河南郑州外国语学校2025-2026学年高三全真模拟测试（二）数学试卷

**基本信息** 高三数学模拟卷覆盖集合、概率、立体几何等核心知识，通过AI答题情境、动态几何问题设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、抛物线准线、线面关系|第7题以圆与直线相切运动为背景，考查动态面积比较，体现数学眼光| |多选题|3/18|复数性质、三角函数图像、排列组合|第11题结合小球放盒子情境，考查概率与数列单调性，渗透数学思维| |填空题|3/15|线性回归残差、函数对称性、等比数列|第14题三圆外切与直线相切，融合几何直观与等比数列运算| |解答题|5/77|独立性检验、向量新定义、数列求和、函数零点、立体几何与轨迹|第15题以AI知识答题为情境设计统计案例，第19题综合立体几何与轨迹方程，注重数学语言表达与综合应用|

《郑州外国语学校2025-2026学年高三全真模拟测试（二）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A C B A D A B AD ACD ABD 12. 13. 14. 15.解：（1）由，得愿意报名参加答题活动人数为，.........1分 由，得愿意报名参加答题活动的男生人数为，.............2分 愿意报名参加答题活动的女生人数为，............................3分 所以列联表为： 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 由表知，从不愿意报名参加答题活动的学生中随机选择1人，选到女生的概率为：. ..........................................................6分 （2）零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关， 则， ........................10分 依据小概率值的独立性检验，推断不成立，.......................12分 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001...13分 16. 解：（1）由题意可得，， 又因为，则，， 又、、三点共线，则存在实数使得， 即， 由平面向量基本定理得，解得，所以实数的值. （2）由平面向量数量积的定义可得，由题意可得， 所以. 同理，， ， 所以， 又，所以， 所以． 17．解：（1）法一：因为数列是等差数列，设公差为， 因为，所以， 即，解得，.............................................2分 所以， 数列的通项公式为． ........................................3分 法二：因为，所以，解得， 所以公差， ...............................................2分 所以， 数列的通项公式为． ...........................................................3分 由，当时，，得，.....................4分 当时，，所以， 所以，即，.....................................................6分 又，所以． 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以. ...............7分 （2）由（1）知，，， 所以， ..........................11分 所以 ． ...............................................14分 故数列的前n项和. .......................................15分 18. 解：（1）由题意得的定义域为，， 当时，，则在区间内单调递增； 当时，由，得，（舍去）， 当时，，单调递增，当时，，单调递减． 所以当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）(i)依题意，函数的定义域为， 所以函数有两个不同的零点， 可得方程在有两个不同根， 得到函数与函数的图象在上有两个不同交点， 又，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 又有且只有一个零点是1，且在时，，在时，， 如图，的图象如图： 可见，要想函数与函数在图象上有两个不同交点，只需． (ii)由(i)可知分别为方程的两个根，即，， 所以原式等价于． 因为，，所以原式等价于． 又由，作差得，，即， 所以原式等价于． 因为，原式恒成立，即恒成立， 令，，则不等式在上恒成立． 令，则． 当时，可见时，，所以在上单调递增， 又，在恒成立，符合题意； 当时，可见当时，；当时，， 所以在时单调递增，在时单调递减． 又，所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去． 综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以． 19. 解：（1）因为平面，平面平面，，所以． 所以直线CD在内的投影为直线AB，所以直线CD与所成角为． 过D作，垂足为F因为CD平分，所以． 又，所以，所以． 又，所以．因为，所以， 所以直线CD与平面所成角为． （2）（ⅰ）曲线是椭圆， 理由如下：由（1）可知，， 所以F是AC的中点，设AB的中点为O，所以． 又，所以．在内过O作，所以， 以O为原点，OG，OB，OF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系． 因为，所以， 设，又，则． 因为， 又，所以， 化简得，即，所以曲线是椭圆． （ⅱ）方法一：设． 在平面内，因为l与AB不重合，可设， 由，得， 所以． 由对称性知，若存在定点T满足条件， 则T必在平面与的交线AB上，故可设． 若，则，即， 因为， 所以， 当时，上式恒成立，所以符合题意； 当时，有， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以，即． 因为上式对于任意的恒成立，所以． 综上，存在点T满足，或时，符合题意． 方法二：设 在平面内，因为l与AB不重合，可设：， 由，得， 所以． 由对称性知，若存在定点T满足条件，则T必在平面与的交线AB上，故可设． 当T与B重合时，因为，又PT，，所以． 所以当时，符合题意． 当T与B不重合时，过B作，垂足分别为．连接， 则因为，所以． 又，所以平面， 所以，同理， 又，所以，所以， 所以，所以直线BT平分， 又BT在y轴上，所以在平面内直线PT，QT的倾斜角互补， 在平面内，设直线PT，QT的斜率分别为， 则， 对于任意的恒成立，所以． 综上，存在点T满足，或时，符合题意． 答案第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州外国语学校2025-2026学年高三全真模拟测试（二）试卷 数　学 （120分钟 150 分） 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集，则 （  ） A． B． C． D． 2．已知，，则“”是“”的（  ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件D．既不充分又不必要条件 3．抛物线的准线方程为（  ） A． B． C． D． 4．已知，，，那么的大小为（  ） A． B． C． D． 5．若直线平面，则下列结论中成立的个数是（  ） ①内的所有直线与异面； ②内的所有直线与都相交； ③内存在唯一的直线与平行； ④内不存在与平行的直线． A．0 B．1 C．2 D．3 6. 已知事件A，B满足，，若A与B互斥，记，若A与B相互独立，记，则（  ） A．0 B．0.1 C．0.14 D．0.24 7. 已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从点A出发，点P沿着直线l向右､点Q沿着圆周按逆时针以相同的速率运动.连接OA，OQ，OP，OP与圆O交于点B，如图所示，记图中两个阴影部分的面积分别为，.当点Q运动到点A时，点P也停止运动，在这个过程中，，的大小关系是（  ） A． B． C． D．先，再，最后 8．的展开式中，共有多少项（  ） A．45 B．55 C．120 D．165 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．设为复数为虚数单位），下列命题正确的有（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（  ） A． B． C．函数在上单调递减 D．若将函数的图象沿轴平移个单位后关于y轴对称，则的最小值为 11. 将编号为1，2，……，n的n个小球放入编号为1，2，……，2n的2n个盒子中，每个盒子至多放一个小球，且对任意，号球所在的盒子编号小于号球所在的盒子编号，记为号球放入编号为k的盒子的概率，下列说法正确的有（  ） A．当时，共有6种放小球的方法 B．当时，2号球放入的盒子编号不小于3的方法共有16种 C．当时， D．当时，在处取得最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知两个变量和之间具有较强的线性相关关系，且关于的经验回归方程为，由它计算出成对样本数据对应的残差为0.12，则______． 13．函数的图象关于点对称，且，则______． 14. 如图，圆心为的三个两两外切的圆均与直线相切，其中圆的半径为，三个圆的半径大小成等比数列，则的面积大小为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（13分）某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生､女生各取100人.现从这200名学生中随机选1名学生，设事件为“选到的学生愿意报名参加答题活动”，事件为“选到的学生为男生”，且. (1)根据已知条件，完成下列列联表.从不愿意报名参加答题活动的学生中随机选择1人，设选到女生的概率为，求的值； 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 (2)依据小概率值的独立性检验，该校学生报名参加答题活动是否与性别有关. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.（15分）如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．假设． (1)设、，若、、三点共线，求实数的值； (2)设，求的面积． 17.（15分）已知等差数列的前项和为，且，，数列的前项和为，满足． (1)求数列，的通项公式； (2)已知数列满足：，求数列的前n项和． 18.（17分）已知函数． (1)若函数，求函数的单调区间； (2)若函数有两个不同的零点，记两个零点分别为，且． (i)求的取值范围； (ii)已知，若不等式恒成立，求的取值范围． 19.（17分）在中，的平分线交AB于点D，．平面过直线AB，且与所在的平面垂直． (1)求直线CD与平面所成角的大小； (2)设点，且，记E的轨迹为曲线，以AB中点O为原点，建立适当的坐标系． (i)判断是什么曲线，并求出的轨迹方程； (ii)不与直线AB重合的直线l过点D且交于P，Q两点，试问：在平面：内是否存在定点T，使得无论l绕点D如何转动，总有？若存在，指出点T的位置；若不存在，说明理由． 试卷第1页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $