河南郑州外国语学校2025-2026学年高三下学期3月阶段检测数学试题

郑州外国语学校2025-2026学年下期高三调研7考试试卷 数　学 （120 分钟 150 分） 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，若含有4个元素，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司，每人出资50万元作为启动资金投入生产，到当年年底，资金增长了.预计以后每年资金年增长率与第一年相同.四人决定从第一年开始，每年年底拿出60万元分红，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底公司分红后的剩余资金为万元，则至少经过（   ）年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元？（年数取整数，参考数据：） A．5 B．6 C．7 D．8 4．已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中系数为实数且最大的项为（   ） A．第三项 B．第四项 C．第五项 D．第五项或第六项 5．购买手办盲盒是当下青年人的潮流之一，国产动漫手办越来越受欢迎.若某种手办盲盒产品共有三种玩偶，任意一种玩偶出现的概率相等，则购买3个盲盒能集齐3种玩偶的概率为（    ） A． B． C． D． 6．若曲线与圆恰有一个公共点，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 7．已知正实数满足，则（     ） A．2 B．1 C．-1 D．0 8．已知抛物线的焦点为，为的准线与轴的交点，，在抛物线上，若为等腰直角三角形，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 0 1 2 9．已知随机变量的分布列如下，则（    ） A． B． C． D． 10．在中，三个内角所对的边分别为，若，，的面积为1，则（   ） A． B． C． D． 11．边长为2的正方体中，动点满足，.则下列结论正确的是（    ） A．平面 B．四面体的体积为 C．设直线与所成角为，则的最大值为 D．若直线与平面所成角的正弦值为，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．向量满足且，则与所成夹角的余弦值为_______． 13．已知函数的极小值大于0，则的取值范围为__________. 14．双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线上一点，若的内切圆圆心为，则外接圆的半径为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）人工智能技术（简称技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，并迅速在各行各业中得到应用和推广，教育行业也不例外．某市教体局为调查本市中学教师使用技术辅助教学的情况，随机抽取了该市120名中学教师，统计了他们一周内使用技术帮助制作课件的情况，并将一周内使用技术帮助制作课件的节次不少于4次的认定为喜欢使用技术，否则认定为不喜欢使用技术，经统计得到如下列联表． 年龄 是否喜欢使用技术 合计 是 否 不超过45岁 46 14 60 超过45岁 32 28 60 合计 78 42 120 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为该市中学教师是否喜欢使用技术与年龄有关； (2)将频率视为概率，现从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，在抽中喜欢使用技术的教师的条件下，求此人年龄超过45岁的概率． 附：，其中． 16．（15分）记为等差数列的前项和.已知且. (1)求的通项公式； (2)设函数，，求数列的前项和. 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，是边长为2的等边三角形，为侧棱的中点，为线段上一点. (1)证明：平面平面； (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值； (3)设点为三棱锥的外接球的球心，试判断三棱锥 的体积是否为定值？若是，求出该定值；若不是， 请说明理由. 18．（17分）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，长轴长为4，且以短轴为直径的圆与直线相切. (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线分别交轴于两点，证明： （ⅰ）的横坐标成等差数列； （ⅱ）与的面积之比为定值. 19．（17分）已知函数， (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，函数，且不等式恒成立，求实数m的取值范围. 试题第1页，共4页 试题第1页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 郑州外国语学校2025-2026学年下期高三调研7考试 数　学 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C C D A C B AD AC 题号 11 答案 ACD 12． 13． 14． 15．【详解】（1）零假设该市中学教师是否喜欢使用技术与年龄无关，------1分 而，---------------------------5分 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为该市中学教师是否喜欢使用技术与年龄有关.--------------------------6分 （2）设事件为从抽取的120名中学教师中随机抽取一人，抽中喜欢使用技术的教师， 事件为从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，此人年龄超过45岁，------7分 由题意，，----------------------------------------11分 则. --------------------------------------------13分 16．【详解】（1）设数列的公差为，由可知 ，则----------------------------------------1分 又，令可得---------------------------------------2分 联立解得，，则--------------------------------------------4分 .--------------------------------------------------------------5分 （2）当，时， ，------------------------------------------------7分 当，时，成立，---------------------------------8分 所以，， 则---------------------------------------------10分 ----------------14分 -----------------------------------------------------15分 17．【详解】（1）平面平面，平面平面 ，，且平面，则平面，------------------------------------2分 因平面，则，又，则， 因平面，则平面，-----------------------4分 又平面，故平面平面.----------------------------------5分 （2）由平面，平面平面，平面， 则故为的中点，-----------------------------------------------6分 取的中点，连接，，则平面，因平面，则， ，平面，所以平面 故可以为坐标原点，，所在直线为轴，过作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，-------------------------------------------7分 由题意，，，，， 则，，. 设平面的法向量为， 则，故可取，-------------------------------9分 设与平面所成角为，则.------------------11分 （3）由（1）知，平面，因平面，则， 即为直角三角形，又也为直角三角形， 则三棱锥外接球的球心为线段的中点.--------------------------12分 ，即 ，在平面外，在平面内，则平面，故点到平面的距离等于点到平面的距离， 又等于点到平面的距离的半.-----------------------------------------13分 故-15分 18．【详解】（1）由已知得，，所以，------------------------ -----1分 原点到直线的距离为，---------------------------3分 所以的方程为. -------------------------------------------------4分 （2）（i）当过点的直线斜率不存在时，直线与椭圆只有1个交点，舍去--5分 设直线的方程为， 设、，由， 消去整理得，所以，解得， ，，--------------------------------------8分 直线的方程为，令，得， 同理可得.-------------------------------------------10分 . 又因为， . 所以，所以的横坐标成等差数列；--------------13分 （ⅱ）由（ⅰ）知为的中点，得，--------------------------14分 所以，----------------------16分 所以与的面积之比为.---------------------------------------17分 19．【详解】（1）当时，，定义域为， ，------------------------------------------------------1分 当时，，函数在上单调递减； 当时，令，得；令，得， 函数在上单调递增，在上单调递减．------------------------3分 综上，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减．----------------4分 （2）当时，，当时，，单调递增， 显然不成立；-----------------------------------------------------5分 当时，由，得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的极大值为.由恒成立，得， 即，解得.--------------------------------------------------7分 原不等式化为对任意和恒成立. 令，则. 当时，的最小值为的最小值，故.，--9分 ，令，， 则恒成立，在上单调递增． 由于，，由零点存在性定理， ，使得，即，（*）-------------------------11分 当时，，，当时，，， 即在上单调递减，在上单调递增， ，------------------------------------------12分 由（*）式可知，，， 令，，又，，即在上为增函数， ，即，，-------------------------------------14分 由及代入，， ，即实数m的取值范围为.-------------------------------------17分 试题第1页，共4页 答案第1页 共5页 学科网（北京）股份有限公司 $