专项练习：几何法求空间角-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以四步解题流程（平移-证明-寻找-取舍）和三种平移技巧（平行四边形、中位线、补形）为核心，系统构建几何法求异面直线所成角的方法体系，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方法归纳|1处总结|四步解题流程+三种平移技巧|从异面直线所成角概念（取值范围）出发，通过平移转化为相交直线，结合解三角形求角并取舍| |题型应用|10题（含选择、填空、解答，涉及长方体、正方体等6类几何体）|针对不同几何体选择平移方法（如中点用中位线，矩形用平行四边形）|覆盖核心考法，以题载法，强化几何直观与逻辑推理|

专项练习：几何法求二面角（面面角） 一、 定义法 【归纳总结】定义法求二面角 1.根本思路：先通过定义确定哪个角是所求二面角的平面角，再放于三角形中利用勾股定理、正余弦 定理等进行求解 2.找二面角的常用辅助线方法： ①在交线上取特殊点，再连接该点与两个面内的点，证明连接的两条线分别于交线垂直 ②在交线的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线. 1.ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD,则二面角B-PA一C的平面角的度数为 2.如图，点P在二面角C-AB-的棱AB上，分别在C,B内引射线PM,PN,使得PM=PN,若 ∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，则二面角C-AB-B的大小为() A.45° B.60° C.90° D.120° B 3.如图，在正四棱柱ABCD-AB1C1D1中，AB=BC=3,AA1=4,则异面直线AD1与A1C1所 成角的余弦值为 ；二面角D1一AB-C的正弦值为 D B C B 第1页 4.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB=2CD=2AP=2PD=4,PA⊥PD,AB⊥BC, AB/CD,E为PB的中点. (1)证明：CE/平面PAD; (2)若平面PAD⊥底面ABCD,求直线CE与底面ABCD所成角的正切值； (3)若∠PAB=晋，求锐二面角P-AD一B的余弦值. 第2页 5.己知四棱锥P-ABCD,PC⊥平面ABCD,AB/CD,BC⊥AB, PC=BC=CD=AB=1,点E为PA中点. (I)求证：DE//平面PBC: (2)求二面角E一BC一A的平面角的正切值： (3)作出过B,C,E三点的平面截四棱锥得到的截面，并求此截面的周长. E 第3页 二、三垂线法 【归纳总结】三垂线法求二面角的平面角 步骤：从二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱（两面的交线）作垂线得到棱上 的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角 如图，在平面《内选一点A向另一个平面B作垂线AB,垂足为B,再过点B向棱a作垂线BO,垂 足为O,连接A0,则∠AOB就是二面角的平面角。 【注意】选填小题中，找到角之后就可以放于对应直角三角形中直接求解，但解答题，必须先根据二 面角的定义进行证明说明，再代入数据求解 6.矩形ABCD中，AB=2AD=2,P为线段DC的中点，将△ADP沿AP折起，使得平面ADP⊥ 平面ABCP.在新构造的四棱锥D一PABC中，求解以下问题： (1)在DC上是否存在点E使得AD//平面PBE?若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由； (2)求二面角P-AD-B的余弦值， D 第4页 7.如图1，在矩形ABCD中，AB=2,AD=V5,将△BCD沿BD翻折至△BCD,且AC1=1, 如图2所示 (I)求证：平面ABC!⊥平面ACD; (2)求点C,到平面ABD的距离d; (3)求二面角C1-BD-A的余弦值 图1 图2 第5页 8.如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，E为AC的中点，将△ACD沿AC翻折使点D 至点D (I)求证：平面BDE⊥平面ABC; (②)若三棱锥D-ABC的体积为辈，求二面角D-AB一C的余弦值 D' E B C --------------B 第6页 9.已知△ABC中，AC=1,AB=2,BC=V3,点M为AB中点，连接CM.将△ACM沿直线 CM折起，使得点A到达A的位置，且平面ACM⊥平面BCM,则二面角A-BC-M的余弦值为 （) A.2B.里 c.0 D.9 第7页 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4,AB=2,PA⊥平面 ABCD,且M是PD的中点 (I)求证：AM⊥平面PCD; (2)求异面直线CD与BM所成角的正切值； (3)求二面角M-AC-D的正弦值. D 第8页 11.如图，己知平面PAB⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形，PA=AB=PB=2,点E,F, M分别是BC,PB,AD的中点， (1)求证：PM//平面AEF: (2)求证：AF⊥平面PBC: (3)求二面角P-DC-A的余弦值. B A D M E 第9页 三、射影面积法、垂面法 【归纳总结】射影面积法、垂面法求二面角 1.射影面积法求二面角 leos0f=Sau S 已知平面阝内一个多边形的面积为S,它在平面内的射影图形的面积为S射慧，平面和平面B所 成的二面角的大小为日，则cos0 S#型.（这个方法对于无棱二面角的求解很简便。） 2.垂面法 过空间中一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角 如图，过二面角内一点A作AB⊥《于B,作AC⊥B于C,面ABC交棱a于点O,则∠BOC就是二面 角的平面角。 第10页 I2.如图，四棱锥P一ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD,E、F分别是AC、PB的 中点. (I)求证：EF//平面PCD: (2)求证：平面PBD⊥平面PAC; (3)若PA=AB,求二面角P-CD-A的大小. P A 13.如图，在三棱锥P-ABC,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是边长为2的等边三角形， PA=PC=3,则二面角A-PC-B的正切值为() A.5 B.5 c.9 D. 第11页 14.如图，在四棱锥P一ABCD中，已知底面ABCD为矩形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底 面ABCD,M是棱PD的中点，AD=2 (1)证明：AM⊥平面PCD: (2)若AB=5,求二面角P-BC-D: (3)若二面角M一BC一D为需，求异面直线AB与PC所成角的正切值. M B 第12页 专项练习：几何法求异面直线所成角 【归纳总结】 1.求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 2.常用平移方法 （1）平行四边形平移法 （2）中位线平移法 （3）补形后再平移 （平行四边形平移法） 1．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接． 因为，所以异面直线与所成的角即为与所成的角，即． 因为，所以，， ， 所以． 2．（多选）如图，在棱长均为2 的正三棱柱中，D 为 的中点，则（    ） A． B．异面直线 与 所成角的余弦值为 C．若分别为 上的点，则的最小值为1 D．若点P 在底面上，且平面，则点P的轨迹长度为 【答案】ABD 【分析】先证平面，即可判断A；先证为异面直线与所成的角或其补角，再解三角形即可判断B，取，分别为，的中点，取，，即可判断C，先证平面 平面，得出点的轨迹为线段，即可判断D. 【详解】对于A，如下图，连接，易得， 因为平面，平面,所以， 又 平面，所以平面， 因为平面，所以 ，A正确； 对于B，如下图，连接， 由题可得，所以为异面直线与所成的角或其补角， 在中，，，所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为，B正确； 对于C，如下图，若,，分别为,，的中点，连接和， 所以，，所以四边形是平行四边形， 又因平面，平面，则，同理可得， 因,则，又因，平面, 则平面,又平面,则， 因,故，即是异面直线 的公垂线段， 故此时的最小值为，C错误； 对于D，如图，取的中点，连接，，， 易得 ， ，由线面平行的判定定理可得平面，平面， 又，平面，平面， 所以平面平面， 因为点在底面上运动，且平面， 所以点的轨迹为线段，所以点的轨迹长度为，D正确. 3．如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接,可得异面直线与所成角（或其补角）为,结合余弦定理求解即可. 【详解】取的中点，连接 因为分别为的中点， 所以,且,所以四边形为平行四边形， 则,所以异面直线与所成角为（或其补角）, 不妨假设正方体的边长为, 则,,, , 所以在中，由余弦定理可得：, 所以异面直线与所成角的余弦值为 4．如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点． (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）连接，利用三角形中位线性质可得，再利用线面平行的判定定理即可证明； （2）由和可知或其补角即为所求，再利用余弦定理求解即可． 【详解】（1）连接，由已知条件，点分别为棱的中点， 故有， 又平面，平面， 所以直线平面； （2）由（1）可知，， 故或其补角为异面直线与所成的角． 因为，，，所以， 根据直三棱柱性质可知，，所以， ， 在中，由余弦定理得， 又，故， 即异面直线与所成的角的大小为． （中位线平移法） 5．如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用几何关系转化异面直线和所成的角为，再根据三角形性质求解角大小. 【详解】如图所示，取底面圆心（即中点），连接. 因为是中点，是中点，所以是的中位线，得. 因此异面直线和所成的角，等于与所成的角. 圆锥轴截面垂直于底面圆所在平面，交线为. 因为是弧的中点，所以， 由面面垂直的性质定理，得平面. 又平面，因此，是直角三角形，直角在点. 设底面圆半径为，则，直径. 因为轴截面是等边三角形，所以， 由中位线性质得， 在中，，因此 ，得 ， 即异面直线和所成角为. 6．正方体中，点分别是的中点，则与所成角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过构造等边三角形判断直线与直线的夹角. 【详解】如图所示：设正方体边长为，取中点，连接. 易知正方体中，所以与所成角即与所成角. 又分别为中点. 所以. 所以三角形为等边三角形，即与所成角为. 所以与所成角为 7．如图，四棱锥的底面为矩形，平面，，为的中点，为的中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线和所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形中位线的性质得到，再结合线面平行的判定定理，证明平面； （2）利用三角形中位线定理将异面直线所成角转化为相交直线所成的，再通过勾股定理求出的三边长，最后用余弦定理计算出该角的余弦值，即为异面直线和所成角的余弦值. 【详解】（1）∵、分别是、的中点， ∴是的中位线，因此， 又不在平面内，平面， 根据线面平行的判定定理，可得平面. （2）由（1）可知，异面直线和所成的角等于异面直线和所成的角（或其补角）， 由题意，，底面为矩形，因此，， ，又为中点，故， 矩形对角线， 直角中，，， 在中，由余弦定理， 即，整理得， 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 8．如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上. (1)若为中点，求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，证明见解析. 【分析】（1）连接交于点，先证明，再由线面垂直判定定理证明结论； （2）取的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值； （3）取中点，的中点为，根据线面平面判定定理证明平面，平面，再根据面面平行判定定理证明平面平面，由此证明平面. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为是正方形，所以为中点， 所以在中，为中位线，， 又平面，平面，平面； （2）取的中点，因为为中点， 所以在中，为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得，又， 所以为锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （3）当是棱中点时，平面 证明如下：取中点，连接，，则， 平面，平面， 平面， 在中，为中点，为中点， 平面，平面，所以平面； ，所以平面平面； 平面，平面 （补形后平移） 9．如图，在直三棱柱中，，则异面直线和所成角的余弦值为______．    【答案】/0.25 【点睛】利用补形法，作一个全等的正三棱柱并与原几何体有公共面，从而可求得异面直线和所成角，再利用余弦定理即可求解. 【详解】由题可知直三棱柱为正三棱柱，如图作一个全等的正三棱柱并与原几何体有公共面，连结， 则易知为异面直线所成角或其补角．    设， 则，，， 由余弦定理可得， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 故答案为：. 10．（多选）如图，已知正方体的棱长为2，和相交于点为的中点，正方体其余各面的中心分别为，下面结论中正确的是（ ） A． B．与所成角的正弦值为 C．平面截正方体所得截面为五边形 D．多面体的内切球半径为 【答案】AD 【分析】通过几何性质（等边三角形三线合一）、构造辅助线结合余弦定理、平面的基本性质、正八面体体积与表面积公式结合内切球半径公式，逐一验证各选项的正确性. 【详解】对于A，因为， 所以是等边三角形，且是中点，所以，A正确； 对于B，在正方体右侧补一个同样的正方体， 连接，因为，， 所以四边形为平行四边形，故， 所以为与所成的角（或补角）， ，，， ， ，B错误； 对于C，延长交于点，连接并延长，分别交于点， 则截面为四边形，故C错误 对于D，易知是正八面体，棱长为， 正八面体可看作两个正四棱锥，正四棱锥的底面积，高， 所以正八面体的体积， 正八面体每个面是边长为的正三角形，三角形面积， 正八面体的表面积，设多面体的内切球半径为， 则，所以，D正确. 试卷第1页，共3页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项练习：几何法求二面角（面面角） 一、定义法 【归纳总结】定义法求二面角 1.根本思路：先通过定义确定哪个角是所求二面角的平面角，再放于三角形中利用勾股定理、正余弦定理等进行求解 2.找二面角的常用辅助线方法： ①在交线上取特殊点，再连接该点与两个面内的点，证明连接的两条线分别于交线垂直 ②在交线的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． 1．是正方形，平面，则二面角的平面角的度数为______________． 【答案】 【分析】利用线面垂直的定义得到，，根据二面角的平面角的定义得到即为二面角的平面角，利用是正方形得到，从而得到所求的角的大小. 【详解】平面，平面，平面， ，， 即即为二面角的平面角，又在正方形中， 故所求二面角的平面角为． 故答案为：. 2．如图，点在二面角的棱上，分别在内引射线，使得,若，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，证得，得到，得出为二面角的平面角，设，求得，结合勾股定理得到，即可求解. 【详解】如图所示，过点作于点，连接， 因为，，且， 所以，所以，所以， 所以即为二面角的平面角， 设，在等腰直角和中，可得， 又因为，所以为等边三角形，所以， 所以，所以， 所以二面角的大小为. 3．如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为 ________ ；二面角的正弦值为 __________ ． 【答案】 【分析】①异面直线与所成角等价于直线与所成角，在中利用余弦定理即可求解；②找到二面角的平面角为，算出的正弦值即可. 【详解】①在正四棱柱中，平行于底面的对角线， 因此异面直线与所成角就等价于直线与所成角， 由于，，所以， 在中，由勾股定理得，，， 因此由余弦定理得， 故异面直线与所成角的余弦值为. ②在正四棱柱中，有平面，因此， 又因为，平面，平面， 因此二面角的平面角为， 由于是直角三角形，，，，斜边， 则， 故二面角的正弦值为. 4．如图，在四棱锥中，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)若平面底面，求直线与底面所成角的正切值； (3)若，求锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）通过构造平行四边形，再结合线面平行的判定定理可得； （2）由面与面的垂直并结合（1）中平行关系可得即为所求角，然后在直角三角形中计算可得； （3）根据二面角的定义作出二面角的平面角，再结合余弦定理求解可得. 【详解】（1）取的中点为，连接，则，且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为，且平面平面，所以平面. （2）由（1）知，所以直线与底面所成角即直线与底面所成角， 如图，过作于， 又平面底面，平面底面平面， 则底面， 所以即为直线与底面所成角. 取的中点，连接，因为，则． 因为为的中点，所以为的中点． 又， 则， 在中，， 所以， 即直线与底面所成角的正切值为 （3）如图，过作交于，连接， 因为，则即为平面和平面的夹角的平面角. 因为四边形为直角梯形，， 所以，又因为，，所以． 当时，在中，， 由余弦定理得， 在中，， 由余弦定理得 ． 所以锐二面角的余弦值为 5．已知四棱锥，平面，，，，点为中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的正切值； (3)作出过三点的平面截四棱锥得到的截面，并求此截面的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)四边形即为截面， 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可； （2）取中点，连接交于，连接，作交于，连接，由面面角定义确定二面角平面角，计算即可求解； （3）延长于，连接于，则四边形即为截面，根据为的重心，计算对应边长可知截面周长. 【详解】（1） 取中点，连接， 在中，且， 因为，且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2） 取中点，连交于，连接， 因为，且，则四边形为平行四边形， 所以，为中点， 在中，，因为平面，所以平面， 作交于，连接， 因为平面，所以， 因为且平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 又，，所以， （3） 延长于，连接于，则四边形即为截面 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 中，，，，点为中点，所以， 因为，所以点为的中点，所以中，为其重心， 所以，所以，， 中，，即， 又，故截面的周长为． 二、三垂线法 【归纳总结】三垂线法求二面角的平面角 步骤：从二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱（两面的交线）作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角 如图，在平面内选一点A向另一个平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。 【注意】选填小题中，找到角之后就可以放于对应直角三角形中直接求解，但解答题，必须先根据二面角的定义进行证明说明，再代入数据求解 6．矩形中，，P为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，求解以下问题： (1)在上是否存在点使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)存在，E是线段上靠近点C的三等分点． (2)． 【分析】（1）设交于点F，可证，因此只要，就有，进而可得平面； （2）先证，平面，得，计算，从而证明，得出为二面角的平面角，然后由余弦定理计算． 【详解】（1）存在．如图所示： 连接，，设交于点F， ，且， ． 取的三等分点，使，连接，，，则． 又平面，平面， 平面． 故存在满足条件的点，且是线段上靠近点的三等分点． （2）在矩形中，，， ，． 又平面平面，平面，平面平面 平面， 平面，， ． 在中，，， 又，平面，平面，平面平面， 为二面角的平面角， 在中，， ∴二面角的余弦值为． 7．如图1，在矩形ABCD中，，，将△BCD沿BD翻折至△BC1D，且，如图2所示.    (1)求证：平面ABC1⊥平面AC1D； (2)求点C1到平面ABD的距离d； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明详见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据勾股定理可证，再结合线面垂直的判定定理可证平面，然后根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）根据等体积法，利用三棱锥的体积求点到平面的距离即可； （3）根据二面角的定义做出二面角的平面角，然后利用直角三角形的性质求解即可. 【详解】（1）由题得，在△中，，所以. 又因为矩形，所以. 因为，平面，平面， 所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）在△中，，所以，所以. 在直角△中，. 由（1）知平面，所以点到平面的距离为. 设点C1到平面ABD的距离为d， 由，得， 所以. （3）如图，在平面内作于点，在平面内作于点，连接.    由（2）知，，又， 平面，所以平面， 因为平面，故. 因为，，平面，所以平面. 又平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 又平面，所以，又， 所以为二面角的平面角. 因为，所以，解得， 因为平面，又平面，故， 所以． 由题意知直角三角形中，，， 故，又，则， 所以， 故二面角的余弦值为． 8．如图，菱形ABCD的边长为2，，E为AC的中点，将沿AC翻折使点D至点. (1)求证：平面平面ABC； (2)若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线线垂直证线面垂直，再证面面垂直； （2）过作于点，过M作于点，连接，分析得即为二面角的平面角，由三棱锥体积求得，即可进一步由几何关系求得. 【详解】（1）证明：在菱形中，，∴和均为等边三角形， 又∵E为AC的中点，∴，，，平面，∴平面， 又∵平面ABC，∴平面平面ABC. （2）过作于点，∵平面平面ABC，平面，∴平面ABC. ∴. 过M作于点，连接， ∵平面ABC，∴ ，∵平面，∴平面， ∵平面，∴. ∴即为二面角的平面角， ，∴，， ∴，∴. 故二面角的余弦值为. 9．已知中，，，，点M为AB中点，连接CM．将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠前后的不变量，再用定义法找出二面角的平面角即可求解. 【详解】取的中点，过点作的垂线，垂足为，连接， 则， 因为在中，，，，点M为AB中点， 所以，则为等边三角形， 所以，， 将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，则为等边三角形， ，，，，    因为平面平面，且平面，，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以，则二面角A'-BC-M的平面角为， 在直角三角形中， ， 所以， 故选：B 10．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，且是的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正切值； (3)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）首先证明平面，由线面垂直的判定定理即可证明平面； （2）由题可得异面直线与所成角即为直线与直线所成的角，然后在中根据求解即可； （3）取中点为，连接，再过作的垂线交于点，可证得二面角的平面角是，然后在中根据求解即可. 【详解】（1）∵平面，平面，∴， 又四边形是矩形，∴，∵，∴平面， ∵平面，∴，又是的中点，，∴， ∵，所以平面． （2）∵底面是矩形，∴，∴异面直线与所成角即为直线与直线所成的角，由（1）得平面，∴平面， ∵平面，∴，∴为直角三角形，又是的中点，，∴，∴在中，即为异面直线与所成角，故， ∴异面直线与所成角的正切值为． （3）取中点为，连接，再过作的垂线交于点， 在中，分别为线段的中点，故， ∵平面，∴平面，∵平面，∴， ∵，∴平面， ∵平面，∴，∴二面角的平面角是， ∵平面，平面，∴， ∴是直角三角形，∴二面角的正弦值， ∵，∴，由（1）得平面且平面，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴二面角的正弦值． 11．如图，已知平面平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，点E，F，M分别是BC，PB，AD的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，连接交于点，连接，先得到四边形为矩形，可得为的中点，结合为的中点，可得，进而求证即可； （2）由，为的中点，可得，再根据平面平面可得平面， 进而得到，进而求证即可； （3）取为的中点，作，垂足为，连接，分析得到是二面角的平面角，解三角形即得. 【详解】（1）如图，连接，连接交于点，连接，    因为点为的中点，为中点，且 四边形ABCD是正方形， 所以四边形为矩形， 故为的中点，又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）由，为的中点，得， 又因为四边形是正方形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以，   又因为，平面， 所以平面． （3）如图，取为的中点， 由，得， 又因平面平面，平面平面，平面， 平面， 作，垂足为，连接，    由，，所以， 因为平面， 所以平面，又平面，则， 所以就是二面角的平面角， 在中，，，得， 所以， 故所求二面角的余弦值为． 三、射影面积法、垂面法 【归纳总结】射影面积法、垂面法求二面角 1.射影面积法求二面角 已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为，平面和平面所成的二面角的大小为，则.（这个方法对于无棱二面角的求解很简便。） 2.垂面法 过空间中一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 如图，过二面角内一点A作于B，作于C，面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。 12．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，E、F分别是AC、PB的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接BD，求证结合线面平行判定定理即可求证； （2）先求证平面结合面面垂直判定定理即可得证； （3）由二面角的平面角定义得出为所求二面角的平面角即可求解. 【详解】（1）证明：如图，连接BD，则E是BD的中点，    又F是PB的中点，∴． 又∵平面，平面PCD，∴平面． （2）证明：∵是正方形，∴， ∵平面，平面，∴， 又，PA，平面，∴平面． 又平面，故平面平面． （3）因为底面，平面，所以， 又∵，，平面， 所以平面，平面,故, ∴二面角的平面角为， ∵，∴，故． 13．如图，在三棱锥，平面平面是边长为2的等边三角形，，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，连接，作于点，证明是二面角的平面角，然后在直角三角形中计算其正切值. 【详解】取中点，连接，由题意得，作于点，连接， 因为平面平面，平面， 所以平面， 而平面，所以，同理， 又，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以是二面角的平面角， 由已知得，，， 所以， 故选：B. 14．如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，是棱的中点，. (1)证明：平面； (2)若，求二面角； (3)若二面角为，求异面直线与所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由已知侧面底面，得平面，则，又侧面是正三角形，可得，即可的证；. （2）由已知，作出二面角的平面角，证出是直角三角形，则求出二面角的大小； （3）作出二面角的平面角，求出，再利用异面直线所成角的定义得到异面直线与所成角，进而求出其正切值. 【详解】（1）在四棱锥中，由底面为矩形，得， 由侧面底面，侧面底面平面， 得平面，又平面，则， 又侧面是正三角形，是的中点，则， 又平面，所以平面. （2）如图，取，中点，连接， 因为底面为矩形，侧面是正三角形， 所以，且且都在面， 所以平面，又，所以平面，面， 所以，所以就是二面角的平面角， 由（1）知平面，因为，所以平面， 面，则，在直角三角形中，， 又正三角形，，则，所以， 所以，即二面角为. （3）如图，在平面内，过点作，垂足为，则， 由侧面底面，交线为，面，得底面， 底面，则， 过作，垂足为，连接， ，平面，则平面， 而平面，因此， 则即为二面角的平面角，其大小为， 在中，，则， 由 ，得四边形为平行四边形，则， 由 ，得（或其补角）为异面直线与所成角， 由（1）知平面，则为直角三角形，， 所以异面直线与所成角的正切值为. 试卷第1页，共3页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $专项练习：几何法求线面角 【归纳总结】线面角求解的2种方法 1. 直接一一垂线法：先确定线面角是哪个角，再放对应三角形中进行求解 2. 间接一一公式法/等体积法：以该点为项点，平面上的多边形为底面构造三棱锥，通过换底法， 利用三棱锥体积不变性，已知其他面的面积和高，反推点到平面的距离。 【注】也可通过作辅助线，直接找到过该点垂直平面的线段，在相关几何图形中求解。 1.正四面体P一ABC中，直线PC与平面PAB所成角的余弦值为() A.方 c D.号 2.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1,D为BC的中点，则直线AC1与平面AB1D所 成角的正弦值为() A. B. v10 c D.9 C D 第1页 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1,O为 AC中点，PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD中点. (1)证明：PB//平面ACM; (2)证明：AD⊥平面PAC; (3)求直线AM与平面ABCD所成角的余弦值. M D A 第2页 4.如图，在平行四边形ABCD中，AD=BD=2,AD⊥BD,BF为△BCD的中线，将△BCF沿 BF折叠，使点C到点E的位置，连接AE,DE,CE,且CE=2. (I)求证：EF⊥平面ABCD (2)求直线AE与平面BEF所成角的正切值。 B 第3页 5.如图，三棱柱ABC-AB1C1中，侧面AA1B1B,AAC1C均为菱形，AA1=2, ∠ABB1=∠ACC1=60,D为AB的中点. (1)求证：AC1/平面CDB1: (2)若∠BAC=60,求直线AC1与平面BB1C1C所成角的大小. A C C B 第4页 6.如图，正三棱柱ABC-AB1C1中，AA=V2AC,E是AC的中点， (1)求证：AB1I平面BEC1; (2)求直线BC1和平面ACC1A1所成的角 B C 7.如图，在三棱锥P-ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥平面ABC,PA=3,则 直线AC与平面PBC所成角的正弦值为· 第5页 8.如图，斜三棱柱ABC-AB1C1的底面是边长为2的正三角形，且A1A=A1B=A1C=V5 (1)证明：C1B1⊥AA1: (2)求二面角C-AA1-B的余弦值： (3)求直线AB1与平面CBB1C1所成角的正弦值. C A B B 第6页 9.如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ADC=90°，PD垂直于面ABCD, AB/CD,PD=AD=AB=2,CD=4,E为棱PC的中点. (1)求证：BE//平面PAD (2)求直线BC与面BDE所成的角的正弦值. P D 第7页 10.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,E为PD的中点，F为PC的中点，PA=AD=2,AB=BC-1, BD=∠ABC-号 (①)求证：平面PAC⊥平面AEF; (2)求直线PA与平面AEF所成角的正弦值 A- B 第8页 第9页 专项练习：几何法求线面角 【归纳总结】线面角求解的2种方法 1. 直接——垂线法：先确定线面角是哪个角，再放对应三角形中进行求解 2. 间接——公式法/等体积法：以该点为顶点，平面上的多边形为底面构造三棱锥，通过换底法，利用三棱锥体积不变性，已知其他面的面积和高，反推点到平面的距离。 【注】也可通过作辅助线，直接找到过该点垂直平面的线段，在相关几何图形中求解。 （直接：垂线法/定义法） 1．正四面体中，直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过作图推理得到直线与平面所成的角，解三角形求其余弦即可. 【详解】如图，取中点，在线段上取点，使得，连接. 因为为正四面体，所以为正的重心，且平面， 所以即为直线与平面所成的角. 不妨设，则在中，，，， 所以. 故选：B 2．如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，由线面角的定义可得就是直线与平面所成的角，计算得解. 【详解】如图， 过点作，垂足为， 因为是的中点，所以，又平面，平面， 所以， 平面，，所以平面， 所以， 又平面，，所以平面， 连接，则就是直线与平面所成的角. 设，则，， 由，则，得， 在中，. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 3．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而证明出线面平行； （2）由余弦定理求出，从而由勾股定理逆定理得到，由线面垂直得到，从而证明出结论； （3）作出辅助线，得到直线与平面所成角，求出各边长，求出余弦值. 【详解】（1）连接，因为底面为平行四边形， 为中点，故与相交于， 因为为的中点，则， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为，， 由余弦定理得， 即，解得， 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，且交于， 所以平面. （3）取的中点，连接，则， 因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成角， 其中，故， 因为，， 由勾股定理得，故， 由勾股定理得，所以， 即直线与平面所成角的余弦值为． 4．如图，在平行四边形中，，，为的中线，将沿折叠，使点到点的位置，连接，且. (1)求证：平面. (2)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）用勾股定理证明，再用等腰三角形中线得，进而再由折叠可得，再用线面垂直的判定定理可得； （2）先证平面，从而可得平面，进而可得与平面所成的角为，在直角三角形计算可得. 【详解】（1）因为，且，所以，. 又为的中线，所以. 因为，所以，所以. 由题意知，为的中线，所以. 而是沿折叠到点的位置，所以 因为，，且，且平面， 所以平面. （2）因为，，，所以平面. 又，所以平面，所以与平面所成的角为. 在中，，，所以. 所以直线与平面所成角的正切值. 5．如图，三棱柱中，侧面均为菱形，，为AB的中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连接，与交于点，连结，由平面几何知识可证得，再由线面平行的判定可得证； （2）由已知可得，，，再由线面垂直的判定可得平面，即得即为直线与平面所成的角，解三角形即可求得其大小． 【详解】（1），与交于点，连接， 四边形是平行四边形，为的中点， 为的中点，得，又平面，平面， 故平面． （2）由，，且为，的中点， 得，，， 又，为平面内两条相交直线， 得平面，故即为直线与平面所成的角； 由，，，得四边形为菱形， 又，故四边形为正方形，， 则为等腰直角三角形，且，故， 因此直线与平面所成角为． 6．如图，正三棱柱中，，是的中点， (1)求证：∥平面； (2)求直线和平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证得，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面垂直的判定定理证得侧面，可知即为直线和平面所成的角，求解即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为分别为和的中点，所以， 因为平面，平面， 所以∥平面； （2）因为三棱柱是正三棱柱，所以侧面， 侧面，所以， 为正三角形，因为是的中点，所以， 又，侧面，从而侧面， 所以即为直线和平面所成的角， 设，在直角三角形中，， ， 在中，，所以， 所以. 所以直线和平面所成的角为. （间接：等体积法） 7．如图，在三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，平面，，则直线与平面所成角的正弦值为______．    【答案】/ 【分析】解法1：取的中点，过点作，求证即为直线与平面所成的角计算即可；解法2：等体积求出点到平面的距离即可. 【详解】解法1：如图，取的中点，连结，过点作交于点，连结．      因为是正三角形，所以， 因为平面，平面，所以，， 又平面，平面，且，所以平面， 因平面，故平面平面， 又因平面平面，平面，，则平面， 所以即为直线与平面所成的角， 由已知可得，在中，， 从而由等面积得，所以， 故直线与平面所成角的正弦值为. 解法2：因平面，平面，所以，， 因，，则， 故等腰底边上的高为，则， 又， 设点到平面的距离为，与平面所成的角为． 由即，得， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为： 8．如图，斜三棱柱的底面是边长为2的正三角形，且． (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正棱锥的定义，结合正三棱锥的几何性质、线面垂直的判定定理和性质进行证明即可； （2）根据全等三角形的判定定理，结合全等三角形的性质、二面角的定义、余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可； （3）利用三棱锥体积的等积性，结合正弦定理、线面角的定义进行求解即可.. 【详解】（1）因为棱柱的底面是边长为2的正三角形，且， 所以三棱锥是正三棱锥， 因此顶点在底面的射影是正三角形的中心， 如图： 设点为边的中点，连接， 显然在上，且，平面， 因为平面， 所以，又因为平面， 所以平面，而平面， 所以，又因为， 所以； （2）因为棱柱的底面是边长为2的正三角形，且， 所以，在中，过作，垂足为，连接， 由全等三角形的性质可知，所以就是二面角的平面角， ， 所以， 因为， 同理可得， 由余弦定理可得， 所以二面角的余弦值； （3）由上可知是正三角形的中心，所以， 由勾股定理可得， 由三棱柱的性质可知平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 因为，所以，即是直角三角形， 设点到平面的距离为， 所以， 在中，，则， 在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 9．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得到平面； （2）求出三棱锥的体积，再由等体积法求出点到平面的距离，最后利用锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）取的中点，连接、，则，且. 因为，，所以且. 所以四边形为平行四边形. 所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为底面为梯形，，，， 所以，， ， 又垂直于面，为棱的中点， 所以到平面的距离为，所以， 因为垂直于面，平面，所以，， 所以，， 所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，所以， 设直线与面所成的角为，则， 直线与面所成的角的正弦值为. 10．在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，E为PD的中点，F为PC的中点，PA=AD=2，AB=BC=1，. (1)求证：平面平面AEF； (2)求直线PA与平面AEF所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)由勾股定理计算出，再由勾股定理逆定理得出 ，由已知线面垂直证得线线垂直，又为中位线证得 ，由线面垂直的判定定理证得线面垂直，由面面垂直的判定定理得出面面垂直. (2)用等体积法计算出点到平面的距离，从而求出直线与平面所成角的正弦值 . 【解析】（1）证明：因为AB=BC=1，AD=2，，， AD=2，所以CD⊥AC. 又因为PA⊥平面ABCD，且直线CD在平面ABCD内，所以CD⊥PA.又因为E为PD的中点，F为PC的中点，所以，所以EF⊥AC且EF⊥PA 又因为，所以EF⊥平面PAC. 又因为EF在平面AEF内，所以平面PAC⊥平面AEF. （2）由（1）可知，EF⊥平面PAC，所以EF⊥AF. 又因为，， 所以. 在直角三角形PAC中，PA=2，，. 设点P到平面AEF的距离为d，可由，得. 所以，故. 又因为PA=2，故直线PA与平面AEF所成角的正弦值为 试卷第1页，共3页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $专项练习：几何法求异面直线所成角 【归纳总结】 1.求异面直线所成角一般步骤： (1)平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线， (2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角， (3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之， (4)取舍：因为异面直线所成角0的取值范围是 0,2 所以所作的角为钝角时，应取它的补角作 为异面直线所成的角. 2.常用平移方法 (1)平行四边形平移法 (2)中位线平移法 (3)补形后再平移 1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=AA1=1,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦 值为() A.票 B.吉 c D. 第1页 2.(多选)如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AB的中点，则() A.C1D⊥AB B.异面直线AC:与BC所成角的余弦值为号 C.若M,N分别为AA,BC上的点，则MN的最小值为1 D.若点P在底面AB1C1上，且AP//平面B1CD,则点P的轨迹长度为V A 3.如图，在正方体ABCD一A1B1C1D1中，E为棱AB的中点，F为棱CC1的中点，则异面直线A1E 与B:F所成角的余弦值为() A. B.月 c.月 D.青 D B A D B 第2页 4.如图，在直三棱柱ABC-AB1C1中，AB⊥AC,AB=4,AC=4V3,AA1=4W6,点E,F分 别为棱BC,A1B的中点. (1)证明：直线EF//平面AA1C1C; (2)求异面直线EF与B1C1所成的角的大小. A B 5.如图，圆锥的轴截面ABC为等边三角形，D为弧AB的中点，E为母线BC的中点，则异面直线AC 和DE所成角的大小为() A.晋 B.晋 C.罗 D.弯 E D 第3页 6.正方体ABCD-AB1C1D1中，点E,F分别是AAAD的中点，则CD1与EF所成角为() A.0 B.45o C.60o D.90o 7.如图，四棱锥E-ABCD的底面为矩形，EA⊥平面ABCD,AB=AD=1,M为ED的中点， N为EB的中点，P为BC的中点. (I)证明：MN//平面ABCD; (2)求异面直线MN和DP所成角的余弦值. M B 第4页 8.如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD为正方形，AD=2,△PAD为正三角形， PB=PC=3,点E在PB上 (I)若E为中点，求证：PD/平面AEC (2)求异面直线PB与AC所成角的余弦值； (3)若PE:EB=2:1,在棱PC上是否存在一点F,使DF//平面AEC?并证明你的结论 F A 第5页 9.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=BC,则异面直线AB1和BC1所成角的 余弦值为· B Bi 10.(多选)如图，己知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，BC1和B1C相交于点O,M为AB的 中点，正方体其余各面的中心分别为E,F,G,H,I,下面结论中正确的是() A.DO⊥BC1 B.DB1与CM所成角的正弦值为 15 C.平面DMO截正方体ABCD-A1B,C1D1所得截面为五边形 D.多面体EPGH1O的内切球半径为号 D A B D M B 第6页 第7页