湖南永州市新田县第一中学2025-2026学年下学期高一入学检测试题数学（A卷）

2026年春季高一入学数学检测卷（A卷） 时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．命题为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 3．已知函数是奇函数，则（ ） A．2 B．1 C．0 D． 4．下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 5．如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且．则（ ） A． B． C． D． 6．若不等式有且只有两个整数解，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下图是函数的部分图像，则（ ） A． B． C． D． 10．若，满足，则（ ） A． B． C． D． 11．已知函数，的定义域均为，，是偶函数，且，若，则下列说法正确的有（ ） A． B．的图象关于点中心对称 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．计算：_________． 13．设向量，，满足，，，若，则的值是_________． 14．设，函数，若恰有两个零点，则的取值范围为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合，． （1）若，求实数的值； （2）若，且，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围． 16．2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：．已知综合性能评分，且在函数图象是连续不断的． （1）求函数的解析式； （2）已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求； （2）若D为边上一点，，且，求． 18．已知函数 （1）当时，求函数的定义域； （2）当时，函数的值域为，求a的值； （3）在（2）的条件下，设函数，解关于x的不等式． 19．已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，，求a的取值范围； （3）设，证明：． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $《2026年春季高一入学数学检测卷(A卷)》参考答案 题号 2 3 4 5 6 8 10 答案 C B D D B D D B BC BC 题号 11 答案 BCD 12. 26 13.414.（-0,0)U0,1U1,+0 3 15.(1)a=±2 (2)m=0或m=2或m=-1 {a 【分析】(1)x=0是方程x2+2(a-1x+a2-4=0的根，代入即可求a: (2)分C=0、C={-1和C={4)三种情况进行讨论即可； (3)由题意可得A≤B,分A=☑，A={-1},A={4,A={-1,4四种情况讨论即可. 【详解】(1)因为0∈A,可知x=0是方程x2+2(a-1x+a2-4=0的根， 则a2-4=0,解得a=±2. (2)因为B={xx203x-4=0={-1,4), 若C={xm042=0,且C∈B,可知C≠{-1,4， 当C=☑，则m=0,满足题设： 当C={-1,则-m+2=0,解得m=2: 当C=(4,则4m+2=0,解得m=- 2 1 综上所述：m=0或m=2或m=- 2 (3)因为AUB)∈B,且B∈（AUB),则AUB=B,可得A∈B, 当A=⑦时，则x2+2(a-1)x+a2-4=0无实数根， 可得△=4(a-12-4(a2-4<0,解得a>2: 5 当A={-1时，x2+2(a-1)x+a2-4=0有两相等实数根x=-1, -2(a-1)=- 则 a2-4=1 2,无解，不合题意； 当A={4时，x2+2(a-1)x+a2-4=0有两相等实数根x=4, -2(a-1）=8 则 a2-4=16 ，无解，不合题意； 当A={-1,4时，x2+2(a-1x+a2-4=0有两个实数根x=-1,4, -2(a-1=3 则 ,无解，不合题意： a2-4=-4 综上所述：a的取值范围为aa0 -0.4t2+8t+40,0≤t≤10 16.(1)P(t)= 720 -1.8t+170,10<t≤60 (2)当t=5时，E(t)=4,此时“天穹”模型的标准化训练效率最高. 【详解】(1)因为P(5)=70,P(5)=-0.4×52+5a+40=70, 所以a=8. 因为P(t)在t=10处函数图象是连续不断的， 所以-0.4×102+8x10+40=-720 10 1.8×10+b,解得b=170. -0.4t2+8t+40,0≤t≤10 所以P()= 720 -1.8t+170,10<t≤60 t (2)当0<t≤10时，Pt)=-0.4t2+8t+40, t时Ed=P40-50-04+80-10.-0.4-10+8 t t 因为1>0，所以0.4+10≥20.4×10=4， 当且仅当0.4H=10时，即1=5时等号成立，此时Ed的最大值为4. 当10<1≤60时，P)=-720-1.8+170, t 此时 E(t)= P()-50 7208072020-187202。+00720+32<4 t t t 综上，当t=5时，Et)=4,此时“天穹”模型的标准化训练效率最高. n (2)35 【详解】(1)由题得，3 bsinA+bcosA=c, 由正弦定理得，3 sinAsinB+sinBcosA=sinC, 在△ABC中，A+B+C=π， sinC sin (B)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA, 代入可得3 sinAsinB=sinAcosB, 在△ABC中，sinA≠0，所以3sinB=cosB, 因为B∈(0，π，所以sinB>0,所以cosB>0, 故tanB= sinB 1 cosB 3 (2)因为sin2B+cos2B=1,由(1)得sinB= v10 10 在△ABC中，由正弦定理得sim∠BAC-BC-30 sinB AC 2 所以sin∠BAC= 3 因为AD⊥AB且D为BC边上一点， D 所以∠BAC∈ π 2π 所以∠B4C=否，此时∠CD= 6 在Rt△ABD中，tanB=AD 1 AB 所以AB AD tanB ,2元V5 BC 5Auc4B-4C-sin AB 所以， 3-2 CD SAACD 1AD.AC.sin =35. π1 AD AD tanB 2 “6 18.(1) (2)0 (3)答案见解析 【详解】(1)若a=3,f(x=n[3(2*)2+2*-2]=ln32-2(2+1 :2>0,2+1>0,(3.2-22+1>0即32-2>0， 即2>名，解得x>1g:行 3 即函数f(x)的定义域为 2 log, (2)若a<0,设m(x)=a:4+2-2,令2=t,t>0, 则mx)可转化为关于t的函数h(t=at+t-2. h(t)=at2+t-2为开口向下的二次函数， 1）-1-2 在对称轴1=一>0处取到最大值2a)F4a 2a 若-人-2≤0（即a≤-}时），h()≤0恒成立，则f()的定义域为空集，不符题意： 8 若名20即g<a<0时》，=a+2-2存在最人面是人植人于0， 1 则f(x=lna:4+2-2存在最大值，与值域为R矛盾，故舍去： 若a=0,则f(x)=ln(2-2), 当x∈1，+o)时，2-2∈(0，+o),ln2-2∈R,符合题意. 综上所述，a=0. (3)若a=0,则f(x=ln2-2,2-2>0,解得x>1, 故g(x)=e2-到+2=2-2+2=2，定义域为(1，+o). 易知gx=2为单调递增函数，且定义域为1，+o0), 故由gx2+mx-2m）≥g(2x), x2+mx-2m>1 可得 2x>1 x2+mx-2m≥2x 其中若2x>1与x2+mx-2m≥2x成立，则x2+mx-2m>1成立， 2x>1 因此解 即可， x2+mx-2m≥2x 而x2+mx-2m≥2x可整理为x+m)(x-2)≥0， 1 x>- 因此即解 2 (x+m)x-2)≥0 @若-m≤分，即m之弓时，可解得22，即x2.m: 1 1 ②若二<-m≤2，即-2≤m<-二时，可解得二<x≤-m或x≥2， 即xeGm2,+o: ⑧若-m>2,即m<-2时，可解得}<x≤2或x之-m, 即xe52-m+e】 综上所运，当m<-2,e公2-m+月 当-2≤m<-时，x行m小川2+o月 当m2-7时，x∈[2，+0)· 2 19.(1)单调递减区间为-0,0)，单调递增区间为0，+0）. (2)（-o,] (3)证明见解析 【详解】(1)当a=l时，f(x=xe-e,f'(x)=xe*, 所以当x∈-o0,0)时，x)<0;当x∈(0，+o)时，f(x)>0. 所以函数fx)的单调递减区间为-o,0),单调递增区间为0，+0）. (2)因为x>0,所以当a≤1时，f(x)≥xe-e,由(1)知f(x)>f(0)=-1, 当a>1时，f(x)=(x+1)e-ae“=e'(x+l-aea-r） 又当x∈(0，a-l1时，x+1<a-1+1=a,ae-r>a, 所以x+1<aea-r,即x)<0.所以f(x在区间(0，a-1单调递减， 所以f(a-1)<f(0)=-1,不符合题意.综上，a的取值范围是(-o∞，1. (3)由(1)知，当a=1时，函数f(x)在区间(0，+o）单调递增， 所以当x∈(0，+o)时，f(x)>f(0)=-1, 即xe*-c>-1,所以当x∈(0,1)时，e<,1 1-x 当。卫1，则有<n0=1+”7 1-n3”-n3"-n 3”-n· 3 令h(x)=e-x,求导得h'(x)=e4-l,当x<1时，h'(x)<0: 当x>1时，h'(x)>0,所以h(x)=e-x≥h(1=e-1=0, 所以e1≥x,所以3-1≥e≥n,所以，” n -<n 3”-n23-1+3--n2-3· 所以e°<1+，”≤1+，n 3”-n12.30·记0n2.307 wa*a++a号-新3+宁别2 8 12 所以e+e+…+e<n+2·综上，原不等式成立.