2025-2026学年高二下学期阶段测试数学试题（人教A版选择性必修第三册）

**基本信息** 本试卷为人教A版选择性必修三模块检测，以概率统计、排列组合、二项式定理为核心，融入谷雨诗句、杨辉三角等文化素材及石头剪刀布游戏、快递站取件等生活情境，原创题占比高，注重数学眼光观察现实、思维推理与语言表达。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|条件概率、相关系数、排列组合|第1题结合谷雨诗句考条件概率，第8题以杨辉三角考组合数性质| |多选题|3/18|正态分布、排列应用、全概率公式|第11题通过双口袋取球考全概率公式，体现逻辑推理| |填空题|3/15|古典概型、数学期望、骰子概率|第12题为原创石头剪刀布游戏题，考条件概率与数学眼光| |解答题|5/67|独立性检验、线性回归、概率分布|第15题用列联表考独立性检验，19题原创餐厅选择考概率递推与期望，突出数学语言表达现实问题|

人教A版选择性必修三模块检测 双向细目表 考查范围：计数原理与概率统计、数列 题号 难度 知识点 一、单选题 1 较易 计算条件概率 2 较易 求指定项的系数 3 较易 相邻问题的排列问题,分步乘法计数原理及简单应用 4 较易 相关系数的意义及辨析 5 适中 计算条件概率,分组分配问题 6 适中 二项式系数的增减性和最值,求指定项的系数 7 适中 排列组合综合,相邻问题的排列问题,不相邻排列问题 8 较难 组合数的性质及应用,杨辉三角,组合数的计算 二、多选题 9 较易 指定区间的概率,正态分布的实际应用 10 适中 元素（位置）有限制的排列问题,相邻问题的排列问题,分步乘法计数原理及简单应用,不相邻排列问题 11 适中 计算条件概率,独立事件的判断,利用全概率公式求概率 三、填空题 12 适中 古典概率，条件概率 13 较难 求离散型随机变量的均值,均值的性质,写出简单离散型随机变量分布列 14 较难 实际问题中的组合计数问题,计算古典概型问题的概率 四、解答题 15 较易 计算古典概型问题的概率,独立性检验解决实际问题 16 容易 用回归直线方程对总体进行估计,根据回归方程进行数据估计 17 适中 独立重复试验的概率问题,求离散型随机变量的均值,写出简单离散型随机变量分布列 18 适中 求离散型随机变量的均值,相关系数的计算 19 较难 计算条件概率,写出等比数列的通项公式,写出简单离散型随机变量分布列,利用全概率公式求概率 学科网（北京）股份有限公司 $ 《人教A版选择性必修三模块检测》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D D D B A D BC AC 题号 11 答案 ACD 1．C 【难度】0.85 【来源】江苏省靖江高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 【知识点】计算条件概率 【分析】记“甲地下雨”为事件A，“乙地下雨”为事件B，可得，，，结合条件概率公式运算求解. 【详解】记“甲地下雨”为事件A，“乙地下雨”为事件B， 由题意可知：，，， 可得， 所以在甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为. 故选：C. 2．D 【难度】0.85 【来源】2005年普通高等学校招生考试数学（理）试题（浙江卷） 【知识点】求指定项的系数 【分析】根据，利用通项公式得到含的项为：，进而得到其系数， 【详解】因为在， 所以含的项为：， 所以含的项的系数是的系数是， ， 故选：D 【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题， 3．D 【难度】0.85 【来源】2011届新疆农七师高级中学高三第一次模拟考试数学理卷 【知识点】相邻问题的排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据题意，分2步进行分析：①将看成一个整体，要求在的左边，②将整体与、、全排列，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分2步进行分析： ①，必须相邻且在的左边，将看成一个整体，有1种顺序， ②将整体与、、全排列，有种情况， 则有种排法； 故选：D． 4．D 【难度】0.85 【来源】2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷） 【知识点】相关系数的意义及辨析 【分析】所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线上，故这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1. 【详解】由题设知，所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线上， ∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D. 根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1. 5．D 【难度】0.57 【来源】山西临汾市2025-2026学年高三下学期质量监控第二次模拟测试数学试题 【知识点】分组分配问题、计算条件概率 【分析】首先甲去或班的总数为，进一步由组合数排列数应用条件概率即可得所求概率. 【详解】不考虑甲是否去班，所有实习生分配方案总数为， 甲去班的概率相等，所以甲去或班的总数为， 甲不去班，B班恰有3名实习生的情形一，甲去班且班有3名实习生共有种； 情形二，甲去班，班有3名实习生共有种， 当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的共有种， 设实习生甲不去A班为事件，设B班恰有3名实习生为事件， 当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的概率为. 6．B 【难度】0.75 【来源】江西赣州市2025-2026学年高二下学期期中练习数学试题 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数 【详解】由二项式系数的对称性可知，当只有第4项的二项式系数最大时，共有7项，即， 由可知，第项， 当时，解得，则的系数为. 7．A 【难度】0.65 【来源】湖北武汉部分重点中学（六校）2025-2026学年下学期学期期中高二数学试题 【知识点】排列组合综合、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【详解】将丙和丁看作一个整体（捆绑），内部可以交换顺序，有种， ①先排（丙丁）和戊，有种排法，这两个排好后，会产生个空位（包括两端）， ②从个空位中选个来排甲和乙，有种排法， 所以总排法为种． 8．D 【难度】0.4 【来源】山东学情2022-2023学年高二下学期3月联考数学试题A 【知识点】组合数的性质及应用、组合数的计算、杨辉三角 【分析】根据杨辉三角每一行的数字与组合数的对应关系，结合组合数的运算性质，依次判断选项. 【详解】对于A，因“杨辉三角”的第10行中第5个数是，又，故A错误； 对于B，因“杨辉三角”的第2023行中第1011个数和第1012个数分别为和， 因，故，故B错误； 对于C，因， ……… 则，故C错误； 对于D，因，而，故D正确. 故选：D 9．BC 【难度】0.85 【来源】2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题 【知识点】指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出. 【详解】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误， 故选：BC． 10．AC 【难度】0.65 【来源】江苏扬州市新华中学2025-2026学年第二学期高二数学期中考试试卷 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、分步乘法计数原理及简单应用、不相邻排列问题 【分析】据每个选项的不同排列要求，对应确定采用捆绑法、插空法等适配的排列计算模型,然后逐个计算各情况的排法数，将计算结果与选项给出的数值对比，得出正确答案. 【详解】在A选项中，是全排列问题，总排法有种，A正确； 在B选项中，仅要求男生相邻，用捆绑法：把2名男生捆绑为1个整体，和3名女生共4个元素全排列， 再算男生内部排列：则总排法有种，B错误， 在C选项中属于定序问题，男生甲可在男生乙左边或右边两种情况，则总排法有种，C正确. 在D选项中，男生不相邻，用插空法：先排3名女生，再把男生插到女生的空隙中， 则总排法：种，D错误， 11．ACD 【难度】0.65 【来源】四川省仁寿第一中学校（北校区）2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、独立事件的判断 【分析】根据已知条件，结合互斥事件的概念和条件概率公式，即可求解. 【详解】由题意得可知，，是两两互斥的事件， ，，， ，故A正确； ， ，故事件与事件B不独立，故B错误，D正确； ，故C正确； 故选：ACD. 12．（原创题）（1）假设石头 (S)、剪刀 (J)、布 (B)，每人3 种出手选择胜负：石克剪、剪克布、布克石，同则平，总出手组合数：甲乙两人各 3 种出手，总情况：3×3=9 种 甲赢共 3 种：(S,J)、(J,B)、(B,S)，则甲赢概率为 （2）三人同时出手,总出手组合27种，其中平局18种，其中甲出手为石头的有7种，所以概率为 13．【难度】0.4 【来源】2025年高考全国一卷数学真题 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、均值的性质 【分析】法一：根据题意得到的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得的分布列，从而求得；法二，根据题意假设随机变量，利用对立事件与独立事件的概率公式求得，进而利用数学期望的性质求得. 【详解】法一：依题意，的可能取值为1、2、3， 总的选取可能数为， 其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式， 故， ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出， 由排列数可知事件的可能情有况种， 故， 所以 . 故答案为：. 法二：依题意，假设随机变量，其中： 其中，则， 由于球的对称性，易知所有相等， 则由期望的线性性质，得， 由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为， 由于抽取独立，三次均未取出球的概率为， 因此球至少被取出一次的概率为：， 故， 所以. 故答案为：. 14． 【难度】0.45 【来源】浙江桐乡市高级中学2025-2026学年第二学期高二年级学业质量阶段调研数学试题 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率 【分析】分三次结果都相同、三次结果有两次相同、三次结果都不相同三种情况讨论满足条件的可能结果，再利用古典概率计算公式计算求解. 【详解】每次抛掷骰子有6种可能，抛掷3次，总共有种等可能的结果， 若三次结果都相同，则，此时， 满足，此时有6种不同结果； 若三次结果有两次相同，设这三次结果为， 则，即， 因为点数只能为，所以， 此时共有种可能性， 分别为：， 对应的有种不同的结果， 若三次结果都不相同，设这三个不同的值为， 则，由于为不同的整数，故， 所以，不满足条件，此种情况有0种结果， 所以骰子朝上的面的数字分别为且满足的情况有种， 所以事件“”的概率为. 15．【难度】0.85 【来源】2025年高考全国一卷数学真题 【知识点】独立性检验解决实际问题、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出； （2）根据独立性检验的基本思想,求出,然后与小概率值对应的临界值比较,即可判断. 【详解】（1）根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为；（6分） （2）零假设为：超声波检查结果与患病无关，（7分） 根据表中数据可得， ，（11分） 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过.（13分） 16．【难度】0.94 【来源】2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷广东 【知识点】用回归直线方程对总体进行估计、根据回归方程进行数据估计 【详解】(1)所求散点图如图所示：     （5分） (2) 3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5， ， （7分） ， （9分） ，（10分） 故所求线性回归方程为＝0.7x＋0.35.（11分） (3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，故耗能降低了90－70.35＝19.65吨标准煤．（15分） 17．【难度】0.65 【来源】浙江省宁波市慈溪市2022-2023学年高三上学期期末数学试题 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、独立重复试验的概率问题 【分析】（1）利用独立重复试验求概率公式进行求解； （2）写出X的可能取值及相应的概率，得到分布列； （3）在第二问的基础上，写出Y的可能取值及相应的概率，得到分布列，得到均值. 【详解】（1）设甲恰有两次赢的概率为， ；（5分） （2）X的可能取值为，0，1. （6分） 根据记分规则，得， ， ， 所以X的分布列为 X 0 1 P 0.2 0.5 0.3 （10分） （3）两轮比赛甲的得分Y的可能取值为. 由于两轮比赛的结果是独立的，所以 ， ， ， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 故.（15分） 18．【难度】0.62 【来源】湖南岳阳市2026届高三教学质量监测（二） 数学试卷 【知识点】相关系数的计算、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）使用相关系数计算公式求相关系数，根据求解结果判断线性相关关系的强弱； （2）结合超几何分布的概率公式求分布列，再由期望公式求期望. 【详解】（1），， ， ， ， 样本相关系数： ， 因为非常接近1，所以变量x与y之间具有很强的线性相关关系.（7分） （2）5天中取件人数小于100的天数有3天， 从这5天中随机选取3天，的可能取值为1，2，3.（8分） ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 的数学期望（17分） 19．【难度】0.4 【原创来源】人教A版选择性必修三P50例4，课本例题修改 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、利用全概率公式求概率、写出等比数列的通项公式、计算条件概率 【分析】（1）根据，逐步根据题意计算； （2）由递推关系先得到，然后构造等比数列求解； （3）先列举出王同学前天不连续三天在同一家餐厅就餐的所有情况，然后结合条件概率和独立事件的乘法公式求解. 【详解】（1）由题知，，，（3分） （2）由题知，，（5分） 可得， 又，则是首项为，公比为的等比数列， 则，则（10分） （3）王同学前5天在哪个餐厅用餐可能情况如下： 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 X A A B A A 4 B 3 B A 3 B A A B 3 B A 3 B 2 B A A 3 B 2 所以可取值为2，3，4， ， ， 即的分布列为： 2 3 4 0.0576 0.6544 0.288 . （17分） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修三模块检测 考试时间：90分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．元末明初诗人高启在他的《田园书事》中这样描述谷雨时节：叶过谷雨花犹在，衣近梅天润易生.谷雨时节，已知甲､乙两地每天下雨的概率分别为和，且两地同时下雨的概率为.则在甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 2．在的展开式中，含的项的系数是（    ） A．74 B．121 C． D． 3．五人并排站在一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有（    ） A．60种 B．48种 C．36种 D．24种 4．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（  ） A．－1 B．0 C． D．1 5．将5名实习生分配到A，B，C三个班开展实习工作.要求每个班都要有实习生，当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的概率为（   ） A． B． C． D． 6．若二项展开式中的各项的二项式系数只有第4项最大，则展开式的的系数为（   ） A．20 B． C． D．15 7．有五名同学站成一排照相，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻，则所有不同的排法有（   ）种 A． B． C． D． 8．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数､第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 10．2名男生，3名女生，这5个人站成一排，下列选项正确的是（   ） A．共有120种排法 B．男生必须排在一起，共有24种排法 C．男生甲在男生乙右边（可不相邻）共有60种排法 D．男生不能排在一起，共有54种排法 11．甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A． B．事件与事件相互独立 C． D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。12题第一空2分，第二空3分） 12．（原创题）两个人玩石头、剪刀、布游戏，则两人同时出手一次，结果甲赢的概率为 ，如果是三个人玩，同时出手一次，已知结果为平局，则甲出手为石头的概率为 。 13．有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_____. 14．将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有数字）先后抛掷3次，骰子朝上的面的数字分别为，则事件“”的概率为__________． 四、解答题 15．（13分）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16．（15分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据 x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 （１） 请画出上表数据的散点图； （２） 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线性回归方程； （３） 已知该厂技术改造前１００吨甲产品能耗为９０吨标准煤.试根据（２）求出的线性回归方程，预测生产１００吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？ （参考数据:  3×2．5+4×3+5×4+6×4.5=66.5） 17．（15分）甲、乙两位棋手，与同一台智能机器人进行国际象棋比赛，相互独立，互不影响，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率0.5.记甲在一轮比赛中的得分记为X，在两轮比赛中的得分为Y. (1)若甲单独与机器人进行三次比赛，求甲恰有两次赢的概率； (2)求X的分布列；(3)求Y的均值. 18．（17分）某高校快递站统计了某年度新学期前5天的取件人数y(单位：人)，得到如下样本数据： 天数(序号)x 1 2 3 4 5 每日取件人数 120 100 80 70 55 (1)计算样本相关系数r，并据此判断变量x与y之间线性相关关系的强弱(结果保留两位小数)； (2)从这5天中随机选取3天，记X为所选日期中取件人数小于100的天数，求X的分布列与数学期望. 注: （1）样本的相关系数 （2） 参考数据： 19．（原创）（17分）某学校有，两家餐厅，王同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8。设第天选择在餐厅用餐的概率为（），则 (1)求， (2)求（）； (3)如果第一天肯定去A餐厅，并且前天不连续三天在同一家餐厅就餐，那么前五天内去A餐厅就餐的次数为随机变量，求的分布列和期望 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $