精品解析：河北唐山市第一中学2024-2025学年度第二学期高二3月考试数学试卷

2024-2025唐一高二下学期3月月考 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点，，，，，，表示某一时期的北斗七星，其中，，，看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（ ） A. 4 B. 13 C. 15 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：间接方法，从总的条数中去掉不合要求的条数即可； 解法二：直接方法，分3种情况进行求解，再相加即可. 【详解】解法一：用间接方法，过这七个点中任意两个点作直线，一共有条， 其中从共线的，，，的四点任选两点，一共有条， 所得直线的条数为； 解法二：用直接方法，①过点，，，的直线只有1条； ②过，，中的任意两点作直线，可作3条； ③从，，，任取一点，从，，中任取1点作直线，可作直线条数为， 综上，所得直线的条数为. 故选：D. 2. 若函数可导，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义即可求解. 【详解】． 故选：C 3. 六一儿童节，西湖小学举办欢乐童年联欢会，原定的7个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（ ） A. 180种 B. 336种 C. 720种 D. 1440种 【答案】C 【解析】 【分析】分个新节目在一起、个新节目有两个相邻、个新节目都不相邻三种情况讨论，利用插空法计算可得. 【详解】①若个新节目在一起，则有种插法； ②若个新节目有两个相邻，则有种插法； ③若个新节目都不相邻，则有种插法； 综上一共有种不同的插法. 故选：C 4. 小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ） A. 48 B. 32 C. 24 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解. 【详解】1与4相邻，共有种排法， 两个2之间插入1个数， 共有种排法，再把组合好的数全排列，共有种排法， 则总共有种密码． 故选：C 5. 已知函数及其导函数的定义域均为R，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，判断的单调性，将所求不等式进行同解变形，利用单调性得到一元二次不等式，解之即得. 【详解】设，则，故单调递增. 又，故可转化为，即， 由单调递增可得，解得或， 即不等式的解集为. 故选：. 6. 为了加强家校联系，某班举行一次座谈会，会上邀请了6位学生及他们的父母总共18人参加，并从中选出6位代表发言，如果这6人由其中一个家庭的3人与其他三个家庭中的各1人组成，那么不同的选人方案有（ ） A. 720种 B. 1240种 C. 1440种 D. 1620种 【答案】D 【解析】 【分析】先选出一个家庭，该家庭的所有成员都被选中，再从剩余家庭中选出3个，每个家庭再选一人即可，按照分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】根据题意可知从6个家庭中任意选出一个，这个家庭的3人都被选中，共有种选择； 再从剩余的5个家庭里面选出3个家庭，共有种选择； 最后从3组家庭中各选一人，即有种； 因此不同的选人方案共有种. 故选：D 7. 把座位号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为 A. 96 B. 240 C. 48 D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】有两张票联在一起，有4种可能，总的分法数为，计算可得答案. 【详解】解：有两张票联在一起，有4种可能，因此总的分法数为， 故选：A． 8. 若函数有极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，设，，分，结合导数分析求解即可. 【详解】由，， 则， 令，， 则， 当时，恒成立，则， 即函数在上单调递增，此时函数无极值，不符合题意； 当时，令，得， 当时，，则，得函数在上单调递减， 又时，；时，， 所以存在，使得，则函数存在极值； 当时，， 则时，；时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 设，，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，且时，， 则时，，此时函数无极值，不符合题意； 当时，，且时，；时，， 此时函数存在极值. 综上所述，的取值范围为. 故选：B. 二、多选题 9. 已知，则（ ） A. 展开式中所有项的系数和为 B. 展开式中二项系数最大项为第1010项 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】赋值，可判断A，由通项公式可判断B，分别令，可判断C，令可判断D； 【详解】当时，，展开式中所有项的系数和为，A对. 展开式中第项二项式系数， ，则，∴. 展开式中第1011和1012项二项式系数最大，B错. ， 令，则，令，则， ∴，C对. 展开式中通项公式， 可知奇次幂系数为负，偶次幂系数为正， 所以， 由， 令可得：，又， 所以，错 故选：AC 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，有两个极值点 B. 当时，有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 当时，过点可作曲线的三条切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数求解极值点即可判断A；根据函数单调性以及极值的正负即可判断B；利用函数对称的性质即可判断C；设出切点，利用导数的几何意义求解切线的方程，结合条件把问题转化为函数图象的交点个数问题，即可判断D. 【详解】对于A，由题知，定义域为，则， 当时，令，得或， 令，得或， 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 所以为极大值点，为极小值点，故A正确； 对于B，当时，当时，；当时，， 且， ， 因为，所以，， 所以，， 所以有三个零点，B正确； 对于C，若点是曲线的对称中心，则满足恒成立， 因为， ， 所以，其值不恒为0，C错误； 对于D，设过点的直线与相切的切点为， 则，且切线斜率为， 故切线的方程为，即， 因为切线过，则， 整理得，即， 构造函数与， 对于函数，， 令，得或2， 令，得或，即该函数在和上单调递增， 令，得，即该函数在上单调递减， 时，函数有极小值；时，函数有极大值， 当时，；当时，， 作出函数与的图象，如图，  因，所以， 所以函数与图象有三个交点， 即方程有三个解， 即过点可作曲线的三条切线，D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数的减区间为 B. 当时，函数的图象是中心对称图形 C. 若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为 D. 若过原点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】对函数求导根据可判断A正确，由中心对称图形定义可判断B正确，利用极值点定义与导函数零点之间的关系即可判断C错误，将切线条数转化成方程根的个数，再构造函数求得函数图象交点个数可判断D错误. 【详解】由， 对于A选项，当时，，可得函数的减区间为，增区间为，故A选项正确； 对于B选项，当时，， 又由， 可得函数的图象关于点对称，是中心对称图形，故B选项正确； 对于C选项，由A选项可知，当时，是函数的极小值点； 当时，令，可得或， 若是函数的极大值点，必有，可得，故C选项错误； 对于D选项，设切点为（其中）， 由切线过原点，有，整理为， 令，有， 可得函数的减区间为，增区间为， 又由时，；时，；及， 可知当时，关于m的方程有且仅有3个根， 可得过原点可作三条直线与曲线相切，故D选项错误， 故选：AB． 【点睛】关键点点睛：在求解D选项切线条数时，关键是将切线条数转化成方程根的个数，再构造函数求得函数图象交点个数即可得出结果. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 若，则的值为______． 【答案】6或8 【解析】 【分析】由组合数公式的性质即可直接求得答案. 【详解】因为，所以或，其中， 解得或，经检验符合题意， 故答案为：或. 13. 已知函数在x=3处有极大值，则c=___________. 【答案】9 【解析】 【分析】求出导函数，由求得值，然后检验是极大值点． 【详解】由已知，， ，或， 时，，在时，，递减，时，，递增，不是极大值点，舍去； 时，，时，，递增，时，，递减，极大值点． 综上． 故答案为：9． 14. 定义集合，比如：若，则．把集合中满足条件的元素组成的集合记为，即已知集合，则（1）集合中的元素个数为_____；（2）若中的元素个数为56，则p的值为_______． 【答案】 ①. 5 ②. 9或33 【解析】 【分析】理解集合的新定义应用列举法得出，再应用集合的新定义及组合数的定义通过隔板法计算求解即可. 【详解】（1）集合中的元素满足，且，列举满足条件的组合，共有5种，，即集合中有5个元素； （2）中的元素满足，且， 当时，利用组合数公式，将问题转化为将个相同的小球放入6个不同的盒子中，每个盒子中球的个数分别是， 应用隔板法即有种分法，既有个元素， 已知中有56个元素，即 ，当 时，，因此； 当时，可以考虑先放置其中的11颗，在此基础上再放置其余的小球，一定多余的情况，不合题意； 因为当先保证每个盒子中放置1颗（共6颗）后，再放置其余的小球，与当时，先在每个盒子中均放置6颗小球后再从6个盒子中共取走相应的个数的小球的方法数一样， 所以当时，放置种数与颗球的情况相等，所以当也满足题意. 故答案为：5；9或33. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对隔板法的应用把分成6份即可求解. 四、解答题 15. 已知在的二项展开式中. （1）若，求展开式中含项的系数； （2）若展开式含有常数项，求最小的正整数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由二项展开式的通项公式，即可求得展开式中含项的系数； （2）根据题意，在二项展开式的通项公式中，令的幂指数为，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 当时，展开式通项公式为， 令，解得，所以展开式中含项的系数为. 【小问2详解】 展开式的通项公式为， 令，解得，因为， 所以当时，取得最小值，此时展开式含有常数项， 所以最小的正整数的值为. 16. 按要求列出式子，再计算结果，用数字作答. （1）在5件产品中，有3件正品，2件次品，从这5件产品中任意抽取3件. （ⅰ）抽出的3件中恰有1件正品的抽法有多少种？ （ⅱ）抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？ （2）现有，，等5人排成一排照相，按下列要求各有多少种不同的排法. （ⅰ）若，之间恰有一人，有多少种不同的排法？ （ⅱ）不站左端，且不站右端，有多少种不同的排法？ 【答案】（1）（ⅰ）3；（ⅱ）9 （2）（ⅰ）36；（ⅱ）78 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）利用组合数公式和分步乘法原理求解即可；（ⅱ）解法一：抽出的3件中至少有1件次品的抽法有两种情况，利用组合数公式和分类加法原理求解即可；解法二：利用在5件产品中任意抽出3件的抽法数，减去抽出的3件产品全是正品的抽法数可得答案； （2）（ⅰ）利用捆绑法可得答案；（ⅱ）解法一：利用间接法法可得答案；解法二：分为B站左端和B不站左端分别计算可得答案. 【小问1详解】 （ⅰ）抽出的3件中恰有1件次品是指1件正品，2件次品， 则有种不同的抽法； （ⅱ）解法一：抽出的3件中至少有1件次品的抽法有两种情况： 只有1件次品的抽法和2件次品的抽法， 由（ⅰ）得有2件次品的抽法为种不同的抽法， 只1件次品的抽法为种不同的抽法， 共有种不同的抽法； 解法二：抽出的3件中至少有1件次品的抽法数， 是在5件产品中任意抽出3件的抽法数， 减去抽出的3件产品全是正品的抽法数， 所以共有种不同的抽法； 【小问2详解】 （ⅰ）将A、某人、B看作一个整体，进行捆绑， 再将另外两人一起排列，所以一共有36种排法； （ⅱ）解法一：因为5个人全排列有排法， 且A站左端有种排法，B站右端有种排法， A站左端且B站右端有种排法， 所以A不站左端，且B不站右端有种排法； 解法二：依题意可得：整件事可分为B站左端，和B不站左端． 若B站左端，则其他4人全排列，有种排法； 若B不站左端，则其他3人中选出1人站在左端，有种选法， 又由于B不站左端，也不站右端，有种排法， 剩下3人有有种排法，所以B不站左端有排法； 所以A不站左端，且B不站右端有排法. 17. 已知函数. （1）讨论的极值点个数； （2）若存在实数使得轴为的切线，求的最大值. 【答案】（1）当时，无极值点；时，有唯一极小值点，无极大值点 （2）1 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，就、分类讨论后可得函数的极值点个数. （2）设切点为，则可得的方程组，消元后可得关于的函数，利用导数可求的最大值. 【小问1详解】 由题意得 若，则在上单调递增，无极值点 若，令，得，由于是增函数. 所以时，单调递减， 时，单调递增， 故是的唯一极小值点. 综上，当时，无极值点；时，有唯一极小值点，无极大值点. 【小问2详解】 设切点为， 由（1）知，因为轴为的切线，则 解得， 令， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 故是的唯一极大值点. ，所以的最大值为1. 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调增区间； （3）令，证明，当时，． 【答案】（1） （2），. （3）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)求曲线在某点的切线方程的一般过程即可； (2)通过解不等式即可得单调递增区间； (3)将目标不等式化简，原则为“对数前无因式”，再利用作差法求得函数的最小值即可. 【小问1详解】 ，则， 因， 则曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因， 则， 得或；得， 则的单调增区间为，. 【小问3详解】 ， 则整理为， 欲证在上恒成立， 只需证在上恒成立， 令， 则， 则在上单调递增，故， 则命题得证，故当时，恒成立. 【点睛】关键点点睛：第三问为证明不等式恒成立问题，如何研究函数，研究什么样的函数是解决导数问题的关键，在此遵守“对数前无因式”原则即可. 19. 悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象.现定义双曲正弦函数，回答以下问题： （1）类比三角函数的导数关系：，，写出与的导数关系式，并证明； （2）对任意，恒有成立，求实数a的取值范围； （3）求的最小值． 【答案】（1）答案见解析； （2）； （3）0. 【解析】 分析】（1）类比，写出导数关系，再证明； （2）构造函数，，求导，分和两种情况，结合基本不等式，隐零点，得到函数单调性，进而得到答案； （3）多次求导，结合（2）中结论，先得到在上单调递增，再求出为偶函数，从而得到在内单调递减，求出. 【小问1详解】 导数：， ，； 依题意， ， 所以. 【小问2详解】 构造函数，，由（1）可知， 当时，由，，函数在上单调递增， 对，，即恒成立，因此； 当时，令，，求导得， 而函数在上都单调递增，函数在上单调递增， 因此，函数上单调递增， 而，，则存在唯一，使得， 当时，，函数在内单调递减， 对任意，，即，不符合题意， 所以实数a的取值范围为． 【小问3详解】 令函数，求导得， 令，求导得， 令，求导得， 当时，由（2）知，，则， 令，求导得，函数在上单调递增， 则，函数在上单调递增， 于是，函数在上单调递增， 则，函数在上单调递增， 又， 函数为偶函数，在内单调递减，因此， 所以函数的最小值为0. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025唐一高二下学期3月月考 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点，，，，，，表示某一时期的北斗七星，其中，，，看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（ ） A. 4 B. 13 C. 15 D. 16 2. 若函数可导，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 六一儿童节，西湖小学举办欢乐童年联欢会，原定的7个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（ ） A. 180种 B. 336种 C. 720种 D. 1440种 4. 小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ） A. 48 B. 32 C. 24 D. 16 5. 已知函数及其导函数的定义域均为R，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 为了加强家校联系，某班举行一次座谈会，会上邀请了6位学生及他们的父母总共18人参加，并从中选出6位代表发言，如果这6人由其中一个家庭的3人与其他三个家庭中的各1人组成，那么不同的选人方案有（ ） A. 720种 B. 1240种 C. 1440种 D. 1620种 7. 把座位号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为 A. 96 B. 240 C. 48 D. 40 8. 若函数有极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9 已知，则（ ） A. 展开式中所有项的系数和为 B. 展开式中二项系数最大项为第1010项 C D. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，有两个极值点 B. 当时，有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 当时，过点可作曲线的三条切线 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数的减区间为 B. 当时，函数的图象是中心对称图形 C. 若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为 D. 若过原点可作三条直线与曲线相切，则实数a取值范围为 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 若，则的值为______． 13. 已知函数x=3处有极大值，则c=___________. 14. 定义集合，比如：若，则．把集合中满足条件的元素组成的集合记为，即已知集合，则（1）集合中的元素个数为_____；（2）若中的元素个数为56，则p的值为_______． 四、解答题 15. 已知在的二项展开式中. （1）若，求展开式中含项的系数； （2）若展开式含有常数项，求最小的正整数的值. 16. 按要求列出式子，再计算结果，用数字作答. （1）在5件产品中，有3件正品，2件次品，从这5件产品中任意抽取3件. （ⅰ）抽出的3件中恰有1件正品的抽法有多少种？ （ⅱ）抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？ （2）现有，，等5人排成一排照相，按下列要求各有多少种不同的排法. （ⅰ）若，之间恰有一人，有多少种不同的排法？ （ⅱ）不站左端，且不站右端，有多少种不同的排法？ 17 已知函数. （1）讨论的极值点个数； （2）若存在实数使得轴为的切线，求的最大值. 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调增区间； （3）令，证明，当时，． 19. 悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象.现定义双曲正弦函数，回答以下问题： （1）类比三角函数的导数关系：，，写出与的导数关系式，并证明； （2）对任意，恒有成立，求实数a的取值范围； （3）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $