专题03 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、过桥模型（几何模型讲义）数学新教材沪教版五四制八年级下册

专题03. 特殊的平行四边形中的最值模型 之将军饮马、遛马、造桥模型 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 6 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 9 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 12 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 14 19 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． （2024·西安·二模）自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？（即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、． 1）将军饮马模型 条件：如图（1）（2），A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）：点A、B在直线m两侧： 模型（2）：点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 条件：如图（3）（4），A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（3）：点A、B在直线m同侧： 模型（4）：点A、B在直线m异侧： 图（3） 图（4） 模型（3）：如图（3），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（4）：如图（4），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 条件：如图（5）（6）（7），A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 模型（5）两个点在直线外侧；模型（6）内外侧各一点；模型（7）两个点在内侧 图（5） 图（6） 图（7） 图（8） 模型（5）（两点都在直线外侧型） 如图（5），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（6）（直线内外侧各一点型） 如图（6），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（7）（两点都在直线内侧型） 如图（7），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 条件：如图（8）A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 模型（8）：如图（8），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 2）将军遛马与过桥模型 模型（1）：将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1）； 点A、B在直线m同侧 （图2）； 图1 图2 图3 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 模型（2）：将军造桥（过桥）模型 已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 将军造桥（过桥）模型：如图2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 例1（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，在菱形中，，，分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于两点，作直线与交于点，如果点为线段上一动点，那么的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 例2（2025·安徽马鞍山·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在边上，且点、分别为边、上的动点，将沿直线翻折得到，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 例3（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 例4（2025·江苏扬州·三模）如图，在菱形中，，，点，分别是边和对角线上的动点，且，连接，相交于点，点是边上的一个动点，连接，，则的最小值是___________． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 例1（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，菱形的边长是10，，交于点，点P为直线上一点，点P与点关于对称，为中点，连接、，则的最大值是 ． 例2（24-25·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 例1（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，E是边上一点，，F是直线上一动点，将线绕点E逆时针旋转得到线段，连接则的周长最小值是_________． 例2（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，，，点D是延长线上一点，以为邻边作． （1）连接，则面积为___________． （2）连接，则的周长最小值为___________． 例3（24-25八年级上·广东广州·期末）在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2 (1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE； (2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长； (3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积． 例4（2025·陕西榆林·三模）问题探究 (1)如图1，在四边形中，，，若，则的长为______； (2)如图2，在等腰中，，，点D是的中点，点E、F分别为边、上的动点，连接、、、，若，求周长的最小值； 问题解决 (3)2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动，各地积极探索为居民健康减“负”．为了提高全民健身环境，某地欲建一个形如五边形的健身中心，如图3，，，米，米，米，是一条走廊，将四边形规划为力量训练区，区域规划为有氧器械区，在上确定点P、Q（点P在点Q左侧），且满足米，沿线段、、摆放某种小型健身器材，请计算的最小值． 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 例1（24-25九年级下·陕西榆林·月考）如图，在正方形中，，点、是对角线上的两个动点，且，连接、，则的最小值是_______． 例2（25-26九年级上·四川内江·期末）如图，在矩形中，，动点分别在对角线上（点在点左侧），连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例3（2026·陕西西安·一模）如图，菱形的边长为，，点在边上，，点、在对角线上，，连接、，则的最小值是______． 例4（25-26八年级上·四川宜宾·期末）如图，在长方形中, ，，，则CE+DF的最小值是________． 1．（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，正方形的边长是5，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值是（   ） A．5 B． C． D． 2．（2025·山东济宁·模拟预测）如图，矩形中，，点、分别为、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 ∵四边形是矩形， 3．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，为正方形边上一点，，，为对角线上一个动点，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D．10 4．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在矩形中，，，点P、点Q分别在上，，线段在上，且，连接，则线段的最小长度是（    ）．    A．4 B．5 C．6 D．7 5．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，菱形的边长为4，且，是的中点，为上一点且的周长最小，则的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·湖北襄阳·自主招生）如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为　　    A． B． C．14 D．12 7．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，正方形的面积为49，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为_________． 8．如图，矩形中，，E为边的中点，点P、Q为边上两个动点，且，当_____时，四边形的周长最小． 9．（24-25八年级下·江西南昌·期中）请你认真阅读思考下面的材料，完成相关问题． 【数学模型】 如图①，A，B是直线l同旁的两个定点，在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，且 【模型应用】 (1)如图②，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．在l上确定一点P，则的最短路径长为______米； (2)如图③，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上一个动点，求的最小值； (3)如图④，在平面直角坐标系中，点，．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 10．（24-25八年级上·陕西西安·月考）问题提出 （1）如图1，线段，P为线段上的一动点，于点A，于点B．若，，则的最小值为_________； 问题解决 （2）为培养学生的劳动能力，五育并举．学校计划用栅栏在校园花园内建造学生自用地，围成的两块三角形区域分别种植菠菜和生菜，且种植菠菜的面积是生菜的面积的2倍．小伟所在的数学建模社团想利用所学的知识进行设计．如图2，建立平面直角坐标系，两条栅栏分别为，．已知点，，，在四边形内部确定一点P，使得．按照规划要满足的值最小，请求出的值最小时点P的坐标． 11．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接，已知线段，，，设．    (1)用含x的代数式表示的长； (2)请问点C满足什么条件时，最小？最小为多少？ (3)根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值． 12．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，点，，，分别在各边上，且，，则四边形周长的最小值为______． 13．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，点，分别是线段，上的动点（点不与点重合），且，连接，，则的最小值为___． 14．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，P是矩形的对角线上一点，，，于点E，于点F．连接，，则的最小值为_____． 15．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，，，，分别是，上的两个动点，，沿折叠形成，连接，，则的最小值是______． 16．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，边长为的正方形内有一动点，满足，为边上的动点，连接，． （1）当点为边的中点时，长的最小值为___________； （2）的最小值为___________． 17．（24-25九年级上·吉林长春·期末）古罗马时代，亚历山大有一个著名的学者叫海伦，一天罗马的一位将军专程跑去问海伦这样一个问题：每天从军营A出发，先到河边给马喝水，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？海伦思考后便给出了答案，也就是现在著名的“将军饮马”问题．其实“将军饮马”实质要解决的问题是：要在直线上找一点P使得的值最小． (1)如图1，点A到直线的距离，点B到直线的距离，，要解决该最小值问题，如图2，作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，此时P即为所求点，则的最小值为______； (2)如图3，在等腰中，，，D是边的中点，E是边上一动点，则的最小值是______； (3)如图4，正方形的边长是6，点E是边上一动点，连接，过点A作于点F，点P是边上另一动点，则的最小值为______． 18．（24-25八年级上·陕西西安·月考）【问题发现】 （1）如图1所示，将军每天从军营出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的军营开会，为了方便，将军给自己制定了方案，找到了饮马的最佳位置，如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于，点就是所求位置． 直线是点，的对称轴， ． ． 根据“ ”可得的最小值是． 【问题探究】（2）如图3，在正方形中，，是边上的一点，且，是上的一个动点，求周长的最小值． 【问题解决】（3）如图4、在长方形中，，，是边上一点，且，点是线段上的任一点，连接，以为直角边在上方作等腰直角三角形，为斜边．连接，边上存在一个点，且，连接，的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长最小值；若不存在，请说明理由． 19．（24-25八年级下·全国·期中）李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题． “将军饮马”问题的探究与拓展 八年级三班　李明 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 （1）问题1．如图2，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长． （2）问题2．如图3，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． （3）问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【模型迁移】 （4）问题4．如图5，菱形中，对角线相交于点．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 20．（2025·河南周口·二模）利用轴对称求最值的核心思路是通过轴对称变换，将复杂的几何问题转化为简单的对称问题．具体步骤如下：首先需要确定问题的对称轴，这通常是根据题目的几何条件来确定的．然后构造对称点，将动点关于对称轴构造出对称点，这样可以将原问题转化为两个对称点之间的问题．请据此解答下面的问题． 问题提出 （1）如图，已知，是内一点，，点，分别是，边上的动点（不与点重合），求周长的最小值．我们可以分别作点关于，的对称点，，然后连接，，与，有两个交点，当、分别与这两个交点重合时，如图，周长最小． 的度数是 ； 周长的最小值是 ． 问题探究 （2）如图，在等腰中，，，点是的中点．在上取点，连接，，试求的最小值． 问题解决 （3）如图，四边形为一个矩形绿地，点为矩形的中心，通过测量得，米，在绿地边上存在一点P，使得的值最小．请直接写出这个最小值． 21．（2026九年级·全国·专题练习）如图，在菱形中，，对角线交于点，点分别在上，且．点为上一点，则的最大值为_______． 22．（2026九年级·全国·专题练习）如图，正方形的对角线长为10．是的平分线，点E是边上的动点，在上找一点F，使得的值最小，则最小值为_____________． 23．（25-26九年级上·湖南·月考）如图，正方形沿对角线对折得，已知，，点为边上的点，点在边上移动，若的最小值是，则______． 24．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，直线，在直线上方作等边，点B，C在直线上，延长AC交直线于点D，在上方作等边，点F在直线上且在点D右边．动点M，N分别在直线，上，且，若，则的最小值是________． 25．（25-26九年级上·四川达州·期中）如图所示，四边形是正方形，边长为6，点分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在上，且D点的坐标为，P是上一动点，则的最小值为__________． 26．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，正方形的边长为为正方形内一个动点，且，点在边上运动，连接，则的最小值为_____． 27．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中， ，D是的中点，直线l经过点D，垂足分别为E，F，则的最大值为_______． 28．（2025·广西·一模）如图，已知正方形中，点，分别在边、上，且，连接、，若的最小值为，则______．    1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03. 特殊的平行四边形中的最值模型 之将军饮马、遛马、造桥模型 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 6 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 9 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 12 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 14 19 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，∴当重合时，最小，最小值为， ∵，，在中，∴，，∴，， ∵，∴，故答案为： （2024·西安·二模）自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？（即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、． 【答案】米 【详解】解：如图所示，将点A沿着垂直于支流1的河岸的方向平移米得到，连接，将点B沿着垂直于支流2的河岸的方向平移米得到，连接， ∴四边形和四边形都是平行四边形，∴， ∴， ∴当四点共线时，最小，即此时最小； 如图所示， 分别延长交于H，∵支流1和支流2与线段所夹的锐角分别为、， ∴，∴，∴米， ∴米，∴米，米， ∴米， ∴的最小值为米． 1）将军饮马模型 条件：如图（1）（2），A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）：点A、B在直线m两侧： 模型（2）：点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 条件：如图（3）（4），A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（3）：点A、B在直线m同侧： 模型（4）：点A、B在直线m异侧： 图（3） 图（4） 模型（3）：如图（3），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（4）：如图（4），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 条件：如图（5）（6）（7），A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 模型（5）两个点在直线外侧；模型（6）内外侧各一点；模型（7）两个点在内侧 图（5） 图（6） 图（7） 图（8） 模型（5）（两点都在直线外侧型） 如图（5），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（6）（直线内外侧各一点型） 如图（6），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（7）（两点都在直线内侧型） 如图（7），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 条件：如图（8）A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 模型（8）：如图（8），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 2）将军遛马与过桥模型 模型（1）：将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1）； 点A、B在直线m同侧 （图2）； 图1 图2 图3 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 模型（2）：将军造桥（过桥）模型 已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 将军造桥（过桥）模型：如图2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 例1（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，在菱形中，，，分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于两点，作直线与交于点，如果点为线段上一动点，那么的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】先证明，推出，推出当点与点重合时，的值最小，求出即可． 【详解】解：如图，连接，，，设交于点，，交于点O． ∵四边形是菱形， ∴，，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，都是等边三角形， ∵， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由作图可知垂直平分， ∴，， ∴在直线上， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴（负值舍去）， ∵D，B关于对称， ∴， ∴， ∴当点P与点重合时，的值最小，此时， 根据垂直平分， ∴此时， ∴的值最小为． 故选：B． 【点睛】本题考查了利用菱形的性质求线段长，等边三角形的判定和性质，用勾股定理解三角形，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 例2（2025·安徽马鞍山·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在边上，且点、分别为边、上的动点，将沿直线翻折得到，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识点，学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题是解题的关键． 作点关于的对称点，连接，，推出，又是定值，即可推出当、、、共线时，定值最小，最小值，再根据矩形的性质以及勾股定理求得即可解答． 【详解】解：如图：作点关于的对称点，连接，． ， ， 是定值， 当、、、共线时，定值最小，且为 ，，点在边上，且． ，， ， ∴最小值， 的最小值为． 故选：C． 例3（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形与三角形综合．熟练掌握菱形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，勾股定理，是解题的关键． 作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接，则，可得，根据，得，得,得,根据菱形性质和，可得，得，得，得取得最小值为17 ． 【详解】作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接， 则，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，，且， ∴， ∴， ∴， ∴当点E在线段上时，取得最小值17． 故选：C． 例4（2025·江苏扬州·三模）如图，在菱形中，，，点，分别是边和对角线上的动点，且，连接，相交于点，点是边上的一个动点，连接，，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可证，根据全等三角形的性质可得，所以可知点是外接圆中劣弧上的一点，作点关于直线的对称点，当点、、三点在同一直线上时，的值最小，作辅助线构造矩形和直角三角形，利用勾股定理求出的长度，的长度即为的最小值． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ，， 又， 在和中，， ， ， ， ， ， 如下图所示，作的外接圆，作点关于直线的对称点，连接、、、、，交直线于点，过点作，于点， 则有， ， 当点、、三点在同一直线上时，的值最小， 此时直线与的交点就是点， ， ， ， ， ，， ， ， 解得：，， ， ， ， ， 点关于直线的对称点， ， ， 四边形是矩形， ， 菱形中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，圆周角定理，对称性质，最短距离等知识，由全等得到，则点是的外接圆上的劣弧上的点，作出的外接圆，利用圆的性质求出的最小值． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 例1（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，菱形的边长是10，，交于点，点P为直线上一点，点P与点关于对称，为中点，连接、，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】解：四边形是菱形，是菱形的一条对称轴， 取的中点为，则与F关于对称，连接 取点A关于的对称点，连接 在中，由三角形三边关系可得：， ，，， 当P、、在同一直线上时，有最大值连接交于点O， ，，∴ 过点作交于点N，如图所示： 则四边形为矩形，，，， ，， 在中，由勾股定理可得：， 的最大值为，故答案为：． 例2（24-25·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________． 【答案】 【详解】解：①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度， ∵四边形是矩形，∴，，∴， ∵点O是的中点，∴，又∵，∴，∴，， ∵，∴，过点P作于点P，∵，∴四边形是矩形， ∴，，∴，∴，∴； ②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小， 的最小值为的长度，延长交于点G， ∵，点O是的中点，∴， ∴，，∴，， ∴，∴的最小值为：，故答案为：；． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 例1（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，E是边上一点，，F是直线上一动点，将线绕点E逆时针旋转得到线段，连接则的周长最小值是_________． 【答案】18 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理和轴对称的性质，解题关键是恰当作辅助线，得出三角形周长最小值，利用勾股定理求值； 将绕点E逆时针旋转得到，连接，并延长交于N，证，确定点G在过点H且垂直的直线上运动，作点C关于直线的对称点，连接，则CG+DG的最小值为的长，求出值即可 【详解】解：如图，将绕点E逆时针旋转得到，连接，并延长交于N， ∵， ∴， ∵将线绕点E逆时针旋转得到线段， ∴， ∵将绕点E逆时针旋转得到， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点G在过点H且垂直的直线上运动， ，作点C关于直线的对称点，连接，则CG+DG的最小值为的长， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为13， ∵， ∴的周长最小值是， 故答案为：18． 例2（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，，，点D是延长线上一点，以为邻边作． （1）连接，则面积为___________． （2）连接，则的周长最小值为___________． 【答案】 / 【分析】（1）利用平行四边形的性质易得，得到等底等高，即等底等高，由，，求出的面积，即可得到结果； （2）作，且，连接，先证得，得到点直线上运动，当最小时，的周长最小，过点作的对称点，连接、，则，，当点在线段上时，最小，的周长最小，进而利用勾股定理计算即可； 【详解】解：（1）如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴等底等高， ∴等底等高， ∴的面积相等， ∵，， ∴的面积为， ∴面积为：； 故答案为：； （2）作，且，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴点直线上运动， ∵，， ∴为定值， ∵的周长为， ∴当最小时，的周长最小， 过点作的对称点，连接、，则：，， ∴， ∴当点在线段上时，有最小值为的长，此时的周长最小， ∵， ∴， ∴三点共线， ∵到的距离为， ∴， 在中， ∴的周长最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，勾股定理，轴对称求最小值．能够正确做出辅助线是解题的关键． 例3（24-25八年级上·广东广州·期末）在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2 (1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE； (2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长； (3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)7 【分析】（1）由“SAS”可证△ABP≌△QCE，可得AP=QE； （2）要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度； （3）要使四边形PQNM的周长最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，由面积和差关系可求解． 【详解】（1）解：证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=4，BC=AD=8， ∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点， ∴BQ=CQ=4，CE=2， ∴AB=CQ， ∵PQ=2， ∴BP=2， ∴BP=CE， 又∵∠B=∠C=90°， ∴△ABP≌△QCE（SAS）， ∴AP=QE； （2）如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点． ∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°， ∴∠GEH=45°， ∴∠CEQ=45°， 设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x， 在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°， ∴CQ=EC， ∴6-x=2， 解得x=4， ∴BP=4； （3）如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T， ∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH， ∴PF=8，PH=8， ∴PF=PH， 又∵∠FPH=90°， ∴∠F=∠H=45°， ∵PF⊥AD，CD⊥QH， ∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°， ∴FT=TM=4，CN=CH=3， ∴四边形PQNM的面积=×PF×PH-×PF×TM-×QH×CN=×8×8-×8×4-×6×3=7． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短距离，直角三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点P和点Q位置是解题的关键． 例4（2025·陕西榆林·三模）问题探究 (1)如图1，在四边形中，，，若，则的长为______； (2)如图2，在等腰中，，，点D是的中点，点E、F分别为边、上的动点，连接、、、，若，求周长的最小值； 问题解决 (3)2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动，各地积极探索为居民健康减“负”．为了提高全民健身环境，某地欲建一个形如五边形的健身中心，如图3，，，米，米，米，是一条走廊，将四边形规划为力量训练区，区域规划为有氧器械区，在上确定点P、Q（点P在点Q左侧），且满足米，沿线段、、摆放某种小型健身器材，请计算的最小值． 【答案】(1)4 (2) (3)米 【分析】（1）利用平行四边形的性质与判定即可求解； （2）将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，由翻折的性质可得，，，，，推出，则有，再利用两点之间线段最短的性质即可求出周长的最小值； （3）过点作且，连接、、，作于点，交于点，利用勾股定理求出米，根据正方形的判定证出四边形是正方形，得到，，，由且米，得到四边形是平行四边形，，通过证明四边形是矩形，得到米，，，进而推出是等腰直角三角形，米，利用勾股定理求出的长，再利用两点之间线段最短的性质即可求出的最小值． 【详解】（1）解：，， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：4． （2）解：将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，如图： 由翻折的性质可得，，，，，， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 周长的最小值为． （3）解：过点作且，连接、、，作于点，交于点，如图： ，米，， 四边形是矩形， ， 米， ， 矩形是正方形， ，，， 且米， 四边形是平行四边形，， ， ， ， 四边形是矩形， 米，，， ， 是等腰直角三角形，米， 米，米， 米， 米， ， 米， 米， 米， 的最小值米． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、翻折的性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理与最短路径问题、正方形的性质与判定、二次根式的应用，熟练掌握相关知识点，结合图形添加辅助线构造直角三角形，并利用勾股定理求出最短路径是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 例1（24-25九年级下·陕西榆林·月考）如图，在正方形中，，点、是对角线上的两个动点，且，连接、，则的最小值是_______． 【答案】5 【分析】本题考查最短路径问题，涉及轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理等知识． 连接，得到，过点D作，且，连接， 因此．连接，证明，即，根据勾股定理，在中，得到，在中，得到，即可得到的最小值是5． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形，点B与点D关于对角线对称， ∴， 过点D作，且，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 连接， ∵在正方形中，， ∴，即， ∵在正方形中，，， ∴在中，， ∴在中，， ∴的最小值是5． 故答案为：5 例2（25-26九年级上·四川内江·期末）如图，在矩形中，，动点分别在对角线上（点在点左侧），连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，使得，连接交于点F，交于点H，连接交于点，易证四边形是平行四边形，推出，此时取得最小值，再根据矩形的性质证明，推出，再证明，进而证明，推出，利用勾股定理求出，结合，求出，证明，推出，由勾股定理求出，再根据，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，使得，连接交于点F，交于点H，连接交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 此时取得最小值， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，合理作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 例3（2026·陕西西安·一模）如图，菱形的边长为，，点在边上，，点、在对角线上，，连接、，则的最小值是______． 【答案】 【分析】在上截取线段，以、为边构造平行四边形，边交于点，连接，交于点，交于点，连接，容易判断是等边三角形，则，，．容易证明，则，结合平行四边形的性质可得，因此，当、、三点共线时，取得最小值．容易证明是等边三角形，则，，从而计算出，，使用勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，在上截取线段，以、为边构造平行四边形，边交于点，连接，交于点，交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ∴，，， 由勾股定理可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理可得， ∴， 在直角中，， ∴的最小值为． 例4（25-26八年级上·四川宜宾·期末）如图，在长方形中, ，，，则CE+DF的最小值是________． 【答案】 【分析】延长到点M，使得，连接，证明转化得到，当D，F，M三点共线时，取得最小值，勾股定理解答即可． 【详解】解：延长到点M，使得，连接， ∵矩形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接 ∵， ∴， 故当D，F，M三点共线时，取得最小值，且最小值为 故答案为：． 1．（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，正方形的边长是5，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据可得，则，．延长至G，使，则G点与A点关于直线对称，连接交于， 此时的长就是的最小值．求出的长即可得解． 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，以及将军饮马．正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴, ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长至G，使，则G点与A点关于直线对称， 连接交于，连接， 则， 此时，的值最小，最小值为的长， ∵,， ∴， ∴的最小值为． 故选：D． 2．（2025·山东济宁·模拟预测）如图，矩形中，，点、分别为、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】此题考查矩形的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，先利用直角三角形斜边中线的性质得到，作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长；勾股定理求出，减去即可得到答案，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴ ，点G为的中点， ∴， 作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长； ，， ， ∴， ∴； ∴的最小值为4； 故选：B． 3．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，为正方形边上一点，，，为对角线上一个动点，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D．10 【答案】A 【分析】连接交于P点，根据“两点之间线段最短”，可知的最小值即为线段的长，求出的长即可. 【详解】连接，交于P点 ∵四边形为正方形 ∴A点和C点关于对称 根据“两点之间线段最短”，可知的最小值即为线段的长. ∵， ∴的最小值为5 故选：A     【点睛】本题主要考查了正方形的性质和两点之间线段最短，这是一个将军饮马模型.熟练掌握正方形的性质并且能够识别出将军饮马模型是解题的关键. 4．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在矩形中，，，点P、点Q分别在上，，线段在上，且，连接，则线段的最小长度是（    ）．    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质、最短路径问题等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． 如图，在上取一点G，使，连接．再证明四边形为平行四边形，即，进而说明，最后运用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：如图，在上取一点G，使，连接．    ∵在矩形中，， ， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ． 又，， ， 的最小长度为5． 5．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，菱形的边长为4，且，是的中点，为上一点且的周长最小，则的周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由菱形的性质可得点与点关于对称，连接交于点，连接，则的周长，此时的周长最小，过点作交的延长线于，由菱形的性质和可得，从而可得，最后由勾股定理计算得出，即可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， 点与点关于对称， 如图，连接交于点，连接， ， 则， 的周长，此时的周长最小， 是的中点，菱形的边长为4， ， 过点作交的延长线于， 四边形为菱形，边长为4， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的周长的最小值， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、轴对称的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质、轴对称的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，添加适当的辅助线，求出的长，是解题的关键． 6．（24-25九年级上·湖北襄阳·自主招生）如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为　　    A． B． C．14 D．12 【答案】C 【分析】延长到，使得，延长到，使得，连接交河道于点，，得到两座桥，，此时的值最小． 【详解】解：延长到，使得，延长到，使得，连接交河道于点，，得到两座桥，，此时的值最小．    ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理：=， 延长交的延长线于点． ∴，， ∴，， 在中，， ， 的最小值为14． 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 7．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，正方形的面积为49，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为_________． 【答案】7 【分析】根据正方形的性质可证得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：连接，与交于点F． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的和最小值为的长， ∵正方形的面积为49， ∴． 又∵是等边三角形， ∴． ∴所求最小值为7． 8．如图，矩形中，，E为边的中点，点P、Q为边上两个动点，且，当_____时，四边形的周长最小． 【答案】4 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题的应用，要使四边形的周长最小，由于与都是定值，只需的值最小即可．为此，先在边上确定点P、Q的位置，可在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，过A点作的平行线交于一点，即为P点，则此时最小，然后过G点作的平行线交的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度． 【详解】解：如图，在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，过A点作的平行线交于一点，即为P点，过G点作的平行线交的延长线于H点． ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：4． 9．（24-25八年级下·江西南昌·期中）请你认真阅读思考下面的材料，完成相关问题． 【数学模型】 如图①，A，B是直线l同旁的两个定点，在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，且 【模型应用】 (1)如图②，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．在l上确定一点P，则的最短路径长为______米； (2)如图③，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上一个动点，求的最小值； (3)如图④，在平面直角坐标系中，点，．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【答案】(1)1500 (2) (3)P点坐标为；的最小值为 【分析】本题考查了轴对称-最短问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P点位置是解题的关键． （1）作点A关于直线l的对称点，连接，过点作并交线于点M，根据对称的性质得出米，米，米，再由勾股定理求解即可； （2）连接，设与交于点P，根据正方形的性质及轴对称得出P在与的交点上时，最小，为的长度，利用勾股定理求解即可； （3）作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，P点即为所求，利用轴对称的性质得出，则，的值最小，然后确定一次函数解析式即可得出结果，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：作点A关于直线l的对称点，连接，过点作并交线于点M， ∴米， 在中，米，米， （米）， ∴“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米， 故答案为：1500； （2）如图，连接， 设与交于点P， ∵四边形是正方形， ∴点B与D关于对称， ∴， ∴最小． 即P在与的交点上时，最小，为的长度． ∵直角中，， ∴． ∴的最小值为． （3）如图，作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，P点即为所求： 利用对称的性质得到，则，的值最小； A点关于x轴对称的点的坐标为， 设直线的解析式为， 把代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴P点坐标为； 的最小值为：． 10．（24-25八年级上·陕西西安·月考）问题提出 （1）如图1，线段，P为线段上的一动点，于点A，于点B．若，，则的最小值为_________； 问题解决 （2）为培养学生的劳动能力，五育并举．学校计划用栅栏在校园花园内建造学生自用地，围成的两块三角形区域分别种植菠菜和生菜，且种植菠菜的面积是生菜的面积的2倍．小伟所在的数学建模社团想利用所学的知识进行设计．如图2，建立平面直角坐标系，两条栅栏分别为，．已知点，，，在四边形内部确定一点P，使得．按照规划要满足的值最小，请求出的值最小时点P的坐标． 【答案】（1），（2） 【分析】（1）根据两点之间线段最短找到点P，再根据勾股定理进行解答即可； （2）过点C作于点D，并在上截取，在的延长线上截取，过点E作轴的平行线交于点P，则点P即为所求，证明四边形为平行四边形，且，，，，再证明，则为的中点，即可求出答案． 【详解】（1）解：当三点共线时，取得最小值，过点D作交的延长线于点E，连接交于点P， ∵于点A，于点B， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ 故答案为： （2）如图2，过点C作于点D，并在上截取，在的延长线上截取，过点E作轴的平行线交于点P，则点P即为所求， ∵，，， ∴四边形为平行四边形，且，，， ∴为的中点， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴为的中点， ∴ 【点睛】此题考查了勾股定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 11．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接，已知线段，，，设．    (1)用含x的代数式表示的长； (2)请问点C满足什么条件时，最小？最小为多少？ (3)根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)点在上距离点距离为时，最小 (3)25 【分析】本题考查勾股定理，两点之间直线最短，矩形性质等． （1）根据勾股定理可得本题答案； （2）利用两点之间直线最短可知当三点为一条直线时，即点为和交点时，最小， （3）过点作，过点作，连接交于点，构造矩形，，利用矩形性质和直角三角形性质可求即为代数式最小值． 【详解】（1）解：∵，设． ∴， ∵，， ∴， ， ∴； （2）解：∵两点之间直线最短， ∴当三点为一条直线时，即点为和交点时，最小， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴，即：， ，即：， ∴点在上距离点距离为时，最小； （3）解：过点作，过点作，连接交于点，使得，，    ∵， ∴的长即为代数式的最小值， ∴过点作交的延长线于点，得到矩形， ∴，， ∴， ∴即的最小值为25， ∴代数式的最小值为25． 12．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，点，，，分别在各边上，且，，则四边形周长的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称中的最短路线问题，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，找出四边形周长取最小值时点E、F、G之间的位置关系是解题的关键． 由条件可证四边形为平行四边形，作点E关于的对称点，连接交于点F，此时四边形周长取最小值，过点G作于点，由对称结合矩形的性质可知：，，利用勾股定理即可求出的长度，进而可得出四边形周长的最小值． 【详解】解：∵在中，，，， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， 如图，作点E关于的对称点，连接交于点F，此时取最小值，则四边形周长取最小值， 过点G作于点， 由对称可得，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的周长． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，点，分别是线段，上的动点（点不与点重合），且，连接，，则的最小值为___． 【答案】 【分析】先运用勾股逆定理得出，再证明，故，当点与点重合时，则的值最小，且为，根据平行线之间距离处处相等则，，结合等面积法进行计算，根据勾股定理得，，即可作答． 【详解】解：在的下方，作，且，连接交于点，如图所示： ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 则， ∴， 当点与点重合时，则的值最小，且为， 过点C作直线交于点H，再过点F作直线于点N，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴（平行线之间距离处处相等）， 同理得， 依题意，， 则， ∴， 在中，， ∴， 即， 在中，， 即的值最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，等面积法，平行线之间距离处处相等，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 14．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，P是矩形的对角线上一点，，，于点E，于点F．连接，，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、勾股定理、最短路径问题，解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质． 连接，根据矩形的性质得到，的最小值即为的最小值，当，，三点共线时，的值最小，且为的长度，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ， ，， ∴， 四边形是矩形， ， 的最小值即为的最小值， 当，，三点共线时，的值最小，且为的长度， 四边形是矩形，，， ， 的最小值为． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，，，，分别是，上的两个动点，，沿折叠形成，连接，，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，作点关于的对称点，连接，由于四边形是矩形，所以，，，则，，在中，，从而得，故当共线时，的值最小，最小值，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∵是定值， ∴ 当共线时，的值最小，最小值， ∴的最小值为， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，边长为的正方形内有一动点，满足，为边上的动点，连接，． （1）当点为边的中点时，长的最小值为___________； （2）的最小值为___________． 【答案】 / / 【分析】（1）取的中点，连接，，根据直角三角形的性质可得，为定值．由线段公理可得，，用勾股定理计算出即可； （2）作点关于的对称点，连接、、，作，垂足为，根据轴对称的性质，，因此．由线段公理可得，，用勾股定理计算出即可． 【详解】解：（1）如图，取的中点，连接，， 在正方形中，，， ∵， ∴是直角三角形， 又∵点是的中点， ∴为定值， ∵点为边的中点， ∴， 在直角中，， 由线段公理可得，， ∴，当点、、三点共线时，取到最小值； （2）如图，作点关于的对称点，连接、、，作，垂足为， 在正方形中，，， 由轴对称的性质可得，，，， ∴点、 、三点共线， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在直角中，， 由线段公理可得，， ∴，当点、、、四点共线时，取到最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：；． 【点睛】本题考查正方形的性质，直角三角形的性质，线段最值问题，轴对称的性质以及勾股定理，根据动点的特征判断运动轨迹是解题关键． 17．（24-25九年级上·吉林长春·期末）古罗马时代，亚历山大有一个著名的学者叫海伦，一天罗马的一位将军专程跑去问海伦这样一个问题：每天从军营A出发，先到河边给马喝水，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？海伦思考后便给出了答案，也就是现在著名的“将军饮马”问题．其实“将军饮马”实质要解决的问题是：要在直线上找一点P使得的值最小． (1)如图1，点A到直线的距离，点B到直线的距离，，要解决该最小值问题，如图2，作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，此时P即为所求点，则的最小值为______； (2)如图3，在等腰中，，，D是边的中点，E是边上一动点，则的最小值是______； (3)如图4，正方形的边长是6，点E是边上一动点，连接，过点A作于点F，点P是边上另一动点，则的最小值为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据轴对称原理，构造对称点，后构造直角三角形运用勾股定理计算即可． （2）作出 点D关于直线的对称点F，连接，交于点G，当点E与点G重合时，有最小值，且为线段的长，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，此时P即为所求点， 过点作，交延长的延长线于点C， 则四边形是矩形， 因为， ，， 所以， 所以， 所以的最小值为， 故答案为：． （2）如图，作出 点D关于直线的对称点F，连接， 交于点G，当点E与点G重合时，有最小值，且为线段的长． ． 因为，，D是边的中点， 所以， 所以， 所以． 所以的最小值为． 故答案为：． （3）如图，作出 点C关于直线的对称点G，以的中点O为圆心作半圆，因为，所以点F在半圆上运动，连接，交于点N，交半圆于点M，当点E与点N重合，F与点M重合时，有最小值，且为线段的长． 过点O作于点H，因为正方形的边长是6， 所以，四边形是矩形， 所以，， 所以． 因为， 所以有最小值，为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了将军饮马河原理求最值，正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握原理和勾股定理是解题的关键． 18．（24-25八年级上·陕西西安·月考）【问题发现】 （1）如图1所示，将军每天从军营出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的军营开会，为了方便，将军给自己制定了方案，找到了饮马的最佳位置，如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于，点就是所求位置． 直线是点，的对称轴， ． ． 根据“ ”可得的最小值是． 【问题探究】（2）如图3，在正方形中，，是边上的一点，且，是上的一个动点，求周长的最小值． 【问题解决】（3）如图4、在长方形中，，，是边上一点，且，点是线段上的任一点，连接，以为直角边在上方作等腰直角三角形，为斜边．连接，边上存在一个点，且，连接，的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）两点之间，线段最短；（2）12；（3）存在，周长最小值为 【分析】（1）根据两点之间线段最短可得答案； （2）连接，，利用正方形的性质、勾股定理可得出A、C关于对称，，，则周长=，当E、F、C三点共线时，周长最小，即可求解； （3）如图，过F作于G，交于K，过于H，交于O，过M作于N，交于，根据矩形的性质和勾股定理可求出，，证明四边形是矩形，得出，，结合是等腰直角三角形，可证明，得出，同理可证四边形是矩形，可求出，同理可证是矩形，可求出，证明是等腰直角三角形，得出，根据勾股定理可求出，则可判断；垂直平分，得出，则，当P、F、N三点共线时，最小，最小值为，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：（1）直线是点，的对称轴， ． ． 根据“两点之间，线段最短”可得的最小值是， 故答案为：两点之间，线段最短； （2）连接，， ∵在正方形中，， ∴，，A、C关于对称， ∴，， ∴ ∴周长=， 当E、F、C三点共线时，的周长最小，最小值为； （3）如图，过F作于G，交于K，过于H，交于O，过M作于N，交于， 在长方形中，，， ∴，， 又， ∴， ∴， 又 ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 又是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 同理可证四边形是矩形， ∴，， ∴， 同理可证是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∴当P、F、N三点共线时，最小，最小值为， 又的周长为， ∴的周长最小值为． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，二次根式的化简等知识，作出合适的辅助线是解本题的关键． 19．（24-25八年级下·全国·期中）李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题． “将军饮马”问题的探究与拓展 八年级三班　李明 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 （1）问题1．如图2，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长． （2）问题2．如图3，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． （3）问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【模型迁移】 （4）问题4．如图5，菱形中，对角线相交于点．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 【答案】（1）米；（2）；（3）见解析，；（4）的最小值为 【分析】（1）问题1．作点A关于直线l的对称点，连接，根据勾股定理计算即可； （2）问题2．由于点B与D关于对称，所以连接，与的交点即为P点．此时最小，而是直角的斜边，利用勾股定理即可得出结果； （3）问题3．作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，利用对称的性质得到，则，于是利用两点之间线段最短可判断P点满足条件；先写出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求得P点坐标；利用两点间的距离公式求出即可； （4）问题4．过A作，交于P，连接，利用菱形的性质和勾股定理的知识解答即可． 【详解】解：（1）问题1：作点A关于直线l的对称点，连接，过点作并交于点M， ∴米， 在中，米，米， （米）， ∴“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米； （2）问题2：如图，连接， 设与交于点P， ∵四边形是正方形， ∴点B与D关于对称， ∴， ∴最小． 即P在与的交点上时，最小，为的长度． ∵中，，，， ∴． 故答案为：． （3）问题3．如图，作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，P点即为所求： 利用对称的性质得到，则，的值最小； A点关于x轴对称的点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴P点坐标为； 的最小值； （4）问题4．过A作，交于P，连接， 此时线段最小，且， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，即， ∴， ∴线段的最小值是． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，菱形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P点位置是解题的关键． 20．（2025·河南周口·二模）利用轴对称求最值的核心思路是通过轴对称变换，将复杂的几何问题转化为简单的对称问题．具体步骤如下：首先需要确定问题的对称轴，这通常是根据题目的几何条件来确定的．然后构造对称点，将动点关于对称轴构造出对称点，这样可以将原问题转化为两个对称点之间的问题．请据此解答下面的问题． 问题提出 （1）如图，已知，是内一点，，点，分别是，边上的动点（不与点重合），求周长的最小值．我们可以分别作点关于，的对称点，，然后连接，，与，有两个交点，当、分别与这两个交点重合时，如图，周长最小． 的度数是 ； 周长的最小值是 ． 问题探究 （2）如图，在等腰中，，，点是的中点．在上取点，连接，，试求的最小值． 问题解决 （3）如图，四边形为一个矩形绿地，点为矩形的中心，通过测量得，米，在绿地边上存在一点P，使得的值最小．请直接写出这个最小值． 【答案】（1），； （2）； （3）米 【分析】根据对称的性质可知：，，所以可知，，从而可得：； 根据对称性质可知，，所以可知是等边三角形，从而可知，线段的长度就是周长的最小值； 过点作于点，延长到点，使，连接，则点与点关于直线对称，连接交于点，则，线段的长度就是的最小值，利用勾股定理求出线段的长度即可； 过点作的垂线交的延长线于点，于的交点即为所求，根据直角三角形的性质可知米，利用可证，根据全等三角形的性质可知，米，利用勾股定理求出米，可得：的最小值是米． 【详解】解：点与点关于对称， ， 点与点关于对称， ， ， ， ， ， 故答案是：； 解：点与点关于对称， ，， 点与点关于对称， ，， ， 由可知， 是等边三角形， ， 的周长是， 周长的最小值是， 故答案是：； 解：如下图所示，过点作于点，延长到点，使，连接， 则点与点关于直线对称， 连接交于点，则， 线段的长度就是的最小值， 是等腰直角三角形，，， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， 点是的中点， ， ， 的最小值是； 如下图所示，过点作的垂线交的延长线于点，于的交点即为所求， 四边形为一个矩形， ， ，米， 米， 米， ， 点是矩形的中心， ， ， ， ， 在中， ，， ， 在和中，， ， ，米， 米， 米， 的最小值是米， 米， 的最小值是米． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形的性质、轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是根据轴对称的性质构造全等三角形和直角三角形，利用勾股定理求出边的长度． 21．（2026九年级·全国·专题练习）如图，在菱形中，，对角线交于点，点分别在上，且．点为上一点，则的最大值为_______． 【答案】4 【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称性质，等边三角形性质和判定，解题的关键在于灵活运用相关知识． 作点关于的对称点，连接，延长与交于点，连接，结合轴对称性质得到点与点重合时，有最大值，最大值即为的长，利用菱形的性质证明为等边三角形，为等边三角形，再结合，等边三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，延长与交于点，连接， ，当三点共线，即点与点重合时，有最大值，最大值即为的长． 在菱形中，， 为等边三角形， ， 点为的中点， ． ， ， ，． ，， 为等边三角形， ， 的最大值为4． 故答案为：4． 22．（2026九年级·全国·专题练习）如图，正方形的对角线长为10．是的平分线，点E是边上的动点，在上找一点F，使得的值最小，则最小值为_____________． 【答案】5 【分析】要解决的最小值问题，需利用轴对称（反射法）将折线转化为直线段．结合正方形的性质（对角线与边长的关系、角平分线的对称性），找到点关于的对称点，则，因此．根据“两点之间线段最短”，当、、共线且上时，最小值为到的垂直距离（或对应线段长度）． 【详解】正方形的对角线． 设正方形边长为， 由勾股定理（正方形邻边相等，）， 得：， 整理得：， 解得：， 即正方形边长为， 是的平分线，． 作点关于的对称点，则是的垂直平分线， ． ， 根据“两点之间线段最短”，当、、共线且上时，的最小值为到的距离（或对应线段长度）． ∵,， ,由勾股定理得：， 设代入得：， 解得（负值舍去）， 即， 的最小值为5． 故答案为：． 【点睛】本题核心是利用轴对称（反射法）将折线距离转化为直线距离，结合正方形的对角线性质（对角线与边长的关系、角平分线的对称性）简化问题．关键步骤是找到对称点，将转化为两点间的线段长度，再利用正方形的几何特征确定最小值． 23．（25-26九年级上·湖南·月考）如图，正方形沿对角线对折得，已知，，点为边上的点，点在边上移动，若的最小值是，则______． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，正方形的性质，最短路径问题，掌握折叠的性质是本题关键．连接，，由正方形的性质可得，可得，由两点之间，线段最短可得的最短距离为，由勾股定理可求的长，即可求的长． 【详解】解：设正方形的另一个顶点为， 如图，连接，， 正方形的顶点，关于对角线对称， ， ， 由两点之间，线段最短可得的最短距离为， ， ， ， ， 故答案为：． 24．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，直线，在直线上方作等边，点B，C在直线上，延长AC交直线于点D，在上方作等边，点F在直线上且在点D右边．动点M，N分别在直线，上，且，若，则的最小值是________． 【答案】 【分析】将沿直线翻折得到，则三点共线，过点作于点连接，证明四边形是平行四边形，推出再根据，求出可得结论 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ， ∴， 如图，将沿直线翻折得到，则， ∴， ∴三点共线， 过点作于点连接，过点D作于点G，过点N作于点H， ， ， ， ， ∵，， ∴，， ， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， 的最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称最短问题，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是正确添加辅助线，用转化的思想解决问题． 25．（25-26九年级上·四川达州·期中）如图所示，四边形是正方形，边长为6，点分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在上，且D点的坐标为，P是上一动点，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理，连接，由正方形的性质可得点关于直线对称，，从而可得，推出，连接，交于点P，则当点在同一直线上时，最小，为，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， 四边形为正方形， 点关于直线对称，， ， ， 连接，交于点P，则当点在同一直线上时，最小，为， 点的坐标为， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 26．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，正方形的边长为为正方形内一个动点，且，点在边上运动，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】首先由辅助圆-直径对直角，确定点在以为直径的上运动，然后作点关于的对称点，得到，从而由定点到圆周上动点距离最值求法，当四点共线时，的值最小，连接，交于，交于，则的值最小，为的长，然后作，通过构建直角三角形，由勾股定理求得的长，代入计算即可求解． 【详解】解：正方形的边长为为正方形内一个动点，且， 点在以为直径的右侧半圆上运动，其中圆心为线段的中点， 作点关于的对称点，如图所示： ， 由定点到圆周上动点距离最值求法，当四点共线时，的值最小， 连接，交于，交于，如图所示： 则的值最小为的长，即， ， ， 作，垂足为，如图所示： 则四边形是矩形， ，， ， ， 在中，，，由勾股定理可得， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、辅助圆-直径对直角、动点最值-点圆模型、正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，明确两点之间线段最短是解题的关键． 27．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中， ，D是的中点，直线l经过点D，垂足分别为E，F，则的最大值为_______． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质，构建全等三角形是解答此题的关键． 过点C作于点K，过点A作于点H，过点C作交的延长线于点N，证明，则，然后再根据垂线段最短来进行计算即可． 【详解】解：如图，过点C作于点K，过点A作于点H， 在中， ∵， ∴, ∴ ∴, 在中， ， ∴是等腰直角三角形， ， ∴， ∵点D为中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 过点C作交的延长线于点N， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 可得， 在中， ， 当直线时，和重合，最大值为， 综上所述，的最大值为． 故答案为：． 28．（2025·广西·一模）如图，已知正方形中，点，分别在边、上，且，连接、，若的最小值为，则______．    【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． 延长至点，使得，连接，，首先证明，易得，即有，故当点、、在同一直线上时，取最小值，然后利用勾股定理求解，即可获得答案． 【详解】如图所示，    延长至点，使得，连接，， ， ，，， ， ， ， 当点、、在同一直线上时，取最小值， ， ， 在中，， ， ， ， ． 故答案是：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $