吉林省四平市2025-2026学年高一数学下学期期末试卷（人教A版必修第二册）

**基本信息** 高一下学期期末数学原创试卷，全面覆盖人教A版必修2知识，通过蚂蚁爬行（立体几何）、环保竞赛抽样（统计）等真实情境，考查空间观念、数据观念与创新意识，适配期末综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数运算、向量共线、立体几何位置关系|结合分位数计算（70%分位数）、圆锥侧面最短路径（蚂蚁爬行）| |填空题|3题15分|向量坐标运算、正四棱台体积|融入平面向量线性表示（2OA+3OB=OP）| |解答题|5题77分|立体几何证明与二面角、统计频率分布直方图、新定义平均向量|设计分层抽样方差计算（初中组40人/高中组20人）、二面角余弦值求解、平均向量几何/算数模长探究|

高一下学期期末数学试卷 应用场景：高一下学期期末综合检测（人教A版必修2全册） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （原创）1.若复数满足= 1 + 2(其中是虚数单位) ，则= A. B. C. D. （原创）2.某班级10名学生的数学测验成绩（单位：分）为：72, 78, 80, 90, 75, 82, 95, 85, 88, 92，则这组数据的70%分位数是（ ） A. 85 B. 86.5 C. 88 D. 89 （原创）3.已知，为两个不共线的向量，设，下列说法错误的是 A.若在线段上，则：=：. B.若三点共线，则点在线段或的延长线上的充要条件是. C.若点位于△的内部，则. D.若三点共线，则的最小值为. （原创）4.已知为空间中两条不同的直线，为两个不重合的平面，则下列说法正确的是 A.若，，，则 B.若，，则 C.若，，，则 D.若，，，则 （原创）5.如图，一只每秒钟爬行1cm的蚂蚁在母线长为2cm的圆锥表面从底面圆上一点开始爬行，沿最短路径在圆锥的侧面爬行一周后回到点，总用时2秒，则此圆锥的表面积为 A.c B.c C.c D.c （原创）6.从学校初中组40人、高中组20人中，按照分层随机抽样的方法从两组共抽取6人参加“绿色校园”环保知识竞赛。已知初中组抽取成员答对题目数的平均数为2，方差为1；高中组抽取成员答对题目数的平均数为5，方差为1，则这6人答对题目数的方差为 A.3.0 B.2.5 C.3.5 D.4.0 （原创）7.甲、乙两人先后投掷一枚骰子（六个面分别标有16六个数字，抛掷后，以向上一面的点数为准），记甲所得点数为，记事件：“9”，事件：“”，则下列说法错误的是 A. B. C. D.事件与事件相互独立 （原创）8.如图所示，圆锥的底面圆半径为，母线长为，为圆的直径.已知点为圆锥侧面上一点，点在圆锥的底面的投影点为，且2，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. （原创）9.已知复数，，则 A.复数在复平面上对应的点位于正半轴上 B复数的虚部为. C.复数的实部为. D.1. （原创）10.正多边形是数学中十分优美的平面几何图形，如图123所示的是正六边形、正八边形、正十边形三个边数为偶数的正多边形.已知（1，2，3，4，5，6），几何中心为点，下列说法正确的是 图1 图2 图3 A.++2. B.+++++. C.++++. D.4. （原创）11.已知直四棱柱的棱长均为2，=，点为侧面上的动 点（包含边界），下列说法正确的是 A.若平面，则的最小值为2. B.若 =，则点的轨迹长度为. C.已知点不在线段上，直四棱柱被所截，截面图形有三 角形、平行四边形和梯形三种. D.已知点不在线段上，直四棱柱被所截，当截面图形的 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. （原创）12.在平面直角坐标系中，已知，为坐标原点，为平面上一点，满足 2 3，则点的坐标为 . （原创）13.已知正四棱台的侧棱长为1，上下底面的面积之比为1：4，若平面与平面的交线被正四棱台所截得的线段长为，则该四棱台的体积为 . （原创）14.在△中，已知 ，分别为线段上的点，且于点，交于点. 若，则 = . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （原创）15.（13分） 如图，圆锥的底面圆半径为2，高为4，为圆的直径，为的中点，为圆的点， ，且. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的正弦值. （原创）16.（15分） 已知△中，角所对应的边分别为，，，且. （1）若，求； （2）若，求△的面积的最大值. （原创）17.（15分） 已知某中学高一年级进行了一次化学周测，为了解本次周测的情况，在整个年级中随机抽取了400名学生的化学周测成绩，将成绩分为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，共5组，得到如图所示的频率分布直方图，回答下列问题 （1）在样本中，采用等比例分层抽样的方法从成绩在[60,100)内的学生中抽取11名，则成绩在[80,100]的同学有几个？ （2）根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数； （3）新高考制度下，化学学科成绩采用赋分制，机制如下： 根据原始得分在全体考生中的排名，按下表划定等级 等级 （0%—16%） （17%—50%） （51%—85%） （86%—98%） （99%—100%） 赋分 86—100 71—85 56—70 41—55 30—40 （注：（0%—16%）表示当学生的原始得分排名在前0%—16%时，划为等级，赋分区间为[86,100]） 根据上表信息，试通过计算估计：原始得分在的学生的赋分等级是中的哪一个等级 （原创）18.（17分） 如图，在直三棱柱中，△是边长为4的等边三角形，，为棱的中点，为棱上的动点. （1）证明：三棱锥的体积为定值； （2）当点运动到棱上的中点时，求二面角的余弦值； （3）若过点作平面的垂线段，垂足为，当点从点运动到点时，求点的轨迹长度. （原创）19.（17分） 对于一组平面向量，记向量 则称向量为向量组的平均向量，称为向量组的几何平均模长，并称 为向量组的算数平均模长. （1）设，求向量组的几何平均模长和算数平均模长； （2）设 ，记 ， ，求向量组的平均向量的坐标； 参考公式： ， （3）已知一组平面向量满足：， ， ，且 ），求向量组 的几何平均模长（结果可以不进行化简）. 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 难度系数 考察知识点 1 单选题 5 0.94 求复数的模，复数的乘法运算 2 单选题 5 0.94 总体百分位数的估计 3 单选题 5 0.85 向量共线定理、基本不等式 4 单选题 5 0.85 面面关系有关命题的判断、判断面面平行 5 单选题 5 0.85 圆锥的侧面展开图、圆锥表面积的计算 6 单选题 5 0.94 估计总体的方差、标准差 7 单选题 5 0.85 独立事件的乘法公式、独立事件的判断、计算古典概型问题的概率 8 单选题 5 0.4 多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 9 多选题 6 0.94 复数的四则运算，复数与复平面上对应的点的对应关系，复数的模的计算 10 多选题 6 0.85 平面向量的加法运算、数量积运算，向量的平行、和角正余弦和二倍角公式 11 多选题 6 0.65 判断正方体的截面形状，线面平行的性质定理、立体几何动点轨迹问题 12 填空题 5 0.94 平面向量线性运算的坐标表示，向量的加法与减法 13 填空题 5 0.85 棱台体积的有关计算，平面的交线问题 14 填空题 5 0.65 解三角形、二倍角、和角的正切公式、三角形面积的计算、角平分线的性质 15 解答题 13 0.85 证明线面平行、异面直线所成角的正弦值的计算 16 解答题 15 0.65 运用正余弦定理解三角形，三角形的面积最值问题 17 解答题 15 0.85 抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计平均数、总体百分位数的估计 18 解答题 17 0.65 求二面角的余弦值、三棱锥体积的计算、立体几何动点轨迹问题 19 解答题 17 0.4 向量新定义，向量运算的坐标表示，向量数量积的定义及有关计算，向量的夹角 $ 高一数学下学期期末试卷答案与解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （原创）1.若复数满足= 1 + 2(其中是虚数单位) ，则= A. B. C. D. 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求复数的模，复数的乘法运算 【分析】先把分母乘到等式右边，求出，再由模长的定义计算 【详解】因为= 1 + 2，由此可得= (1 + 2) () + 2 = 5 + ，所以= 故选B. （原创）2.某班级10名学生的数学测验成绩（单位：分）为：72, 78, 80, 90, 75, 82, 95, 85, 88, 92，则这组数据的70%分位数是（ ） A. 85 B. 86.5 C. 88 D. 89 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】先将这组数据按从小到大的顺序排列，再计算70%分位数 【详解】将这组数据按从小到大的顺序排列得72, 75, 78, 80, 82, 85, 88, 90, 92, 95 由题知该组数据有10个，10 70% = 7，第7个和第8个数分别为88、90，则它们的平均数为89，所以这组数据的70%分位数是89，故答案为D. （原创）3.已知，为两个不共线的向量，设，下列说法错误的是 A.若在线段上，则：=：. B.若三点共线，则点在线段或的延长线上的充要条件是. C.若点位于△的内部，则. D.若三点共线，则的最小值为. 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】向量共线定理、基本不等式 【分析】充分利用已知结论向量共线定理来逐一推断各选项 【详解】 对于选项A，若在线段上，根据，且均大于0可得，：=：，故A正确 对于选项B，若三点共线，则有， 则 又因为，所以， 同理 又因为，所以 所以若，则要么，要么。若在的延长线上；若，则在的延长线上。故能推出在线段或的延长线上，充分性得证 同理若在线段或的延长线上，则一定有或，即，必要性得证 所以点在线段或的延长线上的充要条件是，B正确 对于选项C，若点位于△的内部，则可以连接并延长并与交于点， 设，因为三点共线，所以设，所以 ，又，所以 所以，故C正确 对于选项D，由向量共线定理可知，，则 3 + 2，但此不等式仅在都为正数时成立，但由B选项得出的结论知，可能小于0，则一定不是其最小值，故D错误. 故答案为D. （原创）4.已知为空间中两条不同的直线，为两个不重合的平面，则下列说法正确的是 A.若，，，则 B.若，，则 C.若，，，则 D.若，，，则 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】面面关系有关命题的判断、判断面面平行 【分析】根据空间中线面之间的位置关系，判断面面平行，逐个选项判断是否正确 【详解】 A.如图，若相交，且都平行于交线时，满足，但不平行于 B.可能也在上，故B错误 C.因为，，所以，又因为，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则，故C正确 D.如图，若相交，且都平行于交线时，满足，但不平行于 （原创）5.如图，一只每秒钟爬行1cm的蚂蚁在母线长为2cm的圆锥表面从底面圆上一点开始爬行，沿最短路径在圆锥的侧面爬行一周后回到点，所用时间为2秒，则此圆锥的表面积为 A.c B.c C.c D.c 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】圆锥的侧面展开图、圆锥表面积的计算 【分析】画出圆锥的侧面展开图，分析出最短路径，求出底面圆的半径，进而计算表面积 【详解】如图所示，将圆锥的侧面沿母线展开，得到一个扇形，则蚂蚁爬行的最短路径为线段的长度，由题目条件易得cm，扇形的半径为母线长2cm，因此圆锥侧面展开图扇形的圆心角为120度，所以该扇形的弧长为cm，即底面圆的周长为cm，求得底面圆半径为cm，所以此圆锥的表面积为侧面积加上底面积，侧面积为c，底面积为c，表面积为c，故选B. （原创）6.从学校初中组40人、高中组20人中，按照分层随机抽样的方法从两组共抽取6人参加“绿色校园”环保知识竞赛。已知初中组抽取成员答对题目数的平均数为2，方差为1；高中组抽取成员答对题目数的平均数为5，方差为1，则这6人答对题目数的方差为 A.3.0 B.2.5 C.3.5 D.4.0 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】估计总体的方差、标准差 【分析】先求得整体平均数，然后根据总方差的计算公式求得正确答案 【详解】采用分层抽样，则初中组和高中组抽取的人数分别为4和2， 则整体平均数为 故这6人答对题目数的方差为 3.0 故答案为A. （原创）7.甲、乙两人先后投掷一枚骰子（六个面分别标有16六个数字，抛掷后，以向上一面的点数为准），记甲所得点数为，记事件：“9”，事件：“”，则下列说法错误的是 A. B. C. D.事件与事件相互独立 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的判断、计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概型的概率计算方法，通过枚举法找出所有的样本点计算概率 【详解】先计算事件发生的概率，甲、乙两人先后投掷一枚骰子，那么一共有6 种可能的结果，符合事件的样本点为： 、， 所以 ，故A正确 事件：“”包含的样本点为： ， 所以 ，故B正确 ，故C正确 ，所以事件与事件不相互独立，故D错误 故答案为D. （原创）8.如图所示，圆锥的底面圆半径为，母线长为，为圆的直径.已知点为圆锥侧面上一点，点在圆锥的底面的投影点为，且2，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为 A. B. C. D. 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】找到三棱柱的外接球球心位置，分析半径的最小值即可 【详解】 图1 如图1，连接并延长，与底面圆交于点，连接，则过点，因为2，且，则 ，因此可知点为的中点，则 设 ，则由正弦定理，△的外接圆半径满足2 设△的外接圆圆心为，则 ，过点作平面的垂线 取的中点为，过点作的垂线，垂足为，即为三棱锥的外接球球心 设外接球半径为，则 因此，当三棱锥的外接球的表面积取得最小值时，取得最大值，取得最大值，为钝角，则取最小的钝角， 如图2，下面来看何时取最小 1 1 图2 在△中，为△的中线，则 且由余弦定理可得 所以 因此 ，所以 则 这表明恒为钝角，且当取得最大值时，最大，最小， 取得最大，进而外接球半径最小，由基本不等式可知， 当且仅当时等号成立，此时，△恰好为等腰三角形， ，则三棱锥的外接球的表面积为 ，故答案为A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. （原创）9.已知复数，( ，且不全为0)，则 A.复数在复平面上对应的点位于正半轴上 B复数的虚部为. C.复数的实部为. D.1. 【答案】AD 【难度】0.94 【知识点】复数的四则运算，复数与复平面上对应的点的对应关系，复数的模的计算 【分析】利用复数乘法和除法的运算规则和模长的定义，逐一判断各选项 【详解】 () () ，虚部为，在复平面上对应的点位于正半轴上， 故B错误，A正确 ，所以的实部为，故C错误 1，故D正确 故答案为AD. （原创）10.正多边形是数学中十分优美的平面几何图形，如图123所示的是正六边形、正八边形、正十边形三个边数为偶数的正多边形.已知（1，2，3，4，5，6），几何中心为点，下列说法正确的是 图1 图2 图3 A.++2. B.+++++. C.++++. D.4. 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】平面向量的加法运算、数量积运算，向量的平行、和角正余弦和二倍角公式 【分析】利用正多边形的几何性质和向量数量积的定义进行计算，逐一验证后可得正确选项。 【详解】 A. ， 所以++4，故A错误 B.由正六边形的对称性知，结论显然成立，B正确 C.由正十边形的对称性知++、+、+的终点都落在直线上，故这些向量都平行，C正确 D. 如图，设为与的交点，由正八边形的性质知， 因为 1 1 所以 ， 所以 () () 再由余弦定理，， 4 + 4 8 8 ， 因此 ()，故D正确 故答案为BCD. （原创）11.已知直四棱柱的棱长均为2，=，点为侧面上的动点（包含边界），下列说法正确的是 A.若平面，则的最小值为2. B.若 =，则点的轨迹长度为. C.已知点不在线段上，直四棱柱被所截，截面图形有三 角形、平行四边形和梯形三种. D.已知点不在线段上，直四棱柱被所截，当截面图形的 面积为时，的最小值为. 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状，线面平行的性质定理、立体几何动点轨迹问题 【分析】找到满足条件的动点轨迹即可 【详解】A.作出平面的平行平面，平面与侧面的交线为，则 点的轨迹为线段，当时，有最小值，故错误 B.若 = ，点一定在以点为球心，为半径的球面，又因为在侧面上的，记为的中点，易知侧面，即到侧面的距离为，由勾股定理可求得 =，则以为为半径的，如图1，作出侧面，则点的轨迹长度为，故正确 C. 如图2，直四棱柱被所截，截面图形有三 角形、平行四边形和梯形三种，故正确 D.以正方形的对角线为分界线，若点在对角线及其上方区域，所得截面为三角形，我们将延长与棱相交于点，则截面三角形为，点由移动到的过程中，△的面积逐渐增大（范围是，显然不可能满足题意），若点在对角线下方区域，所得截面为梯形或平行四边形，我们将延长与棱相交于点，并过点，则截面四边形为，设，则，，，，四边形面积的函数解析式为 ，令 ，解得，则点的轨迹是当作为的中点时对应的线段，当时，有最小值为，故正确 图1 图2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. （原创）12.在平面直角坐标系中，已知，为坐标原点，为平面上一点，满足 2 3，则点的坐标为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示，向量的加法与减法 【分析】先求的坐标，再求的坐标，即为点的坐标 【详解】2 3， （原创）13.已知正四棱台的侧棱长为1，上下底面的面积之比为1：4，若平面与平面的交线被正四棱台所截得的线段长为，则该四棱台的体积为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】棱台体积的有关计算，平面的交线问题 【分析】先找到交线，再利用等腰梯形的几何关系求出四棱台上下底面的边长，再求出高，进而利用棱台的体积公式求体积 【详解】如图所示，作出正四棱台 设为平面与平面的交线，则由题目条件， ，因为四棱台上下底面的面积之比为1：4，所以上下底面的边长之比为1：2，设上底面的边长为，则下底面的边长为2，而由，，则有 ，解得， 且可以求得四棱台的高为 故四棱台的体积为() = （原创）14.在△中，已知 ，分别为线段上的点，且于点，交于点. 若，则 = . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解三角形、二倍角、和角的正切公式、三角形面积的计算、角平分线的性质 【分析】本题利用了角平分线的性质，将面积之比转化为线段长之比，简化了计算，要充分挖掘本题中的几何关系，即可求解 【详解】如图所示，设，则易得， 所以 ，由 ，可得 ，所以 ， 因为 ， 所以 即 ，而 2 所以 2 ， ，所以 所以 所以 因为 所以 () 1，解得 ，则 ， 所以， 则 所以 = 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （原创）15.（13分）如图，圆锥的底面圆半径为2，高为4，为圆的直径，为的中点，为圆的点， ，且. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2） 【难度】0.85 【知识点】证明线面平行、异面直线所成角的正弦值的计算 【分析】第一问找出平面中与平行的直线，即可证明；第二问将两条异面直线平移，使其具有一个公共点，然后运用正弦定理在三角形中求所成角的正弦值 【详解】 （1）设为的中点，连接， 因为为的中点，所以，且 ····································（2分） 又因为 ，且··················································································（3分） 所以 ， ···················································································（4分） 所以四边形是平行四边形，所以·················································（5分） 又因为平面，所以平面······················································（6分） （2） 因为圆锥的高为，则 ， ，·······································（8分） 所以 ········································································（9分） 所以在△中，由正弦定理得···········································（11分） 所以 ·················································（12分） 故异面直线与所成角的正弦值为.························································（13分） （原创）16.（15分）已知△中，角所对应的边分别为，，，且. （1）若，求； （2）若，求△的面积的最大值. 【答案】（1）（2） 【难度】0.65 【知识点】运用正余弦定理解三角形，三角形的面积最值问题 【分析】运用正余弦定理解三角形、三角形的内切圆半径与面积的转化关系即可求解 【详解】 （1）在△中，由正弦定理得 ····························································（1分） ∴ ∵ ∴ 2 ( ∴ ··························································································（2分） 等式两边同时平方得 ，又有1 ∴3 ··············································································（4分） 解得 ，则= ························································································（6分） （2）∵ ∴( ( ∴ ++·····························································（8分） ∴ ····································································································（9分） 设，则 ················································································（11分） 在△中，由余弦定理得 ······················（13分） 则 ····································································································（14分） ∴ 所以△的面积的最大值为···········································································（15分） （原创）17.（15分） 已知某中学高一年级进行了一次化学周测，为了解本次周测的情况，在整个年级中随机抽取了400名学生的化学周测成绩，将成绩分为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，共5组，得到如图所示的频率分布直方图，回答下列问题 （1）在样本中，采用等比例分层抽样的方法从成绩在[60,100)内的学生中抽取11名，则成绩在[80,100]的同学有几个？ （2）根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数； （3）新高考制度下，化学学科成绩采用赋分制，机制如下： 根据原始得分在全体考生中的排名，按下表划定等级 等级 （0%—16%） （17%—50%） （51%—85%） （86%—98%） （99%—100%） 赋分 86—100 71—85 56—70 41—55 30—40 （注：（0%—16%）表示当学生的原始得分排名在前0%—16%时，划为等级，赋分区间为[86,100]） 根据上表信息，试通过计算估计：原始得分在的学生的赋分等级是中的哪一个等级 【答案】（1）2（2）众数为70，平均数为 （3）见解析 【难度】0.85 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计平均数、总体百分位数的估计 【分析】 （1）根据频率分布直方图的性质，求出参数，根据分层抽样的规则，计算抽取人数 （2）根据频率分布直方图估计平均分和众数的方法，计算总体的平均数和众数 （3）求出所给分数区间对应的百分位数范围即可判断对应等级 【详解】（1）由性质知，(20.004+0.010+0.014+)，故 0.018 采取分层抽样，[80,100]的同学个数为：11 2 ·································（3分） （2）由频率分布直方图可知，众数为：70···························································（5分） 平均数为：100.004300.010 ·····························································································································（8分） （3） 原始得分在[80,100]的频率为0.004··························································（9分） 原始得分在[75,80]的频率为0.36······················································（10分） 原始得分在[60,75]的频率为 ························································（11分） 原始得分在[56,60]的频率为0.28·····················································（12分） 因此原始得分在[56,75]的频率为，······························································（13分） 当原始得分为75时，对应的排名为第前17%名； 当原始得分为65时，对应的排名为第前49.6%名，这符合等级的条件，故原始得分在的学生的赋分等级是等级. ········································································（15分） （原创）18.（17分） 如图，在直三棱柱中，△是边长为4的等边三角形，，为棱的中点，为棱上的动点. （1）证明：三棱锥的体积为定值； （2）当点运动到棱上的中点时，求二面角的余弦值； （3）若过点作平面的垂线段，垂足为，当点从点运动到点时，求点的轨迹长度. 【答案】（1）证明见解析（2）（3） 【知识点】求二面角的余弦值、三棱锥体积的计算、立体几何动点轨迹问题 【难度】0.65 【分析】利用等体积法证明体积为定值，找出二面角的平面角，找出动点满足的特征，画出轨迹即可求解 【详解】 （1）由题目条件，，，所以△的面积 4·······（1分） 由等体积法可知， 又因为为棱上的动点，且平面 所以 过点作于点，因为平面 所以，所以平面 ································································（2分） 故 ······························································································（3分） 因此 ，体积为定值······························（4分） （2）当点运动到棱上的中点时，有·················································（5分） 因为 ，， 所以，即△为等腰三角形··································································（6分） 设为的中点，则 ，又因为 ，所以二面角的平面角为 ··················································································································（7分） 因为 ，所以 ·····························································（9分） 所以 ，故二面角的余弦值为···················（10分） （3）如图1，连接，因为， 所以平面 ··························································································（11分） 又因为平面，所以平面平面 ··········································（12分） 因为平面平面 所以过作的垂线，则根据面面垂直的性质定理可知，垂直于平面·······（13分） 故为平面的垂线，与的交点即为题目所述的点 因为 ，且 则设的中点为，，·················································································（14分） 这表明，点的轨迹为平面上的一段圆弧，如图2所示 因为， ，所以 ，所以△为等边三角形，则 所以点的轨迹长度为·······················································································（17分） 图1 图2 （原创）19.（17分） 对于一组平面向量，记向量 则称向量为向量组的平均向量，称为向量组的几何平均模长，并称 为向量组的算数平均模长. （1）设，求向量组的几何平均模长和算数平均模长； （2）设 ，记 ， ，求向量组的平均向量的坐标； 参考公式： ， （3）已知一组平面向量满足：， ， ，且 ），求向量组 的几何平均模长（结果可以不进行化简）. 【答案】（1）几何平均模长为，算数平均模长为 （2）( （3） 【难度】0.4 【知识点】向量新定义，向量运算的坐标表示，向量数量积的定义及有关计算，向量的夹角 【分析】 （1）根据几何平均模长和算数平均模长的定义，完成计算 （2）根据与之间的关系，求出的坐标表达式，进而得到的坐标表达式 根据平均向量的定义求向量组的平均向量的坐标 （3）找出的规律即可，再根据几何平均模长的定义完成计算 【详解】 （1）由题知，，， ，，， 所以向量组的平均向量为，几何平均模长为，算数平均模长为 ··································································································································（3分） （2）∵ ∴ ······································································································（4分） ∴ 由此，可以得到 2 以上式子累加可得 ···························································（5分） ∵，即 ∴ ∴ ································································································（6分） ∴ ( ···································································（8分） ( ( ( 所以向量组的平均向量的坐标为(··························（9分） （3）∵ ∴ 所以由向量数量积的定义可得 ∴，即································································（10分） 如图所示，设 ∵ ，记△的边上的高为 ∴·············································································（11分） 由此作出，并可得到以下规律 ，··········································（12分） 向量组的平均向量为 几何平均模长 ∵ ∴ ·······································································（14分） ∵ 下面只需讨论的大小： 不难看出， ， ， ， ， ， ， ， ， . ∴ +1011 (1012 ·····························（16分） ∴ ∴ ∴向量组的几何平均模长 ·························（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $