2026年高考数学考前猜题卷06（全国二卷通用）

**基本信息** 聚焦高考核心素养，融合非遗文创、生态环境等现实情境，梯度设计覆盖函数、几何、概率等模块，适配全国二卷模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合、复数、向量、解三角形、概率统计|单选第6题以非遗印章为背景考查概率，多选第9题结合PM2.5数据考查统计分析，体现数学眼光与数据意识| |填空题|3/15|随机变量、圆的方程、切线方程|第14题综合曲线切线，考查数学思维的逻辑推理| |解答题|5/77|三角面积与角平分线、三棱台证明与夹角、椭圆综合、概率期望、导数证明|第17题椭圆综合题融合面积最值与切线证明，第19题导数多问递进，符合高考真题命题趋势，培养数学语言表达与创新意识|

2026年高考数学考前猜题卷06（全国二卷通用) (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.设全集U={x∈Zx≤3}，集合A={-3,2,3},B={-3,0,2},则ǎ(AUB)=() A.{-3,0,2,3} B.{-2,-1,} C.{-3,2 D.{0,3 2.已知2=3+i,则+=() z-1 1.3 C.-+2i D.-3 55 -55 3.已知平面向量a,i,c满足a==日，a与万，6与c,a与c的夹角相等且不为0， a+-c-2则a=() B.√ C.2 D.2√2 4.在三角形ABC中，内角不，B,C的对边分别为a,b,c,满足B=子且b=2厅，若 三角形ABC的面积为3√5，则a+c的值为() A.6 B.8 C.9√2 D.10w5 5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若3=15，S。=2S6+3,则a=() A.11 B.12 C.13 D.15 6.有7枚非遗文创印章，分别刻有数字1,2,3,4,5,6,7，现从这7枚印章中随机抽 取3枚，则抽出的3枚印章上的数字之和与其余4枚印章上的数字之和相等的概率为() 4 C.35 1 A. 35 D. 35 、芝排随圆C:人之 +左=(a>b>0,点A(2,0)和B(0,1)均为椭圆C的顶点，直线y=2x+m 与椭圆C交于M,N两点.当四边形ABMN面积取最大值时，实数m的值为() A.0 B.2 C.-3 D.-1 2 8.已知f(x)是定义在区间(0，+o)上的函数，且x4f'(x)+4x3f(x)=(x+2)e,f()=2e, 则() A.f(x)只有1个零点 B.f(x)有2个零点 C.x∈(0，+o),f(x)23x D.x∈(0，+o),f(x2ec+ 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.某市生态环境局记录了4月1-7日连续7天的PM2.5预测误差（预测误差=实际浓度-预 测浓度，单位：g/m3),如下表： 日期 1 2 3 × 6 预测误差 -1 2 0 -1 2 2 则以下结论正确的是() A.这组数据的中位数是-1 B.这组数据的众数是2 C.若第8天的预测误差为1，则加入该数据后的平均数不变 D.若第8天的预测误差为1，则加入该数据后的方差变小 I0.棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，点E为BC的中点，P为侧面BCCB,内一动点 (含边界)，且满足DP∥面ADE,则下面正确的是() A.点P的轨迹长度为√5 3,毛棱锥D-4DP的体积为 C.直线D,P与平面ADD,A所成角的正切值最大是2 D.存在点P使平面DBP⊥平面ADE 1l.已知函数f()-式+am-x(aeR),则（) A.当a=0时，函数f(x)有最大值 B.若函数f(x)图象的对称中心为(1，f(1),则a=-1 C.函数(x)在R上一定存在减区间 D.函数f(x)可能有2个零点 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量X~N(2,o2),且P(<0)=0.3,则P(0<X<4)的值为 13.已知圆O:x2+y2=4,过点(2,0)作斜率为k(k>0)的直线1与圆O交于A,B两点，若 三角形AOB的面积为2，则k= 14.若曲线y=e-a(a>0)在x=0处的切线也是曲线y=ln(x+b)(b>0)的切线，则 a+b= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)己知三角形ABC的面积为S,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 V3(a2-b2-c2)=4S. (I)求A: (2)若c0sB=13 4a=7,∠BAC的角平分线交BC于点D,求线段AD的长. 16.(15分)如图，在三棱台ABC-AB,C中，△ABC为等边三角形，AB=2AA=2AB=2, BC=2,且AA⊥AB, A B (1)证明：AA,⊥平面ABC: (2)求平面BB,C与平面AB,C夹角的余弦值. 已知椭圆：x+=@>b>0)的左、右焦点分别为F,乃，过点E 线交C于M,N两点|MW=√2，且△MEN的周长为4√2. (1)求C的方程. (2)已知点P是C上异于左、右顶点A,B的一点. (i)若直线AP和直线BP分别与直线x=2交于点S,T,求△F,ST面积的最小值； (i)设点Q是直线x=2上一点，且FQ⊥PF,证明：直线PQ与C有且仅有一个公共 点. 18.(17分)某次象棋活动上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行 一场象棋比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，若为平局则都积0分象棋比赛结束后， 再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的 和，总得分最高者（允许并列）获得额外奖励.已知每场象棋比赛中每人获胜的概率均为' 每次抽奖每人中奖的概率均为(0<p<1),且各场比赛结果互不影响、每次抽奖结果互不 影响. (1)求甲在象棋比赛中积1分的概率； (2)记甲在活动中总得分为2的概率为f(p),证明：p越大时，(p)越大(0<p<1): (3)若P乞记事件A为甲在象棋比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得额外奖励”， 求P(B|A). 19.(17分)己知函数()=(+1)ln(+1)-· (1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (2)证明：（)≥sin-; (③)证明：inl+ m+…+snna+l.neN. 2,1。 39 n+1 n 2026年高考数学考前猜题卷06（全国二卷通用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，所以. 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据共轭复数的定义求出，计算得到分母后代入原式，通过分母实数化化简复数即可得到结果。 【详解】已知，因此，计算分母：，因此原式化简为； 分母实数化：将分子分母同乘分母的共轭复数， 分子：，由，得分子； 分母：，化简得结果：。 3．已知平面向量满足，与，与，与的夹角相等且不为0，则（    ） A． B． C．2 D．2 【答案】A 【分析】设三个向量的模长均为，根据平面内三个非零向量两两夹角相等且不为0得夹角，将已知模长等式平方后代入公式求解即可. 【详解】设，由于三个平面向量两两夹角相等且不为0，故两两夹角均为，所以，将两边平方展开化简得：。解得（负根舍去），即. 4．在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，若三角形ABC的面积为，则的值为（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 【详解】由面积公式，解得． 由余弦定理，代入，得，即． 于是，所以． 5．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．11 B．12 C．13 D．15 【答案】A 【分析】利用等差数列前项和公式，列方程组求出，再根据通项公式求解． 【详解】，即， 解得：，． 6．有7枚非遗文创印章，分别刻有数字1，2，3，4，5，6，7，现从这7枚印章中随机抽取3枚，则抽出的3枚印章上的数字之和与其余4枚印章上的数字之和相等的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，从7枚非遗文创印章中随机抽出3枚的基本事件总数为． 因为所有数字之和为28，所以要使3枚印章上的数字之和与其余4枚印章上的数字之和相等，则3枚印章上的数字之和应为14． 则满足条件的组合有，，，，共4种情况. 所以“抽出的3枚印章上的数字之和与其余4枚印章上的数字之和相等”的概率为． 7．设椭圆，点和均为椭圆的顶点，直线与椭圆交于两点．当四边形面积取最大值时，实数的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据顶点得出椭圆，再联立得出韦达定理，最后表示面积应用三角换元得出面积最大时参数值. 【详解】由和可得，所以椭圆方程为， 因直线的斜率为，可得其方程为， 又因为直线，将其与联立消去，可得， 由解得，由韦达定理得，所以， 因为，所以四边形为梯形，而直线的方程即， 则梯形的高也即点到直线的距离为， 故梯形的面积为， 由图知面积最大值不在时（此时在上方）取得，故只需考虑，令，则，则，则， 再令，则，， 故， 故当时，取得最大值为. 此时，所以，故当四边形面积取最大值时，此时的值为. 8．已知f（x）是定义在区间上的函数，且，，则（    ） A．只有1个零点 B．有2个零点 C．， D．， 【答案】D 【分析】结合题意构造函数，可得，进而根据函数性质可以判断选项A,B,C；整理原不等式可得，进而转化为证明，构造函数，求导分析函数单调性和最值即可. 【详解】由题意，可得，令， 则，故为常函数，设，m为常数，则， 即，则，， 那么没有零点且，故A，B，C错误； 由对任意，均有，即对任意，均有， 那么． 不等式两边同乘正数，等价于证明， 令，，令得： 时，，递减；时，，递增； 故最小值为，即恒成立，原不等式成立，D正确. 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某市生态环境局记录了4月1-7日连续7天的PM2.5预测误差（预测误差实际浓度-预测浓度，单位：），如下表： 日期 1 2 3 4 5 6 7 预测误差 2 0 3 2 2 则以下结论正确的是（    ） A．这组数据的中位数是 B．这组数据的众数是2 C．若第8天的预测误差为1，则加入该数据后的平均数不变 D．若第8天的预测误差为1，则加入该数据后的方差变小 【答案】BCD 【详解】将数据从小到大排序得：. 对于A，最中间数据是2，所以这组数据的中位数是，故A错误； 对于B，2出现三次，出现两次，其余一次，故众数为2，故B正确； 对于C，前7天预测误差的平均数为， 若第8天的预测误差为1，则加入该数据后的平均数为， 所以加入该数据后的平均数不变， 原数据的方差， 若第8天的预测误差为1，则新数据的方差为， 所以加入该数据后的方差变小，故CD正确. 10．棱长为2的正方体中，点为的中点，为侧面内一动点（含边界），且满足面，则下面正确的是（） A．点的轨迹长度为 B．三棱锥的体积为 C．直线与平面所成角的正切值最大是2 D．存在点使平面平面 【答案】BD 【分析】对于A，通过证明面面平行，进而可得线面平行，进而确定点P的轨迹；对于B，利用等体积法即可判断；对于C，作出线面角，通过分析可知当最短时，最大；对于D，当点为的中点时，平面平面，用向量法证明即可. 【详解】对于A，分别取的中点、，连接、， 分别为的中点，， ∵，且，∴四边形为平行四边形， ，，， 平面，平面，平面， 分别为的中点，，， 又，，，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面， ，平面，∴平面平面， 为侧面内一动点且满足平面， ∴动点的轨迹为，此时平面，∴恒有平面， ，故错误. 对于，，点到平面的距离为正方体的棱长， ∴，故正确. 对于，分别取、的中点M，N，过作平面，连接， 显然点H落在MN上，则为直线与平面所成的角， ，当最短时，最大，显然当时， 最短，由题知是直角边长为1的等腰直角三角形，，故 ，故错误. 对于，当点为的中点时，平面平面，下面证明. 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 为的中点，， ， ， ， ， ，平面，平面 平面，平面平面，故D正确. 11．已知函数，则（    ） A．当时，函数有最大值 B．若函数图象的对称中心为，则 C．函数在上一定存在减区间 D．函数可能有2个零点 【答案】BC 【分析】对于A，求导根据函数的单调性判断即可；对于B，二阶导数求对称中心横坐标或利用对称中心定义判断即可；对于C，求导，结合判别式大于零解出减区间即可判断；对于D，因式分解，结合判别式大于零进行判断即可. 【详解】对于A，当时，， 当时，在上单调递增， 当无限趋于正无穷大时，也无限趋于正无穷大，所以没有最大值，故A错误； 对于B，法一：，令，则， 结合三次函数对称性可知，，所以，故B正确； 法二：若函数图象的对称中心为，则对任意实数，恒有，代入化简得，解得，故B正确； 对于C，，令， 解得或， 当时，所以在上单调递减，故C正确；对于D，， 令，又， 所以有两个不为0的根，所以有3个零点，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量，且，则的值为____________. 【答案】 【详解】因为随机变量，则正态分布曲线的对称轴为， 所以，即. 13．已知圆：，过点作斜率为的直线与圆交于，两点，若三角形AOB的面积为2，则________． 【答案】1 【分析】首先写出直线方程，然后利用点到直线的距离公式以及垂径定理即可求解. 【详解】圆，圆心，半径， 过点斜率为的直线方程为：，即. 由点到直线距离公式得：， 由垂径定理，弦长，的面积代入得： ，两边平方整理得：，即， 将​代入得：，因，故. 14．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则______. 【答案】 【分析】应用导数的几何意义求得在处的切线，对求导，结合已知得切点在直线上，即可得. 【详解】由题设，则，则处切线为，即， 对于，有，又也是的切线， 令，可得，则，即切点在直线上， 所以.故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知三角形ABC的面积为，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，的角平分线交于点，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理和三角形面积公式对已知条件进行转化，进而求出角. （2）先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用正弦定理求出b，最后利用三角形面积公式求出线段的长. 【详解】（1）因为，， 所以 ，即，所以. 又，所以. （2）因为，所以， 所以. 由正弦定理可得，，，又， 所以，解得. 所以线段的长为. 16．（15分）如图，在三棱台中，为等边三角形，，，且． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合棱台的性质及勾股定理逆定理，根据线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据面面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）取的中点为，则，连接，， 三棱台中，，， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，，由，为的中点，所以， 又，所以，所以，即， 又，，，平面，所以平面； （2）由（1）可知，，，两两垂直， 如图，以为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，则， ， ，，   所以，，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17．（15分）已知椭圆 的左、右焦点分别为过点作x轴的垂线交C于M，N两点 且 的周长为 (1)求C 的方程. (2)已知点P是C上异于左、右顶点A，B的一点. （i）若直线和直线分别与直线交于点S，T，求面积的最小值； （ii）设点Q 是直线上一点，且 证明：直线 PQ 与C 有且仅有一个公共点. 【答案】(1) (2)（i）1；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据的周长得到，解得.求出，解得.从而得到椭圆方程. （2）（i）设（），满足.利用点斜式求出直线的方程，求出点的坐标，利用点斜式求出直线的方程，求出点的坐标.利用两点间距离公式求出，结合求出面积，利用导数法得到的单调性，利用单调性得到. （ii）设，，，由，得，利用向量的数量积通过计算得到，从而得到的坐标.利用点斜式求出直线的方程，再将其方程代入椭圆，得到关于的一元二次方程，求出判别式为0，从而得到结论. 【详解】（1）根据的周长为， 由题知，解得.过作轴垂线交椭圆于，， 将代入椭圆方程得可得， 则，代入，得 ，故. 椭圆方程为，即. （2）（i）椭圆左、右顶点，，. 设（），满足. 直线的方程为，交于 ； 直线的方程为 ，交于 . ，即， 的底为，点到的距离为，则面积， 因为，，得，所以， 当时，，解得，则在上单调递增； 当时，，解得，则在上单调递减； 可得当时， . （ii）设，，. ， ， 由，得，即 ， 得，即. 直线的斜率，由，代入可得. 直线的方程：，代入，得直线方程为. 将代入椭圆，得， 因为 ， 则原方程有且仅有一个实数根，即直线与椭圆相切， 即直线与椭圆有且仅有一个公共点. 18．（17分）某次象棋活动上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场象棋比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，若为平局则都积0分.象棋比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得额外奖励.已知每场象棋比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果互不影响、每次抽奖结果互不影响． (1)求甲在象棋比赛中积1分的概率； (2)记甲在活动中总得分为2的概率为，证明：p越大时，越大； (3)若，记事件A为“甲在象棋比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得额外奖励”，求． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】(1)利用n次独立重复试验中恰好k次成功”的二项分布模型求解； (2)利用全概率公式求解，再考虑其单调性； (3)全概率公式和条件概率公式的综合应用. 【详解】（1）甲在象棋比赛中积1分，则甲与乙、丙、丁三人的3场比赛中，共胜1场，故概率为． （2）证明：甲在游戏中总得分为2，设甲在比赛中得分为M，总分为N，易知M可能为1或2， 由全概率公式， 因为二次函数在上单调递增， 所以当p越大时，越大． （3）象棋比赛中在事件A发生的条件下，若B不发生，则存在乙、丙、丁中的某人在比赛中得两分，且在抽奖中得两分，并且甲在抽奖中得0分， A发生当且仅当甲战胜乙、丙、丁3人，故， A与同时发生时，有， 由全概率公式， 所以． 19．（17分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明过程见解析； (3)证明过程见解析 【分析】（1）求导，得到，由导函数几何意义得到切线方程； （2）即证，构造函数，求定义域，得到函数单调性，从而得到不等式；（3）在（2）基础上，得到，求和得到不等式. 【详解】（1）由题可知，，则， 故曲线在点处的切线方程为， 即； （2）要证明，即证，即证， 令，定义域为，显然， 则，其中， 当时，令，则， 其中，，故， 故在上单调递增， 又，故在上恒成立， 故在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增，所以恒成立，从而，当时，等号成立； （3）由（2）知，当时，， 即，当时，，故， 故 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考数学考前猜题卷06（全国二卷通用) (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.设全集U={x∈Zx≤3}，集合A={-3,2,3},B={-3,0,2},则ǎ(AUB)=() A.{-3,0,2,3} B.{-2,-1, C.{-3,2 D.{0,3} 【答案】B 【详解】因为U={x∈Zx≤3}={←3，-2，-1,0,1,2,3A={3,2,3}B=千3,0,2}， 所以U={-3,0,2,3},所以Cu(U)={-2,-1,1 2.已知2=3+i,则，=（() 1+31 A.55 【答案】A 【分析】先根据共轭复数的定义求出z,计算得到分母后代入原式，通过分母实数化化简复 数即可得到结果。 【详解已知z=3+i,因此z=3-i,计算分母：2-1=3-i)-1=2-1,因此原式化简为 分母实数化：将分子分母同乘分母的共轭复数， 分子：(1+i)(2+i)=2+i+2i+,由2=-1，得分子=2+3i-1=1+3i;分母： (2-02+)=2-=4+1=5,化简得结果：)+1+1=+ 2-i5=5+ 1 3.已知平面向量a,万，c满足d==,a与万，方与c,a与c的夹角相等且不为0， a+6-c=2则a=() B.√2 C.2 D.2√2 【答案】A 【分析】设三个向量的模长均为”，根据平面内三个非零向量两两夹角相等且不为0得夹角 2 3, 将已知模长等式平方后代入公式求解即可 【详解】设d=同=日=(>0)，由于三个平面向量两两夹角相等且不为0，故两两夹角均 为 ,所以a-b=ac=万C=-)r2,将a+石-d=2两边平方展开化简得： 2 r2+r2+r2+2× 12 12 2-2×-22x -2:解得=兰（奥银舍去日。-号 4.在三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,满足B= ,且b=2√7，若 3 三角形ABC的面积为3W3,则a+c的值为() A.6 B.8 C.9v2 D.10W5 【答案】B 【详解】由面积公式5=csn8=5。 ac=35,解得ac=12. 由余弦定理b2=a2+c2-2 ac cos B,代入b=2√7，得28=a2+c2-12,即a2+c2=40 于是(a+c)2=a2+c2+2ac=40+24=64,所以a+c=8. 5.己知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S=15,S,=2S6+3,则a,=() A.11 B.12 C.13 D.15 【答案】A 【分析】利用等差数列前n项和公式，列方程组求出a,d,再根据通项公式求解. S3=15 3a+3d=15 【详解】 S,=2S,+3' 即 9a+36d=2(6a,+15d+3' 解得： a1=3 d=2’a,=4+4=3+4×2=11. 6.有7枚非遗文创印章，分别刻有数字1,2,3,4,5,6,7，现从这7枚印章中随机抽 取3枚，则抽出的3枚印章上的数字之和与其余4枚印章上的数字之和相等的概率为() 4 A.35 3 B. C. 2 35 35 D. 35 【答案】A 【详解】由题意知，从7枚非遗文创印章中随机抽出3枚的基本事件总数为C=35 因为所有数字之和为28，所以要使3枚印章上的数字之和与其余4枚印章上的数字之和相 等，则3枚印章上的数字之和应为14. 则满足条件的组合有1,6,7}，{2,5,7}，{3,4,7}，{3,5,6}，共4种情况. 所以抽出的3枚印章上的数字之和与其余4枚印章上的数字之和相等”的概率为35 4 7.设椭圆C:手+芳=(a办>，点40亿0和80)约为椭翻C的顶点，直袋 1 +m 与椭圆C交于M,N两点.当四边形ABMN面积取最大值时，实数m的值为() A.0 B C. 3 D.-1 2 【答案】D 【分析】先根据顶点得出椭圆，再联立得出韦达定理，最后表示面积应用三角换元得出面积 最大时参数值。 【详解】由A2.0)和B(0,1)可得a=2,b=1,所以椭圆方程为+y产=1 因直线AB的斜率为 0-2一2'可得其方程为y= 1-01 2+1, B 又因为直线y之+，将其与手+y2=1联这消去，可得-2加+20-20 由△=4m2-4(2m2-2）>0解得-√2<m<√2，由韦达定理得x+x2=2m,xx2=2m2-2,所 以a-,-+j-- ×2√2-m2=V5V2-m2, 4 因为MN∥AB,所以四边形ABMN为梯形，而直线MN的方程即x+2y-2m=0, 0+2-2ml2m-1 则梯形ABMN的高也即点B到直线MN的距离为d= V1+22 5 放w形aN鸭南80a-+53)-0- 由图知面积最大值不在m>1时（此时MN在AB上方）取得，故只需考虑 π S=(0-m+v2-m)令m=2cosa,则-2<m<1,则ae子则 S=(1-2cosa)(1+2sina 1+sina-cosa )-2sinacosa, 再令1=sina-6osa=2sna-好引， 则t∈(0，V2],2 sinacosa=1-2, 故当t=√5时，S取得最大值为(2+V2×2=4. 此时a一好所以m三-山，放当四边形ABMW面积取最大值时，此时m的值为卫 8.已知f(x)是定义在区间(0，+oo)上的函数，且xf'(x)+4xf(x)=(x+2)e,f(=2e, 则() A.f(x)只有1个零点 B.f(x)有2个零点 C.x∈(0，+o),f(x)≥3x D.x∈(0，+)，f(x)er+ 【答案】D 【分析】结合题意构造函数F()=f()-(x+1)e,可得/(y)=+)e,进面根据函数 4 性质可以判断选项AB.C:整理原不等式可得f≥+，进而转化为证明e之cx,构 x3 造函数h(x)=e-ex,求导分析函数单调性和最值即可. 【详解】由题意，可得[xf(x)-(x+1)e]=0,令F(x)=xf(x)-(x+)e, 则F'(x)=0,故F(x)为常函数，设F(x)=m,m为常数，则m=F(I)=f(I)-2e=0, 即f)=(x+)e,则fx)=x+e,>0. 那么f()没有零点且/2)=Ge<3×2=6,故A,B.C错误： 由对任意x∈R,均有e≥x+l,即对任意x∈(0，+oo),均有e*=ee-l≥ex, 那么f=c+1)e≥c+1小er_ee+1) x4 不等式两边同乘正数t,等价于证明e≥ex, x+1 令h(x)=e-ex,h(x)=e-e,令h'(x)=0得x=l: 0<x<1时，h(x)<0,h(x)递减：x>1时，h(x)>0,h(x)递增： 故h(x)最小值为h(l)=e-e=0,即e≥ex恒成立，原不等式成立，D正确 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.某市生态环境局记录了4月1-7日连续7天的PM2.5预测误差（预测误差=实际浓度-预 测浓度，单位：gm3),如下表： 日期 2 3 4 5 6 预测误差 -1 2 0 -1 3 2 2 则以下结论正确的是() A.这组数据的中位数是-1 B.这组数据的众数是2 C.若第8天的预测误差为1，则加入该数据后的平均数不变 D.若第8天的预测误差为1，则加入该数据后的方差变小 【答案】BCD 【详解】将数据从小到大排序得：-1，-1,0,2,2,2,3. 对于A,最中间数据是2，所以这组数据的中位数是2，故A错误： 对于B,2出现三次，-1出现两次，其余一次，故众数为2，故B正确： 对于C,前7天预测误差的平均数为，(1-1+0+2+2+2+3)=1， 若第8天的预测误差为1，则加入该数据后的平均数为(-1-1+0+2+2+2+3+1上1， 所以加入该数据后的平均数不变， 原数据的方差2=2(1-+(0-+3(2-+(3-门-9。 若第8天的预测误差为1，则新数据的方差为 2(-1-+0-°+3(2-+(6-+0-]=2. 所以加入该数据后的方差变小，故CD正确 I0.棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，点E为BC的中点，P为侧面BCCB内一动点 (含边界)，且满足D,P∥面ADE,则下面正确的是() A.点P的轨迹长度为√5 B。三技锥A-4DP的休职为 C.直线D,P与平面ADD,A所成角的正切值最大是2 D.存在点P使平面D,BP⊥平面ADE 【答案】BD 【分析】对于A,通过证明面面平行，进而可得线面平行，进而确定点P的轨迹：对于B, 利用等体积法即可判断：对于C,作出线面角，通过分析可知当D,H最短时，tan∠PD,H最 大：对于D,当点P为FG的中点时，平面DBP⊥平面ADE,用向量法证明即可. 【详解】对于A,分别取BCCC的中点F、G,连接D,F、FG、DG、B,C、FE, F、G分别为BCCC的中点，.FG∥BC, AB,∥ABDC,且AB,=AB=DC,.四边形AB,CD为平行四边形， ∴.BCIlA D,B,C=AD,∴.FG∥AD, :ADC平面ADE,FG丈平面ADE,∴FG∥平面ADE, ,F、E分别为BCBC的中点，∴.FElICC,FE=CC, 又CCIID D,CC=DD,∴FEIDD,FE=DD, ∴四边形FEDD为平行四边形，∴.DFDE, :DEc平面ADE,DF4平面ADE,.DF∥平面ADE, :FGODF=F,FG,DFc平面D,GF,.平面D,GF∥平面ADE, ·P为侧面BCCB内一动点且满足DP/I平面ADE, ∴.动点P的轨迹为FG,此时D,Pc平面DGF,∴.恒有DP∥平面ADE, :FG=VFC+CG2=VP+1P=V2,故A错误， A B 对于B,S4DD= 1 ×2×2=2,点P到平面AD,D的距离为正方体的棱长2， 2 w02×2-手放B正确 对于C,分别取AD、DD的中点M,N,过P作PH⊥平面ADDA,连接DH, 显然点H落在MN上，则∠PD,H为直线D,P与平面ADDA所成的角， tan∠PDH= HDH,当DH最短时，an∠PDH最大，显然当1上时， PH 2 DH最短，由题知a0V是直角边长为1的等腰直角三角形，÷1m=号故 (tan∠PD,H)mx= 2 =22 故C错误 2 D M A B G E 对于D,当点P为FG的中点时，平面DBP⊥平面ADE,下面证明. 建立如图所示的空间直角坐标系， B 则A(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),D(0,0,2),F(1,2,2),G(0,2,1), P为心的中点，P行2引 -202m-(}0》而=(222 那-2引00r2x-34=0 3 DA·BD=2×(-2)+0×(2H2×2=0, 六111上1 n1=,、1c平面DBP,.DA⊥平面D,BP :1C平面ADE,.平面DBP⊥平面ADE,故D正确 1.已知函数f)-式+am-aeR),则《) A.当a=0时，函数f(x)有最大值 B.若函数f(x)图象的对称中心为(1，f(1),则a=-1 C.函数f(x)在R上一定存在减区间 D.函数∫(x)可能有2个零点 【答案】BC 【分析】对于A,求导根据函数的单调性判断即可：对于B,二阶导数求对称中心横坐标或 利用对称中心定义判断即可：对于C,求导，结合判别式大于零解出减区间即可判断：对于 D,因式分解，结合判别式大于零进行判断即可。 【详解】对于A,当a=0时，f()=-x了()=-1， 当x>1时，f'(x)>0,f(x)在(1，+o)上单调递增， 当x无限趋于正无穷大时，f(x)也无限趋于正无穷大，所以f(x)没有最大值，故A错误： 对于B,法一：f'(x)=x2+2ax-1,令g(x)=x2+2ax-1,则g(x)=2x+2a, 结合三次函数对称性可知，g(1)=2+2a=0,所以a=-1,故B正确： 法二：若函数f(x)图象的对称中心为(1，f(1),则对任意实数t,恒有 f(1+)+f(1-t)=2f(),代入化简得(2+2a)t2=0,解得a=-1,故B正确： 对于C,f'(x)=x2+2ax-1,△=4a2+4>0,令f(x)=0, 解得x=-a-√2+1或x=-a+√d+1, 当-a-Va2+1<x<-a+Va2+1时f'(x)<0,所以f(x)在(-a-Va2+1,-a+Va2+l）上单调 递减，故C正确：对于D,f()=3+3ar-3列f0)=0, 令h(x)=x2+3ax-3,△=9a2+12>0,又h(0)=-3≠0， 所以h(x)=0有两个不为0的根，所以f(x)有3个零点，故D错误 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量X~N(2,o2),且P(X<0)=0.3,则P(0<X<4)的值为 【答】子 【详解】因为随机变量X~N(2,σ2)，则正态分布曲线的对称轴为x=2, 所以(>4)=(<0)=0.3，即P(0<X<4)=1-2P(X>4)=1-2×0.3=0.4. 13.已知圆O:x2+y2=4,过点(2,0)作斜率为k(k>0)的直线1与圆O交于A,B两点，若 三角形AOB的面积为2，则k= 【答案】1 【分析】首先写出直线方程，然后利用点到直线的距离公式以及垂径定理即可求解 【详解】圆0：x2+y2=4,圆心00,0)，半径r=2, 过点(2,0)斜率为k的直线1方程为：y=k(x-2),即-y-2k=0, 由点到直线距离公式得：d= -2k2k (k>0), Vk2+1√k2+1 由垂径定理，弦长1AB=2V产-dF=2N4-d,△A0B的面积S=}ABd=2代入得： 12N4-d.d=dN4-d=2,两边平方整理得：(d-2=0,即d2=2, 将d= 2k Vk2+1 代入=2得：状-2==1，因0，放=1 l4.若曲线y=e-a(a>0)在x=0处的切线也是曲线y=ln(x+b)(b>0)的切线，则 a+b= 【答案】2 【分析】应用导数的几何意义求得y=e-a(a>0)在x=0处的切线，对y=ln(x+b)求导， 结合已知得切点(1-b,0)在直线y=x+1-a上，即可得 【详解】由题设y'=e,则yo=1,则x=0处切线为y-(1-a)=x,即y=x+1-a, 对于)=n(+,有)46又y=+1-a也是y=h(+创的切线， x+b1,可得x=1-b,则y=0,即切点1-6,0)在直线y=x+1-a上， 令、 所以1-b+1-a=0→a+b=2.故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知三角形ABC的面积为S,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 V3(a2-b-c2）=4S. (1)求A: 2)若c0sB=13 a=7,∠BAC的角平分线交BC于点D,求线段AD的长. 4 【跨案】0 15 2)8 【分析】(1)利用余弦定理和三角形面积公式对已知条件进行转化，进而求出角A, (2)先根据同角三角函数的基本关系求出sB,再利用正弦定理求出b,最后利用三角形 面积公式求出线段AD的长 【详解】1D因为S-csin4,e0sA b2+c2-a2 2bc 所以4 besin d=5(a2-b-c)=-253 BbecosA,即sinA=V5os4,所以tanA=V5 又0<A<元，所以A=2亚 3 所以血C=sm(红-4-)=m(g-in cos8-os胥m8-5x片×35-55 21421414 7x35 由正弦定理可得，b=asinB 14=3,c=asinc 7x56 sin A sin A 3 14=5,S,AC=S,4D+S.4CD 2 2 1 r1 π1 所以2x5x3xsi ×5×AD×sin 3xAD×sin3 3=2 解得AD= 8 所以线段AD的长为5 16.(15分)如图，在三棱台ABC-ABC中，△ABC为等边三角形，AB=2AA=2AB=2, BC=2,且AA⊥AB. B B (I)证明：AA⊥平面ABC: (2)求平面BB,C与平面AB,C夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 2) 【分析】(1)结合棱台的性质及勾股定理逆定理，根据线面垂直的判定定理证明即可 (2)建立空间直角坐标系，求出平面BB,C与平面AB,C的法向量，根据面面角的向量求法求 解即可 【详解】1)取AC的中点为0，则404C,连接C0,B0, 三棱台4C-AG中，4C/4C,4C=4C, 所以AC=AO,且AC/1AO,所以四边形AACO为平行四边形， 所以CO/A4,1=1=1,由AB=2,O为AC的中点，所以B0=V5, 又BC=2,所以12+2=，所以11，即AA1⊥B0, 又AA⊥AB,BO∩AB=B,BO,ABC平面ABC,所以AA⊥平面ABC: (2)由(1)可知，OA,OB,OC两两垂直， 如图，以O为坐标原点，OA,OB,OC的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空 间直角坐标系，则A(1,00),B(0,V5,0),( ino). 所以c=(2o.孤9丽-合9小c-150 -2x=0 设平面ABC的法向量为m=(:,,乙)，则 m·AC=0 m·AB=0 即1, 2+ 2+3=0 令y=2,则x=0,云=-V3,所以m=(0,2,-5), 元.BB1=0 13 设平面BB,C的法向量为i=(x2,y2,z2),则 即25-2+名=0 iBC=0 -x2-V3y2=0 令2=1，则2=-V3,2=V3,所以元=（-51,5)， 设平面BB,C与平面AB,C夹角为0，则cosO=cosm,= m.11 m同√7x√万7' 所以平面BBC与平面B,C夹角的余弦值为；. B y B 45分)卫红椭花+a>h>0的左、右焦点分别为F过点B作x猫的垂 线交C于M,N两点|MWM=√2，且△MFN的周长为4√2. (1)求C的方程. (2)已知点P是C上异于左、右顶点A,B的一点. (i)若直线AP和直线BP分别与直线x=2交于点S,T,求△FST面积的最小值： (i)设点Q是直线x=2上一点，且FQ⊥PF,证明：直线PQ与C有且仅有一个公共 点 【答案】0片+y=1 (2)(i)1:(ii)证明见解析 【分析】1)根据△MN的周长得到4a=4N5,解得a求出MN=2少-2，解得b2.从 而得到椭圆方程 (2))设P(6%)(%0),满足乏+=1利用点斜式求出直线4P的方程，求出点S的 坐标，利用点斜式求出直线BP的方程，求出点T的坐标利用两点间距离公式求出 V2x,-2v ST= ,结合三+店=1求出面积S=化（反，》，利用导数法得到5 yo √2-x 的单调性，利用单调性得到Sm (i)设P(),(2,o),F(1,0),由F0⊥PF,得P瓦·F=0,利用向量的数量积 通过计算得到y。,从而得到Q的坐标利用点斜式求出直线PQ的方程，再将其方程代入椭圆 到关于的=元二次方程，求出判别式为 【详解】(1)根据△MFN的周长为ME+ME+NE+NE=4a, 由题知4a=4v2,解得a=√5过F(c,0)作x轴垂线交椭圆于M,N, 将x=c代入椭圆方程得S +6原=1可得y=t6, y2 ×b2 则wN-2沙-5，代入a=5,得2 b2 V2,故b2=1. 椭丽方程为手若-1。即号+少-1 (2)(i)椭圆左、右顶点AV2,0,BV2,0,EL,0). 设P(x0,%）(≠0)，满足5+=1 直被的方程为5万+同.交=25S2 (2+2) 直线即的方为5-间，文=2于72之2-阿 xo-2 ,(2+v2)(2-2)(2+2(x-2)(2-2)x+V2) ST= *o+v2 x,-√2 x+V2)x-2)(x+V2)-2) %(22x-42 %(22x-42) 22x-4W2V2x,-22 V2x。-22 后-2 -2% 即|S7= -2y% y 57的底为.点50到x=2的距离为2-1=1，则面积515T-专号 √2y 因为5<%2，至+g=1,得后=1-三，所以5=台6(52 2 V2-好 V2-x-(2-x） 一X0 -2+x+2x0-x0 S'= V2-x v2-x号 2(x-1) 2-x 2-x6 (2-x)N2-x6 当S>0时，x-1>0,解得1<x,<2,则S在(1，V2)上单调递增： 当S<0时，。-1<0，解得-V2<x。<1,则S在(V2,上单调递减： 可得当x。=1时，Sin=1· (i)设P(x%,(2,e),E(1,0).P瓦=(1-x,-%），F0=(Lo), 由FQ⊥PF,得PF,·FQ=0,即(1-x)1+(-yo)yo=0, FB 直线P的斜率k= 为上5，由对=1乏，代入可特长= x(-2) Xo 2-x。(2-) (2-x）2y0 直线P0的方程：y-%=-(Gx-),代入+2以=2，得直线P四方程为多+%y=1. 2yo 2 1-ox 将，-2代入椭圆艺+y2=1,得0+系)加2兰+ -2=0, yy 因为△=(- 2-4x0+)02)×(系 (22)=4422+ 8+ 、8 44=0, +8+ 2 4x6=- +8+ 则原方程有且仅有一个实数根，即直线P?与椭圆C相切， 即直线PQ与椭圆C有且仅有一个公共点， 18.(17分)某次象棋活动上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行 一场象棋比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，若为平局则都积0分象棋比赛结束后， 再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的 允许并列)获得额外奖励.已知每场象棋比赛中每人③ 每次抽奖每人中奖的概率均为(0<p<),且各场比赛结果互不影响、每次抽奖结果互不 影响。 (1)求甲在象棋比赛中积1分的概率： (2)记甲在活动中总得分为2的概率为f(p),证明：p越大时，f(p)越大(0<p<): 1 (3③)诺卫=2，记事件4为“甲在象棋比赛中积3分”，事件B为甲在游戏中获得额外奖励， 求P(B|A). 【案】0号 (2)证明见解析 器 【分析】(1)利用n次独立重复试验中恰好k次成功的二项分布模型求解； (2)利用全概率公式求解f(P),再考虑其单调性； (3)全概率公式和条件概率公式的综合应用 【详解】(1)甲在象棋比赛中积1分，则甲与乙、丙、丁三人的3场比赛中，共胜1场，故 率为c-号 (2)证明：甲在游戏中总得分为2，设甲在比赛中得分为M,总分为N,易知M可能为1 或2， 由全概率公式，f(p)=P(N=2)=P(M=2)P(N=2M=2)+P(M=1)P(N=2M=1) c)i+cGp-号+1osp<t 因为二次函数y=(2+1)在(0,1)上单调递增， 所以当p越大时，f(p)越大(0<p<1). (3)象棋比赛中在事件A发生的条件下，若B不发生，则存在乙、丙、丁中的某人在比赛 中得两分，且在抽奖中得两分，并且甲在抽奖中得0分， 4发生当且仅当甲战胜乙、丙、丁3人，故P(4利)=习 4与u同时发生、有P()-[周c写xpx-p广-（写 由全概率公式P(A)=P(AB)+P(AB), P(B)()-P(AB)1P95 P(A) P(4)96 19.(17分)已知函数()=(+1)ln(+1)-. (1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (2)证明：()≥sin-; 2.1 ③)证明：)sin1+sn。+…+” ,simL<h(n+l）,neN. 32 n+l n 【答案】(1)y=ln2x+ln2-1 (2)证明过程见解析： (3)证明过程见解析 【分析】(1)求导，得到f'(1)=n2,由导函数几何意义得到切线方程： (2)即证(x+1)n(x+1)-sinr≥0，构造函数，求定义域，得到函数单调性，从而得到不等 式：（3)在2)基础上，得到本1如。(a+)-hn,求和得到不等式 【详解】(1)由题可知f(I)=2n2-1,f'(x)=ln(x+1)+1-1=ln(x+1),则f'(=ln2, 故曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y-(2ln2-1)=ln2(x-1), 即y=n2x+ln2-1; (2)要证明()≥sin-,即证(x+l)n(x+1)-x≥sinx--x,即证(x+1)ln(x+)-sinx≥0， 令g(x)=(x+1)n(x+1)-simr,定义域为(-l,+∞)，显然g(0)=0, 则g(x)=ln(x+1)+1-cosx,其中g'(0)=0, 当xe(-10)时，令()=g(=lh(x++1-cosx,则h()= +sinx, x+1 其中>1，sxe(sin0),故N)+sinx>0, x+1 x+1 故g'(x)=n(x+1)+1-cosx在x∈（-l,0)上单调递增， 又g(0)=0,故g(x)<0在x∈(-1,0)上恒成立， 故g(x)=(x+1)ln(r+1)sinr在x∈(-l,0)上单调递减， 当x∈(0，+oo)时，g'(x)=ln(x+1)+1-cosx≥n(+1>0,所以g(x)在xe(0,+∞)上单调递 增，所以g(x)≥g(0)=0恒成立，从而()≥sin-,当x=0时，等号成立； (3)由(2)知，当x∈(0，+oo)时，(x+1)ln(x+1)>sinx, sin 即(e小0当方时， n 后)-m. n+l nn n t…+m,sin2<ln2-1nl+n3-ln2+…+ln+）-ln 1 3 n+l n In(n+1)-In1=In(n+1),nEN" 2026年高考数学考前猜题卷06（全国二卷通用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知平面向量满足，与，与，与的夹角相等且不为0，则（    ） A． B． C．2 D．2 4．在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，若三角形ABC的面积为，则的值为（    ） A．6 B．8 C． D． 5．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．11 B．12 C．13 D．15 6．有7枚非遗文创印章，分别刻有数字1，2，3，4，5，6，7，现从这7枚印章中随机抽取3枚，则抽出的3枚印章上的数字之和与其余4枚印章上的数字之和相等的概率为（   ） A． B． C． D． 7．设椭圆，点和均为椭圆的顶点，直线与椭圆交于两点．当四边形面积取最大值时，实数的值为（    ） A．0 B． C． D． 8．已知f（x）是定义在区间上的函数，且，，则（    ） A．只有1个零点 B．有2个零点 C．， D．， 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某市生态环境局记录了4月1-7日连续7天的PM2.5预测误差（预测误差实际浓度-预测浓度，单位：），如下表： 日期 1 2 3 4 5 6 7 预测误差 2 0 3 2 2 则以下结论正确的是（    ） A．这组数据的中位数是 B．这组数据的众数是2 C．若第8天的预测误差为1，则加入该数据后的平均数不变 D．若第8天的预测误差为1，则加入该数据后的方差变小 10．棱长为2的正方体中，点为的中点，为侧面内一动点（含边界），且满足面，则下面正确的是（） A．点的轨迹长度为 B．三棱锥的体积为 C．直线与平面所成角的正切值最大是2 D．存在点使平面平面 11．已知函数，则（    ） A．当时，函数有最大值 B．若函数图象的对称中心为，则 C．函数在上一定存在减区间 D．函数可能有2个零点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量，且，则的值为____________. 13．已知圆：，过点作斜率为的直线与圆交于，两点，若三角形AOB的面积为2，则________． 14．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知三角形ABC的面积为，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，的角平分线交于点，求线段的长. 16．（15分）如图，在三棱台中，为等边三角形，，，且． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分）已知椭圆 的左、右焦点分别为过点作x轴的垂线交C于M，N两点 且 的周长为 (1)求C 的方程. (2)已知点P是C上异于左、右顶点A，B的一点. （i）若直线和直线分别与直线交于点S，T，求面积的最小值； （ii）设点Q 是直线上一点，且 证明：直线 PQ 与C 有且仅有一个公共点. 18．（17分）某次象棋活动上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场象棋比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，若为平局则都积0分.象棋比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得额外奖励.已知每场象棋比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果互不影响、每次抽奖结果互不影响． (1)求甲在象棋比赛中积1分的概率； (2)记甲在活动中总得分为2的概率为，证明：p越大时，越大； (3)若，记事件A为“甲在象棋比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得额外奖励”，求． 19．（17分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $