精品解析：甘肃天水市第九中学2025-2026学年高二下学期5月阶段性检测数学试卷

2026年天水市第九中学5月阶段性检测高二数学试卷 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题需要先解绝对值不等式求出集合，再根据交集的定义求. 【详解】等价于，解得：， 所以集合，， 所以. 2. 函数的最小正周期是（ ） A. ​ B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】考察三角函数的最小正周期求法。 【详解】易知. 3. 若复数，则z的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】，所以z的虚部是1． 4. 已知平面向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 5. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，则该圆台的侧面积为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件结合图形求出圆台母线长，再利用圆台侧面积公式计算即可. 【详解】设圆台母线长为，上、下底面半径分别为和，高为，如图所示： 则， 所以圆台的侧面积为. 6. 在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化为角，转化为角B的三角函数的值域问题，结合锐角三角形条件确定角B的取值范围，从而得到三角函数的值域，求出的取值范围. 【详解】由已知得：，即， 所以，又，所以， 由正弦定理得：， 所以， 所以 又 所以由是锐角三角形得：， ，即的取值范围是． 7. 已知分别是双曲线的左、右两个焦点，A,B是双曲线上的两点，,，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线定义及余弦定理得，则，从而得到方程，解出离心率即可. 【详解】如图，设，是双曲线左支上的两点， 令，由双曲线的定义可得． 在中，由余弦定理得， 整理得，解得或（舍去）． ，根据双曲线定义可得， ∴，则, ∴为直角三角形，且． 在中，， 即， ∴， ∴．即该双曲线的离心率为． 8. 已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性结合已知函数值域列出不等式计算即可. 【详解】若，则在单调递减，即，， 当时，在单调递增，则， 此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 若，则在单调递增，即，， 当时，在单调递增，则， 要使函数的值域为，则，解得：， 若，则，此时函数的值域为，不符合题意； 若，则在单调递增，即，， 当时，在单调递减， 则，，此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 综上，若函数的值域为，则的取值范围是 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知抛物线的焦点到准线的距离为4，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 抛物线的方程为 C. 直线的方程为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件得到抛物线方程为，利用“点差法”求出直线的斜率，得到直线的方程为，和抛物线方程联立求出，即可得到答案． 【详解】解：由焦点到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知，故A正确； 故抛物线方程为，焦点，故B错误； 则，， 若是线段AB的中点，则， 所以，即， 又直线经过焦点，所以直线的方程为，故C正确； 由，得，则， 所以，故D正确． 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点中心对称 C. 函数在区间上有且仅有2个零点，且这两个零点之和为 D. 将的图象向左平移个单位长度后，所得函数图象关于直线对称 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A正确； 对于B选项，因为， 所以函数的图象不关于点中心对称，B错误； 对于C选项，由可得， 当时，，所以或，解得或， 所以函数在区间上有且仅有2个零点，且这两个零点之和为，C正确； 对于D选项，将的图象向左平移个单位长度后， 得到函数的图象， 因为， 故函数的图象不关于直线对称，D错误． 11. 在平行六面体中，，，，分别为棱，的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 直线与所成角的余弦值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对A：利用平行六面体性质结合平行四边形定义及其性质可得，又与相交，可得与为异面直线；对B：借助菱形性质可得，再利用三角形全等可得，由等腰三角形三线合一可得，即可利用线面垂直判定定理得到平面；对C：求出、及后，利用余弦定理计算即可得；对D：由，，可得即为所求，求出、、后，利用余弦定理计算即可得. 【详解】对于A：平行六面体中，， 又为棱的中点，所以与相交，故与为异面直线，A错误. 对于B：连接、，交于点，连接、， 因为，则四边形为菱形，故，点为中点. 又，，所以，故. 又点为中点，所以， 又，，平面，故平面，故B正确. 对于C：由，， 得、、均为等边三角形，故. 在等腰中，， 在等腰中，， 在中，， 在中，，则，C错误. 对于D：连接，，因为，分别为棱，的中点，所以， 又，则直线与所成角即为直线与所成角，即为. ， ，， 在中，，D正确. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知函数，若在区间上的最小值为，则实数的取值范围是______. 【答案】或. 【解析】 【分析】先求出导函数得出函数单调性，再结合，再应用最小值列式求解. 【详解】因为，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 且，，若在区间上的最小值为， 因为函数取到值为的点为或， 所以对区间的最小值进行分类讨论： 若区间包含极小值点，则，解得； 若区间不包含，则最小值必在端点取到，结合单调性可知，只有当时，在区间上的最小值为。 所以当在区间上的最小值为时，或. 13. 的展开式中的系数为______________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式，分析的展开式中含项的系数，含项的系数，即可得解． 【详解】由二项式的展开式的通项为， 其中含项的系数为0，含项的系数为， 所以的展开式中的系数为． 14. 某登山团队的7名成员站在山顶排成一排合影留念，其中队长甲必须站在正中间，好友乙和丙必须相邻，小朋友丁不能站在边上，则符合条件的排法有_________种（用数字作答）． 【答案】120 【解析】 【分析】将队伍从左到右依次按1到7编号，先将队长甲固定在4号位，再考虑乙和丙必须相邻的排法种数，接下来分情况讨论小朋友丁不能站在边上的情况，最后找出符合条件的排法种数. 【详解】将队伍从左到右依次按1到7编号，其中队长甲必须站在正中间的4号位置， 因为好友乙和丙必须相邻，可能的相邻位置组为：，，，. 乙丙内部有种排列，所以乙丙的位置选择有种. 当乙丙在的位置上，剩余的位置为3、5、6、7， 因为小朋友丁不能站在边上， 所以丁可选3、5、6三个位置，剩余三个位置排其余三人，有种排法， 这种情况的排法有种. 同理当乙丙在的位置上，也有种排法. 当乙丙在的位置上，剩余的位置为1、2、3、7， 因为小朋友丁不能站在边上， 所以丁可选2、3两个位置，剩余三个位置排其余三人，有种排法， 这种情况的排法有种. 同理当乙丙在的位置上，也有种排法， 综上，符合条件的排法共有种 四、解答题（5个小题，共77分） 15. 近年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源汽车市场得到快速发展，销量及渗透率远超预期，新能源汽车成为汽车领域的热点．某车企通过市场调研，得到研发投入（亿元）与经济收益（亿元）的数据，统计如下： 研发投入（亿元） 经济收益（亿元） （1）的平均数记为，证明： （2）依据表中统计数据，计算样本相关系数（结果保留位小数），并判断研发投入与经济收益之间是否有较强的线性相关性；（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较强．） （3）求出关于的线性回归方程，并预测研发投入亿元时的经济收益． 参考数据： ，． 附：相关系数，线性回归方程的斜率. 【答案】（1）证明见解析 （2），具有较强的线性相关程度． （3）关于的线性回归方程为，预测研发投入亿元时的经济收益为亿元． 【解析】 【分析】（1）先利用完全平方公式展开，再根据平均数定义，即，对展开后的式子进行化简，最终推导出目标等式； （2）先计算的均值，再分别求出、与交叉项，代入相关系数公式计算，最后根据与的大小关系判断线性相关程度； （3）利用已求出的交叉项与计算回归系数，再根据求出截距，得到回归方程，最后将代入方程，计算并得到预测的经济收益值． 【小问1详解】 已知，即， ， 所以； 【小问2详解】 ，， ，， ， 又因为 ， 所以 所以研发投入与经济收益之间具有较强的线性相关性． 【小问3详解】 ，则， 所以关于的线性回归方程为， 将代入线性回归方程，得， 所以预测研发投入亿元时的经济收益为亿元． 16. 已知数列的前项和为，且；等差数列满足;； （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1），，两式相减即可得是等比数列，进而求的通项公式，再结合条件;及是等差数列求解即可； （2）分组后采用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由已知，当时，，即，． 当时，，， 两式相减，得，即，， ∴由等比数列的定义知，数列是首项，公比的等比数列， ∴数列的通项公式为． ；；， 设等差数列的公差为，则, 所以； 【小问2详解】 由第（1）问，， ∴设，① ①，得，，② ∴①-②，得， ， 另一部分的前n项和为 所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，和均是边长为2的正三角形，，分别为棱，的中点，且. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理证明线线垂直，进而根据线面垂直的判定定理证明线面垂直即可； （2）根据几何体的性质建立空间直角坐标系，进而写出点的坐标和平面的法向量，根据面面角的向量求法，求出面面夹角的余弦值即可. 【小问1详解】 因为和均是边长为2的正三角形，为的中点， 所以，又因为为的中点，所以， 因为，所以，因为，， 且平面，所以平面， 因为平面，所以，因为， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）知平面，所以，所以， 因为，，，所以平面， 所以，取中点，连接，则三条直线，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易得，因为，故， 得到，， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，，所以， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆 的左、右焦点分别为过点作x轴的垂线交C于M，N两点 且 的周长为 （1）求C 的方程. （2）已知点P是C上异于左、右顶点A，B的一点. （i）若直线和直线分别与直线交于点S，T，求面积的最小值； （ii）设点Q 是直线上一点，且 证明：直线 PQ 与C 有且仅有一个公共点. 【答案】（1） （2）（i）1；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据的周长得到，解得.求出，解得.从而得到椭圆方程. （2）（i）设（），满足.利用点斜式求出直线的方程，求出点的坐标，利用点斜式求出直线的方程，求出点的坐标.利用两点间距离公式求出，结合求出面积，利用导数法得到的单调性，利用单调性得到. （ii）设，，，由，得，利用向量的数量积通过计算得到，从而得到的坐标.利用点斜式求出直线的方程，再将其方程代入椭圆，得到关于的一元二次方程，求出判别式为0，从而得到结论. 【小问1详解】 根据的周长为， 由题知，解得. 过作轴垂线交椭圆于，， 将代入椭圆方程得可得， 则，代入，得 ，故. 椭圆方程为，即. 【小问2详解】 （i）椭圆左、右顶点，，. 设（），满足. 直线的方程为，交于 ； 直线的方程为 ，交于 . ， 即， 的底为， 点到的距离为 则面积， 因为，，得， 所以， 当时，，解得，则在上单调递增； 当时，，解得，则在上单调递减； 可得当时， . （ii）设，，. ， ， 由，得，即 ， 得，即. 直线的斜率，由， 代入可得. 直线的方程：，代入， 得直线方程为. 将代入椭圆，得， 因为 ， 则原方程有且仅有一个实数根，即直线与椭圆相切， 即直线与椭圆有且仅有一个公共点. 19. 已知函数的最大值为1． （1）求； （2）若，且，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，分析函数单调性，找到最大值点代入计算即可； （2）先建立的等式，令，将​用和表示，代入等式转化为关于的表达式，得到关于的函数，对其求导分析单调性，证明该函数在时的取值大于. 【小问1详解】 由题意得的定义域为，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以是的极大值点，也是最大值点， 故 ，即 ，解得． 【小问2详解】 由（1）得，则， 即． 令，则，且，所以，所以 ，故， 所以． 令 ， 则． 令 ，， 则 ， 所以在区间上单调递增，所以当时， ，即， 所以在区间上单调递增， 所以，故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年天水市第九中学5月阶段性检测高二数学试卷 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的最小正周期是（ ） A. ​ B. 1 C. 2 D. 4 3. 若复数，则z的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 已知平面向量，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，则该圆台的侧面积为（   ） A. B. C. D. 6. 在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知分别是双曲线的左、右两个焦点，A,B是双曲线上的两点，,，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知抛物线的焦点到准线的距离为4，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 抛物线的方程为 C. 直线的方程为 D. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点中心对称 C. 函数在区间上有且仅有2个零点，且这两个零点之和为 D. 将的图象向左平移个单位长度后，所得函数图象关于直线对称 11. 在平行六面体中，，，，分别为棱，的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 直线与所成角的余弦值为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知函数，若在区间上的最小值为，则实数的取值范围是______. 13. 的展开式中的系数为______________．（用数字作答） 14. 某登山团队的7名成员站在山顶排成一排合影留念，其中队长甲必须站在正中间，好友乙和丙必须相邻，小朋友丁不能站在边上，则符合条件的排法有_________种（用数字作答）． 四、解答题（5个小题，共77分） 15. 近年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源汽车市场得到快速发展，销量及渗透率远超预期，新能源汽车成为汽车领域的热点．某车企通过市场调研，得到研发投入（亿元）与经济收益（亿元）的数据，统计如下： 研发投入（亿元） 经济收益（亿元） （1）的平均数记为，证明： （2）依据表中统计数据，计算样本相关系数（结果保留位小数），并判断研发投入与经济收益之间是否有较强的线性相关性；（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较强．） （3）求出关于的线性回归方程，并预测研发投入亿元时的经济收益． 参考数据： ，． 附：相关系数，线性回归方程的斜率. 16. 已知数列的前项和为，且；等差数列满足;； （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，和均是边长为2的正三角形，，分别为棱，的中点，且. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知椭圆 的左、右焦点分别为过点作x轴的垂线交C于M，N两点 且 的周长为 （1）求C 的方程. （2）已知点P是C上异于左、右顶点A，B的一点. （i）若直线和直线分别与直线交于点S，T，求面积的最小值； （ii）设点Q 是直线上一点，且 证明：直线 PQ 与C 有且仅有一个公共点. 19. 已知函数的最大值为1． （1）求； （2）若，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $