2026年中考数学二轮专题备考预测练：圆与解三角形、相似综合（解答题）

**基本信息** 聚焦圆与解三角形、相似综合解答题，以切线判定、相似计算为核心，通过13道典例系统提炼辅助线添加与多知识点融合方法，构建“性质-判定-计算”逻辑链条，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |切线判定|6题（如1、2、3题）|连半径证垂直（利用圆周角、等腰三角形性质）|圆的性质（直径、弧中点）→切线判定定理→垂直关系推导| |长度计算|8题（如2、4、5题）|相似三角形比例+勾股定理/三角函数|相似判定（AA、SAS）→比例线段→解直角三角形（三角函数定义）| |综合应用|3题（如6、12、13题）|面积转化+动态问题分类讨论|圆与四边形综合→阴影面积计算→实际问题建模（视角最大问题）|

2026年中考数学二轮专题备考预测练： 圆与解三角形、相似综合（解答题) 1.如图，是00的直径，△1BD内接于o0,取D的中点C,连接D、C8,这点C作 CF∥AD,交BD的延长线于点F,且CD=6,CB=8. B (1)判断CF与⊙O的位置关系，并说明理由： (2)求cos∠BAD的值. 2.如图，△ABC内接于OO,AB是⊙O的直径，点E在圆上，且BC=CE,过点C作CD⊥AE, 垂足为点D,DC与AB的延长线相交于点F. D (I)求证：DF是⊙O的切线： @法BF=2am∠FCB-,来线段D的长 3.如图，四边形4CD内接TO0,B为O0的直径，点D为C的中点，过点D的直线1交B4 AC 的延长线于点M,交BC的延长线于点N,且∠BNM=90°. B (I)求证：MN是⊙O的切线： (2)当AB=6, sin∠DC4=3 3时，求AM的长. 4.如图，AB是⊙O的直径，点E,F是⊙O上的点且位于直径AB的两侧（点E位于左侧），连接 AE,AF,过点B作⊙O的切线BC分别交AE,AF的延长线于点C,D,若CA=CD B D (I)求证：AF=EF; (2)若CD=10, tan∠AFE=3 ,求BD的长， 5.如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点D为圆心、DC为半径作弧AC,点E在AB上，且 与A、B两点均不重合，点M在AD上，且ME=MD,过点E作EF⊥ME,交BC于点F,连接 DE、MF. D M (I)求证：EF是弧AC所在⊙D的切线； 3 2)当MA=2时，求MF的长. 6.如图，四边形ABCD内接于⊙O,BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E,AD平分∠BDE (1)求证：AE是⊙0的切线： (2)如果AB=6,AE=3,求：阴影部分面积. B C DE 7.如图，在⊙O中，AB是⊙O直径，AB=8,过AO的中点E作AB的垂线交⊙O于点C和点D, P是BC上一动点，连接PA,PB,PC,PD. D 求1C的长度： (2)过点B作圆的切线交线段AP的延长线于点F,求证：FB2=FA·FP 8.如图1，以△ABE的AB边为直径作OO,交AE于点C,交BE于点M,连接CM,AM, MC=MB=2,AM=4. M 图1 图2 (I)判断△ABE的形状，并证明： (2)如图2，过点A作⊙0的切线交CM的延长线于点F,连接EF,若∠BEF=90°，求CF的长. 9.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，延长CA至点D,以AD为直径的⊙O交BA的延长线于点E,过 点E作⊙O的切线交BC的延长线于点F. C D (1)求证：BF=EF: (2)若OA=AB=5,BE=13,求BF的长 10.如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC,CD与⊙O相切于点D,以AD为 直径作⊙O交AB于点E,交BD于点H. (I)求证：AB=AD: (a诺m∠B0C-分DH=5,求0O的半径， 1,知图，△ABC内接于o0(4C<BC）,直径AB=4,点P在BC上.以点4为圆心，以4C长为 半径作弧，交OO于点D,连接CP,PD. D (1)求证：∠CPD=2∠B； (2)如图，连接CD,已知CD=3,为了求sn∠CPD,小明和小丽提出了各自的研究思路.请选择一 种研究思路，求sin∠CPD 4 1 小明的研究思路 小丽的研究思路 连接DO并延长交O0于点F,连接CF,求 记CD交AB于点H,连接OC,求出 出sin∠CFD即可. sin∠AOC即可. 12.如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置.当点B高于人的水平视线DE时，由 远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究发现：当经过A,B两点 的圆与水平视线DE相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时∠APB为最大视角. 0。 视角 B D E 图1 图2 (I)请仅就图2的情形证明∠APB>∠ADB (2)经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角∠APE为60°，点P到塑像的 水平距离PH为6m,求塑像B的高《结果精确到0,1m.参考数据： V3≈1.73 ) 13.如图1，O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OC长为半径的OO与AB相切于点E, 与AC相交于点F,与CD相交于点G. E (图1) (图2) (1)求证：AD与⊙0相切： √2 (2)若正方形ABCD的边长为2，求弦CG的长； (3)如图2，在(2)的条件下，若点M是半径OC上的一动点，过点M作MN⊥OC交⊙0于点N, w=25 当 5时，求FM的长 6 参考答案 1.(1)CF是⊙0的切线，理由见解析 24 (2)25 【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，垂径定理以及求 锐角的余弦值，熟练掌握以上知识是解题的关键： (1)连接CO,证明CF⊥C0,即可得出结论： (2)连接C0:设oC,AD交于点G:由1)可得四边形CGDr是矩形，则CF=GD)D,正 AE 3 朋得出EABDCB得出RA,证明ACDE-A4BE得出CE=2,证明ABDE∽ARCE得出 C示16，进而得出证25，设4=3站：则B=4纸，求得4D- DE 7 DE 7 25，进而根据余弦的定义， 即可求解。 【详解】(1)解：CF是⊙O的切线，理由如下， 如图，连接CO, D :点C是D的中点 CO⊥AD, ,AB是OO的直径， .BF⊥AD .CO∥BF CF∥AD .BF⊥CF ∴.CF⊥C0. 又，C0是圆的半径， .CF是⊙O的切线， (2)解：如图，连接C0,设OC,AD交于点G B 由(1)可得∠CGD=∠GCF=∠F=90° 则四边形CGDF是矩形， CF-GD=1AD 2 .BD=BD ∴.∠BCD=∠BAE 又：点C是D的中点 .1C-CD .∠EBA=∠DBC .∴△EABADCB CD CB ·AEAB .CD=6,CB=8 品 AE3 即AB4, 又：∠BCD=∠BAD,∠ADC=∠ABC ∴.△CDE-△ABE 8 CD CE CE AE 3 ABAE,即CDAB4 .CD=6 e号 .BE=BC-CE=8-9-7 22, ·DLFB,CF⊥FB .ED∥CF .∴.△BDE∽△BCF DE BE :CF BC .DE_2-7 C℉816 DEDE 7 2CF=AD32,设DE=7a,AD=32a,则AE=25a DE 7 E25' AE 3 :AB4,设AE=3k,则AB=4k 3k ·3k=25a’ a= 25 ..AD=96k 25, .'cosA= 96k24 4D_2 AB =4k25 2.(1)见解析 回0-若 【分析】(1)连接OC,根据圆周角定理得出∠BAC=∠CAD,根据等腰三角形的性质得出 ∠BAC=∠ACO,得出∠CAD=∠ACO,证出OC∥AD,根据平行线的性质得出∠OCF=∠D=90°， 9 即可证明； (2)根据圆周角定理得出∠ACB=90°，证明∠BCF=∠AC0=∠OAC=∠DAC,得出 tan∠FCB=tan∠FAC=BC=I FB FC BC 1 AC=2,证明△FBC∽AFCA,即可得FC=FAAC=2,求出FC=4: FO OC FA=8?AB=6:OA=OC=3,证明△FOC△FAD,得出FAAD,即可求解. 【详解】(1)解：连接OC, B E D .BC=CE ∴弧BC=弧CE, .∴∠BAC=∠CAD OA=OC, ∠BAC=∠ACO, .∠CAD=∠ACO. .CC∥AD ∴.∠OCF=∠D=90° DF是OO的切线： (2)解：AB为直径， ∠ACB=90°， .∠BCF+∠OCB=∠OCB+∠ACO, .∠BCF=∠ACO ∴.∠BCF=∠ACO=∠OAC=∠DAC tan∠FCB=tan∠FAC=BC-I AC2 ∠F=∠F, ∴.△FBC∽△FCA 10 FB FC BC 1 FC FA AC2 .FC=4,FA=8,AB=AF-BF=8-2=6,OA=OC=3, :OC∥AD, .△FOC∽△FAD, .Fo_oc FA AD :AD=FA.OC_8x3 24 F02+35· 【点睛】该题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质， 切线的判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点， 3.(1)见解析 (2)6 【分析】(1)连接OD交AC于点H,如图.证明OD⊥AC,可得∠AH0=90°.证明AC∥MN, 进一步解答即可： (2)连接OD交AC于点H,连接BD,如图，证 in∠ABD=sin∠ACD= 3.求解 AD AM MD 1 AD=AB:sin∠ABD=2V5,BD=26·证明△MAD∽△MDB可得BD-MD-MB2: MD=V2AM,MD2=AM:MB.i设AM=x,则2 2x2=x(x+6) ,再进一步解答即可， 【详解】(1)证明：连接OD交AC于点H,如图. M D :点D为4 的中点， 4D-CD 11 .OD⊥AC, .∠AH0=90° AB为圆O的直径， .∠ACB=90° ∠BNM=90°， .AC∥MN, .∠MD0=∠AHO=90°. .OD⊥MN, 又OD是圆O的半径， MN是圆O的切线. (2)解：连接OD交AC于点H,连接BD,如图， M ∠ABD=∠ACD,∠ADB=90°， sin∠ABD=sin∠ACD= 5 3. AB=6, :D=4B-sm∠ABD=6x5=25 3 BD=VAB2-AD=2/6 :点D为C的中点， 4D-CD ∴.∠ACD=∠CAD ∠ACD=∠ABD, 12 ∴.∠CAD=∠ABD AC∥MN, .∠CAD=∠ADM, ∴.∠ABD=∠ADM, 又，∠M=∠M, .△MAD∽△MDB AD AM MD 1 ·BDMD=MB2· MD-AM MD-AM.MB 设AM=x,则 2x2=x(x+6) 解得x=6(不符合题意的根舍去). .AM=6 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数 的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 4.(1)证明见解析 (2)2 【分析】(1)先证∠D+∠DBF=90°，∠ABF+∠DBF=90°，可得∠D=∠ABF,进而导角可得 ∠AEF=∠CAD,即可得证； (2)）证△AEFAADC,得am∠C=tan∠AFE= 4,据此求解即可. 【详解】(1)证明：如图，连接BF, B D CA=CD ∴.∠CAD=∠D :AB是⊙0的直径， ∴.∠AEB=∠AFB=90 13 .∠CEB=∠DFB=90°， .∠D+∠DBF=90°. :BC与OO相切于点B, .AB⊥CD .∠ABC=∠ABD=90°， ∠ABF+∠DBF=90°， ∠D=∠ABF, 又∠CAD=∠D, .∠CAD=∠ABF, :∠AEF与∠ABF所对的弧是同弧， ∠AEF=∠ABF, .∠AEF=∠CAD :AF =EF: (2)解：由(1)可得：∠D=∠CAD=∠AEF, 又'∠EAF=∠DAC, .△AEF∽△ADC, .∠C=∠AFE, :tan∠C=tan∠AFE=3 4, .CA=CD=10. 在Rt△ABC中， 设：AB=3x,BC=4x,则：AC=5x=10, .x=2, BC=8, .BD=CD-BC=10-8=2 【点睛】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等内 容，熟练掌握相关知识是解题的关键 5.(1)见解析 (2)MF=25 6 14 【分析】本题考查切线的判定，全等三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质， 综合运用相关知识是解题的关键。 (I)过点D作DG⊥EF于点G,则∠DGE=∠DAE,由EF⊥ME,得到∠MED+∠DEG=90°，由 ME=MD,得到∠MDE=∠MED,因此∠MED+∠AED=90°，从而∠DEG=∠DEA,进而证得 △4DE≌△ADE(AAS),得到4D=GD,得证结论： 2)由MA求出ME=MD=AD-MA=在RA4E中，AE=MEM二2 MA ME BE二2：证明A4 EAREF得到EBEE,求出EF=3，根据勾股定理在R 中即可求解. 【详解】(I)证明：过点D作DG⊥EF于点G, D G E B .∠DGE=90°， ,在正方形ABCD中，∠DAB=90°， .∠DGE=∠DAE, ,EF⊥ME, ∴.∠MEF=90°，即∠MED+∠DEG=90°， ME =MD, .∴.∠MDE=∠MED, ,∠ADE+∠AED=180°-∠DAB=90°， .∠MED+∠AED=90°， ∴.∠DEG=∠DEA, DEDE, .△ADE≌△ADE(AAS) 15 .AD=GD, ∴.EF是AC所在圆D的切线. (2)解：MM=3 .ME-MD-4D-M4=4-3-5 22 六在R△4ME中，AE=VME2-AMP ∴.BE=AB-AE=4-2=2. .:∠AEM+∠BEF=180°-∠MEF=90°， ∠AEM+∠AME=180°-∠MAE=90°， .∠BEF=∠AME, .∠MAE=∠B=90°. .△AME∽△BEF, 35 小器誓唱寻 2 EF :Ep=10 3’ 在中，+-图 6.(1)见解析(2)4r-65 【分析】(1)连接OA,利用已知首先得出OADE,进而证明OA⊥AE就能得到AE是⊙O的切线： (2)通过证明△BAD一△AD,再利用对应边成比例关系从而求出⊙O半径的长，解直角三角形即 可得到结论 【详解】(1)证明：连接OA, .OA=OD, .∠1=∠2 DA平分∠BDE, .42=∠3 .∠1=∠3 16 ∴.OADE ∴.∠OAE+∠AED=180°， AE⊥CD ∠AED=90°， .∠0AE=90°， 即OA⊥AE 又，点A在⊙0上， .AE是⊙0的切线： (2)解：BD是⊙0的直径， ∴.∠BAD=90° :∠AED=90°， ∴.∠BAD=∠AED, 又，∠2=∠3， .△BAD∽△AED :屈 BD BA BA=6,AE=3, ∴.BD=2AD】 .∠ABD=30°， .∠AOD=60, 由C0s30°=」 AB BD ..BD=4/3 延长AO交BC于H, 则四边形AHCE是矩形， .∠AHC=90°，CH=AE=3, ∴.BC=2CH=6, BC=6=5 .cos∠CBD=BD4V321 ∴.∠CBD=30°， ·∠COD=∠A0D=60.CD=2V3, S第形40c-S.coD-S。AoD 由阴影部分面积= 60rx(2V5 1 .阴影部分面积= -×2-2×二×2V5×3=4π-63. 360 2 B H ) 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性 质，平行线的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键。 4π 7.(1)3 (2)见解析 【分析】此题主要考查圆切线的综合，解题的关键是熟知切线的判定相似三角形的判定和性质， (1)连接OC,AC,根据等边三角形的判定得出△1C AC 是等边三角形，求出心的圆心角度数， AC 进而根据弧长公式求出 的长度， (2)根据相似三角形的判定得出△FBP∽△FAB,再由其性质证明即可. 【详解】(1)解：连接OC,AC, 18 P B 垂直平分 .CE A0 ..AC=OC, 又OA=OC, ∴△ACO是等边三角形， .∠A0C=60°， 又AB=8, 0-=4 60π.4_4π le=180 3 (2)AB是⊙0的直径， ∠APB=90°， :.∠FPB=180°-∠APB=90°， BF是⊙O的切线， FB⊥AB于B点， ∠FBA=∠FPB=90°， :∠F=∠F, △FBPP△FAB, FB FP FA FB' ..FB2=FA-FP. 8.(I)△ABE是等腰三角形，理由见解析 ejcr- 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定等知识点， 19 解题的关键是掌握以上知识点。 (1)根据MC=MB,得出∠BAM=∠CAM,根据圆周角定理得出∠AMB=90°，∠AME=90°， 证出∠ABE=∠AEB,即可得AB=AE,即△ABE是等腰三角形. (2)由《1)得△ABE是等腰三角形，MM1BE,利用勾股定理求得 E=25 ，证明 CE=4 ACEM△BEA,求得 Ac-65 5, 5,再证明△AMC∽△EFC,利用相似三角形的性质列式 计算，即可求解。 【详解】(1)解：△ABE是等腰三角形， 理由如下： MC=MB ..MC=MB ·.∠BAM=∠CAM, AB是⊙O的直径， ∠AMB=90°， .∠AME=180°-90°=90° .∠ABE+∠BAM=90°，∠AEB+∠CAM=90°， ∴∠ABE=∠AEB, ·AB=AE,即△ABE是等腰三角形： (2)解：由(1)得△ABE是等腰三角形，AM⊥BE, :EM=BM=2, .AM=4, :AB=AE=V22+42=2W5 四边形ABMC是圆内接四边形， .∠ECM=∠B ∠CEM=∠BEA, ÷.△CEM△BEA, 20 EM CE 2 CE ·AEBE,即2V52+2, .CE=4V5 5, AC=AE-CE=6 5, ∠BEF=90°.∠AMB=90°， AM∥EF, ·.△AMC∽△EFC, 65 5 2 ACCM,即4V5CF, CE CF 5 4 ..CF= 3· 9.(1)见解析 (2)6p=65 6 【分析】本题考查了切线的判定与性质，等边对等角，垂径定理，全等三角形的判定与性质以及勾 股定理等知识，掌握切线的判定与性质是解答本题的关键 (1)连接OE,根据OE=OA,可得∠OEA=∠OAE,由∠CAB=∠OAE得LOEA=∠CAB,由切线 的性质和垂直的定义可得∠OEA+∠BEF=90°，∠B+∠CAB=90°，故可得∠B=∠BEF,从而可证明 BF=EF: (2)连接OF,DE,由勾股定理得出DE=6,证明△ABC一△ADE,求出AC=4,BC=3,得 OC=OA+AC=9;设BF=EF=x,即FC=BF-BC=x-3,在Rt△OEF和Rt△OCF中，有 0F2=0E2+EF2,0F2=0C2+CF2,即 n52+x2=92+(x-3)月 ,解方程即可求解。 【详解】(1)证明：连接OE,如图， 21 .OE=0A, .∠OEA=∠OAE, 又∠CAB=∠OAE, .∠OEA=∠CAB, ,EF是⊙O的切线， OE⊥EF, .OEF=90°， ∴.∠OEA+∠AEF=90°， :∠ACB=90°， .∠CAB+∠B=90°， .∠OEA+∠B=90°， .∠B=LBEF, .BF=EF (2)解：连接OF,DE,如图， AB是直径， .∠AED=90°， BE=13,OA=AB=5, .AE=BE-AB=13-5=8,AD=10, 由勾股定理得， DE=AD2-AE2=6 ·∠ACB=∠AED=90°，∠CAB=∠EAD △ABC~△ADE, 22 AC BC AB AC BC 5 AE=DE=AD,即8=6=10 AC=4,BC=3、 ∴.OC=OA+AC=9, 设BF=EF=x,即FC=BF-BC=x-3, 在Rt△OEF中，有OF2=OE2+EF2, 在Rt△OCF中，有OF2=OC2+CF2, .OE2+EF2=OC2+CF2 即52+r=92+(x-3} 解得：x5 6 .'.BF=65 6… 10.(1)详见解析 (②)o0的半径为2 【分析】(I)根据角平分线的定义得到∠CBD=∠DBE,由切线的性质证明∠ADB=∠DBC,进一 步即可得到结论： (②)选接Ah,得到∠HD=90,进面得出∠DH=∠CDB,得到m∠DM-明 ΓAH2,根据勾 股定理得到AD=5,即可得到答案 【详解】(1)证明：BD平分∠ABC, ∴.∠CBD=∠DBE :CD为⊙O的切线， AD⊥CD,∠ADC=90° ∠ADB+∠BDC=90° Rt△BCD中，∠DBC+∠CDB=90°， 23 .∠ADB=∠DBC, .∠ADB=∠ABD, .AB=AD (2)解：连接AH, D 为直径， E B AD .∠AHD=90° ,∠C=∠ADC=90° ∠ADH+∠CDB=∠ADH+∠DAH=90°， .∠DAH=∠CDB 1 tan∠BDC= 2 .tan∠DAH= DH 1 AH 2, .DH=5 AH=25 .AD=AH2+DH2=5 ⊙0的半径为2 【点睛】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，三角函数的定义，正确的作 辅助线是解题的关键. 11.(1)见解析 4 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，弦的定义等知识，解题的关键是作出辅助线，熟练掌 握相关的判定和性质. 24 1 (1)连接BD'根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出∠ABC=∠ABD= ∠CBD,根据圆周角定 2 理得出∠CPD=∠CBD=2LABC: (2)小明的研究思路：在Rt△CDF中，求出sin∠CFD,根据圆周角定理得出∠CPD=∠CFD,即可 求解： 小丽的研究思路：由(1)可得C=AD:根据垂径定理得出CH1AB,CH=)CD=? 2 2.在 Rt△COH中，求出sin∠COH,根据等边对等角、三角形的外角的性质以及圆周角定理可得 ∠COH=2∠CBA=∠CPD,即可求解. 【详解】(1)解：如图，连接BD, D AC=AD 根据作图可知： A∠ABC=∠ABD=∠CBD ∴.∠CPD=LCBD=2∠ABC: (2)解：①选择小明的研究思路，如图2， 是直径， D 图2 .DE ∠FCD=90°. :在Rt△CDF中，sin∠CFD=CD=3 DF-4· :∠CPD=∠CFD, 25 ÷sin∠CPD=sin∠CFD=3 ②选择小丽的研究思路，如图3， D 图3 由(1)可得1C-D .CH L AB.CH=ICD=3 2 2· sin∠coH=CH-CH_3 在 中， CO 1 .Rt△COH AB 4 2 .CO=BO ·∠COH=2∠CBA=∠CPD sin∠CPD=sin/COH=3 · 12.(1)见解析 (2)塑像AB的高约为6.9m 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是： (1)连接BM,根据圆周角定理得出∠AMB=∠APB,根据三角形外角的性质得出∠AMB>∠ADB, 然后等量代换即可得证： (2)在Rt△AHP中，利用正切的定义求出AH,在Rt△BHP中，利用正切的定义求出BH,即可求 解。 【详解】(1)证明：如图，连接BM, 26 ←---- H D --E 则∠AMB=∠APB. ,∠AMB>∠ADB, .∠APB>∠ADB (2)解：在Rt△AHP中，∠APH=60°，PH=6. :tan∠APH=H PH 4H=PHtan60-6x-6 ∠APB=30°， ∴.∠BPH=∠APH-∠APB=60°-30°=30° 在R△BHD中，tan∠BPH=BH PH' :BH=PH.tam30°=6x 2=25 3 :4B=4H-BH=65-23=45≈4×1.73≈6.9(m) 答：塑像AB的高约为6.9m. 13.(1)证明见解析 8 3)5 【分析】(1)连结OE,过O作OH⊥AD,垂足为H,根据切线的性质OE⊥AE,根据正方形的 性质和等边对等角可求出∠BAC=45°，进而求出∠E0A=45°，根据等角对等边得出AE=E0,则 可得出四边形AEOH为正方形，得出OH=OE=r,然后根据切线的判断即可得证： 27 (2)延长EO交CD于点K,证明OK⊥CG,可求出∠OCK=∠EA0=45°，根据等角对等边和垂 OK= -OC 5,=l+ 径定理可得出 2 根据勾股定理求出 2 令E0=0C=r,则+ 2, 解方程，即可求解： (3)连结FN,证明aNCM∽AFCW,可求出MC= 5,即可求解. 【详解】(1)证明：连结OE,过O作OH⊥AD,垂足为H, H E 与 相切于点， B :⊙OAB E .OE⊥AE, :正方形ABCD ∠EAD=∠B=90°，AB=BC, .∠BAC=45°， .∠E0A=45°， .AE=EO, ∴四边形AEOH为正方形， ..OH=OE =r, AD与⊙O相切： (2)解：延长EO交CD于点K, H 正方形 ABCD 28 .ABII CD .∠0KD=180°-∠AE0=180°-90°=90°， .OK⊥CG, ∠0CK=∠EA0=45°， OK=1CG 2 OK-oc .在RtACKO中， 2 令E0=OC=r, 2 r=1+ 2 2, .r=1, .CG=20K=V2 (3)解：连结FN, D G 为直径， .FC ∴.∠FNC=90°FC=2 NM⊥FC, .∠NMC=90°， 又：∠NCM=∠FCN, 在△NCM与△FCN中， [∠NCM=∠FCN ∠NMC=∠FNC, 20 △NCMFCN, NC CM .FC CN, ∴.NC2=CM.FC 25 5 ∴.MC= 2 5 FM=2-2=8 55 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂 径定理，相似三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键. 30