精品解析：黑龙江省大庆市第五十七中学2025-2026学年九年级下学期5月期中数学试题

九年级数学学科练习题 一、单选题（共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 3 D. 2. 据报道，年我国南方电网“西电东送”送电量超过亿千瓦时，其中亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，其中是轴对称图形的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列调查方式合适的是（　　） A. 为了了解市民对70周年国庆大阅兵的感受，小华在某校随机采访了8名初一学生 B. 为了了解全校学生用于做数学作业的时间，小民同学在网上向6位好友做了调查 C. 为了了解全国青少年儿童的睡眠时间，统计人员采用了普查的方式 D. 为了了解“北斗导航”卫星零部件的状况，检测人员采用了普查的方式 6. 今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何?（选自《四元玉鉴》）题目大意：现在有绫和罗一共3丈（1丈尺），它们各自的价值都是896文钱．已知绫和罗各1尺总共值120文钱，问绫和罗每尺的价值各多少钱?设绫布有尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 8. 如图，是⊙O的直径，点是的中点，弦与交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的对角线相交于点O，点P为线段中点，连接并延长交于点E，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，四边形是平行四边形，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，当点运动到的中点处时，的面积为（　　） A. 48 B. 40 C. 24 D. 30 二、填空题（共24分） 11. 分解因式：______． 12. 函数中自变量x的取值范围是__． 13. 现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，3，5的卡片在甲手中，标有数字2，4，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙出的卡片数字大的概率是_______． 14. 如图，摆放着正六边形和正三角形，，则____________． 15. 如图，直线与x轴交于点A，以为斜边在x轴上方作等腰直角三角形，将沿y轴向下平移，当点B落在直线上时，平移后A点坐标为____． 16. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的侧面积为__________ ． 17. 如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2026个白色纸片，则n的值为__________. 18. 如，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素.集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）.若集合，我们说.已知集合，集合，若，则的值是__________. 三、解答题（共66分） 19. 计算：． 20. 先化简,再求代数式的值，其中． 21. 某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元． （1）该商场两次共购进这种运动服多少套？ （2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于，那么每套售价至少是多少元？ 22. 为促进同学间交流，丰富校园文化生活，增强班级团队意识和凝聚力．某校七年级将在操场上举办“绑腿跑”趣味运动比赛（每班有5名队员排成一列，每相邻两队员的相邻腿用绑腿带绑在一起，立于起跑线后，队员通过协调配合在跑道上共同行进）．为做准备，七（1）班选拔了15名学生参加训练，并将15名学生的身高（单位：）数据统计如下： 162，163，163，165，166，166，166，167，167，168，169，169，171，173，176， （1）15名学生的身高数据如下表： 平均数 中位数 众数 167.4 m n 根据信息填空：_____，______； （2）在训练中，将15名学生分成三组进行练习，发现：对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则该组学生获胜概率越大．据此推断：在下列两组学生中，获胜概率大的是_____；（填“甲组”或“乙组”）； 甲组学生的身高 163 166 166 167 167 乙组学生的身高 162 163 165 166 176 （3）根据安排，剩下的同学组成丙组．从丙组同学中，随机抽取两人担任引导员，请利用树状图或列表，求恰好抽到两名引导员身高相同的概率． 23. 开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m．参考数据：，，）． 24. 在中学生劳动课教育中，学校开展了手工制品售卖实践活动．某班级同学负责售卖甲、乙两种手工艺品，已知上午售出3件甲种手工艺品和4件乙种手工艺品，共获得利润90元；下午售出3件甲种手工艺品和5件乙种手工艺品，共获得利润105元． （1）求甲种手工艺品和乙种手工艺品每件的销售利润． （2）该班级计划一次性购进这两种手工艺品共120件用于售卖，其中甲种手工艺品的进货量不低于乙种手工艺品进货量的，请你帮该班级设计一种销售总利润最大的进货方案，并求出总利润的最大值． 25. 如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求和的长． 26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积； （3）点P在y轴上，满足是以为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 27. 如图，在中，以为直径的交于点D，点E是上一点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 28. 如图，抛物线与直线交于点和点，与x轴的正半轴交于点B． （1）求抛物线和直线的解析式； （2）点D是直线上一点，轴，点E在点D的左侧，，若与抛物线只有一个交点，请直接写出点D的横坐标的取值范围； （3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科练习题 一、单选题（共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数．根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2. 据报道，年我国南方电网“西电东送”送电量超过亿千瓦时，其中亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，只需根据科学记数法的定义确定和的值即可，科学记数法的表示形式为，要求，为整数． 【详解】解：∵亿 ，根据科学记数法对的要求，可得， ∵等于原数的整数位数减，原数整数位数为， ∴， ∴亿用科学记数法表示为， 故选：B． 3. 如图，其中是轴对称图形的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称的定义判断即可． 【详解】解：观察可知，第一个，第二个是轴对称图形． 即上图中，轴对称图形有2个， 故选B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 4. 四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图的知识，直接从上往下看，看到平面图形就是俯视图，选择正确选项即可． 【详解】解：俯视图有3列1行，从左到右小正方形的个数是1，1，1， 故选：A． 5. 下列调查方式合适的是（　　） A. 为了了解市民对70周年国庆大阅兵的感受，小华在某校随机采访了8名初一学生 B. 为了了解全校学生用于做数学作业的时间，小民同学在网上向6位好友做了调查 C. 为了了解全国青少年儿童的睡眠时间，统计人员采用了普查的方式 D. 为了了解“北斗导航”卫星零部件的状况，检测人员采用了普查的方式 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查，根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【详解】解：A、为了了解市民对70周年国庆大阅兵的感受，小华在某校随机采访了8名初一学生，8名初一学生不具有代表性，调查方式不合适； B、为了了解全校学生用于做数学作业的时间，小民同学在网上向6位好友做了调查，小民的6位好友不具有代表性，调查方式不合适； C、为了了解全国青少年儿童的睡眠时间，统计人员采用了普查的方式，普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，调查方式不合适； D、为了了解“北斗导航”卫星零部件的状况，检测人员采用了普查的方式，调查方式合适； 故选：D． 6. 今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何?（选自《四元玉鉴》）题目大意：现在有绫和罗一共3丈（1丈尺），它们各自的价值都是896文钱．已知绫和罗各1尺总共值120文钱，问绫和罗每尺的价值各多少钱?设绫布有尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：罗布一尺的价值绫布一尺的价值文，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设绫布有x尺， 则根据题意可列方程为：， 故选：C． 7. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式解题． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 8. 如图，是⊙O的直径，点是的中点，弦与交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，弧、弦、圆心角之间的关系，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 先根据直径所对的圆周角是直角得，再根据弧，弦之间的关系得，可得，最后根据三角形外角的性质得出答案． 【详解】连接， ∵是的直径， ∴． ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． 故选：B． 9. 如图，正方形的对角线相交于点O，点P为线段中点，连接并延长交于点E，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据正方形的性质求得，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， 设， ∵点P为线段中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 10. 如图1，四边形是平行四边形，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，当点运动到的中点处时，的面积为（　　） A. 48 B. 40 C. 24 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是理解并读懂函数图象各个点的实际意义． 图1和图2中的点对应：点对点，点对点，点对点，根据点运动的路程为，线段的长为，依次解出，即点的横坐标，，即点的纵坐标，然后利用勾股定理求出高，再由三角形中线等分面积即可求解． 【详解】解：在图1中，作，垂足为， 在图2中，取，， 当点从点到点时，对应图2中线段，得， 当点从到时，对应图2中曲线从点到点，得， 解得， 当点到点时，对应图2中到达点，得， 在中，，，， ∴， 由勾股定理得， 当点运动到的中点处时，， 故选：C． 二、填空题（共24分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 函数中自变量x的取值范围是__． 【答案】x≠3 【解析】 【详解】根据题意得x﹣3≠0， 解得x≠3． 故答案为x≠3． 13. 现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，3，5的卡片在甲手中，标有数字2，4，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙出的卡片数字大的概率是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲出的卡片数字比乙的卡片数字大的结果数有3种， ∴甲出的卡片数字比乙大的概率是． 故答案为：． 14. 如图，摆放着正六边形和正三角形，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．接并延长，交于点，交于点，利用六边形是正六边形，得出，，是正六边形的对称轴，再得出，，结合平行可得，结合三角形是正三角形，求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点，交于点， ∵六边形是正六边形， ∴，，是正六边形的对称轴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵三角形是正三角形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，直线与x轴交于点A，以为斜边在x轴上方作等腰直角三角形，将沿y轴向下平移，当点B落在直线上时，平移后A点坐标为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形和平移的性质等知识点，能求出的坐标是解此题的关键． 根据等腰直角三角形的性质求得、的长度，即得点的坐标，表示出的坐标，代入函数解析式，即可求出答案． 【详解】解：当时，， 解得：， 即， ∴ 如图，过作于， 是以为斜边的等腰直角三角形， ， 即点的坐标是， 设平移的距离为， 则点的对应点的坐标为， 代入得：， 解得：， 即平移的距离是， ∵A点坐标为，沿y轴向下平移单位后， ∴ 平移后的'坐标为， 故答案为：． 16. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的侧面积为__________ ． 【答案】 【解析】 【详解】先求出圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，再利用弧长公式求得圆锥的母线长，进而根据扇形面积公式计算即可． 本题主要考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长，圆周长公式，扇形弧长公式，扇形面积公式，是解决问题的关键． 【解答】解：设该圆锥的母线长为l． 由题意，得． ∴（cm）， ∴． 故答案为：． 17. 如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2026个白色纸片，则n的值为__________. 【答案】675 【解析】 【分析】本题考查图形的变化，解一元一次方程，根据题目中的图形，可以发现白色纸片个数的变化规律，然后根据第n个图案中有2026张白色纸片，即可求得n的值． 【详解】解：由图可得， 第1个图案中白色纸片的个数为：， 第2个图案中白色纸片的个数为：， 第3个图案中白色纸片的个数为：， …， 第n个图案中白色纸片的个数为：， 令， 解得， 故答案为：675． 18. 如，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素.集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）.若集合，我们说.已知集合，集合，若，则的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题以集合为背景考查了代数式求值，根据集合的定义和集合相等的条件即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，，或，，， ∴（舍去）或， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】先算立方根，零指数幂，化简绝对值及乘方，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 20. 先化简,再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先将分式进行因式分解把除法变乘法后约分，再通分合并，化为最简分式，利用特殊三角函数值求出x，再把x的值化简代入得出答案． 【详解】解:原式 当 原式 【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，因式分解，通分与约分，特殊角三角函数值，二次根式化简，正确掌握上述知识、准确计算是解题关键． 21. 某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元． （1）该商场两次共购进这种运动服多少套？ （2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于，那么每套售价至少是多少元？ 【答案】（1）600套 （2）200元 【解析】 【分析】此题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量及不等关系，正确列方程和不等式求解． （1）设商场第一次购进x套运动服，根据“第二批所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元”即可列方程求解； （2）设每套运动服的售价为y元，根据“这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于200”即可列不等式求解． 【小问1详解】 解：设商场第一次购进x套运动服， 由题意得 解得， 经检验，是所列方程的根， ∴． 答：商场两次共购进这种运动服600套； 【小问2详解】 解：设每套运动服的售价为y元， 由题意得， 解得， 答：每套运动服的售价至少是200元． 22. 为促进同学间交流，丰富校园文化生活，增强班级团队意识和凝聚力．某校七年级将在操场上举办“绑腿跑”趣味运动比赛（每班有5名队员排成一列，每相邻两队员的相邻腿用绑腿带绑在一起，立于起跑线后，队员通过协调配合在跑道上共同行进）．为做准备，七（1）班选拔了15名学生参加训练，并将15名学生的身高（单位：）数据统计如下： 162，163，163，165，166，166，166，167，167，168，169，169，171，173，176， （1）15名学生的身高数据如下表： 平均数 中位数 众数 167.4 m n 根据信息填空：_____，______； （2）在训练中，将15名学生分成三组进行练习，发现：对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则该组学生获胜概率越大．据此推断：在下列两组学生中，获胜概率大的是_____；（填“甲组”或“乙组”）； 甲组学生的身高 163 166 166 167 167 乙组学生的身高 162 163 165 166 176 （3）根据安排，剩下的同学组成丙组．从丙组同学中，随机抽取两人担任引导员，请利用树状图或列表，求恰好抽到两名引导员身高相同的概率． 【答案】（1）167，166 （2）甲组 （3） 【解析】 【分析】本题考查平均数，中位数，众数，方差的确定或计算，用列表法或画树状图法求等可能事件的概率，掌握相关统计量的确定方法或计算公式，以及用列表法或画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键． （1）根据中位数和众数的确定方法即可得到m，n的值； （2）利用方差公式分别求出甲，乙两组的方差，再比较即可得到两组学生中，获胜机率大的组； （3）先确定丙组5人的身高，再利用列表法或画树状图法即可求出恰好抽到两名引导员身高相同的概率． 【小问1详解】 解：∵将15名学生的身高（单位：）数据由小到大排列第8个数据为中位数， ∴； ∵数据166出现3次，是出现次数最多的数据， ∴， 故答案为：167，166； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵，方差越小，学生获胜机率越大． ∴胜机率大的是甲组， 故答案为：甲组； 【小问3详解】 解：由已知15名学生的身高和甲组，乙组的身高，可得丙组学生的身高为：168，169，169，171，173， 列表如下： 168 169 169 171 173 168 - 169,168 169,168 171,168 173,168 169 168,169 - 169,169 171,169 173,169 169 168,169 169,169 - 171,169 173,169 171 168,171 169,171 169,171 - 173,171 173 168,173 169,173 169,173 171,173 - 一共有20种等可能的结果，其中恰好抽到两名引导员身高相同有2种可能的结果， ∴P（恰好抽到两名引导员身高相同）． 23. 开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m．参考数据：，，）． 【答案】拂云阁DC的高度约为32m 【解析】 【分析】延长交于点，则四边形是矩形，则，，在，中，分别表示出，根据，建立方程，解方程求解可得，根据即可求解． 【详解】如图，延长交于点，则四边形是矩形， 则，， 在中，， 在中，， ， 即， 解得， (m)． 拂云阁DC的高度约为32m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 24. 在中学生劳动课教育中，学校开展了手工制品售卖实践活动．某班级同学负责售卖甲、乙两种手工艺品，已知上午售出3件甲种手工艺品和4件乙种手工艺品，共获得利润90元；下午售出3件甲种手工艺品和5件乙种手工艺品，共获得利润105元． （1）求甲种手工艺品和乙种手工艺品每件的销售利润． （2）该班级计划一次性购进这两种手工艺品共120件用于售卖，其中甲种手工艺品的进货量不低于乙种手工艺品进货量的，请你帮该班级设计一种销售总利润最大的进货方案，并求出总利润的最大值． 【答案】（1）甲种手工艺品每件的销售利润为元，乙种手工艺品每件的销售利润为元 （2）甲种手工艺品购进件，则乙种手工艺品购进件，最大利润为：元. 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，不等式、一次函数的实际应用，涉及用一次函数和不等式求最值的问题，考查将实际问题转化为数学问题的抽象能力，以及基本运算能力、模型思想和应用意识． （1）设甲种手工艺品每件的销售利润为元，乙种手工艺品每件的销售利润为元，根据3件甲种手工艺品和4件乙种手工艺品，共获得利润90元； 3件甲种手工艺品和5件乙种手工艺品，共获得利润105元，再建立方程组求解即可； （2）设甲种手工艺品购进件，则乙种手工艺品购进件，总利润为元，可得，结合甲种手工艺品的进货量不低于乙种手工艺品进货量的，可得：，再结合一次函数的性质可得答案. 【小问1详解】 解：设甲种手工艺品每件的销售利润为元，乙种手工艺品每件的销售利润为元，则 ，解得：， 答：甲种手工艺品每件的销售利润为元，乙种手工艺品每件的销售利润为元. 【小问2详解】 解：设甲种手工艺品购进件，则乙种手工艺品购进件，总利润为元，则 ， ∵甲种手工艺品的进货量不低于乙种手工艺品进货量的， ∴， 解得：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，获得最大利润，最大利润为：（元）， 此时进货方案为：甲种手工艺品购进件，则乙种手工艺品购进件，最大利润为：元. 25. 如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求和的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）证为的中位线，则，再证四边形为平行四边形，然后根据，即可得出结论； （2）根据菱形的性质得到，，，根据直角三角形斜边中线的性质得到，根据矩形的性质得到，，，根据勾股定理求出，于是得到． 【小问1详解】 证明：∵四边形为菱形， ∴， ∵点E为中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，． ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为矩形； 【小问2详解】 ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点E为的中点，， ∴， 由（1）知，四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质、菱形的性质是解题的关键，属于中考常考题型． 26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积； （3）点P在y轴上，满足是以为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）一次函数为，反比例函数为； （2） （3）或； 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理、待定系数法求函数的解析式，求出函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）利用一次函数求得的坐标，利用反比例函数求得点的坐标，过点B作轴，交直线于点E，求出直线的解析式为，得到，然后利用三角形面积公式求得即可． （3）设，则，当时，，列方程并解得或，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与与反比例函数的图象交于点， ，， ， ， ∴一次函数为，反比例函数为； 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点， 当时，，当时，， ，， ∵点是反比例函数图象上一点， ， ， 过点B作轴，交直线于点E， 设直线的解析式为，把，代入得到 解得 ∴直线的解析式为， ∵点，轴， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴ ∴ ∴的面积． 【小问3详解】 解：设， ∵，， 则， 当时， 即，得到 解得：或， 故点P的坐标为或； 27. 如图，在中，以为直径的交于点D，点E是上一点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据是的直径，可得，再由圆周角定理可得，从而得到，即可求证； （2）根据圆周角定理可得，根据勾股定理可得，从而得到，然后在中，根据锐角三家函数，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ∴可设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 28. 如图，抛物线与直线交于点和点，与x轴的正半轴交于点B． （1）求抛物线和直线的解析式； （2）点D是直线上一点，轴，点E在点D的左侧，，若与抛物线只有一个交点，请直接写出点D的横坐标的取值范围； （3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合： （1）利用待定系数法求解即可； （2）分三种情况：①当点D在线段上时，②当点D在线段延长线上时，此时线段与抛物线没有交点；③当线段恰好经过抛物线顶点时，与抛物线只有一个交点，三种情况讨论求解即可； （3）根据对称性可知，连接交对称轴于点P，此时的周长最小，据此求解即可． 【小问1详解】 解：将点A，C的坐标代入抛物线的解析式，得， 解得， ∴抛物线的解析式为 将点A，C的坐标代入直线的解析式，得， 解得 ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：①当点D在线段上时， ∵点A和点C的水平距离是3，且与抛物线只有一个交点， ∴； ②当点D在线段延长线上时，此时线段与抛物线没有交点； ③当线段恰好经过抛物线顶点时，与抛物线只有一个交点， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∴点D的纵坐标为， 在中，当时，， ∴此时． 综上所述，或． 【小问3详解】 ∵点B与点A关于抛物线的对称轴对称， ∴连接交对称轴于点P，此时的周长最小， 将代入，得， ∴点P的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $