课题学习 数学好玩（举一反三培优讲义）知识梳理+6个考点讲练+真题演练+难度分层练 共43题-2025-2026学年北师大版数学四年级下册单元复习

该小学数学讲义以“数学好玩”为主题，通过导图指引和知识梳理系统构建北师大版四年级下册知识体系，涵盖图形的密铺、奥运中的数学、沏茶问题、烙饼问题四大知识点，用思维导图呈现脉络，表格归纳密铺原理与优化策略，直观体现重难点及内在联系。 讲义亮点在于“考点讲练+分层训练”设计，精选高频考点如正多边形密铺判断、5张饼最短时间计算等，结合真题演练培养推理意识与模型意识。基础夯实与创新拓展分层题满足不同学生需求，助力自主复习，为教师提供精准教学支持。

2025-2026学年北师大版数四年级下册重点难点培优讲练 课题学习 数学好玩『举一反三培优考点讲义』 【原卷版】 （导图+知识梳理+6个考点讲练+真题演练+难度分层练 共43题） 同学你好，该份讲义用于北师大版数学四年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道名校期中期末真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 讲义目录指引 知识梳理 2 知识点一 图形的密铺 2 知识点二 奥运中的数学 2 知识点三 沏茶问题 2 知识点四 烙饼问题 2 考点讲练 3 高频考点一 几何图形判断-图形的密铺 3 高频考点二 几何图形推导-图形的密铺 3 高频考点三 实际应用-图形的密铺 5 高频考点四 奥运中的数学 6 高频考点五 沏茶问题 7 高频考点六 烙饼问题 7 真题演练 7 分层训练 8 【基础夯实 能力提升】 8 【创新拓展 拔尖冲刺】 10 知识点一 图形的密铺 定义：用一种或多种图形既无空隙、又不重叠地铺在平面上，这种铺法就是密铺。 原理：图形能够密铺的关键在于，拼接点处所有角的度数之和必须恰好为360°。 可密铺的图形： 单独密铺：任意三角形、任意四边形、正方形、正六边形都可以单独进行密铺。 组合密铺：一些不能单独密铺的图形（如正五边形），可以通过与其他图形组合的方式实现密铺。 不可密铺的图形：圆形和正五边形无法单独密铺。以正五边形为例，其内角为108°，无论几个角拼在一起都无法恰好组成360°。 知识点二 奥运中的数学 知识应用：将数学知识应用于解决奥运会中的实际问题，感受数学与体育的结合。 小数运算：熟练运用小数的加减法来计算比赛成绩。例如，计算田径比赛中运动员的成绩差，或射击、跳水等项目中选手的总分与分差。 数据分析：根据比赛数据（如时间、分数）判断赛场情况。例如，通过成绩差距的大小来推断冲刺时选手间的距离远近。 知识点三 沏茶问题 核心思想：初步体会运筹学中的“优化”思想，即如何科学、合理地安排时间。 解题策略： 1.明确顺序：分析完成一项任务需要做的所有事情，并确定哪些步骤有先后顺序（例如，必须先接水才能烧水）。 2.同时进行：找出哪些事情可以同时做（例如，在烧水的同时可以洗茶杯、找茶叶）。 目标：通过合理安排流程，找到用时最少的“最优方案”，从而节省时间，提高效率。 知识点四 烙饼问题 核心思想：同样是“优化”思想的应用，重点在于如何在资源有限（锅的大小固定）的情况下，使总基本规则：通常设定为锅里每次最多只能烙两张饼，两面都要烙，每面需要一定时间（如3分钟）。 最优策略：让锅里每次都尽可能烙满两张饼，避免锅有空余，这是节省时间的关键。 规律总结： 烙双数张饼：可以2张2张地同时烙。 烙单数张饼：先2张2张地烙，最后剩下的3张采用“交替烙”的方法（即保证锅内始终有2个饼面在烙）。 计算公式：烙多张饼（1张除外）的最短时间 = 饼的张数 × 烙一面所需的时间。 高频考点一 几何图形判断-图形的密铺 【典例精讲】（2025四年级下·全国·专题练习）如果用一种正多边形进行密铺，那么下面不能进行密铺的正多边形是（    ）。 A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形 【变式训练1】（2025四年级下·全国·专题练习）下面哪些是密铺？画“√”。 （    ）   （    ） （    ）  （    ）      （    ）  （    ） 从上面可以看出：相同的（    ）、（    ）、（    ）和（    ）能密铺，密铺拼接处的角的度数和是（    ）°，（    ）和（    ）不能密铺。 【变式训练2】（24-25四年级下·安徽宿州·期末）图中，可以单独密铺的图形有（    ）。 A．2 B．3 C．4 高频考点二 几何图形推导-图形的密铺 【典例精讲】（24-25四年级下·广东深圳·期末）淘气在黑板报上看到一个正六边形图案（如图）。这个正六边形是由6个等边三角形拼成，图形中间没有空隙，也不重叠，是密铺。淘气产生了一个疑问：等边三角形能密铺，其他类别的三角形能不能密铺呢？他设计了以下研究步骤来解决这个问题： 第一步：________________ 第二步：将每种三角形进行拼摆并观察拼摆结果。 第三步：依据拼摆结果得出结论。 （1）淘气设计的研究步骤的第一步是什么？请写在上面的横线上。 （2）请将第三步的研究结论在（    ）里补充完整。 （3）请以下图为例分析解释：为什么三角形可以密铺？ 【变式训练1】（23-24四年级下·陕西渭南·期末）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，其中记载了多边形的内角和的计算公式，一起来探究一下。 （1）从下面图形的一个顶点出发，可以画出一条或几条线段，能将其分成若干个三角形。在图上先画一画，再填表。 形状 分成的三角形个数 内角和 四边形 180°×（    ）＝（      ）。 五边形 180°×（    ）＝（      ）。 六边形 180°×（    ）＝（      ）。 （2）由此猜测：按上述方式，从边数为加n（n＞3）的多边形的一个顶点出发向与其不相邻的顶点画线段，这些线段把多边形分成（    ）个三角形，这个多边形的内角和是（    ）（从下面的选项中选序号）。 ①180°×n        ②180°×（n－1）    ③180°×（n－2）    ④180°×（n－3） （3）请你从上面三种图形中，任选一种设计出密铺图案。 【变式训练2】（24-25四年级下·广东深圳·期末）下面是仅用一种正多边形进行密铺的图案。 你认为仅用正五边形能密铺吗？（能   不能）打“√”。 你发现仅用一种正多边形可以密铺的“奥秘”是：___________________。 高频考点三 实际应用-图形的密铺 【典例精讲】（23-24四年级下·辽宁·单元测试）如图，在一个正方形的内部按图1的方式剪去1个三角形，并平移，形成如图2所示的新图案，以这个图案为基本图案。能否进行密铺？画简图说明。    【变式训练1】在一个工厂的废料堆里堆放着大量四边形木块，这些废木料的大小和形状是一样的，它们既不是正方形，也不是长方形。如果把它们做成比较规则的形状，必须锯掉一些边角，就要浪费很多木料，有人建议用这些木料来铺地板，你认为行吗？请说明理由。 【变式训练2】品品家客厅的地板砖太旧了，妈妈准备换新的，现有、 、 、 四种地板砖可供选择，妈妈让品品挑一种形状的地板砖，你能帮品品挑一挑吗，有哪些不同的选法？ 高频考点四 奥运中的数学 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏泰州·期中）巴黎奥运会女子双人10米跳台跳水决赛，中国选手全红婵和陈芋汐以总分359.10分获得冠军，以下是女子双人10米跳台跳水决赛获得金、银、铜牌三支代表队五轮的成绩。 国家/地区 第1轮 第2轮 第3轮 第4轮 第5轮 中国 56.40 54.60 80.10 85.44 82.56 朝鲜 46.80 46.80 69.30 75.84 77.76 英国 46.8 48.6 60.30 69.12 77.76 （1）中国代表队第一轮比朝鲜代表队多获得多少分？ （2）根据以上信息请你提出一个问题并解答。 问题：　                  　 解答： 【变式训练1】（23-24四年级下·四川成都·期末）在第32届夏季奥运会跳水女子10米跳台决赛中，我国年仅14岁的全红婵以466.2分的总成绩夺冠。此项比赛需要选手跳5次，记5次得分的总分排名。全红婵第1跳的得分是82.50分，第2跳比第1跳高出了13.51分，第3跳又比第2跳低了0.30分，第3跳得分是多少？ 【变式训练2】北京冬奥会单板滑雪男子大跳台决赛中，中国小将苏翊鸣以182.50分的成绩夺冠，比获得铜牌的加拿大选手马克斯—帕罗特高出12.25分，而马克斯—帕罗特比获得银牌的挪威选手蒙斯—勒伊斯韦兰仅差了1.5分。 （1）画示意图：请根据提供的数据，用线段表示出三位选手的成绩及他们成绩之间的关系。 （2）算一算：银牌选手蒙斯—勒伊斯韦兰的成绩是多少分？ 高频考点五 沏茶问题 【典例精讲】（24-25四年级下·广东深圳·期末）妈妈17：30就开始做饭，淘米需要2分钟，洗菜切菜10分钟，用电饭锅蒸米饭40分钟，炒菜15分钟，妈妈最早做好饭的时间用24时计时法是( )。 【变式训练1】（2025四年级下·全国·专题练习）园园每晚睡觉前背诵成语需6分，烧开水需10分，用开水热牛奶需3分，喝牛奶需5分，则园园( )的同时可以( )，做完这些事至少需( )分。 【变式训练2】（24-25四年级下·广东深圳·期末）妙妙在学校的劳动课上学会了做辣椒炒肉。至少( )分钟她能完成煮饭和炒菜。 处理食材（7分钟）：青辣椒切段，五花肉切片，佐料适量。 炒菜（8分钟）：起锅烧油，五花肉炒熟，加入辣椒段翻炒，放入酱油，蒜片等调味炒熟。 淘米（3分钟）：将大米用水洗净，反复三次。 煮饭（17分钟）：按比例将米和水放入电饭煲中，加热至煮熟。 高频考点六 烙饼问题 【典例精讲】（24-25四年级下·广东深圳·期末）爸爸的平底锅每次只能煎两块牛排，牛排要双面煎，每面需煎3分钟，要煎5块牛排至少需要（    ）分钟。 A．9 B．12 C．15 D．18 【变式训练1】（24-25四年级下·安徽亳州·期末）妈妈用平底锅烙饼，每次最多烙2张饼，两面都烙，烙熟一面要3分钟，烙5张饼最少需要（    ）。 A．15分钟 B．18分钟 C．13分钟 【变式训练2】（24-25四年级下·陕西榆林·期末）李阿姨开了一家手抓饼店，如果她每次只能煎2张饼，两面都要煎，每面煎3分钟，那么她煎5张饼至少需要（    ）分钟。 A．10 B．14 C．15 D．12 【真题演练1】（23-24四年级下·广东茂名·期末）瓷砖厂最新出品了4款瓷砖，可以密铺的是（    ）。 A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【真题演练2】（24-25四年级下·广东广州·期末）四（1）班46人去公园划船。每条大船可坐6人，租金48元，每条小船可坐4人，租金36元，租( )条大船和( )条小船刚好坐46人，此时最省钱。 【真题演练3】（23-24四年级上·广东深圳·期中）仓库要运走460箱水果，大车一次运40箱，小车一次运30箱，大车每次的运费是200元，小车每次的运费是180元。怎样安排车辆比较合理？费用最低是多少？ 【真题演练4】（24-25四年级下·山西运城·期末）石子饼是芮城名小吃之一。小锅最多能同时烙2块石子饼，每一面需烙3分钟（两面都要烙），则烙6块最少要用( )分钟；大锅能同时烙6块石子饼，每面仍需烙3分钟，则烙9块石子饼最少要用( )分钟。 【真题演练5】（24-25四年级上·陕西渭南·期末）在烤炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要2分钟，炉上每次最多只能放2张饼，要烤3张饼，至少需要（    ）分钟。 A．2 B．4 C．5 D．6 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25四年级下·河南商丘·期末）下面图形中不可能密铺的是（    ）。 A． B． C． 2．（24-25四年级下·陕西咸阳·期末）周日，欢欢主动帮妈妈做家务：扫地7分，擦拭家具10分，用洗衣机洗衣服25分，晾衣服4分。经过合理安排，做完这些至少要花（    ）分。 A．46 B．32 C．29 D．30 3．（24-25四年级下·广西桂林·期末）下面用于设计展板背景图案的基础平面图形中，（    ）图形不可以密铺。 A． B． C． 4．（25-26四年级下·全国·课后作业）2千克60克＝( )千克    3元6角＝( )元 9.2米＝( )米( )分米    1元5角7分＝( )元＝( )分。 5．（2025四年级下·全国·专题练习）2024年巴黎奥运会男子10米气步枪决赛中，第二阶段第六组射击后，A选手的总积分是231.1环，B选手的总积分是230.5环。两人最后一组两枪的射击环数如下表所示。 A选手 10.5环 10.6环 B选手 10.3环 10.6环 第六组射击后，A选手比B选手领先( )环；最后一组射击后，A选手比B选手领先( )环。 6．（2025四年级下·全国·专题练习）有一种益智小游戏，玩一局需要6分，可以单人玩，也可以双人玩。小宇和爸爸、妈妈一起玩，每人玩两局，至少需要( )分。 7．（24-25四年级下·河南商丘·期末）妈妈准备包饺子，和面、准备馅需要30分，包饺子需要25分，烧开水需要10分，煮饺子需要5分，要让家人尽快吃到饺子，妈妈做饭至少需要60分。( )（判断对错） 8．（24-25四年级下·陕西渭南·期末）图形可以单独密铺。( )（判断对错） 9．（2025四年级下·全国·专题练习）在2024年巴黎奥运会女子10米跳台跳水决赛中，某运动员以425.6分摘得女子10米跳台跳水金牌。下表是她在比赛中其中三轮的得分情况。（一共五轮） 第一轮 第二轮 第五轮 90.00分 84.80分 81.60分 (1)她在第一轮和第二轮共得多少分？ (2)她在第三轮和第四轮共得多少分？ 10．（24-25四年级下·河南商丘·期末）明明一家4口到云台山旅游。他们一家和当地旅行团的24名成员打算一起租观光车，现有大、小两种观光车可以选择。 （1）明明列出算式：（元），明明解决的是什么问题？ （2）怎样租车最省钱？最少需要多少钱？ 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（25-26四年级上·湖南郴州·期末）晨晨和妈妈在家做郴州特色美食栖凤渡鱼粉，准备流程和耗时如下：清洗砂锅3分钟、烧高汤15分钟、洗米粉2分钟、切葱花香菜5分钟、高汤烧开后，下米粉需要2分钟，请问最少要（    ）分钟才能最快吃上香喷喷的栖凤渡鱼粉。 A．18 B．20 C．22 D．27 2．（2025四年级下·全国·专题练习）下面图形中，是密铺的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25四年级下·陕西榆林·期末）田田准备烙3张饼，如果每张饼的正反两面都要烙，且每面都需要3分钟，锅每次最多能同时烙2张饼。那么田田烙完这3张饼至少要（    ）分钟。 A．9 B．10 C．11 D．8 4．（2025四年级下·全国·专题练习）海海、乐乐、园园三名同学去办公室找张老师检查作业，张老师检查他们的作业需要的时间分别是5分、2分、4分，要使三名同学等候时间的总和最少，应按( )的顺序来检查。 5．（25-26四年级上·甘肃张掖·期末）奶奶用高压锅做粥需要10分钟，减压需要3分钟，炒菜需要8分钟，用电磁炉热馒头需要3分钟，奶奶最快( )分钟就可以让家人吃饭。 6．（2025四年级下·全国·专题练习）长方形、正方形、平行四边形和圆这四种图形都能单独密铺。( )（判断对错） 7．（2025四年级下·全国·专题练习）一台复印机每次最多能放2张复印纸，复印一面需要3秒。现在有3张正反面都要复印的资料，你认为怎样安排复印最合理？最少需要多少秒？（结合图示的方法说明） 8．（2025四年级下·全国·专题练习）在一个工厂的废料堆里，堆放着大量不规则的四边形木料（如下图），这些木料的大小和形状是一样的。如果把它们做成比较规则的形状，必须锯掉一些边角，就要浪费很多木料。有人建议用这些木料来铺地板，你认为这些木料能密铺吗？为什么？ 9．（2025四年级下·全国·专题练习）有、、、、这样的图形各两个，你能选出几个图形密铺下面的方格吗？试试看。 10．（2025四年级下·全国·专题练习）甲、乙、丙、丁四人过桥，分别需要1分、2分、5分、10分。因为天黑，必须借助手电筒过桥，可是他们只有一个手电筒，并且桥的载重能力有限，每次最多过两人。现在希望用最短的时间过桥，你来帮他们安排一下吧，最短时间是多少分呢？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版数四年级下册重点难点培优讲练 课题学习 数学好玩『举一反三培优考点讲义』 【解析版】 （导图+知识梳理+6个考点讲练+真题演练+难度分层练 共43题） 同学你好，该份讲义用于北师大版数学四年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道名校期中期末真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 讲义目录指引 知识梳理 2 知识点一 图形的密铺 2 知识点二 奥运中的数学 2 知识点三 沏茶问题 2 知识点四 烙饼问题 2 考点讲练 3 高频考点一 几何图形判断-图形的密铺 3 高频考点二 几何图形推导-图形的密铺 5 高频考点三 实际应用-图形的密铺 9 高频考点四 奥运中的数学 10 高频考点五 沏茶问题 12 高频考点六 烙饼问题 13 真题演练 15 分层训练 17 【基础夯实 能力提升】 17 【创新拓展 拔尖冲刺】 22 知识点一 图形的密铺 定义：用一种或多种图形既无空隙、又不重叠地铺在平面上，这种铺法就是密铺。 原理：图形能够密铺的关键在于，拼接点处所有角的度数之和必须恰好为360°。 可密铺的图形： 单独密铺：任意三角形、任意四边形、正方形、正六边形都可以单独进行密铺。 组合密铺：一些不能单独密铺的图形（如正五边形），可以通过与其他图形组合的方式实现密铺。 不可密铺的图形：圆形和正五边形无法单独密铺。以正五边形为例，其内角为108°，无论几个角拼在一起都无法恰好组成360°。 知识点二 奥运中的数学 知识应用：将数学知识应用于解决奥运会中的实际问题，感受数学与体育的结合。 小数运算：熟练运用小数的加减法来计算比赛成绩。例如，计算田径比赛中运动员的成绩差，或射击、跳水等项目中选手的总分与分差。 数据分析：根据比赛数据（如时间、分数）判断赛场情况。例如，通过成绩差距的大小来推断冲刺时选手间的距离远近。 知识点三 沏茶问题 核心思想：初步体会运筹学中的“优化”思想，即如何科学、合理地安排时间。 解题策略： 1.明确顺序：分析完成一项任务需要做的所有事情，并确定哪些步骤有先后顺序（例如，必须先接水才能烧水）。 2.同时进行：找出哪些事情可以同时做（例如，在烧水的同时可以洗茶杯、找茶叶）。 目标：通过合理安排流程，找到用时最少的“最优方案”，从而节省时间，提高效率。 知识点四 烙饼问题 核心思想：同样是“优化”思想的应用，重点在于如何在资源有限（锅的大小固定）的情况下，使总基本规则：通常设定为锅里每次最多只能烙两张饼，两面都要烙，每面需要一定时间（如3分钟）。 最优策略：让锅里每次都尽可能烙满两张饼，避免锅有空余，这是节省时间的关键。 规律总结： 烙双数张饼：可以2张2张地同时烙。 烙单数张饼：先2张2张地烙，最后剩下的3张采用“交替烙”的方法（即保证锅内始终有2个饼面在烙）。 计算公式：烙多张饼（1张除外）的最短时间 = 饼的张数 × 烙一面所需的时间。 高频考点一 几何图形判断-图形的密铺 【典例精讲】（2025四年级下·全国·专题练习）如果用一种正多边形进行密铺，那么下面不能进行密铺的正多边形是（    ）。 A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形 【答案】D 【思路引导】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片。能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合，据此解答。 【规范解答】A.正三角形的内角和是180°，每个内角：，能被360°整除，可以单独密铺； B.正方形的内角和是360°，每个内角：，能被360°整除，可以单独密铺； C.正六边形的内角和是720°，每个内角：，能被360°整除，可以单独密铺； D.正八边形的内角和是1080°，每个内角：，不能被360°整除，不能单独密铺。 故答案为：D 【变式训练1】（2025四年级下·全国·专题练习）下面哪些是密铺？画“√”。 （    ）   （    ） （    ）  （    ）      （    ）  （    ） 从上面可以看出：相同的（    ）、（    ）、（    ）和（    ）能密铺，密铺拼接处的角的度数和是（    ）°，（    ）和（    ）不能密铺。 【答案】（√）（√）（    ）（√）（√）（    ）； 平行四边形；梯形；正六边形；三角形；360；正五边形；圆 【思路引导】密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。判断图形能否密铺，关键看拼接处几个角的度数和是否为360°。 【规范解答】平行四边形：内角和为360°，每个内角可通过拼接使和为360°，能密铺。   梯形：内角和为360°，同样可通过拼接满足密铺条件，能密铺。   正五边形：每个内角约108°，，，无法拼成360°，不能密铺。   正六边形：每个内角为120°，3个120°相加为360°（），能密铺。    三角形：内角和180°，6个三角形的6个内角可拼成360°，能密铺。    圆：边缘是曲线，拼接时会有空隙，不能密铺。     答：根据密铺的定义和上述分析，①、②、④、⑤能密铺。 从上面可以看出：相同的平行四边形、梯形、正六边形和三角形能密铺，密铺拼接处的角的度数和是360°，正五边形和圆不能密铺。 【变式训练2】（24-25四年级下·安徽宿州·期末）图中，可以单独密铺的图形有（    ）。 A．2 B．3 C．4 【答案】B 【思路引导】根据密铺的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。所以图形的角与角的拼接要刚好等于360°，才可以密铺，据此分析题目中图形即可解答。 【规范解答】正五边形：内角和为（5－2）×180°＝540°，每个内角是540°÷5＝108°。108°不能被360°整除，所以正五边形不能单独密铺。 长方形：内角都是90°，90°可以被360°整除，所以长方形可以单独密铺。 正三角形：每个角是60°，60°可以被360°整除，所以三角形可以单独密铺。 圆：圆是曲线图形，拼接时会有空隙，不能单独密铺。 平行四边形：内角和是360°，且两组对边分别平行，拼接时可不留空隙、不重叠，所以平行四边形可以单独密铺。 所以长方形、正三角形、平行四边形可以单独密铺，共3个。 故答案为：B 高频考点二 几何图形推导-图形的密铺 【典例精讲】（24-25四年级下·广东深圳·期末）淘气在黑板报上看到一个正六边形图案（如图）。这个正六边形是由6个等边三角形拼成，图形中间没有空隙，也不重叠，是密铺。淘气产生了一个疑问：等边三角形能密铺，其他类别的三角形能不能密铺呢？他设计了以下研究步骤来解决这个问题： 第一步：________________ 第二步：将每种三角形进行拼摆并观察拼摆结果。 第三步：依据拼摆结果得出结论。 （1）淘气设计的研究步骤的第一步是什么？请写在上面的横线上。 （2）请将第三步的研究结论在（    ）里补充完整。 （3）请以下图为例分析解释：为什么三角形可以密铺？ 【答案】（1）剪出完全相同的锐角三角形、钝角三角形、直角三角形各若干张 （2）锐角；钝角；直角 （3）两个全等的直角三角形可以拼成长方形，长方形可以单独密铺，因此，直角三角形也可以单独密铺。再由此推出所有三角形都可以单独密铺。 由于两个全等的任意三角形都能组合成一个平行四边形（或长方形或正方形），这启示我们，任意三角形同样具备密铺的能力。 【思路引导】（1）等边三角形能密铺，其他类别的三角形能不能密铺，再根据第三步下面的图，提出锐角三角形、钝角三角形、直角三角形能否密铺呢，剪出完全相同的锐角三角形、钝角三角形、直角三角形各若干张。 （2）通过观察第三步的图可知，锐角三角形，钝角三角形，直角三角形都能密铺。 （3）结合图可知：两个全等的直角三角形可以拼成长方形，长方形可以单独密铺，因此，直角三角形也可以单独密铺。再由此推出所有三角形都可以单独密铺。 由于两个全等的任意三角形都能组合成一个平行四边形（或长方形或正方形），这启示我们，任意三角形同样具备密铺的能力。 【规范解答】淘气在黑板报上看到一个正六边形图案（如图）。这个正六边形是由6个等边三角形拼成，图形中间没有空隙，也不重叠，是密铺。淘气产生了一个疑问：等边三角形能密铺，其他类别的三角形能不能密铺呢？他设计了以下研究步骤来解决这个问题： 第一步：剪出完全相同的锐角三角形、钝角三角形、直角三角形各若干张。 第二步：将每种三角形进行拼摆并观察拼摆结果。 第三步：依据拼摆结果得出结论。 （1）淘气设计的研究步骤的第一步是什么？请写在上面的横线上。 （2）请将第三步的研究结论在（    ）里补充完整。 （3）请以下图为例分析解释：为什么三角形可以密铺？ 结合图可知：两个全等的直角三角形可以拼成长方形，长方形可以单独密铺，因此，直角三角形也可以单独密铺。再由此推出所有三角形都可以单独密铺。 由于两个全等的任意三角形都能组合成一个平行四边形（或长方形或正方形），因此，任意三角形同样具备密铺的能力。 【变式训练1】（23-24四年级下·陕西渭南·期末）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，其中记载了多边形的内角和的计算公式，一起来探究一下。 （1）从下面图形的一个顶点出发，可以画出一条或几条线段，能将其分成若干个三角形。在图上先画一画，再填表。 形状 分成的三角形个数 内角和 四边形 180°×（    ）＝（      ）。 五边形 180°×（    ）＝（      ）。 六边形 180°×（    ）＝（      ）。 （2）由此猜测：按上述方式，从边数为加n（n＞3）的多边形的一个顶点出发向与其不相邻的顶点画线段，这些线段把多边形分成（    ）个三角形，这个多边形的内角和是（    ）（从下面的选项中选序号）。 ①180°×n        ②180°×（n－1）    ③180°×（n－2）    ④180°×（n－3） （3）请你从上面三种图形中，任选一种设计出密铺图案。 【答案】（1）见详解 （2）③ （3）图见详解 【思路引导】（1）（2）从多边形的一个顶点作与不与它相邻顶点的连接线，将求多边形内角和变成几个三角形内角和的和，并找出求多边形内角和的规律，即可解答； （3）几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，因此，一个多边形的内角和能被整除，这个图形就能密铺，据此选择平行四边形并设计出密铺图案即可。 【规范解答】（1） 形状 分成的三角形个数 内角和 四边形 四边形中共画出1条线段，将其分成2个三角形， 180°×（2）＝（360°）。 五边形 五边形中共画出2条线段，将其分成3个三角形 180°×（3）＝（540°）。 六边形 六边形中共画出3条线段，将其分成4个三角形， 180°×（4）＝（720°）。 （2）由此猜测：按上述方式，从边数为n（n＞3）的多边形的一个顶点出发向与其不相邻的顶点画线段，最多能画（n－3）条，这些线段把多边形分成（n－2）个三角形，每个三角形的内角和是180°，由此可推导出n边形的内角和是180°×（n－2），这个多边形的内角和是③。 （3）360°÷360°＝1 【变式训练2】（24-25四年级下·广东深圳·期末）下面是仅用一种正多边形进行密铺的图案。 你认为仅用正五边形能密铺吗？（能   不能）打“√”。 你发现仅用一种正多边形可以密铺的“奥秘”是：___________________。 【答案】不能；图形拼接后，在每个拼接点处的各个角的和恰好是360°，这样才能没有空隙、不重叠地铺满整个平面。 【思路引导】图形拼接后，在每个拼接点处的各个角的和恰好是360°，这样才能没有空隙、不重叠地铺满整个平面。据此判断即可。 【规范解答】正三角形：任意三角形的内角和是180°，6个相同的三角形拼接时，每个顶点处的6个角之和正好是360°，因此可以密铺； 正四边形：任意四边形的内角和是360°，4个相同的四边形拼接时，每个顶点处的4个角之和为360°，所以能密铺； 正六边形：每个内角是120°，3个正六边形拼接时，顶点处的角之和为120°×3＝360°，可密铺。 正五边形：每个内角108°，无法通过整数个108°相加得到360°，由于无法满足“拼接点处角的和为360°，所以不能密铺。 即仅用正五边形不能密铺，所以答案为不能。 我发现仅用一种正多边形可以密铺的“奥秘”是：图形拼接后，在每个拼接点处的各个角的和恰好是360°，这样才能没有空隙、不重叠地铺满整个平面。 高频考点三 实际应用-图形的密铺 【典例精讲】（23-24四年级下·辽宁·单元测试）如图，在一个正方形的内部按图1的方式剪去1个三角形，并平移，形成如图2所示的新图案，以这个图案为基本图案。能否进行密铺？画简图说明。    【答案】能密铺；画图见详解 【思路引导】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片。能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合。正方形能密铺，从正方形的一个边去剪一个三角形补在对边的上方，仍能密铺。 【规范解答】能密铺。方法是把有剪去缺口的一边与补的边上缺口剪下一块的一边，拼接。如图所示：    【考点剖析】考查了平面镶嵌（密铺）问题，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。 【变式训练1】在一个工厂的废料堆里堆放着大量四边形木块，这些废木料的大小和形状是一样的，它们既不是正方形，也不是长方形。如果把它们做成比较规则的形状，必须锯掉一些边角，就要浪费很多木料，有人建议用这些木料来铺地板，你认为行吗？请说明理由。 【答案】行，理由见详解 【思路引导】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片。能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合。四边形的内角和是360°，放在同一顶点处4个即能密铺。据此解答。 【规范解答】 用这些木料来铺地板可行，因为四边形的内角和是360°，按如图所示的拼法拼，就能填满整个平面，而且毫无缝隙。因此，凡是有同样大小、同样形状的任意四边形木料，都可用来铺地板。 【考点剖析】本题考查了密铺的知识点，要明确能密铺的图形在一个拼接点处的特点。 【变式训练2】品品家客厅的地板砖太旧了，妈妈准备换新的，现有、 、 、 四种地板砖可供选择，妈妈让品品挑一种形状的地板砖，你能帮品品挑一挑吗，有哪些不同的选法？ 【答案】可以挑三角形、正方形或六边形地板砖，一共有3种选法。 【思路引导】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。因此，一个多边形的内角之和能被360°整除，这样的多边形能密铺；找出可以密铺的地板砖即可解答。 【规范解答】三角形的内角和是180°，360°÷180°＝2，三角形能密铺； 四边形的内角和是360°，360°÷360°＝1，正方形、长方形能密铺； 正六边形的每个内角是120°，能整除360°，可以单独进行密铺； 正五边形的每个内角都是108°，不管几个角拼在一起都不能正好等于360°，在每个拼接点处的内角不能保证没空隙或重叠现象，不能密铺； 答：可以挑三角形、正方形或六边形地板砖，一共有3种选法。 【考点剖析】密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。判断图形能否密铺的关键是看这个图形的内角和能被360°整除。 高频考点四 奥运中的数学 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏泰州·期中）巴黎奥运会女子双人10米跳台跳水决赛，中国选手全红婵和陈芋汐以总分359.10分获得冠军，以下是女子双人10米跳台跳水决赛获得金、银、铜牌三支代表队五轮的成绩。 国家/地区 第1轮 第2轮 第3轮 第4轮 第5轮 中国 56.40 54.60 80.10 85.44 82.56 朝鲜 46.80 46.80 69.30 75.84 77.76 英国 46.8 48.6 60.30 69.12 77.76 （1）中国代表队第一轮比朝鲜代表队多获得多少分？ （2）根据以上信息请你提出一个问题并解答。 问题：　                  　 解答： 【答案】（1）9.60分 （2）中国代表队前两轮共获得多少分？；111分（答案不唯一） 【思路引导】（1）中国代表队第一轮所得的分数减去朝鲜代表队第一轮所得的分数，即可求出中国代表队第一轮比朝鲜代表队多获得的分数； （2）结合表格中的信息提出合理问题并解答即可。 【规范解答】（1）56.40－46.80＝9.60（分） 答：中国代表队第一轮比朝鲜代表队多获得9.60分。 （2）中国代表队前两轮共获得多少分？（答案不唯一） 56.40＋54.60＝111（分） 答：中国代表队前两轮共获得111分。 【变式训练1】（23-24四年级下·四川成都·期末）在第32届夏季奥运会跳水女子10米跳台决赛中，我国年仅14岁的全红婵以466.2分的总成绩夺冠。此项比赛需要选手跳5次，记5次得分的总分排名。全红婵第1跳的得分是82.50分，第2跳比第1跳高出了13.51分，第3跳又比第2跳低了0.30分，第3跳得分是多少？ 【答案】95.71分 【思路引导】根据题意，用第1跳的得分加上13.51，求出第2跳的得分，再用第2跳的得分减去0.30，即可求出第3跳得分是多少。 【规范解答】82.50＋13.51－0.30 ＝96.01－0.30 ＝95.71（分） 答：第3跳得分是95.71分。 【变式训练2】北京冬奥会单板滑雪男子大跳台决赛中，中国小将苏翊鸣以182.50分的成绩夺冠，比获得铜牌的加拿大选手马克斯—帕罗特高出12.25分，而马克斯—帕罗特比获得银牌的挪威选手蒙斯—勒伊斯韦兰仅差了1.5分。 （1）画示意图：请根据提供的数据，用线段表示出三位选手的成绩及他们成绩之间的关系。 （2）算一算：银牌选手蒙斯—勒伊斯韦兰的成绩是多少分？ 【答案】（1）见详解 （2）171.75分 【规范解答】（1）先画一条线段表示中国选手的成绩182.50分，在下方画一条比中国选手成绩的线段短一些的线段表示获得铜牌的加拿大选手的成绩，然后在这两条线段的中间再画一条比加拿大选手的成绩的线段长一点的线段表示获得银牌的挪威选手的成绩，据此画出示意图，并标上数据。 （2）中国选手以182.50分夺冠，比获得铜牌的加拿大选手高出12.25分，用182.50分减去12.25分，即是获得铜牌的加拿大选手的成绩；他又比获得银牌的挪威选手少1.5分，再用加拿大选手的成绩加上1.5分，即是获得银牌的挪威选手的成绩。 【思路引导】（1）如图： （2）182.5－12.25＋1.5 ＝170.25＋1.5 ＝171.75（分） 答：银牌选手蒙斯·勒伊斯韦兰的成绩是171.75分。 【考点剖析】本题考查小数加减法的混合运算和实际应用，用线段图找出数量之间的关系更直观。 高频考点五 沏茶问题 【典例精讲】（24-25四年级下·广东深圳·期末）妈妈17：30就开始做饭，淘米需要2分钟，洗菜切菜10分钟，用电饭锅蒸米饭40分钟，炒菜15分钟，妈妈最早做好饭的时间用24时计时法是( )。 【答案】18：12/18时12分 【思路引导】要使需要的时间最短，应先淘米，然后用电饭锅蒸米饭，在完成蒸米饭这项任务的同时，可完成洗菜和炒菜这两项任务，则至少需要2＋40＝42分钟。再根据结束时间＝开始时间＋经过时间，求出最早做好饭的时间。 【规范解答】2＋40＝42（分钟） 17：30＋42分钟＝18：12 所以妈妈最早做好饭的时间用24时计时法是18：12（或18时12分）。 【变式训练1】（2025四年级下·全国·专题练习）园园每晚睡觉前背诵成语需6分，烧开水需10分，用开水热牛奶需3分，喝牛奶需5分，则园园( )的同时可以( )，做完这些事至少需( )分。 【答案】 烧开水 背诵成语 18 【思路引导】由题意可知：烧开水的同时可以背诵成语，然后用开水热牛奶，最后喝牛奶，所以总时间是烧开水的时间、热牛奶的时间和喝牛奶的时间加起来，据此解答。 【规范解答】（分） 所以，园园烧开水的同时可以背诵成语，做完这些事至少需要18分。 【变式训练2】（24-25四年级下·广东深圳·期末）妙妙在学校的劳动课上学会了做辣椒炒肉。至少( )分钟她能完成煮饭和炒菜。 处理食材（7分钟）：青辣椒切段，五花肉切片，佐料适量。 炒菜（8分钟）：起锅烧油，五花肉炒熟，加入辣椒段翻炒，放入酱油，蒜片等调味炒熟。 淘米（3分钟）：将大米用水洗净，反复三次。 煮饭（17分钟）：按比例将米和水放入电饭煲中，加热至煮熟。 【答案】20 【思路引导】分析题意可知：先淘米，煮饭的同时可以处理食材、炒菜，所以总用时为淘米、煮饭的时间和，据此解答。 【规范解答】3＋17＝20（分钟） 所以至少20分钟她能完成煮饭和炒菜。 高频考点六 烙饼问题 【典例精讲】（24-25四年级下·广东深圳·期末）爸爸的平底锅每次只能煎两块牛排，牛排要双面煎，每面需煎3分钟，要煎5块牛排至少需要（    ）分钟。 A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【思路引导】根据烙饼问题的公式：时间＝饼数×2÷每面烙的块数×每面所需的时间，代入数值即可解答。 【规范解答】5×2÷2×3 ＝10÷2×3 ＝5×3 ＝15（分钟） 要煎5块牛排至少需要15分钟。 故答案为：C 【变式训练1】（24-25四年级下·安徽亳州·期末）妈妈用平底锅烙饼，每次最多烙2张饼，两面都烙，烙熟一面要3分钟，烙5张饼最少需要（    ）。 A．15分钟 B．18分钟 C．13分钟 【答案】A 【思路引导】由题意可知：烙饼的时间＝烙每面的时间×饼的数量，据此解答。 【规范解答】由分析可知： 3×5＝15（分钟） 所以，烙5张饼最少需要15分钟。 故答案为：A 【变式训练2】（24-25四年级下·陕西榆林·期末）李阿姨开了一家手抓饼店，如果她每次只能煎2张饼，两面都要煎，每面煎3分钟，那么她煎5张饼至少需要（    ）分钟。 A．10 B．14 C．15 D．12 【答案】C 【思路引导】第一次先煎2个手抓饼，用时2×3＝6（分）。剩下的3个手抓饼（按①②③编号）可以这样煎：第一次煎①的正面和②的正面；第二次煎①的反面和③的正面：第三次煎②的反面和③的反面，共用时3×3＝9（分）。则煎5个手抓饼至少需要6＋9＝15（分）。 【规范解答】2×3＝6（分） 3×3＝9（分） 6＋9＝15（分） 李阿姨开了一家手抓饼店，如果她每次只能煎2张饼，两面都要煎，每面煎3分钟，那么她煎5张饼至少需要15分钟。 故答案为：C 【真题演练1】（23-24四年级下·广东茂名·期末）瓷砖厂最新出品了4款瓷砖，可以密铺的是（    ）。 A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【答案】A 【思路引导】根据密铺的特点，图形密铺在一起后，同一个顶点的所有角组成了一个周角，度数和是360°；根据各图形的内角的度数和能否得到360°便可知是否可以密铺。据此解答。 【规范解答】 ①正三角形的内角度数是60°，60°×6＝360°，可以密铺； ②正方形的内角度数是90°，90°×4＝360°，可以密铺； ③正五边形的内角度数为180°×（5－2）÷5，结果为108°，用108°的角不能拼出360°，不可以密铺； ④正六边形的内角度数为180°×（6－2）÷6，结果为120°，120°×3＝360°，可以密铺。 所以，可以密铺的是①②④。 故答案为：A 【真题演练2】（24-25四年级下·广东广州·期末）四（1）班46人去公园划船。每条大船可坐6人，租金48元，每条小船可坐4人，租金36元，租( )条大船和( )条小船刚好坐46人，此时最省钱。 【答案】 7 1 【思路引导】根据题意可知，分别求出大船和小船的每人租金，再比较租哪种船更合适，在保证坐满的前提下，尽量多的租租金便宜的船。 【规范解答】大船的每人租金：48÷6＝8（元） 小船的每人租金：36÷4＝9（元） 8＜9，则租大船更合适。 46÷6＝7（条）……4（人） 则需要租7条大船。剩余的4人正好租1条小船，此时所有的船全部坐满。即7条大船和1条小船刚好坐46人，此时最省钱。 【考点剖析】解决本题的关键是明确要想省钱，应尽量多的租大船。 【真题演练3】（23-24四年级上·广东深圳·期中）仓库要运走460箱水果，大车一次运40箱，小车一次运30箱，大车每次的运费是200元，小车每次的运费是180元。怎样安排车辆比较合理？费用最低是多少？ 【答案】租大车10辆，小车2辆，花费最小；需要2360元 【思路引导】要运460箱水果，小车每次最多能装30箱，运费180元/次，则如果租用小车：460÷30＝15（辆）……10（箱），即需要15＋1＝16（辆）小车，需要16×180＝2880元钱；大车每次最多能装40箱，租金200元/次：460÷40＝11（辆）……20（箱），即11＋1＝12辆大车，需要租金12×200＝2400元；2880元＞2400元，所以尽量用大车； 还可以考虑大车和小车同时运送，就是看几辆大车和几辆小车能恰好运送这些货物，据此解答。 【规范解答】如果租大车：460÷40＝11（辆）……20（箱），即需要12×200＝2400（元） 如果租小车：460÷30＝15（辆）……10（箱），即需要16×180＝2880（元） 因为租大车比较便宜，所以尽量用大车。 而共需要运走460箱水果，460＝40×10＋30×2。 所以，租10辆大车，2辆小车。 共需运费： 200×10＋180×2 ＝2000＋360 ＝2360（元） 答：租10辆大车，2辆小车花费最小，共需要运费2360元。 【考点剖析】根据需要运送的箱数、两辆车的载重量及运费进行分析是完成本题的关键。 【真题演练4】（24-25四年级下·山西运城·期末）石子饼是芮城名小吃之一。小锅最多能同时烙2块石子饼，每一面需烙3分钟（两面都要烙），则烙6块最少要用( )分钟；大锅能同时烙6块石子饼，每面仍需烙3分钟，则烙9块石子饼最少要用( )分钟。 【答案】 18 9 【思路引导】先计算需要烙的总面数（总面数＝块数×2），再根据锅每次能烙的面数求出烙的次数（烙的次数＝总面数÷每次能烙的面数），最后用次数乘每面所需的时间，即可求解。 【规范解答】小锅最多能同时烙2块石子饼，即同时能烙2个面 6×2＝12（面），12÷2＝6（次），6×3＝18（分钟） 大锅能同时烙6块石子饼，即同时能烙6个面 9×2＝18（面），18÷6＝3（次），3×3＝9（分钟） 小锅最多能同时烙2块石子饼，每一面需烙3分钟（两面都要烙），则烙6块最少要用18分钟；大锅能同时烙6块石子饼，每面仍需烙3分钟，则烙9块石子饼最少要用9分钟。 【真题演练5】（24-25四年级上·陕西渭南·期末）在烤炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要2分钟，炉上每次最多只能放2张饼，要烤3张饼，至少需要（    ）分钟。 A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【思路引导】先考第一张饼和第二张饼的正面，用时2分钟，再烤第一张的反面和第三组的正面，要2分钟；最后烤第二张的反面和第三张的反面，需要2分钟，这样算出总共的用时即可解答。 【规范解答】2＋2＋2 ＝4＋2 ＝6（分钟） 故答案为：D 【考点剖析】解答此类问题的方法是使效率最大化，即火炉能放满就尽量放满，不做无用工。 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25四年级下·河南商丘·期末）下面图形中不可能密铺的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】几何图形镶嵌成平面的关键在于，围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好能组成一个周角。也就是说，360°需为正多边形一个内角的整数倍，这样该正多边形才能单独镶嵌。 【规范解答】A．正六边形可以用于密铺，因为它的每个内角都是120°，在每个拼接点处正好能容纳3个内角，不符合题意； B．任意四边形可以密铺，因为四边形内角和为360°，这四个角顶点对顶点平铺在一起正好等于360°，不符合题意； C．圆是由一条曲线围成的封闭图形，无论怎样拼接，都无法在拼接点处形成360°的角，符合题意。 故答案为：C 2．（24-25四年级下·陕西咸阳·期末）周日，欢欢主动帮妈妈做家务：扫地7分，擦拭家具10分，用洗衣机洗衣服25分，晾衣服4分。经过合理安排，做完这些至少要花（    ）分。 A．46 B．32 C．29 D．30 【答案】C 【思路引导】用洗衣机洗衣服的同时，欢欢可以进行扫地和擦拭家具，然后洗完衣服再晾衣服，据此解题。 【规范解答】7＋10＝17（分） 17＜25 25＋4＝29（分） 经过合理安排，做完这些至少要花29分。 故答案为：C 3．（24-25四年级下·广西桂林·期末）下面用于设计展板背景图案的基础平面图形中，（    ）图形不可以密铺。 A． B． C． 【答案】B 【思路引导】用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法在数学上叫图形的密铺，也叫图形的镶嵌。正三角形、正四边形、正六边形可以单独用于平移密铺，除正三角形、正四边形和正六边形外，其他正多边形都不可以密铺平面，所有任意三角形与任意四边形都可以密铺，三对对应边平行的六边形可以单独密铺。据此分析选项并作答。 【规范解答】A．图形为正六边形，可以密铺，不符合题意，该选项错误。 B．图形为正五边形，不能密铺，符合题意，该选项正确。 C．图形为正三角形，可以密铺，不符合题意，该选项错误。 故答案为：B 4．（25-26四年级下·全国·课后作业）2千克60克＝( )千克    3元6角＝( )元 9.2米＝( )米( )分米    1元5角7分＝( )元＝( )分。 【答案】 2.06 3.6 9 2 1.57 157 【思路引导】根据1千克＝1000克，1元＝10角，1角＝10分，1米＝10分米；进行单位换算即可。据此解答。 【规范解答】60克＝0.06千克，2千克60克＝（2.06）千克； 6角＝0.6元， 3元6角＝（3.6）元； 0.2米＝2分米，9.2米＝（9）米（2）分米； 5角＝0.5元，7分＝0.07元， 1元5角7分＝（1.57）元， 1元＝100分，5角＝50分，1元5角7分＝（1.57）元＝（157）分。 5．（2025四年级下·全国·专题练习）2024年巴黎奥运会男子10米气步枪决赛中，第二阶段第六组射击后，A选手的总积分是231.1环，B选手的总积分是230.5环。两人最后一组两枪的射击环数如下表所示。 A选手 10.5环 10.6环 B选手 10.3环 10.6环 第六组射击后，A选手比B选手领先( )环；最后一组射击后，A选手比B选手领先( )环。 【答案】 0.6 0.8 【思路引导】根据题意，用第六组射击后A选手的总积分减去B选手的总积分，即可求出A选手比B选手领先多少环； 最后一组射击后，用第六组射击后的总积分加上最后一组两枪的射击环数，分别求出A、B两位选手的总积分，再将两人积分相减，求出最后一组射击后A选手比B选手领先多少环，据此解答。 【规范解答】①（环） ②A选手的总积分：（环） B选手的总积分：（环） （环） 因此，第六组射击后，A选手比B选手领先0.6环；最后一组射击后，A选手比B选手领先0.8环。 6．（2025四年级下·全国·专题练习）有一种益智小游戏，玩一局需要6分，可以单人玩，也可以双人玩。小宇和爸爸、妈妈一起玩，每人玩两局，至少需要( )分。 【答案】18 【思路引导】每人玩两局，可以单独玩，可以双人玩，当单独玩的时候，局数是：局，当双人玩的时候局数是：局，局数在到局之间， 要时间最少，则玩局，需要时间是：分。 【规范解答】单独玩，每人玩两局，一共玩（局） 双人玩，每人两局：小宇与爸爸、小宇与妈妈、爸爸与妈妈，一共是3局。 一局需要6分钟，需要最少时间，用最少局数乘每局时间，即（分）。 有一种益智小游戏，玩一局需要6分，可以单人玩，也可以双人玩。小宇和爸爸、妈妈一起玩，每人玩两局，至少需要18分。 7．（24-25四年级下·河南商丘·期末）妈妈准备包饺子，和面、准备馅需要30分，包饺子需要25分，烧开水需要10分，煮饺子需要5分，要让家人尽快吃到饺子，妈妈做饭至少需要60分。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】合理安排时间，将能同时进行的步骤合并。和面、准备馅需先完成，之后在包饺子的同时烧开水，最后煮饺子。 【规范解答】30＋25＋5＝60（分） 因此，妈妈做饭至少需要60分钟。 故答案为：√ 8．（24-25四年级下·陕西渭南·期末）图形可以单独密铺。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。因此，一个多边形的内角之和是360°的整倍数，这样的多边形能密铺。 【规范解答】五边形的内角和是： （5－2）×180° 3×180° ＝540° 因为540°不是360°的整倍数，所以五边形不能密铺。 故答案为：× 9．（2025四年级下·全国·专题练习）在2024年巴黎奥运会女子10米跳台跳水决赛中，某运动员以425.6分摘得女子10米跳台跳水金牌。下表是她在比赛中其中三轮的得分情况。（一共五轮） 第一轮 第二轮 第五轮 90.00分 84.80分 81.60分 (1)她在第一轮和第二轮共得多少分？ (2)她在第三轮和第四轮共得多少分？ 【答案】(1)174.8分 (2)169.2分 【思路引导】（1）第一轮得分加上第二轮得分，即可求出第一轮和第二轮共得多少分； （2）用总分数减去第一轮、第二轮和第五轮的得分，即可求出第三轮和第四轮共得多少分。 【规范解答】（1）（分） 答：她在第一轮和第二轮共得174.8分。 （2）（分） 答：她在第三轮和第四轮共得169.2分。 10．（24-25四年级下·河南商丘·期末）明明一家4口到云台山旅游。他们一家和当地旅行团的24名成员打算一起租观光车，现有大、小两种观光车可以选择。 （1）明明列出算式：（元），明明解决的是什么问题？ （2）怎样租车最省钱？最少需要多少钱？ 【答案】（1）明明的算式解决的问题是：所有人都租小车需要多少钱？ （2）租3辆大车1辆小车最省钱。最少需要2220元钱。 【思路引导】（1）根据题意，4＋24求的是总人数；除以4就是求出租小观光车需要多少辆；再乘420，就是租小观光车所花的钱数；据此答题即可。 （2）分别用420÷4，600÷8，求出大观光车和小观光车的人均费用，选择便宜的多租；用总人数除以便宜车型的载人量，求出需要车的数量；如果有余数，合理安排其它车型，确保车上的空位最少；最后用车辆数乘车的租金，就是花费的钱数；列式计算即可。 【规范解答】（1）明明的算式解决的问题是：所有人都租小车需要多少钱？ （2）420÷4＝105（元） 600÷8＝75（元） 75＜105，所以多租大车。 （24＋4）÷8 ＝28÷8 ＝3（辆）……4（人） 4÷4＝1（辆） 此时租3辆大车，1辆小车正好坐满。 3×600＋1×420 ＝1800＋420 ＝2220（元） 答：租3辆大车1辆小车最省钱。最少需要2220元钱。 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（25-26四年级上·湖南郴州·期末）晨晨和妈妈在家做郴州特色美食栖凤渡鱼粉，准备流程和耗时如下：清洗砂锅3分钟、烧高汤15分钟、洗米粉2分钟、切葱花香菜5分钟、高汤烧开后，下米粉需要2分钟，请问最少要（    ）分钟才能最快吃上香喷喷的栖凤渡鱼粉。 A．18 B．20 C．22 D．27 【答案】B 【思路引导】要求最少的时间，首先要弄清哪些事情必须单独花时间完成（如题中洗砂锅、烧高汤、下米粉），哪些事情可以在做另一件事情的同时完成（如题中烧高汤的同时可以洗米粉、切葱花香菜）；根据题意，可以先清洗砂锅需3分钟，再烧高汤需15分钟（同时洗米粉2分钟、切葱花香菜5分钟），高汤烧开后下米粉需2分钟，再把洗砂锅、烧高汤和下米粉的时间加起来。 【规范解答】3＋15＋2 ＝18＋2 ＝20（分钟） 所以，最少要20分钟才能最快吃上香喷喷的栖凤渡鱼粉。 2．（2025四年级下·全国·专题练习）下面图形中，是密铺的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】密铺的定义是 “用形状、大小完全相同的图形拼接，不留空隙、不重叠地铺成一片”，图形能通过拼接填满平面，内角和为 360°，或边能完全契合。 【规范解答】第一个图形（波浪形）：边缘为曲线，但四个图形都相同，便能够契合，能密铺。 第二个图形（四边形类）：任意四边形的内角和为 360°，可围绕一点拼接，能密铺。 第三个图形（组合形状）：形状不规则，凹、凸部分无法完全契合，拼接会有空隙，不能密铺。 第四个图形（菱形类）：菱形属于平行四边形，但摆放没有密铺，有重叠。 第五个图形（复合图形）：由六边形和菱形组合而成，图形之间紧密衔接，没有缝隙，是密铺。 ①、②、⑤能密铺，有3个。 故答案为C。 3．（24-25四年级下·陕西榆林·期末）田田准备烙3张饼，如果每张饼的正反两面都要烙，且每面都需要3分钟，锅每次最多能同时烙2张饼。那么田田烙完这3张饼至少要（    ）分钟。 A．9 B．10 C．11 D．8 【答案】A 【思路引导】由题意得，要使烙饼的时间最少，那么每一次烙饼时锅里面都必须有2张饼。 田田烙3张饼时， 第一次：烙第1张饼的正面和第2张饼的正面，用时3分钟。 第二次：烙第1张饼的反面和第3张饼的正面，用时3分钟。 第三次：烙第2张饼的反面和第3张饼的反面，用时3分钟。 综上所述，一共需要3个3分钟。 【规范解答】根据分析： 3×3＝9（分钟） 即田田烙完这3张饼至少要9分钟。 故答案为：A 4．（2025四年级下·全国·专题练习）海海、乐乐、园园三名同学去办公室找张老师检查作业，张老师检查他们的作业需要的时间分别是5分、2分、4分，要使三名同学等候时间的总和最少，应按( )的顺序来检查。 【答案】乐乐—园园—海海 【思路引导】要使三名同学等候时间的总和最少，应按照检查时间从短到长的顺序安排，这样可以使等待的时间累加最少，已知三名同学检查作业的时间分别为乐乐2分，园园4分，海海5分，将时间按从小到大排序为：，即检查顺序为乐乐园园海海。 【规范解答】 所以按照乐乐—园园—海海的顺序来检查，三名同学等候时间的总和最少。 5．（25-26四年级上·甘肃张掖·期末）奶奶用高压锅做粥需要10分钟，减压需要3分钟，炒菜需要8分钟，用电磁炉热馒头需要3分钟，奶奶最快( )分钟就可以让家人吃饭。 【答案】13 【思路引导】高压锅做粥的10分钟加热时间里，可同时用电磁炉热馒头（3分钟）＋炒菜（8分钟），热馒头和炒菜总耗时8分钟，能在煮粥的10分钟内完成；煮粥结束后还需单独算3分钟减压时间。 【规范解答】煮粥10分钟。同时完成热馒头＋炒菜。 10＋3＝13（分钟） 奶奶最快13分钟就可以让家人吃饭。 6．（2025四年级下·全国·专题练习）长方形、正方形、平行四边形和圆这四种图形都能单独密铺。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】密铺是指图形能无缝隙、无重叠地覆盖平面。长方形、正方形和平行四边形都是四边形，可以单独密铺。圆是曲线图形，不能单独密铺，因为圆之间必然存在缝隙。因此，题干说法错误。 【规范解答】长方形可以单独密铺，例如用长方形地砖铺设地面；正方形可以单独密铺；平行四边形可以单独密铺。圆不能单独密铺，因为圆形的边缘是曲线，无法完全覆盖平面而不留空隙。所以，这四种图形并非都能单独密铺，原题说法错误。 故答案为：× 7．（2025四年级下·全国·专题练习）一台复印机每次最多能放2张复印纸，复印一面需要3秒。现在有3张正反面都要复印的资料，你认为怎样安排复印最合理？最少需要多少秒？（结合图示的方法说明） 【答案】①第一张正面  第二张正面 ②第一张反面  第三张正面 ③第二张反面  第三张反面 最少需要3×3＝9（秒）。 【思路引导】每张纸有正面（正）和反面（反），复印机每次能放2张，复印一面需3秒。 最优复印步骤如下：第1个3秒：复印第一张正、第二张正  ；第2个3秒：复印第一张反、第三张正；第3个3秒：第二张反、第三张反；所用时间加起来即为最少时间。据此解答。 【规范解答】 （秒） 答：第一张正面、第二张正面，第一张反面、第三张正面，第二张反面、第三张反面，最少需要9秒。 8．（2025四年级下·全国·专题练习）在一个工厂的废料堆里，堆放着大量不规则的四边形木料（如下图），这些木料的大小和形状是一样的。如果把它们做成比较规则的形状，必须锯掉一些边角，就要浪费很多木料。有人建议用这些木料来铺地板，你认为这些木料能密铺吗？为什么？ 【答案】能。因为四边形的内角和是360°，按题图所示的拼法拼接就能填满这个平面，而且无缝隙、不重叠。因此，凡是有着同样大小和形状的任意四边形木块都可用来密铺。 【思路引导】判断图形能否密铺，关键是看拼接点处几个角的度数之和是否为360°。对于任意四边形，其内角和是360°。 【规范解答】这些不规则四边形木料大小和形状一样，当把它们拼接时，每个拼接点处正好可以摆放4个四边形的不同内角，这4个内角的度数之和等于四边形的内角和360°，能保证拼接后无缝隙、不重叠。所以这些木料能密铺。   答：能。因为四边形的内角和是360°，按题图所示的拼法拼接就能填满这个平面，而且无缝隙、不重叠。因此，凡是有着同样大小和形状的任意四边形木块都可用来密铺。 9．（2025四年级下·全国·专题练习）有、、、、这样的图形各两个，你能选出几个图形密铺下面的方格吗？试试看。 【答案】见详解 【思路引导】先观察图形特征，每个图形都是由4个小正方形组成，而需要密铺的方格中有16个小正方形，则需要4个这样的图形进行密铺；再根据图形特征，将要密铺的小图形各边相结合，据此密铺即可。 【规范解答】根据分析可得： （答案不唯一） 10．（2025四年级下·全国·专题练习）甲、乙、丙、丁四人过桥，分别需要1分、2分、5分、10分。因为天黑，必须借助手电筒过桥，可是他们只有一个手电筒，并且桥的载重能力有限，每次最多过两人。现在希望用最短的时间过桥，你来帮他们安排一下吧，最短时间是多少分呢？ 【答案】甲、乙过桥→甲返回→丙、丁过桥→乙返回→甲、乙过桥 2＋1＋10＋2＋2＝17（分） 【思路引导】甲过桥需1分，乙过桥需2分，两人一起过桥以较慢者时间为准，耗时2分；然后甲返回送手电筒，耗时1分，此步骤共耗时3分； 丙过桥需5分，丁过桥需10分，两人一起过桥耗时10分；接着乙返回送手电筒，耗时2分，此步骤共耗时12分； 甲和乙一起过桥耗时2分，此步骤耗时2分，将三步耗时相加，总时间为17分。 【规范解答】 答：按照甲、乙过桥→甲返回→丙、丁过桥→乙返回→甲、乙过桥的顺序，最短时间是17分。 【考点剖析】要使四人过桥时间最短，需让用时短的人多往返送手电筒，减少总耗时。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $