4.5 三角形的中位线（教学课件）数学新教材浙教版八年级下册

该初中数学课件聚焦三角形中位线的定义、定理及应用，通过测量池塘两端距离的情景导入，结合复习回顾的平行四边形性质与判定作为前置知识支架，引导学生从已有知识自然过渡到新知探究。 其亮点在于以情景问题激发“数学眼光”，通过旋转构造全等及多种证明方法培养“数学思维”，典例与分层练习强化“数学语言”应用。采用探究式教学和对比归纳（中位线与中线表格），小结清晰。助力学生提升推理与问题解决能力，为教师提供系统教学资源和多样化例题支持。

4.5 三角形的中位线 第四章 平行四边形 章节导读 4.1多边形 4.2 平行四边形及其性质 4.3图形的旋转 4.4平行四边形的判定定理 平行四边形及其边角性质 图形的旋转及性质 边的关系判定平行四边形 对角线关系定断平行四边形 多边形的认识及内角和 多边形的外角和 中心对称图形及性质 4.5三角形的中位线 三角形中位线及定理 反证法 平行线的性质及推论 平行四边形的对角线性质 4.6反证法 学 习 目 标 1 2 3 理解三角形中位线的定义； 理解三角形中位线定理，能运用其进行论证和计算； 能综合运用三角形的中位线与平行四边形的性质、判定定理解决问题。 复习回顾 平行四边形的性质与判定定理： 平行四边形的性质 平行四边形的判定 1. 两组对边分别平行；2.两组对边分别相等； 3. 两组对角分别相等；4. 两条对角线互相平分. 1. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 3. 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 4. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 4 情景导入 要测量池塘两端的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点，得到线段，并取的中点，连结。只要量出的长，就可以求得两端的距离。 这个方法可行吗？为什么呢？ 新知探究 三角形中位线的定义 连结， 因为分别是的中点，把叫作的中位线。 定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 任意画一个三角形及其中位线，通过观察、测量，你发现中位线有哪些性质？ 符号表示： ∵点 分别是 的中点， ∴ 是 的中位线 . 6 新知探究 三角形的中位线定理 思考1：一个三角形有几条中位线？ 根据三角形中位线的定义，我们在三边上找到三边的中点， 连结三个中点，可以得到三条中位线。 F 思考2：每条中位线与三角形的边有什么关系？ 两条线段的关系 位置关系 数量关系 分析： DE与AB的关系 猜想： 你能证明吗？试一试吧！ 7 新知探究 三角形的中位线定理 如图，在中，点分别是边和的中点. 求证：，. 分析：因为是的中点，可以考虑以点为中心，把按顺时针方向旋转180°，得到，这样就只需证明四边形是平行四边形. F A B C D E 证明：如图,以点为旋转中心,把绕点, 按顺时针方向旋转180°, 得, 则同在一直线上,,且。 ∴,∴. 又∵, ∴四边形是平行四边形(一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形), ∴ (平行四边形的一组对边平行且相等)， ∴ 。 证一证 你还有其他证明方法吗？ 8 新知探究 三角形的中位线定理 如图，在中，点分别是边和的中点. 求证：，. 证明：如图，延长到，使，连结. 在和中， ∵， ∴. ∴ ∴. ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） F A B C D E ∴（平行四边形的对边平行），（平行四边形的对边相等）. ∴ . 方法二 9 三角形的中位线定理 文字表述：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半. 符号表示：在中， ∵点 分别为的中点， ∴ 归纳总结 三角形的中位线定理 A B C D E ① 证明平行问题 ② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半 应用 10 典例分析 例1 已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB， BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形. 三角形的中位线定理 分析：由 分别是四边形各边的中点，联想到运用三角形的中位线定理来证明。 证明：如图，连结. ∵是的中位线， ∴(三角形的中位线等于第三边的一半). 同理，， ∴. 同理可得. 所以四边形是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形). 归纳：四边形是通过连结四边形 各边的 中点形成的，这样的四边形称为中点四边形，并且一定是平行四边形，与四边形 的形状无关。#4.1.2 11 典例分析 例2 已知：如图，在中，. 求证：与相互平分. 证明：如图，连接. ∵， ∴C（三角形的中位线平行于第三边）. 同理可得，. ∴四边形是平行四边形 （两组对边分别平行的四边形是平行四边形）. ∴与互相平分. 三角形的中位线定理 A B C D E F 推论：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。 12 归纳总结 三角形中位线与中线 三角形的中位线 三角形的中线 区别 连结三角形两边中点的线段． 连结三角形一个顶点与它对边中点的线段． 图示 性质 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。 三角形的三条中线相交于一点,中线将三角形分为两个面积相等的小三角形. 联系 三角形的中位线与第三边上的中线互相平分． 一个三角形有3条中线和3条中位线． 13 随堂练习 基础过关 1.如图，在中，点分别是边的中点．若的周长是5，则的周长是（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 解析：根据三角形的中位线定理，可得的周长为的周长的2倍，故选B。 B 随堂练习 基础过关 2.如图,在四边形中,,是对角线的中点,分别是的中点.若求的度数. 解:因为在四边形中,是对角线的中点, 分别是的中点, 所以分别是的中位线. 所以 因为,所以 所以 随堂练习 能力提升 3. 如图，在四边形 中， ，，，点，分别是边，上的动点（含端点，但点不与点重合），点，分别是线段，的中点，则线段长度的最大值为 ______. 解析： 连结， . ，分别是线段，的中点， . 最大时，最大. 易知当点与点重合时最大， 此时 ， 的最大值为1. 1 16 4.如图，中，，平分于点是的中点．求的长。 随堂练习 能力提升 解：延长交于. ∵平分，， ∴是等腰三角形， ∴。 又∵为的中点，∴。 又∵， ∴。 随堂练习 能力提升 5.如图，在中，，为的中点，在的延长线上取一点，使，求证： 证明：取 的中点 ，连接. ∵， ∴为的中位线， ∴F. ∵为的中点，， ∴. ∵， ∴. ∴. ∴. F 构造三角形中位线是解决线段倍数关系的常用方法. 18 随堂练习 能力提升 6. (新考法·探究题)我们知道“连结三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线”“三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半”.类似地,我们把连结梯形两腰中点的线段叫作梯形的中位线.如图,在梯形中,分别是的中点,那么是梯形的中位线.通过观察、测量,猜想和之间的位置关系和数量关系,并证明你的结论. 随堂练习 能力提升 解: 如图,连结并延长,交的延长线于点. 因为分别是的中点, 所以. 因为,所以. 在和中,, 所以. 所以. 又因为,所以是的中位线.所以. 所以 课堂小结 三角形中位线 定理 连结三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 定义 感谢聆听! $