函数实际与应用题专项练习2026年安徽中考数学

**基本信息** 聚焦函数实际应用，通过19道分层题构建“问题情境-模型建立-求解验证”三阶解题体系，融合方程与函数思想，强化数学建模与综合应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利润问题|5题|方程法求最值/方案比较|成本-销量-利润关系→函数建模→最优决策| |行程问题|2题|分段函数/图像分析|速度-时间-路程关系→函数图像→动态问题求解| |几何应用|7题|坐标系建模型/二次函数性质|几何图形特征→坐标转化→函数表达式求解| |数据统计|2题|一次函数预测/增长率计算|数据收集→趋势分析→数学推断| |综合应用|3题|跨模块知识整合|多知识点关联→综合建模→复杂问题解决|

2026年安徽中考数学---函数实际与应用题专项练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．学校文创社设计了一款特色笔记本，作为校园文化节的纪念品．最初以每本20元的成本价生产了一批．在试销阶段，第一个月定价为每本25元，售出120本，随后两个月对价格进行了上调，两次价格上调的百分率相同，最终第三个月定价为每本36元，此时每月售出100本． (1)这款笔记本每次（每月）的价格增长率为________； (2)文创社为了在第四个月扩大影响、清空库存，决定进行促销．学生通过市场调查发现：在第三个月销量的基础上，售价每降低1元，每月可多售出10本，请问：当降价多少时，可以使第四个月的利润达到1530元． (3)文创社现有两种销售方案： 方案A 方案B 按第（2）问中求出的售价进行销售． 在售价不低于成本的前提下，采取“每卖出一本就向校园公益基金捐赠2元”的方式销售，这一方式可以使每月销量在第（2）问的促销模型基础上再增加20本． 如果你是文创社社长，你会选择哪种方案？请从利润、清仓速度、社会效益等角度比较方案A和方案B，综合说明理由． 2．某果园实验基地推广甲、乙两种芒果苗，已知乙种芒果苗比甲种芒果苗每株贵元，且用元钱购买甲种芒果苗的株数与用元钱购买乙种芒果苗的株数刚好相同． (1)求甲、乙两种芒果苗每株的价格； (2)果农准备从甲、乙两种芒果苗中选购一种，已知购买数量相同且数量不少于株，该果园实验基地负责人可给予以下优惠：购买甲种芒果苗每株按原售价九折优惠；购买乙种芒果苗，不多于株按原售价付款不优惠，超过株每株按原售价五折优惠请帮助果农判断购买哪种芒果苗更省钱． (3)果农计划购买甲、乙两种芒果苗共株调查统计发现，甲、乙两种芒果苗的成活率分别为、，要使这批芒果苗的成活率不低于，且使购买芒果苗的费用最低，应如何选购芒果苗？最低费用是多少？ 3．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用150元购进甲种玩具的件数与用90元购进乙种玩具的件数相同． （1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？ （2）商场用不超过1200元的资金购进甲、乙两种玩具共50件，其中甲种玩具的件数不少于乙种玩具的件数，若甲玩具售价40元，乙玩具售价20元，当玩具售完后，要使利润最大，应怎样进货？ （3）在（2）的条件下，每卖一件甲玩具就捐款给希望小学m元（8＜m＜12），当玩具售完后，要使利润最大，对甲玩具应怎样进货？ 4．为了防控新冠疫情，某地区积极推广疫苗接种工作，卫生防疫部门对该地区八周以来的相关数据进行收集整理，绘制得到如下图表： 该地区每周接种疫苗人数统计表 周次 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 第6周 第7周 第8周 接种人数（万人） 7 10 12 18 25 29 37 42 该地区全民接种疫苗情况扇形统计图 A：建议接种疫苗已接种人群 B：建议接种疫苗尚未接种人群 C：暂不建议接种疫苗人群 根据统计表中的数据，建立以周次为横坐标，接种人数为纵坐标的平面直角坐标系，并根据以上统计表中的数据描出对应的点，发现从第3周开始这些点大致分布在一条直线附近，现过其中两点、作一条直线（如图所示，该直线的函数表达式为），那么这条直线可近似反映该地区接种人数的变化趋势． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）这八周中每周接种人数的平均数为________万人：该地区的总人口约为________万人； （2）若从第9周开始，每周的接种人数仍符合上述变化趋势． ①估计第9周的接种人数约为________万人； ②专家表示：疫苗接种率至少达60%，才能实现全民免疫．那么，从推广疫苗接种工作开始，最早到第几周，该地区可达到实现全民免疫的标准？ （3）实际上，受疫苗供应等客观因素，从第9周开始接种人数将会逐周减少万人，为了尽快提高接种率，一旦周接种人数低于20万人时，卫生防疫部门将会采取措施，使得之后每周的接种能力一直维持在20万人．如果，那么该地区的建议接种人群最早将于第几周全部完成接种？ 5．城关中学九（6）班的毕业复习资料复印业务原来由宏图复印社承接，其收费y1（元）与复印页数x（页）的关系如下表： x（页） 100 200 400 1000 … y1（元） 15 30 60 150 … （1）y1与x的函数关系是否满足一次函数关系？ （2）现在另一家复印社明晰复印社表示：若学校先按每月付给200元的承包费，则可按每页0.10元收费，请写出明晰复印社每月收费y2（元）与复印页数x（页）的函数表达式； （3）你若是班级的学习委员，在复印资料时，选择哪家复印社比较优惠，说明理由． 6．某公司分别在，两城生产同种产品，共100件．城生产品的总成本（万元）与产品数量（件）之间具有函数关系，当时，；当时，．城生产产品的每件成本为70万元． （1）求，的值； （2）当，两城生产这批产品的总成本的和最少时，求，两城各生产多少件？ （3）从城把该产品运往，两地的费用分别为万元/件和3万元/件；从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元/件和2万元/件，地需要90件，地需要10件，在（2）的条件下，直接写出，两城总运费的和的最小值（用含有的式子表示）． 7．在一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发，驶向C地，同时乙车从C地出发驶向B地，到达B地停留小时后，按原路原速返回C地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚小时到达C地．两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： (1)甲车行驶速度是___________千米/时，B，C两地的路程为___________千米； (2)求乙车从B地返回C地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）； (3)出发多少小时，行驶中的两车之间的路程是15千米？请你直接写出答案． 8．问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．玥玥同学设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点（不与重合），过点作的平行线，交抛物线于点，．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了玥玥的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩9米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完9米材料，需确定与的长．为此，如图3建立平面直角坐标系．解决问题： (1)求抛物线的函数表达式； (2)当9米材料恰好用完时，分别求与的长； (3)种植区域分隔完成后，玥玥又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．求符合设计要求的矩形周长的最大值． 9．某公园有一个地面喷泉景观区，如图，在景观区内的点处竖直装有水管，地面上、下的长度分别为，，点处连接水泵，点处装有喷头，使其向右喷出抛物线形水柱（简称喷泉）．该抛物线上与点离地高度相同的点记为，喷泉的最大高度（即最高点的离地高度）记为，通常当时喷泉达到最佳观赏比例．小梧用无人机拍摄喷泉景观区．无风时，观测到与射线的夹角为，且此时该喷泉正好达到最佳观赏比例． (1)通常来说，在不考虑水管对水的摩擦和阻力的情况下，水泵能把水从水泵竖直压上去的最大高度近似为该水泵的压水扬程．但实际上，考虑到水管对水的摩擦和阻力，以及若要保持水柱特定形状（如抛物线形），都需要水泵有更大的压水扬程．小桐推断：这个喷泉的水泵的压水扬程为．你同意吗？请说明理由； (2)根据测算，当有风且风力不超过3级时，该喷泉仍保持抛物线形，但受风力影响，喷泉的最大高度是无风时的至，的长度也会改变，表三是测算所得的数据． 表三 3.20 3.25 3.30 3.35 3.41 3.50 的长度 8.80 9.00 9.20 9.40 9.60 10.00 当有风且风力不超过3级时， ①判断喷泉是否还可能达到最佳观赏比例，并说明理由； ②记喷泉落地点为．无人机从射线正上方且与点水平距离处出发，水平向左飞行，是否会穿进喷泉？请说明理由．（参考数据：，，，） 10．【项目式学习】 项目主题：设计落地窗的遮阳篷 项目背景：小明家的窗户朝南，窗户的高度，为了遮挡太阳光，小明做了以下遮阳蓬 的设计方案，请根据不同设计方案完成以下任务． 方案1：直角形遮阳篷 如图1，小明设计的第一个方案为直角形遮阳篷，点 C 在的延长线上 (1)若，，则支撑杆 m． (2)小明发现上述方案不能很好发挥遮阳作用，如图2，他观察到此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为a，最大夹角为β．小明查阅资料，计算出，，为了让遮阳篷既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内(太阳光与平行)，又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光(太阳光与平行)．请求出图2中 的长度． 方案2：抛物线形遮阳篷 (3)如图3，为了美观及实用性，小明在(2)的基础上将边改为抛物线形可伸缩的遮阳篷，点F为抛物线的顶点，段可伸缩)，且，，的长保持不变．若以C 为原点，方向为x 轴，方向为y 轴． ①求该二次函数的表达式． ②若某时刻太阳光与水平地面夹角的正切值使阳光最大限度地射入室内，求遮阳蓬点 D上升的高度最小值(即点到的距离) 11．民以食为天．我们常见的炒菜锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆形面．经过锅心和盖心的纵断面是一段拋物线和圆弧线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深为，锅盖高为（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立平面直角坐标系如图1所示（单位：），如果把锅纵断面的抛物线的记为，把锅盖纵断面所在的圆记作． (1)求抛物线解析式和弧所在的半径； (2)锅中原有水的最大深度为（如图2），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高，求此时的水面宽度； (3)如果将底面直径，高度为的圆柱形蒸笼若干个叠加起来（如图3）放入锅中蒸食物（不考虑叠加缝隙），为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个？ 12．某饭店特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯(如图1)，相关信息如下： 素 材 内容 素 材 1     高脚杯：如图1，类似这种杯托上立着一只细长脚的杯子．从下往上分为三部分：杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆；水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径；杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上． 素 材 2   图2坐标系中，特制男士杯可以看作线段，抛物线(实线部分)，线段，线段绕轴旋转形成的立体图形(不考虑杯子厚度，下同)． 图2坐标系中，特制女士杯可以看作线段，抛物线(虚线部分)绕轴旋转形成的立体图形． 素 材 3 已知，图2坐标系中，，记为，． 根据以上素材内容，尝试求解以下问题： (1)求抛物线和抛物线的解析式； (2)当杯子水平放置及杯内液体(无泡沫)静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度均为，求两者液体最上层表面圆面积相差多少？(结果保留) (3)当杯子水平放置及杯内液体(无泡沫)静止时，若男士杯中液体与女士杯中流体最深处深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差，求杯中液体最深度为多少？ 13．某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系．    (1)求抛物线的解析式； (2)若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ (3)此时，若对方队员乙在甲前面处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？ 14．为庆祝新中国成立70周年，国庆期间，北京举办“普天同庆•共筑中国梦”的游园活动，为此，某公园在中央广场处建了一个人工喷泉，如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线．如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m，求水流的落地点C到水枪底部B的距离． 15．某商场经销一种商品，已知其每件进价为40元．现在每件售价为70元，每星期可卖出500件．该商场通过市场调查发现：若每件涨价1元，则每星期少卖出10件；若每件降价1元，则每星期多卖出m（m为正整数）件．设调查价格后每星期的销售利润为W元． （1）设该商品每件涨价x（x为正整数）元， ①若x=5，则每星期可卖出　 　件，每星期的销售利润为　 　元； ②当x为何值时，W最大，W的最大值是多少？ （2）设该商品每件降价y（y为正整数）元， ①写出W与y的函数关系式，并通过计算判断：当m=10时每星期销售利润能否达到（1）中W的最大值； ②若使y=10时，每星期的销售利润W最大，直接写出W的最大值为　 　． （3）若每件降价5元时的每星期销售利润，不低于每件涨价15元时的每星期销售利润，求m的取值范围． 16．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB=L，称跨度，桥面最高点到AB的距离CD=h称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型，②圆弧型. 已知这座桥的跨度L=32米，拱高h=8米. (1)如果设计成抛物线型,以AB所在直线为x轴, AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式; （2）如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径; （3）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度. 17．某商场经营某种品牌的玩具，进价是20元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是500件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． (1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中： 销售单价（元） x 销售量y（件）       __________ 销售玩具获得利润w（元）       __________ (2)在（1）问条件下，若商场获得了8000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元． (3)在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于35元，且商场要完成不少于350件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 18．某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话． 小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克． 小强：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元． 小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系． (1)求y（千克）与x（元）（）的函数关系式； (2)设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元，那么当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？【利润销售量（销售单价进价）】 19．一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本），若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份，为了便于结算，每份套餐的售价X（元）取整数，用Y（元）表示该店日净收入，（日净收入=每天的销售额—套餐成本—每天固定支出） （1）求Y与X之间的函数关系式； （2）若每分套餐的售价不超过10元，要使该店日净收入不少于800元，那么每份售价最少不低于多少元？ （3）该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日净收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日净收入为多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年安徽中考数学---函数实际与应用题专项练习》参考答案 1．(1) (2)7 (3)B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用与二次函数的应用，理解题意，列出方程或函数关系式是解题的关键． （1）设每次价格增长率为r，根据价格增长模型，从25元增长到36元经过两次相同增长率，列一元二次方程求解； （2）设降价x元，根据利润公式列一元二次方程求解； （3）计算方案A的利润和销量；方案B中设售价降低x元，计算最大利润，并比较利润、清仓速度和社会效益． 【详解】（1）解：设每次价格增长率为r， 由题意得：， ， ， （舍去）， 答：增长率为； 故答案为：． （2）解：设降价x元，则售价为元，销量为本， 每本的利润为元， 由题意得：， 整理得：， 解得：或（舍去）， 答：应降价7元，才能使第四个月的利润达到1530元； （3）解：方案A售价（元），销量170本，利润（元）， 方案B设售价降低x元（），售价元，销量本，每本利润元，总利润， 设利润为元，则， 配方得：， 当时利润最大为1690元，此时售价35元，销量130本， 方案B最大利润1690元元，且捐赠（元）有社会效益， 方案A清仓速度较快（销量170本＞130本），但方案B利润更高且有益社会，综合选择方案B． 2．(1)甲果苗的单价为元，乙果苗的单价为元 (2)当购买果苗数量超过株时，买乙果苗省钱；当购买果苗数量少于株时，买甲果苗省钱；当购买果苗数量等于株时，买甲或乙果苗一样钱； (3)购买甲果苗株．乙果苗株时费用最低为元 【分析】本题考查分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题． （1）设甲种芒果苗每株元，则乙种芒果苗每株，根据题干：用元钱购买甲种芒果苗的株数与用元钱购买乙种芒果苗的株数刚好相同，列分式方程，解方程即可； （2）设果农购买芒果苗株，买甲果苗费用为，乙果苗费用为，由题意写出，的解析式，分情况讨论：①当时，②当时，③当时，即可求解； （3）设果农计划购买甲芒果苗共株，则买乙果苗株，总费用为元，写出W的解析式，根据题干：甲、乙两种芒果苗的成活率分别为、，要使这批芒果苗的成活率不低于，列不等式，得到n的取值范围，最后根据一次函数的增减性，即可得到适合题目的n值，进而即可求解． 【详解】（1）解：设甲种芒果苗每株元，则乙种芒果苗每株， 根据题意可得：， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的解， 则元， 甲果苗的单价为元，乙果苗的单价为元； （2）解：设果农购买芒果苗株，买甲果苗费用为，乙果苗费用为， ， 则， ， 即，， 当时，则， 解得：， 当购买果苗数量超过株时，买乙果苗省钱； 当时，则， 解得：， 当购买果苗数量少于株时，买甲果苗省钱； 当时，则， 解得：， 当购买果苗数量等于株时，买甲或乙果苗一样钱； （3）解：设果农计划购买甲芒果苗共株，则买乙果苗株，总费用为元， 由于没有超过株， 则， 即， 甲、乙两种芒果苗的成活率分别为、，要使这批芒果苗的成活率不低于， ， 解得：， ， ， 随的增大而减小， 当时，取最小值为元， 购买甲果苗株．乙果苗株时费用最低为元． 3．（1）甲种玩具进价25元/件，乙种玩具进价为15元/件；（2）购进甲种玩具45件，购进乙种玩具5件利润最大；（3）当8＜m＜10时，购进甲种玩具45件，购进乙种玩具5件利润最大；当10＜m＜12时，购进甲种玩具25件，购进乙种玩具25件利润最大；当m＝10时，不管x取何值，W＝250 【分析】（1）设甲种玩具进价a元/件，则乙种玩具进价为（40﹣a）元/件，根据“用150元购进甲种玩具的件数与用90元购进乙种玩具的件数相同”可列方程求解； （2）设购进甲种玩具x件，则购进乙种玩具（50﹣x）件，根据甲种玩具的件数不少于乙种玩具的件数，商场用不超过1200元的资金购进甲、乙两种玩具，可列出不等式组求解，解不等式组求出x的取值范围；设总利润为W元，再根据“利润＝售价﹣成本”，求出W与x的函数关系式，再根据一次函数的性质求解即可； （3）根据题意求出利润W与x之间的函数关系式，再结合8＜m＜12分类讨论即可． 【详解】（1）设甲种玩具进价a元/件，则乙种玩具进价为（40﹣a）元/件，根据题意得： ， 解得a＝25， 经检验，a＝25是原方程的解并满足题意， 当a=25时，40−a=40−25=15， 所以甲种玩具进价25元/件，乙种玩具进价为15元/件； （2）设购进甲种玩具x件，则购进乙种玩具（50﹣x）件，根据题意得： ， 解得25≤x≤45； 设总利润为W元，根据题意得：W＝（40﹣25）x+（20﹣15）×（50﹣x）＝10x+250， ∵10＞0， ∴W随x的增大而增大， ∴当x＝45时，利润最大，此时50−x=5， 故购进甲种玩具45件，购进乙种玩具5件利润最大； （3）由题意可得，W＝（40﹣25）x+（20﹣15）×（50﹣x）﹣mx＝（10﹣m）x+250； ∵8＜m＜12， ①当8＜m＜10时，10﹣m＞0， ∴W随x的增大而增大，即购进甲种玩具45件，购进乙种玩具5件利润最大； ②当10＜m＜12时，10﹣m＜0， ∴W随x的增大而减小，即购进甲种玩具25件，购进乙种玩具25件利润最大； ③当m＝10时，不管x取何值，W＝250． 【点睛】本题是方程、不等式及函数的综合问题，考查了解分式方程、解一元一次不等式组及一次函数的性质，对于方程和不等式，关键是找到等量关系，对于求最值，关键是掌握一次函数的性质． 4．（1）22.5，800；（2）①48；②最早到13周实现全面免疫；（3）25周时全部完成接种 【分析】（1）根据前8周总数除以8即可得平均数，8周总数除以所占百分比即可； （2）①将代入即可；②设最早到第周，根据题意列不等式求解； （3）设第周接种人数不低于20万人，列不等式求解即可 【详解】（1）22.5， 故答案为： （2）①把代入 故答案为：48 ②∵疫苗接种率至少达到60% ∴接种总人数至少为万 设最早到第周，达到实现全民免疫的标准 则由题意得接种总人数为 ∴ 化简得 当时， ∴最早到13周实现全面免疫 （3）由题意得，第9周接种人数为万 以此类推，设第周接种人数不低于20万人，即 ∴，即 ∴当周时，不低于20万人；当周时，低于20万人； 从第9周开始当周接种人数为， ∴当时 总接种人数为：解之得 ∴当为25周时全部完成接种. 【点睛】本题考查的是扇形统计图的综合运用，平均数的概念，一次函数的性质，列不等式解决实际问题,读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 5．（1）y1与x的函数关系满足一次函数关系．（2）y2=0.1x+200．（3）当复印量等于4000时，选择两家均可；当复印量大于4000页时，选择明晰复印社；当复印量小于4000页时，选择宏图复印社． 【解析】（1）设y1=kx+b，由题意找出满足两个量的函数关系式，即可得解． （2）由题中三个量的关系即可得出函数表达式． （3）由前两题的函数表达式，找出中间量，由此再得出一元一次不等式，即可得解． 【详解】解：（1）设y1=kx+b，把（100，15）和（200，30）分别代入，得： ， 解得：． ∴函数的表达式可能为y1=0.15x； 把（400，60）和（1000，150）分别代入，可得等式成立． ∴y1与x的函数关系满足一次函数关系． （2）由题意得，y2=0.1x+200． （3）由，解得： ． 即当复印4000页是，两家收费均为600元； ∴此时选择两家都可以． 由0.15x＞0.1x+200， 解得：x＞4000； ∴当复印量大于4000页时，宏图复印社的收费大于明晰复印社， 此时应选择明晰复印社． 同理，当复印量小于4000页时，选择宏图复印社． 综上所述，当复印量等于4000时，选择两家均可； 当复印量大于4000页时，选择明晰复印社． 当复印量小于4000页时，选择宏图复印社． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式和一次函数的应用，理解题中各个量的关系是解题的关键． 6．（1），；（2）A城生产20件，B城生产80件；（3）当时，，两城总运费的和的最小值为万元；当时，，两城总运费的和的最小值为万元． 【分析】（1）先根据题意得出产品数量为0时，总成本y也为0，再利用待定系数法即可求出a、b的值； （2）先根据（1）的结论得出y与x的函数关系式，从而可得出，两城生产这批产品的总成本的和，再根据二次函数的性质即可得； （3）设从A城运往C地的产品数量为件，，两城总运费的和为，先列出从A城运往D地的产品数量、从B城运往C地的产品数量、从B城运往D地的产品数量，再求出n的取值范围，然后根据题干运费信息列出与的函数关系式，最后根据一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）由题意得：当产品数量为0时，总成本也为0，即时， 则，解得 故，； （2）由（1）得： 设，两城生产这批产品的总成本的和为 则 整理得： 由二次函数的性质可知，当时，取得最小值，最小值为6600万元 此时 答：A城生产20件，B城生产80件； （3）设从A城运往C地的产品数量为件，，两城总运费的和为，则从A城运往D地的产品数量为件，从B城运往C地的产品数量为件，从B城运往D地的产品数量为件 由题意得：，解得 整理得： 根据一次函数的性质分以下两种情况： ①当时，在内，随的增大而减小 则时，取得最小值，最小值为 ②当时，在内，随的增大而增大 则时，取得最小值，最小值为 ③当m=2时，P的与n无关，总为130万元； 答：当时，，两城总运费的和的最小值为万元；当时，，两城总运费的和的最小值为万元；当m=2时，P的与n无关，总为130万元． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一次函数的实际应用等知识点，较难的是题（3），正确设立未知数，建立函数关系式是解题关键． 7．(1)60；360 (2) (3)小时或5小时或6小时 【分析】本题考查了一次函数的实际应用—行程问题，解题的关键是结合函数图象分析运动过程，理解各个节点的实际意义． （1）根据F点坐标可求出甲车速度，根据M纵坐标可得B，C两地之间距离； （2）根据甲车比乙车晚小时到达C地得出点E坐标，再求出点N坐标，利用待定系数法求解即可； （3）根据运动过程，分五种情况讨论：①在乙车到B地之前时，②当乙在B地停留时，③当乙车从B地开始往回走，追上甲车之前，④当乙车追上甲车并超过15千米时，⑤当乙车回到C地时，甲车距离C地15千米时． 【详解】（1）解：由题意可得： ， ∴甲车的行驶速度是：千米/时， M的纵坐标为360， ∴B，C两地之间的距离为360千米， 故答案为：60；360； （2）解：∵甲车比乙车晚小时到达C地， ∴点， 乙的速度为千米/小时， 则， ∴，， 设表达式为，将和代入， 得，解得：， ∴y（千米）与x（小时）之间的函数关系式为：； （3）解：设出发x小时，行驶中的两车之间的路程是15千米， ①在乙车到B地之前时， ，即， 解得：； ②∵小时，小时， ∴甲乙同时到达B地， 当乙在B地停留时， 小时（不符合题意，舍弃）； ③当乙车从B地开始往回走，追上甲车之前， 小时； ④当乙车追上甲车并超过15千米时， 小时； ⑤当乙车已经回到C地时，甲车距离C地15千米时， 小时（不符合题意，舍弃）； 综上：行驶中的两车之间的路程是15千米时，出发时间为小时或5小时或6小时． 8．(1) (2)的长为6米，的长为3米 (3)矩形周长的最大值为米 【分析】（1）根据题意，得到抛物线的顶点坐标为，不妨设抛物线的函数表达式为，把点A或点B的坐标代入解析式，确定解析式即可； （2）由点在抛物线上，不妨设点的坐标为，继而得到，．根据题意得，构造方程 ，求解即可； （3）种植区域分隔完成后，玥玥又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个 【详解】（1）解：所在直线是的垂直平分线，且， ． 点的坐标为， ， 点的坐标为， 点是抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 点在抛物线上， ， 解得：． 抛物线的函数表达式为． （2）解：由点在抛物线上， 不妨设点的坐标为， ，交轴于点， ， ． 在中，， ． ， 根据题息，得， ， 解得：（不符合题意，舍去）， ． ， 答：的长为6米，的长为3米． （3）解：如图矩形灯带为， 根据题意，得，，， 设直线和的表达式分别为：， 故， 解得， 故直线和的表达式分别为：， 设点， 则矩形周长， 根据抛物线的性质，得抛物线的最大值为， 故矩形周长的最大值为米． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，构造二次函数求最值，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，二次函数的最值是解题的关键． 9．(1)不同意；理由见解析 (2)①不可能达到；理由见解析  ②不会穿进；理由见解析 【分析】（1）首先求出，然后得到，，由求出，然后在中，解直角三角形求出，然后得到，求出，得到，进而求解即可； （2）①首先求出，然后求出当有风且风力不超过3级时，，然后由，求出，进而判断求解即可； ②以地面水平线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出抛物线形喷泉的解析式为，然后得出，，当时，，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）由题可知，． 过点作于，交地面水平线于点，则，． 所以． 所以． 因为喷泉为抛物线形状， 所以点，关于直线成轴对称． 所以． 过点作，交的延长线于点， 则． 因为， 所以． 在中，， 所以，即． 因为此时该喷泉正好达到最佳观赏比例， 所以，即． 所以． 解得． 所以． 考虑到水管对水的摩擦和阻力，以及要保持水柱为抛物线形， 所以该喷泉的水泵的压水扬程应大于，故不同意小桐的推断． （2）①根据表三，当有风且风力不超过3级时，长度随着喷泉的最大高度的增大大致呈现出均匀增大的规律． 设． 把，代入可得， 解得 所以． 由（1）可知，无风时． 由题可知，当有风且风力不超过3级时，，即． 若喷泉达到最佳观赏比例，则，即． 又因为，可得． 解得，不符合的条件． 所以，有风且风力不超过3级时，喷泉不可能达到最佳观赏比例； ②以地面水平线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则点的坐标为． 过点作于，交轴于点，则，顶点的坐标为． 设该抛物线的解析式为：， 因为，， 所以． 所以． 把代入，得． 可得，即． 若设该抛物线的解析式为，则，可得． 又因为抛物线经过，可得． 即抛物线形喷泉的解析式为． 由①可知，，而， 所以． 对于， 因为，在每个象限内，随的增大而增大． 所以． 因为当时，， 可得，即无论取何值，无人机飞行终点的位置（射线正上方且与点水平距离处）都在抛物线外． 对于该抛物线，因为，当时，随的增大而减小． 所以当时，都有． 也即，无人机从射线正上方且与点水平距离处出发，水平向左飞行，不会穿进喷泉． 【点睛】本题考查了二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，解直角三角形．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型． 10．(1) (2), (3) 【分析】（1）利用勾股定理求即可； （2）由题意得到 由题意得：，，，，，在中，利用正切定义求出，在中，利用正切定义求出，得到方程，则有则的长度可求． （ 3）①由题意，为等腰直角三角形，从而有，设二次函数为：，代入，求出函数关系式即可； ②光线与水平方向的夹角为θ，过D′作x轴的垂线交x轴于点E，过B作y轴的垂线，两条垂线交于点H.即=，设，则点 ，代入求出x即可． 【详解】（1）在中，， ， 故答案为：； （2）由题意得：，，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴设 在中，， ∴， ∴， 解得． ∴，． （3）①由F为抛物线顶点，可知， ∵， ∴为等腰直角三角形 由二次函数对称性可知， 设二次函数为：，代入得 ，解得， ∴y关于x的关系式为：， ②光线与水平方向的夹角为θ，过D′作x轴的垂线交x轴于点E， 过B作y轴的垂线，两条垂线交于点H.即=， 设，则点 ， 代入得， 化简得, 解得，，(答案不合理，舍去） ∴D′E=， ∴遮阳蓬点D上升的高度最小值为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，待定系数法求二次函数关系式，勾股定理，解直角三角形的实际应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 11．(1)；的半径为 (2)水面宽度为 (3)为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的蒸笼4个 【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为：，代入求出的值即可；圆心为，连接，设，则，由垂径定理出，根据勾股定理求出半径即可； （2）根据题意把代入（1）中抛物线的解析式，求出即可； （3）先在抛物线中求出时，的值，即的值，再借助图形在中，求出距轴的距离，即的值，再用，求出其整数值即可． 【详解】（1）由题意知抛物线的顶点为，且过，， 设抛物线解析式为：， ，解得：， 抛物线解析式为：， 如图：圆心为，连接， 设，则， ， ， 在中， 由勾股定理可得：， ， 解得：， 的半径为； （2）锅中原有水的最大深度为，又重新加入一定量的水，水位升高， 加水后水面水的最大深度为 水面距锅沿的竖直高度为， 当时，， 解得， 水面宽度为； （3）对于抛物线，如图所示： 当时，， ； 对于，如图所示： 当时，， ， ， ， ， ， 为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的蒸笼4个． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，垂径定理，勾股定理，解题的关键是求出抛物线的解析式和的半径，采用数形结合的思想解题． 12．(1)抛物线；抛物线 (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的实际应用 （1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别为，，分别求出，，即可得出结果； （3）分和进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：点为抛物线和抛物线的顶点，对称轴为轴， 设抛物线的解析式为：，抛物线的解析式为：， 点在抛物线上，点在抛物线上， ，， ，， 抛物线；抛物线； （2）解：设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别为，， 在抛物线中：当时， ， ， ， 则， ； （3）解：当时，由抛物线解析式可得：， ， ， 即， 解得； 则最深度为； 当时，由图象可得：， ， 可列方程：， 则， 解得； 则最深度为． 综上：杯中液体最深度为或． 13．(1) (2)此球一定能投中 (3)能拦截成功 【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （2）令，求出的值，与比较即可作出判断； （3）将代入得进而得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； （2）将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． （3）能拦截成功． 理由：将代入得， ， 他能拦截成功． 【点睛】解答本题的关键是利用待定系数法求出抛物线解析式，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力． 14．水流的落地点C到水枪底部B的距离为2.5m． 【分析】如图，建立以所在直线为轴、所在直线为轴的直角坐标系，根据顶点设其解析式为，把代入求得的值，据此可得其函数解析式；求得时的值可得答案． 【详解】如图，以BC所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立直角坐标系， 由题意知，抛物线的顶点P的坐标为(1,3.6)、点A(0,2)， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3.6， 将点A(0,2)代入，得：a+3.6＝2， 解得：a＝﹣1.6， 则抛物线的解析式为y＝﹣1.6（x﹣1）2+3.6， 当y＝0时，有﹣1.6（x﹣1）2+3.6＝0， 解得：x＝﹣0.5（舍）或x＝2.5， ∴BC＝2.5， 答：水流的落地点C到水枪底部B的距离为2.5m． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是结合题意建立合适的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题求解． 15．（1）①450、15750；②当x=10时，W最大，最大值为16000．（2）①当m=10时每星期销售利润不能达到（1）中W的最大值；②20000元；（3）m的取值范围是m≥26． 【分析】（1）①直接进行计算即可，②根据利润=每件的利润销售量即可写出函数关系式，进而求得利润的最大值； （2）①根据利润=每件的利润销售量写出与的关系式，根据二次函数的性质求出最大值和（1）中的最大值进行比较即可，②直接写出最大利润即可； （3）根据题意，列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：（1）①当时，每星期可卖出：件， 每星期的销售利润为：元. 故答案为 ②根据题意得： W＝, ∵W是x的二次函数，且－10＜0， ∴当时，W最大， W最大值＝， 答：当x＝10时，W最大，最大值为16000. （2）①W＝（70－40－y）（500＋my）， W＝， 当m＝10时，W＝， ∵W是y的二次函数，且－10＜0， ∴当y＝时，W最大，当y＞－10时，W随y的增大而减小， ∵y为正整数， ∴当y=1时，W最大，W最大=－10－200＋15000=14790， 14790＜16000 答：销售利润不能达到（1）中W的最大值， ②当时，即 解得： 此时，元． 故答案为20000元． （3）降价5元时销售利润为：W＝（70－40－5）（500＋5m）=125m＋125000， 涨价15元时的销售利润为：W=＋3000＋15000=15750， 根据题意，得125m＋12500≥15750, 解得：m≥26, 答：m的取值范围是m≥26． 16．（1）y=x2+8（-16≤x≤16）；（2）20；（3）①3.5米；②在离桥的一端4米处，抛物线型桥墩高3.5米; 圆弧型桥墩高4米. 【详解】试题分析：（1）抛物线的解析式为y=ax2+c，把点C（0，8）和点B（16，0），代入即可求出抛物线解析式； （2）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可； （3）根据题意画出图形，利用垂径定理以及勾股定理得出AO的长，再求出EF的长即可． 试题解析：（1）抛物线的解析式为y=ax2+c， 又∵抛物线经过点C（0，8）和点B（16，0）， ∴0=256a+8，a=-． ∴抛物线的解析式为y=-x2+8（-16≤x≤16）； （2）设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点， 设⊙O的半径为R， 在Rt△OBD中，OB2=OD2+DB2 ∴R2=（R-8）2+162，解得R=20； （3）①在抛物线型中设点F（x，y）在抛物线上，x=OE=16-4=12， EF=y=3.5米； ②在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′， OH⊥F′E′于H，则OH=D E′=16-4=12，O F′=R=20， 在Rt△OH F′中，H F′=    ， ∵HE′=OD=OC-CD=20-8=12，E′F′=HF′-HE′=16-12=4（米） ∴在离桥的一端4米处，抛物线型桥墩高3.5米； 圆弧型桥墩高4米． 17．(1)−10x+800，−10x²+1000x−16000 (2)销售单价x应定为60元 (3)最大利润是8750元 【分析】（1）根据销售量与销售单价之间的变化关系就可以直接求出y与x之间的关系式；根据销售问题的利润=售价-进价就可以表示出w与x之间的关系． （2）根据以上关于利润的相等关系列方程求解可得． （3）根据销售单价不低于35元，销售量不少于350件建立不等式组求得x的范围，将函数解析式配方成顶点式，结合函数性质和x的范围求出其最大值即可． 【详解】（1）由题意，得：y=500−10(x−30)=−10x+800， w=(−10x+800)(x−20)= −10+1000x−16000． （2）根据题意，得：−10+1000x−16000=8000， 整理，得：−100x+2400=0， 解得：x=40或x=60， ∵x>40， ∴x=60， 答：该玩具销售单价x应定为60元； （3）由题意知， 解得：35≤x≤45， ∵w=−10+1000x−16000=−10+9000， ∴当x<50时，w随x的增大而增大， ∴当x=45时，w取得最大值,最大值为−10+9000=8750， 答：商场销售该品牌服装获得的最大利润是8750元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法的运用，二次函数解析式的应用，二次函数的顶点式的运用，解题关键是明确题意，找出所求问题的条件． 18．(1)y与x的函数关系式为： (2)当销售单价为12元时，每天可获得的利润最大，最大利润是800元 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数求最值的应用， （1）以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克；以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元，就相当于直线过点，然后列方程组解答即可． （2）根据利润销售量（销售单价进价）写出解析式，然后利用配方法求最大值． 【详解】（1）解：当销售单价为13元/千克时，销售量为：（千克）， 设y与x的函数关系式为： 把分别代入得：， ∴， ∴y与x的函数关系式为：； （2）解：∵利润销售量（销售单价进价） ∴ ∴当销售单价为12元时，每天可获得的利润最大，最大利润是800元． 19．（1） （2）400x－2600≥800   ∴ x≥8.5  ∵ 取整    ∴ x≥9 ． （3）当x=10时，y大 = 1400； 当x=12.5时，取整，x=12或13，为了吸引顾客，∴ x=12时，y大 ="1640" ． 【详解】解：(1)当时 ……2分 当时 =……4分 （2）由题意得： 400-2600≥800 解得：≥8.5 ∴每份售价最少不低于9元．……8分 （3）由题意得： ……10分 ∴当或(不合题意，舍去)时 ∴每份套餐的售价应定为12元时,日净收入为1640元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $