广东普宁市第二中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试题

普宁二中2025-2026学年度高二第二学期期中考 数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．若复数，则（ ） A． B． C． D． 3．已知随机变量的分布列如下表：若，则（ ） A． B．5 C．7 D．21 4．已知数列为等差数列，若，则（ ） A．15 B．17 C．19 D．21 5．若，则（ ） A．8 B． C．2 D．42 6．函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 7．已知是函数的导数，且，，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 8．2026年是丙午马年，某平台推出数字马年互动抽奖活动，每次抽奖抽中“6点幸运码”的概率为（）．小明参与活动累计抽奖次，最终恰好抽中6次“6点幸运码”，但未记录总抽奖次数．设随机变量表示抽奖次时抽中“6点幸运码”的次数，现以使得最大的值估计总抽奖次数（若有多个使概率最大，则取其中最小值），并计算．下列说法正确的是（ ） A． B． C． D．与6的大小关系不确定 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的是（ ） A．已知，则 B．若，，且，则，相互独立 C．若随机变量，则 D．三项展开式共有项 10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，则下列说法正确的是（ ） A．若的最大值为5，最小值为1，则椭圆的离心率为 B．若，，则的面积为2 C．若，，，则内切圆的半径为 D．若，，则椭圆的离心率为 11．已知动圆的圆心在曲线上运动，则下列结论正确的是（ ） A．若圆经过原点，则实数存在两个不同的值符合题意 B．若圆被直线平分，则圆心的坐标为 C．存在，使得圆截两坐标轴所得的弦长相等 D．圆上的点到直线的距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．4名学生和2位老师随机站成一排拍照，则两位老师不相邻的排法有_________种．（用数字作答） 13．已知在的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则_________． 14．已知函数，则方程的根的个数为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在中，内角，，所对的边分别为，，．且满足． （1）求角的大小； （2）已知，，求的边上的高． 16．（本小题满分15分）、两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人． （1）求选出的2人来自不同家庭的概率； （2）在选出的第1个人来自家庭的条件下，求第2个人也来自家庭的概率； （3）若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，求最终游戏成功的概率． 17．（本小题满分15分）如图，在三棱台中，，，侧面侧面，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）已知，，，求二面角的正弦值． 18．（本小题17分）已知函数，令，过点作曲线的切线，交轴于点，再过作曲线的切线，交轴于点，…，以此类推，得到数列（）． （1）证明：数列为等差数列； （2）若数列的前4项和为，求实数的值； （3）当时，若恒成立，求实数的取值范围． 19．（本小题17分）已知动点到点的距离等于它到直线的距离，记动点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）为坐标原点，过点且斜率存在的直线与相交于，两点，直线与直线相交于点，过点且与相切的直线交轴于点． （i）证明：直线； （ii）满足四边形的面积为12的直线共有多少条？说明理由． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《普宁二中2025-2026学年度高二第二学期期中考》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D C B D B A BCD ACD 题号 11 答案 ABD 8．A 【分析】先求得的表达式，由此列不等式，结合数学期望的知识确定正确答案. 【详解】由题意，服从二项分布， 则，要使最大， 则且 ，解得， 又，所以当为整数时，，； 当不为整数时，，，故. 9．BCD 【详解】对于A，由得或， 解得或，故A错误； 对于B，由题意得， 即，A，B相互独立，故B正确； 对于C，由题意得， 则，故C正确； 对于D，的展开式中每一项的指数和均是，相当于个无区别的球放入a，b，c三个不同的盒子里，每个盒子放入的球数不限．所以展开式中不同的项数为，故D正确 故选：BCD. 11．ABD 【详解】动圆的圆心为，半径. 对于选项A，若圆经过原点，则，即. 令，求导得. 令，在上恒成立，故在上单调递增. 又，，由零点存在定理知，存在唯一，使得，即. 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 当时，，，故； 当时，，，故； 且，即函数最小值小于0. 结合函数单调性与极限趋势，在上仅有两个正根，即存在两个不同的实数满足题意，选项A正确. 对于选项B，圆被直线平分等价于直线过圆心，故， 令，，在处取最大值， 故方程仅有解，圆心为，选项B正确. 对于选项C，令，圆截轴弦长为； 令，圆截轴弦长为，弦长相等等价于，即或. 令 ，则. 当 时，，递减；当 时，，递增. 所以 ，故恒成立. 所以当时，且，方程无解，故不存在使弦长相等，选项C错误. 对于选项D，设，，令得，此时圆心为， 该点到直线的距离， 则圆上点到直线的最小距离为，选项D正确. 12. 480 13． 的二项展开式的通项为， 由题意，解得， 设为有理项，则能被3整除，故， 所以在的二项展开式中，有理项有3项，无理项有8项． 若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为． 则服从参数为，，的超几何分布，则． 故答案为： 14．3 【详解】由函数，则， 令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 又当时，；当时，； 当时，；当时取得极小值，；当时，， 所以函数的大致图象如下所示； 又， 解得或， 由函数图象可知，方程的根的个数为3． 15．【详解】（1）因为, 由正弦定理得，………………………………2’ 即，………………………………………………3’ 因为，所以，…………………………………….5’ 又，所以．……………………………………………………….6’ （2）由已知，， 由余弦定理得，……………………..8’ 所以．………………………………………………….10’ 于是得的面积，………………………………………….11’ 所以…………………………………………………….13’ 16【详解】（1）设“选出的2人来自不同家庭”为事件C，………………………1’ 则；……………………………………………………………….4’ （2）设“选出的第1个人来自A家的条件下，第2个人也来自A家”为事件D，..5’ 则；………………………………………………………………..8’ （3）由（1）知，选出的2人来自不同家庭的概率为P(C)=0.6， 所以选出的2人来自同一家庭的概率为0.4，……………...9’ 记“最终游戏成功”为事件M. ∴M=CM∪M………………………………………………………………………11’ 所以由全概率公式得最终游戏成功的概率为……13’ ．……………………………………………………………….. 15’ 17．【详解】（1）取的中点，连接，因为的中点，则，……………………………………………………………………..1’ 在三棱台中，， 则，故四边形是平行四边形，…………………………….2’ 则，…………………………………………………………………………………3’ 又平面，平面，故平面……………………4’ （2）因平面平面，且平面平面，…………… 又平面，则平面……………………………………5’ 故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，在平面中， 过点作的垂线为轴，建立空间直角坐标系………………………………...6’ 连接，易得，……………………………….7’ 作于点， 因，是的中点，则，，…………………………………………………………………..8’ 则， 设平面的法向量为， 则，可取；…………10’ 设平面的法向量为， 则，可取…………………12’ 则，………………...13’ 设二面角的平面角为， 则，…………………………...14’ 即二面角的正弦值为………………………………………………………15’ 18．【详解】（1）证明：由题意得曲线在点处的切线方程为，即，……………………………2’ 令，解得，则，即（），………..3’ 所以数列是以为首项、为公差的等差数列；………………………….4’ （2）由（1）可得（）， 所以，…………………………………………………………5’ 所以数列是以为首项、为公比的等比数列，……………………….6’ 其前4项的和为，…………………..8’ 所以实数；………………………………………………………………………..9’ （3）原不等式等价于在上恒成立，……………………10’ 令，，则，…………….12’ 令，，则，………………………..13’ 所以在上递减，所以，……………………………………….14’ 令，则；令，则，……………………………………..15’ 所以在上递增，在上递减，所以， 所以实数的取值范围为……………………………………………………17’ 19． 【详解】（1）由抛物线的定义得动点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，……………………………………………………………………………….1’ 所以，即．……………………………………………………………………3’ （2）（i）证明：由题可知，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为，则直线的斜率为， 设直线与相交于两点，不妨设， 由得，，…………………………………………………….5’ 则，……………………………………………………………….6’ 由得，， 则点处的斜率为，…………………………………………7’ 则点处的切线方程为， 令，得，即点，……………………………………………8’ 直线的方程为，令，得，即，…9’ 所以直线的斜率， 所以，即直线．…………………………..10’ （ii）连接， 由（i）得，，所以， 又因为，所以轴，即四边形为平行四边形，…………………..11’ 由得， ， 若四边形的面积为12，则，………………….12’ 整理得， 令，则，…….13’ 设，则， 所以在单调递增，又， 所以存在，使得， 所以在上单调递减，在上单调递增，……14’ 又，， 所以有2个零点，即有2个根，…15’ 其中时，直线AB的斜率不存在，舍去，另一根属于；……………………………………..16’ 由对称性可得，交换AB点的位置也符合题意，所以四边形的面积为12的直线共有2条．……………………………….17’ 答案第8页，共8页 答案第3页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $