课题学习 数学好玩（易错培优讲练）易错点拨+6个高频考点讲练+真题拔尖训练 共38题-2025-2026学年北师大版数学四年级下册单元复习

该小学数学讲义通过思维导图与知识梳理系统构建“数学好玩”单元知识体系，涵盖图形的密铺、奥运中的数学、沏茶问题、烙饼问题等6个考点，以考向划分和易错点标注呈现知识脉络，突出密铺核心条件、优化策略等重难点内在联系。 讲义亮点在于“易错培优”分层设计，通过典例精讲（如正多边形密铺判断）、变式训练（如3张烙饼最优时间计算）及真题演练，培养数学思维（推理意识、运算能力）与模型意识。难度分层练满足不同学生需求，易错点拨助教师精准教学，提升学生自主复习效率。

2025-2026学年北师大版数学四年级下册重点难点培优讲练 课题学习 数学好玩『易错培优考点讲练』 【原卷版】 （导图+知识梳理+6个考点讲练+真题演练+难度分层练 共38题） 同学你好，该份讲义用于北师大版数学四年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选20题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 易错点拨 查漏补缺 2 考向一 图形的密铺 2 易错点一 混淆“正多边形”与“任意多边形” 2 易错点二 误判正五边形和圆形 2 易错点三 忽略密铺的核心条件 2 考向二 奥运中的数学 2 易错点一 跑步/游泳比赛的时间比较 2 易错点二 射击/跳水等分数比赛的计算 3 易错点三 观察物体位置的误判 3 考向三 沏茶问题 3 易错点一 忽视先后顺序 3 易错点二 总时间计算重复 3 易错点三 找不准“等待间隙” 3 考向四 烙饼问题 3 易错点一 死记公式忽略特例 3 易错点二 单数张饼的策略错误 3 易错点三 未保证“锅不空闲” 3 高频考点 易错讲练 4 高频易错考点一 几何图形判断-图形的密铺 4 高频易错考点二 几何图形的计算与推导-图形的密铺 4 高频易错考点三 实际应用-图形的密铺 5 高频易错考点四 奥运中的数学 5 高频易错考点五 沏茶问题 6 高频易错考点六 烙饼问题 6 易错真题 拔尖训练 7 考向一 图形的密铺 易错点一 混淆“正多边形”与“任意多边形” 这是最容易出错的地方。只有正三角形、正方形、正六边形这三种正多边形能单独密铺；但是，任意的三角形和任意的四边形（不管形状多不规则）都是可以单独密铺的。千万不要以为只有规则图形才能密铺。 易错点二 误判正五边形和圆形 正五边形的内角是108°，无法凑成360°（3个有空隙，4个会重叠）；圆没有角，拼接必然有空隙。这两个图形是典型的不能单独密铺的反例。 易错点三 忽略密铺的核心条件 判断一个图形能否密铺，核心在于看公共顶点处的几个角加起来是否恰好等于360°（周角）。做题时如果忽略了“不留空隙、不重叠”这个前提，很容易选错。 考向二 奥运中的数学 易错点一 跑步/游泳比赛的时间比较 在径赛或游泳比赛中，用时越短成绩越好。很多同学在做小数大小比较时，习惯性地认为数字越大越好，从而把最后一名当成了冠军。 易错点二 射击/跳水等分数比赛的计算 这类项目是分数（环数）越高成绩越好。在解决“落后多少分”、“反超多少分”这类问题时，容易搞混加减法关系，或者在计算多位小数的加减法时出现进位、退位的计算错误。 易错点三 观察物体位置的误判 题目常给出赛场（如跳水、射击）的俯视图，要求判断某张照片是从哪个位置拍的。易错点在于空间想象不到位，分不清选手的前面、后面以及左右侧面看到的画面区别。 考向三 沏茶问题 易错点一 忽视先后顺序 为了省时间盲目地将所有事情“同时进行”。例如，必须先“接水”才能“烧水”，必须先“烧好水”才能“沏茶”。违背了客观规律的流程安排是错误的。 易错点二 总时间计算重复 在计算最短总时间时，容易把同时做的事情的时间也加进去。记住：同时做的事情只算其中耗时最长的那一项，不要重复累加。 易错点三 找不准“等待间隙” 优化的核心是利用等待的时间做别的事（比如在“烧水”的8分钟里，可以同时“洗茶杯”和“找茶叶”）。易错点在于没能准确找出哪些步骤是可以并行的。 考向四 烙饼问题 易错点一 死记公式忽略特例 大家常背的公式是“烙饼最短时间 = 饼数 × 烙一面的时间”，但这个公式适用于饼数大于1的情况。如果题目问烙1张饼需要多久，必须按实际两面去烙（即 2 × 单面时间），直接套用公式就会出错。 易错点二 单数张饼的策略错误 当烙饼数量是单数（如3张、5张）时，最省时的方法是“先2张2张烙，最后剩3张用交替烙法”。很多同学会习惯性地一张张烙或者最后剩下1张单独烙，导致锅出现了空余，浪费了时间。 易错点三 未保证“锅不空闲” 烙饼问题的最优方案核心原则是让锅里每次都尽可能放满（通常是2张）。只要锅里出现了只能烙1张饼的情况（除了总数只有1张的特例），通常就不是最优方案。 高频易错考点一 几何图形判断-图形的密铺 【典例精讲】（2025四年级下·全国·专题练习）如果用一种正多边形进行密铺，那么下面不能进行密铺的正多边形是（    ）。 A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形 【变式训练1】（24-25四年级下·四川成都·期末）下列图形中，不能密铺的是（    ）。 A．三角形 B．四边形 C．正五边形 D．正六边形 【变式训练2】（23-24四年级下·吉林长春·期末）下面图形中，能单独密铺的有（    ）种。 A．1 B．2 C．3 D．4 高频易错考点二 几何图形的计算与推导-图形的密铺 【典例精讲】用边长相同的正三角形、正方形和正六边形组合起来能否进行密铺？如果能，请画出草图，并说明理由。 【变式训练1】笑笑同学设计了如下四种形状的地砖。 A． B． C． D． （1）能够进行密铺的地砖形状是（ ）。 （2）请你将密铺后的示意图画在右边方框里。 【变式训练2】（23-24四年级下·山西吕梁·期末）有下列五种正多边形的地砖，现要用同一种大小一样，形状相同的正多边形地砖铺设地面，在铺设时，地砖之间不留空隙、不重叠地铺设的地砖有（    ）。 ①正三角形  ②正方形  ③正五边形  ④正六边形  ⑤正八边形 A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 高频易错考点三 实际应用-图形的密铺 【典例精讲】（2024四年级下·辽宁·专题练习） 爸爸挑选瓷砖铺卫生间的地面。如果只选一种，要求既没有空隙也不重叠，那么不能选下面（    ）瓷砖。 A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 【变式训练1】品品家客厅的地板砖太旧了，妈妈准备换新的，现有、 、 、 四种地板砖可供选择，妈妈让品品挑一种形状的地板砖，你能帮品品挑一挑吗，有哪些不同的选法？ 【变式训练2】在一个工厂的废料堆里堆放着大量四边形木块，这些废木料的大小和形状是一样的，它们既不是正方形，也不是长方形。如果把它们做成比较规则的形状，必须锯掉一些边角，就要浪费很多木料，有人建议用这些木料来铺地板，你认为行吗？请说明理由。 高频易错考点四 奥运中的数学 【典例精讲】北京冬奥会单板滑雪男子大跳台决赛中，中国小将苏翊鸣以182.50分的成绩夺冠，比获得铜牌的加拿大选手马克斯—帕罗特高出12.25分，而马克斯—帕罗特比获得银牌的挪威选手蒙斯—勒伊斯韦兰仅差了1.5分。 （1）画示意图：请根据提供的数据，用线段表示出三位选手的成绩及他们成绩之间的关系。 （2）算一算：银牌选手蒙斯—勒伊斯韦兰的成绩是多少分？ 【变式训练1】在2022年冬奥会单板滑雪男子大跳台项目中，中国选手苏翊鸣最终得分182.50分，俄罗斯奥委会选手蒙斯·勒伊斯书兰最终得分171.75分，加拿大选手马克斯·帕罗特最终得分170.25分，冠军和季军的最终得分相差( )分。 【变式训练2】2008年奥运会男子单人3米跳板比赛中，何冲以领先第二名德斯帕蒂耶斯32.45分的优势进入最后一跳，秦凯则落后德斯帕蒂耶斯7.65分，排名第三，三名运动员最后一跳的得分如下： 何冲：100.70分   德斯帕蒂耶斯：96.90分   秦凯：98.00分 最后何冲领先德斯帕蒂耶斯( )分，秦凯落后德斯帕蒂耶斯( )分。 高频易错考点五 沏茶问题 【典例精讲】（24-25四年级下·陕西西安·期末）周末，妈妈准备做完家务后去超市购物，浇花5分，整理厨房15分，拖地10分，用洗衣机洗衣服25分，晾衣服5分。妈妈8时整开始做家务，最早( )从家里出发。 【变式训练1】（24-25四年级下·广东深圳·期末）母亲节当天，淘气帮助妈妈做家务，他擦地用了5分，收拾房间用了10分，用全自动洗衣机洗衣服用了20分，晾衣服用了5分，刷碗筷用了5分。至少需要( )分就可以做完全部家务。 【变式训练2】（2025四年级下·全国·专题练习）王阿姨每天起床后要做的事情如下：穿衣（3分），整理床铺（4分），洗脸梳头（7分），扫地（5分），煮粥（20分），烤面包（4分），吃早饭（10分），逐一完成这些事情需要53分。你认为最合理的安排需要多少分？ 高频易错考点六 烙饼问题 【典例精讲】（24-25四年级下·广东深圳·期末）煎一块牛排需要6分钟（正反面各3分钟），餐厅一块铁板最多可以同时煎两块牛排，如果要煎3块牛排，至少需要（    ）分钟。 A．9 B．12 C．15 D．18 【变式训练1】（24-25四年级下·甘肃定西·期末）面点师烤面包，第一面要烤2分钟，第二面要烤1分钟，烤一个面包需要3分钟，面包架一次只能放两片面包，烤3片面包至少需要( )分钟。 【变式训练2】（23-24四年级下·安徽阜阳·期末）妈妈用电饼铛烙饼，每次只能烙2张，两面都要烙，每面需要2分，烙5张饼。最短需要（    ）。 A．8分 B．10分 C．12分 D．20分 1．（24-25四年级下·广东湛江·期末）现在是8：20，小峻需要花时间做完下面的事情才能去踢足球；浇花3分，整理书柜5分，烧水15分，洗水果5分，他最早可以在（    ）出发去踢足球。 A．8：48 B．8：35 C．8：30 2．（24-25四年级下·广东深圳·期末）为了美化校园环境，学校要对教室的地面铺地砖，通过筛选得到下面四种图案，以下四种图案中可以密铺的是（    ）。 A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 3．（24-25四年级下·甘肃定西·期末）周末欢欢干家务，她洗碗10分钟、扫地8分钟、用洗衣机洗衣服25分钟、晾衣服5分钟，她干完这些事至少需要（    ）分钟。 A．25 B．30 C．48 4．（24-25四年级下·广东深圳·期末）下面说法中，正确的有（    ）个。 ①一个三角形不可能有两个钝角； ②长方形、正方形都是特殊的平行四边形； ③所有三角形都可以密铺； ④平底锅烙饼，两面都烙，每次最多烙2张饼，每面需3分钟，烙好3张饼最少用9分钟。 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25四年级下·广东清远·期末）平底锅一次只能烙2张饼，烙好一面要2分钟。妈妈烙好5张饼最少要（    ）分钟。 A．4 B．8 C．10 D．20 6．（23-24四年级下·吉林长春·期末）一个平底锅一次最多能煎2条鱼，两面都要煎，每面需要3分，要煎5条鱼，最少需要（    ）分能煎好。 A．20 B．18 C．15 D．12 7．（2025四年级下·全国·专题练习）有一种益智小游戏，玩一局需要6分，可以单人玩，也可以双人玩。小宇和爸爸、妈妈一起玩，每人玩两局，至少需要( )分。 8．（24-25四年级下·辽宁朝阳·期末）妙妙学会了包饺子，她打算和妈妈一起给家人做顿饺子，下图是做饺子的工序，她们做好这顿饺子至少需要( )分。 9．（24-25四年级下·广东梅州·期末）妈妈用平底锅烙6张饼，这口锅每次只能放4张饼，烙熟1张饼要用4分钟（正、反两面各用2分钟）。她最少需要( )分钟。 10．用一只平底锅烙饼，每次只能烙2张，两面都要烙，每面都需要3分钟，烙6张饼至少需要( )分钟，烙9张饼至少需要( )分钟。 11．（19-20四年级下·重庆潼南·期末）下图是由正六边形密铺而成的，黑色正六边形周围第一层有6个白色正六边形，第二层有( )个正六边形，第十二层有( )个正六边形。 12．（24-25四年级下·陕西咸阳·期末）早餐店的平底锅每次只能烙2个手抓饼，每个饼两面各需2分钟，烙5个手抓饼至少需要12分钟。( )（判断对错） 13．（24-25四年级下·河北邯郸·期末）仔细观察下图，它是由正三角形、正方形和正六边形密铺而成的。( )（判断对错） 14．（22-23四年级下·辽宁·单元测试）爸爸开车和妈妈一起从家外出办事，爸爸要去办公室取资料，妈妈要去商场购物，下面是他们的行走路线和所用时间，你知道他们怎样安排最合理吗？他们办完这些事回到家至少需要多少时间？    15．（22-23四年级下·辽宁·单元测试）下表是晴晴早晨起床所要做的事以及所需要的时间。 穿衣服 听广播 洗脸刷牙 吃早餐 3分 15分 5分 10分 晴晴从家出发上学时间是7时40分，她7时15分起床，怎么样安排这些事情的顺序，才能准时到校？ 16．新天地超市的某品牌洗衣液打折促销，买一瓶19元，买两瓶29元，王奶奶和邻居们凑了195元，最多可以买几瓶洗衣液？ 17．（2025四年级下·全国·专题练习）甲、乙、丙、丁四人过桥，分别需要1分、2分、5分、10分。因为天黑，必须借助手电筒过桥，可是他们只有一个手电筒，并且桥的载重能力有限，每次最多过两人。现在希望用最短的时间过桥，你来帮他们安排一下吧，最短时间是多少分呢？ 18．（2025四年级下·全国·专题练习）烤面包时，烤正面要2分，烤反面只要1分。乐乐用的烤面包箱一次只能放两片面包，她每天早上要吃三片面包，那么最少需要多少分？ 19．奥运会的一次女子跳水比赛中，中国、俄罗斯和美国各有一名选手进入决赛，俄罗斯选手以领先美国选手25的优势进入到最后一跳，中国选手则落后美国选手1.05分，排名第三。 下面是三名运动员最后一跳的得分： 俄罗斯 美  国 中  国 61.70分 87.10分 94.21分 （1）请问谁是冠军，谁是亚军，谁是季军？ （2）冠军比亚军领先多少分，季军比亚军少多少分？ （3）第一名和第三名相差多少分？ 20．甲、乙二人先后从一个包裹中轮流取糖果,甲先取1块,乙接着取2块,然后甲再取4块,乙接着取8块……如此继续,当包裹中的糖果少于应取的块数时,则取走包裹中所有的糖果,若甲共取了90块糖果,则最初包裹中有多少块糖果? 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版数学四年级下册重点难点培优讲练 课题学习 数学好玩『易错培优考点讲练』 【解析版】 （导图+知识梳理+6个考点讲练+真题演练+难度分层练 共38题） 同学你好，该份讲义用于北师大版数学四年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 易错知识梳理：强化巩固细节知识，给出常考易错点，解题技巧以及提分方法，助你正确理解运用知识点，查漏补缺； 2. 易错考点讲练：优选高频考察易错题，汇编整理，精选近两年各地名校易错题类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 易错真题拔尖练：结合本专题内容精选20题历年常考易错题目，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 易错点拨 查漏补缺 2 考向一 图形的密铺 2 易错点一 混淆“正多边形”与“任意多边形” 2 易错点二 误判正五边形和圆形 2 易错点三 忽略密铺的核心条件 2 考向二 奥运中的数学 2 易错点一 跑步/游泳比赛的时间比较 2 易错点二 射击/跳水等分数比赛的计算 3 易错点三 观察物体位置的误判 3 考向三 沏茶问题 3 易错点一 忽视先后顺序 3 易错点二 总时间计算重复 3 易错点三 找不准“等待间隙” 3 考向四 烙饼问题 3 易错点一 死记公式忽略特例 3 易错点二 单数张饼的策略错误 3 易错点三 未保证“锅不空闲” 3 高频考点 易错讲练 4 高频易错考点一 几何图形判断-图形的密铺 4 高频易错考点二 几何图形的计算与推导-图形的密铺 5 高频易错考点三 实际应用-图形的密铺 7 高频易错考点四 奥运中的数学 8 高频易错考点五 沏茶问题 10 高频易错考点六 烙饼问题 11 易错真题 拔尖训练 13 考向一 图形的密铺 易错点一 混淆“正多边形”与“任意多边形” 这是最容易出错的地方。只有正三角形、正方形、正六边形这三种正多边形能单独密铺；但是，任意的三角形和任意的四边形（不管形状多不规则）都是可以单独密铺的。千万不要以为只有规则图形才能密铺。 易错点二 误判正五边形和圆形 正五边形的内角是108°，无法凑成360°（3个有空隙，4个会重叠）；圆没有角，拼接必然有空隙。这两个图形是典型的不能单独密铺的反例。 易错点三 忽略密铺的核心条件 判断一个图形能否密铺，核心在于看公共顶点处的几个角加起来是否恰好等于360°（周角）。做题时如果忽略了“不留空隙、不重叠”这个前提，很容易选错。 考向二 奥运中的数学 易错点一 跑步/游泳比赛的时间比较 在径赛或游泳比赛中，用时越短成绩越好。很多同学在做小数大小比较时，习惯性地认为数字越大越好，从而把最后一名当成了冠军。 易错点二 射击/跳水等分数比赛的计算 这类项目是分数（环数）越高成绩越好。在解决“落后多少分”、“反超多少分”这类问题时，容易搞混加减法关系，或者在计算多位小数的加减法时出现进位、退位的计算错误。 易错点三 观察物体位置的误判 题目常给出赛场（如跳水、射击）的俯视图，要求判断某张照片是从哪个位置拍的。易错点在于空间想象不到位，分不清选手的前面、后面以及左右侧面看到的画面区别。 考向三 沏茶问题 易错点一 忽视先后顺序 为了省时间盲目地将所有事情“同时进行”。例如，必须先“接水”才能“烧水”，必须先“烧好水”才能“沏茶”。违背了客观规律的流程安排是错误的。 易错点二 总时间计算重复 在计算最短总时间时，容易把同时做的事情的时间也加进去。记住：同时做的事情只算其中耗时最长的那一项，不要重复累加。 易错点三 找不准“等待间隙” 优化的核心是利用等待的时间做别的事（比如在“烧水”的8分钟里，可以同时“洗茶杯”和“找茶叶”）。易错点在于没能准确找出哪些步骤是可以并行的。 考向四 烙饼问题 易错点一 死记公式忽略特例 大家常背的公式是“烙饼最短时间 = 饼数 × 烙一面的时间”，但这个公式适用于饼数大于1的情况。如果题目问烙1张饼需要多久，必须按实际两面去烙（即 2 × 单面时间），直接套用公式就会出错。 易错点二 单数张饼的策略错误 当烙饼数量是单数（如3张、5张）时，最省时的方法是“先2张2张烙，最后剩3张用交替烙法”。很多同学会习惯性地一张张烙或者最后剩下1张单独烙，导致锅出现了空余，浪费了时间。 易错点三 未保证“锅不空闲” 烙饼问题的最优方案核心原则是让锅里每次都尽可能放满（通常是2张）。只要锅里出现了只能烙1张饼的情况（除了总数只有1张的特例），通常就不是最优方案。 高频易错考点一 几何图形判断-图形的密铺 【典例精讲】（2025四年级下·全国·专题练习）如果用一种正多边形进行密铺，那么下面不能进行密铺的正多边形是（    ）。 A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形 【答案】D 【易错思路引导】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片。能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合，据此解答。 【规范解答】A.正三角形的内角和是180°，每个内角：，能被360°整除，可以单独密铺； B.正方形的内角和是360°，每个内角：，能被360°整除，可以单独密铺； C.正六边形的内角和是720°，每个内角：，能被360°整除，可以单独密铺； D.正八边形的内角和是1080°，每个内角：，不能被360°整除，不能单独密铺。 故答案为：D 【变式训练1】（24-25四年级下·四川成都·期末）下列图形中，不能密铺的是（    ）。 A．三角形 B．四边形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】C 【易错思路引导】根据题意，多边形的内角和公式为：（n－2）×180°，其中n为边数；几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。因此，一个多边形的内角之和能整除360°或能被360°整除，这样的多边形能密铺。分别计算出选项中多边形的内角和，再除以360°（或者360°除以内角和），看是否有余数，即可判断。据此解答。 【规范解答】根据分析可知： A．三角形的内角和是180°，360°÷180°＝2，所以三角形能密铺。 B．四边形的内角和是360°，四边形能密铺。 C．正五边形的内角和是（5－2）×180°＝3×180°＝540°，540°÷360°＝1……180°，五边形不能密铺。 D．正六边形的内角和是（6－2）×180°＝4×180°＝720°，720°÷360°＝2，六边形能密铺。 故答案为：C 【变式训练2】（23-24四年级下·吉林长春·期末）下面图形中，能单独密铺的有（    ）种。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【易错思路引导】图形密铺后是没有空隙的，即密铺最中间角的和必须是360°，所以只需判断这个图形的内角和是不是360°的整倍数，或者360°是这个图形内角和的整倍数，都是可以单独密铺的。 三角形的内角和是180°，360°÷180°＝2，所以三角形可以单独密铺。 平行四边形内角和是360°，360°÷360°＝1，所以平行四边形可以单独密铺。 正方形内角和是360°，360°÷360°＝1，所以正方形可以单独密铺。 五边形的内角和是540°，540°÷360°＝1……180°，所以五边形不能单独密铺。 【规范解答】其中三角形、平行四边形、正方形都能单独密铺。 故答案为：C 高频易错考点二 几何图形的计算与推导-图形的密铺 【典例精讲】用边长相同的正三角形、正方形和正六边形组合起来能否进行密铺？如果能，请画出草图，并说明理由。 【答案】能，画图及理由见详解 【易错思路引导】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片。一个正三角形的内角是60°，两个正方形拼接在一起，对应的两个内角和是180°，一个正六边形的内角是120°，加起来正好是360°，据此可知，正三角形、正方形、正六边形可以组合起来进行密铺。 【规范解答】能进行密铺，一个正六边形的六条边分别与正方形的一条边拼接在一起，正三角形放到缺口处，如下图： 【考点剖析】判断图形能否密铺的关键是看这个图形的内角和能否整除360°或被360°整除。 【变式训练1】笑笑同学设计了如下四种形状的地砖。 A． B． C． D． （1）能够进行密铺的地砖形状是（ ）。 （2）请你将密铺后的示意图画在右边方框里。 【答案】（1）A、C、D； （2）见详解 【易错思路引导】（1）用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法在数学上叫图形的密铺，也叫图形的镶嵌。任何弧线图形不能密铺；除正三角形、正四边形和正六边形外，其他正多边形都不可以密铺平面；所有任意三角形与任意四边形都可以密铺。 （2）观察地砖的形状，先铺一铺，看平铺时砖块之间是否有空隙或砖块是否重叠，把密铺后的图形画在方框里即可。 【规范解答】（1）能够进行密铺的地砖形状是（A、C、D）。 （2）如图： 【考点剖析】本题考查平面图形的密铺。根据密铺的意义，掌握常见的密铺图形和不能密铺的图形种类是解题的关键。 【变式训练2】（23-24四年级下·山西吕梁·期末）有下列五种正多边形的地砖，现要用同一种大小一样，形状相同的正多边形地砖铺设地面，在铺设时，地砖之间不留空隙、不重叠地铺设的地砖有（    ）。 ①正三角形  ②正方形  ③正五边形  ④正六边形  ⑤正八边形 A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】B 【易错思路引导】用同一种大小一样，形状相同的正多边形地砖铺设地面，在铺设时，地砖之间不留空隙、不重叠地铺设，这就是平面图形的密铺。能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合，据此选择即可。 【规范解答】①正三角形的每个内角是60°，能整除360°，正三角形可以密铺。 ②正方形的内角和是360°，360°能整除360°，正方形可以密铺； ③正五边形的内角和是540°，540°不能整除360°，正五边形不可以密铺； ④正六边形的内角和是720°，720°能整除360°，正六边形可以密铺； ⑤正八边形每个内角是135°，不能整除360°，正八边形不可以密铺。 在铺设时，地砖之间不留空隙、不重叠地铺设的地砖有①②④，共3种。 故答案为：B 高频易错考点三 实际应用-图形的密铺 【典例精讲】（2024四年级下·辽宁·专题练习） 爸爸挑选瓷砖铺卫生间的地面。如果只选一种，要求既没有空隙也不重叠，那么不能选下面（    ）瓷砖。 A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 【答案】B 【易错思路引导】用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺。能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合，据此选择即可。 【规范解答】A．正方形的内角和是360°，360°能整除360°，正方形可以密铺； B．正五边形的内角和是540°，540°不能整除360°，正五边形不可以密铺； C．正六边形的内角和是720°，720°能整除360°，正六边形可以密铺。 不能选正五边形的瓷砖。 故答案为：B 【变式训练1】品品家客厅的地板砖太旧了，妈妈准备换新的，现有、 、 、 四种地板砖可供选择，妈妈让品品挑一种形状的地板砖，你能帮品品挑一挑吗，有哪些不同的选法？ 【答案】可以挑三角形、正方形或六边形地板砖，一共有3种选法。 【易错思路引导】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。因此，一个多边形的内角之和能被360°整除，这样的多边形能密铺；找出可以密铺的地板砖即可解答。 【规范解答】三角形的内角和是180°，360°÷180°＝2，三角形能密铺； 四边形的内角和是360°，360°÷360°＝1，正方形、长方形能密铺； 正六边形的每个内角是120°，能整除360°，可以单独进行密铺； 正五边形的每个内角都是108°，不管几个角拼在一起都不能正好等于360°，在每个拼接点处的内角不能保证没空隙或重叠现象，不能密铺； 答：可以挑三角形、正方形或六边形地板砖，一共有3种选法。 【考点剖析】密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。判断图形能否密铺的关键是看这个图形的内角和能被360°整除。 【变式训练2】在一个工厂的废料堆里堆放着大量四边形木块，这些废木料的大小和形状是一样的，它们既不是正方形，也不是长方形。如果把它们做成比较规则的形状，必须锯掉一些边角，就要浪费很多木料，有人建议用这些木料来铺地板，你认为行吗？请说明理由。 【答案】行，理由见详解 【易错思路引导】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片。能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合。四边形的内角和是360°，放在同一顶点处4个即能密铺。据此解答。 【规范解答】 用这些木料来铺地板可行，因为四边形的内角和是360°，按如图所示的拼法拼，就能填满整个平面，而且毫无缝隙。因此，凡是有同样大小、同样形状的任意四边形木料，都可用来铺地板。 【考点剖析】本题考查了密铺的知识点，要明确能密铺的图形在一个拼接点处的特点。 高频易错考点四 奥运中的数学 【典例精讲】北京冬奥会单板滑雪男子大跳台决赛中，中国小将苏翊鸣以182.50分的成绩夺冠，比获得铜牌的加拿大选手马克斯—帕罗特高出12.25分，而马克斯—帕罗特比获得银牌的挪威选手蒙斯—勒伊斯韦兰仅差了1.5分。 （1）画示意图：请根据提供的数据，用线段表示出三位选手的成绩及他们成绩之间的关系。 （2）算一算：银牌选手蒙斯—勒伊斯韦兰的成绩是多少分？ 【答案】（1）见详解 （2）171.75分 【规范解答】（1）先画一条线段表示中国选手的成绩182.50分，在下方画一条比中国选手成绩的线段短一些的线段表示获得铜牌的加拿大选手的成绩，然后在这两条线段的中间再画一条比加拿大选手的成绩的线段长一点的线段表示获得银牌的挪威选手的成绩，据此画出示意图，并标上数据。 （2）中国选手以182.50分夺冠，比获得铜牌的加拿大选手高出12.25分，用182.50分减去12.25分，即是获得铜牌的加拿大选手的成绩；他又比获得银牌的挪威选手少1.5分，再用加拿大选手的成绩加上1.5分，即是获得银牌的挪威选手的成绩。 【易错思路引导】（1）如图： （2）182.5－12.25＋1.5 ＝170.25＋1.5 ＝171.75（分） 答：银牌选手蒙斯·勒伊斯韦兰的成绩是171.75分。 【考点剖析】本题考查小数加减法的混合运算和实际应用，用线段图找出数量之间的关系更直观。 【变式训练1】在2022年冬奥会单板滑雪男子大跳台项目中，中国选手苏翊鸣最终得分182.50分，俄罗斯奥委会选手蒙斯·勒伊斯书兰最终得分171.75分，加拿大选手马克斯·帕罗特最终得分170.25分，冠军和季军的最终得分相差( )分。 【答案】12.25 【易错思路引导】先将这三名选手的得分比较大小，再用最高得分减去最低得分解答。 【规范解答】182.50＞171.75＞170.25 182.50－170.25＝12.25（分） 则冠军和季军的最终得分相差12.25分。 【考点剖析】本题考查小数比较大小的方法以及小数减法的计算，关键是找出冠军和季军的得分。 【变式训练2】2008年奥运会男子单人3米跳板比赛中，何冲以领先第二名德斯帕蒂耶斯32.45分的优势进入最后一跳，秦凯则落后德斯帕蒂耶斯7.65分，排名第三，三名运动员最后一跳的得分如下： 何冲：100.70分   德斯帕蒂耶斯：96.90分   秦凯：98.00分 最后何冲领先德斯帕蒂耶斯( )分，秦凯落后德斯帕蒂耶斯( )分。 【答案】 36.25 6.55 【易错思路引导】最后一跳何冲的得分减德斯帕蒂耶斯的得分，加上何冲领先德斯帕蒂耶斯的分数等于最后何冲领先德斯帕蒂耶斯的分数；秦凯落后德斯帕蒂耶斯的分数减最后一跳秦凯比德斯帕蒂耶斯多的分数，等于最后秦凯落后德斯帕蒂耶斯的分数。 【规范解答】100.70－96.90＋32.45 ＝3.80＋32.45 ＝36.25（分） 7.65－（98.00－96.90） ＝7.65－1.10 ＝6.55（分） 最后何冲领先德斯帕蒂耶斯36.25分，秦凯落后德斯帕蒂耶斯6.55分。 【考点剖析】熟练掌握小数加减法的计算方法是解答本题的关键。 高频易错考点五 沏茶问题 【典例精讲】（24-25四年级下·陕西西安·期末）周末，妈妈准备做完家务后去超市购物，浇花5分，整理厨房15分，拖地10分，用洗衣机洗衣服25分，晾衣服5分。妈妈8时整开始做家务，最早( )从家里出发。 【答案】8：35 【易错思路引导】根据题意，因为15＋10＝25（分钟），妈妈先用洗衣机洗衣服，在洗衣机洗衣服的同时，拖地、整理厨房，然后再浇花、晾衣服；最少用（25＋5＋5）分钟。又已知8时整开始做家务，则用开始整理家务的时刻加上整理家务最少用时，即可求出最早从家里出发的时刻。依此解答。 【规范解答】由分析可得： 25＋5＋5＝35（分钟） 8：00＋35分钟＝8：35 即周末，妈妈准备做完家务后去超市购物，浇花5分，整理厨房15分，拖地10分，用洗衣机洗衣服25分，晾衣服5分。妈妈8时整开始做家务，最早8：35从家里出发。 【变式训练1】（24-25四年级下·广东深圳·期末）母亲节当天，淘气帮助妈妈做家务，他擦地用了5分，收拾房间用了10分，用全自动洗衣机洗衣服用了20分，晾衣服用了5分，刷碗筷用了5分。至少需要( )分就可以做完全部家务。 【答案】25 【易错思路引导】由题意得，要想做完全部家务用时最短，淘气需要合理安排做家务的顺序。他可以先用全自动洗衣机洗衣服，然后在洗衣机洗衣服的同时去擦地、收拾房间和刷碗筷。最后再晾衣服。据此解答。 【规范解答】5＋10＋5 ＝15＋5 ＝20（分） 20＝20 20＋5＝25（分） 故淘气至少需要25分就可以做完全部家务。 【变式训练2】（2025四年级下·全国·专题练习）王阿姨每天起床后要做的事情如下：穿衣（3分），整理床铺（4分），洗脸梳头（7分），扫地（5分），煮粥（20分），烤面包（4分），吃早饭（10分），逐一完成这些事情需要53分。你认为最合理的安排需要多少分？ 【答案】33分。 【易错思路引导】合理的安排好时间，要看哪些事情可以同时进行。此题中：煮粥的这段时间内，可以安排整理床铺、洗脸梳头、扫地、烤面包这些事，且不需要单独安排时间。据此解答。 【规范解答】煮粥的这段时间内，同时做整理床铺、洗脸梳头、扫地、烤面包这些事。 整理床铺、洗脸梳头、扫地、烤面包共需要：（分）和煮粥同步进行。 （分） 答：王阿姨先穿衣，然后开始煮粥，煮粥的同时整理床铺、洗脸梳头、扫地、烤面包，煮粥完成后开始吃早饭，需要33分钟。 【考点剖析】合理的安排好时间，要看哪些事情可以同时进行且不需重复计算时间。 高频易错考点六 烙饼问题 【典例精讲】（24-25四年级下·广东深圳·期末）煎一块牛排需要6分钟（正反面各3分钟），餐厅一块铁板最多可以同时煎两块牛排，如果要煎3块牛排，至少需要（    ）分钟。 A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】A 【易错思路引导】要使所用的时间最少，就要交替煎牛排。先给牛排编号，1号、2号、3号。 3分钟：1号正面，2号正面。 3分钟：1号反面，3号正面。 3分钟：2号反面，3号反面。 即需要3个3分钟，3乘3即可求出需要的时间。 【规范解答】3×3＝9（分钟） 至少需要9分钟。 故答案为：A 【变式训练1】（24-25四年级下·甘肃定西·期末）面点师烤面包，第一面要烤2分钟，第二面要烤1分钟，烤一个面包需要3分钟，面包架一次只能放两片面包，烤3片面包至少需要( )分钟。 【答案】5 【易错思路引导】A、B、C三个面包。首先（A＋B）2分钟，然后（A翻面＋C）1分钟，此时A完成。再（B翻面＋C）1分钟，此时B完成。再C（翻面）1分钟，由此可知答案。 【规范解答】2＋1＋1＋1 ＝3＋1＋1 ＝4＋1 ＝5（分钟） 所以，烤3片面包至少需要5分钟。 【变式训练2】（23-24四年级下·安徽阜阳·期末）妈妈用电饼铛烙饼，每次只能烙2张，两面都要烙，每面需要2分，烙5张饼。最短需要（    ）。 A．8分 B．10分 C．12分 D．20分 【答案】B 【易错思路引导】烙饼问题公式：总时间＝饼数×2÷每锅可烙的数量×烙每面的时间，代入数据计算即可。 【规范解答】5×2÷2×2 ＝2÷2×5×2 ＝1×5×2 ＝5×2 ＝10（分钟） 答：最短需要10分。 故答案为：B 【考点剖析】此题考查了烙饼问题的应用，需熟记公式。 1．（24-25四年级下·广东湛江·期末）现在是8：20，小峻需要花时间做完下面的事情才能去踢足球；浇花3分，整理书柜5分，烧水15分，洗水果5分，他最早可以在（    ）出发去踢足球。 A．8：48 B．8：35 C．8：30 【答案】B 【易错思路引导】由题意得，要想做家务所用时间最短，小峻需要合理安排做家务的顺序。他可以先烧水，然后在烧水的同时去浇花、整理书柜和洗水果，据此算出小峻做完这些家务所需的时间。然后再用8：20加上前面的得数即可算出小峻最早可以在什么时刻出发去踢足球。 【规范解答】3＋5＋5＝8＋5＝13（分钟） 13＜15，即小峻做完这些家务一共需要15分钟。 8：20＋15分钟＝8：35，即小峻最早可以在8：35出发去踢足球。 故答案为：B 2．（24-25四年级下·广东深圳·期末）为了美化校园环境，学校要对教室的地面铺地砖，通过筛选得到下面四种图案，以下四种图案中可以密铺的是（    ）。 A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【易错思路引导】多边形的内角和是（边数－2）×180°，算出内角和。再根据正多边形的每个内角都相等，算出每个内角的度数。－种正多边形能密铺，关键在于每个顶点的角度之和必须是360°。据此选择。 【规范解答】正三角形的内角和是180°，所以它的每个内角是60°。6个这样的角可以拼成360°。可以密铺。 正方形的内角和是360°，所以它的每个内角是90°。4个这样的角可以拼成360°。可以密铺。 5－2＝3，3×180＝540°，正五边形的内角和是540°。540÷5＝108°，它的每个内角是108°，几个108°的角不能拼成360°，不可以密铺。 6－2＝4，4×180＝720°，正六边形的内角和是720°。720÷6＝120°，它的每个内角是120°，3个这样的角可以拼成360°。可以密铺。 则可以密铺的是①②④。 故答案为：C 3．（24-25四年级下·甘肃定西·期末）周末欢欢干家务，她洗碗10分钟、扫地8分钟、用洗衣机洗衣服25分钟、晾衣服5分钟，她干完这些事至少需要（    ）分钟。 A．25 B．30 C．48 【答案】B 【易错思路引导】本题属于合理安排时间问题，需考虑哪些任务可以同时进行。洗衣机洗衣服25分钟和晾衣服5分钟必须按顺序进行，而洗碗10分钟和扫地8分钟可在洗衣机运行期间完成。 【规范解答】25＋5＝30（分钟） 所以她干完这些事至少需要30分钟。 故答案为：B 4．（24-25四年级下·广东深圳·期末）下面说法中，正确的有（    ）个。 ①一个三角形不可能有两个钝角； ②长方形、正方形都是特殊的平行四边形； ③所有三角形都可以密铺； ④平底锅烙饼，两面都烙，每次最多烙2张饼，每面需3分钟，烙好3张饼最少用9分钟。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【易错思路引导】①三角形的内角和为180°。大于90°小于180°的角叫作钝角。一个三角形中，如果有两个钝角，90°×2＝180°，那么三角形的内角和大于180°，这与三角形的特点相矛盾，所以三角形不可能有两个钝角。 ②两组对边分别平行的四边形是平行四边形。而长方形不仅两组对边分别平行，而且四个角都是直角。所以长方形是特殊的平行四边形。而正方形不仅两组对边分别平行，四个角都是直角，而且四条边都相等。所以正方形是特殊的长方形，也是特殊的平行四边形。 ③用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法在数学上叫图形的密铺，也叫图形的镶嵌。能密铺的图形的内角和需要是360°的倍数或者能整除360°。三角形的内角和为180°，180°×2＝360°，所以所有三角形都可以密铺。 ④由题意得，先烙两张饼，先烙熟一面，用3分钟。然后拿出其中的一张饼，再放上第三张饼，再烙3分钟，接着把两面都烙好的一张饼拿出来，再烙剩下两张饼的另一面即可，即一共需要3个3分钟。3×3＝9（分钟），即一共需要9分钟。 【规范解答】①一个三角形不可能有两个钝角。原题说法正确。 ②长方形、正方形都是特殊的平行四边形。原题说法正确。 ③所有三角形都可以密铺。原题说法正确。 ④平底锅烙饼，两面都烙，每次最多烙2张饼，每面需3分钟，烙好3张饼最少用9分钟。原题说法正确。 综上所述，正确的说法有4个。 故答案为：D 5．（24-25四年级下·广东清远·期末）平底锅一次只能烙2张饼，烙好一面要2分钟。妈妈烙好5张饼最少要（    ）分钟。 A．4 B．8 C．10 D．20 【答案】C 【易错思路引导】烙5个饼：先同时烙两个，正反面共需2×2＝4分钟；再烙后三个，先烙第一个与第二个的正面需2分钟，然后烙第一个的反面与第三个的正面需要2分钟，最后烙第二个的反面与第三个的反面需2分钟，烙完3个共需2×3＝6分钟，5个共需4＋6＝10分钟。 【规范解答】2×2＋2×3 ＝4＋6 ＝10（分钟） 平底锅一次只能烙2张饼，烙好一面要2分钟。妈妈烙好5张饼最少要10分钟。 故答案为：C 6．（23-24四年级下·吉林长春·期末）一个平底锅一次最多能煎2条鱼，两面都要煎，每面需要3分，要煎5条鱼，最少需要（    ）分能煎好。 A．20 B．18 C．15 D．12 【答案】C 【易错思路引导】要煎好5条鱼，需考虑平底锅一次最多煎2条鱼的限制，合理安排煎鱼顺序，让平底锅尽量不空闲，从而找出最短用时。 【规范解答】先煎前2条鱼：同时煎2条鱼的正面，用时3分钟，再同时煎反面，用时3分钟，共用时3×2＝6（分钟）。 再煎后3条鱼：第1步：煎第3条鱼和第4条鱼的正面，用时3分钟；第2步：煎第3条鱼反面和第5条鱼正面，用时3分钟，此时第3条鱼煎好；第3步：煎第4条鱼和第5条鱼反面，用时3分钟，此时第4条鱼和第5条鱼煎好；共3×3＝9（分钟）。 总共用时：6＋9＝15（分钟） 所以一个平底锅一次最多能煎2条鱼，两面都要煎，每面需要3分，要煎5条鱼，最少需要15分能煎好。 故答案为：C 【考点剖析】关键在于对前2条鱼和后3条鱼分别规划煎制流程使用时最短，再计算各部分时间求和。 7．（2025四年级下·全国·专题练习）有一种益智小游戏，玩一局需要6分，可以单人玩，也可以双人玩。小宇和爸爸、妈妈一起玩，每人玩两局，至少需要( )分。 【答案】18 【易错思路引导】每人玩两局，可以单独玩，可以双人玩，当单独玩的时候，局数是：局，当双人玩的时候局数是：局，局数在到局之间， 要时间最少，则玩局，需要时间是：分。 【规范解答】单独玩，每人玩两局，一共玩（局） 双人玩，每人两局：小宇与爸爸、小宇与妈妈、爸爸与妈妈，一共是3局。 一局需要6分钟，需要最少时间，用最少局数乘每局时间，即（分）。 有一种益智小游戏，玩一局需要6分，可以单人玩，也可以双人玩。小宇和爸爸、妈妈一起玩，每人玩两局，至少需要18分。 8．（24-25四年级下·辽宁朝阳·期末）妙妙学会了包饺子，她打算和妈妈一起给家人做顿饺子，下图是做饺子的工序，她们做好这顿饺子至少需要( )分。 【答案】44 【易错思路引导】由题意得，妙妙和妈妈要想做好这顿饺子花费时间最少，她们需要合理安排做这些事情的顺序。她们可以先择菜、拌馅，然后再包饺子。在包饺子的最后6分钟时，去烧水。6分钟后，饺子包完了，水也烧开了。最后再煮饺子即可。 【规范解答】16＋20＋8＝44（分钟） 故妙妙和妈妈做好这顿饺子至少需要44分。 9．（24-25四年级下·广东梅州·期末）妈妈用平底锅烙6张饼，这口锅每次只能放4张饼，烙熟1张饼要用4分钟（正、反两面各用2分钟）。她最少需要( )分钟。 【答案】6 【易错思路引导】根据题意可知：烙6张饼，每张饼两面，共烙6×2＝12面，这口锅每次只能放4张饼，也就是每次只能烙4个面，一共需要烙12÷4＝3次，烙一面每次用2分钟，3次就是用时3个2分钟即可解答。 【规范解答】6×2÷4×2 ＝12÷4×2 ＝3×2 ＝6（分钟） 所以她最少需要6分钟。 10．用一只平底锅烙饼，每次只能烙2张，两面都要烙，每面都需要3分钟，烙6张饼至少需要( )分钟，烙9张饼至少需要( )分钟。 【答案】 18 27 【易错思路引导】（1）烙6张饼时，每2张饼为一组，分6÷2＝3组，每组需要2×3＝6分钟，则烙6张饼需要6×3＝18分钟。 （2）烙9张饼时，先烙前6张饼，这6张饼的烙法同（1），用时为18分；剩下的三张饼分别为a、b、c；第一次烙a、b的正面；第二次烙a的反面和c的正面；第三次烙b、c的反面。 所以烙剩下的三张饼需要3×3＝9分钟。这样烙9张饼至少需要18＋9＝27分钟。 【规范解答】根据分析可知：用一只平底锅烙饼，每次只能烙2张，两面都要烙，每面都需要3分钟，烙6张饼至少需要（18）分钟，烙9张饼至少需要（27）分钟。 【考点剖析】在烙饼优化问题中，要统筹安排烙饼的顺序，使锅里始终没有空位，这样才能保证需要的时间最短。 11．（19-20四年级下·重庆潼南·期末）下图是由正六边形密铺而成的，黑色正六边形周围第一层有6个白色正六边形，第二层有( )个正六边形，第十二层有( )个正六边形。 【答案】 12 72 【易错思路引导】通过观察可知，黑色正六边形周围第一层有6×1＝6个白色正六边形，第二层有6×2＝12个白色正六边形，第三层有6×3＝18个白色正六边形，……，第n层有6×n＝6n个白色正六边形。 【规范解答】6×2＝12（个） 6×12＝72（个） 【考点剖析】本题主要考查学生的观察和分析能力，找出白色正六边形个数与层数的关系是解答本题的关键。 12．（24-25四年级下·陕西咸阳·期末）早餐店的平底锅每次只能烙2个手抓饼，每个饼两面各需2分钟，烙5个手抓饼至少需要12分钟。( )（判断对错） 【答案】× 【易错思路引导】将5个饼分为3个饼和2个饼两组，分别处理；第一次烙两个饼的正面，2分钟；第二次拿出一张饼，烙第三张饼的正面，和第二张饼的反面，2分钟（此时第二张饼已经全部烙好）；第三次烙第一张饼的反面和第三张饼的反面，2分钟。（此时三张饼全部烙完。）接下来烙剩下的两张饼，每个饼两面各需2分钟，故需要4分钟。 【规范解答】2＋2＋2＋2＋2＝10（分钟） 早餐店的平底锅每次只能烙2个手抓饼，每个饼两面各需2分钟，烙5个手抓饼至少需要10分钟；原题干说法错误。 故答案为：× 13．（24-25四年级下·河北邯郸·期末）仔细观察下图，它是由正三角形、正方形和正六边形密铺而成的。( )（判断对错） 【答案】√ 【易错思路引导】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，周角是360°。据此判断即可。 【规范解答】正六边形的内角和＝（6－2）×180°＝4×180°＝720°。正六边形的一个角＝720°÷6＝120°。正方形的每一个角都是90°，正三角形的每一个角都是60°。 围绕一个点拼在一起的多边形内角是正方形的两个直角，正三角形的一个角和正六边形的一个角。 即90°＋90°＋120°＋60° ＝180°＋120°＋60° ＝300°＋60° ＝360° 是一个周角。所以这个图案是由正三角形，正方形和正六边形密铺而成的。表述正确。 故答案为：√ 14．（22-23四年级下·辽宁·单元测试）爸爸开车和妈妈一起从家外出办事，爸爸要去办公室取资料，妈妈要去商场购物，下面是他们的行走路线和所用时间，你知道他们怎样安排最合理吗？他们办完这些事回到家至少需要多少时间？    【答案】方案见详解；64分钟 【易错思路引导】爸爸可以先开车带着妈妈到街心花园，然后爸爸开车去取资料，这时候妈妈步行去商场购物，然后爸爸取完资料，再去商场接妈妈一块儿回家，据此解答。 【规范解答】爸爸取资料后再去商场需要的时间是： 15×2＋10＋2 ＝30＋10＋2 ＝42（分钟） 妈妈步行去购物需要的时间是12＋30＝42（分钟） 时间相等，所以一共用：12＋30＋10×2＋2 ＝12＋30＋20＋2 ＝42＋22 ＝64（分钟） 答：爸爸可以先开车带着妈妈到街心花园，然后爸爸开车去取资料，这时候妈妈步行去商场购物，然后爸爸取完资料，取完资料去商场接妈妈，一块回家；他们办完这些事回到家至少需要64分钟。 【考点剖析】解答此题的关键是他们所用的时间不能重复相加。 15．（22-23四年级下·辽宁·单元测试）下表是晴晴早晨起床所要做的事以及所需要的时间。 穿衣服 听广播 洗脸刷牙 吃早餐 3分 15分 5分 10分 晴晴从家出发上学时间是7时40分，她7时15分起床，怎么样安排这些事情的顺序，才能准时到校？ 【答案】见详解 【易错思路引导】晴晴可以先穿衣服（3分钟），再洗脸刷牙（5分钟），最后吃早餐（10分钟），做这些事情的同时听广播。 3＋5＋10＝18（分钟） 7时15分＋18分钟＝7时33分 7时33分比7时40分早，所以不耽误上学。可以准时到校。 【规范解答】答：可以先穿衣服（3分钟），再洗脸刷牙（5分钟），最后吃早餐（10分钟），做这些事情的同时听广播。 【考点剖析】本题考查优化问题，要想时间最短，应合理安排各项任务之间的顺序，注意同时进行的两项任务应互不干扰。 16．新天地超市的某品牌洗衣液打折促销，买一瓶19元，买两瓶29元，王奶奶和邻居们凑了195元，最多可以买几瓶洗衣液？ 【答案】13瓶 【易错思路引导】把2瓶洗衣液看作一组，王奶奶和邻居们凑钱总数除以买两瓶的钱数，商是可以买的组数，余数是剩下的钱数，看剩下的钱数够不够买1瓶洗衣液，然后用买的组数×2再加上剩下的钱可以买的瓶数即可。 【规范解答】195÷29＝6（组）……21（元） 6×2＋1 ＝12＋1 ＝13（瓶） 答：最多可以买13瓶洗衣液。 【考点剖析】本题主要考查最优化问题，解题关键是把2瓶看作1组，算出可以买多少组，再看余数。 17．（2025四年级下·全国·专题练习）甲、乙、丙、丁四人过桥，分别需要1分、2分、5分、10分。因为天黑，必须借助手电筒过桥，可是他们只有一个手电筒，并且桥的载重能力有限，每次最多过两人。现在希望用最短的时间过桥，你来帮他们安排一下吧，最短时间是多少分呢？ 【答案】甲、乙过桥→甲返回→丙、丁过桥→乙返回→甲、乙过桥 2＋1＋10＋2＋2＝17（分） 【易错思路引导】甲过桥需1分，乙过桥需2分，两人一起过桥以较慢者时间为准，耗时2分；然后甲返回送手电筒，耗时1分，此步骤共耗时3分； 丙过桥需5分，丁过桥需10分，两人一起过桥耗时10分；接着乙返回送手电筒，耗时2分，此步骤共耗时12分； 甲和乙一起过桥耗时2分，此步骤耗时2分，将三步耗时相加，总时间为17分。 【规范解答】 答：按照甲、乙过桥→甲返回→丙、丁过桥→乙返回→甲、乙过桥的顺序，最短时间是17分。 【考点剖析】要使四人过桥时间最短，需让用时短的人多往返送手电筒，减少总耗时。 18．（2025四年级下·全国·专题练习）烤面包时，烤正面要2分，烤反面只要1分。乐乐用的烤面包箱一次只能放两片面包，她每天早上要吃三片面包，那么最少需要多少分？ 【答案】 5分 【易错思路引导】第一片与第二片同时烤正面需要2分钟，第一片反面与第三片正面同时烤需要2分钟，第二片的反面与第三片的反面同时烤需要1分钟，把这些时间加在一起就是烤三片面包最少需要的时间。据此解答。 【规范解答】（分） 答：最少需要5分。 【考点剖析】解答此题的关键是要考虑怎样充分的利用空间，缩短时间，这样才能节约时间，减少不必要的浪费。 19．奥运会的一次女子跳水比赛中，中国、俄罗斯和美国各有一名选手进入决赛，俄罗斯选手以领先美国选手25的优势进入到最后一跳，中国选手则落后美国选手1.05分，排名第三。 下面是三名运动员最后一跳的得分： 俄罗斯 美  国 中  国 61.70分 87.10分 94.21分 （1）请问谁是冠军，谁是亚军，谁是季军？ （2）冠军比亚军领先多少分，季军比亚军少多少分？ （3）第一名和第三名相差多少分？ 【答案】（1）中国运动员是冠军，美国运动员是亚军，俄罗斯运动员是季军。 （2）6.06分；0.4分。 （3）6.46分 【规范解答】（1）25+1.05=26.05（分） 61.70+26.05=87.75（分）； 87.10+1.05=88.15（分）； 94.21>88.15>87.75 中国运动员是冠军；美国运动员是亚军；俄罗斯运动员是季军。 （2）94.21-88.15=6.06（分）； 88.15-87.75=0.4（分） （3）94.21-87.75=6.46（分） 20．甲、乙二人先后从一个包裹中轮流取糖果,甲先取1块,乙接着取2块,然后甲再取4块,乙接着取8块……如此继续,当包裹中的糖果少于应取的块数时,则取走包裹中所有的糖果,若甲共取了90块糖果,则最初包裹中有多少块糖果? 【答案】90+170=260(块) 【规范解答】先列举出甲、乙各取的糖果数,再算总数．甲取的糖果数是1+4+16+64+5=90,相应乙取的糖果数是2+8+32+128=170． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $