精品解析：2026年辽宁朝阳市九年级5月中考模拟数学试卷

数学 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在南北向的马路上，把出发点记为0，向北与向南意义相反．若把向北走记作，那么向南走应记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵向北与向南是意义相反的两个方向，且题目规定向北走记作，即向北记为正， ∴向南记为负， 则向南走应记作． 2. 下图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得：从上往下看，得到一共3列，从左往右依次有1，1，2块，即可求解． 【详解】解：根据题意得：从上往下看，得到一共3列，从左往右依次有1，1，2块， ∴这个几何体的俯视图是 ． 故选：B 【点睛】本题主要考查了简单组合体的三视图，熟练掌握俯视图就是从上往下看得到的图形是解题的关键． 3. 每年12月2日是“全国交通安全日”，确定12月2日为交通安全日主要考虑数字“122”作为我国道路交通事故报警电话，方便群众记忆和宣传．下列指示标志图案中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. 直行 B. 向左转弯 C. 向右转弯 D. 直行和向左转弯 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，对各选项分析判断即可． 【详解】解：、是轴对称图形，故本选项符合题意；  、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；  、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；  、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，整式运算规则，完全平方公式，积的乘方法则逐一判断选项． 【详解】解：与不是同类项，不能合并，A错误； 无法化简为，B错误； ，C错误； ，D正确． 5. 关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】需分方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论，结合方程有实数根的条件求解，再合并结果得到的取值范围． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当，即时， ∵原方程化为，是一元一次方程，有实数根， ∴符合题意； ②当，即时，原方程是一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴根的判别式，， 解得：，且； 综上，的取值范围是． 6. 春夏秋冬又被称为“四季”，是地球围绕太阳运行所产生的结果．春天始于二十四节气中的“立春”，夏天始于“立夏”，秋天始于“立秋”，冬天始于“立冬”．小铭要将正面印有“春”“夏”“秋”“冬”四张图片中的两张送给好朋友小馨．小铭将它们背面朝上放在桌面上（背面完全相同），让小馨从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小馨抽到的两张图片恰好是印有“春”和“冬”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将春、夏、秋、冬的图片分别记为A、B、C、D．根据题意，列表如下： A B C D A B C D 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张图片恰好是“春”和“冬”的结果有2种， 故其概率为：． 7. 一位同学把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，利用三角形外角的性质可得，即可求得的度数． 【详解】解：根据题意可得， ， ． 8. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组． 根据甲和乙的陈述，甲得乙9只羊后，羊数是乙的2倍；乙得甲9只羊后，两人羊数相等．由此列出二元一次方程组． 【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊， 甲得乙9只羊后，甲有只，乙有只，且； 乙得甲9只羊后，乙有只，甲有只，且； ∴方程组为． 故选：B． 9. 若点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的符号判断函数图象所在象限，再结合各象限内随的变化规律比较大小即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴点，都在第二象限， ∴， ∵， ∴点在第四象限， ∴， 综上可得． 10. 如图，在等腰中，，，点在边上，且，过点作于点，则线段的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于点，求得，求得，再利用三角形面积公式可得，最后利用勾股定理求得即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 在等腰中，， ，， ， ， ， ， ， ， 根据勾股定理可得， ， ， ． 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，解题思路为先提取公因式，再利用完全平方公式完成二次分解． 【详解】解： 12. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐述了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，小孔的高度为，则实像的高度为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】由题意可得出，，再根据相似三角形的性质得出比例式求出的长即可． 【详解】解：，，， ， ，， ， ， ， ． 13. 某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每个季度煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米4元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米4.5元收费．设小丽家某季度用气量为立方米，应交煤气费为元．当时，与之间的表达式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】当时，总煤气费为不超过50立方米的费用与超过50立方米部分的费用之和，据此列式化简即可得到结果． 【详解】解：根据题意，当时，可得 ． 14. 如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 【答案】##45度 【解析】 【分析】将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至，可得，证明为等腰直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至， 则点的对应点为点，点的对应点为，， ， ，，， ，， 为等腰直角三角形， ． 15. 如图，等腰直角三角形中，，，顶点，在抛物线上，点在轴上．点，的坐标分别为，，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】作轴，轴，可以得到，从而得到，根据题意可得，，，求解即可． 【详解】解：作轴，轴，如图， 由题意可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点，的坐标分别为，， ∴，，，， ∴， 由题意可得，，， ∴， ∴，即， 解得． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解答下列各题 （1）计算：； （2）解方程组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 得， 解得， 把代入①，可得， 解得， 所以原方程的解为． 17. 在学习“统计与概率”知识后，某数学兴趣小组以“我最喜爱的书籍”为主题，对学生最喜爱书籍类型的情况进行了随机抽样调查（每位被调查者必须选择且只能选择最喜爱的一种书籍）问卷，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求本次调查学生的人数；并直接将条形统计图补充完整； （2）该校有2000名学生，请你估计最喜爱文学书籍的学生有多少名？ （3）若从2名最喜爱文学书籍和2名最喜爱艺术书籍的学生中随机抽取2人，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是最喜爱艺术书籍的概率． 【答案】（1）本次调查学生的人数为200人，图见解析 （2）估计最喜爱文学书籍的学生有800名 （3） 【解析】 【分析】（1）根据喜爱军事书籍的人数和比例即可得出总人数，然后确定喜爱文学书籍的人数，补全统计图即可； （2）根据题意利用总人数乘以相应比例即可； （3）利用列表法或树状图法求概率即可． 【小问1详解】 解：， ∴本次调查学生的人数为200人， ， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：最喜爱文学书籍的学生有：； 【小问3详解】 解：设两名最喜爱文学书籍的学生分别为A、B，2名最喜爱艺术书籍的学生分别为C、D， 列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能结果，其中满足条件的有2种， ∴． 18. 如图，已知直线交轴于点，交轴于点，交反比例函数于点，的平分线交反比例函数于点． （1）求直线的解析式； （2）连接，若平分，求反比例函数的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，确定，再由勾股定理得出，过点B作交于点E，利用角的等量代换及等角对等边得出，再由待定系数法求解即可； （2）过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为H、G，作交的延长线于点F，得出四边形是长方形，再由全等三角形的判定和性质得出，确定四边形是正方形，， 设，则，结合图形建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：， 当时，，当时，， ， ， 在中，， ， 过点B作交于点E， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 设：， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为H、G，作交的延长线于点F， 则， ∴四边形是长方形. ∵平分， ∴ ， ， 同理， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， ∵， ， ， 即， ∴点， ， ． 19. 某班数学学科爱好者组建“综合与实践”小组，在学习“解直角三角形”知识后，准备用所学知识解决生活中的实际问题作为一项课题活动，他们利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告． 活动课题 测量笔记本电脑显示屏展开时顶端边缘线到桌面的高度 活动目的 利用“解直角三角形”相关知识解决实际问题 活动工具 测角仪，刻度尺 测量示意图1 测量步骤及测量相关说明 （1）笔记本电脑水平放置在桌面上； （2）如图1，当显示屏的边缘线与底板边缘线所在水平线的夹角（）为时，感觉最舒适； （3）如图2，使用时为了散热，在底板下面垫入散热架（），点，，在同一直线上； （4）如图3，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线与水平线的夹角仍保持： 测量示意图2 测量示意图3 相关数据 ，散热架夹角， 请利用以上提供的信息，解决下列问题： （1）如图2，求的长； （2）如图3，求点到的距离．（结果保留一位小数） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质得出，结合图形即可求解； （2）过点O作,过点作交的延长线于点E,交于点D，即为点到的距离，然后结合图形解三角形即可． 【小问1详解】 解:∵, ， ∵, ∴, ∵, ∴； 【小问2详解】 如图，过点O作,过点作交的延长线于点E，交于点D，即为点到的距离， 由题意知，四边形是矩形， ∴, ∵， ∴， 在中， ， ， ∴ ． 20. 在篮球联赛中，辽宁男篮已经在赛场连续九胜，保持本赛季不败记录，这也激起了辽宁男篮球迷购买球队相关物品的热情．某网店直接从工厂购进辽宁队A、B两款公仔玩偶，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价进货价） 类别 价格 A款公仔玩偶 B款公仔玩偶 进货价（元/件） 44 55 销售价（元/件） 59 67 （1）网店用1430元购进A、B两款公仔玩偶共30件，求两款公仔玩偶分别购进多少件； （2）为了回报球迷，网店打算把B款公仔玩偶调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售12件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售6件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元？ 【答案】（1）购进A款公仔玩偶20件，购进B款公仔玩偶件． （2）将B款公仔玩偶销售价定为每件60元或64元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元． 【解析】 【分析】（1）设购进A款公仔玩偶x件，购进B款公仔玩偶件，根据等量关系：两款公仔玩偶共花费1430元，建立一元一次方程即可求解； （2）设将B款公仔玩偶销售价定为每件y元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元；由题意列出关于y的一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设购进A款公仔玩偶x件，购进B款公仔玩偶件， 由题意得：， 解得：， 则（件）； 答：购进A款公仔玩偶20件，购进B款公仔玩偶件． 【小问2详解】 解：设将B款公仔玩偶销售价定为每件y元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：将B款公仔玩偶销售价定为每件60元或64元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元． 21. 如图，四边形是的内接四边形，，过点作交延长线于点，连接，，． （1）判断与的关系，并说明理由； （2）求的长． 【答案】（1）与相切，见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点H，连接，根据全等三角形的判定得出，确定，根据圆内接四边形及等腰三角形的性质得出四边形是矩形，结合切线的判定即可证明； （2）连接，根据勾股定理得出，再由相似三角形的判定和性质得出，，即可求解． 【小问1详解】 解：与相切， 证明：如图，连接并延长交于点H，连接， ， ， ， ， ， ∵四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ∵是半径， ∴与相切； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴是直径. 在中，， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 22. 综合与实践 【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题： 如图1，点是等边三角形外一点，连接，，，且．求的度数； 小明通过挖掘已知条件，获得，，这样本题就具备了“一边等一角等”的图形特征，所以小明在上截取，构造出全等三角形，从而使问题得以解决． 【独立思考】 （1）请按照小明的思路完成解答，求出的度数； 【实践探究】 （2）王老师改变了条件，并提出新问题，请你借鉴小明的做题方法或者自己的不同的解答方法，完成下题解答． 如图2，已知等腰中，，，点在边上，过点作于点，若，求的值； 【问题解决】 （3）如图3，在（2）的条件下，将沿直线翻折得到，点的对应点为点，延长，相交于点，过点作交于点，交于点．若，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图在上截取，连接，利用相似三角形的判定和性质得出，，再由全等三角形的判定和性质得出，，结合图形得出是等边三角形，即可求解； （2）过点B作于点H，利用全等三角形的判定和性质得出，，再由相似三角形的判定和性质得出，，即可求解； （3）根据折叠的性质，得，利用相似三角形的判定和性质得出，，确定，设，，得出，确定，然后求面积即可． 【小问1详解】 解：如图在上截取，连接， ∵ ， ， 又∵是等边三角形， ∴ ， ， ∴ ，即. 又∵， ∴是等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点B作于点H， ∵ ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：∵， ， 根据折叠的性质，得， ∴ ， ， ， ， ， ∵， ， 设， ∴. ∵， ， ∴ ， ， ， ， ， ， ， ． 23. 给出如下定义：对于二次函数（其中、、为常数，且，），我们把一次函数叫作该二次函数的“关联函数”．例如：二次函数的“关联函数”为：． （1）二次函数，求该二次函数的“关联函数”的表达式； （2）如图1，设二次函数的图像交轴于点，交轴于点，它的“关联函数”的图像为，图像与相交于、两点（点在点的右侧）． ①求点的坐标； ②直线与，分别交于点，，连接交于点M，当时，若的值最大，求的值； ③若二次函数与它的“关联函数”组成新函数，当时，函数的最大值和最小值的差值不随的值变化而变化，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）根据题意即可直接得出结果； （2）①利用待定系数法确定，得出该二次函数的“关联函数”为，然后联立求解即可； ②过点A作轴交于点H，得出，设则，表示出和，利用相似三角形的判定和性质得出，，结合图形得出，利用二次函数的性质，即可求解； ③根据题意画出相应函数图象，然后结合二次函数的性质及图象得出函数w的最大值和最小值的差是4，为定值，结合图象求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数， ， 该二次函数的“关联函数”为． 【小问2详解】 解：①交x轴于点，交y轴于点， ， ， ， ∴该二次函数的“关联函数”为； 根据题意，令，整理得， 解得， ， ∵点在点的右侧， ∴； ②如图，过点A作轴交于点H， 当时，， ∴， ， 设，则， ， ， ， ， ， ∴当时，有最大值为； ③根据题意，由二次函数与它的“关联函数”组成的新函数w如图所示： ， ， ， ∴开口向下， ， ∴当时，取得最小值，最小值为0；当时，取得最大值，最大值为4， ∵当时，函数的最大值和最小值的差值不随的值变化而变化， ∴当的最大值为4时，符合题意， 则当时，即，解得， ， ， ， ∴当时，函数的最大值和最小值的差值不随的值变化而变化，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在南北向的马路上，把出发点记为0，向北与向南意义相反．若把向北走记作，那么向南走应记作（ ） A. B. C. D. 2. 下图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 每年12月2日是“全国交通安全日”，确定12月2日为交通安全日主要考虑数字“122”作为我国道路交通事故报警电话，方便群众记忆和宣传．下列指示标志图案中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. 直行 B. 向左转弯 C. 向右转弯 D. 直行和向左转弯 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 春夏秋冬又被称为“四季”，是地球围绕太阳运行所产生的结果．春天始于二十四节气中的“立春”，夏天始于“立夏”，秋天始于“立秋”，冬天始于“立冬”．小铭要将正面印有“春”“夏”“秋”“冬”四张图片中的两张送给好朋友小馨．小铭将它们背面朝上放在桌面上（背面完全相同），让小馨从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小馨抽到的两张图片恰好是印有“春”和“冬”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 一位同学把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 若点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等腰中，，，点在边上，且，过点作于点，则线段的长为（ ） A. B. 2 C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_______． 12. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐述了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，小孔的高度为，则实像的高度为_____． 13. 某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每个季度煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米4元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米4.5元收费．设小丽家某季度用气量为立方米，应交煤气费为元．当时，与之间的表达式为_____． 14. 如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 15. 如图，等腰直角三角形中，，，顶点，在抛物线上，点在轴上．点，的坐标分别为，，则的值为_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解答下列各题 （1）计算：； （2）解方程组： 17. 在学习“统计与概率”知识后，某数学兴趣小组以“我最喜爱的书籍”为主题，对学生最喜爱书籍类型的情况进行了随机抽样调查（每位被调查者必须选择且只能选择最喜爱的一种书籍）问卷，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求本次调查学生的人数；并直接将条形统计图补充完整； （2）该校有2000名学生，请你估计最喜爱文学书籍的学生有多少名？ （3）若从2名最喜爱文学书籍和2名最喜爱艺术书籍的学生中随机抽取2人，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是最喜爱艺术书籍的概率． 18. 如图，已知直线交轴于点，交轴于点，交反比例函数于点，的平分线交反比例函数于点． （1）求直线的解析式； （2）连接，若平分，求反比例函数的解析式． 19. 某班数学学科爱好者组建“综合与实践”小组，在学习“解直角三角形”知识后，准备用所学知识解决生活中的实际问题作为一项课题活动，他们利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告． 活动课题 测量笔记本电脑显示屏展开时顶端边缘线到桌面的高度 活动目的 利用“解直角三角形”相关知识解决实际问题 活动工具 测角仪，刻度尺 测量示意图1 测量步骤及测量相关说明 （1）笔记本电脑水平放置在桌面上； （2）如图1，当显示屏的边缘线与底板边缘线所在水平线的夹角（）为时，感觉最舒适； （3）如图2，使用时为了散热，在底板下面垫入散热架（），点，，在同一直线上； （4）如图3，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线与水平线的夹角仍保持： 测量示意图2 测量示意图3 相关数据 ，散热架夹角， 请利用以上提供的信息，解决下列问题： （1）如图2，求的长； （2）如图3，求点到的距离．（结果保留一位小数） 20. 在篮球联赛中，辽宁男篮已经在赛场连续九胜，保持本赛季不败记录，这也激起了辽宁男篮球迷购买球队相关物品的热情．某网店直接从工厂购进辽宁队A、B两款公仔玩偶，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价进货价） 类别 价格 A款公仔玩偶 B款公仔玩偶 进货价（元/件） 44 55 销售价（元/件） 59 67 （1）网店用1430元购进A、B两款公仔玩偶共30件，求两款公仔玩偶分别购进多少件； （2）为了回报球迷，网店打算把B款公仔玩偶调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售12件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售6件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元？ 21. 如图，四边形是的内接四边形，，过点作交延长线于点，连接，，． （1）判断与的关系，并说明理由； （2）求的长． 22. 综合与实践 【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题： 如图1，点是等边三角形外一点，连接，，，且．求的度数； 小明通过挖掘已知条件，获得，，这样本题就具备了“一边等一角等”的图形特征，所以小明在上截取，构造出全等三角形，从而使问题得以解决． 【独立思考】 （1）请按照小明的思路完成解答，求出的度数； 【实践探究】 （2）王老师改变了条件，并提出新问题，请你借鉴小明的做题方法或者自己的不同的解答方法，完成下题解答． 如图2，已知等腰中，，，点在边上，过点作于点，若，求的值； 【问题解决】 （3）如图3，在（2）的条件下，将沿直线翻折得到，点的对应点为点，延长，相交于点，过点作交于点，交于点．若，求的面积． 23. 给出如下定义：对于二次函数（其中、、为常数，且，），我们把一次函数叫作该二次函数的“关联函数”．例如：二次函数的“关联函数”为：． （1）二次函数，求该二次函数的“关联函数”的表达式； （2）如图1，设二次函数的图像交轴于点，交轴于点，它的“关联函数”的图像为，图像与相交于、两点（点在点的右侧）． ①求点的坐标； ②直线与，分别交于点，，连接交于点M，当时，若的值最大，求的值； ③若二次函数与它的“关联函数”组成新函数，当时，函数的最大值和最小值的差值不随的值变化而变化，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $