精品解析：广东省珠海市香洲区珠海市九洲中学2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题

九洲中学2025－2026学年第二学期期中考试 初二数学 说明： 1．全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟； 2．用黑色字迹钢笔或签字笔按各题要求写在答题卡上（在试卷上作答无效） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 依据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：对选项A：，被开方数含能开得尽方的因数， ∴不是最简二次根式； 对选项B：的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足条件， ∴是最简二次根式； 对选项C：的被开方数含分母， ∴不是最简二次根式； 对选项D：，被开方数含能开得尽方的因数， ∴不是最简二次根式． 2. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数自变量取值范围的求解，根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数， ∴对于函数， 被开方数满足 ， 解不等式得 ， 因此自变量的取值范围是． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的除法、算术平方根、二次根式的混合运算、二次根式的乘法分别计算后即可得到答案． 【详解】解：A、，故选项正确，符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、，故选项错误，不符合题意； D、，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了二次根式的除法、算术平方根、二次根式的混合运算、二次根式的乘法，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． 4. 如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得，．若测得，则A、B间的距离为（ ）m A. 52 B. 13 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，是的中位线，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是的中位线，即， B选项符合题意． 5. 如图是某地一天的气温随时间变化的函数图象，根据图象，这一天气温最高的时刻是（ ） A. 0时 B. 4时 C. 14时 D. 24时 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，这一天气温最高的时刻是14时． 6. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．根据平行四边形的判定方法即可判断． 【详解】解：、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意； B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意； C、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，故符合题意； D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意； 故选：C 7. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 当时， C. 直线与直线平行 D. 函数的图象不经过第三象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数中和的意义，逐一判断选项即可找出错误结论． 【详解】解：对于一次函数，可得，． A选项：∵， ∴随的增大而减小，原结论错误，符合题意； B选项：若，即，解得，原结论正确，不符合题意； C选项：直线与直线的相等，截距不同，因此两直线平行，原结论正确，不符合题意； D选项：∵，， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，原结论正确，不符合题意． 8. 如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，，，证明并结合线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角得出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 9. 摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点E，以点E为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点F，过点F作，交的延长线于点G，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解题的关键是正确求得线段的长度． 根据题意可得，，，根据勾股定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：在正方形中，为的中点， ∴，，， 由勾股定理可得，， 由题意可得， ∴， A选项符合题意． 10. 就实证科学而言，宇宙这部著作是用数学语言写成的．其中勾股定理是我们的祖先在“立竿见影，以正农时”，探索天地相对运动周期时捕捉到的数学原理．它所蕴含的“天道之数”，被人们用以作为沟通天地、与自然对话的凭借，最早被“放之四海”，构筑起中华文明的大厦．如图，在中，，以其三边为边分别向外作正方形，连接，，，设，，的面积分别是，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过作交的延长线于，连接，过作交的延长线于，连接，结合正方形的性质及可判定，由全等三角形的性质得，由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得，同理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过作交的延长线于，连接，过作交的延长线于，连接， ， ， 四边形、、是正方形， ，， ，, ， ， ， ， （）， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 同理可证：四边形是平行四边形， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，能添加恰当的辅助线，构建平行四边形是解题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将一次函数的图象向下平移2个单位，得到另一个函数的图象，这个函数的解析式为：______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据一次函数平移的“上加下减”规律即可求解． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移个单位，根据平移规律可得新函数解析式为 化简得． 12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 13. 四边形具有不稳定性．如图，矩形按箭头方向变形成平行四边形，变形后，若矩形的面积是12，则平行四边形的面积是 ___． 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意可得，平行四边形的底边与矩形的长相等，平行四边形的高变为矩形的宽的一半，则平行四边形的面积是矩形的面积的一半，即可求解． 【详解】解：过点作于点E， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了含角的直角三角形，所对的直角边是斜边的一半，解题的关键是掌握矩形和平行四边形的面积公式． 14. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据数轴可得，则，然后根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：由图得， ∴， 则． 15. 如图，点，，在同一条直线上，正方形，的边长分别为，，为线段的中点，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出是直角三角形，为斜边上的中线，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点，，在同一条直线上，正方形，的边长分别为，， ∴，， ∴ ∴是直角三角形， ∴， ∵为线段的中点， ∴图中阴影部分的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 三、解答题（一）（本题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 17. 观察图1，每个小正方形的边均为1．可以得到每个小正方形的面积为1． （1）图中阴影部分的面积S是多少？阴影部分正方形的边长a是多少？ （2）请你利用图2在的方格内作出边长为的正方形． 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用正方形的面积减去周围四个直角三角形的面积得到阴影部分的面积，利用算术平方根求出边长即可； （2）根据网格的特征和勾股定理构造图形即可． 【小问1详解】 解： ， ； 【小问2详解】 解：如图所示，正方形即为所求． 18. 已知一次函数的图象经过点，与x轴交于点B． （1）求一次函数的解析式； （2）点C是x轴上一点，若的面积为3，求点C的坐标． 【答案】（1） （2）C点坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的综合，涉及到面积求解以及待定系数法求解析式，解题的关键是设点坐标，并表示的面积，得到方程． （1）将点代入一次函数，求解即可； （2）先求得点的坐标，设C点为，表示出的面积，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵在一次函数的图象上， ∴解得， 则一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知， 当时，由得， 即B点坐标为， ∵C是x轴上一点， ∴可设C点为，则 则， 解得或， ∴C点坐标为或． 四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，，并且a，b满足．动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点C出发在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点P、Q分别从点A、C同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒） （1）求B、C两点的坐标； （2）当t为何值时，？并求出此时P、Q两点的坐标． 【答案】（1） （2）时，，此时；时，，此时， 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质得出的值进而得出答案； （2）由题意得：，根据可得四边形是等腰梯形或平行四边形，进而得到关于的方程，解方程即可得出答案； 【小问1详解】 解：∵， ∴且， ∴， ∴， 又 ∵，， ∴， ； 【小问2详解】 解：由题意得：， ∵， 当时，四边形是平行四边形，此时， ∴， 解得：， ； 当时，四边形是等腰梯形，此时， ∴， 解得：， ． 20. 已知：如图，在矩形中，点E为上一点，平分，点F为的中点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质，根据勾股定理构造出方程． （1）根据矩形的性质可得，再根据角平分线可得，从而得到，即可求证； （2）根据F为的中点，可得，设，根据线段之间的关系，得到，，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵矩形中，， ∴， ∵平分， ∴，则， ∴； 【小问2详解】 解：∵F为的中点，， ∴， 设，则，， ∵矩形， ∴，，， ∵， ∴，则， ∴， 在中，∵， ∴，解得，则， 在中，． 21. 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： （1）点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； （2）化简：； （3）已知a为常数，点，且，则______，若点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 【答案】（1）； （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查了新定义问题，完全平方公式，二次根式的性质，解题的关键是理解“横负纵变点”的概念． （1）根据“横负纵变点”的概念，求解即可； （2）将转化为完全平方式的形式，再根据二次根式的性质求解即可； （3）根据完全平方公式以及二次根式的性质求得，再根据“横负纵变点”的概念，求解即可． 【小问1详解】 解：由于，根据“横负纵变点”的概念可得，点的“横负纵变点”为； 由，根据“横负纵变点”的概念可得，点的“横负纵变点”为； 【小问2详解】 解：， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴点M的“横负纵变点”为． 五、解答题（三）（本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在中，于点，，连接交于点． （1）如图1所示，，，求的值； （2）如图2所示，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连接． 证明：； 当，时，求的长． 【答案】（1） （2）见解析； 【解析】 【分析】（1）在中，由勾股定理可得的长，进而可得的长，再根据平行四边形的性质即可得解； （2）根据垂直的定义结合同角的余角相等可得，由平行四边形的性质可得，由平行线的性质等量代换可得，，根据“”即可证得；连接，，，证明，进而证明，得到，，推出是等腰直角三角形，即可得解． 【小问1详解】 解：，，， 在中，由勾股定理得， ， ， 四边形是平行四边形， ； 【小问2详解】 证明：， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 在和中， ， ； 解：如图2，连接，，， ， ，，，， 在中，是的中点， 是的中点，即， ，即， ， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ． 23. 在等腰中，，，点是线段的中点，点是线段中垂线上的一点，连接、、、，点是线段上的一点． （1）如图，当点在边上时，连接，若，，求的长度； （2）如图，当点在内部时，延长至点，点是线段的中点，连接、、，若平分，，求证：； （3）如图，当点在外（下方）时，与交于点，连接、、，若，点是线段的中点，当线段取得最小值时，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）四边形的面积为． 【解析】 【分析】（）由等腰三角形性质可得，则，然后通过直角三角形性质可得，所以由勾股定理求出，又点是线段中垂线上的一点，则，再根据等腰三角形的判定得出，最后由勾股定理即可求解； （）连接，，设与交于点，由点是线段的中点，，，则，，，所以，，通过垂直平分线性质可得，则，然后证明，，从而可得，所以，，通过勾股定理得，最后通过线段的和与差即可求证； （）取中点，连接，先求出，则有是中位线，，故有，，所以，可得在中位线上运动，设与交于点，当线段时，取得最小值，如图，延长交于点，证明四边形是矩形，则，，，然后证明，所以，再证明，则，求得，再求出，然后通过四边形即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是线段中垂线上的一点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：连接，，设与交于点， ∵点是线段的中点，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵点是线段中垂线上的一点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵点是线段中垂线上的一点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，取中点，连接， ∵点是线段的中点，，， ∴， ∵点是线段中垂线上的一点，点是线段的中点， ∴是中位线，， ∴，， ∴， ∴在中位线上运动，设与交于点，当线段时，取得最小值，如图，延长交于点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形 ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，中位线定理，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九洲中学2025－2026学年第二学期期中考试 初二数学 说明： 1．全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟； 2．用黑色字迹钢笔或签字笔按各题要求写在答题卡上（在试卷上作答无效） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得，．若测得，则A、B间的距离为（ ）m A. 52 B. 13 C. 18 D. 20 5. 如图是某地一天的气温随时间变化的函数图象，根据图象，这一天气温最高的时刻是（ ） A. 0时 B. 4时 C. 14时 D. 24时 6. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 当时， C. 直线与直线平行 D. 函数的图象不经过第三象限 8. 如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点E，以点E为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点F，过点F作，交的延长线于点G，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 就实证科学而言，宇宙这部著作是用数学语言写成的．其中勾股定理是我们的祖先在“立竿见影，以正农时”，探索天地相对运动周期时捕捉到的数学原理．它所蕴含的“天道之数”，被人们用以作为沟通天地、与自然对话的凭借，最早被“放之四海”，构筑起中华文明的大厦．如图，在中，，以其三边为边分别向外作正方形，连接，，，设，，的面积分别是，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将一次函数的图象向下平移2个单位，得到另一个函数的图象，这个函数的解析式为：______． 12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 13. 四边形具有不稳定性．如图，矩形按箭头方向变形成平行四边形，变形后，若矩形的面积是12，则平行四边形的面积是 ___． 14. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简______． 15. 如图，点，，在同一条直线上，正方形，的边长分别为，，为线段的中点，则图中阴影部分的面积是______． 三、解答题（一）（本题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 观察图1，每个小正方形的边均为1．可以得到每个小正方形的面积为1． （1）图中阴影部分的面积S是多少？阴影部分正方形的边长a是多少？ （2）请你利用图2在的方格内作出边长为的正方形． 18. 已知一次函数的图象经过点，与x轴交于点B． （1）求一次函数的解析式； （2）点C是x轴上一点，若的面积为3，求点C的坐标． 四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，，并且a，b满足．动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点C出发在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点P、Q分别从点A、C同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒） （1）求B、C两点的坐标； （2）当t为何值时，？并求出此时P、Q两点的坐标． 20. 已知：如图，在矩形中，点E为上一点，平分，点F为的中点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： （1）点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； （2）化简：； （3）已知a为常数，点，且，则______，若点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 五、解答题（三）（本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，在中，于点，，连接交于点． （1）如图1所示，，，求的值； （2）如图2所示，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连接． 证明：； 当，时，求的长． 23. 在等腰中，，，点是线段的中点，点是线段中垂线上的一点，连接、、、，点是线段上的一点． （1）如图，当点在边上时，连接，若，，求的长度； （2）如图，当点在内部时，延长至点，点是线段的中点，连接、、，若平分，，求证：； （3）如图，当点在外（下方）时，与交于点，连接、、，若，点是线段的中点，当线段取得最小值时，请直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $