专题02 四边形22大题型（期末复习知识清单）八年级数学下学期新教材苏科版

专题02 四边形 平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形。​ 性质：1）对边平行且相等；2) 对角相等、邻角互补；3) 对角线互相平分；4) 是中心对称图形。 判定（5种）：1）两组对边分别平行；2) 两组对边分别相等；3) 一组对边平行且相等；4) 两组对角分别相等；5) 对角线互相平分。​ 计算：周长= 2（邻边和）；面积=底×高（高为底边上的垂线段）。​ 辅助性质：平行线间的距离处处相等。​ 特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）​ （1）矩形​ 定义：有一个角是直角的平行四边形。​ 性质（平行四边形性质+特有）：1）四角均为90 ∘；2) 对角线相等且互相平分；3) 既是中心对称图形，也是轴对称图形。 判定：1）平行四边形+一个直角；2) 平行四边形+对角线相等；3) 三个角是直角的四边形。 关联性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。 计算：周长= 2（长+宽）；面积=长×宽。​ （2）菱形​ 定义：有一组邻边相等的平行四边形。​ 性质（平行四边形性质+特有）：1）四边相等；2) 对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；3) 既是中心对称图形，也是轴对称图形。​ 判定：1）平行四边形+邻边相等；2) 平行四边形+对角线垂直；3) 四边相等的四边形。​ 计算：周长= 4×边长；面积=底×高或1/2×对角线乘积。​ （3）正方形​ 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形（兼具矩形与菱形性质）。​ 性质（矩形 + 菱形全部性质）：1）四边相等、四角90 ∘；2) 对角线相等且互相垂直平分，平分一组对角；3) 既是中心对称图形，也是轴对称图形。​ 判定（3类思路）：1）平行四边形+邻边相等+一个直角；2) 矩形+邻边相等；3) 菱形+一个直角。​ 计算：周长= 4×边长；面积=边长²或1/2×对角线乘积。​ 三角形中位线​ 定义：连接三角形两边中点的线段（一个三角形共3条中位线）。​ 中位线定理：平行于第三边，且长度等于第三边的一半。​ 应用：求线段长度、证明直线平行、构造平行四边形。​ 梯形​ 定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。​ 分类：1）等腰梯形：两腰相等的梯形；2) 直角梯形：有一个角是直角的梯形。​ 等腰梯形性质：1）两腰相等；2) 同一底上的两个角相等；3) 对角线相等；4) 是轴对称图形。​ 等腰梯形判定：1）两腰相等的梯形；2) 同一底上两个角相等的梯形；3) 对角线相等的梯形。​ 梯形常用辅助线：平移一腰、作高、延长两腰、平移对角线（转化为三角形或平行四边形求解）。​ 中点四边形​ 定义：顺次连接四边形各边中点得到的四边形。​ 形状判定（由原四边形对角线决定）：​ 1）原四边形对角线无特殊关系→平行四边形；2) 对角线相等→菱形；3) 对角线垂直→矩形；4) 对角线相等且垂直→正方形。​ 利用平行四边形的性质求解 【例1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，利用平行四边形对角相等的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 【变式1-1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在平行四边形中，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形对角相等、邻角互补的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，平行四边形的对角线交于点O，若，，，则的周长为（   ） A．26 B．35 C．40 D．52 【答案】B 【分析】根据平行四边形的对边相等，对角线互相平分的性质即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， 的周长为． 【变式1-3】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点O，，，，过点O作，分别交于点E、F，则的长度为_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的定义，垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点作，连接，得证是等腰直角三角形，结合勾股定理得，，又因为平行四边形的性质以及，故是的垂直平分线，得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：过点作，连接，如图所示： ∵，， ∴是等腰直角三角形， 则， ∴， 解得， 即， ∴， ∵平行四边形的对角线相交于点O， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 即， 在中，， ∴， 解得． 利用平行四边形的性质证明 【例2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在平行四边形中，是边上的中点，连接并延长交的延长线于点，证明：． 【答案】见解析 【分析】平行四边形的性质，得到，证明，得到，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵是边的中点， ∴， 又∵， ∴； ∴， ∴． 【变式2-1】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，点E、F分别在、上，交于点．求证． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质，易证，得出，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，， ． 在和中， ， ， ， ， ． 【变式2-2】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，点E、F分别为延长线上的点，且，连接，分别与相交于点G、H．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据平行四边形的性质得,可得，再证明，然后根据“角角边”证明结论即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形 , ． ， ，即． 在与中 ． 【变式2-3】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据，得到，根据即可证明． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ． ，， ． 在和中， ． 判断能否构成平行四边形 【例3】（25-26八年级下·江苏无锡·阶段检测）依据图中所标数据，能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理分别判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴一组对边平行，另一组对边不平行， ∴图中的四边形不一定是平行四边形，故A不符合题意； B、∵，， ∴一组对边平行，另一组对边相等， ∴图中的四边形不一定是平行四边形，故B不符合题意； C、∵，， ∴一组对边平行且相等， ∴图中的四边形是平行四边形，故C符合题意； D、∵， ∴一组对边相等， ∴图中的四边形不一定是平行四边形，故D不符合题意． 【变式3-1】（2026八年级下·江苏·专题练习）在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定方法逐项判断即可作答． 【详解】解：A、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； B、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； C、，，四边形为平行四边形，故本项符合题意； D、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； 故选：C． 【变式3-2】（25-26八年级下·湖北襄阳·阶段检测）下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可． 【详解】解：A.，则，， ，， ，但， 与不平行，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； B.，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； C.，，两组对边分别相等，可以判定四边形为平行四边形，故本项符合题意； D.，，且，可得， ，只有一组对边平行，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意． 故选：C． 【变式3-3】（25-26八年级下·江苏南京·期中）已知四边形的对角线，相交于点．下列条件：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．①③④ B．①③⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理逐个分析判断即可求解． 【详解】解：①，，符合“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定定理，故①可判定四边形是平行四边形； ②，，四边形可能为等腰梯形，无法判定是平行四边形，故②不能判定四边形是平行四边形； ③ ，， 符合“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理，故③可判定四边形是平行四边形； ④仅，，无法证明对边平行或相等，也无法证明对角线互相平分，故④不能判定四边形是平行四边形； ⑤因为，所以，又因为，，所以 ，得，符合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，故 ⑤可判定四边形是平行四边形； 综上，可判定的条件是①③⑤． 平行四边形的判定 【例4】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，是直线外一点，在上取两点，，连接，分别以点，为圆心，以，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形，依据是：_________的四边形是平行四边形． 【答案】两组对边分别相等 【分析】根据平行四边形的判定方法，得出答案即可． 【详解】解：根据作图可知：，， 因此根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可以判定四边形是平行四边形． 【变式4-1】（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)连接、，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由得到，由得到，从而根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得到，，得出，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：如图， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【变式4-2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，四边形中，对角线相交于点O，点E、F分别在上，已知，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，即可证明； （2）可证明，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证明结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 利用矩形的性质求解 【例5】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可知，结合，可证明四边形是平行四边形，所以，所以，再根据矩形的性质证明，可得，即可求得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ． 【变式5-1】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，，则矩形的面积为______ ．    【答案】 【分析】结合矩形性质得，再根据含的直角三角形特征可得，再结合勾股定理求出即可求出矩形的面积． 【详解】解：矩形中，，，， ， ， ， ． 【变式5-2】（25-26八年级下·江苏·期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作 ，分别交、于点、，连接、．若图中阴影部分的面积为8，则的值为（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】由矩形的性质可证明，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：过点作，交于点，交于点， ∵四边形是矩形，且 ∴四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，，， ∵， ， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴． 【变式5-3】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，点在的延长线上，，连接，是的中点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交延长线于点，利用平行线+中点模型构造全等三角形，可得，从而可得，，再利用勾股定理在求出即可解题． 【详解】解：延长交延长线于点， ∵矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ 利用菱形的性质求解 【例6】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，．若，则的长是（   ） A．3 B．5 C．6 D．12 【答案】C 【分析】根据菱形的性质可得，则可证明是等边三角形，即可得到． 【详解】解：∵四边形是菱形，且， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【变式6-1】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，菱形的边长是5，对角线的长是8，，垂足为E，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．9.6 【答案】C 【分析】先根据菱形的性质和勾股定理求出另一条对角线的长，再利用菱形面积的两种计算方法（底乘高和对角线乘积的一半）建立等式求解． 【详解】解：连接与交于点， 四边形是菱形， ，，， ∴在中， ， ， ，， ， ． 【变式6-2】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为___________． 【答案】 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可解答． 【详解】解：∵菱形中，，， ∴菱形的面积为． 【变式6-3】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点是的中点，过点作交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，易得垂直平分，进而得到，根据菱形的性质，得到，进而得到，得到即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵菱形， ∴，垂直平分， ∴， ∵点在上， ∴， ∵为中点，且， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 利用正方形的性质求解 【例7】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，四边形是正方形，以为边在正方形内部作等边，连接，则______． 【答案】75 【分析】根据正方形的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，，所以，，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，即可求得答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， 解得． 【变式7-1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）两个正方形按如图所示位置摆放，若，则_______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质和角之间的关系，计算即可求解． 【详解】解：如图， 两个正方形， ，， ， ， ， ． 【变式7-2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是_______． 【答案】 【分析】连接、，根据正方形的性质和勾股定理求出、，并判断出是直角三角形，再利用勾股定理求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：如图，连接、． ∵正方形和正方形中， ∴， ． ． ． 所以，． 所以，是直角三角形． 由勾股定理得． 因为是的中点， 所以． 【变式7-3】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据旋转的性质，可得，结合正方形的性质证明，则两个正方形重叠部分的面积等于，即正方形面积的四分之一，已知正方形的边长，可据此求出重叠部分的面积． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 根据旋转的性质，， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积 四边形中的线段最值问题 【例8】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）已知菱形的边长为2，且，M是对角线上一动点，的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，交于点，如图，过点作的垂线，垂足为，连接，求得，，推出，当共线时，最小，然后用勾股定理算得即可． 【详解】解：连接，交于点，如图，过点作的垂线，垂足为，连接， ∵菱形的边长为2， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是对角线上一动点，，， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴当共线时，最小，最小值为， 此时， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【变式8-1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在边长为2的正方形中，若，分别是，边上的动点，，与交于点，连接，则的最小值为___________ 【答案】/ 【分析】根据正方形的性质可得，得到，取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，点到点的距离不变，再根据两点之间线段最短得，当点，，三点共线时最小，利用勾股定理求解即可； 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ，即， 取的中点，连接，， ， ， ， 当点，，三点共线时，取最小为， 的最小值为． 【变式8-2】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接，则四边形周长的最小值为（　　） A． B． C．10 D．12 【答案】D 【分析】如图：延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图：延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴四边形周长， 根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值． ∵E为边长是4的正方形的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形周长的最小值为． 【变式8-3】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，对角线、相交于点O，，P为上的一点，，则的长度为____；若M为上一动点，连接并将线段绕点C顺时针旋转得，连接，则的最小值为____． 【答案】 【分析】过P作于G，延长使，作直线，延长交于Q， 过D作于E，连接，交于H，根据正方形的性质和勾股定理即可求出；设，则，根据求出，证明，可得，则点N在直线上运动，当时，的值最小，再证明可得，即可得解． 【详解】解：过P作于G，延长使，作直线，延长交于Q， 过D作于E，连接交于H， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ，即， ， 线段绕点C顺时针旋转得， ， ， ， ， ， 点N在直线上运动， 过D作， 当时，的值最小， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 中点四边形 【例9】（25-26八年级下·江苏常州·期中）顺次连接对角线互相垂直的四边形的四条边的中点，得到的四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】先根据题意作图，再结合中位线的性质，得证四边形是平行四边形，结合对角线互相垂直，证明有一个直角的平行四边形是矩形，即可作答． 【详解】解：如图：，分别是边上的中点，连接，设交于点，交于点， ∵分别是边上的中点， ∴，分别是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， 同理， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴四边形是矩形，即得到的四边形一定是矩形． 【变式9-1】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形中，分别是，，，的中点，要使四边形是菱形，四边形应满足的条件是______． 【答案】 【分析】 本题考查了菱形的性质和判定，中位线定理，利用三角形中位线定理证得四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定定理，由邻边相等推导出原四边形对角线的关系即可． 【详解】解：连接，，如图所示， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∵，分别是，的中点 ∴是的中位线 ∴ 当时 ∴ ∴平行四边形是菱形． ∴当时,四边形是菱形． 【变式9-2】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是矩形，需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理可得且，且，且，且，易证四边形为平行四边形，再由矩形的判定，即可求解． 【详解】解：、、、分别是线段、、、的中点， ∴在中，为的中位线， 且；同理且，且，且， 则且，且， ∴四边形为平行四边形， 要使四边形是矩形，则需，即， ，， 当时，，此时四边形是矩形． 直角梯形 【例10】（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列长度的四条线段首尾依次相连能组成直角梯形的是（   ） A．3，4，5，12 B．4，4，4，8 C．4，4，5，7 D．4，5，5，10 【答案】C 【分析】根据直角梯形的性质，平移斜腰可将直角梯形分为一个矩形和一个直角三角形，利用勾股定理验证三边关系即可判断． 【详解】解：∵直角梯形平移斜腰后，可得到一个直角三角形，直角三角形的两条直角边分别为梯形的高和两底的差，斜边为梯形的斜腰，满足勾股定理， 对选项C，取梯形两底为和，则两底差为，垂直于两底的腰长为，斜腰长为， ∵，符合勾股定理， ∴能构成直角三角形，即原四条线段能组成直角梯形， 其余选项均不满足该关系． 【变式10-1】（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，则梯形的面积为________． 【答案】12 【分析】根据梯形面积公式求解即可． 【详解】解：∵在直角梯形中，，，，， ∴梯形的面积为： ． 【变式10-2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）一个高为的直角梯形面积是70，若该梯形的上底增加，它就变成一个矩形，则梯形的下底是__________． 【答案】17 【分析】根据题意可知，该直角梯形的下底比上底长，结合梯形面积公式建立方程，即可求解下底的长度． 【详解】设梯形的下底为， 因为上底增加后梯形变为矩形，矩形对边相等， 因此梯形上底为， 已知梯形的高，面积， ∴， 解得， 故梯形的下底是． 【变式10-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的有_____．（填序号） ①有两个直角的四边形是直角梯形；②两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形；③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形；④等腰梯形是轴对称图形． 【答案】②④ 【分析】此题主要考查了直角梯形、等腰梯形的定义和性质，熟练掌握梯形的性质是解题的关键．根据梯形的定义和性质逐一判断各说法是否正确． 【详解】解：①有两个直角的四边形不一定是直角梯形，因为可能没有一组对边平行，不符合梯形定义；②两条对角线相等的梯形是等腰梯形，这是等腰梯形的判定定理，正确；③梯形包括直角梯形、等腰梯形和一般梯形，不能仅分为两种，错误；④等腰梯形有一条对称轴，是轴对称图形，正确． 故答案为②④． 等腰梯形 【例11】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在等腰梯形中，，，，求___________． 【答案】 【分析】首先设，由，，可求得，，然后由，可得方程：，解此方程即可求得答案． 【详解】解：设， ∵等腰梯形中，，， ． ． ， ． ∵等腰梯形中，， ． ∵在中，， ， ， 解得， ． 【变式11-1】（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，在等腰梯形中，，，，与交于点，，，则此梯形的面积为______． 【答案】9 【分析】过点C作，交的延长线于点E，证明四边形是平行四边形，可得，证明，，由勾股定理推出，再根据列式求解即可． 【详解】解：过点C作，交的延长线于点E， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在等腰梯形中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴ ． 【变式11-2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在梯形中，，E，F是下底上的两点，．连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明梯形是等腰梯形，再证明，即可求证． 【详解】证明：∵梯形中，， ∴梯形是等腰梯形， ∴， ∵ ∴ ∴． 【变式11-3】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，已知在四边形中，，，，，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】（1）证明梯形的两个底角相等，、不平行，即可得到结论； （2）作于点 ，于点，根据直角三角形的性质以及平行四边形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是梯形， ∵， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴、不平行， 梯形是等腰梯形． （2）解：作于点 ，于点， ∵四边形是等腰梯形 ∴ ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴． 1. 概念与定理类​ ❌混淆“性质”与“判定”：用性质代替判定（如已知矩形，却用“对角线相等”反过来证矩形）。 ❌判定特殊四边形逻辑不完整：如证矩形时，只证“对角线相等”，未先证是平行四边形；证正方形时，跳过矩形/菱形直接判定。​ ❌误用平行四边形判定定理：将“一组对边平行，另一组对边相等”当作平行四边形判定。 ❌三角形中位线记忆错误：只记“平行”，漏记“长度是第三边的一半”；或混淆“中位线”与“中线”。​ ❌中点四边形判断出错：误以为由原四边形形状决定，忽略“对角线” 的关键作用。 ❌梯形概念混淆：误将 “有一组对边平行” 的四边形当作梯形（忽略“另一组对边不平行”的条件）。​ 2. 性质应用类​ ❌混用特殊四边形专属性质：如把菱形的 “对角线垂直” 用到矩形上，把矩形的 “对角线相等” 用到菱形上。 ❌菱形面积计算单一：只记得“底×高”，忘记“对角线乘积的一半”（尤其对角线垂直时优先用后者）。​ ❌忽略正方形的双重属性：解题时只用到矩形性质，遗漏菱形性质（或反之），导致条件不足。​ ❌等腰梯形性质误用：将“同一底上的角相等”错记为“所有角相等”，或忽略“对角线相等”的特有性质。​ 3. 计算与证明类​ ❌折叠问题漏用隐含条件：折叠前后对应边、对应角相等，对角线被折叠线垂直平分等条件未挖掘。​ ❌证明题条件缺失：如证明平行四边形时，只写“AB∥CD，AD=BC”，未注明“AB=CD，AD∥BC”或“一组对边平行且相等”，逻辑不严谨。​ ❌动点问题忽略取值范围：未根据四边形边长、顶点位置限定动点移动的区间，导致答案多解或错解。​ ❌对角线相关计算失误：菱形、正方形中，对角线垂直平分，计算边长时未用勾股定理。​ ❌梯形辅助线添加错误：不会通过辅助线转化图形，导致无法利用平行四边形或三角形性质求解。​ 4. 图形识别类​ ❌误将“菱形”当作“正方形”（忽略 “有一个直角” 的条件），或误将“矩形”当作“正方形”（忽略“邻边相等”的条件）。​ ❌混淆 “中心对称图形” 与 “轴对称图形”。​ ❌等腰梯形与直角梯形识别错误：忽略等腰梯形“两腰相等”、直角梯形“有一个直角”的核心特征。 平行四边形的判定与性质综合 【例12】（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，在梯形中，，则_____． 【答案】11 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．因为，所以四边形是平行四边形，则，由，，得，所以，推导出，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式12-1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在梯形中，，，若，，则此梯形的周长为______． 【答案】24 【分析】如图，过点D作交BC于点E，证明四边形是平行四边形，得到，，，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点D作交BC于点E， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴ ∴梯形的周长． 【变式12-2】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且，则下列为定值的是（    ） A．线段的长 B．的度数 C．四边形的周长 D．四边形的面积 【答案】D 【分析】利用平行四边形的判定与性质，分析四边形各边、角、面积等是否为定值，重点关注面积能否通过转化为平行四边形面积的一部分来判断． 【详解】解：连接， 在中，，分别为，中点， 且，，， 且， 四边形是平行四边形， 同理可证四边形是平行四边形， ∵与的面积分别为与面积的一半， 又四边形的面积， 四边形的面积始终为面积的一半，是定值． 选项A：长度随、移动改变； 选项B：随位置改变； 选项C：、等边长随、移动变化，周长不定； 综上，四边形的面积是定值，故选项D符合题意． 【变式12-3】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若．则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，过点作交于，交于，由是平行四边形可得，；进而得到四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及三角形面积间的关系即可解答． 【详解】解：如图，过点作交于，交于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，， ∵ ， ， ． 矩形的判定与性质综合 【例13】（2026·江苏南京·一模）如图，在中，点、分别在、上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若平分，，，则的长为_____． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先求出，，证出四边形是平行四边形，再结合即可得证． （）由（）知四边形 是矩形，得到，由角平分线的性质得到，结合平行线的性质得到，求出长，再通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∴； ∵， ∴ 四边形是平行四边形； ∵，即， ∴ 平行四边形是矩形． （2）解：如图， ∵，， 在 中，， 由（）知四边形 是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 【变式13-1】（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，过点作于点，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，则______． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（）由，可得，可得，结合，可得四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是矩形； （）在菱形中，，可得，在中，利用勾股定理列式即可求解． 【详解】（1）证明：在菱形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∴平行四边形是矩形； （2）解：在菱形中，， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∵， ∴在中，， 解得． 【变式13-2】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点O，． (1)求证：平行四边形是矩形． (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1） 由，得到，再由平行四边形性质推出，则可证明平行四边形是矩形． （2）由题意，证明是等边三角形，则可求． 【详解】（1）证明： ∵四边形为平行四边形 ∴， 平行四边形ABCD是矩形； （2）∵， ∴， ， ， 是等边三角形， ． 【变式13-3】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，点是菱形的对角线和的交点，过点C作，过点D作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】（1）由菱形的性质，得，由，，先证四边形为平行四边形，结合，即可证出四边形是矩形； （2）由菱形的性质，得，，由勾股定理得，结合矩形的性质，得，可得出的长． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形，、为对角线， ∴，，， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形． （2）解：∵，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 故的长为． 矩形折叠问题 【例14】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，在矩形中，分别在上，沿将矩形折叠，如果点恰好与点重合，那么的长为__________． 【答案】 【分析】先推导出，由折叠，得，再根据勾股定理，得到，即，求出或（不符合题意，舍去），即可解答． 【详解】解：在矩形中，， 由折叠，得 ， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）． 【变式14-1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由矩形的性质可得，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，从而得出，即可得证； （2）由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为矩形， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 【变式14-2】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，有一张矩形纸片，，．过点B折叠该纸片，折痕为，使点A落在上的H处，求的长． 【答案】3 【分析】先由勾股定理求出，再由折叠的性质得，，，，即可求，设，则，然后由勾股定理得，即可得关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：∵是矩形， ∴， ∴， 由折叠得，，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即． 【变式14-3】（25-26八年级下·江苏南通·期中）在矩形中，，，将其沿折叠，点，分别落到点与点处，恰好点在上，且，则线段的长度为（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】设，证明，推出，求得，推出． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 由折叠的性质知， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 菱形的判定与性质综合 【例15】（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形中，若，，则四边形面积为_____． 【答案】24 【分析】过点A作于点E，过点A作于点F，设交于点，证明四边形为菱形，利用菱形的性质和勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】解：过点A作于点E，过点A作于点F，设交于点， 由题意，得：，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴． 【变式15-1】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． (1)求证∶四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，继而得到四边形是平行四边形，证明即可； （2）根据勾股定理，得到，设，得到 ，解方程求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是菱形； （2）解： 四边形是菱形，，， ，，，， ， ， 设， ， ， ， 解得． 【变式15-2】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，根据平行四边形的性质可得，推出，得到，进而得，即可得证； （2）根据菱形的性质可得，证明四边形是矩形，根据矩形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：平分， ． 四边形是平行四边形， ∴， ． ， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形， ， ． ∵，， 四边形是平行四边形． 四边形是矩形． ． 【变式15-3】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用矩形性质和线段垂直平分线的性质，证明四边形是平行四边形，再结合邻边相等的条件，证明其为菱形． （2）设菱形边长为，在中利用勾股定理求出边长，再用底×高计算菱形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ∴（）， ∴ ∵，， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是菱形． （2）解：设菱形的边长为，则， ∵， ∴ ∵四边形是矩形， ∴ 在中，由勾股定理得： ，即， 解得． ∴， ∴菱形的面积：． 正方形的判定与性质综合 【例16】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，在正方形中，点是上一点，过点作交于点，连接，若，则的度数是________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】过点作于于，根据全等三角形的判定定理结合正方形的性质证得，得到，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可得到答案． 【详解】解：过点作于于，如图所示： ∵四边形是正方形， ， ∴四边形是矩形，， ，四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【变式16-1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，的平分线交于点D，， (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定，正方形的性质与判定，等角对等边，熟知菱形的判定定理和正方形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由平行线的性质和角平分线的定义推出，则可得到，据此可得结论； （2）可证明四边形是正方形，再根据正方形对角线相等，且正方形的面积等于其对角线乘积的一半可得答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ，， 四边形是平行四边形． 平分 ． ， ， ， ， 平行四边形是菱形． （2）解：如图所示，连接， 由（1）可知，四边形是菱形． ，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 【变式16-2】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接、，交于G，以下结论正确的有（填序号）．____________ ①；②；③；④为定值． 【答案】①② 【分析】①运用正方形的性质与判定得，再证明可得结论；③将绕点A顺时针旋转得到，证明 ，再结合三边关系，得；②将绕点A顺时针旋转得到，利用全等三角形的性质证明即可；④由，推出，因为的长度是变化的，故的面积不是定值． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴ 分别过点作，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 则， 即， ∵， ∴， ∴， 故①符合题意， 由①得 ∵ ∴是等腰直角三角形，， 将绕点A顺时针旋转得到，如图所示： ∴，， 则 即 ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故③是不符合题意； 将绕点A顺时针旋转得到， ∵，， ∴， ∴C，B，M共线， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 则， ∴， 故②符合题意， ∵， ∴， ∵的长度是变化的， ∴的面积不是定值， 故④不符合题意． 正方形折叠问题 【例17】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，四边形为正方形，点是的中点，将正方形沿折叠，得到点的对应点为点，延长交线段于点，若，求的长． 【答案】2 【分析】此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握相关性质是解题的关键． 连接，由正方形的性质得，，由点是的中点，得，由折叠得，，，则，，可证明，则，根据勾股定理列方程得，求得． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ，， ∵点是的中点， ， 由折叠得，，， ，， 在和中， ， ， ， ，， ， ，解得， 的长度为2． 【变式17-1】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，，则的长是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，结合正方形的性质和折叠的性质证明，即可解题； （2）设，则，结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴， 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【变式17-2】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，正方形的边长为4，点E为的中点，连接，将沿折叠，点A的对应点为F．连接，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，折叠的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质和判定．连接交于点O，过点F作交于点M，交于点N，根据勾股定理求出，根据折叠得出，根据勾股定理得出，求出，最后根据矩形的判定和性质，勾股定理求出结果即可． 【详解】解：如图，连接交于点O，则，过点F作交于点M，交于点N， ∵， ∴， ∵，点E是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （特殊）平行四边形的动点问题 【例18】（25-26八年级上·全国·单元复习）如图所示，在四边形中，，，，点从点向点以的速度运动，到点即停止点从点向点以的速度运动，到点即停止直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形，已知，两点同时出发，则几秒后所截得的两个四边形中，有一个为平行四边形 【答案】或 【分析】本题主要考查了与平行四边形有关的动点问题，结合平行四边形的性质准确分析计算是解题的关键． 若四边形是平行四边形，则，进而求出运动的时间 若四边形是平行四边形，则，进而求出运动的时间． 【详解】解：设后，四边形或四边形是平行四边形， 根据题意可得，，，，若四边形是平行四边形，则， ，解得：， 后四边形是平行四边形． 若四边形是平行四边形，则， ，解得：， 后四边形是平行四边形． 综上所述，或后，两个四边形中有一个是平行四边形． 【变式18-1】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在四边形中，，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论中：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或．正确的是______（填序号） 【答案】④ 【分析】用含t的式子表示出，，，的长度，当四边形为矩形时，根据列方程；当四边形为平行四边形时，根据列方程；当时分两种情况：一是四边形为平行四边形，二是四边形为等腰梯形，分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， ，， 当四边形为矩形时，， 即， 解得，故①错误； 当四边形为平行四边形时，， 即， 解得，故②错误； 当时分两种情况： 当四边形为平行四边形时，； 当四边形为等腰梯形时，过点M作于点G，过点C作于点H，如图所示， 则， ，， ， ， ， ，， 四边形为矩形， ， ， 解得， 综上可得，当时，或， 故③错误，④正确． 综上所述，正确的是④． 【变式18-2】（25-26八年级下·江苏常州·月考）如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点，点在边上以每秒1个单位长的速度由点向点运动．设动点的运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求当四边形为菱形时的值，并求出点的坐标：若不存在，请说明理由； (3)若点是平面内一点，且、、、四点为顶点的四边形构成菱形，则符合条件的的坐标有_____． 【答案】(1) (2)存在，， (3)或或或 【分析】（1）根据平行四边形的性质就可以知道，可以求出，从而可以求出的值． （2）要使为菱形，可以得出，由三角形的勾股定理就可以求出的值而求出的值． （3）分三种情况①当为菱形的边时，②当为菱形的边时，③当为菱形的边时，分别画图求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，，点是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ， ． （2）解：∵四边形为菱形，点是线段上一点， ， ， ， ∴，． （3）解：①当为菱形的边时，， 则，， ∴， ∴； ②当为菱形的边时，， ∵， ∴，解得或， ∴或， ∴或， ∴或； ③当为菱形的边时，，点P与点M关于对称， 过点P作， ∴， ∴， ∴， 综上，或或或． 【变式18-3】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的负半轴上，直线交轴于点，边交轴于点． (1)如图①，①直接写出点的坐标 ；②求直线的解析式； (2)如图②，连接，动点从出发，沿折线以个单位/秒的速度向终点匀速运动，设点 的运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 【答案】(1)①；②直线表达式为 (2)当的值为或时，的面积为 【分析】（1）由勾股定理得出的长度，即为菱形的边长，可得点坐标，结合点、的坐标，采用待定系数法求解函数表达式即可； （2）先根据菱形的性质，证明，即，，由（1）中所求直线表达式得出点的坐标，对点位置进行分类讨论，分别由面积公式或求解出的值即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴，， 由勾股定理得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴点的坐标为， 令直线表达式为， 将点、代入， 得，解得， ∴直线表达式为． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴，， 对于直线． 当时，， ∴， 当点在上运动时， ，， ∴， 当时，即， 解得； 当点在上运动时， ，， ∴， 当时，即， 解得； 综上，当的值为或时，的面积为． 1.判定类技巧 1.证平行四边形：优先用一组对边平行且相等，简便快捷 2.证矩形：先证平行四边形+一个直角/平行四边形+对角线相等 3.证菱形：先证平行四边形+邻边相等/平行四边形+对角线垂直 4.证正方形：矩形+邻边相等或菱形+一个直角 2.计算类技巧 1.出现对角线互相垂直四边形，统一用对角线乘积÷2算面积 2.矩形、正方形计算题优先构造直角三角形用勾股定理 3.遇多个中点连线，直接联想三角形中位线定理 3.几何模型技巧 1.中点四边形：原四边形对角线相等→中点四边形菱形；垂直→矩形；相等且垂直→正方形 2.四边形折叠：抓全等、对应边等、对应角等 3.平行四边形中平行线模型：找内错角相等证边角关系 4.解题通用方法 1.遇线段相等：证全等、利用特殊四边形性质、中位线 2.证直线平行：中位线、平行四边形对边平行 3.角度计算：利用内角和、互余、互补、特殊四边形内角特征 4.大题解题思路：先定图形类型→套性质→找等量关系→书写严谨证明 5.答题套路 1.证明题：先写已知条件，再一步步推导，最后下结论 2.求值题：先标图上已知边长、角度，再选用公式计算 3.分类讨论题：四边形形状不确定时分情况分析 矩形、菱形与正方形性质理解 【例19】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线互相平分 【答案】A 【详解】解：∵平行四边形的性质为：对边相等，对角相等，对角线互相平分. 矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，额外具有四个角为直角，对角线相等的特有性质， ∴选项B，C，D中的性质都是矩形和一般平行四边形共有的，只有选项A的对角线相等是矩形具有而一般平行四边形不具有的性质. 【变式19-1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）下列性质中矩形有而菱形没有的是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等 【答案】D 【分析】本题考查矩形与菱形的性质，矩形和菱形都是特殊的平行四边形，只需对比两者的特有性质，找出符合要求的选项即可． 【详解】解：∵矩形和菱形都是特殊的平行四边形，平行四边形具有对角相等、对边平行且相等的性质， ∴A，C选项是矩形和菱形都具有的性质，排除； ∵对角线互相垂直是菱形特有的性质，矩形不具有该性质， ∴B选项不符合要求，排除； ∵矩形的对角线相等，一般菱形的对角线不相等， 因此对角线相等是矩形有而菱形没有的性质， 故选D． 【变式19-2】（25-26八年级下·江苏南京·期中）菱形一定具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．邻边相等 B．对角相等 C．对边平行 D．对角线相等 【答案】A 【详解】解：∵菱形和矩形都是特殊的平行四边形，平行四边形具有对角相等、对边平行的性质，因此菱形和矩形都一定具有对角相等、对边平行的性质，因此排除B，C； ∵对角线相等是矩形一定具有的性质，菱形不一定具有该性质，不符合题干要求，因此排除D； ∵菱形的定义是邻边相等的平行四边形，因此菱形一定有邻边相等的性质；矩形只有特殊情况（正方形）邻边相等，一般矩形邻边不相等，即矩形不一定有邻边相等的性质，符合题干要求，因此选A． 【变式19-3】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（  ） A．对角相等 B．对角线相等 C．邻边互相垂直 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】对比正方形和矩形的性质，逐一分析选项，即可得到答案． 【详解】解：由于对角相等、对角线相等、邻边互相垂直均为矩形的性质， ∵正方形是特殊的矩形，正方形也具有这些性质， ∴选项不符合题意， ∵正方形的对角线互相垂直，矩形只有是正方形时对角线才互相垂直，普通矩形对角线不互相垂直， ∴对角线互相垂直是正方形具有而矩形不一定具有的性质， ∴选项符合题意． 特殊平行四边形的判定定理理解 【例20】（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）下列说法正确的是（   ）． A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形一定是菱形 【答案】C 【分析】本题考查特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形）的判定．熟悉特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形）的判定定理是解题的关键． 根据菱形、矩形、正方形的判定定理，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，但有一组邻边相等的四边形不一定为菱形，所以不符合题意； 选项，有一个角是直角的平行四边形是矩形，但不一定是正方形，所以不符合题意； 选项，对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意； 选项，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，但对角线互相垂直的四边形不一定为菱形，所以不符合题意． 故选：． 【变式20-1】（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列命题中正确的是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形或等腰梯形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形及特殊四边形的判定定理，逐一判断各选项即可得到正确命题. 【详解】解：∵ 对角线互相平分的四边形是平行四边形，这是平行四边形的判定定理， ∴ A正确； ∵ 只有对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，仅对角线互相垂直无法判定， ∴ B错误； ∵ 存在对角线相等的不规则四边形，既不是矩形也不是等腰梯形， ∴ C错误； ∵ 只有对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅垂直相等无法判定， ∴ D错误， 综上，正确答案为A. 【变式20-2】（2023·江苏无锡·模拟预测）下列命题中是假命题的是（   ） A．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的菱形是正方形 【答案】A 【分析】根据平行四边形与特殊平行四边形的判定定理即可解答． 【详解】解：∵一组对边相等，一组对角相等的四边形无法证明另一组对边平行或相等，存在反例，不能判定为平行四边形，故A是假命题，符合题意； ∵“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”是矩形的判定定理，故B是真命题，不符合题意； ∵“对角线互相平分且垂直的四边形是菱形”是菱形的判定定理，故C是真命题，不符合题意； ∵菱形本身四边相等、对角线互相垂直，对角线相等的菱形符合正方形的判定要求，故D是真命题，不符合题意． 【变式20-3】（25-26八年级上·湖南张家界·期末）下列命题中正确的是（    ） A．四边都相等的四边形是正方形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形，菱形，矩形和正方形的判定定理，根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、四边都相等的四边形是菱形，不一定是正方形，原说法错误，不符合题意； B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法正确，符合题意； C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法错误，不符合题意； D、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线也相等，原说法错误，不符合题意； 故选；B． 与三角形的中位线有关的问题 【例24】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图所示，是的中位线，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】由三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，直接得 ． 【详解】解： 是 的中位线，， ． 【变式21-1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，是的中位线，是的高线，若，，则的长度为_______ ． 【答案】 【分析】先结合中位线的性质得，，再运用勾股定理得，故，即可作答． 【详解】解：∵是的中位线， ∴， ∵是的高线， ∴ 则 ∴． 【变式21-2】（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．3 【答案】B 【分析】由题意可知为的中位线，然后根据矩形的对角线相等且相互平分，求得，进而根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵矩形中，， ， ， ，即点是的中点， 又点是的中点， 为的中位线， ． 【变式21-3】（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，A、B两点被池塘隔开，在池塘外选取点O，连接，，分别取，的中点M，N，若测得，则A，B两点间的距离是________． 【答案】24 【分析】根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，由此可得，代入数据计算即可． 【详解】解：点，分别为，的中点， 是的中位线， ． 添加一个条件使四边形是特殊四边形 【例22】（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质，根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可． 【详解】解：A、仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 A错误； B、∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形．故B正确． C、由无法判定为平行四边形，故C错误； D、且，四边形可能是等腰梯形，故D错误； 故选：B． 【变式22-1】（25-26八年级下·江苏南通·期中）要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：平行四边形中邻边相等可判定为菱形，只能说明平行四边形是菱形，不能判定为矩形，则A错误； 选项B：矩形的判定定理为对角线相等的平行四边形是矩形，平行四边形中，平行四边形是矩形，则B正确； 选项C：平行四边形本身具有对角相等的性质，是平行四边形固有的性质，不能判定它是矩形，则C错误； 选项D：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，只能判定平行四边形是菱形，不能判定为矩形，则D错误． 【变式22-2】（25-26八年级下·江苏苏州·月考）在中，添加下列条件：①；②；③平分；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】结合平行四边形的性质与菱形的判定定理，逐一分析每个条件能否判定平行四边形为菱形即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 添加条件①可得是矩形，不是菱形； 条件②是平行四边形的固有性质，故添加条件②无法判定其为菱形； 添加条件③平分， 如图， ∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴是菱形； 添加条件④能判定是菱形； 综上，能够判定是菱形的是③④，共2个． 【变式22-3】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）在复习特殊四边形的关系时，小明同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．①填 B．②填 C．③填 D．④填 【答案】A 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、添加，无法使平行四边形变为菱形，故符合题意； B、添加，可以使菱形变为正方形，故不符合题意； C、添加，可以使平行四边形变为矩形，故不符合题意； D、添加，可以使矩形变为正方形，故不符合题意． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 四边形 平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形。​ 性质：1）对边平行且相等；2) 对角相等、邻角互补；3) 对角线互相平分；4) 是中心对称图形。 判定（5种）：1）两组对边分别平行；2) 两组对边分别相等；3) 一组对边平行且相等；4) 两组对角分别相等；5) 对角线互相平分。​ 计算：周长= 2（邻边和）；面积=底×高（高为底边上的垂线段）。​ 辅助性质：平行线间的距离处处相等。​ 特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）​ （1）矩形​ 定义：有一个角是直角的平行四边形。​ 性质（平行四边形性质+特有）：1）四角均为90 ∘；2) 对角线相等且互相平分；3) 既是中心对称图形，也是轴对称图形。 判定：1）平行四边形+一个直角；2) 平行四边形+对角线相等；3) 三个角是直角的四边形。 关联性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。 计算：周长= 2（长+宽）；面积=长×宽。​ （2）菱形​ 定义：有一组邻边相等的平行四边形。​ 性质（平行四边形性质+特有）：1）四边相等；2) 对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；3) 既是中心对称图形，也是轴对称图形。​ 判定：1）平行四边形+邻边相等；2) 平行四边形+对角线垂直；3) 四边相等的四边形。​ 计算：周长= 4×边长；面积=底×高或1/2×对角线乘积。​ （3）正方形​ 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形（兼具矩形与菱形性质）。​ 性质（矩形 + 菱形全部性质）：1）四边相等、四角90 ∘；2) 对角线相等且互相垂直平分，平分一组对角；3) 既是中心对称图形，也是轴对称图形。​ 判定（3类思路）：1）平行四边形+邻边相等+一个直角；2) 矩形+邻边相等；3) 菱形+一个直角。​ 计算：周长= 4×边长；面积=边长²或1/2×对角线乘积。​ 三角形中位线​ 定义：连接三角形两边中点的线段（一个三角形共3条中位线）。​ 中位线定理：平行于第三边，且长度等于第三边的一半。​ 应用：求线段长度、证明直线平行、构造平行四边形。​ 梯形​ 定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。​ 分类：1）等腰梯形：两腰相等的梯形；2) 直角梯形：有一个角是直角的梯形。​ 等腰梯形性质：1）两腰相等；2) 同一底上的两个角相等；3) 对角线相等；4) 是轴对称图形。​ 等腰梯形判定：1）两腰相等的梯形；2) 同一底上两个角相等的梯形；3) 对角线相等的梯形。​ 梯形常用辅助线：平移一腰、作高、延长两腰、平移对角线（转化为三角形或平行四边形求解）。​ 中点四边形​ 定义：顺次连接四边形各边中点得到的四边形。​ 形状判定（由原四边形对角线决定）：​ 1）原四边形对角线无特殊关系→平行四边形；2) 对角线相等→菱形；3) 对角线垂直→矩形；4) 对角线相等且垂直→正方形。​ 利用平行四边形的性质求解 【例1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在平行四边形中，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，平行四边形的对角线交于点O，若，，，则的周长为（   ） A．26 B．35 C．40 D．52 【变式1-3】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点O，，，，过点O作，分别交于点E、F，则的长度为_____． 利用平行四边形的性质证明 【例2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在平行四边形中，是边上的中点，连接并延长交的延长线于点，证明：． 【变式2-1】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，点E、F分别在、上，交于点．求证． 【变式2-2】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，点E、F分别为延长线上的点，且，连接，分别与相交于点G、H．求证：． 【变式2-3】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，，．求证：． 判断能否构成平行四边形 【例3】（25-26八年级下·江苏无锡·阶段检测）依据图中所标数据，能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026八年级下·江苏·专题练习）在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【变式3-2】（25-26八年级下·湖北襄阳·阶段检测）下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D．， 【变式3-3】（25-26八年级下·江苏南京·期中）已知四边形的对角线，相交于点．下列条件：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．①③④ B．①③⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 平行四边形的判定 【例4】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，是直线外一点，在上取两点，，连接，分别以点，为圆心，以，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形，依据是：_________的四边形是平行四边形． 【变式4-1】（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)连接、，求证：四边形是平行四边形． 【变式4-2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，四边形中，对角线相交于点O，点E、F分别在上，已知，． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是平行四边形． 利用矩形的性质求解 【例5】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，，则矩形的面积为______ ．    【变式5-2】（25-26八年级下·江苏·期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作 ，分别交、于点、，连接、．若图中阴影部分的面积为8，则的值为（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式5-3】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，点在的延长线上，，连接，是的中点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 利用菱形的性质求解 【例6】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，．若，则的长是（   ） A．3 B．5 C．6 D．12 【变式6-1】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，菱形的边长是5，对角线的长是8，，垂足为E，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．9.6 【变式6-2】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为___________． 【变式6-3】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点是的中点，过点作交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 利用正方形的性质求解 【例7】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，四边形是正方形，以为边在正方形内部作等边，连接，则______． 【变式7-1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）两个正方形按如图所示位置摆放，若，则_______． 【变式7-2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是_______． 【变式7-3】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 四边形中的线段最值问题 【例8】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）已知菱形的边长为2，且，M是对角线上一动点，的最小值为______． 【变式8-1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在边长为2的正方形中，若，分别是，边上的动点，，与交于点，连接，则的最小值为___________ 【变式8-2】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接，则四边形周长的最小值为（　　） A． B． C．10 D．12 【变式8-3】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，对角线、相交于点O，，P为上的一点，，则的长度为____；若M为上一动点，连接并将线段绕点C顺时针旋转得，连接，则的最小值为____． 中点四边形 【例9】（25-26八年级下·江苏常州·期中）顺次连接对角线互相垂直的四边形的四条边的中点，得到的四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【变式9-1】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形中，分别是，，，的中点，要使四边形是菱形，四边形应满足的条件是______． 【变式9-2】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是矩形，需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 直角梯形 【例10】（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列长度的四条线段首尾依次相连能组成直角梯形的是（   ） A．3，4，5，12 B．4，4，4，8 C．4，4，5，7 D．4，5，5，10 【变式10-1】（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，则梯形的面积为________． 【变式10-2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）一个高为的直角梯形面积是70，若该梯形的上底增加，它就变成一个矩形，则梯形的下底是__________． 【变式10-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的有_____．（填序号） ①有两个直角的四边形是直角梯形；②两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形；③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形；④等腰梯形是轴对称图形． 等腰梯形 【例11】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在等腰梯形中，，，，求___________． 【变式11-1】（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，在等腰梯形中，，，，与交于点，，，则此梯形的面积为______． 【变式11-2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在梯形中，，E，F是下底上的两点，．连接．求证：． 【变式11-3】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，已知在四边形中，，，，，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 1. 概念与定理类​ ❌混淆“性质”与“判定”：用性质代替判定（如已知矩形，却用“对角线相等”反过来证矩形）。 ❌判定特殊四边形逻辑不完整：如证矩形时，只证“对角线相等”，未先证是平行四边形；证正方形时，跳过矩形/菱形直接判定。​ ❌误用平行四边形判定定理：将“一组对边平行，另一组对边相等”当作平行四边形判定。 ❌三角形中位线记忆错误：只记“平行”，漏记“长度是第三边的一半”；或混淆“中位线”与“中线”。​ ❌中点四边形判断出错：误以为由原四边形形状决定，忽略“对角线” 的关键作用。 ❌梯形概念混淆：误将 “有一组对边平行” 的四边形当作梯形（忽略“另一组对边不平行”的条件）。​ 2. 性质应用类​ ❌混用特殊四边形专属性质：如把菱形的 “对角线垂直” 用到矩形上，把矩形的 “对角线相等” 用到菱形上。 ❌菱形面积计算单一：只记得“底×高”，忘记“对角线乘积的一半”（尤其对角线垂直时优先用后者）。​ ❌忽略正方形的双重属性：解题时只用到矩形性质，遗漏菱形性质（或反之），导致条件不足。​ ❌等腰梯形性质误用：将“同一底上的角相等”错记为“所有角相等”，或忽略“对角线相等”的特有性质。​ 3. 计算与证明类​ ❌折叠问题漏用隐含条件：折叠前后对应边、对应角相等，对角线被折叠线垂直平分等条件未挖掘。​ ❌证明题条件缺失：如证明平行四边形时，只写“AB∥CD，AD=BC”，未注明“AB=CD，AD∥BC”或“一组对边平行且相等”，逻辑不严谨。​ ❌动点问题忽略取值范围：未根据四边形边长、顶点位置限定动点移动的区间，导致答案多解或错解。​ ❌对角线相关计算失误：菱形、正方形中，对角线垂直平分，计算边长时未用勾股定理。​ ❌梯形辅助线添加错误：不会通过辅助线转化图形，导致无法利用平行四边形或三角形性质求解。​ 4. 图形识别类​ ❌误将“菱形”当作“正方形”（忽略 “有一个直角” 的条件），或误将“矩形”当作“正方形”（忽略“邻边相等”的条件）。​ ❌混淆 “中心对称图形” 与 “轴对称图形”。​ ❌等腰梯形与直角梯形识别错误：忽略等腰梯形“两腰相等”、直角梯形“有一个直角”的核心特征。 平行四边形的判定与性质综合 【例12】（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，在梯形中，，则_____． 【变式12-1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在梯形中，，，若，，则此梯形的周长为______． 【变式12-2】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且，则下列为定值的是（    ） A．线段的长 B．的度数 C．四边形的周长 D．四边形的面积 【变式12-3】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若．则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 矩形的判定与性质综合 【例13】（2026·江苏南京·一模）如图，在中，点、分别在、上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若平分，，，则的长为_____． 【变式13-1】（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，过点作于点，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，则______． 【变式13-2】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点O，． (1)求证：平行四边形是矩形． (2)若，且，求的长． 【变式13-3】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，点是菱形的对角线和的交点，过点C作，过点D作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 矩形折叠问题 【例14】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，在矩形中，分别在上，沿将矩形折叠，如果点恰好与点重合，那么的长为__________． 【变式14-1】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式14-2】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，有一张矩形纸片，，．过点B折叠该纸片，折痕为，使点A落在上的H处，求的长． 【变式14-3】（25-26八年级下·江苏南通·期中）在矩形中，，，将其沿折叠，点，分别落到点与点处，恰好点在上，且，则线段的长度为（    ） A． B．4 C．5 D． 菱形的判定与性质综合 【例15】（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形中，若，，则四边形面积为_____． 【变式15-1】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． (1)求证∶四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【变式15-2】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【变式15-3】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 正方形的判定与性质综合 【例16】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，在正方形中，点是上一点，过点作交于点，连接，若，则的度数是________．（用含的代数式表示） 【变式16-1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，的平分线交于点D，， (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 【变式16-2】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接、，交于G，以下结论正确的有（填序号）．____________ ①；②；③；④为定值． 正方形折叠问题 【例17】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，四边形为正方形，点是的中点，将正方形沿折叠，得到点的对应点为点，延长交线段于点，若，求的长． 【变式17-1】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，，则的长是______． 【变式17-2】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，正方形的边长为4，点E为的中点，连接，将沿折叠，点A的对应点为F．连接，则的长为__________． （特殊）平行四边形的动点问题 【例18】（25-26八年级上·全国·单元复习）如图所示，在四边形中，，，，点从点向点以的速度运动，到点即停止点从点向点以的速度运动，到点即停止直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形，已知，两点同时出发，则几秒后所截得的两个四边形中，有一个为平行四边形 【变式18-1】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在四边形中，，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论中：①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或．正确的是______（填序号） 【变式18-2】（25-26八年级下·江苏常州·月考）如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点，点在边上以每秒1个单位长的速度由点向点运动．设动点的运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求当四边形为菱形时的值，并求出点的坐标：若不存在，请说明理由； (3)若点是平面内一点，且、、、四点为顶点的四边形构成菱形，则符合条件的的坐标有_____． 【变式18-3】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的负半轴上，直线交轴于点，边交轴于点． (1)如图①，①直接写出点的坐标 ；②求直线的解析式； (2)如图②，连接，动点从出发，沿折线以个单位/秒的速度向终点匀速运动，设点 的运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 1.判定类技巧 1.证平行四边形：优先用一组对边平行且相等，简便快捷 2.证矩形：先证平行四边形+一个直角/平行四边形+对角线相等 3.证菱形：先证平行四边形+邻边相等/平行四边形+对角线垂直 4.证正方形：矩形+邻边相等或菱形+一个直角 2.计算类技巧 1.出现对角线互相垂直四边形，统一用对角线乘积÷2算面积 2.矩形、正方形计算题优先构造直角三角形用勾股定理 3.遇多个中点连线，直接联想三角形中位线定理 3.几何模型技巧 1.中点四边形：原四边形对角线相等→中点四边形菱形；垂直→矩形；相等且垂直→正方形 2.四边形折叠：抓全等、对应边等、对应角等 3.平行四边形中平行线模型：找内错角相等证边角关系 4.解题通用方法 1.遇线段相等：证全等、利用特殊四边形性质、中位线 2.证直线平行：中位线、平行四边形对边平行 3.角度计算：利用内角和、互余、互补、特殊四边形内角特征 4.大题解题思路：先定图形类型→套性质→找等量关系→书写严谨证明 5.答题套路 1.证明题：先写已知条件，再一步步推导，最后下结论 2.求值题：先标图上已知边长、角度，再选用公式计算 3.分类讨论题：四边形形状不确定时分情况分析 矩形、菱形与正方形性质理解 【例19】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线互相平分 【变式19-1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）下列性质中矩形有而菱形没有的是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等 【变式19-2】（25-26八年级下·江苏南京·期中）菱形一定具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．邻边相等 B．对角相等 C．对边平行 D．对角线相等 【变式19-3】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（  ） A．对角相等 B．对角线相等 C．邻边互相垂直 D．对角线互相垂直 特殊平行四边形的判定定理理解 【例20】（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）下列说法正确的是（   ）． A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形一定是菱形 【变式20-1】（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列命题中正确的是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形或等腰梯形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【变式20-2】（2023·江苏无锡·模拟预测）下列命题中是假命题的是（   ） A．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的菱形是正方形 【变式20-3】（25-26八年级上·湖南张家界·期末）下列命题中正确的是（    ） A．四边都相等的四边形是正方形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形 与三角形的中位线有关的问题 【例24】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图所示，是的中位线，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【变式21-1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，是的中位线，是的高线，若，，则的长度为_______ ． 【变式21-2】（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．3 【变式21-3】（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，A、B两点被池塘隔开，在池塘外选取点O，连接，，分别取，的中点M，N，若测得，则A，B两点间的距离是________． 添加一个条件使四边形是特殊四边形 【例22】（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式22-1】（25-26八年级下·江苏南通·期中）要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【变式22-2】（25-26八年级下·江苏苏州·月考）在中，添加下列条件：①；②；③平分；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式22-3】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）在复习特殊四边形的关系时，小明同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．①填 B．②填 C．③填 D．④填 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $