精品解析：上海市复兴中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

初二（下）数学期中考卷 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 一次函数的图像不经过的象限是(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一次函数图象，熟练掌握一次函数图象及其性质是解题的关键． 根据、的符号判断即可． 【详解】∵，， ∴一次函数中y随x的增大而增大，且与y轴交于正半轴， ∴一次函数的图像经过第一象限、第二象限、第三象限， ∴图象不经过第四象限， 故选：． 2. 已知点在第二象限，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先根据点A所在象限得到m，n的取值范围，再推导点B横纵坐标的符号，即可判断点B所在象限． 【详解】解：∵点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0． ∴，． ∴ ，． ∵第三象限内点的横坐标和纵坐标都小于0． ∴点在第三象限． 3. 已知，那么的值是（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是求函数值，将代入解析式是解题的关键． 将代入，然后依据有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 4. 下列说法错误的是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C. 每组邻边都相等的四边形是菱形 D. 四个角都相等的四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定定理，说法正确，不符合题意． B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是正方形，说法错误，符合题意． C．每组邻边都相等的四边形，四条边都相等，符合菱形的判定定理，说法正确，不符合题意． D．四边形内角和为，四个角相等时每个角均为，四个角都是直角的四边形是矩形，说法正确，不符合题意． 5. 已知反比例函数经过平移后可以得到函数，关于新函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，y随x的增大而增大 B. 该函数的图象与y轴有交点 C. 该函数图象与x轴的交点为（1，0） D. 当时，y的取值范围是 【答案】C 【解析】 【分析】函数的图象是由函数的图象向下平移1个单位长度后得到的，根据两个函数的图像，可排除A，B，C选项，将y=0代入函数可得到函数与x轴交点坐标为（1,0），故C选项正确． 【详解】解：函数与函数的图象如下图所示： 函数的图象是由函数的图象向下平移1个单位长度后得到的， A、由图象可知函数，当时，y随x的增大而减小，选项说法错误，与题意不符； B、函数的图象是由函数的图象向下平移一个单位后得到的，所以函数与y轴无交点，选项说法错误，与题意不符； C、将y=0代入函数中得，，解得，故函数与x轴交点坐标为（1,0），选项说法正确，与题意相符； D、当时， ，有图像可知当时，y的取值范围是，故选项说法错误，与题意不符； 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象，以及函数图象的平移，函数与数轴的交点求法，能够画出图象，并掌握数形结合的方法是解决本题的关键． 6. 如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下： 甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形． 乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形． 根据两人的作法可判断（） A. 甲正确，乙错误 B. 乙正确，甲错误 C. 甲、乙均正确 D. 甲、乙均错误 【答案】C 【解析】 【详解】甲和乙的作法都正确： 理由是： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC． ∴∠DAC=∠ACN． ∵MN是AC的垂直平分线， ∴AO=CO． 在△AOM和△CON中， ∵∠MAO=∠NCO，AO=CO，∠AOM=∠CON， ∴△AOM≌△CON（ASA）， ∴MO=NO． ∴四边形ANCM是平行四边形． ∵AC⊥MN， ∴四边形ANCM是菱形． 如图， ∵AD//BC， ∴∠1=∠2，∠6=∠4． ∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD， ∴∠2=∠3，∠5=∠6． ∴∠1=∠3，∠5=∠4． ∴AB=AF，AB=BE． ∴AF=BE． ∵AF//BE，且AF=BE， ∴四边形ABEF是平行四边形． ∵AB=AF， ∴平行四边形ABEF是菱形． 故选C． 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 直线向上平移个单位得到的图像解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数平移“上加下减”的规律解答即可． 【详解】解：将直线向上平移个单位， 根据平移规律可得新直线解析式为， 整理得． 8. 若一次函数的图像在轴上的截距是5，则___________． 【答案】 1 【解析】 【分析】根据一次函数（）的图像在轴上的截距为常数项，结合已知截距为，列出关于的一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图像在轴上的截距是 ∴， 解得． 9. 点在轴上，则点的坐标为_____ 【答案】 【解析】 【分析】在x轴上的点的纵坐标为0，据此求出a的值，即可得到点A的坐标． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 10. 已知正n边形的一个外角是45°，则n＝____________ 【答案】8 【解析】 【分析】根据正多边形的外角和的特征即可求出多边形的边数． 【详解】解：． 所以的值为8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查多边形的外角和的特征，解题的关键是掌握多边形的外角和等于，是基础题型． 11. 在平行四边形中，，，那么______度． 【答案】150 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可知：，，得到，根据已知条件得出方程，求出x值，即可得到． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：150． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题关键是熟练掌握平行四边形的性质，学会用方程思想思考问题，属于中考常考题型． 12. 已知点关于轴对称，则___________． 【答案】9 【解析】 【分析】关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此求出和的值，再计算即可． 【详解】解：点关于轴对称， ，， 解得， ． 13. 如图是一次函数的图像，那么不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：当时，， ∴不等式的解集为． 14. 新定义：为一次函数（为实数）的“关联数”．若“关联数”所对应的一次函数是正比例函数，则的值是___________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据新定义写出对应一次函数，利用正比例函数的定义得到常数项为，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：根据新定义可知，“关联数”对应的一次函数为 ，其中，符合一次函数定义． ∵该一次函数是正比例函数， ∴， 解得：． 15. 如图，菱形的顶点C的坐标为，顶点A在x轴的正半轴上.反比例函数的图象经过顶点B，则k的值为__． 【答案】32 【解析】 【分析】根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值． 【详解】∵C（3，4）， ∴OC==5， ∴CB=OC=5， 则点B的横坐标为3+5=8， 故B的坐标为：（8，4）， 将点B的坐标代入y=得， 4=， 解得：k=32． 故答案为32． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B的坐标． 16. 如图，中，，直线是边上的中线，与交于点，则的长为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得出是边上的中线，利用勾股定理求出的长，根据面积法求解即可． 【详解】解：，， 为的中点， ， 在中，由勾股定理得， 设，则， ∵D为中点，， ∴， 连接， 则， 取中点E，连接， 则是中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 17. 如图，已知中，，，直线与，分别交于，，且将的面积分成相等的两部分，则的值是___________ 【答案】 【解析】 【分析】据平行四边形是中心对称图形，过对称中心的直线平分平行四边形的面积，可知直线必经过平行四边形的对称中心，平行四边形的对称中心即为对角线的中点，利用中点坐标公式求出该点坐标，将其代入直线解析式即可求出的值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，直线将的面积分成相等的两部分， ∴直线经过平行四边形的对称中心，即对角线的中点 ， ∵，， ∴平行四边形的对称中心坐标为，即， 把点代入得： ， 解得：． 18. 如图，菱形的边长为5，点在边上，连结，过点作于点，，将菱形分割成三部分后，恰好可以拼成一个直角三角形，若，则线段的长度为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，连接，过点分别作，，垂足为点，设，，由，得到，那么有三线合一可得，则，在中，由勾股定理建立方程求出，则，可得四边形为矩形，则由双勾股定理可得，继而建立方程求出，即可求解． 【详解】解：由题意得可得，连接，过点分别作，，垂足为点， 设，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：或（舍） ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程，等腰三角形的性质等知识点，难度较大，正确构造辅助线是解题的关键． 三、解答题：（本大题共7题，满分64分） 19. 如图，直线交轴于点，交轴于点，与反比例函数的图像交于，，连接、． （1）求的值； （2）的面积． 【答案】（1）3 （2）4 【解析】 【分析】（1）先由点求出，进而求出、的坐标，再将点的坐标代入，即可得的值； （2）根据求解． 【小问1详解】 解：直线交轴于点， ∴， ∴直线， ∵点，在上， ∴，， ∴， ∴，， ∵点在上， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ． 20. 如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且．连接，交于点H，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得到，，则可证明，据此可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 21. 已知正五边形，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）． 【初步感知】 （1）如图1，请直接写出的度数； 【实践探究】 （2）请在图2中作出以为对角线的菱形，并证明你的结论； 【拓展延伸】 （3）请在图2正五边形的基础上再设计一个新的正五边形.（不需要证明） 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用正五边形与等腰三角形的性质求解； （2）连接交于点M，四边形即为所求； （3）各边延长线的交组成的五边形即为所求． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：； （2）如图1所示，连接相交于点，菱形为所求图形， 证明：在正五边形中，每个内角都相等且等于，每条边都相等， 可得≌，从而 ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理可证：. ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形. （3）如图，五边形即为所求． 22. 某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度y（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示． （1）求y关于x的函数解析式（不必写x的取值范围）； （2）如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 【答案】（1） （2）①25辆；②为了避免严重拥堵，那么最晚20分钟需启动限流措施． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①根据（1）所求函数解析式，令函数值为30，求出x的值即可得到答案；②令函数值小于20求出x的取值范围，再根据每百米车辆数每4分钟增加1辆和现在每百米车的数量为25辆列式求解即可． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数解析式为， 由题意得，， ∴， ∴y关于x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：①在中，当时，则，解得， ∴该时刻高架路上每百米车的数量为25辆； ②当时，解得， 分钟， 答：为了避免严重拥堵，那么最晚20分钟需启动限流措施． 23. 如图，矩形的对角线与交于点，点是的中点，连接交于点，延长到点，使，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是矩形，且，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）的长度为1 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质推出是的中位线，利用证明，根据全等三角形的性质得到，结合，即可判定四边形是平行四边形； （2）根据矩形的性质得到，，根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 若四边形是矩形，则 ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形中位线的性质，平行四边的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，利用矩形的性质证明是解题的关键． 24. 已知直线（其中），我们把直线称为直线的“轮换直线”．例如：直线的“轮换直线”是直线． 在平面直角坐标系中，已知直线：的“轮换直线”是直线，交轴于点，交轴于点，和相交于点． （1）如果直线经过点． ①求直线、的表达式和点的坐标； ②点是平面内一点，如果四边形是等腰梯形，且，求点的坐标． （2）将绕点顺时针旋转，点的对应点落在与直线平行的直线上．小明说：“直线一定经过一个定点．”你认为他的说法是否正确？如果正确，请求这个定点；如果不正确，请说明理由． 【答案】（1）①；② （2）正确，直线过定点 【解析】 【分析】（1）①将点代入，求出m的值，进而得到直线的表达式，联立直线、的表达式，即可求出的坐标；②根据四边形是等腰梯形，且，得到点在平行于直线过点B的直线上，且，求出直线的解析式，设，根据，利用两点间距离公式建立方程求解即可； （2）根据题意得到直线的表达式为：，求出，联立直线、的表达式，求出，如图，过点作轴的垂线，垂足分别为，证明，得到，根据点落在与直线平行的直线上，求出直线的解析式为：，当时，，即可得出直线过定点． 【小问1详解】 解：①将点代入，则， ， 直线的表达式为：， 直线的表达式为：， 令，则， ， 联立直线、的表达式，则， 解得：，即， ②如图， 四边形是等腰梯形，且， 点在平行于直线过点B的直线上，且， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点， 由图形可得， ， ， 解得：或， 当时，，此时，， ， 四边形是平行四边形， ， 则四边形不是梯形，故舍去， 当，， 同理：，， ，与不平行， 四边形是等腰梯形， 故，则； 【小问2详解】 解：根据题意：直线的表达式为：， 令，则， ， 联立直线、的表达式，则， 解得：，即， 如图，过点作轴的垂线，垂足分别为， 则，， ， 由旋转的旋转得：，， ， ， ， ， ， 点落在与直线平行的直线上， 设直线的解析式为：，则， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， 直线过定点． 【点睛】本题考查的是一次函数综合题，旋转的性质，需要掌握待定系数法确定函数关系式,函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，两条直线平行及交点等相关知识，属新定义型题目． 25. 已知，梯形中，，，，，，是边上的任意一点，连接，连接． （1）若平分，求的长； （2）过点作，交所在直线于点． 设，，求关于的函数关系式； 连接，当点是的中点时，求的长． 【答案】（1）满足条件的的值为或； （2）；． 【解析】 【分析】（）作于，则四边形是矩形，则，，分两种情形求解即可解决问题； （）作于利用面积法构建函数关系式即可； 延长交于点，证，得，再由垂直平分，知，又，则，据此得，，根据 可得答案． 【小问1详解】 解：如图中， 作于，则四边形是矩形， ∴，， 当平分时， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴； 当平分时，同法可证：，， ∴； 综上所述，满足条件的的值为或； 【小问2详解】 解：如图中，作于， 在中，， ∵， ∴， ∴； 如图，延长交于点， ∵， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，函数解析式，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确添加常用辅助线，构造直角三角形及掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二（下）数学期中考卷 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 一次函数的图像不经过的象限是(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知点在第二象限，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，那么的值是（ ） A. 1 B. 3 C. D. 4. 下列说法错误的是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C. 每组邻边都相等的四边形是菱形 D. 四个角都相等的四边形是矩形 5. 已知反比例函数经过平移后可以得到函数，关于新函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，y随x的增大而增大 B. 该函数的图象与y轴有交点 C. 该函数图象与x轴的交点为（1，0） D. 当时，y的取值范围是 6. 如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下： 甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形． 乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形． 根据两人的作法可判断（） A. 甲正确，乙错误 B. 乙正确，甲错误 C. 甲、乙均正确 D. 甲、乙均错误 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 直线向上平移个单位得到的图像解析式为___________． 8. 若一次函数的图像在轴上的截距是5，则___________． 9. 点在轴上，则点的坐标为_____ 10. 已知正n边形的一个外角是45°，则n＝____________ 11. 在平行四边形中，，，那么______度． 12. 已知点关于轴对称，则___________． 13. 如图是一次函数的图像，那么不等式的解集是___________． 14. 新定义：为一次函数（为实数）的“关联数”．若“关联数”所对应的一次函数是正比例函数，则的值是___________． 15. 如图，菱形的顶点C的坐标为，顶点A在x轴的正半轴上.反比例函数的图象经过顶点B，则k的值为__． 16. 如图，中，，直线是边上的中线，与交于点，则的长为___________ 17. 如图，已知中，，，直线与，分别交于，，且将的面积分成相等的两部分，则的值是___________ 18. 如图，菱形的边长为5，点在边上，连结，过点作于点，，将菱形分割成三部分后，恰好可以拼成一个直角三角形，若，则线段的长度为___________． 三、解答题：（本大题共7题，满分64分） 19. 如图，直线交轴于点，交轴于点，与反比例函数的图像交于，，连接、． （1）求的值； （2）的面积． 20. 如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且．连接，交于点H，连接．求证：四边形是平行四边形． 21. 已知正五边形，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）． 【初步感知】 （1）如图1，请直接写出的度数； 【实践探究】 （2）请在图2中作出以为对角线的菱形，并证明你的结论； 【拓展延伸】 （3）请在图2正五边形的基础上再设计一个新的正五边形.（不需要证明） 22. 某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度y（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示． （1）求y关于x的函数解析式（不必写x的取值范围）； （2）如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 23. 如图，矩形的对角线与交于点，点是的中点，连接交于点，延长到点，使，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是矩形，且，求的长度． 24. 已知直线（其中），我们把直线称为直线的“轮换直线”．例如：直线的“轮换直线”是直线． 在平面直角坐标系中，已知直线：的“轮换直线”是直线，交轴于点，交轴于点，和相交于点． （1）如果直线经过点． ①求直线、的表达式和点的坐标； ②点是平面内一点，如果四边形是等腰梯形，且，求点的坐标． （2）将绕点顺时针旋转，点的对应点落在与直线平行的直线上．小明说：“直线一定经过一个定点．”你认为他的说法是否正确？如果正确，请求这个定点；如果不正确，请说明理由． 25. 已知，梯形中，，，，，，是边上的任意一点，连接，连接． （1）若平分，求的长； （2）过点作，交所在直线于点． 设，，求关于的函数关系式； 连接，当点是的中点时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $