内蒙古包头市第九中学外国语学校2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题

报告查询：登录zhixue..com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 包九中外国语学校高二年级数学学科 (2026年5月) 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 可器只 (正面朝上，切勿贴出虚线方框) 正确填涂 缺考标记 ▣ 客观题(18为单选题；911为多选题) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] T[A][B][C][D] I1[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 填空题 12. 13. 14. 解答题 15. ㄖㄖ■ 16. 因ㄖ■ ■ 17. ■ ■ 1 18. I I ■ ㄖ■囚 19. 囚■囚 请勿在此区域作答或 者做任何标记包九中外国语学校高二年级数学学科 (2026年5月) 一.选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.已知函数f(1)=3,则+，①=（) →03 A.3 B.2 C.1 D.0 2.在(x+y)(x-2y)5的展开式中，x3y3的系数为() A.120 B.80 C.40 D.-40 3.曲线()=一在点(1，f(1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为() C.1 D.2 4.从甲、乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两 项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为() A.12 B.24 C.36 D.48 5.己知f(x)是函数f(x)的导函数，若f(x)=x2-x(3),则f(2)=() A.-4 B.-2 C.2 D.4 3 6.函数()=写+2-在R上是单调递增的充分条件是() A.m>1 B.m<-1 C.mE[-1,1]D.mER 7.已知=g3,=马，=是，其中e为自然常数(e2.71828),则a,b,c的大小关系是() 2 A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>b>a 8.设正实数x,y满足e-yly=n.x,则y的最小值为() A.1 B.e C.2e D.e2 第1页( 二，多选题；本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列求导正确的是() A.(V+)=2V+32 B.(—)/=-十 C.(4- 4)=44 1 D.(2)'=210 10.我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学 的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的说法正确的是() 第0行 1 第1行 第2行 1 2 第3行 1331 第4行 14641 第5行 … A.第6行从左到右第4个数是20 B.第2026行的第1013个数最大 C.210在杨辉三角中出现了6次 D.记第n行的第i个数为a,则12-1=3 1.已知函数()=号3-2 2+,则下列说法正确的是() A.若a>0时，x=0是函数f(x)的极小值点 B.若a=6,b=18,则函数f(x)的图象关于点P（3,0)对称 C.当0<<名或哈3<0时，函数f)有且有3个零点 D.若函数()=()-子-2-有3个零点，则实数a的取值范围为（号-22，-） 共2页) 三.填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.函数f(x)=x-m(2x)的单调减区间是 13.如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色， 要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使 用到，则一共有 种不同的染色方案. A E D F B C 14.已知函数f(x)=e-ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是 四.解答题；本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(13分)已知二项式(2+二)（∈“）的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，按要求完成以 下问题： (1)求n的值. (2)求展开式中的系数。 16.(15分)某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们 去参观某爱国主义教育基地. (1)推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？ (2)每班选1人为组长，有多少种不同的选法？ (3)从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？ 第2页( 17.(15分)(1)已知5=？-1，(m>1),求6+61+7+2+8+3的值： (2)解不等式8<6g2. 18.（17分)己知函数f(x)=2lx+a(x2-4x+3). (1)若a=3,求f(x)的单调区间： （2)证明： (i)lmx≤x-l: （i)对任意ae(-,0),f()<0对xe3-2 二，+∞)恒成立. 19.(17分)函数f(x)=e-xlnr+x2-ax(aeR). (1)当a=e+1时，求函数f(x)在(2，+∞)的单调区间： (2)若存在xE(0,+∞)，使得f(x)≤0成立，求a的取值范围； (3)若函数f(x)有两个零点1、2，且21≤2，求上+1的取值范围。 12 共2页) 包九中外国语学校高二年级数学学科（2026年5月） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．已知函数f′（1）＝3，则（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【解答】解：函数f′（1）＝3， 则f′（1）3＝1． 故选：C． 2．在（x+y）（x﹣2y）5的展开式中，x3y3的系数为（　　） A．120 B．80 C．40 D．﹣40 【解答】解：在（x﹣2y）5展开式中， 第r+1项为， 令k＝3，可得，此时与x+y相乘可得﹣80x3y3， 令k＝2，可得，此时与x+y相乘可得40x3y3， 所以（x+y）（x﹣2y）5的展开式中，含x3y3的项为﹣80x3y3+40x3y3＝﹣40x3y3，即x3y3的系数为﹣40． 故选：D． 3．曲线在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（　　） A． B． C．1 D．2 【解答】解：由题意知f（1）＝0，， 故f′（1）＝1，所以切线为y＝x﹣1， 令x＝0得y＝﹣1；令y＝0得x＝1， 故切线与两坐标轴围成的三角形的面积S． 故选：B． 4．从甲、乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（　　） A．12 B．24 C．36 D．48 【解答】解：甲、乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作， 若选派的四人中甲乙仅有其中一人， 则选派方案的种数为， 若选派的四人中甲乙均有， 则选派方案的种数为， 综上，不同的选派方案的种数为36． 故选：C． 5．已知f′（x）是函数f（x）的导函数，若f（x）＝x2﹣x•f′（3），则f（2）＝（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 【解答】解：由题可得f′（x）＝2x﹣f′（3）， ∴f′（3）＝2×3﹣f′（3），得f′（3）＝3， ∴f（x）＝x2﹣3x，则f（2）＝4﹣6＝﹣2． 故选：B． 6．函数在R上是单调递增的充分条件是（　　） A．m＞1 B．m＜﹣1 C．m∈[﹣1，1] D．m∈R 【解答】解：因为，所以g′（x）＝x2+2x﹣m． 因为函数g（x）在R上单调递增，所以g′（x）≥0恒成立， 则Δ＝22+4m≤0，解得m≤﹣1， 所以函数在R上是单调递增的充分条件是（﹣∞，﹣1]的非空子集． 故选：B． 7．已知，，，其中e为自然常数（e≈2.71828），则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a 【解答】解：观察a，b，c的形式：，，， 这三个数都可以写成的形式， 因此a＝f（3），b＝f（e），c＝f（2）， ， 令f'（x）＝0，得到， 当时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，当时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减， 已知e≈2.718，则，由于， 根据单调递减性质，自变量越大，函数值越小， f（2）＞f（e）＞f（3），代回原字母：c＞b＞a． 故选：D． 8．设正实数x，y满足ex﹣ylny＝lnxy，则y的最小值为（　　） A．1 B．e C．2e D．e2 【解答】解：由ex﹣ylny＝lnxy，可得ex＝ylny+ylnx＝yln（xy）， 因为x，y＞0，则ln（xy）＞0， 则可得xex＝xyln（xy）＝ln（xy）eln（xy）， 令f（t）＝tet，则可得f（x）＝f（ln（xy））， 因为x＞0，f′（t）＝（t+1）et＞0， 则f（t）＝tet在（0，+∞）上单调递增， 故ln（xy）＝x，即， 令，求导得， 当x＞1时，g′（x）＞0，故g（x）在（1，+∞）上单调递增， 当0＜x＜1时，g′（x）＜0，故g（x）在（0，1）上单调递减， 所以， 即y的最小值为e． 故选：B． 二．多选题（共3小题） （多选）9．下列求导正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：对于A，（xe3）′＝（）′，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，（4x﹣sin）＝（4x）′＝4xln4，C正确； 对于D，． 故选：BC． （多选）10．我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的说法正确的是（　　） A．第6行从左到右第4个数是20 B．第2026行的第1013个数最大 C．210在杨辉三角中出现了6次 D．记第n行的第i个数为ai，则 【解答】解：选项A：由题目所给的杨辉三角可知，从第1行起，第n行的第m个数可表示为， 故第6行从左到右第4个数是，故A正确； 选项B：第2026行的第m个数可表示为，m﹣1∈[0，2026]， 由组合数的性质可知，最大， 因此m﹣1＝1013，m﹣1＝1014，故第2026行的第1014个数最大，B错误； 选项C：210在杨辉三角中出现的情况有（第10行的第5个数），（第10行的第7个数），（第210行的第2个数）， （第210行的第210个数），（第21行的第3个数），（第21行的第20个数），共6次，故选项C正确； 选项D：第n行的第i个数，因此． 令j＝i﹣1，则，即，故D正确． 故选：ACD． （多选）11．已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．若a＞0时，x＝0是函数f（x）的极小值点 B．若a＝6，b＝18，则函数f（x）的图象关于点P（3，0）对称 C．当或时，函数f（x）有且有3个零点 D．若函数有3个零点，则实数a的取值范围为 【解答】解：由题意可得：f'（x）＝x2﹣ax＝x（x﹣a）， 令f（x）＝0，解得：x＝0 或x＝a， 当a＝0时，f（x）＝x2≥0，函数f（x）在R上单调递增， 当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，a），单调递增区间为（﹣∞，0），（a，+∞）， 当a＜0时，函数f（x）的单调递减区间为（a，0），单调递增区间为（﹣∞，a），（0，+∞）， 对于A选项，当a＞0时，由函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增， 在区间（0，a）上单调递减，可得x＝0是函数f（x）的极大值点，故A选项错误； 对于B选项，若a＝6，b＝18，有， 有， 可得函数f（x）的图象关于点P（3，0）对称，故B选项正确； 对于C选项，当时，有a＞0， 可知函数f（x）的单调递减区间为（0，a），单调递增区间为（﹣∞，0），（a，+∞）， 又由f（0）＝b＞0，，可得函数f（x）有3个零点， 当时，有a＜0，可知函数f（x）的单调递减区间为（a，0），单调递增区间为（﹣∞，a），（0，+∞）， 又由f（0）＝b＜0，，可得函数f（x）有3个零点，故C选项正确； 对于D选项，， 令g（x）＝0，有，令，有， 令h'（x）＝0，解得：x＝1，x＝2， 可得函数h（x）的单调递增区间为（0，1），（2，+∞），单调递减区间为（1，2）， 当x→0时，h（x）→﹣∞，当x→+∞时，h（x）→+∞， 又由，可得若函数g（x）有3个零点， 有，可得，故D选项正确． 故选：BCD． 三．填空题（共3小题） 12．函数f（x）＝x﹣ln（2x）的单调减区间是　（0，1）　 ． 【解答】解：因为f（x）＝x﹣ln（2x），x＞0， 所以， 当f′（x）＜0，即， 结合定义域x＞0， 解得0＜x＜1， 所以函数f（x）＝x﹣ln（2x）的单调减区间是（0，1）． 故答案为：（0，1）． 13．如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有 　192　 种不同的染色方案． 【解答】解：间隔元素分析法： ①A，C同色，B，D同色，则E有两种上色方式，F被E确定，故有种； ②A，C同色，B，D不同色，则F仅有1中上色方式，E被F确定，故有种； ③A，C不同色，B，D同色，则若F与A同色，则E有1种上色方式； 若F与A不同色，则F，E只有1种上色方式； 故有种； ④A，C不同色，B、D不同色， 1）A，D同色，则有种；2）A，D不同色，则有种． 综上，共有24+24+48+48+48＝192种方式． 故答案为：192． 14．已知函数f（x）＝ex﹣ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是　　 ． 【解答】解：由题意函数f（x）＝ex﹣ax2有两个极值点， 对函数求导可得f′（x）＝ex﹣2ax，令f′（x）＝0可得， 因为f（x）＝ex﹣ax2有两个极值点，所以f′（x）＝ex﹣2ax有两个变号零点， 令，则， 当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增， 当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减， 当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减， 当x趋近于﹣∞时，g（x）趋近于0，当x趋近于+∞时，g（x）趋近于+∞， 当x从负半轴趋近于0时，g（x）趋近于﹣∞，当x从正半轴趋近于0时，g（x）趋近于+∞， 又g（1）＝e，简图如下， 由图可知，2a＞e，即实数a的取值范围是． 故答案为：． 四．解答题（共5小题） 15．已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，按要求完成以下问题： （1）求n的值． （2）求展开式中的系数． 【解答】解：（1）由二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：5， 可得，解得n＝6； （2）的展开式通项为， 令，可得k＝6，因此，展开式中的系数为． 16．某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地． （1）推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？ （2）每班选1人为组长，有多少种不同的选法？ （3）从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？ 【解答】解：（1）选其中1人为总负责人，各班均可分三类N＝8+10+6＝24种； （2）每班选1人为组长，可分步从各年级分别选择，N＝8×10×6＝480种； （3）要选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，首先按班级分三类“一、二班”，“一、三班”，“二、三班”，再各类分步选择N＝8×10+8×6+10×6＝188种． 17．（1）已知，（m＞1），求的值； （2）解不等式． 【解答】解：（1）已知，（m＞1）， 由组合数的性质可得m＝2m﹣1或m+2m﹣1＝5， 解得m＝1（舍去）或m＝2， 则126； （2）由题意不等式， 可得6•，x≤8且x﹣2≤8，x∈N*， 即x2﹣19x+84＜0，即7＜x＜12， 又x≤8且x∈N*， 可得7＜x≤8且x∈N*， 所以x＝8， 即不等式的解集为{8}． 18．已知函数f（x）＝2lnx+a（x2﹣4x+3）． （1）若a，求f（x）的单调区间； （2）证明： （ⅰ）lnx≤x﹣1； （ⅱ）对任意a∈（﹣∞，0），f（x）＜0对x∈（，+∞）恒成立． 【解答】（1）解：当a时，f（x）＝2lnx（x2﹣4x+3）， ∴f′（x）（2x﹣4），x＞0， 令f′（x）＞0，可得x或0＜x，令f′（x）＜0，可得x， ∴f（x）的单调递增区间为（0，）和（，+∞），单调递减区间为（，）； （2）证明：（i）设g（x）＝lnx﹣（x﹣1）， ∴g′（x）1， ∴g′（x）＝0，得x＝1， 令g′（x）＞0，0＜x＜1；令g′（x）＜0，x＞1， ∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， ∴g（x）max＝g（1）＝0， ∴lnx≤x﹣1； （ii）当x＞1时，由（i）可知，lnx≤x﹣1， 则f（x）＜2（x﹣1）+a（x2﹣4x﹣3）， 若a∈（﹣∞，0），则2（x﹣1）+a（x2﹣4x﹣3）＝（x﹣1）（ax+2﹣3a）＝a（x﹣1）（x）， 当x∈（，+∞）时，a（x﹣1）（x）＜0， 则当x∈（，+∞）时，f（x）＜0， 故对任意a∈（﹣∞，0），f（x）＜0对x∈（，+∞）恒成立． 19．函数f（x）＝ex﹣xlnx+x2﹣ax（a∈R）． （1）当a＝e+1时，求函数f（x）在的单调区间； （2）若存在x∈（0，+∞），使得f（x）≤0成立，求a的取值范围； （3）若函数f（x）有两个零点x1、x2，且2x1≤x2，求的取值范围． 【解答】解：（1）由题意函数f（x）＝ex﹣xlnx+x2﹣ax（a∈R）， 当a＝e+1时，f（x）＝ex﹣xlnx+x2﹣（e+1）x，可得f′（x）＝ex﹣lnx+2x﹣e﹣2， 令m（x）＝f′（x）＝ex﹣lnx+2x﹣e﹣2，可得， 因为y＝ex和在为单调递增函数，可得m′（x）在单调递增， 所以，所以f′（x）在单调递增， 又因为f′（1）＝e+2﹣e﹣2＝0， 所以x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；当时，f′（x）＜0； 所以函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是； （2）由不等式f（x）≤0，可得ex﹣xlnx+x2﹣ax≤0， 即， 因为存在x∈（0，+∞），使得f（x）≤0成立，即在x∈（0，+∞）上有解， 令，则a≥t+lnt有解， 构造函数，则， 当x＞1时，t′（x）＞0，当0＜x＜1时，t′（x）＜0； 所以t（x）在（1，+∞）递增，（0，1）递减，所以t（x）min＝t（1）＝e，即t≥e， 又因为函数y＝t+lnt在（0，+∞）单调递增， 所以当t＝e时，可得ymin＝e+lne＝e+1，即a≥e+1， 所以实数a的取值范围为[e+1，+∞）； （3）函数f（x）有两个零点x1，x2，即f（x）＝ex﹣xlnx+x2﹣ax＝0有两个不同的解， 即有两个不同的解， 令，且y＝t+lnt为单调递增函数，可得t＞e， 当t＞e时，的两个解为x1，x2，即，则，即， 令，则λ≥2，且x2﹣x1＝（λ﹣1）x1＝lnλ，所以，， 所以， 构造函数，可得， 令h（x）＝（x2+1）lnx﹣（x2﹣1）（x≥2）， 则， 所以h（x）在[2，+∞）单调递增，则h（x）≥h（2）＝5ln2﹣3＝ln32﹣3＞0， 所以g′（x）＞0恒成立，所以g（x）在[2，+∞）单调递增， 可得， 又因为t→+∞时，，所以． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/28 11:27:54；用户：王旭东；邮箱：btjzw73@xyh.com；学号：30325845 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $