为（ ） A. B. 4 C. D. 3 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0 B. 任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为 C. 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D. 直线的倾斜角越大，则其斜率越大 10. 已知，点及直线，则（ ） A. 直线恒过的定点在直线上 B. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则 C. 若直线过第二、四象限，则 D. 若直线及与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则 11. 已知曲线，下列结论正确的是（ ） A. 当时，曲线是一条直线 B. 当时，曲线是一个圆 C. 当曲线是圆时，它的面积的最小值为 D. 当曲线是面积为的圆时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆过点，，且圆心在直线上，则圆的标准方程为_______. 13. 若直线与直线平行，则实数__________． 14. 已知k∈R，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，则的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线和点，． （1）在直线l上求一点P，使的值最小； （2）在直线l上求一点P，使的值最大． 16. 已知的顶点，边 上的高所在直线方程为，点是边 的中点. （1）求边所在直线的方程； （2）求点的坐标. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，． （1）求直线与平面所成角的余弦值； （2）求平面与平面夹角的大小． 18. 已知直线的方程为． （1）若与直线垂直，求实数的值； （2）当与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小时，求的方程 19. 如图所示的几何体 ABCDE 中，DA⊥平面 EAB ，AB=AD=AE=2BC=2， M是EC上的点(不与端点重合)，F 为AD上的点，N 为BE的中点. （1）若M 为CE的中点， (i) 求证: 平面 (ii) 求点F 到平面MBD的距离. （2）若平面MBD与平面ABD所成角(锐角)的余弦值为 试确定点M在EC上的位置. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $